MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  dvco Unicode version

Theorem dvco 19702
Description: The chain rule for derivatives at a point. (Contributed by Mario Carneiro, 9-Aug-2014.) (Revised by Mario Carneiro, 10-Feb-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
dvco.f  |-  ( ph  ->  F : X --> CC )
dvco.x  |-  ( ph  ->  X  C_  S )
dvco.g  |-  ( ph  ->  G : Y --> X )
dvco.y  |-  ( ph  ->  Y  C_  T )
dvco.s  |-  ( ph  ->  S  e.  { RR ,  CC } )
dvco.t  |-  ( ph  ->  T  e.  { RR ,  CC } )
dvco.df  |-  ( ph  ->  ( G `  C
)  e.  dom  ( S  _D  F ) )
dvco.dg  |-  ( ph  ->  C  e.  dom  ( T  _D  G ) )
Assertion
Ref Expression
dvco  |-  ( ph  ->  ( ( T  _D  ( F  o.  G
) ) `  C
)  =  ( ( ( S  _D  F
) `  ( G `  C ) )  x.  ( ( T  _D  G ) `  C
) ) )

Proof of Theorem dvco
StepHypRef Expression
1 dvco.t . . 3  |-  ( ph  ->  T  e.  { RR ,  CC } )
2 dvfg 19662 . . 3  |-  ( T  e.  { RR ,  CC }  ->  ( T  _D  ( F  o.  G
) ) : dom  ( T  _D  ( F  o.  G )
) --> CC )
3 ffun 5535 . . 3  |-  ( ( T  _D  ( F  o.  G ) ) : dom  ( T  _D  ( F  o.  G ) ) --> CC 
->  Fun  ( T  _D  ( F  o.  G
) ) )
41, 2, 33syl 19 . 2  |-  ( ph  ->  Fun  ( T  _D  ( F  o.  G
) ) )
5 dvco.f . . 3  |-  ( ph  ->  F : X --> CC )
6 dvco.x . . 3  |-  ( ph  ->  X  C_  S )
7 dvco.g . . 3  |-  ( ph  ->  G : Y --> X )
8 dvco.y . . 3  |-  ( ph  ->  Y  C_  T )
9 dvco.s . . . 4  |-  ( ph  ->  S  e.  { RR ,  CC } )
10 recnprss 19660 . . . 4  |-  ( S  e.  { RR ,  CC }  ->  S  C_  CC )
119, 10syl 16 . . 3  |-  ( ph  ->  S  C_  CC )
12 recnprss 19660 . . . 4  |-  ( T  e.  { RR ,  CC }  ->  T  C_  CC )
131, 12syl 16 . . 3  |-  ( ph  ->  T  C_  CC )
14 fvex 5684 . . . 4  |-  ( ( S  _D  F ) `
 ( G `  C ) )  e. 
_V
1514a1i 11 . . 3  |-  ( ph  ->  ( ( S  _D  F ) `  ( G `  C )
)  e.  _V )
16 fvex 5684 . . . 4  |-  ( ( T  _D  G ) `
 C )  e. 
_V
1716a1i 11 . . 3  |-  ( ph  ->  ( ( T  _D  G ) `  C
)  e.  _V )
18 dvco.df . . . 4  |-  ( ph  ->  ( G `  C
)  e.  dom  ( S  _D  F ) )
19 dvfg 19662 . . . . . 6  |-  ( S  e.  { RR ,  CC }  ->  ( S  _D  F ) : dom  ( S  _D  F
) --> CC )
209, 19syl 16 . . . . 5  |-  ( ph  ->  ( S  _D  F
) : dom  ( S  _D  F ) --> CC )
21 ffun 5535 . . . . 5  |-  ( ( S  _D  F ) : dom  ( S  _D  F ) --> CC 
->  Fun  ( S  _D  F ) )
22 funfvbrb 5784 . . . . 5  |-  ( Fun  ( S  _D  F
)  ->  ( ( G `  C )  e.  dom  ( S  _D  F )  <->  ( G `  C ) ( S  _D  F ) ( ( S  _D  F
) `  ( G `  C ) ) ) )
2320, 21, 223syl 19 . . . 4  |-  ( ph  ->  ( ( G `  C )  e.  dom  ( S  _D  F
)  <->  ( G `  C ) ( S  _D  F ) ( ( S  _D  F
) `  ( G `  C ) ) ) )
2418, 23mpbid 202 . . 3  |-  ( ph  ->  ( G `  C
) ( S  _D  F ) ( ( S  _D  F ) `
 ( G `  C ) ) )
25 dvco.dg . . . 4  |-  ( ph  ->  C  e.  dom  ( T  _D  G ) )
26 dvfg 19662 . . . . . 6  |-  ( T  e.  { RR ,  CC }  ->  ( T  _D  G ) : dom  ( T  _D  G
) --> CC )
271, 26syl 16 . . . . 5  |-  ( ph  ->  ( T  _D  G
) : dom  ( T  _D  G ) --> CC )
28 ffun 5535 . . . . 5  |-  ( ( T  _D  G ) : dom  ( T  _D  G ) --> CC 
->  Fun  ( T  _D  G ) )
29 funfvbrb 5784 . . . . 5  |-  ( Fun  ( T  _D  G
)  ->  ( C  e.  dom  ( T  _D  G )  <->  C ( T  _D  G ) ( ( T  _D  G
) `  C )
) )
3027, 28, 293syl 19 . . . 4  |-  ( ph  ->  ( C  e.  dom  ( T  _D  G
)  <->  C ( T  _D  G ) ( ( T  _D  G ) `
 C ) ) )
3125, 30mpbid 202 . . 3  |-  ( ph  ->  C ( T  _D  G ) ( ( T  _D  G ) `
 C ) )
32 eqid 2389 . . 3  |-  ( TopOpen ` fld )  =  ( TopOpen ` fld )
335, 6, 7, 8, 11, 13, 15, 17, 24, 31, 32dvcobr 19701 . 2  |-  ( ph  ->  C ( T  _D  ( F  o.  G
) ) ( ( ( S  _D  F
) `  ( G `  C ) )  x.  ( ( T  _D  G ) `  C
) ) )
34 funbrfv 5706 . 2  |-  ( Fun  ( T  _D  ( F  o.  G )
)  ->  ( C
( T  _D  ( F  o.  G )
) ( ( ( S  _D  F ) `
 ( G `  C ) )  x.  ( ( T  _D  G ) `  C
) )  ->  (
( T  _D  ( F  o.  G )
) `  C )  =  ( ( ( S  _D  F ) `
 ( G `  C ) )  x.  ( ( T  _D  G ) `  C
) ) ) )
354, 33, 34sylc 58 1  |-  ( ph  ->  ( ( T  _D  ( F  o.  G
) ) `  C
)  =  ( ( ( S  _D  F
) `  ( G `  C ) )  x.  ( ( T  _D  G ) `  C
) ) )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    <-> wb 177    = wceq 1649    e. wcel 1717   _Vcvv 2901    C_ wss 3265   {cpr 3760   class class class wbr 4155   dom cdm 4820    o. ccom 4824   Fun wfun 5390   -->wf 5392   ` cfv 5396  (class class class)co 6022   CCcc 8923   RRcr 8924    x. cmul 8930   TopOpenctopn 13578  ℂfldccnfld 16628    _D cdv 19619
This theorem is referenced by:  dvcof  19703
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1552  ax-5 1563  ax-17 1623  ax-9 1661  ax-8 1682  ax-13 1719  ax-14 1721  ax-6 1736  ax-7 1741  ax-11 1753  ax-12 1939  ax-ext 2370  ax-rep 4263  ax-sep 4273  ax-nul 4281  ax-pow 4320  ax-pr 4346  ax-un 4643  ax-inf2 7531  ax-cnex 8981  ax-resscn 8982  ax-1cn 8983  ax-icn 8984  ax-addcl 8985  ax-addrcl 8986  ax-mulcl 8987  ax-mulrcl 8988  ax-mulcom 8989  ax-addass 8990  ax-mulass 8991  ax-distr 8992  ax-i2m1 8993  ax-1ne0 8994  ax-1rid 8995  ax-rnegex 8996  ax-rrecex 8997  ax-cnre 8998  ax-pre-lttri 8999  ax-pre-lttrn 9000  ax-pre-ltadd 9001  ax-pre-mulgt0 9002  ax-pre-sup 9003  ax-addf 9004  ax-mulf 9005
This theorem depends on definitions:  df-bi 178  df-or 360  df-an 361  df-3or 937  df-3an 938  df-tru 1325  df-ex 1548  df-nf 1551  df-sb 1656  df-eu 2244  df-mo 2245  df-clab 2376  df-cleq 2382  df-clel 2385  df-nfc 2514  df-ne 2554  df-nel 2555  df-ral 2656  df-rex 2657  df-reu 2658  df-rmo 2659  df-rab 2660  df-v 2903  df-sbc 3107  df-csb 3197  df-dif 3268  df-un 3270  df-in 3272  df-ss 3279  df-pss 3281  df-nul 3574  df-if 3685  df-pw 3746  df-sn 3765  df-pr 3766  df-tp 3767  df-op 3768  df-uni 3960  df-int 3995  df-iun 4039  df-iin 4040  df-br 4156  df-opab 4210  df-mpt 4211  df-tr 4246  df-eprel 4437  df-id 4441  df-po 4446  df-so 4447  df-fr 4484  df-se 4485  df-we 4486  df-ord 4527  df-on 4528  df-lim 4529  df-suc 4530  df-om 4788  df-xp 4826  df-rel 4827  df-cnv 4828  df-co 4829  df-dm 4830  df-rn 4831  df-res 4832  df-ima 4833  df-iota 5360  df-fun 5398  df-fn 5399  df-f 5400  df-f1 5401  df-fo 5402  df-f1o 5403  df-fv 5404  df-isom 5405  df-ov 6025  df-oprab 6026  df-mpt2 6027  df-of 6246  df-1st 6290  df-2nd 6291  df-riota 6487  df-recs 6571  df-rdg 6606  df-1o 6662  df-2o 6663  df-oadd 6666  df-er 6843  df-map 6958  df-pm 6959  df-ixp 7002  df-en 7048  df-dom 7049  df-sdom 7050  df-fin 7051  df-fi 7353  df-sup 7383  df-oi 7414  df-card 7761  df-cda 7983  df-pnf 9057  df-mnf 9058  df-xr 9059  df-ltxr 9060  df-le 9061  df-sub 9227  df-neg 9228  df-div 9612  df-nn 9935  df-2 9992  df-3 9993  df-4 9994  df-5 9995  df-6 9996  df-7 9997  df-8 9998  df-9 9999  df-10 10000  df-n0 10156  df-z 10217  df-dec 10317  df-uz 10423  df-q 10509  df-rp 10547  df-xneg 10644  df-xadd 10645  df-xmul 10646  df-icc 10857  df-fz 10978  df-fzo 11068  df-seq 11253  df-exp 11312  df-hash 11548  df-cj 11833  df-re 11834  df-im 11835  df-sqr 11969  df-abs 11970  df-struct 13400  df-ndx 13401  df-slot 13402  df-base 13403  df-sets 13404  df-ress 13405  df-plusg 13471  df-mulr 13472  df-starv 13473  df-sca 13474  df-vsca 13475  df-tset 13477  df-ple 13478  df-ds 13480  df-unif 13481  df-hom 13482  df-cco 13483  df-rest 13579  df-topn 13580  df-topgen 13596  df-pt 13597  df-prds 13600  df-xrs 13655  df-0g 13656  df-gsum 13657  df-qtop 13662  df-imas 13663  df-xps 13665  df-mre 13740  df-mrc 13741  df-acs 13743  df-mnd 14619  df-submnd 14668  df-mulg 14744  df-cntz 15045  df-cmn 15343  df-xmet 16621  df-met 16622  df-bl 16623  df-mopn 16624  df-fbas 16625  df-fg 16626  df-cnfld 16629  df-top 16888  df-bases 16890  df-topon 16891  df-topsp 16892  df-cld 17008  df-ntr 17009  df-cls 17010  df-nei 17087  df-lp 17125  df-perf 17126  df-cn 17215  df-cnp 17216  df-haus 17303  df-tx 17517  df-hmeo 17710  df-fil 17801  df-fm 17893  df-flim 17894  df-flf 17895  df-xms 18261  df-ms 18262  df-tms 18263  df-cncf 18781  df-limc 19622  df-dv 19623
  Copyright terms: Public domain W3C validator