MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  dvatan Unicode version

Theorem dvatan 20247
Description: The derivative of the arctangent. (Contributed by Mario Carneiro, 7-Apr-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
atansopn.d  |-  D  =  ( CC  \  (  -oo (,] 0 ) )
atansopn.s  |-  S  =  { y  e.  CC  |  ( 1  +  ( y ^ 2 ) )  e.  D }
Assertion
Ref Expression
dvatan  |-  ( CC 
_D  (arctan  |`  S ) )  =  ( x  e.  S  |->  ( 1  /  ( 1  +  ( x ^ 2 ) ) ) )
Distinct variable groups:    x, y, D    x, S
Allowed substitution hint:    S( y)

Proof of Theorem dvatan
StepHypRef Expression
1 cnex 8834 . . . . . 6  |-  CC  e.  _V
21prid2 3748 . . . . 5  |-  CC  e.  { RR ,  CC }
32a1i 10 . . . 4  |-  (  T. 
->  CC  e.  { RR ,  CC } )
4 ax-1cn 8811 . . . . . . 7  |-  1  e.  CC
5 ax-icn 8812 . . . . . . . 8  |-  _i  e.  CC
6 atansopn.d . . . . . . . . . . . 12  |-  D  =  ( CC  \  (  -oo (,] 0 ) )
7 atansopn.s . . . . . . . . . . . 12  |-  S  =  { y  e.  CC  |  ( 1  +  ( y ^ 2 ) )  e.  D }
86, 7atansssdm 20245 . . . . . . . . . . 11  |-  S  C_  dom arctan
9 simpr 447 . . . . . . . . . . 11  |-  ( (  T.  /\  x  e.  S )  ->  x  e.  S )
108, 9sseldi 3191 . . . . . . . . . 10  |-  ( (  T.  /\  x  e.  S )  ->  x  e.  dom arctan )
11 atandm2 20189 . . . . . . . . . 10  |-  ( x  e.  dom arctan  <->  ( x  e.  CC  /\  ( 1  -  ( _i  x.  x ) )  =/=  0  /\  ( 1  +  ( _i  x.  x ) )  =/=  0 ) )
1210, 11sylib 188 . . . . . . . . 9  |-  ( (  T.  /\  x  e.  S )  ->  (
x  e.  CC  /\  ( 1  -  (
_i  x.  x )
)  =/=  0  /\  ( 1  +  ( _i  x.  x ) )  =/=  0 ) )
1312simp1d 967 . . . . . . . 8  |-  ( (  T.  /\  x  e.  S )  ->  x  e.  CC )
14 mulcl 8837 . . . . . . . 8  |-  ( ( _i  e.  CC  /\  x  e.  CC )  ->  ( _i  x.  x
)  e.  CC )
155, 13, 14sylancr 644 . . . . . . 7  |-  ( (  T.  /\  x  e.  S )  ->  (
_i  x.  x )  e.  CC )
16 subcl 9067 . . . . . . 7  |-  ( ( 1  e.  CC  /\  ( _i  x.  x
)  e.  CC )  ->  ( 1  -  ( _i  x.  x
) )  e.  CC )
174, 15, 16sylancr 644 . . . . . 6  |-  ( (  T.  /\  x  e.  S )  ->  (
1  -  ( _i  x.  x ) )  e.  CC )
1812simp2d 968 . . . . . 6  |-  ( (  T.  /\  x  e.  S )  ->  (
1  -  ( _i  x.  x ) )  =/=  0 )
19 logcl 19942 . . . . . 6  |-  ( ( ( 1  -  (
_i  x.  x )
)  e.  CC  /\  ( 1  -  (
_i  x.  x )
)  =/=  0 )  ->  ( log `  (
1  -  ( _i  x.  x ) ) )  e.  CC )
2017, 18, 19syl2anc 642 . . . . 5  |-  ( (  T.  /\  x  e.  S )  ->  ( log `  ( 1  -  ( _i  x.  x
) ) )  e.  CC )
21 addcl 8835 . . . . . . 7  |-  ( ( 1  e.  CC  /\  ( _i  x.  x
)  e.  CC )  ->  ( 1  +  ( _i  x.  x
) )  e.  CC )
224, 15, 21sylancr 644 . . . . . 6  |-  ( (  T.  /\  x  e.  S )  ->  (
1  +  ( _i  x.  x ) )  e.  CC )
2312simp3d 969 . . . . . 6  |-  ( (  T.  /\  x  e.  S )  ->  (
1  +  ( _i  x.  x ) )  =/=  0 )
24 logcl 19942 . . . . . 6  |-  ( ( ( 1  +  ( _i  x.  x ) )  e.  CC  /\  ( 1  +  ( _i  x.  x ) )  =/=  0 )  ->  ( log `  (
1  +  ( _i  x.  x ) ) )  e.  CC )
2522, 23, 24syl2anc 642 . . . . 5  |-  ( (  T.  /\  x  e.  S )  ->  ( log `  ( 1  +  ( _i  x.  x
) ) )  e.  CC )
2620, 25subcld 9173 . . . 4  |-  ( (  T.  /\  x  e.  S )  ->  (
( log `  (
1  -  ( _i  x.  x ) ) )  -  ( log `  ( 1  +  ( _i  x.  x ) ) ) )  e.  CC )
27 ovex 5899 . . . . 5  |-  ( ( 2  /  _i )  /  ( 1  +  ( x ^ 2 ) ) )  e. 
_V
2827a1i 10 . . . 4  |-  ( (  T.  /\  x  e.  S )  ->  (
( 2  /  _i )  /  ( 1  +  ( x ^ 2 ) ) )  e. 
_V )
29 ovex 5899 . . . . . . 7  |-  ( 1  /  ( x  +  _i ) )  e.  _V
3029a1i 10 . . . . . 6  |-  ( (  T.  /\  x  e.  S )  ->  (
1  /  ( x  +  _i ) )  e.  _V )
316, 7atans2 20243 . . . . . . . . . 10  |-  ( x  e.  S  <->  ( x  e.  CC  /\  ( 1  -  ( _i  x.  x ) )  e.  D  /\  ( 1  +  ( _i  x.  x ) )  e.  D ) )
3231simp2bi 971 . . . . . . . . 9  |-  ( x  e.  S  ->  (
1  -  ( _i  x.  x ) )  e.  D )
3332adantl 452 . . . . . . . 8  |-  ( (  T.  /\  x  e.  S )  ->  (
1  -  ( _i  x.  x ) )  e.  D )
34 negex 9066 . . . . . . . . 9  |-  -u _i  e.  _V
3534a1i 10 . . . . . . . 8  |-  ( (  T.  /\  x  e.  S )  ->  -u _i  e.  _V )
366logdmss 20005 . . . . . . . . . 10  |-  D  C_  ( CC  \  { 0 } )
37 simpr 447 . . . . . . . . . 10  |-  ( (  T.  /\  y  e.  D )  ->  y  e.  D )
3836, 37sseldi 3191 . . . . . . . . 9  |-  ( (  T.  /\  y  e.  D )  ->  y  e.  ( CC  \  {
0 } ) )
39 logf1o 19938 . . . . . . . . . . 11  |-  log :
( CC  \  {
0 } ) -1-1-onto-> ran  log
40 f1of 5488 . . . . . . . . . . 11  |-  ( log
: ( CC  \  { 0 } ) -1-1-onto-> ran 
log  ->  log : ( CC 
\  { 0 } ) --> ran  log )
4139, 40ax-mp 8 . . . . . . . . . 10  |-  log :
( CC  \  {
0 } ) --> ran 
log
4241ffvelrni 5680 . . . . . . . . 9  |-  ( y  e.  ( CC  \  { 0 } )  ->  ( log `  y
)  e.  ran  log )
43 logrncn 19936 . . . . . . . . 9  |-  ( ( log `  y )  e.  ran  log  ->  ( log `  y )  e.  CC )
4438, 42, 433syl 18 . . . . . . . 8  |-  ( (  T.  /\  y  e.  D )  ->  ( log `  y )  e.  CC )
45 ovex 5899 . . . . . . . . 9  |-  ( 1  /  y )  e. 
_V
4645a1i 10 . . . . . . . 8  |-  ( (  T.  /\  y  e.  D )  ->  (
1  /  y )  e.  _V )
475a1i 10 . . . . . . . . . . 11  |-  (  T. 
->  _i  e.  CC )
4847, 14sylan 457 . . . . . . . . . 10  |-  ( (  T.  /\  x  e.  CC )  ->  (
_i  x.  x )  e.  CC )
494, 48, 16sylancr 644 . . . . . . . . 9  |-  ( (  T.  /\  x  e.  CC )  ->  (
1  -  ( _i  x.  x ) )  e.  CC )
5034a1i 10 . . . . . . . . 9  |-  ( (  T.  /\  x  e.  CC )  ->  -u _i  e.  _V )
514a1i 10 . . . . . . . . . . 11  |-  ( (  T.  /\  x  e.  CC )  ->  1  e.  CC )
52 0cn 8847 . . . . . . . . . . . 12  |-  0  e.  CC
5352a1i 10 . . . . . . . . . . 11  |-  ( (  T.  /\  x  e.  CC )  ->  0  e.  CC )
544a1i 10 . . . . . . . . . . . 12  |-  (  T. 
->  1  e.  CC )
553, 54dvmptc 19323 . . . . . . . . . . 11  |-  (  T. 
->  ( CC  _D  (
x  e.  CC  |->  1 ) )  =  ( x  e.  CC  |->  0 ) )
565a1i 10 . . . . . . . . . . 11  |-  ( (  T.  /\  x  e.  CC )  ->  _i  e.  CC )
57 simpr 447 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( (  T.  /\  x  e.  CC )  ->  x  e.  CC )
583dvmptid 19322 . . . . . . . . . . . . 13  |-  (  T. 
->  ( CC  _D  (
x  e.  CC  |->  x ) )  =  ( x  e.  CC  |->  1 ) )
593, 57, 51, 58, 47dvmptcmul 19329 . . . . . . . . . . . 12  |-  (  T. 
->  ( CC  _D  (
x  e.  CC  |->  ( _i  x.  x ) ) )  =  ( x  e.  CC  |->  ( _i  x.  1 ) ) )
605mulid1i 8855 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( _i  x.  1 )  =  _i
6160mpteq2i 4119 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( x  e.  CC  |->  ( _i  x.  1 ) )  =  ( x  e.  CC  |->  _i )
6259, 61syl6eq 2344 . . . . . . . . . . 11  |-  (  T. 
->  ( CC  _D  (
x  e.  CC  |->  ( _i  x.  x ) ) )  =  ( x  e.  CC  |->  _i ) )
633, 51, 53, 55, 48, 56, 62dvmptsub 19332 . . . . . . . . . 10  |-  (  T. 
->  ( CC  _D  (
x  e.  CC  |->  ( 1  -  ( _i  x.  x ) ) ) )  =  ( x  e.  CC  |->  ( 0  -  _i ) ) )
64 df-neg 9056 . . . . . . . . . . 11  |-  -u _i  =  ( 0  -  _i )
6564mpteq2i 4119 . . . . . . . . . 10  |-  ( x  e.  CC  |->  -u _i )  =  ( x  e.  CC  |->  ( 0  -  _i ) )
6663, 65syl6eqr 2346 . . . . . . . . 9  |-  (  T. 
->  ( CC  _D  (
x  e.  CC  |->  ( 1  -  ( _i  x.  x ) ) ) )  =  ( x  e.  CC  |->  -u _i ) )
67 eqid 2296 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( TopOpen ` fld )  =  ( TopOpen ` fld )
6867cnfldtopon 18308 . . . . . . . . . . 11  |-  ( TopOpen ` fld )  e.  (TopOn `  CC )
696, 7atansopn 20244 . . . . . . . . . . 11  |-  S  e.  ( TopOpen ` fld )
70 toponss 16683 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( TopOpen ` fld )  e.  (TopOn `  CC )  /\  S  e.  ( TopOpen ` fld ) )  ->  S  C_  CC )
7168, 69, 70mp2an 653 . . . . . . . . . 10  |-  S  C_  CC
7271a1i 10 . . . . . . . . 9  |-  (  T. 
->  S  C_  CC )
7367cnfldtop 18309 . . . . . . . . . . 11  |-  ( TopOpen ` fld )  e.  Top
7468toponunii 16686 . . . . . . . . . . . 12  |-  CC  =  U. ( TopOpen ` fld )
7574restid 13354 . . . . . . . . . . 11  |-  ( (
TopOpen ` fld )  e.  Top  ->  ( ( TopOpen ` fld )t  CC )  =  (
TopOpen ` fld ) )
7673, 75ax-mp 8 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
TopOpen ` fld )t  CC )  =  (
TopOpen ` fld )
7776eqcomi 2300 . . . . . . . . 9  |-  ( TopOpen ` fld )  =  ( ( TopOpen ` fld )t  CC )
7869a1i 10 . . . . . . . . 9  |-  (  T. 
->  S  e.  ( TopOpen
` fld
) )
793, 49, 50, 66, 72, 77, 67, 78dvmptres 19328 . . . . . . . 8  |-  (  T. 
->  ( CC  _D  (
x  e.  S  |->  ( 1  -  ( _i  x.  x ) ) ) )  =  ( x  e.  S  |->  -u _i ) )
80 fssres 5424 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( log : ( CC 
\  { 0 } ) --> ran  log  /\  D  C_  ( CC  \  {
0 } ) )  ->  ( log  |`  D ) : D --> ran  log )
8141, 36, 80mp2an 653 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( log  |`  D ) : D --> ran  log
8281a1i 10 . . . . . . . . . . . 12  |-  (  T. 
->  ( log  |`  D ) : D --> ran  log )
8382feqmptd 5591 . . . . . . . . . . 11  |-  (  T. 
->  ( log  |`  D )  =  ( y  e.  D  |->  ( ( log  |`  D ) `  y
) ) )
84 fvres 5558 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( y  e.  D  ->  (
( log  |`  D ) `
 y )  =  ( log `  y
) )
8584mpteq2ia 4118 . . . . . . . . . . 11  |-  ( y  e.  D  |->  ( ( log  |`  D ) `  y ) )  =  ( y  e.  D  |->  ( log `  y
) )
8683, 85syl6req 2345 . . . . . . . . . 10  |-  (  T. 
->  ( y  e.  D  |->  ( log `  y
) )  =  ( log  |`  D )
)
8786oveq2d 5890 . . . . . . . . 9  |-  (  T. 
->  ( CC  _D  (
y  e.  D  |->  ( log `  y ) ) )  =  ( CC  _D  ( log  |`  D ) ) )
886dvlog 20014 . . . . . . . . 9  |-  ( CC 
_D  ( log  |`  D ) )  =  ( y  e.  D  |->  ( 1  /  y ) )
8987, 88syl6eq 2344 . . . . . . . 8  |-  (  T. 
->  ( CC  _D  (
y  e.  D  |->  ( log `  y ) ) )  =  ( y  e.  D  |->  ( 1  /  y ) ) )
90 fveq2 5541 . . . . . . . 8  |-  ( y  =  ( 1  -  ( _i  x.  x
) )  ->  ( log `  y )  =  ( log `  (
1  -  ( _i  x.  x ) ) ) )
91 oveq2 5882 . . . . . . . 8  |-  ( y  =  ( 1  -  ( _i  x.  x
) )  ->  (
1  /  y )  =  ( 1  / 
( 1  -  (
_i  x.  x )
) ) )
923, 3, 33, 35, 44, 46, 79, 89, 90, 91dvmptco 19337 . . . . . . 7  |-  (  T. 
->  ( CC  _D  (
x  e.  S  |->  ( log `  ( 1  -  ( _i  x.  x ) ) ) ) )  =  ( x  e.  S  |->  ( ( 1  /  (
1  -  ( _i  x.  x ) ) )  x.  -u _i ) ) )
93 irec 11218 . . . . . . . . . 10  |-  ( 1  /  _i )  = 
-u _i
9493oveq2i 5885 . . . . . . . . 9  |-  ( ( 1  /  ( 1  -  ( _i  x.  x ) ) )  x.  ( 1  /  _i ) )  =  ( ( 1  /  (
1  -  ( _i  x.  x ) ) )  x.  -u _i )
955a1i 10 . . . . . . . . . . 11  |-  ( (  T.  /\  x  e.  S )  ->  _i  e.  CC )
96 ine0 9231 . . . . . . . . . . . 12  |-  _i  =/=  0
9796a1i 10 . . . . . . . . . . 11  |-  ( (  T.  /\  x  e.  S )  ->  _i  =/=  0 )
9817, 95, 18, 97recdiv2d 9570 . . . . . . . . . 10  |-  ( (  T.  /\  x  e.  S )  ->  (
( 1  /  (
1  -  ( _i  x.  x ) ) )  /  _i )  =  ( 1  / 
( ( 1  -  ( _i  x.  x
) )  x.  _i ) ) )
9917, 18reccld 9545 . . . . . . . . . . 11  |-  ( (  T.  /\  x  e.  S )  ->  (
1  /  ( 1  -  ( _i  x.  x ) ) )  e.  CC )
10099, 95, 97divrecd 9555 . . . . . . . . . 10  |-  ( (  T.  /\  x  e.  S )  ->  (
( 1  /  (
1  -  ( _i  x.  x ) ) )  /  _i )  =  ( ( 1  /  ( 1  -  ( _i  x.  x
) ) )  x.  ( 1  /  _i ) ) )
1014a1i 10 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( (  T.  /\  x  e.  S )  ->  1  e.  CC )
102101, 15, 95subdird 9252 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( (  T.  /\  x  e.  S )  ->  (
( 1  -  (
_i  x.  x )
)  x.  _i )  =  ( ( 1  x.  _i )  -  ( ( _i  x.  x )  x.  _i ) ) )
1035mulid2i 8856 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( 1  x.  _i )  =  _i
104103a1i 10 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( (  T.  /\  x  e.  S )  ->  (
1  x.  _i )  =  _i )
10595, 13, 95mul32d 9038 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( (  T.  /\  x  e.  S )  ->  (
( _i  x.  x
)  x.  _i )  =  ( ( _i  x.  _i )  x.  x ) )
106 ixi 9413 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( _i  x.  _i )  = 
-u 1
107106oveq1i 5884 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( _i  x.  _i )  x.  x )  =  ( -u 1  x.  x )
10813mulm1d 9247 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( (  T.  /\  x  e.  S )  ->  ( -u 1  x.  x )  =  -u x )
109107, 108syl5eq 2340 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( (  T.  /\  x  e.  S )  ->  (
( _i  x.  _i )  x.  x )  =  -u x )
110105, 109eqtrd 2328 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( (  T.  /\  x  e.  S )  ->  (
( _i  x.  x
)  x.  _i )  =  -u x )
111104, 110oveq12d 5892 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( (  T.  /\  x  e.  S )  ->  (
( 1  x.  _i )  -  ( (
_i  x.  x )  x.  _i ) )  =  ( _i  -  -u x
) )
112 subneg 9112 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( _i  e.  CC  /\  x  e.  CC )  ->  ( _i  -  -u x
)  =  ( _i  +  x ) )
1135, 13, 112sylancr 644 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( (  T.  /\  x  e.  S )  ->  (
_i  -  -u x )  =  ( _i  +  x ) )
114102, 111, 1133eqtrd 2332 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( (  T.  /\  x  e.  S )  ->  (
( 1  -  (
_i  x.  x )
)  x.  _i )  =  ( _i  +  x ) )
115 addcom 9014 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( _i  e.  CC  /\  x  e.  CC )  ->  ( _i  +  x
)  =  ( x  +  _i ) )
1165, 13, 115sylancr 644 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( (  T.  /\  x  e.  S )  ->  (
_i  +  x )  =  ( x  +  _i ) )
117114, 116eqtrd 2328 . . . . . . . . . . 11  |-  ( (  T.  /\  x  e.  S )  ->  (
( 1  -  (
_i  x.  x )
)  x.  _i )  =  ( x  +  _i ) )
118117oveq2d 5890 . . . . . . . . . 10  |-  ( (  T.  /\  x  e.  S )  ->  (
1  /  ( ( 1  -  ( _i  x.  x ) )  x.  _i ) )  =  ( 1  / 
( x  +  _i ) ) )
11998, 100, 1183eqtr3d 2336 . . . . . . . . 9  |-  ( (  T.  /\  x  e.  S )  ->  (
( 1  /  (
1  -  ( _i  x.  x ) ) )  x.  ( 1  /  _i ) )  =  ( 1  / 
( x  +  _i ) ) )
12094, 119syl5eqr 2342 . . . . . . . 8  |-  ( (  T.  /\  x  e.  S )  ->  (
( 1  /  (
1  -  ( _i  x.  x ) ) )  x.  -u _i )  =  ( 1  /  ( x  +  _i ) ) )
121120mpteq2dva 4122 . . . . . . 7  |-  (  T. 
->  ( x  e.  S  |->  ( ( 1  / 
( 1  -  (
_i  x.  x )
) )  x.  -u _i ) )  =  ( x  e.  S  |->  ( 1  /  ( x  +  _i ) ) ) )
12292, 121eqtrd 2328 . . . . . 6  |-  (  T. 
->  ( CC  _D  (
x  e.  S  |->  ( log `  ( 1  -  ( _i  x.  x ) ) ) ) )  =  ( x  e.  S  |->  ( 1  /  ( x  +  _i ) ) ) )
123 ovex 5899 . . . . . . 7  |-  ( 1  /  ( x  -  _i ) )  e.  _V
124123a1i 10 . . . . . 6  |-  ( (  T.  /\  x  e.  S )  ->  (
1  /  ( x  -  _i ) )  e.  _V )
12531simp3bi 972 . . . . . . . . 9  |-  ( x  e.  S  ->  (
1  +  ( _i  x.  x ) )  e.  D )
126125adantl 452 . . . . . . . 8  |-  ( (  T.  /\  x  e.  S )  ->  (
1  +  ( _i  x.  x ) )  e.  D )
1274, 48, 21sylancr 644 . . . . . . . . 9  |-  ( (  T.  /\  x  e.  CC )  ->  (
1  +  ( _i  x.  x ) )  e.  CC )
1283, 51, 53, 55, 48, 56, 62dvmptadd 19325 . . . . . . . . . 10  |-  (  T. 
->  ( CC  _D  (
x  e.  CC  |->  ( 1  +  ( _i  x.  x ) ) ) )  =  ( x  e.  CC  |->  ( 0  +  _i ) ) )
1295addid2i 9016 . . . . . . . . . . 11  |-  ( 0  +  _i )  =  _i
130129mpteq2i 4119 . . . . . . . . . 10  |-  ( x  e.  CC  |->  ( 0  +  _i ) )  =  ( x  e.  CC  |->  _i )
131128, 130syl6eq 2344 . . . . . . . . 9  |-  (  T. 
->  ( CC  _D  (
x  e.  CC  |->  ( 1  +  ( _i  x.  x ) ) ) )  =  ( x  e.  CC  |->  _i ) )
1323, 127, 56, 131, 72, 77, 67, 78dvmptres 19328 . . . . . . . 8  |-  (  T. 
->  ( CC  _D  (
x  e.  S  |->  ( 1  +  ( _i  x.  x ) ) ) )  =  ( x  e.  S  |->  _i ) )
133 fveq2 5541 . . . . . . . 8  |-  ( y  =  ( 1  +  ( _i  x.  x
) )  ->  ( log `  y )  =  ( log `  (
1  +  ( _i  x.  x ) ) ) )
134 oveq2 5882 . . . . . . . 8  |-  ( y  =  ( 1  +  ( _i  x.  x
) )  ->  (
1  /  y )  =  ( 1  / 
( 1  +  ( _i  x.  x ) ) ) )
1353, 3, 126, 95, 44, 46, 132, 89, 133, 134dvmptco 19337 . . . . . . 7  |-  (  T. 
->  ( CC  _D  (
x  e.  S  |->  ( log `  ( 1  +  ( _i  x.  x ) ) ) ) )  =  ( x  e.  S  |->  ( ( 1  /  (
1  +  ( _i  x.  x ) ) )  x.  _i ) ) )
136101, 22, 95, 23, 97divdiv2d 9584 . . . . . . . . 9  |-  ( (  T.  /\  x  e.  S )  ->  (
1  /  ( ( 1  +  ( _i  x.  x ) )  /  _i ) )  =  ( ( 1  x.  _i )  / 
( 1  +  ( _i  x.  x ) ) ) )
137101, 15, 95, 97divdird 9590 . . . . . . . . . . 11  |-  ( (  T.  /\  x  e.  S )  ->  (
( 1  +  ( _i  x.  x ) )  /  _i )  =  ( ( 1  /  _i )  +  ( ( _i  x.  x )  /  _i ) ) )
13893a1i 10 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( (  T.  /\  x  e.  S )  ->  (
1  /  _i )  =  -u _i )
13913, 95, 97divcan3d 9557 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( (  T.  /\  x  e.  S )  ->  (
( _i  x.  x
)  /  _i )  =  x )
140138, 139oveq12d 5892 . . . . . . . . . . 11  |-  ( (  T.  /\  x  e.  S )  ->  (
( 1  /  _i )  +  ( (
_i  x.  x )  /  _i ) )  =  ( -u _i  +  x ) )
1415negcli 9130 . . . . . . . . . . . . 13  |-  -u _i  e.  CC
142 addcom 9014 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( (
-u _i  e.  CC  /\  x  e.  CC )  ->  ( -u _i  +  x )  =  ( x  +  -u _i ) )
143141, 13, 142sylancr 644 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( (  T.  /\  x  e.  S )  ->  ( -u _i  +  x )  =  ( x  +  -u _i ) )
144 negsub 9111 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( x  e.  CC  /\  _i  e.  CC )  -> 
( x  +  -u _i )  =  (
x  -  _i ) )
14513, 5, 144sylancl 643 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( (  T.  /\  x  e.  S )  ->  (
x  +  -u _i )  =  ( x  -  _i ) )
146143, 145eqtrd 2328 . . . . . . . . . . 11  |-  ( (  T.  /\  x  e.  S )  ->  ( -u _i  +  x )  =  ( x  -  _i ) )
147137, 140, 1463eqtrd 2332 . . . . . . . . . 10  |-  ( (  T.  /\  x  e.  S )  ->  (
( 1  +  ( _i  x.  x ) )  /  _i )  =  ( x  -  _i ) )
148147oveq2d 5890 . . . . . . . . 9  |-  ( (  T.  /\  x  e.  S )  ->  (
1  /  ( ( 1  +  ( _i  x.  x ) )  /  _i ) )  =  ( 1  / 
( x  -  _i ) ) )
149101, 95, 22, 23div23d 9589 . . . . . . . . 9  |-  ( (  T.  /\  x  e.  S )  ->  (
( 1  x.  _i )  /  ( 1  +  ( _i  x.  x
) ) )  =  ( ( 1  / 
( 1  +  ( _i  x.  x ) ) )  x.  _i ) )
150136, 148, 1493eqtr3rd 2337 . . . . . . . 8  |-  ( (  T.  /\  x  e.  S )  ->  (
( 1  /  (
1  +  ( _i  x.  x ) ) )  x.  _i )  =  ( 1  / 
( x  -  _i ) ) )
151150mpteq2dva 4122 . . . . . . 7  |-  (  T. 
->  ( x  e.  S  |->  ( ( 1  / 
( 1  +  ( _i  x.  x ) ) )  x.  _i ) )  =  ( x  e.  S  |->  ( 1  /  ( x  -  _i ) ) ) )
152135, 151eqtrd 2328 . . . . . 6  |-  (  T. 
->  ( CC  _D  (
x  e.  S  |->  ( log `  ( 1  +  ( _i  x.  x ) ) ) ) )  =  ( x  e.  S  |->  ( 1  /  ( x  -  _i ) ) ) )
1533, 20, 30, 122, 25, 124, 152dvmptsub 19332 . . . . 5  |-  (  T. 
->  ( CC  _D  (
x  e.  S  |->  ( ( log `  (
1  -  ( _i  x.  x ) ) )  -  ( log `  ( 1  +  ( _i  x.  x ) ) ) ) ) )  =  ( x  e.  S  |->  ( ( 1  /  ( x  +  _i ) )  -  ( 1  / 
( x  -  _i ) ) ) ) )
154 subcl 9067 . . . . . . . . 9  |-  ( ( x  e.  CC  /\  _i  e.  CC )  -> 
( x  -  _i )  e.  CC )
15513, 5, 154sylancl 643 . . . . . . . 8  |-  ( (  T.  /\  x  e.  S )  ->  (
x  -  _i )  e.  CC )
156 addcl 8835 . . . . . . . . 9  |-  ( ( x  e.  CC  /\  _i  e.  CC )  -> 
( x  +  _i )  e.  CC )
15713, 5, 156sylancl 643 . . . . . . . 8  |-  ( (  T.  /\  x  e.  S )  ->  (
x  +  _i )  e.  CC )
15813sqcld 11259 . . . . . . . . 9  |-  ( (  T.  /\  x  e.  S )  ->  (
x ^ 2 )  e.  CC )
159 addcl 8835 . . . . . . . . 9  |-  ( ( 1  e.  CC  /\  ( x ^ 2 )  e.  CC )  ->  ( 1  +  ( x ^ 2 ) )  e.  CC )
1604, 158, 159sylancr 644 . . . . . . . 8  |-  ( (  T.  /\  x  e.  S )  ->  (
1  +  ( x ^ 2 ) )  e.  CC )
161 atandm4 20191 . . . . . . . . . 10  |-  ( x  e.  dom arctan  <->  ( x  e.  CC  /\  ( 1  +  ( x ^
2 ) )  =/=  0 ) )
162161simprbi 450 . . . . . . . . 9  |-  ( x  e.  dom arctan  ->  ( 1  +  ( x ^
2 ) )  =/=  0 )
16310, 162syl 15 . . . . . . . 8  |-  ( (  T.  /\  x  e.  S )  ->  (
1  +  ( x ^ 2 ) )  =/=  0 )
164155, 157, 160, 163divsubdird 9591 . . . . . . 7  |-  ( (  T.  /\  x  e.  S )  ->  (
( ( x  -  _i )  -  (
x  +  _i ) )  /  ( 1  +  ( x ^
2 ) ) )  =  ( ( ( x  -  _i )  /  ( 1  +  ( x ^ 2 ) ) )  -  ( ( x  +  _i )  /  (
1  +  ( x ^ 2 ) ) ) ) )
165145oveq1d 5889 . . . . . . . . . 10  |-  ( (  T.  /\  x  e.  S )  ->  (
( x  +  -u _i )  -  (
x  +  _i ) )  =  ( ( x  -  _i )  -  ( x  +  _i ) ) )
166141a1i 10 . . . . . . . . . . 11  |-  ( (  T.  /\  x  e.  S )  ->  -u _i  e.  CC )
16713, 166, 95pnpcand 9210 . . . . . . . . . 10  |-  ( (  T.  /\  x  e.  S )  ->  (
( x  +  -u _i )  -  (
x  +  _i ) )  =  ( -u _i  -  _i ) )
168165, 167eqtr3d 2330 . . . . . . . . 9  |-  ( (  T.  /\  x  e.  S )  ->  (
( x  -  _i )  -  ( x  +  _i ) )  =  ( -u _i  -  _i ) )
169 2cn 9832 . . . . . . . . . . . 12  |-  2  e.  CC
170169, 5, 96divreci 9521 . . . . . . . . . . 11  |-  ( 2  /  _i )  =  ( 2  x.  (
1  /  _i ) )
17193oveq2i 5885 . . . . . . . . . . 11  |-  ( 2  x.  ( 1  /  _i ) )  =  ( 2  x.  -u _i )
172170, 171eqtri 2316 . . . . . . . . . 10  |-  ( 2  /  _i )  =  ( 2  x.  -u _i )
1731412timesi 9861 . . . . . . . . . 10  |-  ( 2  x.  -u _i )  =  ( -u _i  +  -u _i )
174141, 5negsubi 9140 . . . . . . . . . 10  |-  ( -u _i  +  -u _i )  =  ( -u _i  -  _i )
175172, 173, 1743eqtri 2320 . . . . . . . . 9  |-  ( 2  /  _i )  =  ( -u _i  -  _i )
176168, 175syl6eqr 2346 . . . . . . . 8  |-  ( (  T.  /\  x  e.  S )  ->  (
( x  -  _i )  -  ( x  +  _i ) )  =  ( 2  /  _i ) )
177176oveq1d 5889 . . . . . . 7  |-  ( (  T.  /\  x  e.  S )  ->  (
( ( x  -  _i )  -  (
x  +  _i ) )  /  ( 1  +  ( x ^
2 ) ) )  =  ( ( 2  /  _i )  / 
( 1  +  ( x ^ 2 ) ) ) )
178155mulid1d 8868 . . . . . . . . . 10  |-  ( (  T.  /\  x  e.  S )  ->  (
( x  -  _i )  x.  1 )  =  ( x  -  _i ) )
179155, 157mulcomd 8872 . . . . . . . . . . 11  |-  ( (  T.  /\  x  e.  S )  ->  (
( x  -  _i )  x.  ( x  +  _i ) )  =  ( ( x  +  _i )  x.  (
x  -  _i ) ) )
180 i2 11219 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( _i
^ 2 )  = 
-u 1
181180oveq2i 5885 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( x ^ 2 )  -  ( _i ^
2 ) )  =  ( ( x ^
2 )  -  -u 1
)
182 subneg 9112 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( x ^ 2 )  e.  CC  /\  1  e.  CC )  ->  ( ( x ^
2 )  -  -u 1
)  =  ( ( x ^ 2 )  +  1 ) )
183158, 4, 182sylancl 643 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( (  T.  /\  x  e.  S )  ->  (
( x ^ 2 )  -  -u 1
)  =  ( ( x ^ 2 )  +  1 ) )
184181, 183syl5eq 2340 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( (  T.  /\  x  e.  S )  ->  (
( x ^ 2 )  -  ( _i
^ 2 ) )  =  ( ( x ^ 2 )  +  1 ) )
185 subsq 11226 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( x  e.  CC  /\  _i  e.  CC )  -> 
( ( x ^
2 )  -  (
_i ^ 2 ) )  =  ( ( x  +  _i )  x.  ( x  -  _i ) ) )
18613, 5, 185sylancl 643 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( (  T.  /\  x  e.  S )  ->  (
( x ^ 2 )  -  ( _i
^ 2 ) )  =  ( ( x  +  _i )  x.  ( x  -  _i ) ) )
187 addcom 9014 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( x ^ 2 )  e.  CC  /\  1  e.  CC )  ->  ( ( x ^
2 )  +  1 )  =  ( 1  +  ( x ^
2 ) ) )
188158, 4, 187sylancl 643 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( (  T.  /\  x  e.  S )  ->  (
( x ^ 2 )  +  1 )  =  ( 1  +  ( x ^ 2 ) ) )
189184, 186, 1883eqtr3d 2336 . . . . . . . . . . 11  |-  ( (  T.  /\  x  e.  S )  ->  (
( x  +  _i )  x.  ( x  -  _i ) )  =  ( 1  +  ( x ^ 2 ) ) )
190179, 189eqtrd 2328 . . . . . . . . . 10  |-  ( (  T.  /\  x  e.  S )  ->  (
( x  -  _i )  x.  ( x  +  _i ) )  =  ( 1  +  ( x ^ 2 ) ) )
191178, 190oveq12d 5892 . . . . . . . . 9  |-  ( (  T.  /\  x  e.  S )  ->  (
( ( x  -  _i )  x.  1
)  /  ( ( x  -  _i )  x.  ( x  +  _i ) ) )  =  ( ( x  -  _i )  /  (
1  +  ( x ^ 2 ) ) ) )
192 subneg 9112 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( x  e.  CC  /\  _i  e.  CC )  -> 
( x  -  -u _i )  =  ( x  +  _i ) )
19313, 5, 192sylancl 643 . . . . . . . . . . 11  |-  ( (  T.  /\  x  e.  S )  ->  (
x  -  -u _i )  =  ( x  +  _i ) )
194 atandm 20188 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( x  e.  dom arctan  <->  ( x  e.  CC  /\  x  =/=  -u _i  /\  x  =/=  _i ) )
19510, 194sylib 188 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( (  T.  /\  x  e.  S )  ->  (
x  e.  CC  /\  x  =/=  -u _i  /\  x  =/=  _i ) )
196195simp2d 968 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( (  T.  /\  x  e.  S )  ->  x  =/=  -u _i )
197 subeq0 9089 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( x  e.  CC  /\  -u _i  e.  CC )  ->  ( ( x  -  -u _i )  =  0  <->  x  =  -u _i ) )
198197necon3bid 2494 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( x  e.  CC  /\  -u _i  e.  CC )  ->  ( ( x  -  -u _i )  =/=  0  <->  x  =/=  -u _i ) )
19913, 141, 198sylancl 643 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( (  T.  /\  x  e.  S )  ->  (
( x  -  -u _i )  =/=  0  <->  x  =/=  -u _i ) )
200196, 199mpbird 223 . . . . . . . . . . 11  |-  ( (  T.  /\  x  e.  S )  ->  (
x  -  -u _i )  =/=  0 )
201193, 200eqnetrrd 2479 . . . . . . . . . 10  |-  ( (  T.  /\  x  e.  S )  ->  (
x  +  _i )  =/=  0 )
202195simp3d 969 . . . . . . . . . . 11  |-  ( (  T.  /\  x  e.  S )  ->  x  =/=  _i )
203 subeq0 9089 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( x  e.  CC  /\  _i  e.  CC )  -> 
( ( x  -  _i )  =  0  <->  x  =  _i ) )
204203necon3bid 2494 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( x  e.  CC  /\  _i  e.  CC )  -> 
( ( x  -  _i )  =/=  0  <->  x  =/=  _i ) )
20513, 5, 204sylancl 643 . . . . . . . . . . 11  |-  ( (  T.  /\  x  e.  S )  ->  (
( x  -  _i )  =/=  0  <->  x  =/=  _i ) )
206202, 205mpbird 223 . . . . . . . . . 10  |-  ( (  T.  /\  x  e.  S )  ->  (
x  -  _i )  =/=  0 )
207101, 157, 155, 201, 206divcan5d 9578 . . . . . . . . 9  |-  ( (  T.  /\  x  e.  S )  ->  (
( ( x  -  _i )  x.  1
)  /  ( ( x  -  _i )  x.  ( x  +  _i ) ) )  =  ( 1  /  (
x  +  _i ) ) )
208191, 207eqtr3d 2330 . . . . . . . 8  |-  ( (  T.  /\  x  e.  S )  ->  (
( x  -  _i )  /  ( 1  +  ( x ^ 2 ) ) )  =  ( 1  /  (
x  +  _i ) ) )
209157mulid1d 8868 . . . . . . . . . 10  |-  ( (  T.  /\  x  e.  S )  ->  (
( x  +  _i )  x.  1 )  =  ( x  +  _i ) )
210209, 189oveq12d 5892 . . . . . . . . 9  |-  ( (  T.  /\  x  e.  S )  ->  (
( ( x  +  _i )  x.  1
)  /  ( ( x  +  _i )  x.  ( x  -  _i ) ) )  =  ( ( x  +  _i )  /  (
1  +  ( x ^ 2 ) ) ) )
211101, 155, 157, 206, 201divcan5d 9578 . . . . . . . . 9  |-  ( (  T.  /\  x  e.  S )  ->  (
( ( x  +  _i )  x.  1
)  /  ( ( x  +  _i )  x.  ( x  -  _i ) ) )  =  ( 1  /  (
x  -  _i ) ) )
212210, 211eqtr3d 2330 . . . . . . . 8  |-  ( (  T.  /\  x  e.  S )  ->  (
( x  +  _i )  /  ( 1  +  ( x ^ 2 ) ) )  =  ( 1  /  (
x  -  _i ) ) )
213208, 212oveq12d 5892 . . . . . . 7  |-  ( (  T.  /\  x  e.  S )  ->  (
( ( x  -  _i )  /  (
1  +  ( x ^ 2 ) ) )  -  ( ( x  +  _i )  /  ( 1  +  ( x ^ 2 ) ) ) )  =  ( ( 1  /  ( x  +  _i ) )  -  (
1  /  ( x  -  _i ) ) ) )
214164, 177, 2133eqtr3rd 2337 . . . . . 6  |-  ( (  T.  /\  x  e.  S )  ->  (
( 1  /  (
x  +  _i ) )  -  ( 1  /  ( x  -  _i ) ) )  =  ( ( 2  /  _i )  /  (
1  +  ( x ^ 2 ) ) ) )
215214mpteq2dva 4122 . . . . 5  |-  (  T. 
->  ( x  e.  S  |->  ( ( 1  / 
( x  +  _i ) )  -  (
1  /  ( x  -  _i ) ) ) )  =  ( x  e.  S  |->  ( ( 2  /  _i )  /  ( 1  +  ( x ^ 2 ) ) ) ) )
216153, 215eqtrd 2328 . . . 4  |-  (  T. 
->  ( CC  _D  (
x  e.  S  |->  ( ( log `  (
1  -  ( _i  x.  x ) ) )  -  ( log `  ( 1  +  ( _i  x.  x ) ) ) ) ) )  =  ( x  e.  S  |->  ( ( 2  /  _i )  /  ( 1  +  ( x ^ 2 ) ) ) ) )
217 halfcl 9953 . . . . 5  |-  ( _i  e.  CC  ->  (
_i  /  2 )  e.  CC )
2185, 217mp1i 11 . . . 4  |-  (  T. 
->  ( _i  /  2
)  e.  CC )
2193, 26, 28, 216, 218dvmptcmul 19329 . . 3  |-  (  T. 
->  ( CC  _D  (
x  e.  S  |->  ( ( _i  /  2
)  x.  ( ( log `  ( 1  -  ( _i  x.  x ) ) )  -  ( log `  (
1  +  ( _i  x.  x ) ) ) ) ) ) )  =  ( x  e.  S  |->  ( ( _i  /  2 )  x.  ( ( 2  /  _i )  / 
( 1  +  ( x ^ 2 ) ) ) ) ) )
220 df-atan 20179 . . . . . . 7  |- arctan  =  ( x  e.  ( CC 
\  { -u _i ,  _i } )  |->  ( ( _i  /  2
)  x.  ( ( log `  ( 1  -  ( _i  x.  x ) ) )  -  ( log `  (
1  +  ( _i  x.  x ) ) ) ) ) )
221220reseq1i 4967 . . . . . 6  |-  (arctan  |`  S )  =  ( ( x  e.  ( CC  \  { -u _i ,  _i } )  |->  ( ( _i  /  2 )  x.  ( ( log `  ( 1  -  (
_i  x.  x )
) )  -  ( log `  ( 1  +  ( _i  x.  x
) ) ) ) ) )  |`  S )
222 atanf 20192 . . . . . . . . 9  |- arctan : ( CC  \  { -u _i ,  _i }
) --> CC
223222fdmi 5410 . . . . . . . 8  |-  dom arctan  =  ( CC  \  { -u _i ,  _i }
)
2248, 223sseqtri 3223 . . . . . . 7  |-  S  C_  ( CC  \  { -u _i ,  _i }
)
225 resmpt 5016 . . . . . . 7  |-  ( S 
C_  ( CC  \  { -u _i ,  _i } )  ->  (
( x  e.  ( CC  \  { -u _i ,  _i }
)  |->  ( ( _i 
/  2 )  x.  ( ( log `  (
1  -  ( _i  x.  x ) ) )  -  ( log `  ( 1  +  ( _i  x.  x ) ) ) ) ) )  |`  S )  =  ( x  e.  S  |->  ( ( _i 
/  2 )  x.  ( ( log `  (
1  -  ( _i  x.  x ) ) )  -  ( log `  ( 1  +  ( _i  x.  x ) ) ) ) ) ) )
226224, 225ax-mp 8 . . . . . 6  |-  ( ( x  e.  ( CC 
\  { -u _i ,  _i } )  |->  ( ( _i  /  2
)  x.  ( ( log `  ( 1  -  ( _i  x.  x ) ) )  -  ( log `  (
1  +  ( _i  x.  x ) ) ) ) ) )  |`  S )  =  ( x  e.  S  |->  ( ( _i  /  2
)  x.  ( ( log `  ( 1  -  ( _i  x.  x ) ) )  -  ( log `  (
1  +  ( _i  x.  x ) ) ) ) ) )
227221, 226eqtri 2316 . . . . 5  |-  (arctan  |`  S )  =  ( x  e.  S  |->  ( ( _i 
/  2 )  x.  ( ( log `  (
1  -  ( _i  x.  x ) ) )  -  ( log `  ( 1  +  ( _i  x.  x ) ) ) ) ) )
228227a1i 10 . . . 4  |-  (  T. 
->  (arctan  |`  S )  =  ( x  e.  S  |->  ( ( _i  / 
2 )  x.  (
( log `  (
1  -  ( _i  x.  x ) ) )  -  ( log `  ( 1  +  ( _i  x.  x ) ) ) ) ) ) )
229228oveq2d 5890 . . 3  |-  (  T. 
->  ( CC  _D  (arctan  |`  S ) )  =  ( CC  _D  (
x  e.  S  |->  ( ( _i  /  2
)  x.  ( ( log `  ( 1  -  ( _i  x.  x ) ) )  -  ( log `  (
1  +  ( _i  x.  x ) ) ) ) ) ) ) )
230 2ne0 9845 . . . . . . 7  |-  2  =/=  0
231 divcan6 9483 . . . . . . 7  |-  ( ( ( _i  e.  CC  /\  _i  =/=  0 )  /\  ( 2  e.  CC  /\  2  =/=  0 ) )  -> 
( ( _i  / 
2 )  x.  (
2  /  _i ) )  =  1 )
2325, 96, 169, 230, 231mp4an 654 . . . . . 6  |-  ( ( _i  /  2 )  x.  ( 2  /  _i ) )  =  1
233232oveq1i 5884 . . . . 5  |-  ( ( ( _i  /  2
)  x.  ( 2  /  _i ) )  /  ( 1  +  ( x ^ 2 ) ) )  =  ( 1  /  (
1  +  ( x ^ 2 ) ) )
2345, 217mp1i 11 . . . . . 6  |-  ( (  T.  /\  x  e.  S )  ->  (
_i  /  2 )  e.  CC )
235169, 5, 96divcli 9518 . . . . . . 7  |-  ( 2  /  _i )  e.  CC
236235a1i 10 . . . . . 6  |-  ( (  T.  /\  x  e.  S )  ->  (
2  /  _i )  e.  CC )
237234, 236, 160, 163divassd 9587 . . . . 5  |-  ( (  T.  /\  x  e.  S )  ->  (
( ( _i  / 
2 )  x.  (
2  /  _i ) )  /  ( 1  +  ( x ^
2 ) ) )  =  ( ( _i 
/  2 )  x.  ( ( 2  /  _i )  /  (
1  +  ( x ^ 2 ) ) ) ) )
238233, 237syl5eqr 2342 . . . 4  |-  ( (  T.  /\  x  e.  S )  ->  (
1  /  ( 1  +  ( x ^
2 ) ) )  =  ( ( _i 
/  2 )  x.  ( ( 2  /  _i )  /  (
1  +  ( x ^ 2 ) ) ) ) )
239238mpteq2dva 4122 . . 3  |-  (  T. 
->  ( x  e.  S  |->  ( 1  /  (
1  +  ( x ^ 2 ) ) ) )  =  ( x  e.  S  |->  ( ( _i  /  2
)  x.  ( ( 2  /  _i )  /  ( 1  +  ( x ^ 2 ) ) ) ) ) )
240219, 229, 2393eqtr4d 2338 . 2  |-  (  T. 
->  ( CC  _D  (arctan  |`  S ) )  =  ( x  e.  S  |->  ( 1  /  (
1  +  ( x ^ 2 ) ) ) ) )
241240trud 1314 1  |-  ( CC 
_D  (arctan  |`  S ) )  =  ( x  e.  S  |->  ( 1  /  ( 1  +  ( x ^ 2 ) ) ) )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    <-> wb 176    /\ wa 358    /\ w3a 934    T. wtru 1307    = wceq 1632    e. wcel 1696    =/= wne 2459   {crab 2560   _Vcvv 2801    \ cdif 3162    C_ wss 3165   {csn 3653   {cpr 3654    e. cmpt 4093   dom cdm 4705   ran crn 4706    |` cres 4707   -->wf 5267   -1-1-onto->wf1o 5270   ` cfv 5271  (class class class)co 5874   CCcc 8751   RRcr 8752   0cc0 8753   1c1 8754   _ici 8755    + caddc 8756    x. cmul 8758    -oocmnf 8881    - cmin 9053   -ucneg 9054    / cdiv 9439   2c2 9811   (,]cioc 10673   ^cexp 11120   ↾t crest 13341   TopOpenctopn 13342  ℂfldccnfld 16393   Topctop 16647  TopOnctopon 16648    _D cdv 19229   logclog 19928  arctancatan 20176
This theorem is referenced by:  atancn  20248
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1536  ax-5 1547  ax-17 1606  ax-9 1644  ax-8 1661  ax-13 1698  ax-14 1700  ax-6 1715  ax-7 1720  ax-11 1727  ax-12 1878  ax-ext 2277  ax-rep 4147  ax-sep 4157  ax-nul 4165  ax-pow 4204  ax-pr 4230  ax-un 4528  ax-inf2 7358  ax-cnex 8809  ax-resscn 8810  ax-1cn 8811  ax-icn 8812  ax-addcl 8813  ax-addrcl 8814  ax-mulcl 8815  ax-mulrcl 8816  ax-mulcom 8817  ax-addass 8818  ax-mulass 8819  ax-distr 8820  ax-i2m1 8821  ax-1ne0 8822  ax-1rid 8823  ax-rnegex 8824  ax-rrecex 8825  ax-cnre 8826  ax-pre-lttri 8827  ax-pre-lttrn 8828  ax-pre-ltadd 8829  ax-pre-mulgt0 8830  ax-pre-sup 8831  ax-addf 8832  ax-mulf 8833
This theorem depends on definitions:  df-bi 177  df-or 359  df-an 360  df-3or 935  df-3an 936  df-tru 1310  df-ex 1532  df-nf 1535  df-sb 1639  df-eu 2160  df-mo 2161  df-clab 2283  df-cleq 2289  df-clel 2292  df-nfc 2421  df-ne 2461  df-nel 2462  df-ral 2561  df-rex 2562  df-reu 2563  df-rmo 2564  df-rab 2565  df-v 2803  df-sbc 3005  df-csb 3095  df-dif 3168  df-un 3170  df-in 3172  df-ss 3179  df-pss 3181  df-nul 3469  df-if 3579  df-pw 3640  df-sn 3659  df-pr 3660  df-tp 3661  df-op 3662  df-uni 3844  df-int 3879  df-iun 3923  df-iin 3924  df-br 4040  df-opab 4094  df-mpt 4095  df-tr 4130  df-eprel 4321  df-id 4325  df-po 4330  df-so 4331  df-fr 4368  df-se 4369  df-we 4370  df-ord 4411  df-on 4412  df-lim 4413  df-suc 4414  df-om 4673  df-xp 4711  df-rel 4712  df-cnv 4713  df-co 4714  df-dm 4715  df-rn 4716  df-res 4717  df-ima 4718  df-iota 5235  df-fun 5273  df-fn 5274  df-f 5275  df-f1 5276  df-fo 5277  df-f1o 5278  df-fv 5279  df-isom 5280  df-ov 5877  df-oprab 5878  df-mpt2 5879  df-of 6094  df-1st 6138  df-2nd 6139  df-riota 6320  df-recs 6404  df-rdg 6439  df-1o 6495  df-2o 6496  df-oadd 6499  df-er 6676  df-map 6790  df-pm 6791  df-ixp 6834  df-en 6880  df-dom 6881  df-sdom 6882  df-fin 6883  df-fi 7181  df-sup 7210  df-oi 7241  df-card 7588  df-cda 7810  df-pnf 8885  df-mnf 8886  df-xr 8887  df-ltxr 8888  df-le 8889  df-sub 9055  df-neg 9056  df-div 9440  df-nn 9763  df-2 9820  df-3 9821  df-4 9822  df-5 9823  df-6 9824  df-7 9825  df-8 9826  df-9 9827  df-10 9828  df-n0 9982  df-z 10041  df-dec 10141  df-uz 10247  df-q 10333  df-rp 10371  df-xneg 10468  df-xadd 10469  df-xmul 10470  df-ioo 10676  df-ioc 10677  df-ico 10678  df-icc 10679  df-fz 10799  df-fzo 10887  df-fl 10941  df-mod 10990  df-seq 11063  df-exp 11121  df-fac 11305  df-bc 11332  df-hash 11354  df-shft 11578  df-cj 11600  df-re 11601  df-im 11602  df-sqr 11736  df-abs 11737  df-limsup 11961  df-clim 11978  df-rlim 11979  df-sum 12175  df-ef 12365  df-sin 12367  df-cos 12368  df-tan 12369  df-pi 12370  df-struct 13166  df-ndx 13167  df-slot 13168  df-base 13169  df-sets 13170  df-ress 13171  df-plusg 13237  df-mulr 13238  df-starv 13239  df-sca 13240  df-vsca 13241  df-tset 13243  df-ple 13244  df-ds 13246  df-hom 13248  df-cco 13249  df-rest 13343  df-topn 13344  df-topgen 13360  df-pt 13361  df-prds 13364  df-xrs 13419  df-0g 13420  df-gsum 13421  df-qtop 13426  df-imas 13427  df-xps 13429  df-mre 13504  df-mrc 13505  df-acs 13507  df-mnd 14383  df-submnd 14432  df-mulg 14508  df-cntz 14809  df-cmn 15107  df-xmet 16389  df-met 16390  df-bl 16391  df-mopn 16392  df-cnfld 16394  df-top 16652  df-bases 16654  df-topon 16655  df-topsp 16656  df-cld 16772  df-ntr 16773  df-cls 16774  df-nei 16851  df-lp 16884  df-perf 16885  df-cn 16973  df-cnp 16974  df-haus 17059  df-cmp 17130  df-tx 17273  df-hmeo 17462  df-fbas 17536  df-fg 17537  df-fil 17557  df-fm 17649  df-flim 17650  df-flf 17651  df-xms 17901  df-ms 17902  df-tms 17903  df-cncf 18398  df-limc 19232  df-dv 19233  df-log 19930  df-atan 20179
  Copyright terms: Public domain W3C validator