Metamath Proof Explorer < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  dvcobr Unicode version

Theorem dvcobr 19295
 Description: The chain rule for derivatives at a point. (Contributed by Mario Carneiro, 9-Aug-2014.) (Revised by Mario Carneiro, 28-Dec-2016.)
Hypotheses
Ref Expression
dvco.f
dvco.x
dvco.g
dvco.y
dvcobr.s
dvcobr.t
dvco.k
dvco.l
dvco.bf
dvco.bg
dvco.j fld
Assertion
Ref Expression
dvcobr

Proof of Theorem dvcobr
Dummy variables are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 dvco.bg . . . 4
2 eqid 2283 . . . . 5 t t
3 dvco.j . . . . 5 fld
4 eqid 2283 . . . . 5
5 dvcobr.t . . . . 5
6 dvco.g . . . . . 6
7 dvco.x . . . . . . 7
8 dvcobr.s . . . . . . 7
97, 8sstrd 3189 . . . . . 6
10 fss 5397 . . . . . 6
116, 9, 10syl2anc 642 . . . . 5
12 dvco.y . . . . 5
132, 3, 4, 5, 11, 12eldv 19248 . . . 4 t lim
141, 13mpbid 201 . . 3 t lim
1514simpld 445 . 2 t
16 dvco.bf . . . . . . 7
17 dvco.f . . . . . . . 8
188, 17, 7dvcl 19249 . . . . . . 7
1916, 18mpdan 649 . . . . . 6
2019ad2antrr 706 . . . . 5
2117adantr 451 . . . . . . . . 9
22 eldifi 3298 . . . . . . . . . 10
23 ffvelrn 5663 . . . . . . . . . 10
246, 22, 23syl2an 463 . . . . . . . . 9
25 ffvelrn 5663 . . . . . . . . 9
2621, 24, 25syl2anc 642 . . . . . . . 8
2726adantr 451 . . . . . . 7
286adantr 451 . . . . . . . . . 10
295, 11, 12dvbss 19251 . . . . . . . . . . . 12
30 reldv 19220 . . . . . . . . . . . . 13
31 releldm 4911 . . . . . . . . . . . . 13
3230, 1, 31sylancr 644 . . . . . . . . . . . 12
3329, 32sseldd 3181 . . . . . . . . . . 11
3433adantr 451 . . . . . . . . . 10
35 ffvelrn 5663 . . . . . . . . . 10
3628, 34, 35syl2anc 642 . . . . . . . . 9
37 ffvelrn 5663 . . . . . . . . 9
3821, 36, 37syl2anc 642 . . . . . . . 8
3938adantr 451 . . . . . . 7
4027, 39subcld 9157 . . . . . 6
4111ad2antrr 706 . . . . . . . 8
4222ad2antlr 707 . . . . . . . 8
43 ffvelrn 5663 . . . . . . . 8
4441, 42, 43syl2anc 642 . . . . . . 7
4533ad2antrr 706 . . . . . . . 8
46 ffvelrn 5663 . . . . . . . 8
4741, 45, 46syl2anc 642 . . . . . . 7
4844, 47subcld 9157 . . . . . 6
49 simpr 447 . . . . . . 7
50 subeq0 9073 . . . . . . . . 9
5144, 47, 50syl2anc 642 . . . . . . . 8
5251necon3abid 2479 . . . . . . 7
5349, 52mpbird 223 . . . . . 6
5440, 48, 53divcld 9536 . . . . 5
5520, 54ifclda 3592 . . . 4
569adantr 451 . . . . . . 7
5756, 24sseldd 3181 . . . . . 6
5856, 36sseldd 3181 . . . . . 6
5957, 58subcld 9157 . . . . 5
6012, 5sstrd 3189 . . . . . . . 8
6160adantr 451 . . . . . . 7
6222adantl 452 . . . . . . 7
6361, 62sseldd 3181 . . . . . 6
6461, 34sseldd 3181 . . . . . 6
6563, 64subcld 9157 . . . . 5
66 eldifsni 3750 . . . . . . 7
6766adantl 452 . . . . . 6
68 subeq0 9073 . . . . . . . 8
6963, 64, 68syl2anc 642 . . . . . . 7
7069necon3bid 2481 . . . . . 6
7167, 70mpbird 223 . . . . 5
7259, 65, 71divcld 9536 . . . 4
73 ssid 3197 . . . . 5
7473a1i 10 . . . 4
753cnfldtopon 18292 . . . . . . 7 TopOn
76 txtopon 17286 . . . . . . 7 TopOn TopOn TopOn
7775, 75, 76mp2an 653 . . . . . 6 TopOn
7877toponunii 16670 . . . . . . 7
7978restid 13338 . . . . . 6 TopOn t
8077, 79ax-mp 8 . . . . 5 t
8180eqcomi 2287 . . . 4 t
8224anim1i 551 . . . . . . 7
83 eldifsn 3749 . . . . . . 7
8482, 83sylibr 203 . . . . . 6
8584anasss 628 . . . . 5
86 eldifsni 3750 . . . . . . . 8
87 ifnefalse 3573 . . . . . . . 8
8886, 87syl 15 . . . . . . 7
8988adantl 452 . . . . . 6
906, 33, 35syl2anc 642 . . . . . . 7
9117, 9, 90dvlem 19246 . . . . . 6
9289, 91eqeltrd 2357 . . . . 5
93 limcresi 19235 . . . . . . 7 lim lim
946feqmptd 5575 . . . . . . . . . 10
9594reseq1d 4954 . . . . . . . . 9
96 difss 3303 . . . . . . . . . 10
97 resmpt 5000 . . . . . . . . . 10
9896, 97ax-mp 8 . . . . . . . . 9
9995, 98syl6eq 2331 . . . . . . . 8
10099oveq1d 5873 . . . . . . 7 lim lim
10193, 100syl5sseq 3226 . . . . . 6 lim lim
102 eqid 2283 . . . . . . . . . 10 t t
103102, 3dvcnp2 19269 . . . . . . . . 9 t
1045, 11, 12, 32, 103syl31anc 1185 . . . . . . . 8 t
1053, 102cnplimc 19237 . . . . . . . . 9 t lim
10660, 33, 105syl2anc 642 . . . . . . . 8 t lim
107104, 106mpbid 201 . . . . . . 7 lim
108107simprd 449 . . . . . 6 lim
109101, 108sseldd 3181 . . . . 5 lim
110 eqid 2283 . . . . . . . . 9 t t
111 eqid 2283 . . . . . . . . 9
112110, 3, 111, 8, 17, 7eldv 19248 . . . . . . . 8 t lim
11316, 112mpbid 201 . . . . . . 7 t lim
114113simprd 449 . . . . . 6 lim
11588mpteq2ia 4102 . . . . . . 7
116115oveq1i 5868 . . . . . 6 lim lim
117114, 116syl6eleqr 2374 . . . . 5 lim
118 eqeq1 2289 . . . . . 6
119 fveq2 5525 . . . . . . . 8
120119oveq1d 5873 . . . . . . 7
121 oveq1 5865 . . . . . . 7
122120, 121oveq12d 5876 . . . . . 6
123118, 122ifbieq2d 3585 . . . . 5
124 iftrue 3571 . . . . . 6
125124ad2antll 709 . . . . 5
12685, 92, 109, 117, 123, 125limcco 19243 . . . 4 lim
12714simprd 449 . . . 4 lim
1283mulcn 18371 . . . . 5
1295, 11, 12dvcl 19249 . . . . . . 7
1301, 129mpdan 649 . . . . . 6
131 opelxpi 4721 . . . . . 6
13219, 130, 131syl2anc 642 . . . . 5
13378cncnpi 17007 . . . . 5
134128, 132, 133sylancr 644 . . . 4
13555, 72, 74, 74, 3, 81, 126, 127, 134limccnp2 19242 . . 3 lim
136 oveq1 5865 . . . . . . . 8
137136eqeq1d 2291 . . . . . . 7
138 oveq1 5865 . . . . . . . 8
139138eqeq1d 2291 . . . . . . 7
14020mul01d 9011 . . . . . . . 8
14157, 58, 50syl2anc 642 . . . . . . . . . . . 12
142141biimpar 471 . . . . . . . . . . 11
143142oveq1d 5873 . . . . . . . . . 10
14465, 71div0d 9535 . . . . . . . . . . 11
145144adantr 451 . . . . . . . . . 10
146143, 145eqtrd 2315 . . . . . . . . 9
147146oveq2d 5874 . . . . . . . 8
148 fveq2 5525 . . . . . . . . . . . 12
149 subeq0 9073 . . . . . . . . . . . . 13
15026, 38, 149syl2anc 642 . . . . . . . . . . . 12
151148, 150syl5ibr 212 . . . . . . . . . . 11
152151imp 418 . . . . . . . . . 10
153152oveq1d 5873 . . . . . . . . 9
154153, 145eqtrd 2315 . . . . . . . 8
155140, 147, 1543eqtr4d 2325 . . . . . . 7
15672adantr 451 . . . . . . . . 9
15754, 156mulcomd 8856 . . . . . . . 8
158 eqidd 2284 . . . . . . . . 9
159158oveq2d 5874 . . . . . . . 8
16059adantr 451 . . . . . . . . 9
16165adantr 451 . . . . . . . . 9
16271adantr 451 . . . . . . . . 9
16340, 160, 161, 53, 162dmdcand 9565 . . . . . . . 8
164157, 159, 1633eqtrd 2319 . . . . . . 7
165137, 139, 155, 164ifbothda 3595 . . . . . 6
166 fvco3 5596 . . . . . . . . 9
16728, 62, 166syl2anc 642 . . . . . . . 8
168 fvco3 5596 . . . . . . . . . 10
1696, 33, 168syl2anc 642 . . . . . . . . 9
170169adantr 451 . . . . . . . 8
171167, 170oveq12d 5876 . . . . . . 7
172171oveq1d 5873 . . . . . 6
173165, 172eqtr4d 2318 . . . . 5
174173mpteq2dva 4106 . . . 4
175174oveq1d 5873 . . 3 lim lim
176135, 175eleqtrd 2359 . 2 lim
177 eqid 2283 . . 3
178 fco 5398 . . . 4
17917, 6, 178syl2anc 642 . . 3
1802, 3, 177, 5, 179, 12eldv 19248 . 2 t lim
18115, 176, 180mpbir2and 888 1
 Colors of variables: wff set class Syntax hints:   wn 3   wi 4   wb 176   wa 358   wceq 1623   wcel 1684   wne 2446   cdif 3149   wss 3152  cif 3565  csn 3640  cop 3643   class class class wbr 4023   cmpt 4077   cxp 4687   cdm 4689   cres 4691   ccom 4693   wrel 4694  wf 5251  cfv 5255  (class class class)co 5858  cc 8735  cc0 8737   cmul 8742   cmin 9037   cdiv 9423   ↾t crest 13325  ctopn 13326  ℂfldccnfld 16377  TopOnctopon 16632  cnt 16754   ccn 16954   ccnp 16955   ctx 17255   lim climc 19212   cdv 19213 This theorem is referenced by:  dvco  19296  dvcof  19297  dvef  19327 This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1533  ax-5 1544  ax-17 1603  ax-9 1635  ax-8 1643  ax-13 1686  ax-14 1688  ax-6 1703  ax-7 1708  ax-11 1715  ax-12 1866  ax-ext 2264  ax-rep 4131  ax-sep 4141  ax-nul 4149  ax-pow 4188  ax-pr 4214  ax-un 4512  ax-inf2 7342  ax-cnex 8793  ax-resscn 8794  ax-1cn 8795  ax-icn 8796  ax-addcl 8797  ax-addrcl 8798  ax-mulcl 8799  ax-mulrcl 8800  ax-mulcom 8801  ax-addass 8802  ax-mulass 8803  ax-distr 8804  ax-i2m1 8805  ax-1ne0 8806  ax-1rid 8807  ax-rnegex 8808  ax-rrecex 8809  ax-cnre 8810  ax-pre-lttri 8811  ax-pre-lttrn 8812  ax-pre-ltadd 8813  ax-pre-mulgt0 8814  ax-pre-sup 8815  ax-addf 8816  ax-mulf 8817 This theorem depends on definitions:  df-bi 177  df-or 359  df-an 360  df-3or 935  df-3an 936  df-tru 1310  df-ex 1529  df-nf 1532  df-sb 1630  df-eu 2147  df-mo 2148  df-clab 2270  df-cleq 2276  df-clel 2279  df-nfc 2408  df-ne 2448  df-nel 2449  df-ral 2548  df-rex 2549  df-reu 2550  df-rmo 2551  df-rab 2552  df-v 2790  df-sbc 2992  df-csb 3082  df-dif 3155  df-un 3157  df-in 3159  df-ss 3166  df-pss 3168  df-nul 3456  df-if 3566  df-pw 3627  df-sn 3646  df-pr 3647  df-tp 3648  df-op 3649  df-uni 3828  df-int 3863  df-iun 3907  df-iin 3908  df-br 4024  df-opab 4078  df-mpt 4079  df-tr 4114  df-eprel 4305  df-id 4309  df-po 4314  df-so 4315  df-fr 4352  df-se 4353  df-we 4354  df-ord 4395  df-on 4396  df-lim 4397  df-suc 4398  df-om 4657  df-xp 4695  df-rel 4696  df-cnv 4697  df-co 4698  df-dm 4699  df-rn 4700  df-res 4701  df-ima 4702  df-iota 5219  df-fun 5257  df-fn 5258  df-f 5259  df-f1 5260  df-fo 5261  df-f1o 5262  df-fv 5263  df-isom 5264  df-ov 5861  df-oprab 5862  df-mpt2 5863  df-of 6078  df-1st 6122  df-2nd 6123  df-riota 6304  df-recs 6388  df-rdg 6423  df-1o 6479  df-2o 6480  df-oadd 6483  df-er 6660  df-map 6774  df-pm 6775  df-ixp 6818  df-en 6864  df-dom 6865  df-sdom 6866  df-fin 6867  df-fi 7165  df-sup 7194  df-oi 7225  df-card 7572  df-cda 7794  df-pnf 8869  df-mnf 8870  df-xr 8871  df-ltxr 8872  df-le 8873  df-sub 9039  df-neg 9040  df-div 9424  df-nn 9747  df-2 9804  df-3 9805  df-4 9806  df-5 9807  df-6 9808  df-7 9809  df-8 9810  df-9 9811  df-10 9812  df-n0 9966  df-z 10025  df-dec 10125  df-uz 10231  df-q 10317  df-rp 10355  df-xneg 10452  df-xadd 10453  df-xmul 10454  df-icc 10663  df-fz 10783  df-fzo 10871  df-seq 11047  df-exp 11105  df-hash 11338  df-cj 11584  df-re 11585  df-im 11586  df-sqr 11720  df-abs 11721  df-struct 13150  df-ndx 13151  df-slot 13152  df-base 13153  df-sets 13154  df-ress 13155  df-plusg 13221  df-mulr 13222  df-starv 13223  df-sca 13224  df-vsca 13225  df-tset 13227  df-ple 13228  df-ds 13230  df-hom 13232  df-cco 13233  df-rest 13327  df-topn 13328  df-topgen 13344  df-pt 13345  df-prds 13348  df-xrs 13403  df-0g 13404  df-gsum 13405  df-qtop 13410  df-imas 13411  df-xps 13413  df-mre 13488  df-mrc 13489  df-acs 13491  df-mnd 14367  df-submnd 14416  df-mulg 14492  df-cntz 14793  df-cmn 15091  df-xmet 16373  df-met 16374  df-bl 16375  df-mopn 16376  df-cnfld 16378  df-top 16636  df-bases 16638  df-topon 16639  df-topsp 16640  df-ntr 16757  df-cn 16957  df-cnp 16958  df-tx 17257  df-hmeo 17446  df-xms 17885  df-ms 17886  df-tms 17887  df-cncf 18382  df-limc 19216  df-dv 19217
 Copyright terms: Public domain W3C validator