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Theorem dvatan 20231
Description: The derivative of the arctangent. (Contributed by Mario Carneiro, 7-Apr-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
atansopn.d  |-  D  =  ( CC  \  (  -oo (,] 0 ) )
atansopn.s  |-  S  =  { y  e.  CC  |  ( 1  +  ( y ^ 2 ) )  e.  D }
Assertion
Ref Expression
dvatan  |-  ( CC 
_D  (arctan  |`  S ) )  =  ( x  e.  S  |->  ( 1  /  ( 1  +  ( x ^ 2 ) ) ) )
Distinct variable groups:    x, y, D    x, S
Allowed substitution hint:    S( y)

Proof of Theorem dvatan
StepHypRef Expression
1 cnex 8818 . . . . . 6  |-  CC  e.  _V
21prid2 3735 . . . . 5  |-  CC  e.  { RR ,  CC }
32a1i 10 . . . 4  |-  (  T. 
->  CC  e.  { RR ,  CC } )
4 ax-1cn 8795 . . . . . . 7  |-  1  e.  CC
5 ax-icn 8796 . . . . . . . 8  |-  _i  e.  CC
6 atansopn.d . . . . . . . . . . . 12  |-  D  =  ( CC  \  (  -oo (,] 0 ) )
7 atansopn.s . . . . . . . . . . . 12  |-  S  =  { y  e.  CC  |  ( 1  +  ( y ^ 2 ) )  e.  D }
86, 7atansssdm 20229 . . . . . . . . . . 11  |-  S  C_  dom arctan
9 simpr 447 . . . . . . . . . . 11  |-  ( (  T.  /\  x  e.  S )  ->  x  e.  S )
108, 9sseldi 3178 . . . . . . . . . 10  |-  ( (  T.  /\  x  e.  S )  ->  x  e.  dom arctan )
11 atandm2 20173 . . . . . . . . . 10  |-  ( x  e.  dom arctan  <->  ( x  e.  CC  /\  ( 1  -  ( _i  x.  x ) )  =/=  0  /\  ( 1  +  ( _i  x.  x ) )  =/=  0 ) )
1210, 11sylib 188 . . . . . . . . 9  |-  ( (  T.  /\  x  e.  S )  ->  (
x  e.  CC  /\  ( 1  -  (
_i  x.  x )
)  =/=  0  /\  ( 1  +  ( _i  x.  x ) )  =/=  0 ) )
1312simp1d 967 . . . . . . . 8  |-  ( (  T.  /\  x  e.  S )  ->  x  e.  CC )
14 mulcl 8821 . . . . . . . 8  |-  ( ( _i  e.  CC  /\  x  e.  CC )  ->  ( _i  x.  x
)  e.  CC )
155, 13, 14sylancr 644 . . . . . . 7  |-  ( (  T.  /\  x  e.  S )  ->  (
_i  x.  x )  e.  CC )
16 subcl 9051 . . . . . . 7  |-  ( ( 1  e.  CC  /\  ( _i  x.  x
)  e.  CC )  ->  ( 1  -  ( _i  x.  x
) )  e.  CC )
174, 15, 16sylancr 644 . . . . . 6  |-  ( (  T.  /\  x  e.  S )  ->  (
1  -  ( _i  x.  x ) )  e.  CC )
1812simp2d 968 . . . . . 6  |-  ( (  T.  /\  x  e.  S )  ->  (
1  -  ( _i  x.  x ) )  =/=  0 )
19 logcl 19926 . . . . . 6  |-  ( ( ( 1  -  (
_i  x.  x )
)  e.  CC  /\  ( 1  -  (
_i  x.  x )
)  =/=  0 )  ->  ( log `  (
1  -  ( _i  x.  x ) ) )  e.  CC )
2017, 18, 19syl2anc 642 . . . . 5  |-  ( (  T.  /\  x  e.  S )  ->  ( log `  ( 1  -  ( _i  x.  x
) ) )  e.  CC )
21 addcl 8819 . . . . . . 7  |-  ( ( 1  e.  CC  /\  ( _i  x.  x
)  e.  CC )  ->  ( 1  +  ( _i  x.  x
) )  e.  CC )
224, 15, 21sylancr 644 . . . . . 6  |-  ( (  T.  /\  x  e.  S )  ->  (
1  +  ( _i  x.  x ) )  e.  CC )
2312simp3d 969 . . . . . 6  |-  ( (  T.  /\  x  e.  S )  ->  (
1  +  ( _i  x.  x ) )  =/=  0 )
24 logcl 19926 . . . . . 6  |-  ( ( ( 1  +  ( _i  x.  x ) )  e.  CC  /\  ( 1  +  ( _i  x.  x ) )  =/=  0 )  ->  ( log `  (
1  +  ( _i  x.  x ) ) )  e.  CC )
2522, 23, 24syl2anc 642 . . . . 5  |-  ( (  T.  /\  x  e.  S )  ->  ( log `  ( 1  +  ( _i  x.  x
) ) )  e.  CC )
2620, 25subcld 9157 . . . 4  |-  ( (  T.  /\  x  e.  S )  ->  (
( log `  (
1  -  ( _i  x.  x ) ) )  -  ( log `  ( 1  +  ( _i  x.  x ) ) ) )  e.  CC )
27 ovex 5883 . . . . 5  |-  ( ( 2  /  _i )  /  ( 1  +  ( x ^ 2 ) ) )  e. 
_V
2827a1i 10 . . . 4  |-  ( (  T.  /\  x  e.  S )  ->  (
( 2  /  _i )  /  ( 1  +  ( x ^ 2 ) ) )  e. 
_V )
29 ovex 5883 . . . . . . 7  |-  ( 1  /  ( x  +  _i ) )  e.  _V
3029a1i 10 . . . . . 6  |-  ( (  T.  /\  x  e.  S )  ->  (
1  /  ( x  +  _i ) )  e.  _V )
316, 7atans2 20227 . . . . . . . . . 10  |-  ( x  e.  S  <->  ( x  e.  CC  /\  ( 1  -  ( _i  x.  x ) )  e.  D  /\  ( 1  +  ( _i  x.  x ) )  e.  D ) )
3231simp2bi 971 . . . . . . . . 9  |-  ( x  e.  S  ->  (
1  -  ( _i  x.  x ) )  e.  D )
3332adantl 452 . . . . . . . 8  |-  ( (  T.  /\  x  e.  S )  ->  (
1  -  ( _i  x.  x ) )  e.  D )
34 negex 9050 . . . . . . . . 9  |-  -u _i  e.  _V
3534a1i 10 . . . . . . . 8  |-  ( (  T.  /\  x  e.  S )  ->  -u _i  e.  _V )
366logdmss 19989 . . . . . . . . . 10  |-  D  C_  ( CC  \  { 0 } )
37 simpr 447 . . . . . . . . . 10  |-  ( (  T.  /\  y  e.  D )  ->  y  e.  D )
3836, 37sseldi 3178 . . . . . . . . 9  |-  ( (  T.  /\  y  e.  D )  ->  y  e.  ( CC  \  {
0 } ) )
39 logf1o 19922 . . . . . . . . . . 11  |-  log :
( CC  \  {
0 } ) -1-1-onto-> ran  log
40 f1of 5472 . . . . . . . . . . 11  |-  ( log
: ( CC  \  { 0 } ) -1-1-onto-> ran 
log  ->  log : ( CC 
\  { 0 } ) --> ran  log )
4139, 40ax-mp 8 . . . . . . . . . 10  |-  log :
( CC  \  {
0 } ) --> ran 
log
4241ffvelrni 5664 . . . . . . . . 9  |-  ( y  e.  ( CC  \  { 0 } )  ->  ( log `  y
)  e.  ran  log )
43 logrncn 19920 . . . . . . . . 9  |-  ( ( log `  y )  e.  ran  log  ->  ( log `  y )  e.  CC )
4438, 42, 433syl 18 . . . . . . . 8  |-  ( (  T.  /\  y  e.  D )  ->  ( log `  y )  e.  CC )
45 ovex 5883 . . . . . . . . 9  |-  ( 1  /  y )  e. 
_V
4645a1i 10 . . . . . . . 8  |-  ( (  T.  /\  y  e.  D )  ->  (
1  /  y )  e.  _V )
475a1i 10 . . . . . . . . . . 11  |-  (  T. 
->  _i  e.  CC )
4847, 14sylan 457 . . . . . . . . . 10  |-  ( (  T.  /\  x  e.  CC )  ->  (
_i  x.  x )  e.  CC )
494, 48, 16sylancr 644 . . . . . . . . 9  |-  ( (  T.  /\  x  e.  CC )  ->  (
1  -  ( _i  x.  x ) )  e.  CC )
5034a1i 10 . . . . . . . . 9  |-  ( (  T.  /\  x  e.  CC )  ->  -u _i  e.  _V )
514a1i 10 . . . . . . . . . . 11  |-  ( (  T.  /\  x  e.  CC )  ->  1  e.  CC )
52 0cn 8831 . . . . . . . . . . . 12  |-  0  e.  CC
5352a1i 10 . . . . . . . . . . 11  |-  ( (  T.  /\  x  e.  CC )  ->  0  e.  CC )
544a1i 10 . . . . . . . . . . . 12  |-  (  T. 
->  1  e.  CC )
553, 54dvmptc 19307 . . . . . . . . . . 11  |-  (  T. 
->  ( CC  _D  (
x  e.  CC  |->  1 ) )  =  ( x  e.  CC  |->  0 ) )
565a1i 10 . . . . . . . . . . 11  |-  ( (  T.  /\  x  e.  CC )  ->  _i  e.  CC )
57 simpr 447 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( (  T.  /\  x  e.  CC )  ->  x  e.  CC )
583dvmptid 19306 . . . . . . . . . . . . 13  |-  (  T. 
->  ( CC  _D  (
x  e.  CC  |->  x ) )  =  ( x  e.  CC  |->  1 ) )
593, 57, 51, 58, 47dvmptcmul 19313 . . . . . . . . . . . 12  |-  (  T. 
->  ( CC  _D  (
x  e.  CC  |->  ( _i  x.  x ) ) )  =  ( x  e.  CC  |->  ( _i  x.  1 ) ) )
605mulid1i 8839 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( _i  x.  1 )  =  _i
6160mpteq2i 4103 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( x  e.  CC  |->  ( _i  x.  1 ) )  =  ( x  e.  CC  |->  _i )
6259, 61syl6eq 2331 . . . . . . . . . . 11  |-  (  T. 
->  ( CC  _D  (
x  e.  CC  |->  ( _i  x.  x ) ) )  =  ( x  e.  CC  |->  _i ) )
633, 51, 53, 55, 48, 56, 62dvmptsub 19316 . . . . . . . . . 10  |-  (  T. 
->  ( CC  _D  (
x  e.  CC  |->  ( 1  -  ( _i  x.  x ) ) ) )  =  ( x  e.  CC  |->  ( 0  -  _i ) ) )
64 df-neg 9040 . . . . . . . . . . 11  |-  -u _i  =  ( 0  -  _i )
6564mpteq2i 4103 . . . . . . . . . 10  |-  ( x  e.  CC  |->  -u _i )  =  ( x  e.  CC  |->  ( 0  -  _i ) )
6663, 65syl6eqr 2333 . . . . . . . . 9  |-  (  T. 
->  ( CC  _D  (
x  e.  CC  |->  ( 1  -  ( _i  x.  x ) ) ) )  =  ( x  e.  CC  |->  -u _i ) )
67 eqid 2283 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( TopOpen ` fld )  =  ( TopOpen ` fld )
6867cnfldtopon 18292 . . . . . . . . . . 11  |-  ( TopOpen ` fld )  e.  (TopOn `  CC )
696, 7atansopn 20228 . . . . . . . . . . 11  |-  S  e.  ( TopOpen ` fld )
70 toponss 16667 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( TopOpen ` fld )  e.  (TopOn `  CC )  /\  S  e.  ( TopOpen ` fld ) )  ->  S  C_  CC )
7168, 69, 70mp2an 653 . . . . . . . . . 10  |-  S  C_  CC
7271a1i 10 . . . . . . . . 9  |-  (  T. 
->  S  C_  CC )
7367cnfldtop 18293 . . . . . . . . . . 11  |-  ( TopOpen ` fld )  e.  Top
7468toponunii 16670 . . . . . . . . . . . 12  |-  CC  =  U. ( TopOpen ` fld )
7574restid 13338 . . . . . . . . . . 11  |-  ( (
TopOpen ` fld )  e.  Top  ->  ( ( TopOpen ` fld )t  CC )  =  (
TopOpen ` fld ) )
7673, 75ax-mp 8 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
TopOpen ` fld )t  CC )  =  (
TopOpen ` fld )
7776eqcomi 2287 . . . . . . . . 9  |-  ( TopOpen ` fld )  =  ( ( TopOpen ` fld )t  CC )
7869a1i 10 . . . . . . . . 9  |-  (  T. 
->  S  e.  ( TopOpen
` fld
) )
793, 49, 50, 66, 72, 77, 67, 78dvmptres 19312 . . . . . . . 8  |-  (  T. 
->  ( CC  _D  (
x  e.  S  |->  ( 1  -  ( _i  x.  x ) ) ) )  =  ( x  e.  S  |->  -u _i ) )
80 fssres 5408 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( log : ( CC 
\  { 0 } ) --> ran  log  /\  D  C_  ( CC  \  {
0 } ) )  ->  ( log  |`  D ) : D --> ran  log )
8141, 36, 80mp2an 653 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( log  |`  D ) : D --> ran  log
8281a1i 10 . . . . . . . . . . . 12  |-  (  T. 
->  ( log  |`  D ) : D --> ran  log )
8382feqmptd 5575 . . . . . . . . . . 11  |-  (  T. 
->  ( log  |`  D )  =  ( y  e.  D  |->  ( ( log  |`  D ) `  y
) ) )
84 fvres 5542 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( y  e.  D  ->  (
( log  |`  D ) `
 y )  =  ( log `  y
) )
8584mpteq2ia 4102 . . . . . . . . . . 11  |-  ( y  e.  D  |->  ( ( log  |`  D ) `  y ) )  =  ( y  e.  D  |->  ( log `  y
) )
8683, 85syl6req 2332 . . . . . . . . . 10  |-  (  T. 
->  ( y  e.  D  |->  ( log `  y
) )  =  ( log  |`  D )
)
8786oveq2d 5874 . . . . . . . . 9  |-  (  T. 
->  ( CC  _D  (
y  e.  D  |->  ( log `  y ) ) )  =  ( CC  _D  ( log  |`  D ) ) )
886dvlog 19998 . . . . . . . . 9  |-  ( CC 
_D  ( log  |`  D ) )  =  ( y  e.  D  |->  ( 1  /  y ) )
8987, 88syl6eq 2331 . . . . . . . 8  |-  (  T. 
->  ( CC  _D  (
y  e.  D  |->  ( log `  y ) ) )  =  ( y  e.  D  |->  ( 1  /  y ) ) )
90 fveq2 5525 . . . . . . . 8  |-  ( y  =  ( 1  -  ( _i  x.  x
) )  ->  ( log `  y )  =  ( log `  (
1  -  ( _i  x.  x ) ) ) )
91 oveq2 5866 . . . . . . . 8  |-  ( y  =  ( 1  -  ( _i  x.  x
) )  ->  (
1  /  y )  =  ( 1  / 
( 1  -  (
_i  x.  x )
) ) )
923, 3, 33, 35, 44, 46, 79, 89, 90, 91dvmptco 19321 . . . . . . 7  |-  (  T. 
->  ( CC  _D  (
x  e.  S  |->  ( log `  ( 1  -  ( _i  x.  x ) ) ) ) )  =  ( x  e.  S  |->  ( ( 1  /  (
1  -  ( _i  x.  x ) ) )  x.  -u _i ) ) )
93 irec 11202 . . . . . . . . . 10  |-  ( 1  /  _i )  = 
-u _i
9493oveq2i 5869 . . . . . . . . 9  |-  ( ( 1  /  ( 1  -  ( _i  x.  x ) ) )  x.  ( 1  /  _i ) )  =  ( ( 1  /  (
1  -  ( _i  x.  x ) ) )  x.  -u _i )
955a1i 10 . . . . . . . . . . 11  |-  ( (  T.  /\  x  e.  S )  ->  _i  e.  CC )
96 ine0 9215 . . . . . . . . . . . 12  |-  _i  =/=  0
9796a1i 10 . . . . . . . . . . 11  |-  ( (  T.  /\  x  e.  S )  ->  _i  =/=  0 )
9817, 95, 18, 97recdiv2d 9554 . . . . . . . . . 10  |-  ( (  T.  /\  x  e.  S )  ->  (
( 1  /  (
1  -  ( _i  x.  x ) ) )  /  _i )  =  ( 1  / 
( ( 1  -  ( _i  x.  x
) )  x.  _i ) ) )
9917, 18reccld 9529 . . . . . . . . . . 11  |-  ( (  T.  /\  x  e.  S )  ->  (
1  /  ( 1  -  ( _i  x.  x ) ) )  e.  CC )
10099, 95, 97divrecd 9539 . . . . . . . . . 10  |-  ( (  T.  /\  x  e.  S )  ->  (
( 1  /  (
1  -  ( _i  x.  x ) ) )  /  _i )  =  ( ( 1  /  ( 1  -  ( _i  x.  x
) ) )  x.  ( 1  /  _i ) ) )
1014a1i 10 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( (  T.  /\  x  e.  S )  ->  1  e.  CC )
102101, 15, 95subdird 9236 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( (  T.  /\  x  e.  S )  ->  (
( 1  -  (
_i  x.  x )
)  x.  _i )  =  ( ( 1  x.  _i )  -  ( ( _i  x.  x )  x.  _i ) ) )
1035mulid2i 8840 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( 1  x.  _i )  =  _i
104103a1i 10 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( (  T.  /\  x  e.  S )  ->  (
1  x.  _i )  =  _i )
10595, 13, 95mul32d 9022 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( (  T.  /\  x  e.  S )  ->  (
( _i  x.  x
)  x.  _i )  =  ( ( _i  x.  _i )  x.  x ) )
106 ixi 9397 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( _i  x.  _i )  = 
-u 1
107106oveq1i 5868 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( _i  x.  _i )  x.  x )  =  ( -u 1  x.  x )
10813mulm1d 9231 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( (  T.  /\  x  e.  S )  ->  ( -u 1  x.  x )  =  -u x )
109107, 108syl5eq 2327 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( (  T.  /\  x  e.  S )  ->  (
( _i  x.  _i )  x.  x )  =  -u x )
110105, 109eqtrd 2315 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( (  T.  /\  x  e.  S )  ->  (
( _i  x.  x
)  x.  _i )  =  -u x )
111104, 110oveq12d 5876 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( (  T.  /\  x  e.  S )  ->  (
( 1  x.  _i )  -  ( (
_i  x.  x )  x.  _i ) )  =  ( _i  -  -u x
) )
112 subneg 9096 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( _i  e.  CC  /\  x  e.  CC )  ->  ( _i  -  -u x
)  =  ( _i  +  x ) )
1135, 13, 112sylancr 644 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( (  T.  /\  x  e.  S )  ->  (
_i  -  -u x )  =  ( _i  +  x ) )
114102, 111, 1133eqtrd 2319 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( (  T.  /\  x  e.  S )  ->  (
( 1  -  (
_i  x.  x )
)  x.  _i )  =  ( _i  +  x ) )
115 addcom 8998 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( _i  e.  CC  /\  x  e.  CC )  ->  ( _i  +  x
)  =  ( x  +  _i ) )
1165, 13, 115sylancr 644 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( (  T.  /\  x  e.  S )  ->  (
_i  +  x )  =  ( x  +  _i ) )
117114, 116eqtrd 2315 . . . . . . . . . . 11  |-  ( (  T.  /\  x  e.  S )  ->  (
( 1  -  (
_i  x.  x )
)  x.  _i )  =  ( x  +  _i ) )
118117oveq2d 5874 . . . . . . . . . 10  |-  ( (  T.  /\  x  e.  S )  ->  (
1  /  ( ( 1  -  ( _i  x.  x ) )  x.  _i ) )  =  ( 1  / 
( x  +  _i ) ) )
11998, 100, 1183eqtr3d 2323 . . . . . . . . 9  |-  ( (  T.  /\  x  e.  S )  ->  (
( 1  /  (
1  -  ( _i  x.  x ) ) )  x.  ( 1  /  _i ) )  =  ( 1  / 
( x  +  _i ) ) )
12094, 119syl5eqr 2329 . . . . . . . 8  |-  ( (  T.  /\  x  e.  S )  ->  (
( 1  /  (
1  -  ( _i  x.  x ) ) )  x.  -u _i )  =  ( 1  /  ( x  +  _i ) ) )
121120mpteq2dva 4106 . . . . . . 7  |-  (  T. 
->  ( x  e.  S  |->  ( ( 1  / 
( 1  -  (
_i  x.  x )
) )  x.  -u _i ) )  =  ( x  e.  S  |->  ( 1  /  ( x  +  _i ) ) ) )
12292, 121eqtrd 2315 . . . . . 6  |-  (  T. 
->  ( CC  _D  (
x  e.  S  |->  ( log `  ( 1  -  ( _i  x.  x ) ) ) ) )  =  ( x  e.  S  |->  ( 1  /  ( x  +  _i ) ) ) )
123 ovex 5883 . . . . . . 7  |-  ( 1  /  ( x  -  _i ) )  e.  _V
124123a1i 10 . . . . . 6  |-  ( (  T.  /\  x  e.  S )  ->  (
1  /  ( x  -  _i ) )  e.  _V )
12531simp3bi 972 . . . . . . . . 9  |-  ( x  e.  S  ->  (
1  +  ( _i  x.  x ) )  e.  D )
126125adantl 452 . . . . . . . 8  |-  ( (  T.  /\  x  e.  S )  ->  (
1  +  ( _i  x.  x ) )  e.  D )
1274, 48, 21sylancr 644 . . . . . . . . 9  |-  ( (  T.  /\  x  e.  CC )  ->  (
1  +  ( _i  x.  x ) )  e.  CC )
1283, 51, 53, 55, 48, 56, 62dvmptadd 19309 . . . . . . . . . 10  |-  (  T. 
->  ( CC  _D  (
x  e.  CC  |->  ( 1  +  ( _i  x.  x ) ) ) )  =  ( x  e.  CC  |->  ( 0  +  _i ) ) )
1295addid2i 9000 . . . . . . . . . . 11  |-  ( 0  +  _i )  =  _i
130129mpteq2i 4103 . . . . . . . . . 10  |-  ( x  e.  CC  |->  ( 0  +  _i ) )  =  ( x  e.  CC  |->  _i )
131128, 130syl6eq 2331 . . . . . . . . 9  |-  (  T. 
->  ( CC  _D  (
x  e.  CC  |->  ( 1  +  ( _i  x.  x ) ) ) )  =  ( x  e.  CC  |->  _i ) )
1323, 127, 56, 131, 72, 77, 67, 78dvmptres 19312 . . . . . . . 8  |-  (  T. 
->  ( CC  _D  (
x  e.  S  |->  ( 1  +  ( _i  x.  x ) ) ) )  =  ( x  e.  S  |->  _i ) )
133 fveq2 5525 . . . . . . . 8  |-  ( y  =  ( 1  +  ( _i  x.  x
) )  ->  ( log `  y )  =  ( log `  (
1  +  ( _i  x.  x ) ) ) )
134 oveq2 5866 . . . . . . . 8  |-  ( y  =  ( 1  +  ( _i  x.  x
) )  ->  (
1  /  y )  =  ( 1  / 
( 1  +  ( _i  x.  x ) ) ) )
1353, 3, 126, 95, 44, 46, 132, 89, 133, 134dvmptco 19321 . . . . . . 7  |-  (  T. 
->  ( CC  _D  (
x  e.  S  |->  ( log `  ( 1  +  ( _i  x.  x ) ) ) ) )  =  ( x  e.  S  |->  ( ( 1  /  (
1  +  ( _i  x.  x ) ) )  x.  _i ) ) )
136101, 22, 95, 23, 97divdiv2d 9568 . . . . . . . . 9  |-  ( (  T.  /\  x  e.  S )  ->  (
1  /  ( ( 1  +  ( _i  x.  x ) )  /  _i ) )  =  ( ( 1  x.  _i )  / 
( 1  +  ( _i  x.  x ) ) ) )
137101, 15, 95, 97divdird 9574 . . . . . . . . . . 11  |-  ( (  T.  /\  x  e.  S )  ->  (
( 1  +  ( _i  x.  x ) )  /  _i )  =  ( ( 1  /  _i )  +  ( ( _i  x.  x )  /  _i ) ) )
13893a1i 10 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( (  T.  /\  x  e.  S )  ->  (
1  /  _i )  =  -u _i )
13913, 95, 97divcan3d 9541 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( (  T.  /\  x  e.  S )  ->  (
( _i  x.  x
)  /  _i )  =  x )
140138, 139oveq12d 5876 . . . . . . . . . . 11  |-  ( (  T.  /\  x  e.  S )  ->  (
( 1  /  _i )  +  ( (
_i  x.  x )  /  _i ) )  =  ( -u _i  +  x ) )
1415negcli 9114 . . . . . . . . . . . . 13  |-  -u _i  e.  CC
142 addcom 8998 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( (
-u _i  e.  CC  /\  x  e.  CC )  ->  ( -u _i  +  x )  =  ( x  +  -u _i ) )
143141, 13, 142sylancr 644 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( (  T.  /\  x  e.  S )  ->  ( -u _i  +  x )  =  ( x  +  -u _i ) )
144 negsub 9095 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( x  e.  CC  /\  _i  e.  CC )  -> 
( x  +  -u _i )  =  (
x  -  _i ) )
14513, 5, 144sylancl 643 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( (  T.  /\  x  e.  S )  ->  (
x  +  -u _i )  =  ( x  -  _i ) )
146143, 145eqtrd 2315 . . . . . . . . . . 11  |-  ( (  T.  /\  x  e.  S )  ->  ( -u _i  +  x )  =  ( x  -  _i ) )
147137, 140, 1463eqtrd 2319 . . . . . . . . . 10  |-  ( (  T.  /\  x  e.  S )  ->  (
( 1  +  ( _i  x.  x ) )  /  _i )  =  ( x  -  _i ) )
148147oveq2d 5874 . . . . . . . . 9  |-  ( (  T.  /\  x  e.  S )  ->  (
1  /  ( ( 1  +  ( _i  x.  x ) )  /  _i ) )  =  ( 1  / 
( x  -  _i ) ) )
149101, 95, 22, 23div23d 9573 . . . . . . . . 9  |-  ( (  T.  /\  x  e.  S )  ->  (
( 1  x.  _i )  /  ( 1  +  ( _i  x.  x
) ) )  =  ( ( 1  / 
( 1  +  ( _i  x.  x ) ) )  x.  _i ) )
150136, 148, 1493eqtr3rd 2324 . . . . . . . 8  |-  ( (  T.  /\  x  e.  S )  ->  (
( 1  /  (
1  +  ( _i  x.  x ) ) )  x.  _i )  =  ( 1  / 
( x  -  _i ) ) )
151150mpteq2dva 4106 . . . . . . 7  |-  (  T. 
->  ( x  e.  S  |->  ( ( 1  / 
( 1  +  ( _i  x.  x ) ) )  x.  _i ) )  =  ( x  e.  S  |->  ( 1  /  ( x  -  _i ) ) ) )
152135, 151eqtrd 2315 . . . . . 6  |-  (  T. 
->  ( CC  _D  (
x  e.  S  |->  ( log `  ( 1  +  ( _i  x.  x ) ) ) ) )  =  ( x  e.  S  |->  ( 1  /  ( x  -  _i ) ) ) )
1533, 20, 30, 122, 25, 124, 152dvmptsub 19316 . . . . 5  |-  (  T. 
->  ( CC  _D  (
x  e.  S  |->  ( ( log `  (
1  -  ( _i  x.  x ) ) )  -  ( log `  ( 1  +  ( _i  x.  x ) ) ) ) ) )  =  ( x  e.  S  |->  ( ( 1  /  ( x  +  _i ) )  -  ( 1  / 
( x  -  _i ) ) ) ) )
154 subcl 9051 . . . . . . . . 9  |-  ( ( x  e.  CC  /\  _i  e.  CC )  -> 
( x  -  _i )  e.  CC )
15513, 5, 154sylancl 643 . . . . . . . 8  |-  ( (  T.  /\  x  e.  S )  ->  (
x  -  _i )  e.  CC )
156 addcl 8819 . . . . . . . . 9  |-  ( ( x  e.  CC  /\  _i  e.  CC )  -> 
( x  +  _i )  e.  CC )
15713, 5, 156sylancl 643 . . . . . . . 8  |-  ( (  T.  /\  x  e.  S )  ->  (
x  +  _i )  e.  CC )
15813sqcld 11243 . . . . . . . . 9  |-  ( (  T.  /\  x  e.  S )  ->  (
x ^ 2 )  e.  CC )
159 addcl 8819 . . . . . . . . 9  |-  ( ( 1  e.  CC  /\  ( x ^ 2 )  e.  CC )  ->  ( 1  +  ( x ^ 2 ) )  e.  CC )
1604, 158, 159sylancr 644 . . . . . . . 8  |-  ( (  T.  /\  x  e.  S )  ->  (
1  +  ( x ^ 2 ) )  e.  CC )
161 atandm4 20175 . . . . . . . . . 10  |-  ( x  e.  dom arctan  <->  ( x  e.  CC  /\  ( 1  +  ( x ^
2 ) )  =/=  0 ) )
162161simprbi 450 . . . . . . . . 9  |-  ( x  e.  dom arctan  ->  ( 1  +  ( x ^
2 ) )  =/=  0 )
16310, 162syl 15 . . . . . . . 8  |-  ( (  T.  /\  x  e.  S )  ->  (
1  +  ( x ^ 2 ) )  =/=  0 )
164155, 157, 160, 163divsubdird 9575 . . . . . . 7  |-  ( (  T.  /\  x  e.  S )  ->  (
( ( x  -  _i )  -  (
x  +  _i ) )  /  ( 1  +  ( x ^
2 ) ) )  =  ( ( ( x  -  _i )  /  ( 1  +  ( x ^ 2 ) ) )  -  ( ( x  +  _i )  /  (
1  +  ( x ^ 2 ) ) ) ) )
165145oveq1d 5873 . . . . . . . . . 10  |-  ( (  T.  /\  x  e.  S )  ->  (
( x  +  -u _i )  -  (
x  +  _i ) )  =  ( ( x  -  _i )  -  ( x  +  _i ) ) )
166141a1i 10 . . . . . . . . . . 11  |-  ( (  T.  /\  x  e.  S )  ->  -u _i  e.  CC )
16713, 166, 95pnpcand 9194 . . . . . . . . . 10  |-  ( (  T.  /\  x  e.  S )  ->  (
( x  +  -u _i )  -  (
x  +  _i ) )  =  ( -u _i  -  _i ) )
168165, 167eqtr3d 2317 . . . . . . . . 9  |-  ( (  T.  /\  x  e.  S )  ->  (
( x  -  _i )  -  ( x  +  _i ) )  =  ( -u _i  -  _i ) )
169 2cn 9816 . . . . . . . . . . . 12  |-  2  e.  CC
170169, 5, 96divreci 9505 . . . . . . . . . . 11  |-  ( 2  /  _i )  =  ( 2  x.  (
1  /  _i ) )
17193oveq2i 5869 . . . . . . . . . . 11  |-  ( 2  x.  ( 1  /  _i ) )  =  ( 2  x.  -u _i )
172170, 171eqtri 2303 . . . . . . . . . 10  |-  ( 2  /  _i )  =  ( 2  x.  -u _i )
1731412timesi 9845 . . . . . . . . . 10  |-  ( 2  x.  -u _i )  =  ( -u _i  +  -u _i )
174141, 5negsubi 9124 . . . . . . . . . 10  |-  ( -u _i  +  -u _i )  =  ( -u _i  -  _i )
175172, 173, 1743eqtri 2307 . . . . . . . . 9  |-  ( 2  /  _i )  =  ( -u _i  -  _i )
176168, 175syl6eqr 2333 . . . . . . . 8  |-  ( (  T.  /\  x  e.  S )  ->  (
( x  -  _i )  -  ( x  +  _i ) )  =  ( 2  /  _i ) )
177176oveq1d 5873 . . . . . . 7  |-  ( (  T.  /\  x  e.  S )  ->  (
( ( x  -  _i )  -  (
x  +  _i ) )  /  ( 1  +  ( x ^
2 ) ) )  =  ( ( 2  /  _i )  / 
( 1  +  ( x ^ 2 ) ) ) )
178155mulid1d 8852 . . . . . . . . . 10  |-  ( (  T.  /\  x  e.  S )  ->  (
( x  -  _i )  x.  1 )  =  ( x  -  _i ) )
179155, 157mulcomd 8856 . . . . . . . . . . 11  |-  ( (  T.  /\  x  e.  S )  ->  (
( x  -  _i )  x.  ( x  +  _i ) )  =  ( ( x  +  _i )  x.  (
x  -  _i ) ) )
180 i2 11203 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( _i
^ 2 )  = 
-u 1
181180oveq2i 5869 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( x ^ 2 )  -  ( _i ^
2 ) )  =  ( ( x ^
2 )  -  -u 1
)
182 subneg 9096 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( x ^ 2 )  e.  CC  /\  1  e.  CC )  ->  ( ( x ^
2 )  -  -u 1
)  =  ( ( x ^ 2 )  +  1 ) )
183158, 4, 182sylancl 643 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( (  T.  /\  x  e.  S )  ->  (
( x ^ 2 )  -  -u 1
)  =  ( ( x ^ 2 )  +  1 ) )
184181, 183syl5eq 2327 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( (  T.  /\  x  e.  S )  ->  (
( x ^ 2 )  -  ( _i
^ 2 ) )  =  ( ( x ^ 2 )  +  1 ) )
185 subsq 11210 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( x  e.  CC  /\  _i  e.  CC )  -> 
( ( x ^
2 )  -  (
_i ^ 2 ) )  =  ( ( x  +  _i )  x.  ( x  -  _i ) ) )
18613, 5, 185sylancl 643 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( (  T.  /\  x  e.  S )  ->  (
( x ^ 2 )  -  ( _i
^ 2 ) )  =  ( ( x  +  _i )  x.  ( x  -  _i ) ) )
187 addcom 8998 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( x ^ 2 )  e.  CC  /\  1  e.  CC )  ->  ( ( x ^
2 )  +  1 )  =  ( 1  +  ( x ^
2 ) ) )
188158, 4, 187sylancl 643 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( (  T.  /\  x  e.  S )  ->  (
( x ^ 2 )  +  1 )  =  ( 1  +  ( x ^ 2 ) ) )
189184, 186, 1883eqtr3d 2323 . . . . . . . . . . 11  |-  ( (  T.  /\  x  e.  S )  ->  (
( x  +  _i )  x.  ( x  -  _i ) )  =  ( 1  +  ( x ^ 2 ) ) )
190179, 189eqtrd 2315 . . . . . . . . . 10  |-  ( (  T.  /\  x  e.  S )  ->  (
( x  -  _i )  x.  ( x  +  _i ) )  =  ( 1  +  ( x ^ 2 ) ) )
191178, 190oveq12d 5876 . . . . . . . . 9  |-  ( (  T.  /\  x  e.  S )  ->  (
( ( x  -  _i )  x.  1
)  /  ( ( x  -  _i )  x.  ( x  +  _i ) ) )  =  ( ( x  -  _i )  /  (
1  +  ( x ^ 2 ) ) ) )
192 subneg 9096 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( x  e.  CC  /\  _i  e.  CC )  -> 
( x  -  -u _i )  =  ( x  +  _i ) )
19313, 5, 192sylancl 643 . . . . . . . . . . 11  |-  ( (  T.  /\  x  e.  S )  ->  (
x  -  -u _i )  =  ( x  +  _i ) )
194 atandm 20172 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( x  e.  dom arctan  <->  ( x  e.  CC  /\  x  =/=  -u _i  /\  x  =/=  _i ) )
19510, 194sylib 188 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( (  T.  /\  x  e.  S )  ->  (
x  e.  CC  /\  x  =/=  -u _i  /\  x  =/=  _i ) )
196195simp2d 968 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( (  T.  /\  x  e.  S )  ->  x  =/=  -u _i )
197 subeq0 9073 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( x  e.  CC  /\  -u _i  e.  CC )  ->  ( ( x  -  -u _i )  =  0  <->  x  =  -u _i ) )
198197necon3bid 2481 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( x  e.  CC  /\  -u _i  e.  CC )  ->  ( ( x  -  -u _i )  =/=  0  <->  x  =/=  -u _i ) )
19913, 141, 198sylancl 643 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( (  T.  /\  x  e.  S )  ->  (
( x  -  -u _i )  =/=  0  <->  x  =/=  -u _i ) )
200196, 199mpbird 223 . . . . . . . . . . 11  |-  ( (  T.  /\  x  e.  S )  ->  (
x  -  -u _i )  =/=  0 )
201193, 200eqnetrrd 2466 . . . . . . . . . 10  |-  ( (  T.  /\  x  e.  S )  ->  (
x  +  _i )  =/=  0 )
202195simp3d 969 . . . . . . . . . . 11  |-  ( (  T.  /\  x  e.  S )  ->  x  =/=  _i )
203 subeq0 9073 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( x  e.  CC  /\  _i  e.  CC )  -> 
( ( x  -  _i )  =  0  <->  x  =  _i ) )
204203necon3bid 2481 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( x  e.  CC  /\  _i  e.  CC )  -> 
( ( x  -  _i )  =/=  0  <->  x  =/=  _i ) )
20513, 5, 204sylancl 643 . . . . . . . . . . 11  |-  ( (  T.  /\  x  e.  S )  ->  (
( x  -  _i )  =/=  0  <->  x  =/=  _i ) )
206202, 205mpbird 223 . . . . . . . . . 10  |-  ( (  T.  /\  x  e.  S )  ->  (
x  -  _i )  =/=  0 )
207101, 157, 155, 201, 206divcan5d 9562 . . . . . . . . 9  |-  ( (  T.  /\  x  e.  S )  ->  (
( ( x  -  _i )  x.  1
)  /  ( ( x  -  _i )  x.  ( x  +  _i ) ) )  =  ( 1  /  (
x  +  _i ) ) )
208191, 207eqtr3d 2317 . . . . . . . 8  |-  ( (  T.  /\  x  e.  S )  ->  (
( x  -  _i )  /  ( 1  +  ( x ^ 2 ) ) )  =  ( 1  /  (
x  +  _i ) ) )
209157mulid1d 8852 . . . . . . . . . 10  |-  ( (  T.  /\  x  e.  S )  ->  (
( x  +  _i )  x.  1 )  =  ( x  +  _i ) )
210209, 189oveq12d 5876 . . . . . . . . 9  |-  ( (  T.  /\  x  e.  S )  ->  (
( ( x  +  _i )  x.  1
)  /  ( ( x  +  _i )  x.  ( x  -  _i ) ) )  =  ( ( x  +  _i )  /  (
1  +  ( x ^ 2 ) ) ) )
211101, 155, 157, 206, 201divcan5d 9562 . . . . . . . . 9  |-  ( (  T.  /\  x  e.  S )  ->  (
( ( x  +  _i )  x.  1
)  /  ( ( x  +  _i )  x.  ( x  -  _i ) ) )  =  ( 1  /  (
x  -  _i ) ) )
212210, 211eqtr3d 2317 . . . . . . . 8  |-  ( (  T.  /\  x  e.  S )  ->  (
( x  +  _i )  /  ( 1  +  ( x ^ 2 ) ) )  =  ( 1  /  (
x  -  _i ) ) )
213208, 212oveq12d 5876 . . . . . . 7  |-  ( (  T.  /\  x  e.  S )  ->  (
( ( x  -  _i )  /  (
1  +  ( x ^ 2 ) ) )  -  ( ( x  +  _i )  /  ( 1  +  ( x ^ 2 ) ) ) )  =  ( ( 1  /  ( x  +  _i ) )  -  (
1  /  ( x  -  _i ) ) ) )
214164, 177, 2133eqtr3rd 2324 . . . . . 6  |-  ( (  T.  /\  x  e.  S )  ->  (
( 1  /  (
x  +  _i ) )  -  ( 1  /  ( x  -  _i ) ) )  =  ( ( 2  /  _i )  /  (
1  +  ( x ^ 2 ) ) ) )
215214mpteq2dva 4106 . . . . 5  |-  (  T. 
->  ( x  e.  S  |->  ( ( 1  / 
( x  +  _i ) )  -  (
1  /  ( x  -  _i ) ) ) )  =  ( x  e.  S  |->  ( ( 2  /  _i )  /  ( 1  +  ( x ^ 2 ) ) ) ) )
216153, 215eqtrd 2315 . . . 4  |-  (  T. 
->  ( CC  _D  (
x  e.  S  |->  ( ( log `  (
1  -  ( _i  x.  x ) ) )  -  ( log `  ( 1  +  ( _i  x.  x ) ) ) ) ) )  =  ( x  e.  S  |->  ( ( 2  /  _i )  /  ( 1  +  ( x ^ 2 ) ) ) ) )
217 halfcl 9937 . . . . 5  |-  ( _i  e.  CC  ->  (
_i  /  2 )  e.  CC )
2185, 217mp1i 11 . . . 4  |-  (  T. 
->  ( _i  /  2
)  e.  CC )
2193, 26, 28, 216, 218dvmptcmul 19313 . . 3  |-  (  T. 
->  ( CC  _D  (
x  e.  S  |->  ( ( _i  /  2
)  x.  ( ( log `  ( 1  -  ( _i  x.  x ) ) )  -  ( log `  (
1  +  ( _i  x.  x ) ) ) ) ) ) )  =  ( x  e.  S  |->  ( ( _i  /  2 )  x.  ( ( 2  /  _i )  / 
( 1  +  ( x ^ 2 ) ) ) ) ) )
220 df-atan 20163 . . . . . . 7  |- arctan  =  ( x  e.  ( CC 
\  { -u _i ,  _i } )  |->  ( ( _i  /  2
)  x.  ( ( log `  ( 1  -  ( _i  x.  x ) ) )  -  ( log `  (
1  +  ( _i  x.  x ) ) ) ) ) )
221220reseq1i 4951 . . . . . 6  |-  (arctan  |`  S )  =  ( ( x  e.  ( CC  \  { -u _i ,  _i } )  |->  ( ( _i  /  2 )  x.  ( ( log `  ( 1  -  (
_i  x.  x )
) )  -  ( log `  ( 1  +  ( _i  x.  x
) ) ) ) ) )  |`  S )
222 atanf 20176 . . . . . . . . 9  |- arctan : ( CC  \  { -u _i ,  _i }
) --> CC
223222fdmi 5394 . . . . . . . 8  |-  dom arctan  =  ( CC  \  { -u _i ,  _i }
)
2248, 223sseqtri 3210 . . . . . . 7  |-  S  C_  ( CC  \  { -u _i ,  _i }
)
225 resmpt 5000 . . . . . . 7  |-  ( S 
C_  ( CC  \  { -u _i ,  _i } )  ->  (
( x  e.  ( CC  \  { -u _i ,  _i }
)  |->  ( ( _i 
/  2 )  x.  ( ( log `  (
1  -  ( _i  x.  x ) ) )  -  ( log `  ( 1  +  ( _i  x.  x ) ) ) ) ) )  |`  S )  =  ( x  e.  S  |->  ( ( _i 
/  2 )  x.  ( ( log `  (
1  -  ( _i  x.  x ) ) )  -  ( log `  ( 1  +  ( _i  x.  x ) ) ) ) ) ) )
226224, 225ax-mp 8 . . . . . 6  |-  ( ( x  e.  ( CC 
\  { -u _i ,  _i } )  |->  ( ( _i  /  2
)  x.  ( ( log `  ( 1  -  ( _i  x.  x ) ) )  -  ( log `  (
1  +  ( _i  x.  x ) ) ) ) ) )  |`  S )  =  ( x  e.  S  |->  ( ( _i  /  2
)  x.  ( ( log `  ( 1  -  ( _i  x.  x ) ) )  -  ( log `  (
1  +  ( _i  x.  x ) ) ) ) ) )
227221, 226eqtri 2303 . . . . 5  |-  (arctan  |`  S )  =  ( x  e.  S  |->  ( ( _i 
/  2 )  x.  ( ( log `  (
1  -  ( _i  x.  x ) ) )  -  ( log `  ( 1  +  ( _i  x.  x ) ) ) ) ) )
228227a1i 10 . . . 4  |-  (  T. 
->  (arctan  |`  S )  =  ( x  e.  S  |->  ( ( _i  / 
2 )  x.  (
( log `  (
1  -  ( _i  x.  x ) ) )  -  ( log `  ( 1  +  ( _i  x.  x ) ) ) ) ) ) )
229228oveq2d 5874 . . 3  |-  (  T. 
->  ( CC  _D  (arctan  |`  S ) )  =  ( CC  _D  (
x  e.  S  |->  ( ( _i  /  2
)  x.  ( ( log `  ( 1  -  ( _i  x.  x ) ) )  -  ( log `  (
1  +  ( _i  x.  x ) ) ) ) ) ) ) )
230 2ne0 9829 . . . . . . 7  |-  2  =/=  0
231 divcan6 9467 . . . . . . 7  |-  ( ( ( _i  e.  CC  /\  _i  =/=  0 )  /\  ( 2  e.  CC  /\  2  =/=  0 ) )  -> 
( ( _i  / 
2 )  x.  (
2  /  _i ) )  =  1 )
2325, 96, 169, 230, 231mp4an 654 . . . . . 6  |-  ( ( _i  /  2 )  x.  ( 2  /  _i ) )  =  1
233232oveq1i 5868 . . . . 5  |-  ( ( ( _i  /  2
)  x.  ( 2  /  _i ) )  /  ( 1  +  ( x ^ 2 ) ) )  =  ( 1  /  (
1  +  ( x ^ 2 ) ) )
2345, 217mp1i 11 . . . . . 6  |-  ( (  T.  /\  x  e.  S )  ->  (
_i  /  2 )  e.  CC )
235169, 5, 96divcli 9502 . . . . . . 7  |-  ( 2  /  _i )  e.  CC
236235a1i 10 . . . . . 6  |-  ( (  T.  /\  x  e.  S )  ->  (
2  /  _i )  e.  CC )
237234, 236, 160, 163divassd 9571 . . . . 5  |-  ( (  T.  /\  x  e.  S )  ->  (
( ( _i  / 
2 )  x.  (
2  /  _i ) )  /  ( 1  +  ( x ^
2 ) ) )  =  ( ( _i 
/  2 )  x.  ( ( 2  /  _i )  /  (
1  +  ( x ^ 2 ) ) ) ) )
238233, 237syl5eqr 2329 . . . 4  |-  ( (  T.  /\  x  e.  S )  ->  (
1  /  ( 1  +  ( x ^
2 ) ) )  =  ( ( _i 
/  2 )  x.  ( ( 2  /  _i )  /  (
1  +  ( x ^ 2 ) ) ) ) )
239238mpteq2dva 4106 . . 3  |-  (  T. 
->  ( x  e.  S  |->  ( 1  /  (
1  +  ( x ^ 2 ) ) ) )  =  ( x  e.  S  |->  ( ( _i  /  2
)  x.  ( ( 2  /  _i )  /  ( 1  +  ( x ^ 2 ) ) ) ) ) )
240219, 229, 2393eqtr4d 2325 . 2  |-  (  T. 
->  ( CC  _D  (arctan  |`  S ) )  =  ( x  e.  S  |->  ( 1  /  (
1  +  ( x ^ 2 ) ) ) ) )
241240trud 1314 1  |-  ( CC 
_D  (arctan  |`  S ) )  =  ( x  e.  S  |->  ( 1  /  ( 1  +  ( x ^ 2 ) ) ) )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    <-> wb 176    /\ wa 358    /\ w3a 934    T. wtru 1307    = wceq 1623    e. wcel 1684    =/= wne 2446   {crab 2547   _Vcvv 2788    \ cdif 3149    C_ wss 3152   {csn 3640   {cpr 3641    e. cmpt 4077   dom cdm 4689   ran crn 4690    |` cres 4691   -->wf 5251   -1-1-onto->wf1o 5254   ` cfv 5255  (class class class)co 5858   CCcc 8735   RRcr 8736   0cc0 8737   1c1 8738   _ici 8739    + caddc 8740    x. cmul 8742    -oocmnf 8865    - cmin 9037   -ucneg 9038    / cdiv 9423   2c2 9795   (,]cioc 10657   ^cexp 11104   ↾t crest 13325   TopOpenctopn 13326  ℂfldccnfld 16377   Topctop 16631  TopOnctopon 16632    _D cdv 19213   logclog 19912  arctancatan 20160
This theorem is referenced by:  atancn  20232
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1533  ax-5 1544  ax-17 1603  ax-9 1635  ax-8 1643  ax-13 1686  ax-14 1688  ax-6 1703  ax-7 1708  ax-11 1715  ax-12 1866  ax-ext 2264  ax-rep 4131  ax-sep 4141  ax-nul 4149  ax-pow 4188  ax-pr 4214  ax-un 4512  ax-inf2 7342  ax-cnex 8793  ax-resscn 8794  ax-1cn 8795  ax-icn 8796  ax-addcl 8797  ax-addrcl 8798  ax-mulcl 8799  ax-mulrcl 8800  ax-mulcom 8801  ax-addass 8802  ax-mulass 8803  ax-distr 8804  ax-i2m1 8805  ax-1ne0 8806  ax-1rid 8807  ax-rnegex 8808  ax-rrecex 8809  ax-cnre 8810  ax-pre-lttri 8811  ax-pre-lttrn 8812  ax-pre-ltadd 8813  ax-pre-mulgt0 8814  ax-pre-sup 8815  ax-addf 8816  ax-mulf 8817
This theorem depends on definitions:  df-bi 177  df-or 359  df-an 360  df-3or 935  df-3an 936  df-tru 1310  df-ex 1529  df-nf 1532  df-sb 1630  df-eu 2147  df-mo 2148  df-clab 2270  df-cleq 2276  df-clel 2279  df-nfc 2408  df-ne 2448  df-nel 2449  df-ral 2548  df-rex 2549  df-reu 2550  df-rmo 2551  df-rab 2552  df-v 2790  df-sbc 2992  df-csb 3082  df-dif 3155  df-un 3157  df-in 3159  df-ss 3166  df-pss 3168  df-nul 3456  df-if 3566  df-pw 3627  df-sn 3646  df-pr 3647  df-tp 3648  df-op 3649  df-uni 3828  df-int 3863  df-iun 3907  df-iin 3908  df-br 4024  df-opab 4078  df-mpt 4079  df-tr 4114  df-eprel 4305  df-id 4309  df-po 4314  df-so 4315  df-fr 4352  df-se 4353  df-we 4354  df-ord 4395  df-on 4396  df-lim 4397  df-suc 4398  df-om 4657  df-xp 4695  df-rel 4696  df-cnv 4697  df-co 4698  df-dm 4699  df-rn 4700  df-res 4701  df-ima 4702  df-iota 5219  df-fun 5257  df-fn 5258  df-f 5259  df-f1 5260  df-fo 5261  df-f1o 5262  df-fv 5263  df-isom 5264  df-ov 5861  df-oprab 5862  df-mpt2 5863  df-of 6078  df-1st 6122  df-2nd 6123  df-riota 6304  df-recs 6388  df-rdg 6423  df-1o 6479  df-2o 6480  df-oadd 6483  df-er 6660  df-map 6774  df-pm 6775  df-ixp 6818  df-en 6864  df-dom 6865  df-sdom 6866  df-fin 6867  df-fi 7165  df-sup 7194  df-oi 7225  df-card 7572  df-cda 7794  df-pnf 8869  df-mnf 8870  df-xr 8871  df-ltxr 8872  df-le 8873  df-sub 9039  df-neg 9040  df-div 9424  df-nn 9747  df-2 9804  df-3 9805  df-4 9806  df-5 9807  df-6 9808  df-7 9809  df-8 9810  df-9 9811  df-10 9812  df-n0 9966  df-z 10025  df-dec 10125  df-uz 10231  df-q 10317  df-rp 10355  df-xneg 10452  df-xadd 10453  df-xmul 10454  df-ioo 10660  df-ioc 10661  df-ico 10662  df-icc 10663  df-fz 10783  df-fzo 10871  df-fl 10925  df-mod 10974  df-seq 11047  df-exp 11105  df-fac 11289  df-bc 11316  df-hash 11338  df-shft 11562  df-cj 11584  df-re 11585  df-im 11586  df-sqr 11720  df-abs 11721  df-limsup 11945  df-clim 11962  df-rlim 11963  df-sum 12159  df-ef 12349  df-sin 12351  df-cos 12352  df-tan 12353  df-pi 12354  df-struct 13150  df-ndx 13151  df-slot 13152  df-base 13153  df-sets 13154  df-ress 13155  df-plusg 13221  df-mulr 13222  df-starv 13223  df-sca 13224  df-vsca 13225  df-tset 13227  df-ple 13228  df-ds 13230  df-hom 13232  df-cco 13233  df-rest 13327  df-topn 13328  df-topgen 13344  df-pt 13345  df-prds 13348  df-xrs 13403  df-0g 13404  df-gsum 13405  df-qtop 13410  df-imas 13411  df-xps 13413  df-mre 13488  df-mrc 13489  df-acs 13491  df-mnd 14367  df-submnd 14416  df-mulg 14492  df-cntz 14793  df-cmn 15091  df-xmet 16373  df-met 16374  df-bl 16375  df-mopn 16376  df-cnfld 16378  df-top 16636  df-bases 16638  df-topon 16639  df-topsp 16640  df-cld 16756  df-ntr 16757  df-cls 16758  df-nei 16835  df-lp 16868  df-perf 16869  df-cn 16957  df-cnp 16958  df-haus 17043  df-cmp 17114  df-tx 17257  df-hmeo 17446  df-fbas 17520  df-fg 17521  df-fil 17541  df-fm 17633  df-flim 17634  df-flf 17635  df-xms 17885  df-ms 17886  df-tms 17887  df-cncf 18382  df-limc 19216  df-dv 19217  df-log 19914  df-atan 20163
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