Metamath Proof Explorer < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  dvcobr Structured version   Unicode version

Theorem dvcobr 19834
 Description: The chain rule for derivatives at a point. (Contributed by Mario Carneiro, 9-Aug-2014.) (Revised by Mario Carneiro, 28-Dec-2016.)
Hypotheses
Ref Expression
dvco.f
dvco.x
dvco.g
dvco.y
dvcobr.s
dvcobr.t
dvco.k
dvco.l
dvco.bf
dvco.bg
dvco.j fld
Assertion
Ref Expression
dvcobr

Proof of Theorem dvcobr
Dummy variables are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 dvco.bg . . . 4
2 eqid 2438 . . . . 5 t t
3 dvco.j . . . . 5 fld
4 eqid 2438 . . . . 5
5 dvcobr.t . . . . 5
6 dvco.g . . . . . 6
7 dvco.x . . . . . . 7
8 dvcobr.s . . . . . . 7
97, 8sstrd 3360 . . . . . 6
10 fss 5601 . . . . . 6
116, 9, 10syl2anc 644 . . . . 5
12 dvco.y . . . . 5
132, 3, 4, 5, 11, 12eldv 19787 . . . 4 t lim
141, 13mpbid 203 . . 3 t lim
1514simpld 447 . 2 t
16 dvco.bf . . . . . . 7
17 dvco.f . . . . . . . 8
188, 17, 7dvcl 19788 . . . . . . 7
1916, 18mpdan 651 . . . . . 6
2019ad2antrr 708 . . . . 5
2117adantr 453 . . . . . . . . 9
22 eldifi 3471 . . . . . . . . . 10
23 ffvelrn 5870 . . . . . . . . . 10
246, 22, 23syl2an 465 . . . . . . . . 9
2521, 24ffvelrnd 5873 . . . . . . . 8
2625adantr 453 . . . . . . 7
276adantr 453 . . . . . . . . . 10
285, 11, 12dvbss 19790 . . . . . . . . . . . 12
29 reldv 19759 . . . . . . . . . . . . 13
30 releldm 5104 . . . . . . . . . . . . 13
3129, 1, 30sylancr 646 . . . . . . . . . . . 12
3228, 31sseldd 3351 . . . . . . . . . . 11
3332adantr 453 . . . . . . . . . 10
3427, 33ffvelrnd 5873 . . . . . . . . 9
3521, 34ffvelrnd 5873 . . . . . . . 8
3635adantr 453 . . . . . . 7
3726, 36subcld 9413 . . . . . 6
3811ad2antrr 708 . . . . . . . 8
3922ad2antlr 709 . . . . . . . 8
4038, 39ffvelrnd 5873 . . . . . . 7
4132ad2antrr 708 . . . . . . . 8
4238, 41ffvelrnd 5873 . . . . . . 7
4340, 42subcld 9413 . . . . . 6
44 simpr 449 . . . . . . 7
4540, 42subeq0ad 9423 . . . . . . . 8
4645necon3abid 2636 . . . . . . 7
4744, 46mpbird 225 . . . . . 6
4837, 43, 47divcld 9792 . . . . 5
4920, 48ifclda 3768 . . . 4
5012, 5sstrd 3360 . . . . 5
5111, 50, 32dvlem 19785 . . . 4
52 ssid 3369 . . . . 5
5352a1i 11 . . . 4
543cnfldtopon 18819 . . . . . . 7 TopOn
55 txtopon 17625 . . . . . . 7 TopOn TopOn TopOn
5654, 54, 55mp2an 655 . . . . . 6 TopOn
5756toponunii 16999 . . . . . . 7
5857restid 13663 . . . . . 6 TopOn t
5956, 58ax-mp 8 . . . . 5 t
6059eqcomi 2442 . . . 4 t
6124anim1i 553 . . . . . . 7
62 eldifsn 3929 . . . . . . 7
6361, 62sylibr 205 . . . . . 6
6463anasss 630 . . . . 5
65 eldifsni 3930 . . . . . . . 8
66 ifnefalse 3749 . . . . . . . 8
6765, 66syl 16 . . . . . . 7
6867adantl 454 . . . . . 6
696, 32ffvelrnd 5873 . . . . . . 7
7017, 9, 69dvlem 19785 . . . . . 6
7168, 70eqeltrd 2512 . . . . 5
72 limcresi 19774 . . . . . . 7 lim lim
736feqmptd 5781 . . . . . . . . . 10
7473reseq1d 5147 . . . . . . . . 9
75 difss 3476 . . . . . . . . . 10
76 resmpt 5193 . . . . . . . . . 10
7775, 76ax-mp 8 . . . . . . . . 9
7874, 77syl6eq 2486 . . . . . . . 8
7978oveq1d 6098 . . . . . . 7 lim lim
8072, 79syl5sseq 3398 . . . . . 6 lim lim
81 eqid 2438 . . . . . . . . . 10 t t
8281, 3dvcnp2 19808 . . . . . . . . 9 t
835, 11, 12, 31, 82syl31anc 1188 . . . . . . . 8 t
843, 81cnplimc 19776 . . . . . . . . 9 t lim
8550, 32, 84syl2anc 644 . . . . . . . 8 t lim
8683, 85mpbid 203 . . . . . . 7 lim
8786simprd 451 . . . . . 6 lim
8880, 87sseldd 3351 . . . . 5 lim
89 eqid 2438 . . . . . . . . 9 t t
90 eqid 2438 . . . . . . . . 9
9189, 3, 90, 8, 17, 7eldv 19787 . . . . . . . 8 t lim
9216, 91mpbid 203 . . . . . . 7 t lim
9392simprd 451 . . . . . 6 lim
9467mpteq2ia 4293 . . . . . . 7
9594oveq1i 6093 . . . . . 6 lim lim
9693, 95syl6eleqr 2529 . . . . 5 lim
97 eqeq1 2444 . . . . . 6
98 fveq2 5730 . . . . . . . 8
9998oveq1d 6098 . . . . . . 7
100 oveq1 6090 . . . . . . 7
10199, 100oveq12d 6101 . . . . . 6
10297, 101ifbieq2d 3761 . . . . 5
103 iftrue 3747 . . . . . 6
104103ad2antll 711 . . . . 5
10564, 71, 88, 96, 102, 104limcco 19782 . . . 4 lim
10614simprd 451 . . . 4 lim
1073mulcn 18899 . . . . 5
1085, 11, 12dvcl 19788 . . . . . . 7
1091, 108mpdan 651 . . . . . 6
110 opelxpi 4912 . . . . . 6
11119, 109, 110syl2anc 644 . . . . 5
11257cncnpi 17344 . . . . 5
113107, 111, 112sylancr 646 . . . 4
11449, 51, 53, 53, 3, 60, 105, 106, 113limccnp2 19781 . . 3 lim
115 oveq1 6090 . . . . . . . 8
116115eqeq1d 2446 . . . . . . 7
117 oveq1 6090 . . . . . . . 8
118117eqeq1d 2446 . . . . . . 7
11920mul01d 9267 . . . . . . . 8
1209adantr 453 . . . . . . . . . . . . . 14
121120, 24sseldd 3351 . . . . . . . . . . . . 13
122120, 34sseldd 3351 . . . . . . . . . . . . 13
123121, 122subeq0ad 9423 . . . . . . . . . . . 12
124123biimpar 473 . . . . . . . . . . 11
125124oveq1d 6098 . . . . . . . . . 10
12650adantr 453 . . . . . . . . . . . . . 14
12722adantl 454 . . . . . . . . . . . . . 14
128126, 127sseldd 3351 . . . . . . . . . . . . 13
129126, 33sseldd 3351 . . . . . . . . . . . . 13
130128, 129subcld 9413 . . . . . . . . . . . 12
131 eldifsni 3930 . . . . . . . . . . . . . 14
132131adantl 454 . . . . . . . . . . . . 13
133128, 129, 132subne0d 9422 . . . . . . . . . . . 12
134130, 133div0d 9791 . . . . . . . . . . 11
135134adantr 453 . . . . . . . . . 10
136125, 135eqtrd 2470 . . . . . . . . 9
137136oveq2d 6099 . . . . . . . 8
138 fveq2 5730 . . . . . . . . . . . 12
13925, 35subeq0ad 9423 . . . . . . . . . . . 12
140138, 139syl5ibr 214 . . . . . . . . . . 11
141140imp 420 . . . . . . . . . 10
142141oveq1d 6098 . . . . . . . . 9
143142, 135eqtrd 2470 . . . . . . . 8
144119, 137, 1433eqtr4d 2480 . . . . . . 7
145130adantr 453 . . . . . . . 8
146133adantr 453 . . . . . . . 8
14737, 43, 145, 47, 146dmdcan2d 9822 . . . . . . 7
148116, 118, 144, 147ifbothda 3771 . . . . . 6
149 fvco3 5802 . . . . . . . . 9
1506, 22, 149syl2an 465 . . . . . . . 8
151 fvco3 5802 . . . . . . . . . 10
1526, 32, 151syl2anc 644 . . . . . . . . 9
153152adantr 453 . . . . . . . 8
154150, 153oveq12d 6101 . . . . . . 7
155154oveq1d 6098 . . . . . 6
156148, 155eqtr4d 2473 . . . . 5
157156mpteq2dva 4297 . . . 4
158157oveq1d 6098 . . 3 lim lim
159114, 158eleqtrd 2514 . 2 lim
160 eqid 2438 . . 3
161 fco 5602 . . . 4
16217, 6, 161syl2anc 644 . . 3
1632, 3, 160, 5, 162, 12eldv 19787 . 2 t lim
16415, 159, 163mpbir2and 890 1
 Colors of variables: wff set class Syntax hints:   wn 3   wi 4   wb 178   wa 360   wceq 1653   wcel 1726   wne 2601   cdif 3319   wss 3322  cif 3741  csn 3816  cop 3819   class class class wbr 4214   cmpt 4268   cxp 4878   cdm 4880   cres 4882   ccom 4884   wrel 4885  wf 5452  cfv 5456  (class class class)co 6083  cc 8990  cc0 8992   cmul 8997   cmin 9293   cdiv 9679   ↾t crest 13650  ctopn 13651  ℂfldccnfld 16705  TopOnctopon 16961  cnt 17083   ccn 17290   ccnp 17291   ctx 17594   lim climc 19751   cdv 19752 This theorem is referenced by:  dvco  19835  dvcof  19836  dvef  19866 This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1556  ax-5 1567  ax-17 1627  ax-9 1667  ax-8 1688  ax-13 1728  ax-14 1730  ax-6 1745  ax-7 1750  ax-11 1762  ax-12 1951  ax-ext 2419  ax-rep 4322  ax-sep 4332  ax-nul 4340  ax-pow 4379  ax-pr 4405  ax-un 4703  ax-inf2 7598  ax-cnex 9048  ax-resscn 9049  ax-1cn 9050  ax-icn 9051  ax-addcl 9052  ax-addrcl 9053  ax-mulcl 9054  ax-mulrcl 9055  ax-mulcom 9056  ax-addass 9057  ax-mulass 9058  ax-distr 9059  ax-i2m1 9060  ax-1ne0 9061  ax-1rid 9062  ax-rnegex 9063  ax-rrecex 9064  ax-cnre 9065  ax-pre-lttri 9066  ax-pre-lttrn 9067  ax-pre-ltadd 9068  ax-pre-mulgt0 9069  ax-pre-sup 9070  ax-addf 9071  ax-mulf 9072 This theorem depends on definitions:  df-bi 179  df-or 361  df-an 362  df-3or 938  df-3an 939  df-tru 1329  df-ex 1552  df-nf 1555  df-sb 1660  df-eu 2287  df-mo 2288  df-clab 2425  df-cleq 2431  df-clel 2434  df-nfc 2563  df-ne 2603  df-nel 2604  df-ral 2712  df-rex 2713  df-reu 2714  df-rmo 2715  df-rab 2716  df-v 2960  df-sbc 3164  df-csb 3254  df-dif 3325  df-un 3327  df-in 3329  df-ss 3336  df-pss 3338  df-nul 3631  df-if 3742  df-pw 3803  df-sn 3822  df-pr 3823  df-tp 3824  df-op 3825  df-uni 4018  df-int 4053  df-iun 4097  df-iin 4098  df-br 4215  df-opab 4269  df-mpt 4270  df-tr 4305  df-eprel 4496  df-id 4500  df-po 4505  df-so 4506  df-fr 4543  df-se 4544  df-we 4545  df-ord 4586  df-on 4587  df-lim 4588  df-suc 4589  df-om 4848  df-xp 4886  df-rel 4887  df-cnv 4888  df-co 4889  df-dm 4890  df-rn 4891  df-res 4892  df-ima 4893  df-iota 5420  df-fun 5458  df-fn 5459  df-f 5460  df-f1 5461  df-fo 5462  df-f1o 5463  df-fv 5464  df-isom 5465  df-ov 6086  df-oprab 6087  df-mpt2 6088  df-of 6307  df-1st 6351  df-2nd 6352  df-riota 6551  df-recs 6635  df-rdg 6670  df-1o 6726  df-2o 6727  df-oadd 6730  df-er 6907  df-map 7022  df-pm 7023  df-ixp 7066  df-en 7112  df-dom 7113  df-sdom 7114  df-fin 7115  df-fi 7418  df-sup 7448  df-oi 7481  df-card 7828  df-cda 8050  df-pnf 9124  df-mnf 9125  df-xr 9126  df-ltxr 9127  df-le 9128  df-sub 9295  df-neg 9296  df-div 9680  df-nn 10003  df-2 10060  df-3 10061  df-4 10062  df-5 10063  df-6 10064  df-7 10065  df-8 10066  df-9 10067  df-10 10068  df-n0 10224  df-z 10285  df-dec 10385  df-uz 10491  df-q 10577  df-rp 10615  df-xneg 10712  df-xadd 10713  df-xmul 10714  df-icc 10925  df-fz 11046  df-fzo 11138  df-seq 11326  df-exp 11385  df-hash 11621  df-cj 11906  df-re 11907  df-im 11908  df-sqr 12042  df-abs 12043  df-struct 13473  df-ndx 13474  df-slot 13475  df-base 13476  df-sets 13477  df-ress 13478  df-plusg 13544  df-mulr 13545  df-starv 13546  df-sca 13547  df-vsca 13548  df-tset 13550  df-ple 13551  df-ds 13553  df-unif 13554  df-hom 13555  df-cco 13556  df-rest 13652  df-topn 13653  df-topgen 13669  df-pt 13670  df-prds 13673  df-xrs 13728  df-0g 13729  df-gsum 13730  df-qtop 13735  df-imas 13736  df-xps 13738  df-mre 13813  df-mrc 13814  df-acs 13816  df-mnd 14692  df-submnd 14741  df-mulg 14817  df-cntz 15118  df-cmn 15416  df-psmet 16696  df-xmet 16697  df-met 16698  df-bl 16699  df-mopn 16700  df-cnfld 16706  df-top 16965  df-bases 16967  df-topon 16968  df-topsp 16969  df-ntr 17086  df-cn 17293  df-cnp 17294  df-tx 17596  df-hmeo 17789  df-xms 18352  df-ms 18353  df-tms 18354  df-cncf 18910  df-limc 19755  df-dv 19756
 Copyright terms: Public domain W3C validator