MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  dvcnp Unicode version

Theorem dvcnp 19268
Description: The difference quotient is continuous at  B when the original function is differentiable at  B. (Contributed by Mario Carneiro, 8-Aug-2014.) (Revised by Mario Carneiro, 28-Dec-2016.)
Hypotheses
Ref Expression
dvcnp.j  |-  J  =  ( Kt  A )
dvcnp.k  |-  K  =  ( TopOpen ` fld )
dvcnp.g  |-  G  =  ( z  e.  A  |->  if ( z  =  B ,  ( ( S  _D  F ) `
 B ) ,  ( ( ( F `
 z )  -  ( F `  B ) )  /  ( z  -  B ) ) ) )
Assertion
Ref Expression
dvcnp  |-  ( ( ( S  e.  { RR ,  CC }  /\  F : A --> CC  /\  A  C_  S )  /\  B  e.  dom  ( S  _D  F ) )  ->  G  e.  ( ( J  CnP  K
) `  B )
)
Distinct variable groups:    z, A    z, B    z, F    z, K    z, S    z, J
Allowed substitution hint:    G( z)

Proof of Theorem dvcnp
StepHypRef Expression
1 dvcnp.g . 2  |-  G  =  ( z  e.  A  |->  if ( z  =  B ,  ( ( S  _D  F ) `
 B ) ,  ( ( ( F `
 z )  -  ( F `  B ) )  /  ( z  -  B ) ) ) )
2 dvfg 19256 . . . . . . 7  |-  ( S  e.  { RR ,  CC }  ->  ( S  _D  F ) : dom  ( S  _D  F
) --> CC )
323ad2ant1 976 . . . . . 6  |-  ( ( S  e.  { RR ,  CC }  /\  F : A --> CC  /\  A  C_  S )  ->  ( S  _D  F ) : dom  ( S  _D  F ) --> CC )
4 ffun 5391 . . . . . 6  |-  ( ( S  _D  F ) : dom  ( S  _D  F ) --> CC 
->  Fun  ( S  _D  F ) )
5 funfvbrb 5638 . . . . . 6  |-  ( Fun  ( S  _D  F
)  ->  ( B  e.  dom  ( S  _D  F )  <->  B ( S  _D  F ) ( ( S  _D  F
) `  B )
) )
63, 4, 53syl 18 . . . . 5  |-  ( ( S  e.  { RR ,  CC }  /\  F : A --> CC  /\  A  C_  S )  ->  ( B  e.  dom  ( S  _D  F )  <->  B ( S  _D  F ) ( ( S  _D  F
) `  B )
) )
7 eqid 2283 . . . . . 6  |-  ( Kt  S )  =  ( Kt  S )
8 dvcnp.k . . . . . 6  |-  K  =  ( TopOpen ` fld )
9 eqid 2283 . . . . . 6  |-  ( z  e.  ( A  \  { B } )  |->  ( ( ( F `  z )  -  ( F `  B )
)  /  ( z  -  B ) ) )  =  ( z  e.  ( A  \  { B } )  |->  ( ( ( F `  z )  -  ( F `  B )
)  /  ( z  -  B ) ) )
10 recnprss 19254 . . . . . . 7  |-  ( S  e.  { RR ,  CC }  ->  S  C_  CC )
11103ad2ant1 976 . . . . . 6  |-  ( ( S  e.  { RR ,  CC }  /\  F : A --> CC  /\  A  C_  S )  ->  S  C_  CC )
12 simp2 956 . . . . . 6  |-  ( ( S  e.  { RR ,  CC }  /\  F : A --> CC  /\  A  C_  S )  ->  F : A --> CC )
13 simp3 957 . . . . . 6  |-  ( ( S  e.  { RR ,  CC }  /\  F : A --> CC  /\  A  C_  S )  ->  A  C_  S )
147, 8, 9, 11, 12, 13eldv 19248 . . . . 5  |-  ( ( S  e.  { RR ,  CC }  /\  F : A --> CC  /\  A  C_  S )  ->  ( B ( S  _D  F ) ( ( S  _D  F ) `
 B )  <->  ( B  e.  ( ( int `  ( Kt  S ) ) `  A )  /\  (
( S  _D  F
) `  B )  e.  ( ( z  e.  ( A  \  { B } )  |->  ( ( ( F `  z
)  -  ( F `
 B ) )  /  ( z  -  B ) ) ) lim
CC  B ) ) ) )
156, 14bitrd 244 . . . 4  |-  ( ( S  e.  { RR ,  CC }  /\  F : A --> CC  /\  A  C_  S )  ->  ( B  e.  dom  ( S  _D  F )  <->  ( B  e.  ( ( int `  ( Kt  S ) ) `  A )  /\  (
( S  _D  F
) `  B )  e.  ( ( z  e.  ( A  \  { B } )  |->  ( ( ( F `  z
)  -  ( F `
 B ) )  /  ( z  -  B ) ) ) lim
CC  B ) ) ) )
1615simplbda 607 . . 3  |-  ( ( ( S  e.  { RR ,  CC }  /\  F : A --> CC  /\  A  C_  S )  /\  B  e.  dom  ( S  _D  F ) )  ->  ( ( S  _D  F ) `  B )  e.  ( ( z  e.  ( A  \  { B } )  |->  ( ( ( F `  z
)  -  ( F `
 B ) )  /  ( z  -  B ) ) ) lim
CC  B ) )
1713, 11sstrd 3189 . . . . 5  |-  ( ( S  e.  { RR ,  CC }  /\  F : A --> CC  /\  A  C_  S )  ->  A  C_  CC )
1817adantr 451 . . . 4  |-  ( ( ( S  e.  { RR ,  CC }  /\  F : A --> CC  /\  A  C_  S )  /\  B  e.  dom  ( S  _D  F ) )  ->  A  C_  CC )
1911, 12, 13dvbss 19251 . . . . 5  |-  ( ( S  e.  { RR ,  CC }  /\  F : A --> CC  /\  A  C_  S )  ->  dom  ( S  _D  F
)  C_  A )
2019sselda 3180 . . . 4  |-  ( ( ( S  e.  { RR ,  CC }  /\  F : A --> CC  /\  A  C_  S )  /\  B  e.  dom  ( S  _D  F ) )  ->  B  e.  A
)
21 eldifsn 3749 . . . . 5  |-  ( z  e.  ( A  \  { B } )  <->  ( z  e.  A  /\  z  =/=  B ) )
2212adantr 451 . . . . . 6  |-  ( ( ( S  e.  { RR ,  CC }  /\  F : A --> CC  /\  A  C_  S )  /\  B  e.  dom  ( S  _D  F ) )  ->  F : A --> CC )
2322, 18, 20dvlem 19246 . . . . 5  |-  ( ( ( ( S  e. 
{ RR ,  CC }  /\  F : A --> CC  /\  A  C_  S
)  /\  B  e.  dom  ( S  _D  F
) )  /\  z  e.  ( A  \  { B } ) )  -> 
( ( ( F `
 z )  -  ( F `  B ) )  /  ( z  -  B ) )  e.  CC )
2421, 23sylan2br 462 . . . 4  |-  ( ( ( ( S  e. 
{ RR ,  CC }  /\  F : A --> CC  /\  A  C_  S
)  /\  B  e.  dom  ( S  _D  F
) )  /\  (
z  e.  A  /\  z  =/=  B ) )  ->  ( ( ( F `  z )  -  ( F `  B ) )  / 
( z  -  B
) )  e.  CC )
25 dvcnp.j . . . 4  |-  J  =  ( Kt  A )
2618, 20, 24, 25, 8limcmpt2 19234 . . 3  |-  ( ( ( S  e.  { RR ,  CC }  /\  F : A --> CC  /\  A  C_  S )  /\  B  e.  dom  ( S  _D  F ) )  ->  ( ( ( S  _D  F ) `
 B )  e.  ( ( z  e.  ( A  \  { B } )  |->  ( ( ( F `  z
)  -  ( F `
 B ) )  /  ( z  -  B ) ) ) lim
CC  B )  <->  ( z  e.  A  |->  if ( z  =  B , 
( ( S  _D  F ) `  B
) ,  ( ( ( F `  z
)  -  ( F `
 B ) )  /  ( z  -  B ) ) ) )  e.  ( ( J  CnP  K ) `
 B ) ) )
2716, 26mpbid 201 . 2  |-  ( ( ( S  e.  { RR ,  CC }  /\  F : A --> CC  /\  A  C_  S )  /\  B  e.  dom  ( S  _D  F ) )  ->  ( z  e.  A  |->  if ( z  =  B ,  ( ( S  _D  F
) `  B ) ,  ( ( ( F `  z )  -  ( F `  B ) )  / 
( z  -  B
) ) ) )  e.  ( ( J  CnP  K ) `  B ) )
281, 27syl5eqel 2367 1  |-  ( ( ( S  e.  { RR ,  CC }  /\  F : A --> CC  /\  A  C_  S )  /\  B  e.  dom  ( S  _D  F ) )  ->  G  e.  ( ( J  CnP  K
) `  B )
)
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    <-> wb 176    /\ wa 358    /\ w3a 934    = wceq 1623    e. wcel 1684    =/= wne 2446    \ cdif 3149    C_ wss 3152   ifcif 3565   {csn 3640   {cpr 3641   class class class wbr 4023    e. cmpt 4077   dom cdm 4689   Fun wfun 5249   -->wf 5251   ` cfv 5255  (class class class)co 5858   CCcc 8735   RRcr 8736    - cmin 9037    / cdiv 9423   ↾t crest 13325   TopOpenctopn 13326  ℂfldccnfld 16377   intcnt 16754    CnP ccnp 16955   lim CC climc 19212    _D cdv 19213
This theorem is referenced by:  efrlim  20264
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1533  ax-5 1544  ax-17 1603  ax-9 1635  ax-8 1643  ax-13 1686  ax-14 1688  ax-6 1703  ax-7 1708  ax-11 1715  ax-12 1866  ax-ext 2264  ax-rep 4131  ax-sep 4141  ax-nul 4149  ax-pow 4188  ax-pr 4214  ax-un 4512  ax-cnex 8793  ax-resscn 8794  ax-1cn 8795  ax-icn 8796  ax-addcl 8797  ax-addrcl 8798  ax-mulcl 8799  ax-mulrcl 8800  ax-mulcom 8801  ax-addass 8802  ax-mulass 8803  ax-distr 8804  ax-i2m1 8805  ax-1ne0 8806  ax-1rid 8807  ax-rnegex 8808  ax-rrecex 8809  ax-cnre 8810  ax-pre-lttri 8811  ax-pre-lttrn 8812  ax-pre-ltadd 8813  ax-pre-mulgt0 8814  ax-pre-sup 8815
This theorem depends on definitions:  df-bi 177  df-or 359  df-an 360  df-3or 935  df-3an 936  df-tru 1310  df-ex 1529  df-nf 1532  df-sb 1630  df-eu 2147  df-mo 2148  df-clab 2270  df-cleq 2276  df-clel 2279  df-nfc 2408  df-ne 2448  df-nel 2449  df-ral 2548  df-rex 2549  df-reu 2550  df-rmo 2551  df-rab 2552  df-v 2790  df-sbc 2992  df-csb 3082  df-dif 3155  df-un 3157  df-in 3159  df-ss 3166  df-pss 3168  df-nul 3456  df-if 3566  df-pw 3627  df-sn 3646  df-pr 3647  df-tp 3648  df-op 3649  df-uni 3828  df-int 3863  df-iun 3907  df-iin 3908  df-br 4024  df-opab 4078  df-mpt 4079  df-tr 4114  df-eprel 4305  df-id 4309  df-po 4314  df-so 4315  df-fr 4352  df-we 4354  df-ord 4395  df-on 4396  df-lim 4397  df-suc 4398  df-om 4657  df-xp 4695  df-rel 4696  df-cnv 4697  df-co 4698  df-dm 4699  df-rn 4700  df-res 4701  df-ima 4702  df-iota 5219  df-fun 5257  df-fn 5258  df-f 5259  df-f1 5260  df-fo 5261  df-f1o 5262  df-fv 5263  df-ov 5861  df-oprab 5862  df-mpt2 5863  df-1st 6122  df-2nd 6123  df-riota 6304  df-recs 6388  df-rdg 6423  df-1o 6479  df-oadd 6483  df-er 6660  df-map 6774  df-pm 6775  df-en 6864  df-dom 6865  df-sdom 6866  df-fin 6867  df-fi 7165  df-sup 7194  df-pnf 8869  df-mnf 8870  df-xr 8871  df-ltxr 8872  df-le 8873  df-sub 9039  df-neg 9040  df-div 9424  df-nn 9747  df-2 9804  df-3 9805  df-4 9806  df-5 9807  df-6 9808  df-7 9809  df-8 9810  df-9 9811  df-10 9812  df-n0 9966  df-z 10025  df-dec 10125  df-uz 10231  df-q 10317  df-rp 10355  df-xneg 10452  df-xadd 10453  df-xmul 10454  df-icc 10663  df-fz 10783  df-seq 11047  df-exp 11105  df-cj 11584  df-re 11585  df-im 11586  df-sqr 11720  df-abs 11721  df-struct 13150  df-ndx 13151  df-slot 13152  df-base 13153  df-plusg 13221  df-mulr 13222  df-starv 13223  df-tset 13227  df-ple 13228  df-ds 13230  df-rest 13327  df-topn 13328  df-topgen 13344  df-xmet 16373  df-met 16374  df-bl 16375  df-mopn 16376  df-cnfld 16378  df-top 16636  df-bases 16638  df-topon 16639  df-topsp 16640  df-cld 16756  df-ntr 16757  df-cls 16758  df-nei 16835  df-lp 16868  df-perf 16869  df-cnp 16958  df-haus 17043  df-fbas 17520  df-fg 17521  df-fil 17541  df-fm 17633  df-flim 17634  df-flf 17635  df-xms 17885  df-ms 17886  df-limc 19216  df-dv 19217
  Copyright terms: Public domain W3C validator