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Theorem dvcnvlem 19323
Description: Lemma for dvcnvre 19366. (Contributed by Mario Carneiro, 25-Feb-2015.) (Revised by Mario Carneiro, 8-Sep-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
dvcnv.j  |-  J  =  ( TopOpen ` fld )
dvcnv.k  |-  K  =  ( Jt  S )
dvcnv.s  |-  ( ph  ->  S  e.  { RR ,  CC } )
dvcnv.y  |-  ( ph  ->  Y  e.  K )
dvcnv.f  |-  ( ph  ->  F : X -1-1-onto-> Y )
dvcnv.i  |-  ( ph  ->  `' F  e.  ( Y -cn-> X ) )
dvcnv.d  |-  ( ph  ->  dom  ( S  _D  F )  =  X )
dvcnv.z  |-  ( ph  ->  -.  0  e.  ran  ( S  _D  F
) )
dvcnv.c  |-  ( ph  ->  C  e.  X )
Assertion
Ref Expression
dvcnvlem  |-  ( ph  ->  ( F `  C
) ( S  _D  `' F ) ( 1  /  ( ( S  _D  F ) `  C ) ) )

Proof of Theorem dvcnvlem
Dummy variables  x  y  z are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 dvcnv.f . . . . 5  |-  ( ph  ->  F : X -1-1-onto-> Y )
2 f1of 5472 . . . . 5  |-  ( F : X -1-1-onto-> Y  ->  F : X
--> Y )
31, 2syl 15 . . . 4  |-  ( ph  ->  F : X --> Y )
4 dvcnv.c . . . 4  |-  ( ph  ->  C  e.  X )
5 ffvelrn 5663 . . . 4  |-  ( ( F : X --> Y  /\  C  e.  X )  ->  ( F `  C
)  e.  Y )
63, 4, 5syl2anc 642 . . 3  |-  ( ph  ->  ( F `  C
)  e.  Y )
7 dvcnv.k . . . . . 6  |-  K  =  ( Jt  S )
8 dvcnv.j . . . . . . . 8  |-  J  =  ( TopOpen ` fld )
98cnfldtopon 18292 . . . . . . 7  |-  J  e.  (TopOn `  CC )
10 dvcnv.s . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  S  e.  { RR ,  CC } )
11 recnprss 19254 . . . . . . . 8  |-  ( S  e.  { RR ,  CC }  ->  S  C_  CC )
1210, 11syl 15 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  S  C_  CC )
13 resttopon 16892 . . . . . . 7  |-  ( ( J  e.  (TopOn `  CC )  /\  S  C_  CC )  ->  ( Jt  S )  e.  (TopOn `  S ) )
149, 12, 13sylancr 644 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  ( Jt  S )  e.  (TopOn `  S ) )
157, 14syl5eqel 2367 . . . . 5  |-  ( ph  ->  K  e.  (TopOn `  S ) )
16 topontop 16664 . . . . 5  |-  ( K  e.  (TopOn `  S
)  ->  K  e.  Top )
1715, 16syl 15 . . . 4  |-  ( ph  ->  K  e.  Top )
18 dvcnv.y . . . 4  |-  ( ph  ->  Y  e.  K )
19 isopn3i 16819 . . . 4  |-  ( ( K  e.  Top  /\  Y  e.  K )  ->  ( ( int `  K
) `  Y )  =  Y )
2017, 18, 19syl2anc 642 . . 3  |-  ( ph  ->  ( ( int `  K
) `  Y )  =  Y )
216, 20eleqtrrd 2360 . 2  |-  ( ph  ->  ( F `  C
)  e.  ( ( int `  K ) `
 Y ) )
22 f1ocnv 5485 . . . . . . . . 9  |-  ( F : X -1-1-onto-> Y  ->  `' F : Y -1-1-onto-> X )
23 f1of 5472 . . . . . . . . 9  |-  ( `' F : Y -1-1-onto-> X  ->  `' F : Y --> X )
241, 22, 233syl 18 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  `' F : Y --> X )
25 eldifsn 3749 . . . . . . . . 9  |-  ( z  e.  ( Y  \  { ( F `  C ) } )  <-> 
( z  e.  Y  /\  z  =/=  ( F `  C )
) )
2625simplbi 446 . . . . . . . 8  |-  ( z  e.  ( Y  \  { ( F `  C ) } )  ->  z  e.  Y
)
27 ffvelrn 5663 . . . . . . . 8  |-  ( ( `' F : Y --> X  /\  z  e.  Y )  ->  ( `' F `  z )  e.  X
)
2824, 26, 27syl2an 463 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  z  e.  ( Y  \  { ( F `  C ) } ) )  -> 
( `' F `  z )  e.  X
)
2928anim1i 551 . . . . . 6  |-  ( ( ( ph  /\  z  e.  ( Y  \  {
( F `  C
) } ) )  /\  ( `' F `  z )  =/=  C
)  ->  ( ( `' F `  z )  e.  X  /\  ( `' F `  z )  =/=  C ) )
30 eldifsn 3749 . . . . . 6  |-  ( ( `' F `  z )  e.  ( X  \  { C } )  <->  ( ( `' F `  z )  e.  X  /\  ( `' F `  z )  =/=  C ) )
3129, 30sylibr 203 . . . . 5  |-  ( ( ( ph  /\  z  e.  ( Y  \  {
( F `  C
) } ) )  /\  ( `' F `  z )  =/=  C
)  ->  ( `' F `  z )  e.  ( X  \  { C } ) )
3231anasss 628 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  ( z  e.  ( Y  \  {
( F `  C
) } )  /\  ( `' F `  z )  =/=  C ) )  ->  ( `' F `  z )  e.  ( X  \  { C } ) )
33 eldifi 3298 . . . . . . . 8  |-  ( y  e.  ( X  \  { C } )  -> 
y  e.  X )
3433adantl 452 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  y  e.  ( X  \  { C } ) )  -> 
y  e.  X )
35 dvcnv.d . . . . . . . . . 10  |-  ( ph  ->  dom  ( S  _D  F )  =  X )
36 dvbsss 19252 . . . . . . . . . . 11  |-  dom  ( S  _D  F )  C_  S
3736a1i 10 . . . . . . . . . 10  |-  ( ph  ->  dom  ( S  _D  F )  C_  S
)
3835, 37eqsstr3d 3213 . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  X  C_  S )
3938, 12sstrd 3189 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  X  C_  CC )
4039sselda 3180 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  y  e.  X )  ->  y  e.  CC )
4134, 40syldan 456 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  y  e.  ( X  \  { C } ) )  -> 
y  e.  CC )
4238, 4sseldd 3181 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  C  e.  S )
4312, 42sseldd 3181 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  C  e.  CC )
4443adantr 451 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  y  e.  ( X  \  { C } ) )  ->  C  e.  CC )
4541, 44subcld 9157 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  y  e.  ( X  \  { C } ) )  -> 
( y  -  C
)  e.  CC )
46 toponss 16667 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( K  e.  (TopOn `  S )  /\  Y  e.  K )  ->  Y  C_  S )
4715, 18, 46syl2anc 642 . . . . . . . . . 10  |-  ( ph  ->  Y  C_  S )
4847, 12sstrd 3189 . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  Y  C_  CC )
49 fss 5397 . . . . . . . . 9  |-  ( ( F : X --> Y  /\  Y  C_  CC )  ->  F : X --> CC )
503, 48, 49syl2anc 642 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  F : X --> CC )
51 ffvelrn 5663 . . . . . . . 8  |-  ( ( F : X --> CC  /\  y  e.  X )  ->  ( F `  y
)  e.  CC )
5250, 51sylan 457 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  y  e.  X )  ->  ( F `  y )  e.  CC )
5333, 52sylan2 460 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  y  e.  ( X  \  { C } ) )  -> 
( F `  y
)  e.  CC )
5448, 6sseldd 3181 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  ( F `  C
)  e.  CC )
5554adantr 451 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  y  e.  ( X  \  { C } ) )  -> 
( F `  C
)  e.  CC )
5653, 55subcld 9157 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  y  e.  ( X  \  { C } ) )  -> 
( ( F `  y )  -  ( F `  C )
)  e.  CC )
57 eldifsni 3750 . . . . . . 7  |-  ( y  e.  ( X  \  { C } )  -> 
y  =/=  C )
5857adantl 452 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  y  e.  ( X  \  { C } ) )  -> 
y  =/=  C )
59 subeq0 9073 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( F `  y
)  e.  CC  /\  ( F `  C )  e.  CC )  -> 
( ( ( F `
 y )  -  ( F `  C ) )  =  0  <->  ( F `  y )  =  ( F `  C ) ) )
6053, 55, 59syl2anc 642 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  y  e.  ( X  \  { C } ) )  -> 
( ( ( F `
 y )  -  ( F `  C ) )  =  0  <->  ( F `  y )  =  ( F `  C ) ) )
61 f1of1 5471 . . . . . . . . . . 11  |-  ( F : X -1-1-onto-> Y  ->  F : X -1-1-> Y )
621, 61syl 15 . . . . . . . . . 10  |-  ( ph  ->  F : X -1-1-> Y
)
6362adantr 451 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  y  e.  ( X  \  { C } ) )  ->  F : X -1-1-> Y )
644adantr 451 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  y  e.  ( X  \  { C } ) )  ->  C  e.  X )
65 f1fveq 5786 . . . . . . . . 9  |-  ( ( F : X -1-1-> Y  /\  ( y  e.  X  /\  C  e.  X
) )  ->  (
( F `  y
)  =  ( F `
 C )  <->  y  =  C ) )
6663, 34, 64, 65syl12anc 1180 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  y  e.  ( X  \  { C } ) )  -> 
( ( F `  y )  =  ( F `  C )  <-> 
y  =  C ) )
6760, 66bitrd 244 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  y  e.  ( X  \  { C } ) )  -> 
( ( ( F `
 y )  -  ( F `  C ) )  =  0  <->  y  =  C ) )
6867necon3bid 2481 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  y  e.  ( X  \  { C } ) )  -> 
( ( ( F `
 y )  -  ( F `  C ) )  =/=  0  <->  y  =/=  C ) )
6958, 68mpbird 223 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  y  e.  ( X  \  { C } ) )  -> 
( ( F `  y )  -  ( F `  C )
)  =/=  0 )
7045, 56, 69divcld 9536 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  y  e.  ( X  \  { C } ) )  -> 
( ( y  -  C )  /  (
( F `  y
)  -  ( F `
 C ) ) )  e.  CC )
71 limcresi 19235 . . . . . 6  |-  ( `' F lim CC  ( F `
 C ) ) 
C_  ( ( `' F  |`  ( Y  \  { ( F `  C ) } ) ) lim CC  ( F `
 C ) )
7224feqmptd 5575 . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  `' F  =  (
z  e.  Y  |->  ( `' F `  z ) ) )
7372reseq1d 4954 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  ( `' F  |`  ( Y  \  { ( F `  C ) } ) )  =  ( ( z  e.  Y  |->  ( `' F `  z ) )  |`  ( Y  \  { ( F `  C ) } ) ) )
74 difss 3303 . . . . . . . . 9  |-  ( Y 
\  { ( F `
 C ) } )  C_  Y
75 resmpt 5000 . . . . . . . . 9  |-  ( ( Y  \  { ( F `  C ) } )  C_  Y  ->  ( ( z  e.  Y  |->  ( `' F `  z ) )  |`  ( Y  \  { ( F `  C ) } ) )  =  ( z  e.  ( Y  \  { ( F `  C ) } )  |->  ( `' F `  z ) ) )
7674, 75ax-mp 8 . . . . . . . 8  |-  ( ( z  e.  Y  |->  ( `' F `  z ) )  |`  ( Y  \  { ( F `  C ) } ) )  =  ( z  e.  ( Y  \  { ( F `  C ) } ) 
|->  ( `' F `  z ) )
7773, 76syl6eq 2331 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  ( `' F  |`  ( Y  \  { ( F `  C ) } ) )  =  ( z  e.  ( Y  \  { ( F `  C ) } )  |->  ( `' F `  z ) ) )
7877oveq1d 5873 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  ( ( `' F  |`  ( Y  \  {
( F `  C
) } ) ) lim
CC  ( F `  C ) )  =  ( ( z  e.  ( Y  \  {
( F `  C
) } )  |->  ( `' F `  z ) ) lim CC  ( F `
 C ) ) )
7971, 78syl5sseq 3226 . . . . 5  |-  ( ph  ->  ( `' F lim CC  ( F `  C ) )  C_  ( (
z  e.  ( Y 
\  { ( F `
 C ) } )  |->  ( `' F `  z ) ) lim CC  ( F `  C ) ) )
80 f1ocnvfv1 5792 . . . . . . 7  |-  ( ( F : X -1-1-onto-> Y  /\  C  e.  X )  ->  ( `' F `  ( F `  C ) )  =  C )
811, 4, 80syl2anc 642 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  ( `' F `  ( F `  C ) )  =  C )
82 dvcnv.i . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  `' F  e.  ( Y -cn-> X ) )
8382, 6cnlimci 19239 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  ( `' F `  ( F `  C ) )  e.  ( `' F lim CC  ( F `
 C ) ) )
8481, 83eqeltrrd 2358 . . . . 5  |-  ( ph  ->  C  e.  ( `' F lim CC  ( F `
 C ) ) )
8579, 84sseldd 3181 . . . 4  |-  ( ph  ->  C  e.  ( ( z  e.  ( Y 
\  { ( F `
 C ) } )  |->  ( `' F `  z ) ) lim CC  ( F `  C ) ) )
8650, 39, 4dvlem 19246 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  y  e.  ( X  \  { C } ) )  -> 
( ( ( F `
 y )  -  ( F `  C ) )  /  ( y  -  C ) )  e.  CC )
87 subeq0 9073 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( y  e.  CC  /\  C  e.  CC )  ->  ( ( y  -  C )  =  0  <-> 
y  =  C ) )
8841, 44, 87syl2anc 642 . . . . . . . . . . 11  |-  ( (
ph  /\  y  e.  ( X  \  { C } ) )  -> 
( ( y  -  C )  =  0  <-> 
y  =  C ) )
8988necon3bid 2481 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  y  e.  ( X  \  { C } ) )  -> 
( ( y  -  C )  =/=  0  <->  y  =/=  C ) )
9058, 89mpbird 223 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  y  e.  ( X  \  { C } ) )  -> 
( y  -  C
)  =/=  0 )
9156, 45, 69, 90divne0d 9552 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  y  e.  ( X  \  { C } ) )  -> 
( ( ( F `
 y )  -  ( F `  C ) )  /  ( y  -  C ) )  =/=  0 )
92 eldifsn 3749 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ( F `  y )  -  ( F `  C )
)  /  ( y  -  C ) )  e.  ( CC  \  { 0 } )  <-> 
( ( ( ( F `  y )  -  ( F `  C ) )  / 
( y  -  C
) )  e.  CC  /\  ( ( ( F `
 y )  -  ( F `  C ) )  /  ( y  -  C ) )  =/=  0 ) )
9386, 91, 92sylanbrc 645 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  y  e.  ( X  \  { C } ) )  -> 
( ( ( F `
 y )  -  ( F `  C ) )  /  ( y  -  C ) )  e.  ( CC  \  { 0 } ) )
94 eqid 2283 . . . . . . 7  |-  ( y  e.  ( X  \  { C } )  |->  ( ( ( F `  y )  -  ( F `  C )
)  /  ( y  -  C ) ) )  =  ( y  e.  ( X  \  { C } )  |->  ( ( ( F `  y )  -  ( F `  C )
)  /  ( y  -  C ) ) )
9593, 94fmptd 5684 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  ( y  e.  ( X  \  { C } )  |->  ( ( ( F `  y
)  -  ( F `
 C ) )  /  ( y  -  C ) ) ) : ( X  \  { C } ) --> ( CC  \  { 0 } ) )
96 difss 3303 . . . . . . 7  |-  ( CC 
\  { 0 } )  C_  CC
9796a1i 10 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  ( CC  \  {
0 } )  C_  CC )
98 eqid 2283 . . . . . 6  |-  ( Jt  ( CC  \  { 0 } ) )  =  ( Jt  ( CC  \  { 0 } ) )
994, 35eleqtrrd 2360 . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  C  e.  dom  ( S  _D  F ) )
100 dvfg 19256 . . . . . . . . . . 11  |-  ( S  e.  { RR ,  CC }  ->  ( S  _D  F ) : dom  ( S  _D  F
) --> CC )
101 ffun 5391 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( S  _D  F ) : dom  ( S  _D  F ) --> CC 
->  Fun  ( S  _D  F ) )
10210, 100, 1013syl 18 . . . . . . . . . 10  |-  ( ph  ->  Fun  ( S  _D  F ) )
103 funfvbrb 5638 . . . . . . . . . 10  |-  ( Fun  ( S  _D  F
)  ->  ( C  e.  dom  ( S  _D  F )  <->  C ( S  _D  F ) ( ( S  _D  F
) `  C )
) )
104102, 103syl 15 . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  ( C  e.  dom  ( S  _D  F
)  <->  C ( S  _D  F ) ( ( S  _D  F ) `
 C ) ) )
10599, 104mpbid 201 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  C ( S  _D  F ) ( ( S  _D  F ) `
 C ) )
1067, 8, 94, 12, 50, 38eldv 19248 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  ( C ( S  _D  F ) ( ( S  _D  F
) `  C )  <->  ( C  e.  ( ( int `  K ) `
 X )  /\  ( ( S  _D  F ) `  C
)  e.  ( ( y  e.  ( X 
\  { C }
)  |->  ( ( ( F `  y )  -  ( F `  C ) )  / 
( y  -  C
) ) ) lim CC  C ) ) ) )
107105, 106mpbid 201 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  ( C  e.  ( ( int `  K
) `  X )  /\  ( ( S  _D  F ) `  C
)  e.  ( ( y  e.  ( X 
\  { C }
)  |->  ( ( ( F `  y )  -  ( F `  C ) )  / 
( y  -  C
) ) ) lim CC  C ) ) )
108107simprd 449 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  ( ( S  _D  F ) `  C
)  e.  ( ( y  e.  ( X 
\  { C }
)  |->  ( ( ( F `  y )  -  ( F `  C ) )  / 
( y  -  C
) ) ) lim CC  C ) )
109 resttopon 16892 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( J  e.  (TopOn `  CC )  /\  ( CC  \  { 0 } )  C_  CC )  ->  ( Jt  ( CC  \  { 0 } ) )  e.  (TopOn `  ( CC  \  { 0 } ) ) )
1109, 96, 109mp2an 653 . . . . . . . . 9  |-  ( Jt  ( CC  \  { 0 } ) )  e.  (TopOn `  ( CC  \  { 0 } ) )
111110a1i 10 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  ( Jt  ( CC  \  { 0 } ) )  e.  (TopOn `  ( CC  \  { 0 } ) ) )
1129a1i 10 . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  J  e.  (TopOn `  CC ) )
113 ax-1cn 8795 . . . . . . . . . 10  |-  1  e.  CC
114113a1i 10 . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  1  e.  CC )
115111, 112, 114cnmptc 17356 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  ( x  e.  ( CC  \  { 0 } )  |->  1 )  e.  ( ( Jt  ( CC  \  { 0 } ) )  Cn  J ) )
116111cnmptid 17355 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  ( x  e.  ( CC  \  { 0 } )  |->  x )  e.  ( ( Jt  ( CC  \  { 0 } ) )  Cn  ( Jt  ( CC  \  { 0 } ) ) ) )
1178, 98divcn 18372 . . . . . . . . 9  |-  /  e.  ( ( J  tX  ( Jt  ( CC  \  { 0 } ) ) )  Cn  J
)
118117a1i 10 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  /  e.  ( ( J  tX  ( Jt  ( CC  \  { 0 } ) ) )  Cn  J ) )
119111, 115, 116, 118cnmpt12f 17360 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  ( x  e.  ( CC  \  { 0 } )  |->  ( 1  /  x ) )  e.  ( ( Jt  ( CC  \  { 0 } ) )  Cn  J ) )
12010, 100syl 15 . . . . . . . . . 10  |-  ( ph  ->  ( S  _D  F
) : dom  ( S  _D  F ) --> CC )
12135feq2d 5380 . . . . . . . . . 10  |-  ( ph  ->  ( ( S  _D  F ) : dom  ( S  _D  F
) --> CC  <->  ( S  _D  F ) : X --> CC ) )
122120, 121mpbid 201 . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  ( S  _D  F
) : X --> CC )
123 ffvelrn 5663 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( S  _D  F
) : X --> CC  /\  C  e.  X )  ->  ( ( S  _D  F ) `  C
)  e.  CC )
124122, 4, 123syl2anc 642 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  ( ( S  _D  F ) `  C
)  e.  CC )
125 ffn 5389 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( S  _D  F ) : dom  ( S  _D  F ) --> CC 
->  ( S  _D  F
)  Fn  dom  ( S  _D  F ) )
126120, 125syl 15 . . . . . . . . . 10  |-  ( ph  ->  ( S  _D  F
)  Fn  dom  ( S  _D  F ) )
127 fnfvelrn 5662 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( S  _D  F
)  Fn  dom  ( S  _D  F )  /\  C  e.  dom  ( S  _D  F ) )  ->  ( ( S  _D  F ) `  C )  e.  ran  ( S  _D  F
) )
128126, 99, 127syl2anc 642 . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  ( ( S  _D  F ) `  C
)  e.  ran  ( S  _D  F ) )
129 dvcnv.z . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  -.  0  e.  ran  ( S  _D  F
) )
130 nelne2 2536 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ( S  _D  F ) `  C
)  e.  ran  ( S  _D  F )  /\  -.  0  e.  ran  ( S  _D  F
) )  ->  (
( S  _D  F
) `  C )  =/=  0 )
131128, 129, 130syl2anc 642 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  ( ( S  _D  F ) `  C
)  =/=  0 )
132 eldifsn 3749 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( S  _D  F
) `  C )  e.  ( CC  \  {
0 } )  <->  ( (
( S  _D  F
) `  C )  e.  CC  /\  ( ( S  _D  F ) `
 C )  =/=  0 ) )
133124, 131, 132sylanbrc 645 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  ( ( S  _D  F ) `  C
)  e.  ( CC 
\  { 0 } ) )
134110toponunii 16670 . . . . . . . 8  |-  ( CC 
\  { 0 } )  =  U. ( Jt  ( CC  \  { 0 } ) )
135134cncnpi 17007 . . . . . . 7  |-  ( ( ( x  e.  ( CC  \  { 0 } )  |->  ( 1  /  x ) )  e.  ( ( Jt  ( CC  \  { 0 } ) )  Cn  J )  /\  (
( S  _D  F
) `  C )  e.  ( CC  \  {
0 } ) )  ->  ( x  e.  ( CC  \  {
0 } )  |->  ( 1  /  x ) )  e.  ( ( ( Jt  ( CC  \  { 0 } ) )  CnP  J ) `
 ( ( S  _D  F ) `  C ) ) )
136119, 133, 135syl2anc 642 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  ( x  e.  ( CC  \  { 0 } )  |->  ( 1  /  x ) )  e.  ( ( ( Jt  ( CC  \  {
0 } ) )  CnP  J ) `  ( ( S  _D  F ) `  C
) ) )
13795, 97, 8, 98, 108, 136limccnp 19241 . . . . 5  |-  ( ph  ->  ( ( x  e.  ( CC  \  {
0 } )  |->  ( 1  /  x ) ) `  ( ( S  _D  F ) `
 C ) )  e.  ( ( ( x  e.  ( CC 
\  { 0 } )  |->  ( 1  /  x ) )  o.  ( y  e.  ( X  \  { C } )  |->  ( ( ( F `  y
)  -  ( F `
 C ) )  /  ( y  -  C ) ) ) ) lim CC  C ) )
138 oveq2 5866 . . . . . . . 8  |-  ( x  =  ( ( S  _D  F ) `  C )  ->  (
1  /  x )  =  ( 1  / 
( ( S  _D  F ) `  C
) ) )
139 eqid 2283 . . . . . . . 8  |-  ( x  e.  ( CC  \  { 0 } ) 
|->  ( 1  /  x
) )  =  ( x  e.  ( CC 
\  { 0 } )  |->  ( 1  /  x ) )
140 ovex 5883 . . . . . . . 8  |-  ( 1  /  ( ( S  _D  F ) `  C ) )  e. 
_V
141138, 139, 140fvmpt 5602 . . . . . . 7  |-  ( ( ( S  _D  F
) `  C )  e.  ( CC  \  {
0 } )  -> 
( ( x  e.  ( CC  \  {
0 } )  |->  ( 1  /  x ) ) `  ( ( S  _D  F ) `
 C ) )  =  ( 1  / 
( ( S  _D  F ) `  C
) ) )
142133, 141syl 15 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  ( ( x  e.  ( CC  \  {
0 } )  |->  ( 1  /  x ) ) `  ( ( S  _D  F ) `
 C ) )  =  ( 1  / 
( ( S  _D  F ) `  C
) ) )
143 eqidd 2284 . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  ( y  e.  ( X  \  { C } )  |->  ( ( ( F `  y
)  -  ( F `
 C ) )  /  ( y  -  C ) ) )  =  ( y  e.  ( X  \  { C } )  |->  ( ( ( F `  y
)  -  ( F `
 C ) )  /  ( y  -  C ) ) ) )
144 eqidd 2284 . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  ( x  e.  ( CC  \  { 0 } )  |->  ( 1  /  x ) )  =  ( x  e.  ( CC  \  {
0 } )  |->  ( 1  /  x ) ) )
145 oveq2 5866 . . . . . . . . 9  |-  ( x  =  ( ( ( F `  y )  -  ( F `  C ) )  / 
( y  -  C
) )  ->  (
1  /  x )  =  ( 1  / 
( ( ( F `
 y )  -  ( F `  C ) )  /  ( y  -  C ) ) ) )
14693, 143, 144, 145fmptco 5691 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  ( ( x  e.  ( CC  \  {
0 } )  |->  ( 1  /  x ) )  o.  ( y  e.  ( X  \  { C } )  |->  ( ( ( F `  y )  -  ( F `  C )
)  /  ( y  -  C ) ) ) )  =  ( y  e.  ( X 
\  { C }
)  |->  ( 1  / 
( ( ( F `
 y )  -  ( F `  C ) )  /  ( y  -  C ) ) ) ) )
14756, 45, 69, 90recdivd 9553 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  y  e.  ( X  \  { C } ) )  -> 
( 1  /  (
( ( F `  y )  -  ( F `  C )
)  /  ( y  -  C ) ) )  =  ( ( y  -  C )  /  ( ( F `
 y )  -  ( F `  C ) ) ) )
148147mpteq2dva 4106 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  ( y  e.  ( X  \  { C } )  |->  ( 1  /  ( ( ( F `  y )  -  ( F `  C ) )  / 
( y  -  C
) ) ) )  =  ( y  e.  ( X  \  { C } )  |->  ( ( y  -  C )  /  ( ( F `
 y )  -  ( F `  C ) ) ) ) )
149146, 148eqtrd 2315 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  ( ( x  e.  ( CC  \  {
0 } )  |->  ( 1  /  x ) )  o.  ( y  e.  ( X  \  { C } )  |->  ( ( ( F `  y )  -  ( F `  C )
)  /  ( y  -  C ) ) ) )  =  ( y  e.  ( X 
\  { C }
)  |->  ( ( y  -  C )  / 
( ( F `  y )  -  ( F `  C )
) ) ) )
150149oveq1d 5873 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  ( ( ( x  e.  ( CC  \  { 0 } ) 
|->  ( 1  /  x
) )  o.  (
y  e.  ( X 
\  { C }
)  |->  ( ( ( F `  y )  -  ( F `  C ) )  / 
( y  -  C
) ) ) ) lim
CC  C )  =  ( ( y  e.  ( X  \  { C } )  |->  ( ( y  -  C )  /  ( ( F `
 y )  -  ( F `  C ) ) ) ) lim CC  C ) )
151142, 150eleq12d 2351 . . . . 5  |-  ( ph  ->  ( ( ( x  e.  ( CC  \  { 0 } ) 
|->  ( 1  /  x
) ) `  (
( S  _D  F
) `  C )
)  e.  ( ( ( x  e.  ( CC  \  { 0 } )  |->  ( 1  /  x ) )  o.  ( y  e.  ( X  \  { C } )  |->  ( ( ( F `  y
)  -  ( F `
 C ) )  /  ( y  -  C ) ) ) ) lim CC  C )  <-> 
( 1  /  (
( S  _D  F
) `  C )
)  e.  ( ( y  e.  ( X 
\  { C }
)  |->  ( ( y  -  C )  / 
( ( F `  y )  -  ( F `  C )
) ) ) lim CC  C ) ) )
152137, 151mpbid 201 . . . 4  |-  ( ph  ->  ( 1  /  (
( S  _D  F
) `  C )
)  e.  ( ( y  e.  ( X 
\  { C }
)  |->  ( ( y  -  C )  / 
( ( F `  y )  -  ( F `  C )
) ) ) lim CC  C ) )
153 oveq1 5865 . . . . 5  |-  ( y  =  ( `' F `  z )  ->  (
y  -  C )  =  ( ( `' F `  z )  -  C ) )
154 fveq2 5525 . . . . . 6  |-  ( y  =  ( `' F `  z )  ->  ( F `  y )  =  ( F `  ( `' F `  z ) ) )
155154oveq1d 5873 . . . . 5  |-  ( y  =  ( `' F `  z )  ->  (
( F `  y
)  -  ( F `
 C ) )  =  ( ( F `
 ( `' F `  z ) )  -  ( F `  C ) ) )
156153, 155oveq12d 5876 . . . 4  |-  ( y  =  ( `' F `  z )  ->  (
( y  -  C
)  /  ( ( F `  y )  -  ( F `  C ) ) )  =  ( ( ( `' F `  z )  -  C )  / 
( ( F `  ( `' F `  z ) )  -  ( F `
 C ) ) ) )
157 eldifsni 3750 . . . . . . . . 9  |-  ( z  e.  ( Y  \  { ( F `  C ) } )  ->  z  =/=  ( F `  C )
)
158157adantl 452 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  z  e.  ( Y  \  { ( F `  C ) } ) )  -> 
z  =/=  ( F `
 C ) )
159158necomd 2529 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  z  e.  ( Y  \  { ( F `  C ) } ) )  -> 
( F `  C
)  =/=  z )
1601adantr 451 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  z  e.  ( Y  \  { ( F `  C ) } ) )  ->  F : X -1-1-onto-> Y )
1614adantr 451 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  z  e.  ( Y  \  { ( F `  C ) } ) )  ->  C  e.  X )
16226adantl 452 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  z  e.  ( Y  \  { ( F `  C ) } ) )  -> 
z  e.  Y )
163 f1ocnvfvb 5795 . . . . . . . . 9  |-  ( ( F : X -1-1-onto-> Y  /\  C  e.  X  /\  z  e.  Y )  ->  ( ( F `  C )  =  z  <-> 
( `' F `  z )  =  C ) )
164160, 161, 162, 163syl3anc 1182 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  z  e.  ( Y  \  { ( F `  C ) } ) )  -> 
( ( F `  C )  =  z  <-> 
( `' F `  z )  =  C ) )
165164necon3abid 2479 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  z  e.  ( Y  \  { ( F `  C ) } ) )  -> 
( ( F `  C )  =/=  z  <->  -.  ( `' F `  z )  =  C ) )
166159, 165mpbid 201 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  z  e.  ( Y  \  { ( F `  C ) } ) )  ->  -.  ( `' F `  z )  =  C )
167166pm2.21d 98 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  z  e.  ( Y  \  { ( F `  C ) } ) )  -> 
( ( `' F `  z )  =  C  ->  ( ( ( `' F `  z )  -  C )  / 
( ( F `  ( `' F `  z ) )  -  ( F `
 C ) ) )  =  ( 1  /  ( ( S  _D  F ) `  C ) ) ) )
168167impr 602 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  ( z  e.  ( Y  \  {
( F `  C
) } )  /\  ( `' F `  z )  =  C ) )  ->  ( ( ( `' F `  z )  -  C )  / 
( ( F `  ( `' F `  z ) )  -  ( F `
 C ) ) )  =  ( 1  /  ( ( S  _D  F ) `  C ) ) )
16932, 70, 85, 152, 156, 168limcco 19243 . . 3  |-  ( ph  ->  ( 1  /  (
( S  _D  F
) `  C )
)  e.  ( ( z  e.  ( Y 
\  { ( F `
 C ) } )  |->  ( ( ( `' F `  z )  -  C )  / 
( ( F `  ( `' F `  z ) )  -  ( F `
 C ) ) ) ) lim CC  ( F `  C )
) )
17081eqcomd 2288 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  C  =  ( `' F `  ( F `
 C ) ) )
171170adantr 451 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  z  e.  ( Y  \  { ( F `  C ) } ) )  ->  C  =  ( `' F `  ( F `  C ) ) )
172171oveq2d 5874 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  z  e.  ( Y  \  { ( F `  C ) } ) )  -> 
( ( `' F `  z )  -  C
)  =  ( ( `' F `  z )  -  ( `' F `  ( F `  C
) ) ) )
173 eldifi 3298 . . . . . . . 8  |-  ( z  e.  ( Y  \  { ( F `  C ) } )  ->  z  e.  Y
)
174 f1ocnvfv2 5793 . . . . . . . 8  |-  ( ( F : X -1-1-onto-> Y  /\  z  e.  Y )  ->  ( F `  ( `' F `  z ) )  =  z )
1751, 173, 174syl2an 463 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  z  e.  ( Y  \  { ( F `  C ) } ) )  -> 
( F `  ( `' F `  z ) )  =  z )
176175oveq1d 5873 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  z  e.  ( Y  \  { ( F `  C ) } ) )  -> 
( ( F `  ( `' F `  z ) )  -  ( F `
 C ) )  =  ( z  -  ( F `  C ) ) )
177172, 176oveq12d 5876 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  z  e.  ( Y  \  { ( F `  C ) } ) )  -> 
( ( ( `' F `  z )  -  C )  / 
( ( F `  ( `' F `  z ) )  -  ( F `
 C ) ) )  =  ( ( ( `' F `  z )  -  ( `' F `  ( F `
 C ) ) )  /  ( z  -  ( F `  C ) ) ) )
178177mpteq2dva 4106 . . . 4  |-  ( ph  ->  ( z  e.  ( Y  \  { ( F `  C ) } )  |->  ( ( ( `' F `  z )  -  C
)  /  ( ( F `  ( `' F `  z ) )  -  ( F `
 C ) ) ) )  =  ( z  e.  ( Y 
\  { ( F `
 C ) } )  |->  ( ( ( `' F `  z )  -  ( `' F `  ( F `  C
) ) )  / 
( z  -  ( F `  C )
) ) ) )
179178oveq1d 5873 . . 3  |-  ( ph  ->  ( ( z  e.  ( Y  \  {
( F `  C
) } )  |->  ( ( ( `' F `  z )  -  C
)  /  ( ( F `  ( `' F `  z ) )  -  ( F `
 C ) ) ) ) lim CC  ( F `  C )
)  =  ( ( z  e.  ( Y 
\  { ( F `
 C ) } )  |->  ( ( ( `' F `  z )  -  ( `' F `  ( F `  C
) ) )  / 
( z  -  ( F `  C )
) ) ) lim CC  ( F `  C ) ) )
180169, 179eleqtrd 2359 . 2  |-  ( ph  ->  ( 1  /  (
( S  _D  F
) `  C )
)  e.  ( ( z  e.  ( Y 
\  { ( F `
 C ) } )  |->  ( ( ( `' F `  z )  -  ( `' F `  ( F `  C
) ) )  / 
( z  -  ( F `  C )
) ) ) lim CC  ( F `  C ) ) )
181 eqid 2283 . . 3  |-  ( z  e.  ( Y  \  { ( F `  C ) } ) 
|->  ( ( ( `' F `  z )  -  ( `' F `  ( F `  C
) ) )  / 
( z  -  ( F `  C )
) ) )  =  ( z  e.  ( Y  \  { ( F `  C ) } )  |->  ( ( ( `' F `  z )  -  ( `' F `  ( F `
 C ) ) )  /  ( z  -  ( F `  C ) ) ) )
182 fss 5397 . . . 4  |-  ( ( `' F : Y --> X  /\  X  C_  CC )  ->  `' F : Y --> CC )
18324, 39, 182syl2anc 642 . . 3  |-  ( ph  ->  `' F : Y --> CC )
1847, 8, 181, 12, 183, 47eldv 19248 . 2  |-  ( ph  ->  ( ( F `  C ) ( S  _D  `' F ) ( 1  /  (
( S  _D  F
) `  C )
)  <->  ( ( F `
 C )  e.  ( ( int `  K
) `  Y )  /\  ( 1  /  (
( S  _D  F
) `  C )
)  e.  ( ( z  e.  ( Y 
\  { ( F `
 C ) } )  |->  ( ( ( `' F `  z )  -  ( `' F `  ( F `  C
) ) )  / 
( z  -  ( F `  C )
) ) ) lim CC  ( F `  C ) ) ) ) )
18521, 180, 184mpbir2and 888 1  |-  ( ph  ->  ( F `  C
) ( S  _D  `' F ) ( 1  /  ( ( S  _D  F ) `  C ) ) )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:   -. wn 3    -> wi 4    <-> wb 176    /\ wa 358    = wceq 1623    e. wcel 1684    =/= wne 2446    \ cdif 3149    C_ wss 3152   {csn 3640   {cpr 3641   class class class wbr 4023    e. cmpt 4077   `'ccnv 4688   dom cdm 4689   ran crn 4690    |` cres 4691    o. ccom 4693   Fun wfun 5249    Fn wfn 5250   -->wf 5251   -1-1->wf1 5252   -1-1-onto->wf1o 5254   ` cfv 5255  (class class class)co 5858   CCcc 8735   RRcr 8736   0cc0 8737   1c1 8738    - cmin 9037    / cdiv 9423   ↾t crest 13325   TopOpenctopn 13326  ℂfldccnfld 16377   Topctop 16631  TopOnctopon 16632   intcnt 16754    Cn ccn 16954    CnP ccnp 16955    tX ctx 17255   -cn->ccncf 18380   lim CC climc 19212    _D cdv 19213
This theorem is referenced by:  dvcnv  19324
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1533  ax-5 1544  ax-17 1603  ax-9 1635  ax-8 1643  ax-13 1686  ax-14 1688  ax-6 1703  ax-7 1708  ax-11 1715  ax-12 1866  ax-ext 2264  ax-rep 4131  ax-sep 4141  ax-nul 4149  ax-pow 4188  ax-pr 4214  ax-un 4512  ax-inf2 7342  ax-cnex 8793  ax-resscn 8794  ax-1cn 8795  ax-icn 8796  ax-addcl 8797  ax-addrcl 8798  ax-mulcl 8799  ax-mulrcl 8800  ax-mulcom 8801  ax-addass 8802  ax-mulass 8803  ax-distr 8804  ax-i2m1 8805  ax-1ne0 8806  ax-1rid 8807  ax-rnegex 8808  ax-rrecex 8809  ax-cnre 8810  ax-pre-lttri 8811  ax-pre-lttrn 8812  ax-pre-ltadd 8813  ax-pre-mulgt0 8814  ax-pre-sup 8815  ax-mulf 8817
This theorem depends on definitions:  df-bi 177  df-or 359  df-an 360  df-3or 935  df-3an 936  df-tru 1310  df-ex 1529  df-nf 1532  df-sb 1630  df-eu 2147  df-mo 2148  df-clab 2270  df-cleq 2276  df-clel 2279  df-nfc 2408  df-ne 2448  df-nel 2449  df-ral 2548  df-rex 2549  df-reu 2550  df-rmo 2551  df-rab 2552  df-v 2790  df-sbc 2992  df-csb 3082  df-dif 3155  df-un 3157  df-in 3159  df-ss 3166  df-pss 3168  df-nul 3456  df-if 3566  df-pw 3627  df-sn 3646  df-pr 3647  df-tp 3648  df-op 3649  df-uni 3828  df-int 3863  df-iun 3907  df-iin 3908  df-br 4024  df-opab 4078  df-mpt 4079  df-tr 4114  df-eprel 4305  df-id 4309  df-po 4314  df-so 4315  df-fr 4352  df-se 4353  df-we 4354  df-ord 4395  df-on 4396  df-lim 4397  df-suc 4398  df-om 4657  df-xp 4695  df-rel 4696  df-cnv 4697  df-co 4698  df-dm 4699  df-rn 4700  df-res 4701  df-ima 4702  df-iota 5219  df-fun 5257  df-fn 5258  df-f 5259  df-f1 5260  df-fo 5261  df-f1o 5262  df-fv 5263  df-isom 5264  df-ov 5861  df-oprab 5862  df-mpt2 5863  df-of 6078  df-1st 6122  df-2nd 6123  df-riota 6304  df-recs 6388  df-rdg 6423  df-1o 6479  df-2o 6480  df-oadd 6483  df-er 6660  df-map 6774  df-pm 6775  df-ixp 6818  df-en 6864  df-dom 6865  df-sdom 6866  df-fin 6867  df-fi 7165  df-sup 7194  df-oi 7225  df-card 7572  df-cda 7794  df-pnf 8869  df-mnf 8870  df-xr 8871  df-ltxr 8872  df-le 8873  df-sub 9039  df-neg 9040  df-div 9424  df-nn 9747  df-2 9804  df-3 9805  df-4 9806  df-5 9807  df-6 9808  df-7 9809  df-8 9810  df-9 9811  df-10 9812  df-n0 9966  df-z 10025  df-dec 10125  df-uz 10231  df-q 10317  df-rp 10355  df-xneg 10452  df-xadd 10453  df-xmul 10454  df-icc 10663  df-fz 10783  df-fzo 10871  df-seq 11047  df-exp 11105  df-hash 11338  df-cj 11584  df-re 11585  df-im 11586  df-sqr 11720  df-abs 11721  df-struct 13150  df-ndx 13151  df-slot 13152  df-base 13153  df-sets 13154  df-ress 13155  df-plusg 13221  df-mulr 13222  df-starv 13223  df-sca 13224  df-vsca 13225  df-tset 13227  df-ple 13228  df-ds 13230  df-hom 13232  df-cco 13233  df-rest 13327  df-topn 13328  df-topgen 13344  df-pt 13345  df-prds 13348  df-xrs 13403  df-0g 13404  df-gsum 13405  df-qtop 13410  df-imas 13411  df-xps 13413  df-mre 13488  df-mrc 13489  df-acs 13491  df-mnd 14367  df-submnd 14416  df-mulg 14492  df-cntz 14793  df-cmn 15091  df-xmet 16373  df-met 16374  df-bl 16375  df-mopn 16376  df-cnfld 16378  df-top 16636  df-bases 16638  df-topon 16639  df-topsp 16640  df-cld 16756  df-ntr 16757  df-cls 16758  df-nei 16835  df-lp 16868  df-perf 16869  df-cn 16957  df-cnp 16958  df-haus 17043  df-tx 17257  df-hmeo 17446  df-fbas 17520  df-fg 17521  df-fil 17541  df-fm 17633  df-flim 17634  df-flf 17635  df-xms 17885  df-ms 17886  df-tms 17887  df-cncf 18382  df-limc 19216  df-dv 19217
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