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Theorem dvds2ln 12559
Description: If an integer divides each of two other integers, it divides any linear combination of them. (Contributed by Paul Chapman, 21-Mar-2011.)
Assertion
Ref Expression
dvds2ln  |-  ( ( ( I  e.  ZZ  /\  J  e.  ZZ )  /\  ( K  e.  ZZ  /\  M  e.  ZZ  /\  N  e.  ZZ ) )  -> 
( ( K  ||  M  /\  K  ||  N
)  ->  K  ||  (
( I  x.  M
)  +  ( J  x.  N ) ) ) )

Proof of Theorem dvds2ln
Dummy variables  x  y are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 simpr1 961 . . 3  |-  ( ( ( I  e.  ZZ  /\  J  e.  ZZ )  /\  ( K  e.  ZZ  /\  M  e.  ZZ  /\  N  e.  ZZ ) )  ->  K  e.  ZZ )
2 simpr2 962 . . 3  |-  ( ( ( I  e.  ZZ  /\  J  e.  ZZ )  /\  ( K  e.  ZZ  /\  M  e.  ZZ  /\  N  e.  ZZ ) )  ->  M  e.  ZZ )
31, 2jca 518 . 2  |-  ( ( ( I  e.  ZZ  /\  J  e.  ZZ )  /\  ( K  e.  ZZ  /\  M  e.  ZZ  /\  N  e.  ZZ ) )  -> 
( K  e.  ZZ  /\  M  e.  ZZ ) )
4 simpr3 963 . . 3  |-  ( ( ( I  e.  ZZ  /\  J  e.  ZZ )  /\  ( K  e.  ZZ  /\  M  e.  ZZ  /\  N  e.  ZZ ) )  ->  N  e.  ZZ )
51, 4jca 518 . 2  |-  ( ( ( I  e.  ZZ  /\  J  e.  ZZ )  /\  ( K  e.  ZZ  /\  M  e.  ZZ  /\  N  e.  ZZ ) )  -> 
( K  e.  ZZ  /\  N  e.  ZZ ) )
6 simpll 730 . . . . 5  |-  ( ( ( I  e.  ZZ  /\  J  e.  ZZ )  /\  ( K  e.  ZZ  /\  M  e.  ZZ  /\  N  e.  ZZ ) )  ->  I  e.  ZZ )
76, 2zmulcld 10123 . . . 4  |-  ( ( ( I  e.  ZZ  /\  J  e.  ZZ )  /\  ( K  e.  ZZ  /\  M  e.  ZZ  /\  N  e.  ZZ ) )  -> 
( I  x.  M
)  e.  ZZ )
8 simplr 731 . . . . 5  |-  ( ( ( I  e.  ZZ  /\  J  e.  ZZ )  /\  ( K  e.  ZZ  /\  M  e.  ZZ  /\  N  e.  ZZ ) )  ->  J  e.  ZZ )
98, 4zmulcld 10123 . . . 4  |-  ( ( ( I  e.  ZZ  /\  J  e.  ZZ )  /\  ( K  e.  ZZ  /\  M  e.  ZZ  /\  N  e.  ZZ ) )  -> 
( J  x.  N
)  e.  ZZ )
107, 9zaddcld 10121 . . 3  |-  ( ( ( I  e.  ZZ  /\  J  e.  ZZ )  /\  ( K  e.  ZZ  /\  M  e.  ZZ  /\  N  e.  ZZ ) )  -> 
( ( I  x.  M )  +  ( J  x.  N ) )  e.  ZZ )
111, 10jca 518 . 2  |-  ( ( ( I  e.  ZZ  /\  J  e.  ZZ )  /\  ( K  e.  ZZ  /\  M  e.  ZZ  /\  N  e.  ZZ ) )  -> 
( K  e.  ZZ  /\  ( ( I  x.  M )  +  ( J  x.  N ) )  e.  ZZ ) )
12 zmulcl 10066 . . . . . . . 8  |-  ( ( x  e.  ZZ  /\  I  e.  ZZ )  ->  ( x  x.  I
)  e.  ZZ )
13 zmulcl 10066 . . . . . . . 8  |-  ( ( y  e.  ZZ  /\  J  e.  ZZ )  ->  ( y  x.  J
)  e.  ZZ )
1412, 13anim12i 549 . . . . . . 7  |-  ( ( ( x  e.  ZZ  /\  I  e.  ZZ )  /\  ( y  e.  ZZ  /\  J  e.  ZZ ) )  -> 
( ( x  x.  I )  e.  ZZ  /\  ( y  x.  J
)  e.  ZZ ) )
1514an4s 799 . . . . . 6  |-  ( ( ( x  e.  ZZ  /\  y  e.  ZZ )  /\  ( I  e.  ZZ  /\  J  e.  ZZ ) )  -> 
( ( x  x.  I )  e.  ZZ  /\  ( y  x.  J
)  e.  ZZ ) )
1615expcom 424 . . . . 5  |-  ( ( I  e.  ZZ  /\  J  e.  ZZ )  ->  ( ( x  e.  ZZ  /\  y  e.  ZZ )  ->  (
( x  x.  I
)  e.  ZZ  /\  ( y  x.  J
)  e.  ZZ ) ) )
1716adantr 451 . . . 4  |-  ( ( ( I  e.  ZZ  /\  J  e.  ZZ )  /\  ( K  e.  ZZ  /\  M  e.  ZZ  /\  N  e.  ZZ ) )  -> 
( ( x  e.  ZZ  /\  y  e.  ZZ )  ->  (
( x  x.  I
)  e.  ZZ  /\  ( y  x.  J
)  e.  ZZ ) ) )
1817imp 418 . . 3  |-  ( ( ( ( I  e.  ZZ  /\  J  e.  ZZ )  /\  ( K  e.  ZZ  /\  M  e.  ZZ  /\  N  e.  ZZ ) )  /\  ( x  e.  ZZ  /\  y  e.  ZZ ) )  ->  ( (
x  x.  I )  e.  ZZ  /\  (
y  x.  J )  e.  ZZ ) )
19 zaddcl 10059 . . 3  |-  ( ( ( x  x.  I
)  e.  ZZ  /\  ( y  x.  J
)  e.  ZZ )  ->  ( ( x  x.  I )  +  ( y  x.  J
) )  e.  ZZ )
2018, 19syl 15 . 2  |-  ( ( ( ( I  e.  ZZ  /\  J  e.  ZZ )  /\  ( K  e.  ZZ  /\  M  e.  ZZ  /\  N  e.  ZZ ) )  /\  ( x  e.  ZZ  /\  y  e.  ZZ ) )  ->  ( (
x  x.  I )  +  ( y  x.  J ) )  e.  ZZ )
21 zcn 10029 . . . . . . . 8  |-  ( ( x  x.  I )  e.  ZZ  ->  (
x  x.  I )  e.  CC )
22 zcn 10029 . . . . . . . 8  |-  ( ( y  x.  J )  e.  ZZ  ->  (
y  x.  J )  e.  CC )
2321, 22anim12i 549 . . . . . . 7  |-  ( ( ( x  x.  I
)  e.  ZZ  /\  ( y  x.  J
)  e.  ZZ )  ->  ( ( x  x.  I )  e.  CC  /\  ( y  x.  J )  e.  CC ) )
2418, 23syl 15 . . . . . 6  |-  ( ( ( ( I  e.  ZZ  /\  J  e.  ZZ )  /\  ( K  e.  ZZ  /\  M  e.  ZZ  /\  N  e.  ZZ ) )  /\  ( x  e.  ZZ  /\  y  e.  ZZ ) )  ->  ( (
x  x.  I )  e.  CC  /\  (
y  x.  J )  e.  CC ) )
251zcnd 10118 . . . . . . 7  |-  ( ( ( I  e.  ZZ  /\  J  e.  ZZ )  /\  ( K  e.  ZZ  /\  M  e.  ZZ  /\  N  e.  ZZ ) )  ->  K  e.  CC )
2625adantr 451 . . . . . 6  |-  ( ( ( ( I  e.  ZZ  /\  J  e.  ZZ )  /\  ( K  e.  ZZ  /\  M  e.  ZZ  /\  N  e.  ZZ ) )  /\  ( x  e.  ZZ  /\  y  e.  ZZ ) )  ->  K  e.  CC )
27 adddir 8830 . . . . . . 7  |-  ( ( ( x  x.  I
)  e.  CC  /\  ( y  x.  J
)  e.  CC  /\  K  e.  CC )  ->  ( ( ( x  x.  I )  +  ( y  x.  J
) )  x.  K
)  =  ( ( ( x  x.  I
)  x.  K )  +  ( ( y  x.  J )  x.  K ) ) )
28273expa 1151 . . . . . 6  |-  ( ( ( ( x  x.  I )  e.  CC  /\  ( y  x.  J
)  e.  CC )  /\  K  e.  CC )  ->  ( ( ( x  x.  I )  +  ( y  x.  J ) )  x.  K )  =  ( ( ( x  x.  I )  x.  K
)  +  ( ( y  x.  J )  x.  K ) ) )
2924, 26, 28syl2anc 642 . . . . 5  |-  ( ( ( ( I  e.  ZZ  /\  J  e.  ZZ )  /\  ( K  e.  ZZ  /\  M  e.  ZZ  /\  N  e.  ZZ ) )  /\  ( x  e.  ZZ  /\  y  e.  ZZ ) )  ->  ( (
( x  x.  I
)  +  ( y  x.  J ) )  x.  K )  =  ( ( ( x  x.  I )  x.  K )  +  ( ( y  x.  J
)  x.  K ) ) )
30 zcn 10029 . . . . . . . . 9  |-  ( x  e.  ZZ  ->  x  e.  CC )
3130adantr 451 . . . . . . . 8  |-  ( ( x  e.  ZZ  /\  y  e.  ZZ )  ->  x  e.  CC )
3231adantl 452 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ( I  e.  ZZ  /\  J  e.  ZZ )  /\  ( K  e.  ZZ  /\  M  e.  ZZ  /\  N  e.  ZZ ) )  /\  ( x  e.  ZZ  /\  y  e.  ZZ ) )  ->  x  e.  CC )
33 zcn 10029 . . . . . . . 8  |-  ( I  e.  ZZ  ->  I  e.  CC )
3433ad3antrrr 710 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ( I  e.  ZZ  /\  J  e.  ZZ )  /\  ( K  e.  ZZ  /\  M  e.  ZZ  /\  N  e.  ZZ ) )  /\  ( x  e.  ZZ  /\  y  e.  ZZ ) )  ->  I  e.  CC )
3532, 34, 26mul32d 9022 . . . . . 6  |-  ( ( ( ( I  e.  ZZ  /\  J  e.  ZZ )  /\  ( K  e.  ZZ  /\  M  e.  ZZ  /\  N  e.  ZZ ) )  /\  ( x  e.  ZZ  /\  y  e.  ZZ ) )  ->  ( (
x  x.  I )  x.  K )  =  ( ( x  x.  K )  x.  I
) )
36 zcn 10029 . . . . . . . . 9  |-  ( y  e.  ZZ  ->  y  e.  CC )
3736adantl 452 . . . . . . . 8  |-  ( ( x  e.  ZZ  /\  y  e.  ZZ )  ->  y  e.  CC )
3837adantl 452 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ( I  e.  ZZ  /\  J  e.  ZZ )  /\  ( K  e.  ZZ  /\  M  e.  ZZ  /\  N  e.  ZZ ) )  /\  ( x  e.  ZZ  /\  y  e.  ZZ ) )  ->  y  e.  CC )
398zcnd 10118 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( I  e.  ZZ  /\  J  e.  ZZ )  /\  ( K  e.  ZZ  /\  M  e.  ZZ  /\  N  e.  ZZ ) )  ->  J  e.  CC )
4039adantr 451 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ( I  e.  ZZ  /\  J  e.  ZZ )  /\  ( K  e.  ZZ  /\  M  e.  ZZ  /\  N  e.  ZZ ) )  /\  ( x  e.  ZZ  /\  y  e.  ZZ ) )  ->  J  e.  CC )
4138, 40, 26mul32d 9022 . . . . . 6  |-  ( ( ( ( I  e.  ZZ  /\  J  e.  ZZ )  /\  ( K  e.  ZZ  /\  M  e.  ZZ  /\  N  e.  ZZ ) )  /\  ( x  e.  ZZ  /\  y  e.  ZZ ) )  ->  ( (
y  x.  J )  x.  K )  =  ( ( y  x.  K )  x.  J
) )
4235, 41oveq12d 5876 . . . . 5  |-  ( ( ( ( I  e.  ZZ  /\  J  e.  ZZ )  /\  ( K  e.  ZZ  /\  M  e.  ZZ  /\  N  e.  ZZ ) )  /\  ( x  e.  ZZ  /\  y  e.  ZZ ) )  ->  ( (
( x  x.  I
)  x.  K )  +  ( ( y  x.  J )  x.  K ) )  =  ( ( ( x  x.  K )  x.  I )  +  ( ( y  x.  K
)  x.  J ) ) )
4332, 26mulcld 8855 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ( I  e.  ZZ  /\  J  e.  ZZ )  /\  ( K  e.  ZZ  /\  M  e.  ZZ  /\  N  e.  ZZ ) )  /\  ( x  e.  ZZ  /\  y  e.  ZZ ) )  ->  ( x  x.  K )  e.  CC )
4443, 34mulcomd 8856 . . . . . 6  |-  ( ( ( ( I  e.  ZZ  /\  J  e.  ZZ )  /\  ( K  e.  ZZ  /\  M  e.  ZZ  /\  N  e.  ZZ ) )  /\  ( x  e.  ZZ  /\  y  e.  ZZ ) )  ->  ( (
x  x.  K )  x.  I )  =  ( I  x.  (
x  x.  K ) ) )
4538, 26mulcld 8855 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ( I  e.  ZZ  /\  J  e.  ZZ )  /\  ( K  e.  ZZ  /\  M  e.  ZZ  /\  N  e.  ZZ ) )  /\  ( x  e.  ZZ  /\  y  e.  ZZ ) )  ->  ( y  x.  K )  e.  CC )
4645, 40mulcomd 8856 . . . . . 6  |-  ( ( ( ( I  e.  ZZ  /\  J  e.  ZZ )  /\  ( K  e.  ZZ  /\  M  e.  ZZ  /\  N  e.  ZZ ) )  /\  ( x  e.  ZZ  /\  y  e.  ZZ ) )  ->  ( (
y  x.  K )  x.  J )  =  ( J  x.  (
y  x.  K ) ) )
4744, 46oveq12d 5876 . . . . 5  |-  ( ( ( ( I  e.  ZZ  /\  J  e.  ZZ )  /\  ( K  e.  ZZ  /\  M  e.  ZZ  /\  N  e.  ZZ ) )  /\  ( x  e.  ZZ  /\  y  e.  ZZ ) )  ->  ( (
( x  x.  K
)  x.  I )  +  ( ( y  x.  K )  x.  J ) )  =  ( ( I  x.  ( x  x.  K
) )  +  ( J  x.  ( y  x.  K ) ) ) )
4829, 42, 473eqtrd 2319 . . . 4  |-  ( ( ( ( I  e.  ZZ  /\  J  e.  ZZ )  /\  ( K  e.  ZZ  /\  M  e.  ZZ  /\  N  e.  ZZ ) )  /\  ( x  e.  ZZ  /\  y  e.  ZZ ) )  ->  ( (
( x  x.  I
)  +  ( y  x.  J ) )  x.  K )  =  ( ( I  x.  ( x  x.  K
) )  +  ( J  x.  ( y  x.  K ) ) ) )
49 oveq2 5866 . . . . 5  |-  ( ( x  x.  K )  =  M  ->  (
I  x.  ( x  x.  K ) )  =  ( I  x.  M ) )
50 oveq2 5866 . . . . 5  |-  ( ( y  x.  K )  =  N  ->  ( J  x.  ( y  x.  K ) )  =  ( J  x.  N
) )
5149, 50oveqan12d 5877 . . . 4  |-  ( ( ( x  x.  K
)  =  M  /\  ( y  x.  K
)  =  N )  ->  ( ( I  x.  ( x  x.  K ) )  +  ( J  x.  (
y  x.  K ) ) )  =  ( ( I  x.  M
)  +  ( J  x.  N ) ) )
5248, 51sylan9eq 2335 . . 3  |-  ( ( ( ( ( I  e.  ZZ  /\  J  e.  ZZ )  /\  ( K  e.  ZZ  /\  M  e.  ZZ  /\  N  e.  ZZ ) )  /\  ( x  e.  ZZ  /\  y  e.  ZZ ) )  /\  ( ( x  x.  K )  =  M  /\  (
y  x.  K )  =  N ) )  ->  ( ( ( x  x.  I )  +  ( y  x.  J ) )  x.  K )  =  ( ( I  x.  M
)  +  ( J  x.  N ) ) )
5352ex 423 . 2  |-  ( ( ( ( I  e.  ZZ  /\  J  e.  ZZ )  /\  ( K  e.  ZZ  /\  M  e.  ZZ  /\  N  e.  ZZ ) )  /\  ( x  e.  ZZ  /\  y  e.  ZZ ) )  ->  ( (
( x  x.  K
)  =  M  /\  ( y  x.  K
)  =  N )  ->  ( ( ( x  x.  I )  +  ( y  x.  J ) )  x.  K )  =  ( ( I  x.  M
)  +  ( J  x.  N ) ) ) )
543, 5, 11, 20, 53dvds2lem 12541 1  |-  ( ( ( I  e.  ZZ  /\  J  e.  ZZ )  /\  ( K  e.  ZZ  /\  M  e.  ZZ  /\  N  e.  ZZ ) )  -> 
( ( K  ||  M  /\  K  ||  N
)  ->  K  ||  (
( I  x.  M
)  +  ( J  x.  N ) ) ) )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    /\ wa 358    /\ w3a 934    = wceq 1623    e. wcel 1684   class class class wbr 4023  (class class class)co 5858   CCcc 8735    + caddc 8740    x. cmul 8742   ZZcz 10024    || cdivides 12531
This theorem is referenced by:  gcdaddmlem  12707  dvdsgcd  12722
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1533  ax-5 1544  ax-17 1603  ax-9 1635  ax-8 1643  ax-13 1686  ax-14 1688  ax-6 1703  ax-7 1708  ax-11 1715  ax-12 1866  ax-ext 2264  ax-sep 4141  ax-nul 4149  ax-pow 4188  ax-pr 4214  ax-un 4512  ax-resscn 8794  ax-1cn 8795  ax-icn 8796  ax-addcl 8797  ax-addrcl 8798  ax-mulcl 8799  ax-mulrcl 8800  ax-mulcom 8801  ax-addass 8802  ax-mulass 8803  ax-distr 8804  ax-i2m1 8805  ax-1ne0 8806  ax-1rid 8807  ax-rnegex 8808  ax-rrecex 8809  ax-cnre 8810  ax-pre-lttri 8811  ax-pre-lttrn 8812  ax-pre-ltadd 8813  ax-pre-mulgt0 8814
This theorem depends on definitions:  df-bi 177  df-or 359  df-an 360  df-3or 935  df-3an 936  df-tru 1310  df-ex 1529  df-nf 1532  df-sb 1630  df-eu 2147  df-mo 2148  df-clab 2270  df-cleq 2276  df-clel 2279  df-nfc 2408  df-ne 2448  df-nel 2449  df-ral 2548  df-rex 2549  df-reu 2550  df-rab 2552  df-v 2790  df-sbc 2992  df-csb 3082  df-dif 3155  df-un 3157  df-in 3159  df-ss 3166  df-pss 3168  df-nul 3456  df-if 3566  df-pw 3627  df-sn 3646  df-pr 3647  df-tp 3648  df-op 3649  df-uni 3828  df-iun 3907  df-br 4024  df-opab 4078  df-mpt 4079  df-tr 4114  df-eprel 4305  df-id 4309  df-po 4314  df-so 4315  df-fr 4352  df-we 4354  df-ord 4395  df-on 4396  df-lim 4397  df-suc 4398  df-om 4657  df-xp 4695  df-rel 4696  df-cnv 4697  df-co 4698  df-dm 4699  df-rn 4700  df-res 4701  df-ima 4702  df-iota 5219  df-fun 5257  df-fn 5258  df-f 5259  df-f1 5260  df-fo 5261  df-f1o 5262  df-fv 5263  df-ov 5861  df-oprab 5862  df-mpt2 5863  df-riota 6304  df-recs 6388  df-rdg 6423  df-er 6660  df-en 6864  df-dom 6865  df-sdom 6866  df-pnf 8869  df-mnf 8870  df-xr 8871  df-ltxr 8872  df-le 8873  df-sub 9039  df-neg 9040  df-nn 9747  df-n0 9966  df-z 10025  df-dvds 12532
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