MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  dvds1 Structured version   Unicode version

Theorem dvds1 12890
Description: The only nonnegative integer that divides 1 is 1. (Contributed by Mario Carneiro, 2-Jul-2015.)
Assertion
Ref Expression
dvds1  |-  ( M  e.  NN0  ->  ( M 
||  1  <->  M  = 
1 ) )

Proof of Theorem dvds1
StepHypRef Expression
1 simpl 444 . . . 4  |-  ( ( M  e.  NN0  /\  M  ||  1 )  ->  M  e.  NN0 )
2 1nn0 10229 . . . . 5  |-  1  e.  NN0
32a1i 11 . . . 4  |-  ( ( M  e.  NN0  /\  M  ||  1 )  -> 
1  e.  NN0 )
4 simpr 448 . . . 4  |-  ( ( M  e.  NN0  /\  M  ||  1 )  ->  M  ||  1 )
5 nn0z 10296 . . . . . 6  |-  ( M  e.  NN0  ->  M  e.  ZZ )
6 1dvds 12856 . . . . . 6  |-  ( M  e.  ZZ  ->  1  ||  M )
75, 6syl 16 . . . . 5  |-  ( M  e.  NN0  ->  1  ||  M )
87adantr 452 . . . 4  |-  ( ( M  e.  NN0  /\  M  ||  1 )  -> 
1  ||  M )
9 dvdseq 12889 . . . 4  |-  ( ( ( M  e.  NN0  /\  1  e.  NN0 )  /\  ( M  ||  1  /\  1  ||  M ) )  ->  M  = 
1 )
101, 3, 4, 8, 9syl22anc 1185 . . 3  |-  ( ( M  e.  NN0  /\  M  ||  1 )  ->  M  =  1 )
1110ex 424 . 2  |-  ( M  e.  NN0  ->  ( M 
||  1  ->  M  =  1 ) )
12 id 20 . . 3  |-  ( M  =  1  ->  M  =  1 )
13 1z 10303 . . . 4  |-  1  e.  ZZ
14 iddvds 12855 . . . 4  |-  ( 1  e.  ZZ  ->  1  ||  1 )
1513, 14ax-mp 8 . . 3  |-  1  ||  1
1612, 15syl6eqbr 4241 . 2  |-  ( M  =  1  ->  M  ||  1 )
1711, 16impbid1 195 1  |-  ( M  e.  NN0  ->  ( M 
||  1  <->  M  = 
1 ) )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    <-> wb 177    /\ wa 359    = wceq 1652    e. wcel 1725   class class class wbr 4204   1c1 8983   NN0cn0 10213   ZZcz 10274    || cdivides 12844
This theorem is referenced by:  1nprm  13076  rpmulgcd2  13097  nprmdvds1  13103  rpmul  13115  expnprm  13263  ablfacrp  15616  chrnzr  16803  znunit  16836  znrrg  16838
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1555  ax-5 1566  ax-17 1626  ax-9 1666  ax-8 1687  ax-13 1727  ax-14 1729  ax-6 1744  ax-7 1749  ax-11 1761  ax-12 1950  ax-ext 2416  ax-sep 4322  ax-nul 4330  ax-pow 4369  ax-pr 4395  ax-un 4693  ax-resscn 9039  ax-1cn 9040  ax-icn 9041  ax-addcl 9042  ax-addrcl 9043  ax-mulcl 9044  ax-mulrcl 9045  ax-mulcom 9046  ax-addass 9047  ax-mulass 9048  ax-distr 9049  ax-i2m1 9050  ax-1ne0 9051  ax-1rid 9052  ax-rnegex 9053  ax-rrecex 9054  ax-cnre 9055  ax-pre-lttri 9056  ax-pre-lttrn 9057  ax-pre-ltadd 9058  ax-pre-mulgt0 9059
This theorem depends on definitions:  df-bi 178  df-or 360  df-an 361  df-3or 937  df-3an 938  df-tru 1328  df-ex 1551  df-nf 1554  df-sb 1659  df-eu 2284  df-mo 2285  df-clab 2422  df-cleq 2428  df-clel 2431  df-nfc 2560  df-ne 2600  df-nel 2601  df-ral 2702  df-rex 2703  df-reu 2704  df-rab 2706  df-v 2950  df-sbc 3154  df-csb 3244  df-dif 3315  df-un 3317  df-in 3319  df-ss 3326  df-pss 3328  df-nul 3621  df-if 3732  df-pw 3793  df-sn 3812  df-pr 3813  df-tp 3814  df-op 3815  df-uni 4008  df-iun 4087  df-br 4205  df-opab 4259  df-mpt 4260  df-tr 4295  df-eprel 4486  df-id 4490  df-po 4495  df-so 4496  df-fr 4533  df-we 4535  df-ord 4576  df-on 4577  df-lim 4578  df-suc 4579  df-om 4838  df-xp 4876  df-rel 4877  df-cnv 4878  df-co 4879  df-dm 4880  df-rn 4881  df-res 4882  df-ima 4883  df-iota 5410  df-fun 5448  df-fn 5449  df-f 5450  df-f1 5451  df-fo 5452  df-f1o 5453  df-fv 5454  df-ov 6076  df-oprab 6077  df-mpt2 6078  df-riota 6541  df-recs 6625  df-rdg 6660  df-er 6897  df-en 7102  df-dom 7103  df-sdom 7104  df-pnf 9114  df-mnf 9115  df-xr 9116  df-ltxr 9117  df-le 9118  df-sub 9285  df-neg 9286  df-nn 9993  df-n0 10214  df-z 10275  df-dvds 12845
  Copyright terms: Public domain W3C validator