MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  dvbsss Unicode version

Theorem dvbsss 19658
Description: The set of differentiable points is a subset of the ambient topology. (Contributed by Mario Carneiro, 18-Mar-2015.)
Assertion
Ref Expression
dvbsss  |-  dom  ( S  _D  F )  C_  S

Proof of Theorem dvbsss
Dummy variables  f 
s  x  z are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 df-dv 19623 . . . . . . . . . . 11  |-  _D  =  ( s  e.  ~P CC ,  f  e.  ( CC  ^pm  s ) 
|->  U_ x  e.  ( ( int `  (
( TopOpen ` fld )t  s ) ) `
 dom  f )
( { x }  X.  ( ( z  e.  ( dom  f  \  { x } ) 
|->  ( ( ( f `
 z )  -  ( f `  x
) )  /  (
z  -  x ) ) ) lim CC  x
) ) )
21reldmmpt2 6122 . . . . . . . . . 10  |-  Rel  dom  _D
3 df-rel 4827 . . . . . . . . . 10  |-  ( Rel 
dom  _D  <->  dom  _D  C_  ( _V  X.  _V ) )
42, 3mpbi 200 . . . . . . . . 9  |-  dom  _D  C_  ( _V  X.  _V )
54sseli 3289 . . . . . . . 8  |-  ( <. S ,  F >.  e. 
dom  _D  ->  <. S ,  F >.  e.  ( _V 
X.  _V ) )
6 opelxp1 4853 . . . . . . . 8  |-  ( <. S ,  F >.  e.  ( _V  X.  _V )  ->  S  e.  _V )
75, 6syl 16 . . . . . . 7  |-  ( <. S ,  F >.  e. 
dom  _D  ->  S  e. 
_V )
8 opeq1 3928 . . . . . . . . . 10  |-  ( s  =  S  ->  <. s ,  F >.  =  <. S ,  F >. )
98eleq1d 2455 . . . . . . . . 9  |-  ( s  =  S  ->  ( <. s ,  F >.  e. 
dom  _D  <->  <. S ,  F >.  e.  dom  _D  )
)
10 eleq1 2449 . . . . . . . . . 10  |-  ( s  =  S  ->  (
s  e.  ~P CC  <->  S  e.  ~P CC ) )
11 oveq2 6030 . . . . . . . . . . 11  |-  ( s  =  S  ->  ( CC  ^pm  s )  =  ( CC  ^pm  S
) )
1211eleq2d 2456 . . . . . . . . . 10  |-  ( s  =  S  ->  ( F  e.  ( CC  ^pm  s )  <->  F  e.  ( CC  ^pm  S ) ) )
1310, 12anbi12d 692 . . . . . . . . 9  |-  ( s  =  S  ->  (
( s  e.  ~P CC  /\  F  e.  ( CC  ^pm  s )
)  <->  ( S  e. 
~P CC  /\  F  e.  ( CC  ^pm  S
) ) ) )
149, 13imbi12d 312 . . . . . . . 8  |-  ( s  =  S  ->  (
( <. s ,  F >.  e.  dom  _D  ->  ( s  e.  ~P CC  /\  F  e.  ( CC 
^pm  s ) ) )  <->  ( <. S ,  F >.  e.  dom  _D  ->  ( S  e.  ~P CC  /\  F  e.  ( CC  ^pm  S )
) ) ) )
151dmmpt2ssx 6357 . . . . . . . . . 10  |-  dom  _D  C_ 
U_ s  e.  ~P  CC ( { s }  X.  ( CC  ^pm  s ) )
1615sseli 3289 . . . . . . . . 9  |-  ( <.
s ,  F >.  e. 
dom  _D  ->  <. s ,  F >.  e.  U_ s  e.  ~P  CC ( { s }  X.  ( CC  ^pm  s ) ) )
17 opeliunxp 4871 . . . . . . . . 9  |-  ( <.
s ,  F >.  e. 
U_ s  e.  ~P  CC ( { s }  X.  ( CC  ^pm  s ) )  <->  ( s  e.  ~P CC  /\  F  e.  ( CC  ^pm  s
) ) )
1816, 17sylib 189 . . . . . . . 8  |-  ( <.
s ,  F >.  e. 
dom  _D  ->  ( s  e.  ~P CC  /\  F  e.  ( CC  ^pm  s ) ) )
1914, 18vtoclg 2956 . . . . . . 7  |-  ( S  e.  _V  ->  ( <. S ,  F >.  e. 
dom  _D  ->  ( S  e.  ~P CC  /\  F  e.  ( CC  ^pm 
S ) ) ) )
207, 19mpcom 34 . . . . . 6  |-  ( <. S ,  F >.  e. 
dom  _D  ->  ( S  e.  ~P CC  /\  F  e.  ( CC  ^pm 
S ) ) )
2120simpld 446 . . . . 5  |-  ( <. S ,  F >.  e. 
dom  _D  ->  S  e. 
~P CC )
2221elpwid 3753 . . . 4  |-  ( <. S ,  F >.  e. 
dom  _D  ->  S  C_  CC )
2320simprd 450 . . . . . 6  |-  ( <. S ,  F >.  e. 
dom  _D  ->  F  e.  ( CC  ^pm  S
) )
24 cnex 9006 . . . . . . 7  |-  CC  e.  _V
25 elpm2g 6971 . . . . . . 7  |-  ( ( CC  e.  _V  /\  S  e.  ~P CC )  ->  ( F  e.  ( CC  ^pm  S
)  <->  ( F : dom  F --> CC  /\  dom  F 
C_  S ) ) )
2624, 21, 25sylancr 645 . . . . . 6  |-  ( <. S ,  F >.  e. 
dom  _D  ->  ( F  e.  ( CC  ^pm  S )  <->  ( F : dom  F --> CC  /\  dom  F 
C_  S ) ) )
2723, 26mpbid 202 . . . . 5  |-  ( <. S ,  F >.  e. 
dom  _D  ->  ( F : dom  F --> CC  /\  dom  F  C_  S )
)
2827simpld 446 . . . 4  |-  ( <. S ,  F >.  e. 
dom  _D  ->  F : dom  F --> CC )
2927simprd 450 . . . 4  |-  ( <. S ,  F >.  e. 
dom  _D  ->  dom  F  C_  S )
3022, 28, 29dvbss 19657 . . 3  |-  ( <. S ,  F >.  e. 
dom  _D  ->  dom  ( S  _D  F )  C_  dom  F )
3130, 29sstrd 3303 . 2  |-  ( <. S ,  F >.  e. 
dom  _D  ->  dom  ( S  _D  F )  C_  S )
32 df-ov 6025 . . . . . 6  |-  ( S  _D  F )  =  (  _D  `  <. S ,  F >. )
33 ndmfv 5697 . . . . . 6  |-  ( -. 
<. S ,  F >.  e. 
dom  _D  ->  (  _D 
`  <. S ,  F >. )  =  (/) )
3432, 33syl5eq 2433 . . . . 5  |-  ( -. 
<. S ,  F >.  e. 
dom  _D  ->  ( S  _D  F )  =  (/) )
3534dmeqd 5014 . . . 4  |-  ( -. 
<. S ,  F >.  e. 
dom  _D  ->  dom  ( S  _D  F )  =  dom  (/) )
36 dm0 5025 . . . 4  |-  dom  (/)  =  (/)
3735, 36syl6eq 2437 . . 3  |-  ( -. 
<. S ,  F >.  e. 
dom  _D  ->  dom  ( S  _D  F )  =  (/) )
38 0ss 3601 . . 3  |-  (/)  C_  S
3937, 38syl6eqss 3343 . 2  |-  ( -. 
<. S ,  F >.  e. 
dom  _D  ->  dom  ( S  _D  F )  C_  S )
4031, 39pm2.61i 158 1  |-  dom  ( S  _D  F )  C_  S
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:   -. wn 3    -> wi 4    <-> wb 177    /\ wa 359    = wceq 1649    e. wcel 1717   _Vcvv 2901    \ cdif 3262    C_ wss 3265   (/)c0 3573   ~Pcpw 3744   {csn 3759   <.cop 3762   U_ciun 4037    e. cmpt 4209    X. cxp 4818   dom cdm 4820   Rel wrel 4825   -->wf 5392   ` cfv 5396  (class class class)co 6022    ^pm cpm 6957   CCcc 8923    - cmin 9225    / cdiv 9611   ↾t crest 13577   TopOpenctopn 13578  ℂfldccnfld 16628   intcnt 17006   lim CC climc 19618    _D cdv 19619
This theorem is referenced by:  dvaddf  19697  dvmulf  19698  dvcmulf  19700  dvcof  19703  dvmptres2  19717  dvmptcmul  19719  dvmptcj  19723  dvcnvlem  19729  dvcnv  19730  dvef  19733  dvcnvrelem1  19770  dvcnvrelem2  19771  dvcnvre  19772  ulmdvlem1  20185  ulmdvlem3  20187  ulmdv  20188
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1552  ax-5 1563  ax-17 1623  ax-9 1661  ax-8 1682  ax-13 1719  ax-14 1721  ax-6 1736  ax-7 1741  ax-11 1753  ax-12 1939  ax-ext 2370  ax-rep 4263  ax-sep 4273  ax-nul 4281  ax-pow 4320  ax-pr 4346  ax-un 4643  ax-cnex 8981  ax-resscn 8982  ax-1cn 8983  ax-icn 8984  ax-addcl 8985  ax-addrcl 8986  ax-mulcl 8987  ax-mulrcl 8988  ax-mulcom 8989  ax-addass 8990  ax-mulass 8991  ax-distr 8992  ax-i2m1 8993  ax-1ne0 8994  ax-1rid 8995  ax-rnegex 8996  ax-rrecex 8997  ax-cnre 8998  ax-pre-lttri 8999  ax-pre-lttrn 9000  ax-pre-ltadd 9001  ax-pre-mulgt0 9002  ax-pre-sup 9003
This theorem depends on definitions:  df-bi 178  df-or 360  df-an 361  df-3or 937  df-3an 938  df-tru 1325  df-ex 1548  df-nf 1551  df-sb 1656  df-eu 2244  df-mo 2245  df-clab 2376  df-cleq 2382  df-clel 2385  df-nfc 2514  df-ne 2554  df-nel 2555  df-ral 2656  df-rex 2657  df-reu 2658  df-rmo 2659  df-rab 2660  df-v 2903  df-sbc 3107  df-csb 3197  df-dif 3268  df-un 3270  df-in 3272  df-ss 3279  df-pss 3281  df-nul 3574  df-if 3685  df-pw 3746  df-sn 3765  df-pr 3766  df-tp 3767  df-op 3768  df-uni 3960  df-int 3995  df-iun 4039  df-br 4156  df-opab 4210  df-mpt 4211  df-tr 4246  df-eprel 4437  df-id 4441  df-po 4446  df-so 4447  df-fr 4484  df-we 4486  df-ord 4527  df-on 4528  df-lim 4529  df-suc 4530  df-om 4788  df-xp 4826  df-rel 4827  df-cnv 4828  df-co 4829  df-dm 4830  df-rn 4831  df-res 4832  df-ima 4833  df-iota 5360  df-fun 5398  df-fn 5399  df-f 5400  df-f1 5401  df-fo 5402  df-f1o 5403  df-fv 5404  df-ov 6025  df-oprab 6026  df-mpt2 6027  df-1st 6290  df-2nd 6291  df-riota 6487  df-recs 6571  df-rdg 6606  df-1o 6662  df-oadd 6666  df-er 6843  df-map 6958  df-pm 6959  df-en 7048  df-dom 7049  df-sdom 7050  df-fin 7051  df-fi 7353  df-sup 7383  df-pnf 9057  df-mnf 9058  df-xr 9059  df-ltxr 9060  df-le 9061  df-sub 9227  df-neg 9228  df-div 9612  df-nn 9935  df-2 9992  df-3 9993  df-4 9994  df-5 9995  df-6 9996  df-7 9997  df-8 9998  df-9 9999  df-10 10000  df-n0 10156  df-z 10217  df-dec 10317  df-uz 10423  df-q 10509  df-rp 10547  df-xneg 10644  df-xadd 10645  df-xmul 10646  df-fz 10978  df-seq 11253  df-exp 11312  df-cj 11833  df-re 11834  df-im 11835  df-sqr 11969  df-abs 11970  df-struct 13400  df-ndx 13401  df-slot 13402  df-base 13403  df-plusg 13471  df-mulr 13472  df-starv 13473  df-tset 13477  df-ple 13478  df-ds 13480  df-unif 13481  df-rest 13579  df-topn 13580  df-topgen 13596  df-xmet 16621  df-met 16622  df-bl 16623  df-mopn 16624  df-cnfld 16629  df-top 16888  df-bases 16890  df-topon 16891  df-topsp 16892  df-ntr 17009  df-cnp 17216  df-xms 18261  df-ms 18262  df-limc 19622  df-dv 19623
  Copyright terms: Public domain W3C validator