MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  dvcnv Structured version   Unicode version

Theorem dvcnv 19862
Description: A weak version of dvcnvre 19904, valid for both real and complex domains but under the hypothesis that the inverse function is already known to be continuous, and the image set is known to be open. A more advanced proof can show that these conditions are unnecessary. (Contributed by Mario Carneiro, 25-Feb-2015.) (Revised by Mario Carneiro, 8-Sep-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
dvcnv.j  |-  J  =  ( TopOpen ` fld )
dvcnv.k  |-  K  =  ( Jt  S )
dvcnv.s  |-  ( ph  ->  S  e.  { RR ,  CC } )
dvcnv.y  |-  ( ph  ->  Y  e.  K )
dvcnv.f  |-  ( ph  ->  F : X -1-1-onto-> Y )
dvcnv.i  |-  ( ph  ->  `' F  e.  ( Y -cn-> X ) )
dvcnv.d  |-  ( ph  ->  dom  ( S  _D  F )  =  X )
dvcnv.z  |-  ( ph  ->  -.  0  e.  ran  ( S  _D  F
) )
Assertion
Ref Expression
dvcnv  |-  ( ph  ->  ( S  _D  `' F )  =  ( x  e.  Y  |->  ( 1  /  ( ( S  _D  F ) `
 ( `' F `  x ) ) ) ) )
Distinct variable groups:    x, F    x, J    ph, x    x, S    x, Y
Allowed substitution hints:    K( x)    X( x)

Proof of Theorem dvcnv
StepHypRef Expression
1 dvcnv.s . . . . 5  |-  ( ph  ->  S  e.  { RR ,  CC } )
2 dvfg 19794 . . . . 5  |-  ( S  e.  { RR ,  CC }  ->  ( S  _D  `' F ) : dom  ( S  _D  `' F
) --> CC )
31, 2syl 16 . . . 4  |-  ( ph  ->  ( S  _D  `' F ) : dom  ( S  _D  `' F
) --> CC )
4 recnprss 19792 . . . . . . . 8  |-  ( S  e.  { RR ,  CC }  ->  S  C_  CC )
51, 4syl 16 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  S  C_  CC )
6 dvcnv.f . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  F : X -1-1-onto-> Y )
7 f1ocnv 5688 . . . . . . . . 9  |-  ( F : X -1-1-onto-> Y  ->  `' F : Y -1-1-onto-> X )
8 f1of 5675 . . . . . . . . 9  |-  ( `' F : Y -1-1-onto-> X  ->  `' F : Y --> X )
96, 7, 83syl 19 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  `' F : Y --> X )
10 dvcnv.d . . . . . . . . . 10  |-  ( ph  ->  dom  ( S  _D  F )  =  X )
11 dvbsss 19790 . . . . . . . . . 10  |-  dom  ( S  _D  F )  C_  S
1210, 11syl6eqssr 3400 . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  X  C_  S )
1312, 5sstrd 3359 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  X  C_  CC )
14 fss 5600 . . . . . . . 8  |-  ( ( `' F : Y --> X  /\  X  C_  CC )  ->  `' F : Y --> CC )
159, 13, 14syl2anc 644 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  `' F : Y --> CC )
16 dvcnv.k . . . . . . . . 9  |-  K  =  ( Jt  S )
17 dvcnv.j . . . . . . . . . . 11  |-  J  =  ( TopOpen ` fld )
1817cnfldtopon 18818 . . . . . . . . . 10  |-  J  e.  (TopOn `  CC )
19 resttopon 17226 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( J  e.  (TopOn `  CC )  /\  S  C_  CC )  ->  ( Jt  S )  e.  (TopOn `  S ) )
2018, 5, 19sylancr 646 . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  ( Jt  S )  e.  (TopOn `  S ) )
2116, 20syl5eqel 2521 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  K  e.  (TopOn `  S ) )
22 dvcnv.y . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  Y  e.  K )
23 toponss 16995 . . . . . . . 8  |-  ( ( K  e.  (TopOn `  S )  /\  Y  e.  K )  ->  Y  C_  S )
2421, 22, 23syl2anc 644 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  Y  C_  S )
255, 15, 24dvbss 19789 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  dom  ( S  _D  `' F )  C_  Y
)
26 f1ocnvfv2 6016 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( F : X -1-1-onto-> Y  /\  x  e.  Y )  ->  ( F `  ( `' F `  x ) )  =  x )
276, 26sylan 459 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  x  e.  Y )  ->  ( F `  ( `' F `  x )
)  =  x )
281adantr 453 . . . . . . . . . . 11  |-  ( (
ph  /\  x  e.  Y )  ->  S  e.  { RR ,  CC } )
2922adantr 453 . . . . . . . . . . 11  |-  ( (
ph  /\  x  e.  Y )  ->  Y  e.  K )
306adantr 453 . . . . . . . . . . 11  |-  ( (
ph  /\  x  e.  Y )  ->  F : X -1-1-onto-> Y )
31 dvcnv.i . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ph  ->  `' F  e.  ( Y -cn-> X ) )
3231adantr 453 . . . . . . . . . . 11  |-  ( (
ph  /\  x  e.  Y )  ->  `' F  e.  ( Y -cn-> X ) )
3310adantr 453 . . . . . . . . . . 11  |-  ( (
ph  /\  x  e.  Y )  ->  dom  ( S  _D  F
)  =  X )
34 dvcnv.z . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ph  ->  -.  0  e.  ran  ( S  _D  F
) )
3534adantr 453 . . . . . . . . . . 11  |-  ( (
ph  /\  x  e.  Y )  ->  -.  0  e.  ran  ( S  _D  F ) )
369ffvelrnda 5871 . . . . . . . . . . 11  |-  ( (
ph  /\  x  e.  Y )  ->  ( `' F `  x )  e.  X )
3717, 16, 28, 29, 30, 32, 33, 35, 36dvcnvlem 19861 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  x  e.  Y )  ->  ( F `  ( `' F `  x )
) ( S  _D  `' F ) ( 1  /  ( ( S  _D  F ) `  ( `' F `  x ) ) ) )
3827, 37eqbrtrrd 4235 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  x  e.  Y )  ->  x
( S  _D  `' F ) ( 1  /  ( ( S  _D  F ) `  ( `' F `  x ) ) ) )
39 reldv 19758 . . . . . . . . . 10  |-  Rel  ( S  _D  `' F )
4039releldmi 5107 . . . . . . . . 9  |-  ( x ( S  _D  `' F ) ( 1  /  ( ( S  _D  F ) `  ( `' F `  x ) ) )  ->  x  e.  dom  ( S  _D  `' F ) )
4138, 40syl 16 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  x  e.  Y )  ->  x  e.  dom  ( S  _D  `' F ) )
4241ex 425 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  ( x  e.  Y  ->  x  e.  dom  ( S  _D  `' F ) ) )
4342ssrdv 3355 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  Y  C_  dom  ( S  _D  `' F ) )
4425, 43eqssd 3366 . . . . 5  |-  ( ph  ->  dom  ( S  _D  `' F )  =  Y )
4544feq2d 5582 . . . 4  |-  ( ph  ->  ( ( S  _D  `' F ) : dom  ( S  _D  `' F
) --> CC  <->  ( S  _D  `' F ) : Y --> CC ) )
463, 45mpbid 203 . . 3  |-  ( ph  ->  ( S  _D  `' F ) : Y --> CC )
4746feqmptd 5780 . 2  |-  ( ph  ->  ( S  _D  `' F )  =  ( x  e.  Y  |->  ( ( S  _D  `' F ) `  x
) ) )
483adantr 453 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  x  e.  Y )  ->  ( S  _D  `' F ) : dom  ( S  _D  `' F ) --> CC )
49 ffun 5594 . . . . 5  |-  ( ( S  _D  `' F
) : dom  ( S  _D  `' F ) --> CC  ->  Fun  ( S  _D  `' F ) )
5048, 49syl 16 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  x  e.  Y )  ->  Fun  ( S  _D  `' F
) )
51 funbrfv 5766 . . . 4  |-  ( Fun  ( S  _D  `' F )  ->  (
x ( S  _D  `' F ) ( 1  /  ( ( S  _D  F ) `  ( `' F `  x ) ) )  ->  (
( S  _D  `' F ) `  x
)  =  ( 1  /  ( ( S  _D  F ) `  ( `' F `  x ) ) ) ) )
5250, 38, 51sylc 59 . . 3  |-  ( (
ph  /\  x  e.  Y )  ->  (
( S  _D  `' F ) `  x
)  =  ( 1  /  ( ( S  _D  F ) `  ( `' F `  x ) ) ) )
5352mpteq2dva 4296 . 2  |-  ( ph  ->  ( x  e.  Y  |->  ( ( S  _D  `' F ) `  x
) )  =  ( x  e.  Y  |->  ( 1  /  ( ( S  _D  F ) `
 ( `' F `  x ) ) ) ) )
5447, 53eqtrd 2469 1  |-  ( ph  ->  ( S  _D  `' F )  =  ( x  e.  Y  |->  ( 1  /  ( ( S  _D  F ) `
 ( `' F `  x ) ) ) ) )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:   -. wn 3    -> wi 4    /\ wa 360    = wceq 1653    e. wcel 1726    C_ wss 3321   {cpr 3816   class class class wbr 4213    e. cmpt 4267   `'ccnv 4878   dom cdm 4879   ran crn 4880   Fun wfun 5449   -->wf 5451   -1-1-onto->wf1o 5454   ` cfv 5455  (class class class)co 6082   CCcc 8989   RRcr 8990   0cc0 8991   1c1 8992    / cdiv 9678   ↾t crest 13649   TopOpenctopn 13650  ℂfldccnfld 16704  TopOnctopon 16960   -cn->ccncf 18907    _D cdv 19751
This theorem is referenced by:  dvcnvre  19904  dvlog  20543
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1556  ax-5 1567  ax-17 1627  ax-9 1667  ax-8 1688  ax-13 1728  ax-14 1730  ax-6 1745  ax-7 1750  ax-11 1762  ax-12 1951  ax-ext 2418  ax-rep 4321  ax-sep 4331  ax-nul 4339  ax-pow 4378  ax-pr 4404  ax-un 4702  ax-inf2 7597  ax-cnex 9047  ax-resscn 9048  ax-1cn 9049  ax-icn 9050  ax-addcl 9051  ax-addrcl 9052  ax-mulcl 9053  ax-mulrcl 9054  ax-mulcom 9055  ax-addass 9056  ax-mulass 9057  ax-distr 9058  ax-i2m1 9059  ax-1ne0 9060  ax-1rid 9061  ax-rnegex 9062  ax-rrecex 9063  ax-cnre 9064  ax-pre-lttri 9065  ax-pre-lttrn 9066  ax-pre-ltadd 9067  ax-pre-mulgt0 9068  ax-pre-sup 9069  ax-mulf 9071
This theorem depends on definitions:  df-bi 179  df-or 361  df-an 362  df-3or 938  df-3an 939  df-tru 1329  df-ex 1552  df-nf 1555  df-sb 1660  df-eu 2286  df-mo 2287  df-clab 2424  df-cleq 2430  df-clel 2433  df-nfc 2562  df-ne 2602  df-nel 2603  df-ral 2711  df-rex 2712  df-reu 2713  df-rmo 2714  df-rab 2715  df-v 2959  df-sbc 3163  df-csb 3253  df-dif 3324  df-un 3326  df-in 3328  df-ss 3335  df-pss 3337  df-nul 3630  df-if 3741  df-pw 3802  df-sn 3821  df-pr 3822  df-tp 3823  df-op 3824  df-uni 4017  df-int 4052  df-iun 4096  df-iin 4097  df-br 4214  df-opab 4268  df-mpt 4269  df-tr 4304  df-eprel 4495  df-id 4499  df-po 4504  df-so 4505  df-fr 4542  df-se 4543  df-we 4544  df-ord 4585  df-on 4586  df-lim 4587  df-suc 4588  df-om 4847  df-xp 4885  df-rel 4886  df-cnv 4887  df-co 4888  df-dm 4889  df-rn 4890  df-res 4891  df-ima 4892  df-iota 5419  df-fun 5457  df-fn 5458  df-f 5459  df-f1 5460  df-fo 5461  df-f1o 5462  df-fv 5463  df-isom 5464  df-ov 6085  df-oprab 6086  df-mpt2 6087  df-of 6306  df-1st 6350  df-2nd 6351  df-riota 6550  df-recs 6634  df-rdg 6669  df-1o 6725  df-2o 6726  df-oadd 6729  df-er 6906  df-map 7021  df-pm 7022  df-ixp 7065  df-en 7111  df-dom 7112  df-sdom 7113  df-fin 7114  df-fi 7417  df-sup 7447  df-oi 7480  df-card 7827  df-cda 8049  df-pnf 9123  df-mnf 9124  df-xr 9125  df-ltxr 9126  df-le 9127  df-sub 9294  df-neg 9295  df-div 9679  df-nn 10002  df-2 10059  df-3 10060  df-4 10061  df-5 10062  df-6 10063  df-7 10064  df-8 10065  df-9 10066  df-10 10067  df-n0 10223  df-z 10284  df-dec 10384  df-uz 10490  df-q 10576  df-rp 10614  df-xneg 10711  df-xadd 10712  df-xmul 10713  df-icc 10924  df-fz 11045  df-fzo 11137  df-seq 11325  df-exp 11384  df-hash 11620  df-cj 11905  df-re 11906  df-im 11907  df-sqr 12041  df-abs 12042  df-struct 13472  df-ndx 13473  df-slot 13474  df-base 13475  df-sets 13476  df-ress 13477  df-plusg 13543  df-mulr 13544  df-starv 13545  df-sca 13546  df-vsca 13547  df-tset 13549  df-ple 13550  df-ds 13552  df-unif 13553  df-hom 13554  df-cco 13555  df-rest 13651  df-topn 13652  df-topgen 13668  df-pt 13669  df-prds 13672  df-xrs 13727  df-0g 13728  df-gsum 13729  df-qtop 13734  df-imas 13735  df-xps 13737  df-mre 13812  df-mrc 13813  df-acs 13815  df-mnd 14691  df-submnd 14740  df-mulg 14816  df-cntz 15117  df-cmn 15415  df-psmet 16695  df-xmet 16696  df-met 16697  df-bl 16698  df-mopn 16699  df-fbas 16700  df-fg 16701  df-cnfld 16705  df-top 16964  df-bases 16966  df-topon 16967  df-topsp 16968  df-cld 17084  df-ntr 17085  df-cls 17086  df-nei 17163  df-lp 17201  df-perf 17202  df-cn 17292  df-cnp 17293  df-haus 17380  df-tx 17595  df-hmeo 17788  df-fil 17879  df-fm 17971  df-flim 17972  df-flf 17973  df-xms 18351  df-ms 18352  df-tms 18353  df-cncf 18909  df-limc 19754  df-dv 19755
  Copyright terms: Public domain W3C validator