Users' Mathboxes Mathbox for Norm Megill < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  dvavbase Structured version   Unicode version

Theorem dvavbase 31884
Description: The vectors (vector base set) of the constructed partial vector space A are all translations (for a fiducial co-atom  W). (Contributed by NM, 9-Oct-2013.) (Revised by Mario Carneiro, 22-Jun-2014.)
Hypotheses
Ref Expression
dvavbase.h  |-  H  =  ( LHyp `  K
)
dvavbase.t  |-  T  =  ( ( LTrn `  K
) `  W )
dvavbase.u  |-  U  =  ( ( DVecA `  K
) `  W )
dvavbase.v  |-  V  =  ( Base `  U
)
Assertion
Ref Expression
dvavbase  |-  ( ( K  e.  X  /\  W  e.  H )  ->  V  =  T )

Proof of Theorem dvavbase
Dummy variables  f 
g  s are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 dvavbase.h . . . 4  |-  H  =  ( LHyp `  K
)
2 dvavbase.t . . . 4  |-  T  =  ( ( LTrn `  K
) `  W )
3 eqid 2438 . . . 4  |-  ( (
TEndo `  K ) `  W )  =  ( ( TEndo `  K ) `  W )
4 eqid 2438 . . . 4  |-  ( (
EDRing `  K ) `  W )  =  ( ( EDRing `  K ) `  W )
5 dvavbase.u . . . 4  |-  U  =  ( ( DVecA `  K
) `  W )
61, 2, 3, 4, 5dvaset 31876 . . 3  |-  ( ( K  e.  X  /\  W  e.  H )  ->  U  =  ( {
<. ( Base `  ndx ) ,  T >. , 
<. ( +g  `  ndx ) ,  ( f  e.  T ,  g  e.  T  |->  ( f  o.  g ) ) >. ,  <. (Scalar `  ndx ) ,  ( ( EDRing `
 K ) `  W ) >. }  u.  {
<. ( .s `  ndx ) ,  ( s  e.  ( ( TEndo `  K
) `  W ) ,  f  e.  T  |->  ( s `  f
) ) >. } ) )
76fveq2d 5735 . 2  |-  ( ( K  e.  X  /\  W  e.  H )  ->  ( Base `  U
)  =  ( Base `  ( { <. ( Base `  ndx ) ,  T >. ,  <. ( +g  `  ndx ) ,  ( f  e.  T ,  g  e.  T  |->  ( f  o.  g
) ) >. ,  <. (Scalar `  ndx ) ,  ( ( EDRing `  K ) `  W ) >. }  u.  {
<. ( .s `  ndx ) ,  ( s  e.  ( ( TEndo `  K
) `  W ) ,  f  e.  T  |->  ( s `  f
) ) >. } ) ) )
8 dvavbase.v . 2  |-  V  =  ( Base `  U
)
9 fvex 5745 . . . 4  |-  ( (
LTrn `  K ) `  W )  e.  _V
102, 9eqeltri 2508 . . 3  |-  T  e. 
_V
11 eqid 2438 . . . 4  |-  ( {
<. ( Base `  ndx ) ,  T >. , 
<. ( +g  `  ndx ) ,  ( f  e.  T ,  g  e.  T  |->  ( f  o.  g ) ) >. ,  <. (Scalar `  ndx ) ,  ( ( EDRing `
 K ) `  W ) >. }  u.  {
<. ( .s `  ndx ) ,  ( s  e.  ( ( TEndo `  K
) `  W ) ,  f  e.  T  |->  ( s `  f
) ) >. } )  =  ( { <. (
Base `  ndx ) ,  T >. ,  <. ( +g  `  ndx ) ,  ( f  e.  T ,  g  e.  T  |->  ( f  o.  g
) ) >. ,  <. (Scalar `  ndx ) ,  ( ( EDRing `  K ) `  W ) >. }  u.  {
<. ( .s `  ndx ) ,  ( s  e.  ( ( TEndo `  K
) `  W ) ,  f  e.  T  |->  ( s `  f
) ) >. } )
1211lmodbase 13599 . . 3  |-  ( T  e.  _V  ->  T  =  ( Base `  ( { <. ( Base `  ndx ) ,  T >. , 
<. ( +g  `  ndx ) ,  ( f  e.  T ,  g  e.  T  |->  ( f  o.  g ) ) >. ,  <. (Scalar `  ndx ) ,  ( ( EDRing `
 K ) `  W ) >. }  u.  {
<. ( .s `  ndx ) ,  ( s  e.  ( ( TEndo `  K
) `  W ) ,  f  e.  T  |->  ( s `  f
) ) >. } ) ) )
1310, 12ax-mp 5 . 2  |-  T  =  ( Base `  ( { <. ( Base `  ndx ) ,  T >. , 
<. ( +g  `  ndx ) ,  ( f  e.  T ,  g  e.  T  |->  ( f  o.  g ) ) >. ,  <. (Scalar `  ndx ) ,  ( ( EDRing `
 K ) `  W ) >. }  u.  {
<. ( .s `  ndx ) ,  ( s  e.  ( ( TEndo `  K
) `  W ) ,  f  e.  T  |->  ( s `  f
) ) >. } ) )
147, 8, 133eqtr4g 2495 1  |-  ( ( K  e.  X  /\  W  e.  H )  ->  V  =  T )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    /\ wa 360    = wceq 1653    e. wcel 1726   _Vcvv 2958    u. cun 3320   {csn 3816   {ctp 3818   <.cop 3819    o. ccom 4885   ` cfv 5457    e. cmpt2 6086   ndxcnx 13471   Basecbs 13474   +g cplusg 13534  Scalarcsca 13537   .scvsca 13538   LHypclh 30855   LTrncltrn 30972   TEndoctendo 31623   EDRingcedring 31624   DVecAcdveca 31873
This theorem is referenced by:  dvalveclem  31897  dva0g  31899  dialss  31918  diassdvaN  31932  dia1dim2  31934  dia1dimid  31935  dia2dimlem5  31940  dvadiaN  32000
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1556  ax-5 1567  ax-17 1627  ax-9 1667  ax-8 1688  ax-13 1728  ax-14 1730  ax-6 1745  ax-7 1750  ax-11 1762  ax-12 1951  ax-ext 2419  ax-rep 4323  ax-sep 4333  ax-nul 4341  ax-pow 4380  ax-pr 4406  ax-un 4704  ax-cnex 9051  ax-resscn 9052  ax-1cn 9053  ax-icn 9054  ax-addcl 9055  ax-addrcl 9056  ax-mulcl 9057  ax-mulrcl 9058  ax-mulcom 9059  ax-addass 9060  ax-mulass 9061  ax-distr 9062  ax-i2m1 9063  ax-1ne0 9064  ax-1rid 9065  ax-rnegex 9066  ax-rrecex 9067  ax-cnre 9068  ax-pre-lttri 9069  ax-pre-lttrn 9070  ax-pre-ltadd 9071  ax-pre-mulgt0 9072
This theorem depends on definitions:  df-bi 179  df-or 361  df-an 362  df-3or 938  df-3an 939  df-tru 1329  df-ex 1552  df-nf 1555  df-sb 1660  df-eu 2287  df-mo 2288  df-clab 2425  df-cleq 2431  df-clel 2434  df-nfc 2563  df-ne 2603  df-nel 2604  df-ral 2712  df-rex 2713  df-reu 2714  df-rab 2716  df-v 2960  df-sbc 3164  df-csb 3254  df-dif 3325  df-un 3327  df-in 3329  df-ss 3336  df-pss 3338  df-nul 3631  df-if 3742  df-pw 3803  df-sn 3822  df-pr 3823  df-tp 3824  df-op 3825  df-uni 4018  df-int 4053  df-iun 4097  df-br 4216  df-opab 4270  df-mpt 4271  df-tr 4306  df-eprel 4497  df-id 4501  df-po 4506  df-so 4507  df-fr 4544  df-we 4546  df-ord 4587  df-on 4588  df-lim 4589  df-suc 4590  df-om 4849  df-xp 4887  df-rel 4888  df-cnv 4889  df-co 4890  df-dm 4891  df-rn 4892  df-res 4893  df-ima 4894  df-iota 5421  df-fun 5459  df-fn 5460  df-f 5461  df-f1 5462  df-fo 5463  df-f1o 5464  df-fv 5465  df-ov 6087  df-oprab 6088  df-mpt2 6089  df-1st 6352  df-2nd 6353  df-riota 6552  df-recs 6636  df-rdg 6671  df-1o 6727  df-oadd 6731  df-er 6908  df-en 7113  df-dom 7114  df-sdom 7115  df-fin 7116  df-pnf 9127  df-mnf 9128  df-xr 9129  df-ltxr 9130  df-le 9131  df-sub 9298  df-neg 9299  df-nn 10006  df-2 10063  df-3 10064  df-4 10065  df-5 10066  df-6 10067  df-n0 10227  df-z 10288  df-uz 10494  df-fz 11049  df-struct 13476  df-ndx 13477  df-slot 13478  df-base 13479  df-plusg 13547  df-sca 13550  df-vsca 13551  df-dveca 31874
  Copyright terms: Public domain W3C validator