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Theorem dvcnp2 19808
Description: A function is continuous at each point for which it is differentiable. (Contributed by Mario Carneiro, 9-Aug-2014.) (Revised by Mario Carneiro, 28-Dec-2016.)
Hypotheses
Ref Expression
dvcnp.j  |-  J  =  ( Kt  A )
dvcnp.k  |-  K  =  ( TopOpen ` fld )
Assertion
Ref Expression
dvcnp2  |-  ( ( ( S  C_  CC  /\  F : A --> CC  /\  A  C_  S )  /\  B  e.  dom  ( S  _D  F ) )  ->  F  e.  ( ( J  CnP  K
) `  B )
)

Proof of Theorem dvcnp2
Dummy variables  y 
z are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 eldmg 5067 . . 3  |-  ( B  e.  dom  ( S  _D  F )  -> 
( B  e.  dom  ( S  _D  F
)  <->  E. y  B ( S  _D  F ) y ) )
21ibi 234 . 2  |-  ( B  e.  dom  ( S  _D  F )  ->  E. y  B ( S  _D  F ) y )
3 simpl2 962 . . . . . 6  |-  ( ( ( S  C_  CC  /\  F : A --> CC  /\  A  C_  S )  /\  B ( S  _D  F ) y )  ->  F : A --> CC )
43ffvelrnda 5872 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ( S  C_  CC  /\  F : A --> CC  /\  A  C_  S
)  /\  B ( S  _D  F ) y )  /\  z  e.  A )  ->  ( F `  z )  e.  CC )
5 dvcnp.k . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  K  =  ( TopOpen ` fld )
65cnfldtop 18820 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  K  e. 
Top
7 simpl1 961 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( S  C_  CC  /\  F : A --> CC  /\  A  C_  S )  /\  B ( S  _D  F ) y )  ->  S  C_  CC )
8 cnex 9073 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  CC  e.  _V
9 ssexg 4351 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( S  C_  CC  /\  CC  e.  _V )  ->  S  e.  _V )
107, 8, 9sylancl 645 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( S  C_  CC  /\  F : A --> CC  /\  A  C_  S )  /\  B ( S  _D  F ) y )  ->  S  e.  _V )
11 resttop 17226 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( K  e.  Top  /\  S  e.  _V )  ->  ( Kt  S )  e.  Top )
126, 10, 11sylancr 646 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( S  C_  CC  /\  F : A --> CC  /\  A  C_  S )  /\  B ( S  _D  F ) y )  ->  ( Kt  S )  e.  Top )
13 simpl3 963 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( S  C_  CC  /\  F : A --> CC  /\  A  C_  S )  /\  B ( S  _D  F ) y )  ->  A  C_  S
)
145cnfldtopon 18819 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  K  e.  (TopOn `  CC )
15 resttopon 17227 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( K  e.  (TopOn `  CC )  /\  S  C_  CC )  ->  ( Kt  S )  e.  (TopOn `  S ) )
1614, 7, 15sylancr 646 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( S  C_  CC  /\  F : A --> CC  /\  A  C_  S )  /\  B ( S  _D  F ) y )  ->  ( Kt  S )  e.  (TopOn `  S
) )
17 toponuni 16994 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( Kt  S )  e.  (TopOn `  S )  ->  S  =  U. ( Kt  S ) )
1816, 17syl 16 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( S  C_  CC  /\  F : A --> CC  /\  A  C_  S )  /\  B ( S  _D  F ) y )  ->  S  =  U. ( Kt  S ) )
1913, 18sseqtrd 3386 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( S  C_  CC  /\  F : A --> CC  /\  A  C_  S )  /\  B ( S  _D  F ) y )  ->  A  C_  U. ( Kt  S ) )
20 eqid 2438 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  U. ( Kt  S )  =  U. ( Kt  S )
2120ntrss2 17123 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( Kt  S )  e.  Top  /\  A  C_  U. ( Kt  S ) )  -> 
( ( int `  ( Kt  S ) ) `  A )  C_  A
)
2212, 19, 21syl2anc 644 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( S  C_  CC  /\  F : A --> CC  /\  A  C_  S )  /\  B ( S  _D  F ) y )  ->  ( ( int `  ( Kt  S ) ) `  A )  C_  A
)
23 eqid 2438 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( Kt  S )  =  ( Kt  S )
24 eqid 2438 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( z  e.  ( A  \  { B } )  |->  ( ( ( F `  z )  -  ( F `  B )
)  /  ( z  -  B ) ) )  =  ( z  e.  ( A  \  { B } )  |->  ( ( ( F `  z )  -  ( F `  B )
)  /  ( z  -  B ) ) )
25 simp1 958 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( S  C_  CC  /\  F : A --> CC  /\  A  C_  S )  ->  S  C_  CC )
26 simp2 959 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( S  C_  CC  /\  F : A --> CC  /\  A  C_  S )  ->  F : A --> CC )
27 simp3 960 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( S  C_  CC  /\  F : A --> CC  /\  A  C_  S )  ->  A  C_  S )
2823, 5, 24, 25, 26, 27eldv 19787 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( S  C_  CC  /\  F : A --> CC  /\  A  C_  S )  ->  ( B ( S  _D  F ) y  <->  ( B  e.  ( ( int `  ( Kt  S ) ) `  A )  /\  y  e.  ( ( z  e.  ( A  \  { B } )  |->  ( ( ( F `  z
)  -  ( F `
 B ) )  /  ( z  -  B ) ) ) lim
CC  B ) ) ) )
2928simprbda 608 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( S  C_  CC  /\  F : A --> CC  /\  A  C_  S )  /\  B ( S  _D  F ) y )  ->  B  e.  ( ( int `  ( Kt  S ) ) `  A ) )
3022, 29sseldd 3351 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( S  C_  CC  /\  F : A --> CC  /\  A  C_  S )  /\  B ( S  _D  F ) y )  ->  B  e.  A
)
313, 30ffvelrnd 5873 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( S  C_  CC  /\  F : A --> CC  /\  A  C_  S )  /\  B ( S  _D  F ) y )  ->  ( F `  B )  e.  CC )
3231adantr 453 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ( S  C_  CC  /\  F : A --> CC  /\  A  C_  S
)  /\  B ( S  _D  F ) y )  /\  z  e.  A )  ->  ( F `  B )  e.  CC )
334, 32subcld 9413 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ( S  C_  CC  /\  F : A --> CC  /\  A  C_  S
)  /\  B ( S  _D  F ) y )  /\  z  e.  A )  ->  (
( F `  z
)  -  ( F `
 B ) )  e.  CC )
34 ssid 3369 . . . . . . . . 9  |-  CC  C_  CC
3534a1i 11 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( S  C_  CC  /\  F : A --> CC  /\  A  C_  S )  /\  B ( S  _D  F ) y )  ->  CC  C_  CC )
36 txtopon 17625 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( K  e.  (TopOn `  CC )  /\  K  e.  (TopOn `  CC )
)  ->  ( K  tX  K )  e.  (TopOn `  ( CC  X.  CC ) ) )
3714, 14, 36mp2an 655 . . . . . . . . . 10  |-  ( K 
tX  K )  e.  (TopOn `  ( CC  X.  CC ) )
3837toponunii 16999 . . . . . . . . . . 11  |-  ( CC 
X.  CC )  = 
U. ( K  tX  K )
3938restid 13663 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( K  tX  K )  e.  (TopOn `  ( CC  X.  CC ) )  ->  ( ( K 
tX  K )t  ( CC 
X.  CC ) )  =  ( K  tX  K ) )
4037, 39ax-mp 8 . . . . . . . . 9  |-  ( ( K  tX  K )t  ( CC  X.  CC ) )  =  ( K 
tX  K )
4140eqcomi 2442 . . . . . . . 8  |-  ( K 
tX  K )  =  ( ( K  tX  K )t  ( CC  X.  CC ) )
4213, 7sstrd 3360 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( S  C_  CC  /\  F : A --> CC  /\  A  C_  S )  /\  B ( S  _D  F ) y )  ->  A  C_  CC )
433, 42, 30dvlem 19785 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ( S  C_  CC  /\  F : A --> CC  /\  A  C_  S
)  /\  B ( S  _D  F ) y )  /\  z  e.  ( A  \  { B } ) )  -> 
( ( ( F `
 z )  -  ( F `  B ) )  /  ( z  -  B ) )  e.  CC )
4442ssdifssd 3487 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( S  C_  CC  /\  F : A --> CC  /\  A  C_  S )  /\  B ( S  _D  F ) y )  ->  ( A  \  { B } )  C_  CC )
4544sselda 3350 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ( S  C_  CC  /\  F : A --> CC  /\  A  C_  S
)  /\  B ( S  _D  F ) y )  /\  z  e.  ( A  \  { B } ) )  -> 
z  e.  CC )
4642, 30sseldd 3351 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( S  C_  CC  /\  F : A --> CC  /\  A  C_  S )  /\  B ( S  _D  F ) y )  ->  B  e.  CC )
4746adantr 453 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ( S  C_  CC  /\  F : A --> CC  /\  A  C_  S
)  /\  B ( S  _D  F ) y )  /\  z  e.  ( A  \  { B } ) )  ->  B  e.  CC )
4845, 47subcld 9413 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ( S  C_  CC  /\  F : A --> CC  /\  A  C_  S
)  /\  B ( S  _D  F ) y )  /\  z  e.  ( A  \  { B } ) )  -> 
( z  -  B
)  e.  CC )
4928simplbda 609 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( S  C_  CC  /\  F : A --> CC  /\  A  C_  S )  /\  B ( S  _D  F ) y )  ->  y  e.  ( ( z  e.  ( A  \  { B } )  |->  ( ( ( F `  z
)  -  ( F `
 B ) )  /  ( z  -  B ) ) ) lim
CC  B ) )
50 limcresi 19774 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( z  e.  A  |->  ( z  -  B ) ) lim CC  B ) 
C_  ( ( ( z  e.  A  |->  ( z  -  B ) )  |`  ( A  \  { B } ) ) lim CC  B )
51 difss 3476 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( A 
\  { B }
)  C_  A
52 resmpt 5193 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( A  \  { B } )  C_  A  ->  ( ( z  e.  A  |->  ( z  -  B ) )  |`  ( A  \  { B } ) )  =  ( z  e.  ( A  \  { B } )  |->  ( z  -  B ) ) )
5351, 52ax-mp 8 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( z  e.  A  |->  ( z  -  B ) )  |`  ( A  \  { B } ) )  =  ( z  e.  ( A  \  { B } )  |->  ( z  -  B ) )
5453oveq1i 6093 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( z  e.  A  |->  ( z  -  B
) )  |`  ( A  \  { B }
) ) lim CC  B
)  =  ( ( z  e.  ( A 
\  { B }
)  |->  ( z  -  B ) ) lim CC  B )
5550, 54sseqtri 3382 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( z  e.  A  |->  ( z  -  B ) ) lim CC  B ) 
C_  ( ( z  e.  ( A  \  { B } )  |->  ( z  -  B ) ) lim CC  B )
5646subidd 9401 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( S  C_  CC  /\  F : A --> CC  /\  A  C_  S )  /\  B ( S  _D  F ) y )  ->  ( B  -  B )  =  0 )
575subcn 18898 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  -  e.  ( ( K  tX  K )  Cn  K
)
5857a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( S  C_  CC  /\  F : A --> CC  /\  A  C_  S )  /\  B ( S  _D  F ) y )  ->  -  e.  ( ( K  tX  K
)  Cn  K ) )
59 cncfmptid 18944 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( A  C_  CC  /\  CC  C_  CC )  ->  (
z  e.  A  |->  z )  e.  ( A
-cn-> CC ) )
6042, 34, 59sylancl 645 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( S  C_  CC  /\  F : A --> CC  /\  A  C_  S )  /\  B ( S  _D  F ) y )  ->  ( z  e.  A  |->  z )  e.  ( A -cn-> CC ) )
61 cncfmptc 18943 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( B  e.  CC  /\  A  C_  CC  /\  CC  C_  CC )  ->  (
z  e.  A  |->  B )  e.  ( A
-cn-> CC ) )
6246, 42, 35, 61syl3anc 1185 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( S  C_  CC  /\  F : A --> CC  /\  A  C_  S )  /\  B ( S  _D  F ) y )  ->  ( z  e.  A  |->  B )  e.  ( A -cn-> CC ) )
635, 58, 60, 62cncfmpt2f 18946 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( S  C_  CC  /\  F : A --> CC  /\  A  C_  S )  /\  B ( S  _D  F ) y )  ->  ( z  e.  A  |->  ( z  -  B ) )  e.  ( A -cn-> CC ) )
64 oveq1 6090 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( z  =  B  ->  (
z  -  B )  =  ( B  -  B ) )
6563, 30, 64cnmptlimc 19779 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( S  C_  CC  /\  F : A --> CC  /\  A  C_  S )  /\  B ( S  _D  F ) y )  ->  ( B  -  B )  e.  ( ( z  e.  A  |->  ( z  -  B
) ) lim CC  B
) )
6656, 65eqeltrrd 2513 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( S  C_  CC  /\  F : A --> CC  /\  A  C_  S )  /\  B ( S  _D  F ) y )  ->  0  e.  ( ( z  e.  A  |->  ( z  -  B
) ) lim CC  B
) )
6755, 66sseldi 3348 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( S  C_  CC  /\  F : A --> CC  /\  A  C_  S )  /\  B ( S  _D  F ) y )  ->  0  e.  ( ( z  e.  ( A  \  { B } )  |->  ( z  -  B ) ) lim
CC  B ) )
685mulcn 18899 . . . . . . . . . . . 12  |-  x.  e.  ( ( K  tX  K )  Cn  K
)
6925, 26, 27dvcl 19788 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( S  C_  CC  /\  F : A --> CC  /\  A  C_  S )  /\  B ( S  _D  F ) y )  ->  y  e.  CC )
70 0cn 9086 . . . . . . . . . . . . 13  |-  0  e.  CC
71 opelxpi 4912 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( y  e.  CC  /\  0  e.  CC )  -> 
<. y ,  0 >.  e.  ( CC  X.  CC ) )
7269, 70, 71sylancl 645 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( S  C_  CC  /\  F : A --> CC  /\  A  C_  S )  /\  B ( S  _D  F ) y )  ->  <. y ,  0
>.  e.  ( CC  X.  CC ) )
7338cncnpi 17344 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( (  x.  e.  ( ( K  tX  K )  Cn  K )  /\  <.
y ,  0 >.  e.  ( CC  X.  CC ) )  ->  x.  e.  ( ( ( K 
tX  K )  CnP 
K ) `  <. y ,  0 >. )
)
7468, 72, 73sylancr 646 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( S  C_  CC  /\  F : A --> CC  /\  A  C_  S )  /\  B ( S  _D  F ) y )  ->  x.  e.  ( ( ( K  tX  K )  CnP  K
) `  <. y ,  0 >. ) )
7543, 48, 35, 35, 5, 41, 49, 67, 74limccnp2 19781 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( S  C_  CC  /\  F : A --> CC  /\  A  C_  S )  /\  B ( S  _D  F ) y )  ->  ( y  x.  0 )  e.  ( ( z  e.  ( A  \  { B } )  |->  ( ( ( ( F `  z )  -  ( F `  B )
)  /  ( z  -  B ) )  x.  ( z  -  B ) ) ) lim
CC  B ) )
7669mul01d 9267 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( S  C_  CC  /\  F : A --> CC  /\  A  C_  S )  /\  B ( S  _D  F ) y )  ->  ( y  x.  0 )  =  0 )
773adantr 453 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( ( S  C_  CC  /\  F : A --> CC  /\  A  C_  S
)  /\  B ( S  _D  F ) y )  /\  z  e.  ( A  \  { B } ) )  ->  F : A --> CC )
78 simpr 449 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( ( S  C_  CC  /\  F : A --> CC  /\  A  C_  S
)  /\  B ( S  _D  F ) y )  /\  z  e.  ( A  \  { B } ) )  -> 
z  e.  ( A 
\  { B }
) )
7951, 78sseldi 3348 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( ( S  C_  CC  /\  F : A --> CC  /\  A  C_  S
)  /\  B ( S  _D  F ) y )  /\  z  e.  ( A  \  { B } ) )  -> 
z  e.  A )
8077, 79ffvelrnd 5873 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ( S  C_  CC  /\  F : A --> CC  /\  A  C_  S
)  /\  B ( S  _D  F ) y )  /\  z  e.  ( A  \  { B } ) )  -> 
( F `  z
)  e.  CC )
8131adantr 453 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ( S  C_  CC  /\  F : A --> CC  /\  A  C_  S
)  /\  B ( S  _D  F ) y )  /\  z  e.  ( A  \  { B } ) )  -> 
( F `  B
)  e.  CC )
8280, 81subcld 9413 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ( S  C_  CC  /\  F : A --> CC  /\  A  C_  S
)  /\  B ( S  _D  F ) y )  /\  z  e.  ( A  \  { B } ) )  -> 
( ( F `  z )  -  ( F `  B )
)  e.  CC )
83 eldifsni 3930 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( z  e.  ( A  \  { B } )  -> 
z  =/=  B )
8483adantl 454 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ( S  C_  CC  /\  F : A --> CC  /\  A  C_  S
)  /\  B ( S  _D  F ) y )  /\  z  e.  ( A  \  { B } ) )  -> 
z  =/=  B )
8545, 47, 84subne0d 9422 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ( S  C_  CC  /\  F : A --> CC  /\  A  C_  S
)  /\  B ( S  _D  F ) y )  /\  z  e.  ( A  \  { B } ) )  -> 
( z  -  B
)  =/=  0 )
8682, 48, 85divcan1d 9793 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ( S  C_  CC  /\  F : A --> CC  /\  A  C_  S
)  /\  B ( S  _D  F ) y )  /\  z  e.  ( A  \  { B } ) )  -> 
( ( ( ( F `  z )  -  ( F `  B ) )  / 
( z  -  B
) )  x.  (
z  -  B ) )  =  ( ( F `  z )  -  ( F `  B ) ) )
8786mpteq2dva 4297 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( S  C_  CC  /\  F : A --> CC  /\  A  C_  S )  /\  B ( S  _D  F ) y )  ->  ( z  e.  ( A  \  { B } )  |->  ( ( ( ( F `  z )  -  ( F `  B )
)  /  ( z  -  B ) )  x.  ( z  -  B ) ) )  =  ( z  e.  ( A  \  { B } )  |->  ( ( F `  z )  -  ( F `  B ) ) ) )
8887oveq1d 6098 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( S  C_  CC  /\  F : A --> CC  /\  A  C_  S )  /\  B ( S  _D  F ) y )  ->  ( ( z  e.  ( A  \  { B } )  |->  ( ( ( ( F `
 z )  -  ( F `  B ) )  /  ( z  -  B ) )  x.  ( z  -  B ) ) ) lim
CC  B )  =  ( ( z  e.  ( A  \  { B } )  |->  ( ( F `  z )  -  ( F `  B ) ) ) lim
CC  B ) )
8975, 76, 883eltr3d 2518 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( S  C_  CC  /\  F : A --> CC  /\  A  C_  S )  /\  B ( S  _D  F ) y )  ->  0  e.  ( ( z  e.  ( A  \  { B } )  |->  ( ( F `  z )  -  ( F `  B ) ) ) lim
CC  B ) )
90 eqid 2438 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( z  e.  A  |->  ( ( F `  z )  -  ( F `  B ) ) )  =  ( z  e.  A  |->  ( ( F `
 z )  -  ( F `  B ) ) )
9133, 90fmptd 5895 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( S  C_  CC  /\  F : A --> CC  /\  A  C_  S )  /\  B ( S  _D  F ) y )  ->  ( z  e.  A  |->  ( ( F `
 z )  -  ( F `  B ) ) ) : A --> CC )
9291limcdif 19765 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( S  C_  CC  /\  F : A --> CC  /\  A  C_  S )  /\  B ( S  _D  F ) y )  ->  ( ( z  e.  A  |->  ( ( F `  z )  -  ( F `  B ) ) ) lim
CC  B )  =  ( ( ( z  e.  A  |->  ( ( F `  z )  -  ( F `  B ) ) )  |`  ( A  \  { B } ) ) lim CC  B ) )
93 resmpt 5193 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( A  \  { B } )  C_  A  ->  ( ( z  e.  A  |->  ( ( F `
 z )  -  ( F `  B ) ) )  |`  ( A  \  { B }
) )  =  ( z  e.  ( A 
\  { B }
)  |->  ( ( F `
 z )  -  ( F `  B ) ) ) )
9451, 93ax-mp 8 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( z  e.  A  |->  ( ( F `  z
)  -  ( F `
 B ) ) )  |`  ( A  \  { B } ) )  =  ( z  e.  ( A  \  { B } )  |->  ( ( F `  z
)  -  ( F `
 B ) ) )
9594oveq1i 6093 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( z  e.  A  |->  ( ( F `  z )  -  ( F `  B )
) )  |`  ( A  \  { B }
) ) lim CC  B
)  =  ( ( z  e.  ( A 
\  { B }
)  |->  ( ( F `
 z )  -  ( F `  B ) ) ) lim CC  B
)
9692, 95syl6eq 2486 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( S  C_  CC  /\  F : A --> CC  /\  A  C_  S )  /\  B ( S  _D  F ) y )  ->  ( ( z  e.  A  |->  ( ( F `  z )  -  ( F `  B ) ) ) lim
CC  B )  =  ( ( z  e.  ( A  \  { B } )  |->  ( ( F `  z )  -  ( F `  B ) ) ) lim
CC  B ) )
9789, 96eleqtrrd 2515 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( S  C_  CC  /\  F : A --> CC  /\  A  C_  S )  /\  B ( S  _D  F ) y )  ->  0  e.  ( ( z  e.  A  |->  ( ( F `  z )  -  ( F `  B )
) ) lim CC  B
) )
98 cncfmptc 18943 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( F `  B
)  e.  CC  /\  A  C_  CC  /\  CC  C_  CC )  ->  (
z  e.  A  |->  ( F `  B ) )  e.  ( A
-cn-> CC ) )
9931, 42, 35, 98syl3anc 1185 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( S  C_  CC  /\  F : A --> CC  /\  A  C_  S )  /\  B ( S  _D  F ) y )  ->  ( z  e.  A  |->  ( F `  B ) )  e.  ( A -cn-> CC ) )
100 eqidd 2439 . . . . . . . . 9  |-  ( z  =  B  ->  ( F `  B )  =  ( F `  B ) )
10199, 30, 100cnmptlimc 19779 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( S  C_  CC  /\  F : A --> CC  /\  A  C_  S )  /\  B ( S  _D  F ) y )  ->  ( F `  B )  e.  ( ( z  e.  A  |->  ( F `  B
) ) lim CC  B
) )
1025addcn 18897 . . . . . . . . 9  |-  +  e.  ( ( K  tX  K )  Cn  K
)
103 opelxpi 4912 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( 0  e.  CC  /\  ( F `  B )  e.  CC )  ->  <. 0 ,  ( F `
 B ) >.  e.  ( CC  X.  CC ) )
10470, 31, 103sylancr 646 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( S  C_  CC  /\  F : A --> CC  /\  A  C_  S )  /\  B ( S  _D  F ) y )  ->  <. 0 ,  ( F `  B )
>.  e.  ( CC  X.  CC ) )
10538cncnpi 17344 . . . . . . . . 9  |-  ( (  +  e.  ( ( K  tX  K )  Cn  K )  /\  <.
0 ,  ( F `
 B ) >.  e.  ( CC  X.  CC ) )  ->  +  e.  ( ( ( K 
tX  K )  CnP 
K ) `  <. 0 ,  ( F `  B ) >. )
)
106102, 104, 105sylancr 646 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( S  C_  CC  /\  F : A --> CC  /\  A  C_  S )  /\  B ( S  _D  F ) y )  ->  +  e.  ( ( ( K  tX  K )  CnP  K
) `  <. 0 ,  ( F `  B
) >. ) )
10733, 32, 35, 35, 5, 41, 97, 101, 106limccnp2 19781 . . . . . . 7  |-  ( ( ( S  C_  CC  /\  F : A --> CC  /\  A  C_  S )  /\  B ( S  _D  F ) y )  ->  ( 0  +  ( F `  B
) )  e.  ( ( z  e.  A  |->  ( ( ( F `
 z )  -  ( F `  B ) )  +  ( F `
 B ) ) ) lim CC  B ) )
10831addid2d 9269 . . . . . . 7  |-  ( ( ( S  C_  CC  /\  F : A --> CC  /\  A  C_  S )  /\  B ( S  _D  F ) y )  ->  ( 0  +  ( F `  B
) )  =  ( F `  B ) )
1094, 32npcand 9417 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ( S  C_  CC  /\  F : A --> CC  /\  A  C_  S
)  /\  B ( S  _D  F ) y )  /\  z  e.  A )  ->  (
( ( F `  z )  -  ( F `  B )
)  +  ( F `
 B ) )  =  ( F `  z ) )
110109mpteq2dva 4297 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( S  C_  CC  /\  F : A --> CC  /\  A  C_  S )  /\  B ( S  _D  F ) y )  ->  ( z  e.  A  |->  ( ( ( F `  z )  -  ( F `  B ) )  +  ( F `  B
) ) )  =  ( z  e.  A  |->  ( F `  z
) ) )
1113feqmptd 5781 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( S  C_  CC  /\  F : A --> CC  /\  A  C_  S )  /\  B ( S  _D  F ) y )  ->  F  =  ( z  e.  A  |->  ( F `  z ) ) )
112110, 111eqtr4d 2473 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( S  C_  CC  /\  F : A --> CC  /\  A  C_  S )  /\  B ( S  _D  F ) y )  ->  ( z  e.  A  |->  ( ( ( F `  z )  -  ( F `  B ) )  +  ( F `  B
) ) )  =  F )
113112oveq1d 6098 . . . . . . 7  |-  ( ( ( S  C_  CC  /\  F : A --> CC  /\  A  C_  S )  /\  B ( S  _D  F ) y )  ->  ( ( z  e.  A  |->  ( ( ( F `  z
)  -  ( F `
 B ) )  +  ( F `  B ) ) ) lim
CC  B )  =  ( F lim CC  B
) )
114107, 108, 1133eltr3d 2518 . . . . . 6  |-  ( ( ( S  C_  CC  /\  F : A --> CC  /\  A  C_  S )  /\  B ( S  _D  F ) y )  ->  ( F `  B )  e.  ( F lim CC  B ) )
115 dvcnp.j . . . . . . . 8  |-  J  =  ( Kt  A )
1165, 115cnplimc 19776 . . . . . . 7  |-  ( ( A  C_  CC  /\  B  e.  A )  ->  ( F  e.  ( ( J  CnP  K ) `  B )  <->  ( F : A --> CC  /\  ( F `  B )  e.  ( F lim CC  B
) ) ) )
11742, 30, 116syl2anc 644 . . . . . 6  |-  ( ( ( S  C_  CC  /\  F : A --> CC  /\  A  C_  S )  /\  B ( S  _D  F ) y )  ->  ( F  e.  ( ( J  CnP  K ) `  B )  <-> 
( F : A --> CC  /\  ( F `  B )  e.  ( F lim CC  B ) ) ) )
1183, 114, 117mpbir2and 890 . . . . 5  |-  ( ( ( S  C_  CC  /\  F : A --> CC  /\  A  C_  S )  /\  B ( S  _D  F ) y )  ->  F  e.  ( ( J  CnP  K
) `  B )
)
119118ex 425 . . . 4  |-  ( ( S  C_  CC  /\  F : A --> CC  /\  A  C_  S )  ->  ( B ( S  _D  F ) y  ->  F  e.  ( ( J  CnP  K ) `  B ) ) )
120119exlimdv 1647 . . 3  |-  ( ( S  C_  CC  /\  F : A --> CC  /\  A  C_  S )  ->  ( E. y  B ( S  _D  F ) y  ->  F  e.  ( ( J  CnP  K
) `  B )
) )
121120imp 420 . 2  |-  ( ( ( S  C_  CC  /\  F : A --> CC  /\  A  C_  S )  /\  E. y  B ( S  _D  F ) y )  ->  F  e.  ( ( J  CnP  K ) `  B ) )
1222, 121sylan2 462 1  |-  ( ( ( S  C_  CC  /\  F : A --> CC  /\  A  C_  S )  /\  B  e.  dom  ( S  _D  F ) )  ->  F  e.  ( ( J  CnP  K
) `  B )
)
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    <-> wb 178    /\ wa 360    /\ w3a 937   E.wex 1551    = wceq 1653    e. wcel 1726    =/= wne 2601   _Vcvv 2958    \ cdif 3319    C_ wss 3322   {csn 3816   <.cop 3819   U.cuni 4017   class class class wbr 4214    e. cmpt 4268    X. cxp 4878   dom cdm 4880    |` cres 4882   -->wf 5452   ` cfv 5456  (class class class)co 6083   CCcc 8990   0cc0 8992    + caddc 8995    x. cmul 8997    - cmin 9293    / cdiv 9679   ↾t crest 13650   TopOpenctopn 13651  ℂfldccnfld 16705   Topctop 16960  TopOnctopon 16961   intcnt 17083    Cn ccn 17290    CnP ccnp 17291    tX ctx 17594   -cn->ccncf 18908   lim CC climc 19751    _D cdv 19752
This theorem is referenced by:  dvcn  19809  dvmulbr  19827  dvcobr  19834
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1556  ax-5 1567  ax-17 1627  ax-9 1667  ax-8 1688  ax-13 1728  ax-14 1730  ax-6 1745  ax-7 1750  ax-11 1762  ax-12 1951  ax-ext 2419  ax-rep 4322  ax-sep 4332  ax-nul 4340  ax-pow 4379  ax-pr 4405  ax-un 4703  ax-inf2 7598  ax-cnex 9048  ax-resscn 9049  ax-1cn 9050  ax-icn 9051  ax-addcl 9052  ax-addrcl 9053  ax-mulcl 9054  ax-mulrcl 9055  ax-mulcom 9056  ax-addass 9057  ax-mulass 9058  ax-distr 9059  ax-i2m1 9060  ax-1ne0 9061  ax-1rid 9062  ax-rnegex 9063  ax-rrecex 9064  ax-cnre 9065  ax-pre-lttri 9066  ax-pre-lttrn 9067  ax-pre-ltadd 9068  ax-pre-mulgt0 9069  ax-pre-sup 9070  ax-addf 9071  ax-mulf 9072
This theorem depends on definitions:  df-bi 179  df-or 361  df-an 362  df-3or 938  df-3an 939  df-tru 1329  df-ex 1552  df-nf 1555  df-sb 1660  df-eu 2287  df-mo 2288  df-clab 2425  df-cleq 2431  df-clel 2434  df-nfc 2563  df-ne 2603  df-nel 2604  df-ral 2712  df-rex 2713  df-reu 2714  df-rmo 2715  df-rab 2716  df-v 2960  df-sbc 3164  df-csb 3254  df-dif 3325  df-un 3327  df-in 3329  df-ss 3336  df-pss 3338  df-nul 3631  df-if 3742  df-pw 3803  df-sn 3822  df-pr 3823  df-tp 3824  df-op 3825  df-uni 4018  df-int 4053  df-iun 4097  df-iin 4098  df-br 4215  df-opab 4269  df-mpt 4270  df-tr 4305  df-eprel 4496  df-id 4500  df-po 4505  df-so 4506  df-fr 4543  df-se 4544  df-we 4545  df-ord 4586  df-on 4587  df-lim 4588  df-suc 4589  df-om 4848  df-xp 4886  df-rel 4887  df-cnv 4888  df-co 4889  df-dm 4890  df-rn 4891  df-res 4892  df-ima 4893  df-iota 5420  df-fun 5458  df-fn 5459  df-f 5460  df-f1 5461  df-fo 5462  df-f1o 5463  df-fv 5464  df-isom 5465  df-ov 6086  df-oprab 6087  df-mpt2 6088  df-of 6307  df-1st 6351  df-2nd 6352  df-riota 6551  df-recs 6635  df-rdg 6670  df-1o 6726  df-2o 6727  df-oadd 6730  df-er 6907  df-map 7022  df-pm 7023  df-ixp 7066  df-en 7112  df-dom 7113  df-sdom 7114  df-fin 7115  df-fi 7418  df-sup 7448  df-oi 7481  df-card 7828  df-cda 8050  df-pnf 9124  df-mnf 9125  df-xr 9126  df-ltxr 9127  df-le 9128  df-sub 9295  df-neg 9296  df-div 9680  df-nn 10003  df-2 10060  df-3 10061  df-4 10062  df-5 10063  df-6 10064  df-7 10065  df-8 10066  df-9 10067  df-10 10068  df-n0 10224  df-z 10285  df-dec 10385  df-uz 10491  df-q 10577  df-rp 10615  df-xneg 10712  df-xadd 10713  df-xmul 10714  df-icc 10925  df-fz 11046  df-fzo 11138  df-seq 11326  df-exp 11385  df-hash 11621  df-cj 11906  df-re 11907  df-im 11908  df-sqr 12042  df-abs 12043  df-struct 13473  df-ndx 13474  df-slot 13475  df-base 13476  df-sets 13477  df-ress 13478  df-plusg 13544  df-mulr 13545  df-starv 13546  df-sca 13547  df-vsca 13548  df-tset 13550  df-ple 13551  df-ds 13553  df-unif 13554  df-hom 13555  df-cco 13556  df-rest 13652  df-topn 13653  df-topgen 13669  df-pt 13670  df-prds 13673  df-xrs 13728  df-0g 13729  df-gsum 13730  df-qtop 13735  df-imas 13736  df-xps 13738  df-mre 13813  df-mrc 13814  df-acs 13816  df-mnd 14692  df-submnd 14741  df-mulg 14817  df-cntz 15118  df-cmn 15416  df-psmet 16696  df-xmet 16697  df-met 16698  df-bl 16699  df-mopn 16700  df-cnfld 16706  df-top 16965  df-bases 16967  df-topon 16968  df-topsp 16969  df-ntr 17086  df-cn 17293  df-cnp 17294  df-tx 17596  df-hmeo 17789  df-xms 18352  df-ms 18353  df-tms 18354  df-cncf 18910  df-limc 19755  df-dv 19756
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