MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  dvbssntr Unicode version

Theorem dvbssntr 19647
Description: The set of differentiable points is a subset of the interior of the domain of the function. (Contributed by Mario Carneiro, 7-Aug-2014.) (Revised by Mario Carneiro, 9-Feb-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
dvcl.s  |-  ( ph  ->  S  C_  CC )
dvcl.f  |-  ( ph  ->  F : A --> CC )
dvcl.a  |-  ( ph  ->  A  C_  S )
dvbssntr.j  |-  J  =  ( Kt  S )
dvbssntr.k  |-  K  =  ( TopOpen ` fld )
Assertion
Ref Expression
dvbssntr  |-  ( ph  ->  dom  ( S  _D  F )  C_  (
( int `  J
) `  A )
)

Proof of Theorem dvbssntr
Dummy variables  x  z are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 dvcl.s . . . . 5  |-  ( ph  ->  S  C_  CC )
2 dvcl.f . . . . 5  |-  ( ph  ->  F : A --> CC )
3 dvcl.a . . . . 5  |-  ( ph  ->  A  C_  S )
4 dvbssntr.j . . . . . 6  |-  J  =  ( Kt  S )
5 dvbssntr.k . . . . . 6  |-  K  =  ( TopOpen ` fld )
64, 5dvfval 19644 . . . . 5  |-  ( ( S  C_  CC  /\  F : A --> CC  /\  A  C_  S )  ->  (
( S  _D  F
)  =  U_ x  e.  ( ( int `  J
) `  A )
( { x }  X.  ( ( z  e.  ( A  \  {
x } )  |->  ( ( ( F `  z )  -  ( F `  x )
)  /  ( z  -  x ) ) ) lim CC  x ) )  /\  ( S  _D  F )  C_  ( ( ( int `  J ) `  A
)  X.  CC ) ) )
71, 2, 3, 6syl3anc 1184 . . . 4  |-  ( ph  ->  ( ( S  _D  F )  =  U_ x  e.  ( ( int `  J ) `  A ) ( { x }  X.  (
( z  e.  ( A  \  { x } )  |->  ( ( ( F `  z
)  -  ( F `
 x ) )  /  ( z  -  x ) ) ) lim
CC  x ) )  /\  ( S  _D  F )  C_  (
( ( int `  J
) `  A )  X.  CC ) ) )
87simprd 450 . . 3  |-  ( ph  ->  ( S  _D  F
)  C_  ( (
( int `  J
) `  A )  X.  CC ) )
9 dmss 5002 . . 3  |-  ( ( S  _D  F ) 
C_  ( ( ( int `  J ) `
 A )  X.  CC )  ->  dom  ( S  _D  F
)  C_  dom  ( ( ( int `  J
) `  A )  X.  CC ) )
108, 9syl 16 . 2  |-  ( ph  ->  dom  ( S  _D  F )  C_  dom  ( ( ( int `  J ) `  A
)  X.  CC ) )
11 dmxpss 5233 . 2  |-  dom  (
( ( int `  J
) `  A )  X.  CC )  C_  (
( int `  J
) `  A )
1210, 11syl6ss 3296 1  |-  ( ph  ->  dom  ( S  _D  F )  C_  (
( int `  J
) `  A )
)
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    /\ wa 359    = wceq 1649    \ cdif 3253    C_ wss 3256   {csn 3750   U_ciun 4028    e. cmpt 4200    X. cxp 4809   dom cdm 4811   -->wf 5383   ` cfv 5387  (class class class)co 6013   CCcc 8914    - cmin 9216    / cdiv 9602   ↾t crest 13568   TopOpenctopn 13569  ℂfldccnfld 16619   intcnt 16997   lim CC climc 19609    _D cdv 19610
This theorem is referenced by:  dvbss  19648  dvnres  19677  dvcmulf  19691  dvcjbr  19695  dvmptcmul  19710  dvcnvre  19763  ftc1cn  19787  taylthlem1  20149  taylthlem2  20150  ulmdvlem3  20178  ftc1cnnc  25972
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1552  ax-5 1563  ax-17 1623  ax-9 1661  ax-8 1682  ax-13 1719  ax-14 1721  ax-6 1736  ax-7 1741  ax-11 1753  ax-12 1939  ax-ext 2361  ax-rep 4254  ax-sep 4264  ax-nul 4272  ax-pow 4311  ax-pr 4337  ax-un 4634  ax-cnex 8972  ax-resscn 8973  ax-1cn 8974  ax-icn 8975  ax-addcl 8976  ax-addrcl 8977  ax-mulcl 8978  ax-mulrcl 8979  ax-mulcom 8980  ax-addass 8981  ax-mulass 8982  ax-distr 8983  ax-i2m1 8984  ax-1ne0 8985  ax-1rid 8986  ax-rnegex 8987  ax-rrecex 8988  ax-cnre 8989  ax-pre-lttri 8990  ax-pre-lttrn 8991  ax-pre-ltadd 8992  ax-pre-mulgt0 8993  ax-pre-sup 8994
This theorem depends on definitions:  df-bi 178  df-or 360  df-an 361  df-3or 937  df-3an 938  df-tru 1325  df-ex 1548  df-nf 1551  df-sb 1656  df-eu 2235  df-mo 2236  df-clab 2367  df-cleq 2373  df-clel 2376  df-nfc 2505  df-ne 2545  df-nel 2546  df-ral 2647  df-rex 2648  df-reu 2649  df-rmo 2650  df-rab 2651  df-v 2894  df-sbc 3098  df-csb 3188  df-dif 3259  df-un 3261  df-in 3263  df-ss 3270  df-pss 3272  df-nul 3565  df-if 3676  df-pw 3737  df-sn 3756  df-pr 3757  df-tp 3758  df-op 3759  df-uni 3951  df-int 3986  df-iun 4030  df-br 4147  df-opab 4201  df-mpt 4202  df-tr 4237  df-eprel 4428  df-id 4432  df-po 4437  df-so 4438  df-fr 4475  df-we 4477  df-ord 4518  df-on 4519  df-lim 4520  df-suc 4521  df-om 4779  df-xp 4817  df-rel 4818  df-cnv 4819  df-co 4820  df-dm 4821  df-rn 4822  df-res 4823  df-ima 4824  df-iota 5351  df-fun 5389  df-fn 5390  df-f 5391  df-f1 5392  df-fo 5393  df-f1o 5394  df-fv 5395  df-ov 6016  df-oprab 6017  df-mpt2 6018  df-1st 6281  df-2nd 6282  df-riota 6478  df-recs 6562  df-rdg 6597  df-1o 6653  df-oadd 6657  df-er 6834  df-map 6949  df-pm 6950  df-en 7039  df-dom 7040  df-sdom 7041  df-fin 7042  df-fi 7344  df-sup 7374  df-pnf 9048  df-mnf 9049  df-xr 9050  df-ltxr 9051  df-le 9052  df-sub 9218  df-neg 9219  df-div 9603  df-nn 9926  df-2 9983  df-3 9984  df-4 9985  df-5 9986  df-6 9987  df-7 9988  df-8 9989  df-9 9990  df-10 9991  df-n0 10147  df-z 10208  df-dec 10308  df-uz 10414  df-q 10500  df-rp 10538  df-xneg 10635  df-xadd 10636  df-xmul 10637  df-fz 10969  df-seq 11244  df-exp 11303  df-cj 11824  df-re 11825  df-im 11826  df-sqr 11960  df-abs 11961  df-struct 13391  df-ndx 13392  df-slot 13393  df-base 13394  df-plusg 13462  df-mulr 13463  df-starv 13464  df-tset 13468  df-ple 13469  df-ds 13471  df-unif 13472  df-rest 13570  df-topn 13571  df-topgen 13587  df-xmet 16612  df-met 16613  df-bl 16614  df-mopn 16615  df-cnfld 16620  df-top 16879  df-bases 16881  df-topon 16882  df-topsp 16883  df-cnp 17207  df-xms 18252  df-ms 18253  df-limc 19613  df-dv 19614
  Copyright terms: Public domain W3C validator