MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  dvcnp Unicode version

Theorem dvcnp 19673
Description: The difference quotient is continuous at  B when the original function is differentiable at  B. (Contributed by Mario Carneiro, 8-Aug-2014.) (Revised by Mario Carneiro, 28-Dec-2016.)
Hypotheses
Ref Expression
dvcnp.j  |-  J  =  ( Kt  A )
dvcnp.k  |-  K  =  ( TopOpen ` fld )
dvcnp.g  |-  G  =  ( z  e.  A  |->  if ( z  =  B ,  ( ( S  _D  F ) `
 B ) ,  ( ( ( F `
 z )  -  ( F `  B ) )  /  ( z  -  B ) ) ) )
Assertion
Ref Expression
dvcnp  |-  ( ( ( S  e.  { RR ,  CC }  /\  F : A --> CC  /\  A  C_  S )  /\  B  e.  dom  ( S  _D  F ) )  ->  G  e.  ( ( J  CnP  K
) `  B )
)
Distinct variable groups:    z, A    z, B    z, F    z, K    z, S    z, J
Allowed substitution hint:    G( z)

Proof of Theorem dvcnp
StepHypRef Expression
1 dvcnp.g . 2  |-  G  =  ( z  e.  A  |->  if ( z  =  B ,  ( ( S  _D  F ) `
 B ) ,  ( ( ( F `
 z )  -  ( F `  B ) )  /  ( z  -  B ) ) ) )
2 dvfg 19661 . . . . . . 7  |-  ( S  e.  { RR ,  CC }  ->  ( S  _D  F ) : dom  ( S  _D  F
) --> CC )
323ad2ant1 978 . . . . . 6  |-  ( ( S  e.  { RR ,  CC }  /\  F : A --> CC  /\  A  C_  S )  ->  ( S  _D  F ) : dom  ( S  _D  F ) --> CC )
4 ffun 5534 . . . . . 6  |-  ( ( S  _D  F ) : dom  ( S  _D  F ) --> CC 
->  Fun  ( S  _D  F ) )
5 funfvbrb 5783 . . . . . 6  |-  ( Fun  ( S  _D  F
)  ->  ( B  e.  dom  ( S  _D  F )  <->  B ( S  _D  F ) ( ( S  _D  F
) `  B )
) )
63, 4, 53syl 19 . . . . 5  |-  ( ( S  e.  { RR ,  CC }  /\  F : A --> CC  /\  A  C_  S )  ->  ( B  e.  dom  ( S  _D  F )  <->  B ( S  _D  F ) ( ( S  _D  F
) `  B )
) )
7 eqid 2388 . . . . . 6  |-  ( Kt  S )  =  ( Kt  S )
8 dvcnp.k . . . . . 6  |-  K  =  ( TopOpen ` fld )
9 eqid 2388 . . . . . 6  |-  ( z  e.  ( A  \  { B } )  |->  ( ( ( F `  z )  -  ( F `  B )
)  /  ( z  -  B ) ) )  =  ( z  e.  ( A  \  { B } )  |->  ( ( ( F `  z )  -  ( F `  B )
)  /  ( z  -  B ) ) )
10 recnprss 19659 . . . . . . 7  |-  ( S  e.  { RR ,  CC }  ->  S  C_  CC )
11103ad2ant1 978 . . . . . 6  |-  ( ( S  e.  { RR ,  CC }  /\  F : A --> CC  /\  A  C_  S )  ->  S  C_  CC )
12 simp2 958 . . . . . 6  |-  ( ( S  e.  { RR ,  CC }  /\  F : A --> CC  /\  A  C_  S )  ->  F : A --> CC )
13 simp3 959 . . . . . 6  |-  ( ( S  e.  { RR ,  CC }  /\  F : A --> CC  /\  A  C_  S )  ->  A  C_  S )
147, 8, 9, 11, 12, 13eldv 19653 . . . . 5  |-  ( ( S  e.  { RR ,  CC }  /\  F : A --> CC  /\  A  C_  S )  ->  ( B ( S  _D  F ) ( ( S  _D  F ) `
 B )  <->  ( B  e.  ( ( int `  ( Kt  S ) ) `  A )  /\  (
( S  _D  F
) `  B )  e.  ( ( z  e.  ( A  \  { B } )  |->  ( ( ( F `  z
)  -  ( F `
 B ) )  /  ( z  -  B ) ) ) lim
CC  B ) ) ) )
156, 14bitrd 245 . . . 4  |-  ( ( S  e.  { RR ,  CC }  /\  F : A --> CC  /\  A  C_  S )  ->  ( B  e.  dom  ( S  _D  F )  <->  ( B  e.  ( ( int `  ( Kt  S ) ) `  A )  /\  (
( S  _D  F
) `  B )  e.  ( ( z  e.  ( A  \  { B } )  |->  ( ( ( F `  z
)  -  ( F `
 B ) )  /  ( z  -  B ) ) ) lim
CC  B ) ) ) )
1615simplbda 608 . . 3  |-  ( ( ( S  e.  { RR ,  CC }  /\  F : A --> CC  /\  A  C_  S )  /\  B  e.  dom  ( S  _D  F ) )  ->  ( ( S  _D  F ) `  B )  e.  ( ( z  e.  ( A  \  { B } )  |->  ( ( ( F `  z
)  -  ( F `
 B ) )  /  ( z  -  B ) ) ) lim
CC  B ) )
1713, 11sstrd 3302 . . . . 5  |-  ( ( S  e.  { RR ,  CC }  /\  F : A --> CC  /\  A  C_  S )  ->  A  C_  CC )
1817adantr 452 . . . 4  |-  ( ( ( S  e.  { RR ,  CC }  /\  F : A --> CC  /\  A  C_  S )  /\  B  e.  dom  ( S  _D  F ) )  ->  A  C_  CC )
1911, 12, 13dvbss 19656 . . . . 5  |-  ( ( S  e.  { RR ,  CC }  /\  F : A --> CC  /\  A  C_  S )  ->  dom  ( S  _D  F
)  C_  A )
2019sselda 3292 . . . 4  |-  ( ( ( S  e.  { RR ,  CC }  /\  F : A --> CC  /\  A  C_  S )  /\  B  e.  dom  ( S  _D  F ) )  ->  B  e.  A
)
21 eldifsn 3871 . . . . 5  |-  ( z  e.  ( A  \  { B } )  <->  ( z  e.  A  /\  z  =/=  B ) )
2212adantr 452 . . . . . 6  |-  ( ( ( S  e.  { RR ,  CC }  /\  F : A --> CC  /\  A  C_  S )  /\  B  e.  dom  ( S  _D  F ) )  ->  F : A --> CC )
2322, 18, 20dvlem 19651 . . . . 5  |-  ( ( ( ( S  e. 
{ RR ,  CC }  /\  F : A --> CC  /\  A  C_  S
)  /\  B  e.  dom  ( S  _D  F
) )  /\  z  e.  ( A  \  { B } ) )  -> 
( ( ( F `
 z )  -  ( F `  B ) )  /  ( z  -  B ) )  e.  CC )
2421, 23sylan2br 463 . . . 4  |-  ( ( ( ( S  e. 
{ RR ,  CC }  /\  F : A --> CC  /\  A  C_  S
)  /\  B  e.  dom  ( S  _D  F
) )  /\  (
z  e.  A  /\  z  =/=  B ) )  ->  ( ( ( F `  z )  -  ( F `  B ) )  / 
( z  -  B
) )  e.  CC )
25 dvcnp.j . . . 4  |-  J  =  ( Kt  A )
2618, 20, 24, 25, 8limcmpt2 19639 . . 3  |-  ( ( ( S  e.  { RR ,  CC }  /\  F : A --> CC  /\  A  C_  S )  /\  B  e.  dom  ( S  _D  F ) )  ->  ( ( ( S  _D  F ) `
 B )  e.  ( ( z  e.  ( A  \  { B } )  |->  ( ( ( F `  z
)  -  ( F `
 B ) )  /  ( z  -  B ) ) ) lim
CC  B )  <->  ( z  e.  A  |->  if ( z  =  B , 
( ( S  _D  F ) `  B
) ,  ( ( ( F `  z
)  -  ( F `
 B ) )  /  ( z  -  B ) ) ) )  e.  ( ( J  CnP  K ) `
 B ) ) )
2716, 26mpbid 202 . 2  |-  ( ( ( S  e.  { RR ,  CC }  /\  F : A --> CC  /\  A  C_  S )  /\  B  e.  dom  ( S  _D  F ) )  ->  ( z  e.  A  |->  if ( z  =  B ,  ( ( S  _D  F
) `  B ) ,  ( ( ( F `  z )  -  ( F `  B ) )  / 
( z  -  B
) ) ) )  e.  ( ( J  CnP  K ) `  B ) )
281, 27syl5eqel 2472 1  |-  ( ( ( S  e.  { RR ,  CC }  /\  F : A --> CC  /\  A  C_  S )  /\  B  e.  dom  ( S  _D  F ) )  ->  G  e.  ( ( J  CnP  K
) `  B )
)
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    <-> wb 177    /\ wa 359    /\ w3a 936    = wceq 1649    e. wcel 1717    =/= wne 2551    \ cdif 3261    C_ wss 3264   ifcif 3683   {csn 3758   {cpr 3759   class class class wbr 4154    e. cmpt 4208   dom cdm 4819   Fun wfun 5389   -->wf 5391   ` cfv 5395  (class class class)co 6021   CCcc 8922   RRcr 8923    - cmin 9224    / cdiv 9610   ↾t crest 13576   TopOpenctopn 13577  ℂfldccnfld 16627   intcnt 17005    CnP ccnp 17212   lim CC climc 19617    _D cdv 19618
This theorem is referenced by:  efrlim  20676
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1552  ax-5 1563  ax-17 1623  ax-9 1661  ax-8 1682  ax-13 1719  ax-14 1721  ax-6 1736  ax-7 1741  ax-11 1753  ax-12 1939  ax-ext 2369  ax-rep 4262  ax-sep 4272  ax-nul 4280  ax-pow 4319  ax-pr 4345  ax-un 4642  ax-cnex 8980  ax-resscn 8981  ax-1cn 8982  ax-icn 8983  ax-addcl 8984  ax-addrcl 8985  ax-mulcl 8986  ax-mulrcl 8987  ax-mulcom 8988  ax-addass 8989  ax-mulass 8990  ax-distr 8991  ax-i2m1 8992  ax-1ne0 8993  ax-1rid 8994  ax-rnegex 8995  ax-rrecex 8996  ax-cnre 8997  ax-pre-lttri 8998  ax-pre-lttrn 8999  ax-pre-ltadd 9000  ax-pre-mulgt0 9001  ax-pre-sup 9002
This theorem depends on definitions:  df-bi 178  df-or 360  df-an 361  df-3or 937  df-3an 938  df-tru 1325  df-ex 1548  df-nf 1551  df-sb 1656  df-eu 2243  df-mo 2244  df-clab 2375  df-cleq 2381  df-clel 2384  df-nfc 2513  df-ne 2553  df-nel 2554  df-ral 2655  df-rex 2656  df-reu 2657  df-rmo 2658  df-rab 2659  df-v 2902  df-sbc 3106  df-csb 3196  df-dif 3267  df-un 3269  df-in 3271  df-ss 3278  df-pss 3280  df-nul 3573  df-if 3684  df-pw 3745  df-sn 3764  df-pr 3765  df-tp 3766  df-op 3767  df-uni 3959  df-int 3994  df-iun 4038  df-iin 4039  df-br 4155  df-opab 4209  df-mpt 4210  df-tr 4245  df-eprel 4436  df-id 4440  df-po 4445  df-so 4446  df-fr 4483  df-we 4485  df-ord 4526  df-on 4527  df-lim 4528  df-suc 4529  df-om 4787  df-xp 4825  df-rel 4826  df-cnv 4827  df-co 4828  df-dm 4829  df-rn 4830  df-res 4831  df-ima 4832  df-iota 5359  df-fun 5397  df-fn 5398  df-f 5399  df-f1 5400  df-fo 5401  df-f1o 5402  df-fv 5403  df-ov 6024  df-oprab 6025  df-mpt2 6026  df-1st 6289  df-2nd 6290  df-riota 6486  df-recs 6570  df-rdg 6605  df-1o 6661  df-oadd 6665  df-er 6842  df-map 6957  df-pm 6958  df-en 7047  df-dom 7048  df-sdom 7049  df-fin 7050  df-fi 7352  df-sup 7382  df-pnf 9056  df-mnf 9057  df-xr 9058  df-ltxr 9059  df-le 9060  df-sub 9226  df-neg 9227  df-div 9611  df-nn 9934  df-2 9991  df-3 9992  df-4 9993  df-5 9994  df-6 9995  df-7 9996  df-8 9997  df-9 9998  df-10 9999  df-n0 10155  df-z 10216  df-dec 10316  df-uz 10422  df-q 10508  df-rp 10546  df-xneg 10643  df-xadd 10644  df-xmul 10645  df-icc 10856  df-fz 10977  df-seq 11252  df-exp 11311  df-cj 11832  df-re 11833  df-im 11834  df-sqr 11968  df-abs 11969  df-struct 13399  df-ndx 13400  df-slot 13401  df-base 13402  df-plusg 13470  df-mulr 13471  df-starv 13472  df-tset 13476  df-ple 13477  df-ds 13479  df-unif 13480  df-rest 13578  df-topn 13579  df-topgen 13595  df-xmet 16620  df-met 16621  df-bl 16622  df-mopn 16623  df-fbas 16624  df-fg 16625  df-cnfld 16628  df-top 16887  df-bases 16889  df-topon 16890  df-topsp 16891  df-cld 17007  df-ntr 17008  df-cls 17009  df-nei 17086  df-lp 17124  df-perf 17125  df-cnp 17215  df-haus 17302  df-fil 17800  df-fm 17892  df-flim 17893  df-flf 17894  df-xms 18260  df-ms 18261  df-limc 19621  df-dv 19622
  Copyright terms: Public domain W3C validator