MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  dvcmul Structured version   Unicode version

Theorem dvcmul 19830
Description: The product rule when one argument is a constant. (Contributed by Mario Carneiro, 9-Aug-2014.) (Revised by Mario Carneiro, 10-Feb-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
dvcmul.s  |-  ( ph  ->  S  e.  { RR ,  CC } )
dvcmul.f  |-  ( ph  ->  F : X --> CC )
dvcmul.a  |-  ( ph  ->  A  e.  CC )
dvcmul.x  |-  ( ph  ->  X  C_  S )
dvcmul.c  |-  ( ph  ->  C  e.  dom  ( S  _D  F ) )
Assertion
Ref Expression
dvcmul  |-  ( ph  ->  ( ( S  _D  ( ( S  X.  { A } )  o F  x.  F ) ) `  C )  =  ( A  x.  ( ( S  _D  F ) `  C
) ) )

Proof of Theorem dvcmul
StepHypRef Expression
1 dvcmul.a . . . 4  |-  ( ph  ->  A  e.  CC )
2 fconst6g 5632 . . . 4  |-  ( A  e.  CC  ->  ( S  X.  { A }
) : S --> CC )
31, 2syl 16 . . 3  |-  ( ph  ->  ( S  X.  { A } ) : S --> CC )
4 ssid 3367 . . . 4  |-  S  C_  S
54a1i 11 . . 3  |-  ( ph  ->  S  C_  S )
6 dvcmul.f . . 3  |-  ( ph  ->  F : X --> CC )
7 dvcmul.x . . 3  |-  ( ph  ->  X  C_  S )
8 dvcmul.s . . 3  |-  ( ph  ->  S  e.  { RR ,  CC } )
9 recnprss 19791 . . . . . . . 8  |-  ( S  e.  { RR ,  CC }  ->  S  C_  CC )
108, 9syl 16 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  S  C_  CC )
1110, 6, 7dvbss 19788 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  dom  ( S  _D  F )  C_  X
)
12 dvcmul.c . . . . . 6  |-  ( ph  ->  C  e.  dom  ( S  _D  F ) )
1311, 12sseldd 3349 . . . . 5  |-  ( ph  ->  C  e.  X )
147, 13sseldd 3349 . . . 4  |-  ( ph  ->  C  e.  S )
15 fconst6g 5632 . . . . . . . . 9  |-  ( A  e.  CC  ->  ( CC  X.  { A }
) : CC --> CC )
161, 15syl 16 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  ( CC  X.  { A } ) : CC --> CC )
17 ssid 3367 . . . . . . . . 9  |-  CC  C_  CC
1817a1i 11 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  CC  C_  CC )
19 dvconst 19803 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( A  e.  CC  ->  ( CC  _D  ( CC  X.  { A } ) )  =  ( CC  X.  { 0 } ) )
201, 19syl 16 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ph  ->  ( CC  _D  ( CC  X.  { A }
) )  =  ( CC  X.  { 0 } ) )
2120dmeqd 5072 . . . . . . . . . 10  |-  ( ph  ->  dom  ( CC  _D  ( CC  X.  { A } ) )  =  dom  ( CC  X.  { 0 } ) )
22 c0ex 9085 . . . . . . . . . . . 12  |-  0  e.  _V
2322fconst 5629 . . . . . . . . . . 11  |-  ( CC 
X.  { 0 } ) : CC --> { 0 }
2423fdmi 5596 . . . . . . . . . 10  |-  dom  ( CC  X.  { 0 } )  =  CC
2521, 24syl6eq 2484 . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  dom  ( CC  _D  ( CC  X.  { A } ) )  =  CC )
2610, 25sseqtr4d 3385 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  S  C_  dom  ( CC 
_D  ( CC  X.  { A } ) ) )
27 dvres3 19800 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( S  e.  { RR ,  CC }  /\  ( CC  X.  { A } ) : CC --> CC )  /\  ( CC  C_  CC  /\  S  C_ 
dom  ( CC  _D  ( CC  X.  { A } ) ) ) )  ->  ( S  _D  ( ( CC  X.  { A } )  |`  S ) )  =  ( ( CC  _D  ( CC  X.  { A } ) )  |`  S ) )
288, 16, 18, 26, 27syl22anc 1185 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  ( S  _D  (
( CC  X.  { A } )  |`  S ) )  =  ( ( CC  _D  ( CC 
X.  { A }
) )  |`  S ) )
29 xpssres 5180 . . . . . . . . 9  |-  ( S 
C_  CC  ->  ( ( CC  X.  { A } )  |`  S )  =  ( S  X.  { A } ) )
3010, 29syl 16 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  ( ( CC  X.  { A } )  |`  S )  =  ( S  X.  { A } ) )
3130oveq2d 6097 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  ( S  _D  (
( CC  X.  { A } )  |`  S ) )  =  ( S  _D  ( S  X.  { A } ) ) )
3220reseq1d 5145 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  ( ( CC  _D  ( CC  X.  { A } ) )  |`  S )  =  ( ( CC  X.  {
0 } )  |`  S ) )
33 xpssres 5180 . . . . . . . . 9  |-  ( S 
C_  CC  ->  ( ( CC  X.  { 0 } )  |`  S )  =  ( S  X.  { 0 } ) )
3410, 33syl 16 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  ( ( CC  X.  { 0 } )  |`  S )  =  ( S  X.  { 0 } ) )
3532, 34eqtrd 2468 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  ( ( CC  _D  ( CC  X.  { A } ) )  |`  S )  =  ( S  X.  { 0 } ) )
3628, 31, 353eqtr3d 2476 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  ( S  _D  ( S  X.  { A }
) )  =  ( S  X.  { 0 } ) )
3722fconst2 5948 . . . . . 6  |-  ( ( S  _D  ( S  X.  { A }
) ) : S --> { 0 }  <->  ( S  _D  ( S  X.  { A } ) )  =  ( S  X.  {
0 } ) )
3836, 37sylibr 204 . . . . 5  |-  ( ph  ->  ( S  _D  ( S  X.  { A }
) ) : S --> { 0 } )
39 fdm 5595 . . . . 5  |-  ( ( S  _D  ( S  X.  { A }
) ) : S --> { 0 }  ->  dom  ( S  _D  ( S  X.  { A }
) )  =  S )
4038, 39syl 16 . . . 4  |-  ( ph  ->  dom  ( S  _D  ( S  X.  { A } ) )  =  S )
4114, 40eleqtrrd 2513 . . 3  |-  ( ph  ->  C  e.  dom  ( S  _D  ( S  X.  { A } ) ) )
423, 5, 6, 7, 8, 41, 12dvmul 19827 . 2  |-  ( ph  ->  ( ( S  _D  ( ( S  X.  { A } )  o F  x.  F ) ) `  C )  =  ( ( ( ( S  _D  ( S  X.  { A }
) ) `  C
)  x.  ( F `
 C ) )  +  ( ( ( S  _D  F ) `
 C )  x.  ( ( S  X.  { A } ) `  C ) ) ) )
4336fveq1d 5730 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  ( ( S  _D  ( S  X.  { A } ) ) `  C )  =  ( ( S  X.  {
0 } ) `  C ) )
4422fvconst2 5947 . . . . . . 7  |-  ( C  e.  S  ->  (
( S  X.  {
0 } ) `  C )  =  0 )
4514, 44syl 16 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  ( ( S  X.  { 0 } ) `
 C )  =  0 )
4643, 45eqtrd 2468 . . . . 5  |-  ( ph  ->  ( ( S  _D  ( S  X.  { A } ) ) `  C )  =  0 )
4746oveq1d 6096 . . . 4  |-  ( ph  ->  ( ( ( S  _D  ( S  X.  { A } ) ) `
 C )  x.  ( F `  C
) )  =  ( 0  x.  ( F `
 C ) ) )
486, 13ffvelrnd 5871 . . . . 5  |-  ( ph  ->  ( F `  C
)  e.  CC )
4948mul02d 9264 . . . 4  |-  ( ph  ->  ( 0  x.  ( F `  C )
)  =  0 )
5047, 49eqtrd 2468 . . 3  |-  ( ph  ->  ( ( ( S  _D  ( S  X.  { A } ) ) `
 C )  x.  ( F `  C
) )  =  0 )
51 fvconst2g 5945 . . . . . 6  |-  ( ( A  e.  CC  /\  C  e.  S )  ->  ( ( S  X.  { A } ) `  C )  =  A )
521, 14, 51syl2anc 643 . . . . 5  |-  ( ph  ->  ( ( S  X.  { A } ) `  C )  =  A )
5352oveq2d 6097 . . . 4  |-  ( ph  ->  ( ( ( S  _D  F ) `  C )  x.  (
( S  X.  { A } ) `  C
) )  =  ( ( ( S  _D  F ) `  C
)  x.  A ) )
54 dvfg 19793 . . . . . . 7  |-  ( S  e.  { RR ,  CC }  ->  ( S  _D  F ) : dom  ( S  _D  F
) --> CC )
558, 54syl 16 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  ( S  _D  F
) : dom  ( S  _D  F ) --> CC )
5655, 12ffvelrnd 5871 . . . . 5  |-  ( ph  ->  ( ( S  _D  F ) `  C
)  e.  CC )
5756, 1mulcomd 9109 . . . 4  |-  ( ph  ->  ( ( ( S  _D  F ) `  C )  x.  A
)  =  ( A  x.  ( ( S  _D  F ) `  C ) ) )
5853, 57eqtrd 2468 . . 3  |-  ( ph  ->  ( ( ( S  _D  F ) `  C )  x.  (
( S  X.  { A } ) `  C
) )  =  ( A  x.  ( ( S  _D  F ) `
 C ) ) )
5950, 58oveq12d 6099 . 2  |-  ( ph  ->  ( ( ( ( S  _D  ( S  X.  { A }
) ) `  C
)  x.  ( F `
 C ) )  +  ( ( ( S  _D  F ) `
 C )  x.  ( ( S  X.  { A } ) `  C ) ) )  =  ( 0  +  ( A  x.  (
( S  _D  F
) `  C )
) ) )
601, 56mulcld 9108 . . 3  |-  ( ph  ->  ( A  x.  (
( S  _D  F
) `  C )
)  e.  CC )
6160addid2d 9267 . 2  |-  ( ph  ->  ( 0  +  ( A  x.  ( ( S  _D  F ) `
 C ) ) )  =  ( A  x.  ( ( S  _D  F ) `  C ) ) )
6242, 59, 613eqtrd 2472 1  |-  ( ph  ->  ( ( S  _D  ( ( S  X.  { A } )  o F  x.  F ) ) `  C )  =  ( A  x.  ( ( S  _D  F ) `  C
) ) )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    = wceq 1652    e. wcel 1725    C_ wss 3320   {csn 3814   {cpr 3815    X. cxp 4876   dom cdm 4878    |` cres 4880   -->wf 5450   ` cfv 5454  (class class class)co 6081    o Fcof 6303   CCcc 8988   RRcr 8989   0cc0 8990    + caddc 8993    x. cmul 8995    _D cdv 19750
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1555  ax-5 1566  ax-17 1626  ax-9 1666  ax-8 1687  ax-13 1727  ax-14 1729  ax-6 1744  ax-7 1749  ax-11 1761  ax-12 1950  ax-ext 2417  ax-rep 4320  ax-sep 4330  ax-nul 4338  ax-pow 4377  ax-pr 4403  ax-un 4701  ax-inf2 7596  ax-cnex 9046  ax-resscn 9047  ax-1cn 9048  ax-icn 9049  ax-addcl 9050  ax-addrcl 9051  ax-mulcl 9052  ax-mulrcl 9053  ax-mulcom 9054  ax-addass 9055  ax-mulass 9056  ax-distr 9057  ax-i2m1 9058  ax-1ne0 9059  ax-1rid 9060  ax-rnegex 9061  ax-rrecex 9062  ax-cnre 9063  ax-pre-lttri 9064  ax-pre-lttrn 9065  ax-pre-ltadd 9066  ax-pre-mulgt0 9067  ax-pre-sup 9068  ax-addf 9069  ax-mulf 9070
This theorem depends on definitions:  df-bi 178  df-or 360  df-an 361  df-3or 937  df-3an 938  df-tru 1328  df-ex 1551  df-nf 1554  df-sb 1659  df-eu 2285  df-mo 2286  df-clab 2423  df-cleq 2429  df-clel 2432  df-nfc 2561  df-ne 2601  df-nel 2602  df-ral 2710  df-rex 2711  df-reu 2712  df-rmo 2713  df-rab 2714  df-v 2958  df-sbc 3162  df-csb 3252  df-dif 3323  df-un 3325  df-in 3327  df-ss 3334  df-pss 3336  df-nul 3629  df-if 3740  df-pw 3801  df-sn 3820  df-pr 3821  df-tp 3822  df-op 3823  df-uni 4016  df-int 4051  df-iun 4095  df-iin 4096  df-br 4213  df-opab 4267  df-mpt 4268  df-tr 4303  df-eprel 4494  df-id 4498  df-po 4503  df-so 4504  df-fr 4541  df-se 4542  df-we 4543  df-ord 4584  df-on 4585  df-lim 4586  df-suc 4587  df-om 4846  df-xp 4884  df-rel 4885  df-cnv 4886  df-co 4887  df-dm 4888  df-rn 4889  df-res 4890  df-ima 4891  df-iota 5418  df-fun 5456  df-fn 5457  df-f 5458  df-f1 5459  df-fo 5460  df-f1o 5461  df-fv 5462  df-isom 5463  df-ov 6084  df-oprab 6085  df-mpt2 6086  df-of 6305  df-1st 6349  df-2nd 6350  df-riota 6549  df-recs 6633  df-rdg 6668  df-1o 6724  df-2o 6725  df-oadd 6728  df-er 6905  df-map 7020  df-pm 7021  df-ixp 7064  df-en 7110  df-dom 7111  df-sdom 7112  df-fin 7113  df-fi 7416  df-sup 7446  df-oi 7479  df-card 7826  df-cda 8048  df-pnf 9122  df-mnf 9123  df-xr 9124  df-ltxr 9125  df-le 9126  df-sub 9293  df-neg 9294  df-div 9678  df-nn 10001  df-2 10058  df-3 10059  df-4 10060  df-5 10061  df-6 10062  df-7 10063  df-8 10064  df-9 10065  df-10 10066  df-n0 10222  df-z 10283  df-dec 10383  df-uz 10489  df-q 10575  df-rp 10613  df-xneg 10710  df-xadd 10711  df-xmul 10712  df-icc 10923  df-fz 11044  df-fzo 11136  df-seq 11324  df-exp 11383  df-hash 11619  df-cj 11904  df-re 11905  df-im 11906  df-sqr 12040  df-abs 12041  df-struct 13471  df-ndx 13472  df-slot 13473  df-base 13474  df-sets 13475  df-ress 13476  df-plusg 13542  df-mulr 13543  df-starv 13544  df-sca 13545  df-vsca 13546  df-tset 13548  df-ple 13549  df-ds 13551  df-unif 13552  df-hom 13553  df-cco 13554  df-rest 13650  df-topn 13651  df-topgen 13667  df-pt 13668  df-prds 13671  df-xrs 13726  df-0g 13727  df-gsum 13728  df-qtop 13733  df-imas 13734  df-xps 13736  df-mre 13811  df-mrc 13812  df-acs 13814  df-mnd 14690  df-submnd 14739  df-mulg 14815  df-cntz 15116  df-cmn 15414  df-psmet 16694  df-xmet 16695  df-met 16696  df-bl 16697  df-mopn 16698  df-fbas 16699  df-fg 16700  df-cnfld 16704  df-top 16963  df-bases 16965  df-topon 16966  df-topsp 16967  df-cld 17083  df-ntr 17084  df-cls 17085  df-nei 17162  df-lp 17200  df-perf 17201  df-cn 17291  df-cnp 17292  df-haus 17379  df-tx 17594  df-hmeo 17787  df-fil 17878  df-fm 17970  df-flim 17971  df-flf 17972  df-xms 18350  df-ms 18351  df-tms 18352  df-cncf 18908  df-limc 19753  df-dv 19754
  Copyright terms: Public domain W3C validator