MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  dvds0 Unicode version

Theorem dvds0 12591
Description: Any integer divides 0. (Contributed by Paul Chapman, 21-Mar-2011.)
Assertion
Ref Expression
dvds0  |-  ( N  e.  ZZ  ->  N  ||  0 )

Proof of Theorem dvds0
StepHypRef Expression
1 zcn 10076 . . 3  |-  ( N  e.  ZZ  ->  N  e.  CC )
21mul02d 9055 . 2  |-  ( N  e.  ZZ  ->  (
0  x.  N )  =  0 )
3 0z 10082 . . 3  |-  0  e.  ZZ
4 dvds0lem 12586 . . . 4  |-  ( ( ( 0  e.  ZZ  /\  N  e.  ZZ  /\  0  e.  ZZ )  /\  ( 0  x.  N
)  =  0 )  ->  N  ||  0
)
54ex 423 . . 3  |-  ( ( 0  e.  ZZ  /\  N  e.  ZZ  /\  0  e.  ZZ )  ->  (
( 0  x.  N
)  =  0  ->  N  ||  0 ) )
63, 3, 5mp3an13 1268 . 2  |-  ( N  e.  ZZ  ->  (
( 0  x.  N
)  =  0  ->  N  ||  0 ) )
72, 6mpd 14 1  |-  ( N  e.  ZZ  ->  N  ||  0 )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    /\ w3a 934    = wceq 1633    e. wcel 1701   class class class wbr 4060  (class class class)co 5900   0cc0 8782    x. cmul 8787   ZZcz 10071    || cdivides 12578
This theorem is referenced by:  0dvds  12596  fsumdvds  12619  alzdvds  12625  fzo0dvdseq  12628  bitsfzo  12673  bitsmod  12674  bitsinv1lem  12679  sadadd3  12699  gcddvds  12741  gcd0id  12749  bezoutlem4  12767  dvdssq  12786  mulgcddvds  12830  odzdvds  12907  pcdvdsb  12968  pcz  12980  sylow2blem3  14982  odadd1  15189  odadd2  15190  cyggex2  15232  ppiublem2  20495  lgsdir2lem3  20617  lgsne0  20625  lgsqr  20638  eupath2lem3  24187  eupath2  24188  nn0prpw  25388  congid  26206  jm2.18  26229  jm2.19  26234  jm2.22  26236  jm2.23  26237
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1537  ax-5 1548  ax-17 1607  ax-9 1645  ax-8 1666  ax-13 1703  ax-14 1705  ax-6 1720  ax-7 1725  ax-11 1732  ax-12 1897  ax-ext 2297  ax-sep 4178  ax-nul 4186  ax-pow 4225  ax-pr 4251  ax-un 4549  ax-resscn 8839  ax-1cn 8840  ax-icn 8841  ax-addcl 8842  ax-addrcl 8843  ax-mulcl 8844  ax-mulrcl 8845  ax-mulcom 8846  ax-addass 8847  ax-mulass 8848  ax-distr 8849  ax-i2m1 8850  ax-1ne0 8851  ax-1rid 8852  ax-rnegex 8853  ax-rrecex 8854  ax-cnre 8855  ax-pre-lttri 8856  ax-pre-lttrn 8857  ax-pre-ltadd 8858
This theorem depends on definitions:  df-bi 177  df-or 359  df-an 360  df-3or 935  df-3an 936  df-tru 1310  df-ex 1533  df-nf 1536  df-sb 1640  df-eu 2180  df-mo 2181  df-clab 2303  df-cleq 2309  df-clel 2312  df-nfc 2441  df-ne 2481  df-nel 2482  df-ral 2582  df-rex 2583  df-rab 2586  df-v 2824  df-sbc 3026  df-csb 3116  df-dif 3189  df-un 3191  df-in 3193  df-ss 3200  df-nul 3490  df-if 3600  df-pw 3661  df-sn 3680  df-pr 3681  df-op 3683  df-uni 3865  df-br 4061  df-opab 4115  df-mpt 4116  df-id 4346  df-po 4351  df-so 4352  df-xp 4732  df-rel 4733  df-cnv 4734  df-co 4735  df-dm 4736  df-rn 4737  df-res 4738  df-ima 4739  df-iota 5256  df-fun 5294  df-fn 5295  df-f 5296  df-f1 5297  df-fo 5298  df-f1o 5299  df-fv 5300  df-ov 5903  df-er 6702  df-en 6907  df-dom 6908  df-sdom 6909  df-pnf 8914  df-mnf 8915  df-ltxr 8917  df-neg 9085  df-z 10072  df-dvds 12579
  Copyright terms: Public domain W3C validator