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Theorem dvcnvlem 19339
Description: Lemma for dvcnvre 19382. (Contributed by Mario Carneiro, 25-Feb-2015.) (Revised by Mario Carneiro, 8-Sep-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
dvcnv.j  |-  J  =  ( TopOpen ` fld )
dvcnv.k  |-  K  =  ( Jt  S )
dvcnv.s  |-  ( ph  ->  S  e.  { RR ,  CC } )
dvcnv.y  |-  ( ph  ->  Y  e.  K )
dvcnv.f  |-  ( ph  ->  F : X -1-1-onto-> Y )
dvcnv.i  |-  ( ph  ->  `' F  e.  ( Y -cn-> X ) )
dvcnv.d  |-  ( ph  ->  dom  ( S  _D  F )  =  X )
dvcnv.z  |-  ( ph  ->  -.  0  e.  ran  ( S  _D  F
) )
dvcnv.c  |-  ( ph  ->  C  e.  X )
Assertion
Ref Expression
dvcnvlem  |-  ( ph  ->  ( F `  C
) ( S  _D  `' F ) ( 1  /  ( ( S  _D  F ) `  C ) ) )

Proof of Theorem dvcnvlem
Dummy variables  x  y  z are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 dvcnv.f . . . . 5  |-  ( ph  ->  F : X -1-1-onto-> Y )
2 f1of 5488 . . . . 5  |-  ( F : X -1-1-onto-> Y  ->  F : X
--> Y )
31, 2syl 15 . . . 4  |-  ( ph  ->  F : X --> Y )
4 dvcnv.c . . . 4  |-  ( ph  ->  C  e.  X )
5 ffvelrn 5679 . . . 4  |-  ( ( F : X --> Y  /\  C  e.  X )  ->  ( F `  C
)  e.  Y )
63, 4, 5syl2anc 642 . . 3  |-  ( ph  ->  ( F `  C
)  e.  Y )
7 dvcnv.k . . . . . 6  |-  K  =  ( Jt  S )
8 dvcnv.j . . . . . . . 8  |-  J  =  ( TopOpen ` fld )
98cnfldtopon 18308 . . . . . . 7  |-  J  e.  (TopOn `  CC )
10 dvcnv.s . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  S  e.  { RR ,  CC } )
11 recnprss 19270 . . . . . . . 8  |-  ( S  e.  { RR ,  CC }  ->  S  C_  CC )
1210, 11syl 15 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  S  C_  CC )
13 resttopon 16908 . . . . . . 7  |-  ( ( J  e.  (TopOn `  CC )  /\  S  C_  CC )  ->  ( Jt  S )  e.  (TopOn `  S ) )
149, 12, 13sylancr 644 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  ( Jt  S )  e.  (TopOn `  S ) )
157, 14syl5eqel 2380 . . . . 5  |-  ( ph  ->  K  e.  (TopOn `  S ) )
16 topontop 16680 . . . . 5  |-  ( K  e.  (TopOn `  S
)  ->  K  e.  Top )
1715, 16syl 15 . . . 4  |-  ( ph  ->  K  e.  Top )
18 dvcnv.y . . . 4  |-  ( ph  ->  Y  e.  K )
19 isopn3i 16835 . . . 4  |-  ( ( K  e.  Top  /\  Y  e.  K )  ->  ( ( int `  K
) `  Y )  =  Y )
2017, 18, 19syl2anc 642 . . 3  |-  ( ph  ->  ( ( int `  K
) `  Y )  =  Y )
216, 20eleqtrrd 2373 . 2  |-  ( ph  ->  ( F `  C
)  e.  ( ( int `  K ) `
 Y ) )
22 f1ocnv 5501 . . . . . . . . 9  |-  ( F : X -1-1-onto-> Y  ->  `' F : Y -1-1-onto-> X )
23 f1of 5488 . . . . . . . . 9  |-  ( `' F : Y -1-1-onto-> X  ->  `' F : Y --> X )
241, 22, 233syl 18 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  `' F : Y --> X )
25 eldifsn 3762 . . . . . . . . 9  |-  ( z  e.  ( Y  \  { ( F `  C ) } )  <-> 
( z  e.  Y  /\  z  =/=  ( F `  C )
) )
2625simplbi 446 . . . . . . . 8  |-  ( z  e.  ( Y  \  { ( F `  C ) } )  ->  z  e.  Y
)
27 ffvelrn 5679 . . . . . . . 8  |-  ( ( `' F : Y --> X  /\  z  e.  Y )  ->  ( `' F `  z )  e.  X
)
2824, 26, 27syl2an 463 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  z  e.  ( Y  \  { ( F `  C ) } ) )  -> 
( `' F `  z )  e.  X
)
2928anim1i 551 . . . . . 6  |-  ( ( ( ph  /\  z  e.  ( Y  \  {
( F `  C
) } ) )  /\  ( `' F `  z )  =/=  C
)  ->  ( ( `' F `  z )  e.  X  /\  ( `' F `  z )  =/=  C ) )
30 eldifsn 3762 . . . . . 6  |-  ( ( `' F `  z )  e.  ( X  \  { C } )  <->  ( ( `' F `  z )  e.  X  /\  ( `' F `  z )  =/=  C ) )
3129, 30sylibr 203 . . . . 5  |-  ( ( ( ph  /\  z  e.  ( Y  \  {
( F `  C
) } ) )  /\  ( `' F `  z )  =/=  C
)  ->  ( `' F `  z )  e.  ( X  \  { C } ) )
3231anasss 628 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  ( z  e.  ( Y  \  {
( F `  C
) } )  /\  ( `' F `  z )  =/=  C ) )  ->  ( `' F `  z )  e.  ( X  \  { C } ) )
33 eldifi 3311 . . . . . . . 8  |-  ( y  e.  ( X  \  { C } )  -> 
y  e.  X )
3433adantl 452 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  y  e.  ( X  \  { C } ) )  -> 
y  e.  X )
35 dvcnv.d . . . . . . . . . 10  |-  ( ph  ->  dom  ( S  _D  F )  =  X )
36 dvbsss 19268 . . . . . . . . . . 11  |-  dom  ( S  _D  F )  C_  S
3736a1i 10 . . . . . . . . . 10  |-  ( ph  ->  dom  ( S  _D  F )  C_  S
)
3835, 37eqsstr3d 3226 . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  X  C_  S )
3938, 12sstrd 3202 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  X  C_  CC )
4039sselda 3193 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  y  e.  X )  ->  y  e.  CC )
4134, 40syldan 456 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  y  e.  ( X  \  { C } ) )  -> 
y  e.  CC )
4238, 4sseldd 3194 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  C  e.  S )
4312, 42sseldd 3194 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  C  e.  CC )
4443adantr 451 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  y  e.  ( X  \  { C } ) )  ->  C  e.  CC )
4541, 44subcld 9173 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  y  e.  ( X  \  { C } ) )  -> 
( y  -  C
)  e.  CC )
46 toponss 16683 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( K  e.  (TopOn `  S )  /\  Y  e.  K )  ->  Y  C_  S )
4715, 18, 46syl2anc 642 . . . . . . . . . 10  |-  ( ph  ->  Y  C_  S )
4847, 12sstrd 3202 . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  Y  C_  CC )
49 fss 5413 . . . . . . . . 9  |-  ( ( F : X --> Y  /\  Y  C_  CC )  ->  F : X --> CC )
503, 48, 49syl2anc 642 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  F : X --> CC )
51 ffvelrn 5679 . . . . . . . 8  |-  ( ( F : X --> CC  /\  y  e.  X )  ->  ( F `  y
)  e.  CC )
5250, 51sylan 457 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  y  e.  X )  ->  ( F `  y )  e.  CC )
5333, 52sylan2 460 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  y  e.  ( X  \  { C } ) )  -> 
( F `  y
)  e.  CC )
5448, 6sseldd 3194 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  ( F `  C
)  e.  CC )
5554adantr 451 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  y  e.  ( X  \  { C } ) )  -> 
( F `  C
)  e.  CC )
5653, 55subcld 9173 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  y  e.  ( X  \  { C } ) )  -> 
( ( F `  y )  -  ( F `  C )
)  e.  CC )
57 eldifsni 3763 . . . . . . 7  |-  ( y  e.  ( X  \  { C } )  -> 
y  =/=  C )
5857adantl 452 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  y  e.  ( X  \  { C } ) )  -> 
y  =/=  C )
59 subeq0 9089 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( F `  y
)  e.  CC  /\  ( F `  C )  e.  CC )  -> 
( ( ( F `
 y )  -  ( F `  C ) )  =  0  <->  ( F `  y )  =  ( F `  C ) ) )
6053, 55, 59syl2anc 642 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  y  e.  ( X  \  { C } ) )  -> 
( ( ( F `
 y )  -  ( F `  C ) )  =  0  <->  ( F `  y )  =  ( F `  C ) ) )
61 f1of1 5487 . . . . . . . . . . 11  |-  ( F : X -1-1-onto-> Y  ->  F : X -1-1-> Y )
621, 61syl 15 . . . . . . . . . 10  |-  ( ph  ->  F : X -1-1-> Y
)
6362adantr 451 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  y  e.  ( X  \  { C } ) )  ->  F : X -1-1-> Y )
644adantr 451 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  y  e.  ( X  \  { C } ) )  ->  C  e.  X )
65 f1fveq 5802 . . . . . . . . 9  |-  ( ( F : X -1-1-> Y  /\  ( y  e.  X  /\  C  e.  X
) )  ->  (
( F `  y
)  =  ( F `
 C )  <->  y  =  C ) )
6663, 34, 64, 65syl12anc 1180 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  y  e.  ( X  \  { C } ) )  -> 
( ( F `  y )  =  ( F `  C )  <-> 
y  =  C ) )
6760, 66bitrd 244 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  y  e.  ( X  \  { C } ) )  -> 
( ( ( F `
 y )  -  ( F `  C ) )  =  0  <->  y  =  C ) )
6867necon3bid 2494 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  y  e.  ( X  \  { C } ) )  -> 
( ( ( F `
 y )  -  ( F `  C ) )  =/=  0  <->  y  =/=  C ) )
6958, 68mpbird 223 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  y  e.  ( X  \  { C } ) )  -> 
( ( F `  y )  -  ( F `  C )
)  =/=  0 )
7045, 56, 69divcld 9552 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  y  e.  ( X  \  { C } ) )  -> 
( ( y  -  C )  /  (
( F `  y
)  -  ( F `
 C ) ) )  e.  CC )
71 limcresi 19251 . . . . . 6  |-  ( `' F lim CC  ( F `
 C ) ) 
C_  ( ( `' F  |`  ( Y  \  { ( F `  C ) } ) ) lim CC  ( F `
 C ) )
7224feqmptd 5591 . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  `' F  =  (
z  e.  Y  |->  ( `' F `  z ) ) )
7372reseq1d 4970 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  ( `' F  |`  ( Y  \  { ( F `  C ) } ) )  =  ( ( z  e.  Y  |->  ( `' F `  z ) )  |`  ( Y  \  { ( F `  C ) } ) ) )
74 difss 3316 . . . . . . . . 9  |-  ( Y 
\  { ( F `
 C ) } )  C_  Y
75 resmpt 5016 . . . . . . . . 9  |-  ( ( Y  \  { ( F `  C ) } )  C_  Y  ->  ( ( z  e.  Y  |->  ( `' F `  z ) )  |`  ( Y  \  { ( F `  C ) } ) )  =  ( z  e.  ( Y  \  { ( F `  C ) } )  |->  ( `' F `  z ) ) )
7674, 75ax-mp 8 . . . . . . . 8  |-  ( ( z  e.  Y  |->  ( `' F `  z ) )  |`  ( Y  \  { ( F `  C ) } ) )  =  ( z  e.  ( Y  \  { ( F `  C ) } ) 
|->  ( `' F `  z ) )
7773, 76syl6eq 2344 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  ( `' F  |`  ( Y  \  { ( F `  C ) } ) )  =  ( z  e.  ( Y  \  { ( F `  C ) } )  |->  ( `' F `  z ) ) )
7877oveq1d 5889 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  ( ( `' F  |`  ( Y  \  {
( F `  C
) } ) ) lim
CC  ( F `  C ) )  =  ( ( z  e.  ( Y  \  {
( F `  C
) } )  |->  ( `' F `  z ) ) lim CC  ( F `
 C ) ) )
7971, 78syl5sseq 3239 . . . . 5  |-  ( ph  ->  ( `' F lim CC  ( F `  C ) )  C_  ( (
z  e.  ( Y 
\  { ( F `
 C ) } )  |->  ( `' F `  z ) ) lim CC  ( F `  C ) ) )
80 f1ocnvfv1 5808 . . . . . . 7  |-  ( ( F : X -1-1-onto-> Y  /\  C  e.  X )  ->  ( `' F `  ( F `  C ) )  =  C )
811, 4, 80syl2anc 642 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  ( `' F `  ( F `  C ) )  =  C )
82 dvcnv.i . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  `' F  e.  ( Y -cn-> X ) )
8382, 6cnlimci 19255 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  ( `' F `  ( F `  C ) )  e.  ( `' F lim CC  ( F `
 C ) ) )
8481, 83eqeltrrd 2371 . . . . 5  |-  ( ph  ->  C  e.  ( `' F lim CC  ( F `
 C ) ) )
8579, 84sseldd 3194 . . . 4  |-  ( ph  ->  C  e.  ( ( z  e.  ( Y 
\  { ( F `
 C ) } )  |->  ( `' F `  z ) ) lim CC  ( F `  C ) ) )
8650, 39, 4dvlem 19262 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  y  e.  ( X  \  { C } ) )  -> 
( ( ( F `
 y )  -  ( F `  C ) )  /  ( y  -  C ) )  e.  CC )
87 subeq0 9089 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( y  e.  CC  /\  C  e.  CC )  ->  ( ( y  -  C )  =  0  <-> 
y  =  C ) )
8841, 44, 87syl2anc 642 . . . . . . . . . . 11  |-  ( (
ph  /\  y  e.  ( X  \  { C } ) )  -> 
( ( y  -  C )  =  0  <-> 
y  =  C ) )
8988necon3bid 2494 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  y  e.  ( X  \  { C } ) )  -> 
( ( y  -  C )  =/=  0  <->  y  =/=  C ) )
9058, 89mpbird 223 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  y  e.  ( X  \  { C } ) )  -> 
( y  -  C
)  =/=  0 )
9156, 45, 69, 90divne0d 9568 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  y  e.  ( X  \  { C } ) )  -> 
( ( ( F `
 y )  -  ( F `  C ) )  /  ( y  -  C ) )  =/=  0 )
92 eldifsn 3762 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ( F `  y )  -  ( F `  C )
)  /  ( y  -  C ) )  e.  ( CC  \  { 0 } )  <-> 
( ( ( ( F `  y )  -  ( F `  C ) )  / 
( y  -  C
) )  e.  CC  /\  ( ( ( F `
 y )  -  ( F `  C ) )  /  ( y  -  C ) )  =/=  0 ) )
9386, 91, 92sylanbrc 645 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  y  e.  ( X  \  { C } ) )  -> 
( ( ( F `
 y )  -  ( F `  C ) )  /  ( y  -  C ) )  e.  ( CC  \  { 0 } ) )
94 eqid 2296 . . . . . . 7  |-  ( y  e.  ( X  \  { C } )  |->  ( ( ( F `  y )  -  ( F `  C )
)  /  ( y  -  C ) ) )  =  ( y  e.  ( X  \  { C } )  |->  ( ( ( F `  y )  -  ( F `  C )
)  /  ( y  -  C ) ) )
9593, 94fmptd 5700 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  ( y  e.  ( X  \  { C } )  |->  ( ( ( F `  y
)  -  ( F `
 C ) )  /  ( y  -  C ) ) ) : ( X  \  { C } ) --> ( CC  \  { 0 } ) )
96 difss 3316 . . . . . . 7  |-  ( CC 
\  { 0 } )  C_  CC
9796a1i 10 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  ( CC  \  {
0 } )  C_  CC )
98 eqid 2296 . . . . . 6  |-  ( Jt  ( CC  \  { 0 } ) )  =  ( Jt  ( CC  \  { 0 } ) )
994, 35eleqtrrd 2373 . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  C  e.  dom  ( S  _D  F ) )
100 dvfg 19272 . . . . . . . . . . 11  |-  ( S  e.  { RR ,  CC }  ->  ( S  _D  F ) : dom  ( S  _D  F
) --> CC )
101 ffun 5407 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( S  _D  F ) : dom  ( S  _D  F ) --> CC 
->  Fun  ( S  _D  F ) )
10210, 100, 1013syl 18 . . . . . . . . . 10  |-  ( ph  ->  Fun  ( S  _D  F ) )
103 funfvbrb 5654 . . . . . . . . . 10  |-  ( Fun  ( S  _D  F
)  ->  ( C  e.  dom  ( S  _D  F )  <->  C ( S  _D  F ) ( ( S  _D  F
) `  C )
) )
104102, 103syl 15 . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  ( C  e.  dom  ( S  _D  F
)  <->  C ( S  _D  F ) ( ( S  _D  F ) `
 C ) ) )
10599, 104mpbid 201 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  C ( S  _D  F ) ( ( S  _D  F ) `
 C ) )
1067, 8, 94, 12, 50, 38eldv 19264 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  ( C ( S  _D  F ) ( ( S  _D  F
) `  C )  <->  ( C  e.  ( ( int `  K ) `
 X )  /\  ( ( S  _D  F ) `  C
)  e.  ( ( y  e.  ( X 
\  { C }
)  |->  ( ( ( F `  y )  -  ( F `  C ) )  / 
( y  -  C
) ) ) lim CC  C ) ) ) )
107105, 106mpbid 201 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  ( C  e.  ( ( int `  K
) `  X )  /\  ( ( S  _D  F ) `  C
)  e.  ( ( y  e.  ( X 
\  { C }
)  |->  ( ( ( F `  y )  -  ( F `  C ) )  / 
( y  -  C
) ) ) lim CC  C ) ) )
108107simprd 449 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  ( ( S  _D  F ) `  C
)  e.  ( ( y  e.  ( X 
\  { C }
)  |->  ( ( ( F `  y )  -  ( F `  C ) )  / 
( y  -  C
) ) ) lim CC  C ) )
109 resttopon 16908 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( J  e.  (TopOn `  CC )  /\  ( CC  \  { 0 } )  C_  CC )  ->  ( Jt  ( CC  \  { 0 } ) )  e.  (TopOn `  ( CC  \  { 0 } ) ) )
1109, 96, 109mp2an 653 . . . . . . . . 9  |-  ( Jt  ( CC  \  { 0 } ) )  e.  (TopOn `  ( CC  \  { 0 } ) )
111110a1i 10 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  ( Jt  ( CC  \  { 0 } ) )  e.  (TopOn `  ( CC  \  { 0 } ) ) )
1129a1i 10 . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  J  e.  (TopOn `  CC ) )
113 ax-1cn 8811 . . . . . . . . . 10  |-  1  e.  CC
114113a1i 10 . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  1  e.  CC )
115111, 112, 114cnmptc 17372 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  ( x  e.  ( CC  \  { 0 } )  |->  1 )  e.  ( ( Jt  ( CC  \  { 0 } ) )  Cn  J ) )
116111cnmptid 17371 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  ( x  e.  ( CC  \  { 0 } )  |->  x )  e.  ( ( Jt  ( CC  \  { 0 } ) )  Cn  ( Jt  ( CC  \  { 0 } ) ) ) )
1178, 98divcn 18388 . . . . . . . . 9  |-  /  e.  ( ( J  tX  ( Jt  ( CC  \  { 0 } ) ) )  Cn  J
)
118117a1i 10 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  /  e.  ( ( J  tX  ( Jt  ( CC  \  { 0 } ) ) )  Cn  J ) )
119111, 115, 116, 118cnmpt12f 17376 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  ( x  e.  ( CC  \  { 0 } )  |->  ( 1  /  x ) )  e.  ( ( Jt  ( CC  \  { 0 } ) )  Cn  J ) )
12010, 100syl 15 . . . . . . . . . 10  |-  ( ph  ->  ( S  _D  F
) : dom  ( S  _D  F ) --> CC )
12135feq2d 5396 . . . . . . . . . 10  |-  ( ph  ->  ( ( S  _D  F ) : dom  ( S  _D  F
) --> CC  <->  ( S  _D  F ) : X --> CC ) )
122120, 121mpbid 201 . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  ( S  _D  F
) : X --> CC )
123 ffvelrn 5679 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( S  _D  F
) : X --> CC  /\  C  e.  X )  ->  ( ( S  _D  F ) `  C
)  e.  CC )
124122, 4, 123syl2anc 642 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  ( ( S  _D  F ) `  C
)  e.  CC )
125 ffn 5405 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( S  _D  F ) : dom  ( S  _D  F ) --> CC 
->  ( S  _D  F
)  Fn  dom  ( S  _D  F ) )
126120, 125syl 15 . . . . . . . . . 10  |-  ( ph  ->  ( S  _D  F
)  Fn  dom  ( S  _D  F ) )
127 fnfvelrn 5678 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( S  _D  F
)  Fn  dom  ( S  _D  F )  /\  C  e.  dom  ( S  _D  F ) )  ->  ( ( S  _D  F ) `  C )  e.  ran  ( S  _D  F
) )
128126, 99, 127syl2anc 642 . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  ( ( S  _D  F ) `  C
)  e.  ran  ( S  _D  F ) )
129 dvcnv.z . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  -.  0  e.  ran  ( S  _D  F
) )
130 nelne2 2549 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ( S  _D  F ) `  C
)  e.  ran  ( S  _D  F )  /\  -.  0  e.  ran  ( S  _D  F
) )  ->  (
( S  _D  F
) `  C )  =/=  0 )
131128, 129, 130syl2anc 642 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  ( ( S  _D  F ) `  C
)  =/=  0 )
132 eldifsn 3762 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( S  _D  F
) `  C )  e.  ( CC  \  {
0 } )  <->  ( (
( S  _D  F
) `  C )  e.  CC  /\  ( ( S  _D  F ) `
 C )  =/=  0 ) )
133124, 131, 132sylanbrc 645 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  ( ( S  _D  F ) `  C
)  e.  ( CC 
\  { 0 } ) )
134110toponunii 16686 . . . . . . . 8  |-  ( CC 
\  { 0 } )  =  U. ( Jt  ( CC  \  { 0 } ) )
135134cncnpi 17023 . . . . . . 7  |-  ( ( ( x  e.  ( CC  \  { 0 } )  |->  ( 1  /  x ) )  e.  ( ( Jt  ( CC  \  { 0 } ) )  Cn  J )  /\  (
( S  _D  F
) `  C )  e.  ( CC  \  {
0 } ) )  ->  ( x  e.  ( CC  \  {
0 } )  |->  ( 1  /  x ) )  e.  ( ( ( Jt  ( CC  \  { 0 } ) )  CnP  J ) `
 ( ( S  _D  F ) `  C ) ) )
136119, 133, 135syl2anc 642 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  ( x  e.  ( CC  \  { 0 } )  |->  ( 1  /  x ) )  e.  ( ( ( Jt  ( CC  \  {
0 } ) )  CnP  J ) `  ( ( S  _D  F ) `  C
) ) )
13795, 97, 8, 98, 108, 136limccnp 19257 . . . . 5  |-  ( ph  ->  ( ( x  e.  ( CC  \  {
0 } )  |->  ( 1  /  x ) ) `  ( ( S  _D  F ) `
 C ) )  e.  ( ( ( x  e.  ( CC 
\  { 0 } )  |->  ( 1  /  x ) )  o.  ( y  e.  ( X  \  { C } )  |->  ( ( ( F `  y
)  -  ( F `
 C ) )  /  ( y  -  C ) ) ) ) lim CC  C ) )
138 oveq2 5882 . . . . . . . 8  |-  ( x  =  ( ( S  _D  F ) `  C )  ->  (
1  /  x )  =  ( 1  / 
( ( S  _D  F ) `  C
) ) )
139 eqid 2296 . . . . . . . 8  |-  ( x  e.  ( CC  \  { 0 } ) 
|->  ( 1  /  x
) )  =  ( x  e.  ( CC 
\  { 0 } )  |->  ( 1  /  x ) )
140 ovex 5899 . . . . . . . 8  |-  ( 1  /  ( ( S  _D  F ) `  C ) )  e. 
_V
141138, 139, 140fvmpt 5618 . . . . . . 7  |-  ( ( ( S  _D  F
) `  C )  e.  ( CC  \  {
0 } )  -> 
( ( x  e.  ( CC  \  {
0 } )  |->  ( 1  /  x ) ) `  ( ( S  _D  F ) `
 C ) )  =  ( 1  / 
( ( S  _D  F ) `  C
) ) )
142133, 141syl 15 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  ( ( x  e.  ( CC  \  {
0 } )  |->  ( 1  /  x ) ) `  ( ( S  _D  F ) `
 C ) )  =  ( 1  / 
( ( S  _D  F ) `  C
) ) )
143 eqidd 2297 . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  ( y  e.  ( X  \  { C } )  |->  ( ( ( F `  y
)  -  ( F `
 C ) )  /  ( y  -  C ) ) )  =  ( y  e.  ( X  \  { C } )  |->  ( ( ( F `  y
)  -  ( F `
 C ) )  /  ( y  -  C ) ) ) )
144 eqidd 2297 . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  ( x  e.  ( CC  \  { 0 } )  |->  ( 1  /  x ) )  =  ( x  e.  ( CC  \  {
0 } )  |->  ( 1  /  x ) ) )
145 oveq2 5882 . . . . . . . . 9  |-  ( x  =  ( ( ( F `  y )  -  ( F `  C ) )  / 
( y  -  C
) )  ->  (
1  /  x )  =  ( 1  / 
( ( ( F `
 y )  -  ( F `  C ) )  /  ( y  -  C ) ) ) )
14693, 143, 144, 145fmptco 5707 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  ( ( x  e.  ( CC  \  {
0 } )  |->  ( 1  /  x ) )  o.  ( y  e.  ( X  \  { C } )  |->  ( ( ( F `  y )  -  ( F `  C )
)  /  ( y  -  C ) ) ) )  =  ( y  e.  ( X 
\  { C }
)  |->  ( 1  / 
( ( ( F `
 y )  -  ( F `  C ) )  /  ( y  -  C ) ) ) ) )
14756, 45, 69, 90recdivd 9569 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  y  e.  ( X  \  { C } ) )  -> 
( 1  /  (
( ( F `  y )  -  ( F `  C )
)  /  ( y  -  C ) ) )  =  ( ( y  -  C )  /  ( ( F `
 y )  -  ( F `  C ) ) ) )
148147mpteq2dva 4122 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  ( y  e.  ( X  \  { C } )  |->  ( 1  /  ( ( ( F `  y )  -  ( F `  C ) )  / 
( y  -  C
) ) ) )  =  ( y  e.  ( X  \  { C } )  |->  ( ( y  -  C )  /  ( ( F `
 y )  -  ( F `  C ) ) ) ) )
149146, 148eqtrd 2328 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  ( ( x  e.  ( CC  \  {
0 } )  |->  ( 1  /  x ) )  o.  ( y  e.  ( X  \  { C } )  |->  ( ( ( F `  y )  -  ( F `  C )
)  /  ( y  -  C ) ) ) )  =  ( y  e.  ( X 
\  { C }
)  |->  ( ( y  -  C )  / 
( ( F `  y )  -  ( F `  C )
) ) ) )
150149oveq1d 5889 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  ( ( ( x  e.  ( CC  \  { 0 } ) 
|->  ( 1  /  x
) )  o.  (
y  e.  ( X 
\  { C }
)  |->  ( ( ( F `  y )  -  ( F `  C ) )  / 
( y  -  C
) ) ) ) lim
CC  C )  =  ( ( y  e.  ( X  \  { C } )  |->  ( ( y  -  C )  /  ( ( F `
 y )  -  ( F `  C ) ) ) ) lim CC  C ) )
151142, 150eleq12d 2364 . . . . 5  |-  ( ph  ->  ( ( ( x  e.  ( CC  \  { 0 } ) 
|->  ( 1  /  x
) ) `  (
( S  _D  F
) `  C )
)  e.  ( ( ( x  e.  ( CC  \  { 0 } )  |->  ( 1  /  x ) )  o.  ( y  e.  ( X  \  { C } )  |->  ( ( ( F `  y
)  -  ( F `
 C ) )  /  ( y  -  C ) ) ) ) lim CC  C )  <-> 
( 1  /  (
( S  _D  F
) `  C )
)  e.  ( ( y  e.  ( X 
\  { C }
)  |->  ( ( y  -  C )  / 
( ( F `  y )  -  ( F `  C )
) ) ) lim CC  C ) ) )
152137, 151mpbid 201 . . . 4  |-  ( ph  ->  ( 1  /  (
( S  _D  F
) `  C )
)  e.  ( ( y  e.  ( X 
\  { C }
)  |->  ( ( y  -  C )  / 
( ( F `  y )  -  ( F `  C )
) ) ) lim CC  C ) )
153 oveq1 5881 . . . . 5  |-  ( y  =  ( `' F `  z )  ->  (
y  -  C )  =  ( ( `' F `  z )  -  C ) )
154 fveq2 5541 . . . . . 6  |-  ( y  =  ( `' F `  z )  ->  ( F `  y )  =  ( F `  ( `' F `  z ) ) )
155154oveq1d 5889 . . . . 5  |-  ( y  =  ( `' F `  z )  ->  (
( F `  y
)  -  ( F `
 C ) )  =  ( ( F `
 ( `' F `  z ) )  -  ( F `  C ) ) )
156153, 155oveq12d 5892 . . . 4  |-  ( y  =  ( `' F `  z )  ->  (
( y  -  C
)  /  ( ( F `  y )  -  ( F `  C ) ) )  =  ( ( ( `' F `  z )  -  C )  / 
( ( F `  ( `' F `  z ) )  -  ( F `
 C ) ) ) )
157 eldifsni 3763 . . . . . . . . 9  |-  ( z  e.  ( Y  \  { ( F `  C ) } )  ->  z  =/=  ( F `  C )
)
158157adantl 452 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  z  e.  ( Y  \  { ( F `  C ) } ) )  -> 
z  =/=  ( F `
 C ) )
159158necomd 2542 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  z  e.  ( Y  \  { ( F `  C ) } ) )  -> 
( F `  C
)  =/=  z )
1601adantr 451 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  z  e.  ( Y  \  { ( F `  C ) } ) )  ->  F : X -1-1-onto-> Y )
1614adantr 451 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  z  e.  ( Y  \  { ( F `  C ) } ) )  ->  C  e.  X )
16226adantl 452 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  z  e.  ( Y  \  { ( F `  C ) } ) )  -> 
z  e.  Y )
163 f1ocnvfvb 5811 . . . . . . . . 9  |-  ( ( F : X -1-1-onto-> Y  /\  C  e.  X  /\  z  e.  Y )  ->  ( ( F `  C )  =  z  <-> 
( `' F `  z )  =  C ) )
164160, 161, 162, 163syl3anc 1182 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  z  e.  ( Y  \  { ( F `  C ) } ) )  -> 
( ( F `  C )  =  z  <-> 
( `' F `  z )  =  C ) )
165164necon3abid 2492 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  z  e.  ( Y  \  { ( F `  C ) } ) )  -> 
( ( F `  C )  =/=  z  <->  -.  ( `' F `  z )  =  C ) )
166159, 165mpbid 201 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  z  e.  ( Y  \  { ( F `  C ) } ) )  ->  -.  ( `' F `  z )  =  C )
167166pm2.21d 98 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  z  e.  ( Y  \  { ( F `  C ) } ) )  -> 
( ( `' F `  z )  =  C  ->  ( ( ( `' F `  z )  -  C )  / 
( ( F `  ( `' F `  z ) )  -  ( F `
 C ) ) )  =  ( 1  /  ( ( S  _D  F ) `  C ) ) ) )
168167impr 602 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  ( z  e.  ( Y  \  {
( F `  C
) } )  /\  ( `' F `  z )  =  C ) )  ->  ( ( ( `' F `  z )  -  C )  / 
( ( F `  ( `' F `  z ) )  -  ( F `
 C ) ) )  =  ( 1  /  ( ( S  _D  F ) `  C ) ) )
16932, 70, 85, 152, 156, 168limcco 19259 . . 3  |-  ( ph  ->  ( 1  /  (
( S  _D  F
) `  C )
)  e.  ( ( z  e.  ( Y 
\  { ( F `
 C ) } )  |->  ( ( ( `' F `  z )  -  C )  / 
( ( F `  ( `' F `  z ) )  -  ( F `
 C ) ) ) ) lim CC  ( F `  C )
) )
17081eqcomd 2301 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  C  =  ( `' F `  ( F `
 C ) ) )
171170adantr 451 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  z  e.  ( Y  \  { ( F `  C ) } ) )  ->  C  =  ( `' F `  ( F `  C ) ) )
172171oveq2d 5890 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  z  e.  ( Y  \  { ( F `  C ) } ) )  -> 
( ( `' F `  z )  -  C
)  =  ( ( `' F `  z )  -  ( `' F `  ( F `  C
) ) ) )
173 eldifi 3311 . . . . . . . 8  |-  ( z  e.  ( Y  \  { ( F `  C ) } )  ->  z  e.  Y
)
174 f1ocnvfv2 5809 . . . . . . . 8  |-  ( ( F : X -1-1-onto-> Y  /\  z  e.  Y )  ->  ( F `  ( `' F `  z ) )  =  z )
1751, 173, 174syl2an 463 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  z  e.  ( Y  \  { ( F `  C ) } ) )  -> 
( F `  ( `' F `  z ) )  =  z )
176175oveq1d 5889 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  z  e.  ( Y  \  { ( F `  C ) } ) )  -> 
( ( F `  ( `' F `  z ) )  -  ( F `
 C ) )  =  ( z  -  ( F `  C ) ) )
177172, 176oveq12d 5892 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  z  e.  ( Y  \  { ( F `  C ) } ) )  -> 
( ( ( `' F `  z )  -  C )  / 
( ( F `  ( `' F `  z ) )  -  ( F `
 C ) ) )  =  ( ( ( `' F `  z )  -  ( `' F `  ( F `
 C ) ) )  /  ( z  -  ( F `  C ) ) ) )
178177mpteq2dva 4122 . . . 4  |-  ( ph  ->  ( z  e.  ( Y  \  { ( F `  C ) } )  |->  ( ( ( `' F `  z )  -  C
)  /  ( ( F `  ( `' F `  z ) )  -  ( F `
 C ) ) ) )  =  ( z  e.  ( Y 
\  { ( F `
 C ) } )  |->  ( ( ( `' F `  z )  -  ( `' F `  ( F `  C
) ) )  / 
( z  -  ( F `  C )
) ) ) )
179178oveq1d 5889 . . 3  |-  ( ph  ->  ( ( z  e.  ( Y  \  {
( F `  C
) } )  |->  ( ( ( `' F `  z )  -  C
)  /  ( ( F `  ( `' F `  z ) )  -  ( F `
 C ) ) ) ) lim CC  ( F `  C )
)  =  ( ( z  e.  ( Y 
\  { ( F `
 C ) } )  |->  ( ( ( `' F `  z )  -  ( `' F `  ( F `  C
) ) )  / 
( z  -  ( F `  C )
) ) ) lim CC  ( F `  C ) ) )
180169, 179eleqtrd 2372 . 2  |-  ( ph  ->  ( 1  /  (
( S  _D  F
) `  C )
)  e.  ( ( z  e.  ( Y 
\  { ( F `
 C ) } )  |->  ( ( ( `' F `  z )  -  ( `' F `  ( F `  C
) ) )  / 
( z  -  ( F `  C )
) ) ) lim CC  ( F `  C ) ) )
181 eqid 2296 . . 3  |-  ( z  e.  ( Y  \  { ( F `  C ) } ) 
|->  ( ( ( `' F `  z )  -  ( `' F `  ( F `  C
) ) )  / 
( z  -  ( F `  C )
) ) )  =  ( z  e.  ( Y  \  { ( F `  C ) } )  |->  ( ( ( `' F `  z )  -  ( `' F `  ( F `
 C ) ) )  /  ( z  -  ( F `  C ) ) ) )
182 fss 5413 . . . 4  |-  ( ( `' F : Y --> X  /\  X  C_  CC )  ->  `' F : Y --> CC )
18324, 39, 182syl2anc 642 . . 3  |-  ( ph  ->  `' F : Y --> CC )
1847, 8, 181, 12, 183, 47eldv 19264 . 2  |-  ( ph  ->  ( ( F `  C ) ( S  _D  `' F ) ( 1  /  (
( S  _D  F
) `  C )
)  <->  ( ( F `
 C )  e.  ( ( int `  K
) `  Y )  /\  ( 1  /  (
( S  _D  F
) `  C )
)  e.  ( ( z  e.  ( Y 
\  { ( F `
 C ) } )  |->  ( ( ( `' F `  z )  -  ( `' F `  ( F `  C
) ) )  / 
( z  -  ( F `  C )
) ) ) lim CC  ( F `  C ) ) ) ) )
18521, 180, 184mpbir2and 888 1  |-  ( ph  ->  ( F `  C
) ( S  _D  `' F ) ( 1  /  ( ( S  _D  F ) `  C ) ) )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:   -. wn 3    -> wi 4    <-> wb 176    /\ wa 358    = wceq 1632    e. wcel 1696    =/= wne 2459    \ cdif 3162    C_ wss 3165   {csn 3653   {cpr 3654   class class class wbr 4039    e. cmpt 4093   `'ccnv 4704   dom cdm 4705   ran crn 4706    |` cres 4707    o. ccom 4709   Fun wfun 5265    Fn wfn 5266   -->wf 5267   -1-1->wf1 5268   -1-1-onto->wf1o 5270   ` cfv 5271  (class class class)co 5874   CCcc 8751   RRcr 8752   0cc0 8753   1c1 8754    - cmin 9053    / cdiv 9439   ↾t crest 13341   TopOpenctopn 13342  ℂfldccnfld 16393   Topctop 16647  TopOnctopon 16648   intcnt 16770    Cn ccn 16970    CnP ccnp 16971    tX ctx 17271   -cn->ccncf 18396   lim CC climc 19228    _D cdv 19229
This theorem is referenced by:  dvcnv  19340
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1536  ax-5 1547  ax-17 1606  ax-9 1644  ax-8 1661  ax-13 1698  ax-14 1700  ax-6 1715  ax-7 1720  ax-11 1727  ax-12 1878  ax-ext 2277  ax-rep 4147  ax-sep 4157  ax-nul 4165  ax-pow 4204  ax-pr 4230  ax-un 4528  ax-inf2 7358  ax-cnex 8809  ax-resscn 8810  ax-1cn 8811  ax-icn 8812  ax-addcl 8813  ax-addrcl 8814  ax-mulcl 8815  ax-mulrcl 8816  ax-mulcom 8817  ax-addass 8818  ax-mulass 8819  ax-distr 8820  ax-i2m1 8821  ax-1ne0 8822  ax-1rid 8823  ax-rnegex 8824  ax-rrecex 8825  ax-cnre 8826  ax-pre-lttri 8827  ax-pre-lttrn 8828  ax-pre-ltadd 8829  ax-pre-mulgt0 8830  ax-pre-sup 8831  ax-mulf 8833
This theorem depends on definitions:  df-bi 177  df-or 359  df-an 360  df-3or 935  df-3an 936  df-tru 1310  df-ex 1532  df-nf 1535  df-sb 1639  df-eu 2160  df-mo 2161  df-clab 2283  df-cleq 2289  df-clel 2292  df-nfc 2421  df-ne 2461  df-nel 2462  df-ral 2561  df-rex 2562  df-reu 2563  df-rmo 2564  df-rab 2565  df-v 2803  df-sbc 3005  df-csb 3095  df-dif 3168  df-un 3170  df-in 3172  df-ss 3179  df-pss 3181  df-nul 3469  df-if 3579  df-pw 3640  df-sn 3659  df-pr 3660  df-tp 3661  df-op 3662  df-uni 3844  df-int 3879  df-iun 3923  df-iin 3924  df-br 4040  df-opab 4094  df-mpt 4095  df-tr 4130  df-eprel 4321  df-id 4325  df-po 4330  df-so 4331  df-fr 4368  df-se 4369  df-we 4370  df-ord 4411  df-on 4412  df-lim 4413  df-suc 4414  df-om 4673  df-xp 4711  df-rel 4712  df-cnv 4713  df-co 4714  df-dm 4715  df-rn 4716  df-res 4717  df-ima 4718  df-iota 5235  df-fun 5273  df-fn 5274  df-f 5275  df-f1 5276  df-fo 5277  df-f1o 5278  df-fv 5279  df-isom 5280  df-ov 5877  df-oprab 5878  df-mpt2 5879  df-of 6094  df-1st 6138  df-2nd 6139  df-riota 6320  df-recs 6404  df-rdg 6439  df-1o 6495  df-2o 6496  df-oadd 6499  df-er 6676  df-map 6790  df-pm 6791  df-ixp 6834  df-en 6880  df-dom 6881  df-sdom 6882  df-fin 6883  df-fi 7181  df-sup 7210  df-oi 7241  df-card 7588  df-cda 7810  df-pnf 8885  df-mnf 8886  df-xr 8887  df-ltxr 8888  df-le 8889  df-sub 9055  df-neg 9056  df-div 9440  df-nn 9763  df-2 9820  df-3 9821  df-4 9822  df-5 9823  df-6 9824  df-7 9825  df-8 9826  df-9 9827  df-10 9828  df-n0 9982  df-z 10041  df-dec 10141  df-uz 10247  df-q 10333  df-rp 10371  df-xneg 10468  df-xadd 10469  df-xmul 10470  df-icc 10679  df-fz 10799  df-fzo 10887  df-seq 11063  df-exp 11121  df-hash 11354  df-cj 11600  df-re 11601  df-im 11602  df-sqr 11736  df-abs 11737  df-struct 13166  df-ndx 13167  df-slot 13168  df-base 13169  df-sets 13170  df-ress 13171  df-plusg 13237  df-mulr 13238  df-starv 13239  df-sca 13240  df-vsca 13241  df-tset 13243  df-ple 13244  df-ds 13246  df-hom 13248  df-cco 13249  df-rest 13343  df-topn 13344  df-topgen 13360  df-pt 13361  df-prds 13364  df-xrs 13419  df-0g 13420  df-gsum 13421  df-qtop 13426  df-imas 13427  df-xps 13429  df-mre 13504  df-mrc 13505  df-acs 13507  df-mnd 14383  df-submnd 14432  df-mulg 14508  df-cntz 14809  df-cmn 15107  df-xmet 16389  df-met 16390  df-bl 16391  df-mopn 16392  df-cnfld 16394  df-top 16652  df-bases 16654  df-topon 16655  df-topsp 16656  df-cld 16772  df-ntr 16773  df-cls 16774  df-nei 16851  df-lp 16884  df-perf 16885  df-cn 16973  df-cnp 16974  df-haus 17059  df-tx 17273  df-hmeo 17462  df-fbas 17536  df-fg 17537  df-fil 17557  df-fm 17649  df-flim 17650  df-flf 17651  df-xms 17901  df-ms 17902  df-tms 17903  df-cncf 18398  df-limc 19232  df-dv 19233
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