MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  dvcnp Unicode version

Theorem dvcnp 19284
Description: The difference quotient is continuous at  B when the original function is differentiable at  B. (Contributed by Mario Carneiro, 8-Aug-2014.) (Revised by Mario Carneiro, 28-Dec-2016.)
Hypotheses
Ref Expression
dvcnp.j  |-  J  =  ( Kt  A )
dvcnp.k  |-  K  =  ( TopOpen ` fld )
dvcnp.g  |-  G  =  ( z  e.  A  |->  if ( z  =  B ,  ( ( S  _D  F ) `
 B ) ,  ( ( ( F `
 z )  -  ( F `  B ) )  /  ( z  -  B ) ) ) )
Assertion
Ref Expression
dvcnp  |-  ( ( ( S  e.  { RR ,  CC }  /\  F : A --> CC  /\  A  C_  S )  /\  B  e.  dom  ( S  _D  F ) )  ->  G  e.  ( ( J  CnP  K
) `  B )
)
Distinct variable groups:    z, A    z, B    z, F    z, K    z, S    z, J
Allowed substitution hint:    G( z)

Proof of Theorem dvcnp
StepHypRef Expression
1 dvcnp.g . 2  |-  G  =  ( z  e.  A  |->  if ( z  =  B ,  ( ( S  _D  F ) `
 B ) ,  ( ( ( F `
 z )  -  ( F `  B ) )  /  ( z  -  B ) ) ) )
2 dvfg 19272 . . . . . . 7  |-  ( S  e.  { RR ,  CC }  ->  ( S  _D  F ) : dom  ( S  _D  F
) --> CC )
323ad2ant1 976 . . . . . 6  |-  ( ( S  e.  { RR ,  CC }  /\  F : A --> CC  /\  A  C_  S )  ->  ( S  _D  F ) : dom  ( S  _D  F ) --> CC )
4 ffun 5407 . . . . . 6  |-  ( ( S  _D  F ) : dom  ( S  _D  F ) --> CC 
->  Fun  ( S  _D  F ) )
5 funfvbrb 5654 . . . . . 6  |-  ( Fun  ( S  _D  F
)  ->  ( B  e.  dom  ( S  _D  F )  <->  B ( S  _D  F ) ( ( S  _D  F
) `  B )
) )
63, 4, 53syl 18 . . . . 5  |-  ( ( S  e.  { RR ,  CC }  /\  F : A --> CC  /\  A  C_  S )  ->  ( B  e.  dom  ( S  _D  F )  <->  B ( S  _D  F ) ( ( S  _D  F
) `  B )
) )
7 eqid 2296 . . . . . 6  |-  ( Kt  S )  =  ( Kt  S )
8 dvcnp.k . . . . . 6  |-  K  =  ( TopOpen ` fld )
9 eqid 2296 . . . . . 6  |-  ( z  e.  ( A  \  { B } )  |->  ( ( ( F `  z )  -  ( F `  B )
)  /  ( z  -  B ) ) )  =  ( z  e.  ( A  \  { B } )  |->  ( ( ( F `  z )  -  ( F `  B )
)  /  ( z  -  B ) ) )
10 recnprss 19270 . . . . . . 7  |-  ( S  e.  { RR ,  CC }  ->  S  C_  CC )
11103ad2ant1 976 . . . . . 6  |-  ( ( S  e.  { RR ,  CC }  /\  F : A --> CC  /\  A  C_  S )  ->  S  C_  CC )
12 simp2 956 . . . . . 6  |-  ( ( S  e.  { RR ,  CC }  /\  F : A --> CC  /\  A  C_  S )  ->  F : A --> CC )
13 simp3 957 . . . . . 6  |-  ( ( S  e.  { RR ,  CC }  /\  F : A --> CC  /\  A  C_  S )  ->  A  C_  S )
147, 8, 9, 11, 12, 13eldv 19264 . . . . 5  |-  ( ( S  e.  { RR ,  CC }  /\  F : A --> CC  /\  A  C_  S )  ->  ( B ( S  _D  F ) ( ( S  _D  F ) `
 B )  <->  ( B  e.  ( ( int `  ( Kt  S ) ) `  A )  /\  (
( S  _D  F
) `  B )  e.  ( ( z  e.  ( A  \  { B } )  |->  ( ( ( F `  z
)  -  ( F `
 B ) )  /  ( z  -  B ) ) ) lim
CC  B ) ) ) )
156, 14bitrd 244 . . . 4  |-  ( ( S  e.  { RR ,  CC }  /\  F : A --> CC  /\  A  C_  S )  ->  ( B  e.  dom  ( S  _D  F )  <->  ( B  e.  ( ( int `  ( Kt  S ) ) `  A )  /\  (
( S  _D  F
) `  B )  e.  ( ( z  e.  ( A  \  { B } )  |->  ( ( ( F `  z
)  -  ( F `
 B ) )  /  ( z  -  B ) ) ) lim
CC  B ) ) ) )
1615simplbda 607 . . 3  |-  ( ( ( S  e.  { RR ,  CC }  /\  F : A --> CC  /\  A  C_  S )  /\  B  e.  dom  ( S  _D  F ) )  ->  ( ( S  _D  F ) `  B )  e.  ( ( z  e.  ( A  \  { B } )  |->  ( ( ( F `  z
)  -  ( F `
 B ) )  /  ( z  -  B ) ) ) lim
CC  B ) )
1713, 11sstrd 3202 . . . . 5  |-  ( ( S  e.  { RR ,  CC }  /\  F : A --> CC  /\  A  C_  S )  ->  A  C_  CC )
1817adantr 451 . . . 4  |-  ( ( ( S  e.  { RR ,  CC }  /\  F : A --> CC  /\  A  C_  S )  /\  B  e.  dom  ( S  _D  F ) )  ->  A  C_  CC )
1911, 12, 13dvbss 19267 . . . . 5  |-  ( ( S  e.  { RR ,  CC }  /\  F : A --> CC  /\  A  C_  S )  ->  dom  ( S  _D  F
)  C_  A )
2019sselda 3193 . . . 4  |-  ( ( ( S  e.  { RR ,  CC }  /\  F : A --> CC  /\  A  C_  S )  /\  B  e.  dom  ( S  _D  F ) )  ->  B  e.  A
)
21 eldifsn 3762 . . . . 5  |-  ( z  e.  ( A  \  { B } )  <->  ( z  e.  A  /\  z  =/=  B ) )
2212adantr 451 . . . . . 6  |-  ( ( ( S  e.  { RR ,  CC }  /\  F : A --> CC  /\  A  C_  S )  /\  B  e.  dom  ( S  _D  F ) )  ->  F : A --> CC )
2322, 18, 20dvlem 19262 . . . . 5  |-  ( ( ( ( S  e. 
{ RR ,  CC }  /\  F : A --> CC  /\  A  C_  S
)  /\  B  e.  dom  ( S  _D  F
) )  /\  z  e.  ( A  \  { B } ) )  -> 
( ( ( F `
 z )  -  ( F `  B ) )  /  ( z  -  B ) )  e.  CC )
2421, 23sylan2br 462 . . . 4  |-  ( ( ( ( S  e. 
{ RR ,  CC }  /\  F : A --> CC  /\  A  C_  S
)  /\  B  e.  dom  ( S  _D  F
) )  /\  (
z  e.  A  /\  z  =/=  B ) )  ->  ( ( ( F `  z )  -  ( F `  B ) )  / 
( z  -  B
) )  e.  CC )
25 dvcnp.j . . . 4  |-  J  =  ( Kt  A )
2618, 20, 24, 25, 8limcmpt2 19250 . . 3  |-  ( ( ( S  e.  { RR ,  CC }  /\  F : A --> CC  /\  A  C_  S )  /\  B  e.  dom  ( S  _D  F ) )  ->  ( ( ( S  _D  F ) `
 B )  e.  ( ( z  e.  ( A  \  { B } )  |->  ( ( ( F `  z
)  -  ( F `
 B ) )  /  ( z  -  B ) ) ) lim
CC  B )  <->  ( z  e.  A  |->  if ( z  =  B , 
( ( S  _D  F ) `  B
) ,  ( ( ( F `  z
)  -  ( F `
 B ) )  /  ( z  -  B ) ) ) )  e.  ( ( J  CnP  K ) `
 B ) ) )
2716, 26mpbid 201 . 2  |-  ( ( ( S  e.  { RR ,  CC }  /\  F : A --> CC  /\  A  C_  S )  /\  B  e.  dom  ( S  _D  F ) )  ->  ( z  e.  A  |->  if ( z  =  B ,  ( ( S  _D  F
) `  B ) ,  ( ( ( F `  z )  -  ( F `  B ) )  / 
( z  -  B
) ) ) )  e.  ( ( J  CnP  K ) `  B ) )
281, 27syl5eqel 2380 1  |-  ( ( ( S  e.  { RR ,  CC }  /\  F : A --> CC  /\  A  C_  S )  /\  B  e.  dom  ( S  _D  F ) )  ->  G  e.  ( ( J  CnP  K
) `  B )
)
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    <-> wb 176    /\ wa 358    /\ w3a 934    = wceq 1632    e. wcel 1696    =/= wne 2459    \ cdif 3162    C_ wss 3165   ifcif 3578   {csn 3653   {cpr 3654   class class class wbr 4039    e. cmpt 4093   dom cdm 4705   Fun wfun 5265   -->wf 5267   ` cfv 5271  (class class class)co 5874   CCcc 8751   RRcr 8752    - cmin 9053    / cdiv 9439   ↾t crest 13341   TopOpenctopn 13342  ℂfldccnfld 16393   intcnt 16770    CnP ccnp 16971   lim CC climc 19228    _D cdv 19229
This theorem is referenced by:  efrlim  20280
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1536  ax-5 1547  ax-17 1606  ax-9 1644  ax-8 1661  ax-13 1698  ax-14 1700  ax-6 1715  ax-7 1720  ax-11 1727  ax-12 1878  ax-ext 2277  ax-rep 4147  ax-sep 4157  ax-nul 4165  ax-pow 4204  ax-pr 4230  ax-un 4528  ax-cnex 8809  ax-resscn 8810  ax-1cn 8811  ax-icn 8812  ax-addcl 8813  ax-addrcl 8814  ax-mulcl 8815  ax-mulrcl 8816  ax-mulcom 8817  ax-addass 8818  ax-mulass 8819  ax-distr 8820  ax-i2m1 8821  ax-1ne0 8822  ax-1rid 8823  ax-rnegex 8824  ax-rrecex 8825  ax-cnre 8826  ax-pre-lttri 8827  ax-pre-lttrn 8828  ax-pre-ltadd 8829  ax-pre-mulgt0 8830  ax-pre-sup 8831
This theorem depends on definitions:  df-bi 177  df-or 359  df-an 360  df-3or 935  df-3an 936  df-tru 1310  df-ex 1532  df-nf 1535  df-sb 1639  df-eu 2160  df-mo 2161  df-clab 2283  df-cleq 2289  df-clel 2292  df-nfc 2421  df-ne 2461  df-nel 2462  df-ral 2561  df-rex 2562  df-reu 2563  df-rmo 2564  df-rab 2565  df-v 2803  df-sbc 3005  df-csb 3095  df-dif 3168  df-un 3170  df-in 3172  df-ss 3179  df-pss 3181  df-nul 3469  df-if 3579  df-pw 3640  df-sn 3659  df-pr 3660  df-tp 3661  df-op 3662  df-uni 3844  df-int 3879  df-iun 3923  df-iin 3924  df-br 4040  df-opab 4094  df-mpt 4095  df-tr 4130  df-eprel 4321  df-id 4325  df-po 4330  df-so 4331  df-fr 4368  df-we 4370  df-ord 4411  df-on 4412  df-lim 4413  df-suc 4414  df-om 4673  df-xp 4711  df-rel 4712  df-cnv 4713  df-co 4714  df-dm 4715  df-rn 4716  df-res 4717  df-ima 4718  df-iota 5235  df-fun 5273  df-fn 5274  df-f 5275  df-f1 5276  df-fo 5277  df-f1o 5278  df-fv 5279  df-ov 5877  df-oprab 5878  df-mpt2 5879  df-1st 6138  df-2nd 6139  df-riota 6320  df-recs 6404  df-rdg 6439  df-1o 6495  df-oadd 6499  df-er 6676  df-map 6790  df-pm 6791  df-en 6880  df-dom 6881  df-sdom 6882  df-fin 6883  df-fi 7181  df-sup 7210  df-pnf 8885  df-mnf 8886  df-xr 8887  df-ltxr 8888  df-le 8889  df-sub 9055  df-neg 9056  df-div 9440  df-nn 9763  df-2 9820  df-3 9821  df-4 9822  df-5 9823  df-6 9824  df-7 9825  df-8 9826  df-9 9827  df-10 9828  df-n0 9982  df-z 10041  df-dec 10141  df-uz 10247  df-q 10333  df-rp 10371  df-xneg 10468  df-xadd 10469  df-xmul 10470  df-icc 10679  df-fz 10799  df-seq 11063  df-exp 11121  df-cj 11600  df-re 11601  df-im 11602  df-sqr 11736  df-abs 11737  df-struct 13166  df-ndx 13167  df-slot 13168  df-base 13169  df-plusg 13237  df-mulr 13238  df-starv 13239  df-tset 13243  df-ple 13244  df-ds 13246  df-rest 13343  df-topn 13344  df-topgen 13360  df-xmet 16389  df-met 16390  df-bl 16391  df-mopn 16392  df-cnfld 16394  df-top 16652  df-bases 16654  df-topon 16655  df-topsp 16656  df-cld 16772  df-ntr 16773  df-cls 16774  df-nei 16851  df-lp 16884  df-perf 16885  df-cnp 16974  df-haus 17059  df-fbas 17536  df-fg 17537  df-fil 17557  df-fm 17649  df-flim 17650  df-flf 17651  df-xms 17901  df-ms 17902  df-limc 19232  df-dv 19233
  Copyright terms: Public domain W3C validator