MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  dvcmul Unicode version

Theorem dvcmul 19309
Description: The product rule when one argument is a constant. (Contributed by Mario Carneiro, 9-Aug-2014.) (Revised by Mario Carneiro, 10-Feb-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
dvcmul.s  |-  ( ph  ->  S  e.  { RR ,  CC } )
dvcmul.f  |-  ( ph  ->  F : X --> CC )
dvcmul.a  |-  ( ph  ->  A  e.  CC )
dvcmul.x  |-  ( ph  ->  X  C_  S )
dvcmul.c  |-  ( ph  ->  C  e.  dom  ( S  _D  F ) )
Assertion
Ref Expression
dvcmul  |-  ( ph  ->  ( ( S  _D  ( ( S  X.  { A } )  o F  x.  F ) ) `  C )  =  ( A  x.  ( ( S  _D  F ) `  C
) ) )

Proof of Theorem dvcmul
StepHypRef Expression
1 dvcmul.a . . . 4  |-  ( ph  ->  A  e.  CC )
2 fconst6g 5446 . . . 4  |-  ( A  e.  CC  ->  ( S  X.  { A }
) : S --> CC )
31, 2syl 15 . . 3  |-  ( ph  ->  ( S  X.  { A } ) : S --> CC )
4 ssid 3210 . . . 4  |-  S  C_  S
54a1i 10 . . 3  |-  ( ph  ->  S  C_  S )
6 dvcmul.f . . 3  |-  ( ph  ->  F : X --> CC )
7 dvcmul.x . . 3  |-  ( ph  ->  X  C_  S )
8 dvcmul.s . . 3  |-  ( ph  ->  S  e.  { RR ,  CC } )
9 recnprss 19270 . . . . . . . 8  |-  ( S  e.  { RR ,  CC }  ->  S  C_  CC )
108, 9syl 15 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  S  C_  CC )
1110, 6, 7dvbss 19267 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  dom  ( S  _D  F )  C_  X
)
12 dvcmul.c . . . . . 6  |-  ( ph  ->  C  e.  dom  ( S  _D  F ) )
1311, 12sseldd 3194 . . . . 5  |-  ( ph  ->  C  e.  X )
147, 13sseldd 3194 . . . 4  |-  ( ph  ->  C  e.  S )
15 fconst6g 5446 . . . . . . . . 9  |-  ( A  e.  CC  ->  ( CC  X.  { A }
) : CC --> CC )
161, 15syl 15 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  ( CC  X.  { A } ) : CC --> CC )
17 ssid 3210 . . . . . . . . 9  |-  CC  C_  CC
1817a1i 10 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  CC  C_  CC )
19 dvconst 19282 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( A  e.  CC  ->  ( CC  _D  ( CC  X.  { A } ) )  =  ( CC  X.  { 0 } ) )
201, 19syl 15 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ph  ->  ( CC  _D  ( CC  X.  { A }
) )  =  ( CC  X.  { 0 } ) )
2120dmeqd 4897 . . . . . . . . . 10  |-  ( ph  ->  dom  ( CC  _D  ( CC  X.  { A } ) )  =  dom  ( CC  X.  { 0 } ) )
22 c0ex 8848 . . . . . . . . . . . 12  |-  0  e.  _V
2322fconst 5443 . . . . . . . . . . 11  |-  ( CC 
X.  { 0 } ) : CC --> { 0 }
2423fdmi 5410 . . . . . . . . . 10  |-  dom  ( CC  X.  { 0 } )  =  CC
2521, 24syl6eq 2344 . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  dom  ( CC  _D  ( CC  X.  { A } ) )  =  CC )
2610, 25sseqtr4d 3228 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  S  C_  dom  ( CC 
_D  ( CC  X.  { A } ) ) )
27 dvres3 19279 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( S  e.  { RR ,  CC }  /\  ( CC  X.  { A } ) : CC --> CC )  /\  ( CC  C_  CC  /\  S  C_ 
dom  ( CC  _D  ( CC  X.  { A } ) ) ) )  ->  ( S  _D  ( ( CC  X.  { A } )  |`  S ) )  =  ( ( CC  _D  ( CC  X.  { A } ) )  |`  S ) )
288, 16, 18, 26, 27syl22anc 1183 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  ( S  _D  (
( CC  X.  { A } )  |`  S ) )  =  ( ( CC  _D  ( CC 
X.  { A }
) )  |`  S ) )
29 xpssres 5005 . . . . . . . . 9  |-  ( S 
C_  CC  ->  ( ( CC  X.  { A } )  |`  S )  =  ( S  X.  { A } ) )
3010, 29syl 15 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  ( ( CC  X.  { A } )  |`  S )  =  ( S  X.  { A } ) )
3130oveq2d 5890 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  ( S  _D  (
( CC  X.  { A } )  |`  S ) )  =  ( S  _D  ( S  X.  { A } ) ) )
3220reseq1d 4970 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  ( ( CC  _D  ( CC  X.  { A } ) )  |`  S )  =  ( ( CC  X.  {
0 } )  |`  S ) )
33 xpssres 5005 . . . . . . . . 9  |-  ( S 
C_  CC  ->  ( ( CC  X.  { 0 } )  |`  S )  =  ( S  X.  { 0 } ) )
3410, 33syl 15 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  ( ( CC  X.  { 0 } )  |`  S )  =  ( S  X.  { 0 } ) )
3532, 34eqtrd 2328 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  ( ( CC  _D  ( CC  X.  { A } ) )  |`  S )  =  ( S  X.  { 0 } ) )
3628, 31, 353eqtr3d 2336 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  ( S  _D  ( S  X.  { A }
) )  =  ( S  X.  { 0 } ) )
3722fconst2 5746 . . . . . 6  |-  ( ( S  _D  ( S  X.  { A }
) ) : S --> { 0 }  <->  ( S  _D  ( S  X.  { A } ) )  =  ( S  X.  {
0 } ) )
3836, 37sylibr 203 . . . . 5  |-  ( ph  ->  ( S  _D  ( S  X.  { A }
) ) : S --> { 0 } )
39 fdm 5409 . . . . 5  |-  ( ( S  _D  ( S  X.  { A }
) ) : S --> { 0 }  ->  dom  ( S  _D  ( S  X.  { A }
) )  =  S )
4038, 39syl 15 . . . 4  |-  ( ph  ->  dom  ( S  _D  ( S  X.  { A } ) )  =  S )
4114, 40eleqtrrd 2373 . . 3  |-  ( ph  ->  C  e.  dom  ( S  _D  ( S  X.  { A } ) ) )
423, 5, 6, 7, 8, 41, 12dvmul 19306 . 2  |-  ( ph  ->  ( ( S  _D  ( ( S  X.  { A } )  o F  x.  F ) ) `  C )  =  ( ( ( ( S  _D  ( S  X.  { A }
) ) `  C
)  x.  ( F `
 C ) )  +  ( ( ( S  _D  F ) `
 C )  x.  ( ( S  X.  { A } ) `  C ) ) ) )
4336fveq1d 5543 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  ( ( S  _D  ( S  X.  { A } ) ) `  C )  =  ( ( S  X.  {
0 } ) `  C ) )
4422fvconst2 5745 . . . . . . 7  |-  ( C  e.  S  ->  (
( S  X.  {
0 } ) `  C )  =  0 )
4514, 44syl 15 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  ( ( S  X.  { 0 } ) `
 C )  =  0 )
4643, 45eqtrd 2328 . . . . 5  |-  ( ph  ->  ( ( S  _D  ( S  X.  { A } ) ) `  C )  =  0 )
4746oveq1d 5889 . . . 4  |-  ( ph  ->  ( ( ( S  _D  ( S  X.  { A } ) ) `
 C )  x.  ( F `  C
) )  =  ( 0  x.  ( F `
 C ) ) )
48 ffvelrn 5679 . . . . . 6  |-  ( ( F : X --> CC  /\  C  e.  X )  ->  ( F `  C
)  e.  CC )
496, 13, 48syl2anc 642 . . . . 5  |-  ( ph  ->  ( F `  C
)  e.  CC )
5049mul02d 9026 . . . 4  |-  ( ph  ->  ( 0  x.  ( F `  C )
)  =  0 )
5147, 50eqtrd 2328 . . 3  |-  ( ph  ->  ( ( ( S  _D  ( S  X.  { A } ) ) `
 C )  x.  ( F `  C
) )  =  0 )
52 fvconst2g 5743 . . . . . 6  |-  ( ( A  e.  CC  /\  C  e.  S )  ->  ( ( S  X.  { A } ) `  C )  =  A )
531, 14, 52syl2anc 642 . . . . 5  |-  ( ph  ->  ( ( S  X.  { A } ) `  C )  =  A )
5453oveq2d 5890 . . . 4  |-  ( ph  ->  ( ( ( S  _D  F ) `  C )  x.  (
( S  X.  { A } ) `  C
) )  =  ( ( ( S  _D  F ) `  C
)  x.  A ) )
55 dvfg 19272 . . . . . . 7  |-  ( S  e.  { RR ,  CC }  ->  ( S  _D  F ) : dom  ( S  _D  F
) --> CC )
568, 55syl 15 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  ( S  _D  F
) : dom  ( S  _D  F ) --> CC )
57 ffvelrn 5679 . . . . . 6  |-  ( ( ( S  _D  F
) : dom  ( S  _D  F ) --> CC 
/\  C  e.  dom  ( S  _D  F
) )  ->  (
( S  _D  F
) `  C )  e.  CC )
5856, 12, 57syl2anc 642 . . . . 5  |-  ( ph  ->  ( ( S  _D  F ) `  C
)  e.  CC )
5958, 1mulcomd 8872 . . . 4  |-  ( ph  ->  ( ( ( S  _D  F ) `  C )  x.  A
)  =  ( A  x.  ( ( S  _D  F ) `  C ) ) )
6054, 59eqtrd 2328 . . 3  |-  ( ph  ->  ( ( ( S  _D  F ) `  C )  x.  (
( S  X.  { A } ) `  C
) )  =  ( A  x.  ( ( S  _D  F ) `
 C ) ) )
6151, 60oveq12d 5892 . 2  |-  ( ph  ->  ( ( ( ( S  _D  ( S  X.  { A }
) ) `  C
)  x.  ( F `
 C ) )  +  ( ( ( S  _D  F ) `
 C )  x.  ( ( S  X.  { A } ) `  C ) ) )  =  ( 0  +  ( A  x.  (
( S  _D  F
) `  C )
) ) )
621, 58mulcld 8871 . . 3  |-  ( ph  ->  ( A  x.  (
( S  _D  F
) `  C )
)  e.  CC )
6362addid2d 9029 . 2  |-  ( ph  ->  ( 0  +  ( A  x.  ( ( S  _D  F ) `
 C ) ) )  =  ( A  x.  ( ( S  _D  F ) `  C ) ) )
6442, 61, 633eqtrd 2332 1  |-  ( ph  ->  ( ( S  _D  ( ( S  X.  { A } )  o F  x.  F ) ) `  C )  =  ( A  x.  ( ( S  _D  F ) `  C
) ) )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    = wceq 1632    e. wcel 1696    C_ wss 3165   {csn 3653   {cpr 3654    X. cxp 4703   dom cdm 4705    |` cres 4707   -->wf 5267   ` cfv 5271  (class class class)co 5874    o Fcof 6092   CCcc 8751   RRcr 8752   0cc0 8753    + caddc 8756    x. cmul 8758    _D cdv 19229
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1536  ax-5 1547  ax-17 1606  ax-9 1644  ax-8 1661  ax-13 1698  ax-14 1700  ax-6 1715  ax-7 1720  ax-11 1727  ax-12 1878  ax-ext 2277  ax-rep 4147  ax-sep 4157  ax-nul 4165  ax-pow 4204  ax-pr 4230  ax-un 4528  ax-inf2 7358  ax-cnex 8809  ax-resscn 8810  ax-1cn 8811  ax-icn 8812  ax-addcl 8813  ax-addrcl 8814  ax-mulcl 8815  ax-mulrcl 8816  ax-mulcom 8817  ax-addass 8818  ax-mulass 8819  ax-distr 8820  ax-i2m1 8821  ax-1ne0 8822  ax-1rid 8823  ax-rnegex 8824  ax-rrecex 8825  ax-cnre 8826  ax-pre-lttri 8827  ax-pre-lttrn 8828  ax-pre-ltadd 8829  ax-pre-mulgt0 8830  ax-pre-sup 8831  ax-addf 8832  ax-mulf 8833
This theorem depends on definitions:  df-bi 177  df-or 359  df-an 360  df-3or 935  df-3an 936  df-tru 1310  df-ex 1532  df-nf 1535  df-sb 1639  df-eu 2160  df-mo 2161  df-clab 2283  df-cleq 2289  df-clel 2292  df-nfc 2421  df-ne 2461  df-nel 2462  df-ral 2561  df-rex 2562  df-reu 2563  df-rmo 2564  df-rab 2565  df-v 2803  df-sbc 3005  df-csb 3095  df-dif 3168  df-un 3170  df-in 3172  df-ss 3179  df-pss 3181  df-nul 3469  df-if 3579  df-pw 3640  df-sn 3659  df-pr 3660  df-tp 3661  df-op 3662  df-uni 3844  df-int 3879  df-iun 3923  df-iin 3924  df-br 4040  df-opab 4094  df-mpt 4095  df-tr 4130  df-eprel 4321  df-id 4325  df-po 4330  df-so 4331  df-fr 4368  df-se 4369  df-we 4370  df-ord 4411  df-on 4412  df-lim 4413  df-suc 4414  df-om 4673  df-xp 4711  df-rel 4712  df-cnv 4713  df-co 4714  df-dm 4715  df-rn 4716  df-res 4717  df-ima 4718  df-iota 5235  df-fun 5273  df-fn 5274  df-f 5275  df-f1 5276  df-fo 5277  df-f1o 5278  df-fv 5279  df-isom 5280  df-ov 5877  df-oprab 5878  df-mpt2 5879  df-of 6094  df-1st 6138  df-2nd 6139  df-riota 6320  df-recs 6404  df-rdg 6439  df-1o 6495  df-2o 6496  df-oadd 6499  df-er 6676  df-map 6790  df-pm 6791  df-ixp 6834  df-en 6880  df-dom 6881  df-sdom 6882  df-fin 6883  df-fi 7181  df-sup 7210  df-oi 7241  df-card 7588  df-cda 7810  df-pnf 8885  df-mnf 8886  df-xr 8887  df-ltxr 8888  df-le 8889  df-sub 9055  df-neg 9056  df-div 9440  df-nn 9763  df-2 9820  df-3 9821  df-4 9822  df-5 9823  df-6 9824  df-7 9825  df-8 9826  df-9 9827  df-10 9828  df-n0 9982  df-z 10041  df-dec 10141  df-uz 10247  df-q 10333  df-rp 10371  df-xneg 10468  df-xadd 10469  df-xmul 10470  df-icc 10679  df-fz 10799  df-fzo 10887  df-seq 11063  df-exp 11121  df-hash 11354  df-cj 11600  df-re 11601  df-im 11602  df-sqr 11736  df-abs 11737  df-struct 13166  df-ndx 13167  df-slot 13168  df-base 13169  df-sets 13170  df-ress 13171  df-plusg 13237  df-mulr 13238  df-starv 13239  df-sca 13240  df-vsca 13241  df-tset 13243  df-ple 13244  df-ds 13246  df-hom 13248  df-cco 13249  df-rest 13343  df-topn 13344  df-topgen 13360  df-pt 13361  df-prds 13364  df-xrs 13419  df-0g 13420  df-gsum 13421  df-qtop 13426  df-imas 13427  df-xps 13429  df-mre 13504  df-mrc 13505  df-acs 13507  df-mnd 14383  df-submnd 14432  df-mulg 14508  df-cntz 14809  df-cmn 15107  df-xmet 16389  df-met 16390  df-bl 16391  df-mopn 16392  df-cnfld 16394  df-top 16652  df-bases 16654  df-topon 16655  df-topsp 16656  df-cld 16772  df-ntr 16773  df-cls 16774  df-nei 16851  df-lp 16884  df-perf 16885  df-cn 16973  df-cnp 16974  df-haus 17059  df-tx 17273  df-hmeo 17462  df-fbas 17536  df-fg 17537  df-fil 17557  df-fm 17649  df-flim 17650  df-flf 17651  df-xms 17901  df-ms 17902  df-tms 17903  df-cncf 18398  df-limc 19232  df-dv 19233
  Copyright terms: Public domain W3C validator