Metamath Proof Explorer < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  dvcjbr Structured version   Unicode version

Theorem dvcjbr 19835
 Description: The derivative of the conjugate of a function. (This doesn't follow from dvcobr 19832 because is not a function on the reals, and even if we used complex derivatives, is not complex-differentiable.) (Contributed by Mario Carneiro, 1-Sep-2014.) (Revised by Mario Carneiro, 10-Feb-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
dvcj.f
dvcj.x
dvcj.c
Assertion
Ref Expression
dvcjbr

Proof of Theorem dvcjbr
Dummy variables are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 ax-resscn 9047 . . . . 5
21a1i 11 . . . 4
3 dvcj.f . . . 4
4 dvcj.x . . . 4
5 eqid 2436 . . . . 5 fld fld
65tgioo2 18834 . . . 4 fldt
72, 3, 4, 6, 5dvbssntr 19787 . . 3
8 dvcj.c . . 3
97, 8sseldd 3349 . 2
104, 1syl6ss 3360 . . . . . 6
111a1i 11 . . . . . . . . 9
12 simpl 444 . . . . . . . . 9
13 simpr 448 . . . . . . . . 9
1411, 12, 13dvbss 19788 . . . . . . . 8
153, 4, 14syl2anc 643 . . . . . . 7
1615, 8sseldd 3349 . . . . . 6
173, 10, 16dvlem 19783 . . . . 5
18 eqid 2436 . . . . 5
1917, 18fmptd 5893 . . . 4
20 ssid 3367 . . . . 5
2120a1i 11 . . . 4
225cnfldtopon 18817 . . . . . 6 fld TopOn
2322toponunii 16997 . . . . . . 7 fld
2423restid 13661 . . . . . 6 fld TopOn fldt fld
2522, 24ax-mp 8 . . . . 5 fldt fld
2625eqcomi 2440 . . . 4 fld fldt
27 dvf 19794 . . . . . . . 8
28 ffun 5593 . . . . . . . 8
29 funfvbrb 5843 . . . . . . . 8
3027, 28, 29mp2b 10 . . . . . . 7
318, 30sylib 189 . . . . . 6
326, 5, 18, 2, 3, 4eldv 19785 . . . . . 6 lim
3331, 32mpbid 202 . . . . 5 lim
3433simprd 450 . . . 4 lim
35 cjcncf 18934 . . . . . 6
365cncfcn1 18940 . . . . . 6 fld fld
3735, 36eleqtri 2508 . . . . 5 fld fld
3827ffvelrni 5869 . . . . . 6
398, 38syl 16 . . . . 5
4023cncnpi 17342 . . . . 5 fld fld fld fld
4137, 39, 40sylancr 645 . . . 4 fld fld
4219, 21, 5, 26, 34, 41limccnp 19778 . . 3 lim
43 eqidd 2437 . . . . . 6
44 cjf 11909 . . . . . . . 8
4544a1i 11 . . . . . . 7
4645feqmptd 5779 . . . . . 6
47 fveq2 5728 . . . . . 6
4817, 43, 46, 47fmptco 5901 . . . . 5
493adantr 452 . . . . . . . . . 10
50 eldifi 3469 . . . . . . . . . . 11
5150adantl 453 . . . . . . . . . 10
5249, 51ffvelrnd 5871 . . . . . . . . 9
533, 16ffvelrnd 5871 . . . . . . . . . 10
5453adantr 452 . . . . . . . . 9
5552, 54subcld 9411 . . . . . . . 8
564sselda 3348 . . . . . . . . . . 11
5750, 56sylan2 461 . . . . . . . . . 10
584, 16sseldd 3349 . . . . . . . . . . 11
5958adantr 452 . . . . . . . . . 10
6057, 59resubcld 9465 . . . . . . . . 9
6160recnd 9114 . . . . . . . 8
6257recnd 9114 . . . . . . . . 9
6359recnd 9114 . . . . . . . . 9
64 eldifsni 3928 . . . . . . . . . 10
6564adantl 453 . . . . . . . . 9
6662, 63, 65subne0d 9420 . . . . . . . 8
6755, 61, 66cjdivd 12028 . . . . . . 7
68 cjsub 11954 . . . . . . . . . 10
6952, 54, 68syl2anc 643 . . . . . . . . 9
70 fvco3 5800 . . . . . . . . . . 11
713, 50, 70syl2an 464 . . . . . . . . . 10
72 fvco3 5800 . . . . . . . . . . . 12
733, 16, 72syl2anc 643 . . . . . . . . . . 11
7473adantr 452 . . . . . . . . . 10
7571, 74oveq12d 6099 . . . . . . . . 9
7669, 75eqtr4d 2471 . . . . . . . 8
7760cjred 12031 . . . . . . . 8
7876, 77oveq12d 6099 . . . . . . 7
7967, 78eqtrd 2468 . . . . . 6
8079mpteq2dva 4295 . . . . 5
8148, 80eqtrd 2468 . . . 4
8281oveq1d 6096 . . 3 lim lim
8342, 82eleqtrd 2512 . 2 lim
84 eqid 2436 . . 3
85 fco 5600 . . . 4
8644, 3, 85sylancr 645 . . 3
876, 5, 84, 2, 86, 4eldv 19785 . 2 lim
889, 83, 87mpbir2and 889 1
 Colors of variables: wff set class Syntax hints:   wi 4   wb 177   wa 359   wceq 1652   wcel 1725   wne 2599   cdif 3317   wss 3320  csn 3814   class class class wbr 4212   cmpt 4266   cdm 4878   crn 4879   ccom 4882   wfun 5448  wf 5450  cfv 5454  (class class class)co 6081  cc 8988  cr 8989   cmin 9291   cdiv 9677  cioo 10916  ccj 11901   ↾t crest 13648  ctopn 13649  ctg 13665  ℂfldccnfld 16703  TopOnctopon 16959  cnt 17081   ccn 17288   ccnp 17289  ccncf 18906   lim climc 19749   cdv 19750 This theorem is referenced by:  dvcj  19836 This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1555  ax-5 1566  ax-17 1626  ax-9 1666  ax-8 1687  ax-13 1727  ax-14 1729  ax-6 1744  ax-7 1749  ax-11 1761  ax-12 1950  ax-ext 2417  ax-rep 4320  ax-sep 4330  ax-nul 4338  ax-pow 4377  ax-pr 4403  ax-un 4701  ax-cnex 9046  ax-resscn 9047  ax-1cn 9048  ax-icn 9049  ax-addcl 9050  ax-addrcl 9051  ax-mulcl 9052  ax-mulrcl 9053  ax-mulcom 9054  ax-addass 9055  ax-mulass 9056  ax-distr 9057  ax-i2m1 9058  ax-1ne0 9059  ax-1rid 9060  ax-rnegex 9061  ax-rrecex 9062  ax-cnre 9063  ax-pre-lttri 9064  ax-pre-lttrn 9065  ax-pre-ltadd 9066  ax-pre-mulgt0 9067  ax-pre-sup 9068 This theorem depends on definitions:  df-bi 178  df-or 360  df-an 361  df-3or 937  df-3an 938  df-tru 1328  df-ex 1551  df-nf 1554  df-sb 1659  df-eu 2285  df-mo 2286  df-clab 2423  df-cleq 2429  df-clel 2432  df-nfc 2561  df-ne 2601  df-nel 2602  df-ral 2710  df-rex 2711  df-reu 2712  df-rmo 2713  df-rab 2714  df-v 2958  df-sbc 3162  df-csb 3252  df-dif 3323  df-un 3325  df-in 3327  df-ss 3334  df-pss 3336  df-nul 3629  df-if 3740  df-pw 3801  df-sn 3820  df-pr 3821  df-tp 3822  df-op 3823  df-uni 4016  df-int 4051  df-iun 4095  df-iin 4096  df-br 4213  df-opab 4267  df-mpt 4268  df-tr 4303  df-eprel 4494  df-id 4498  df-po 4503  df-so 4504  df-fr 4541  df-we 4543  df-ord 4584  df-on 4585  df-lim 4586  df-suc 4587  df-om 4846  df-xp 4884  df-rel 4885  df-cnv 4886  df-co 4887  df-dm 4888  df-rn 4889  df-res 4890  df-ima 4891  df-iota 5418  df-fun 5456  df-fn 5457  df-f 5458  df-f1 5459  df-fo 5460  df-f1o 5461  df-fv 5462  df-ov 6084  df-oprab 6085  df-mpt2 6086  df-1st 6349  df-2nd 6350  df-riota 6549  df-recs 6633  df-rdg 6668  df-1o 6724  df-oadd 6728  df-er 6905  df-map 7020  df-pm 7021  df-en 7110  df-dom 7111  df-sdom 7112  df-fin 7113  df-fi 7416  df-sup 7446  df-pnf 9122  df-mnf 9123  df-xr 9124  df-ltxr 9125  df-le 9126  df-sub 9293  df-neg 9294  df-div 9678  df-nn 10001  df-2 10058  df-3 10059  df-4 10060  df-5 10061  df-6 10062  df-7 10063  df-8 10064  df-9 10065  df-10 10066  df-n0 10222  df-z 10283  df-dec 10383  df-uz 10489  df-q 10575  df-rp 10613  df-xneg 10710  df-xadd 10711  df-xmul 10712  df-ioo 10920  df-icc 10923  df-fz 11044  df-seq 11324  df-exp 11383  df-cj 11904  df-re 11905  df-im 11906  df-sqr 12040  df-abs 12041  df-struct 13471  df-ndx 13472  df-slot 13473  df-base 13474  df-plusg 13542  df-mulr 13543  df-starv 13544  df-tset 13548  df-ple 13549  df-ds 13551  df-unif 13552  df-rest 13650  df-topn 13651  df-topgen 13667  df-psmet 16694  df-xmet 16695  df-met 16696  df-bl 16697  df-mopn 16698  df-fbas 16699  df-fg 16700  df-cnfld 16704  df-top 16963  df-bases 16965  df-topon 16966  df-topsp 16967  df-cld 17083  df-ntr 17084  df-cls 17085  df-nei 17162  df-lp 17200  df-perf 17201  df-cn 17291  df-cnp 17292  df-haus 17379  df-fil 17878  df-fm 17970  df-flim 17971  df-flf 17972  df-xms 18350  df-ms 18351  df-cncf 18908  df-limc 19753  df-dv 19754
 Copyright terms: Public domain W3C validator