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Theorem dvds2ln 12843
Description: If an integer divides each of two other integers, it divides any linear combination of them. (Contributed by Paul Chapman, 21-Mar-2011.)
Assertion
Ref Expression
dvds2ln  |-  ( ( ( I  e.  ZZ  /\  J  e.  ZZ )  /\  ( K  e.  ZZ  /\  M  e.  ZZ  /\  N  e.  ZZ ) )  -> 
( ( K  ||  M  /\  K  ||  N
)  ->  K  ||  (
( I  x.  M
)  +  ( J  x.  N ) ) ) )

Proof of Theorem dvds2ln
Dummy variables  x  y are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 simpr1 963 . . 3  |-  ( ( ( I  e.  ZZ  /\  J  e.  ZZ )  /\  ( K  e.  ZZ  /\  M  e.  ZZ  /\  N  e.  ZZ ) )  ->  K  e.  ZZ )
2 simpr2 964 . . 3  |-  ( ( ( I  e.  ZZ  /\  J  e.  ZZ )  /\  ( K  e.  ZZ  /\  M  e.  ZZ  /\  N  e.  ZZ ) )  ->  M  e.  ZZ )
31, 2jca 519 . 2  |-  ( ( ( I  e.  ZZ  /\  J  e.  ZZ )  /\  ( K  e.  ZZ  /\  M  e.  ZZ  /\  N  e.  ZZ ) )  -> 
( K  e.  ZZ  /\  M  e.  ZZ ) )
4 simpr3 965 . . 3  |-  ( ( ( I  e.  ZZ  /\  J  e.  ZZ )  /\  ( K  e.  ZZ  /\  M  e.  ZZ  /\  N  e.  ZZ ) )  ->  N  e.  ZZ )
51, 4jca 519 . 2  |-  ( ( ( I  e.  ZZ  /\  J  e.  ZZ )  /\  ( K  e.  ZZ  /\  M  e.  ZZ  /\  N  e.  ZZ ) )  -> 
( K  e.  ZZ  /\  N  e.  ZZ ) )
6 simpll 731 . . . . 5  |-  ( ( ( I  e.  ZZ  /\  J  e.  ZZ )  /\  ( K  e.  ZZ  /\  M  e.  ZZ  /\  N  e.  ZZ ) )  ->  I  e.  ZZ )
76, 2zmulcld 10345 . . . 4  |-  ( ( ( I  e.  ZZ  /\  J  e.  ZZ )  /\  ( K  e.  ZZ  /\  M  e.  ZZ  /\  N  e.  ZZ ) )  -> 
( I  x.  M
)  e.  ZZ )
8 simplr 732 . . . . 5  |-  ( ( ( I  e.  ZZ  /\  J  e.  ZZ )  /\  ( K  e.  ZZ  /\  M  e.  ZZ  /\  N  e.  ZZ ) )  ->  J  e.  ZZ )
98, 4zmulcld 10345 . . . 4  |-  ( ( ( I  e.  ZZ  /\  J  e.  ZZ )  /\  ( K  e.  ZZ  /\  M  e.  ZZ  /\  N  e.  ZZ ) )  -> 
( J  x.  N
)  e.  ZZ )
107, 9zaddcld 10343 . . 3  |-  ( ( ( I  e.  ZZ  /\  J  e.  ZZ )  /\  ( K  e.  ZZ  /\  M  e.  ZZ  /\  N  e.  ZZ ) )  -> 
( ( I  x.  M )  +  ( J  x.  N ) )  e.  ZZ )
111, 10jca 519 . 2  |-  ( ( ( I  e.  ZZ  /\  J  e.  ZZ )  /\  ( K  e.  ZZ  /\  M  e.  ZZ  /\  N  e.  ZZ ) )  -> 
( K  e.  ZZ  /\  ( ( I  x.  M )  +  ( J  x.  N ) )  e.  ZZ ) )
12 zmulcl 10288 . . . . . . . 8  |-  ( ( x  e.  ZZ  /\  I  e.  ZZ )  ->  ( x  x.  I
)  e.  ZZ )
13 zmulcl 10288 . . . . . . . 8  |-  ( ( y  e.  ZZ  /\  J  e.  ZZ )  ->  ( y  x.  J
)  e.  ZZ )
1412, 13anim12i 550 . . . . . . 7  |-  ( ( ( x  e.  ZZ  /\  I  e.  ZZ )  /\  ( y  e.  ZZ  /\  J  e.  ZZ ) )  -> 
( ( x  x.  I )  e.  ZZ  /\  ( y  x.  J
)  e.  ZZ ) )
1514an4s 800 . . . . . 6  |-  ( ( ( x  e.  ZZ  /\  y  e.  ZZ )  /\  ( I  e.  ZZ  /\  J  e.  ZZ ) )  -> 
( ( x  x.  I )  e.  ZZ  /\  ( y  x.  J
)  e.  ZZ ) )
1615expcom 425 . . . . 5  |-  ( ( I  e.  ZZ  /\  J  e.  ZZ )  ->  ( ( x  e.  ZZ  /\  y  e.  ZZ )  ->  (
( x  x.  I
)  e.  ZZ  /\  ( y  x.  J
)  e.  ZZ ) ) )
1716adantr 452 . . . 4  |-  ( ( ( I  e.  ZZ  /\  J  e.  ZZ )  /\  ( K  e.  ZZ  /\  M  e.  ZZ  /\  N  e.  ZZ ) )  -> 
( ( x  e.  ZZ  /\  y  e.  ZZ )  ->  (
( x  x.  I
)  e.  ZZ  /\  ( y  x.  J
)  e.  ZZ ) ) )
1817imp 419 . . 3  |-  ( ( ( ( I  e.  ZZ  /\  J  e.  ZZ )  /\  ( K  e.  ZZ  /\  M  e.  ZZ  /\  N  e.  ZZ ) )  /\  ( x  e.  ZZ  /\  y  e.  ZZ ) )  ->  ( (
x  x.  I )  e.  ZZ  /\  (
y  x.  J )  e.  ZZ ) )
19 zaddcl 10281 . . 3  |-  ( ( ( x  x.  I
)  e.  ZZ  /\  ( y  x.  J
)  e.  ZZ )  ->  ( ( x  x.  I )  +  ( y  x.  J
) )  e.  ZZ )
2018, 19syl 16 . 2  |-  ( ( ( ( I  e.  ZZ  /\  J  e.  ZZ )  /\  ( K  e.  ZZ  /\  M  e.  ZZ  /\  N  e.  ZZ ) )  /\  ( x  e.  ZZ  /\  y  e.  ZZ ) )  ->  ( (
x  x.  I )  +  ( y  x.  J ) )  e.  ZZ )
21 zcn 10251 . . . . . . . 8  |-  ( ( x  x.  I )  e.  ZZ  ->  (
x  x.  I )  e.  CC )
22 zcn 10251 . . . . . . . 8  |-  ( ( y  x.  J )  e.  ZZ  ->  (
y  x.  J )  e.  CC )
2321, 22anim12i 550 . . . . . . 7  |-  ( ( ( x  x.  I
)  e.  ZZ  /\  ( y  x.  J
)  e.  ZZ )  ->  ( ( x  x.  I )  e.  CC  /\  ( y  x.  J )  e.  CC ) )
2418, 23syl 16 . . . . . 6  |-  ( ( ( ( I  e.  ZZ  /\  J  e.  ZZ )  /\  ( K  e.  ZZ  /\  M  e.  ZZ  /\  N  e.  ZZ ) )  /\  ( x  e.  ZZ  /\  y  e.  ZZ ) )  ->  ( (
x  x.  I )  e.  CC  /\  (
y  x.  J )  e.  CC ) )
251zcnd 10340 . . . . . . 7  |-  ( ( ( I  e.  ZZ  /\  J  e.  ZZ )  /\  ( K  e.  ZZ  /\  M  e.  ZZ  /\  N  e.  ZZ ) )  ->  K  e.  CC )
2625adantr 452 . . . . . 6  |-  ( ( ( ( I  e.  ZZ  /\  J  e.  ZZ )  /\  ( K  e.  ZZ  /\  M  e.  ZZ  /\  N  e.  ZZ ) )  /\  ( x  e.  ZZ  /\  y  e.  ZZ ) )  ->  K  e.  CC )
27 adddir 9047 . . . . . . 7  |-  ( ( ( x  x.  I
)  e.  CC  /\  ( y  x.  J
)  e.  CC  /\  K  e.  CC )  ->  ( ( ( x  x.  I )  +  ( y  x.  J
) )  x.  K
)  =  ( ( ( x  x.  I
)  x.  K )  +  ( ( y  x.  J )  x.  K ) ) )
28273expa 1153 . . . . . 6  |-  ( ( ( ( x  x.  I )  e.  CC  /\  ( y  x.  J
)  e.  CC )  /\  K  e.  CC )  ->  ( ( ( x  x.  I )  +  ( y  x.  J ) )  x.  K )  =  ( ( ( x  x.  I )  x.  K
)  +  ( ( y  x.  J )  x.  K ) ) )
2924, 26, 28syl2anc 643 . . . . 5  |-  ( ( ( ( I  e.  ZZ  /\  J  e.  ZZ )  /\  ( K  e.  ZZ  /\  M  e.  ZZ  /\  N  e.  ZZ ) )  /\  ( x  e.  ZZ  /\  y  e.  ZZ ) )  ->  ( (
( x  x.  I
)  +  ( y  x.  J ) )  x.  K )  =  ( ( ( x  x.  I )  x.  K )  +  ( ( y  x.  J
)  x.  K ) ) )
30 zcn 10251 . . . . . . . . 9  |-  ( x  e.  ZZ  ->  x  e.  CC )
3130adantr 452 . . . . . . . 8  |-  ( ( x  e.  ZZ  /\  y  e.  ZZ )  ->  x  e.  CC )
3231adantl 453 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ( I  e.  ZZ  /\  J  e.  ZZ )  /\  ( K  e.  ZZ  /\  M  e.  ZZ  /\  N  e.  ZZ ) )  /\  ( x  e.  ZZ  /\  y  e.  ZZ ) )  ->  x  e.  CC )
33 zcn 10251 . . . . . . . 8  |-  ( I  e.  ZZ  ->  I  e.  CC )
3433ad3antrrr 711 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ( I  e.  ZZ  /\  J  e.  ZZ )  /\  ( K  e.  ZZ  /\  M  e.  ZZ  /\  N  e.  ZZ ) )  /\  ( x  e.  ZZ  /\  y  e.  ZZ ) )  ->  I  e.  CC )
3532, 34, 26mul32d 9240 . . . . . 6  |-  ( ( ( ( I  e.  ZZ  /\  J  e.  ZZ )  /\  ( K  e.  ZZ  /\  M  e.  ZZ  /\  N  e.  ZZ ) )  /\  ( x  e.  ZZ  /\  y  e.  ZZ ) )  ->  ( (
x  x.  I )  x.  K )  =  ( ( x  x.  K )  x.  I
) )
36 zcn 10251 . . . . . . . . 9  |-  ( y  e.  ZZ  ->  y  e.  CC )
3736adantl 453 . . . . . . . 8  |-  ( ( x  e.  ZZ  /\  y  e.  ZZ )  ->  y  e.  CC )
3837adantl 453 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ( I  e.  ZZ  /\  J  e.  ZZ )  /\  ( K  e.  ZZ  /\  M  e.  ZZ  /\  N  e.  ZZ ) )  /\  ( x  e.  ZZ  /\  y  e.  ZZ ) )  ->  y  e.  CC )
398zcnd 10340 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( I  e.  ZZ  /\  J  e.  ZZ )  /\  ( K  e.  ZZ  /\  M  e.  ZZ  /\  N  e.  ZZ ) )  ->  J  e.  CC )
4039adantr 452 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ( I  e.  ZZ  /\  J  e.  ZZ )  /\  ( K  e.  ZZ  /\  M  e.  ZZ  /\  N  e.  ZZ ) )  /\  ( x  e.  ZZ  /\  y  e.  ZZ ) )  ->  J  e.  CC )
4138, 40, 26mul32d 9240 . . . . . 6  |-  ( ( ( ( I  e.  ZZ  /\  J  e.  ZZ )  /\  ( K  e.  ZZ  /\  M  e.  ZZ  /\  N  e.  ZZ ) )  /\  ( x  e.  ZZ  /\  y  e.  ZZ ) )  ->  ( (
y  x.  J )  x.  K )  =  ( ( y  x.  K )  x.  J
) )
4235, 41oveq12d 6066 . . . . 5  |-  ( ( ( ( I  e.  ZZ  /\  J  e.  ZZ )  /\  ( K  e.  ZZ  /\  M  e.  ZZ  /\  N  e.  ZZ ) )  /\  ( x  e.  ZZ  /\  y  e.  ZZ ) )  ->  ( (
( x  x.  I
)  x.  K )  +  ( ( y  x.  J )  x.  K ) )  =  ( ( ( x  x.  K )  x.  I )  +  ( ( y  x.  K
)  x.  J ) ) )
4332, 26mulcld 9072 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ( I  e.  ZZ  /\  J  e.  ZZ )  /\  ( K  e.  ZZ  /\  M  e.  ZZ  /\  N  e.  ZZ ) )  /\  ( x  e.  ZZ  /\  y  e.  ZZ ) )  ->  ( x  x.  K )  e.  CC )
4443, 34mulcomd 9073 . . . . . 6  |-  ( ( ( ( I  e.  ZZ  /\  J  e.  ZZ )  /\  ( K  e.  ZZ  /\  M  e.  ZZ  /\  N  e.  ZZ ) )  /\  ( x  e.  ZZ  /\  y  e.  ZZ ) )  ->  ( (
x  x.  K )  x.  I )  =  ( I  x.  (
x  x.  K ) ) )
4538, 26mulcld 9072 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ( I  e.  ZZ  /\  J  e.  ZZ )  /\  ( K  e.  ZZ  /\  M  e.  ZZ  /\  N  e.  ZZ ) )  /\  ( x  e.  ZZ  /\  y  e.  ZZ ) )  ->  ( y  x.  K )  e.  CC )
4645, 40mulcomd 9073 . . . . . 6  |-  ( ( ( ( I  e.  ZZ  /\  J  e.  ZZ )  /\  ( K  e.  ZZ  /\  M  e.  ZZ  /\  N  e.  ZZ ) )  /\  ( x  e.  ZZ  /\  y  e.  ZZ ) )  ->  ( (
y  x.  K )  x.  J )  =  ( J  x.  (
y  x.  K ) ) )
4744, 46oveq12d 6066 . . . . 5  |-  ( ( ( ( I  e.  ZZ  /\  J  e.  ZZ )  /\  ( K  e.  ZZ  /\  M  e.  ZZ  /\  N  e.  ZZ ) )  /\  ( x  e.  ZZ  /\  y  e.  ZZ ) )  ->  ( (
( x  x.  K
)  x.  I )  +  ( ( y  x.  K )  x.  J ) )  =  ( ( I  x.  ( x  x.  K
) )  +  ( J  x.  ( y  x.  K ) ) ) )
4829, 42, 473eqtrd 2448 . . . 4  |-  ( ( ( ( I  e.  ZZ  /\  J  e.  ZZ )  /\  ( K  e.  ZZ  /\  M  e.  ZZ  /\  N  e.  ZZ ) )  /\  ( x  e.  ZZ  /\  y  e.  ZZ ) )  ->  ( (
( x  x.  I
)  +  ( y  x.  J ) )  x.  K )  =  ( ( I  x.  ( x  x.  K
) )  +  ( J  x.  ( y  x.  K ) ) ) )
49 oveq2 6056 . . . . 5  |-  ( ( x  x.  K )  =  M  ->  (
I  x.  ( x  x.  K ) )  =  ( I  x.  M ) )
50 oveq2 6056 . . . . 5  |-  ( ( y  x.  K )  =  N  ->  ( J  x.  ( y  x.  K ) )  =  ( J  x.  N
) )
5149, 50oveqan12d 6067 . . . 4  |-  ( ( ( x  x.  K
)  =  M  /\  ( y  x.  K
)  =  N )  ->  ( ( I  x.  ( x  x.  K ) )  +  ( J  x.  (
y  x.  K ) ) )  =  ( ( I  x.  M
)  +  ( J  x.  N ) ) )
5248, 51sylan9eq 2464 . . 3  |-  ( ( ( ( ( I  e.  ZZ  /\  J  e.  ZZ )  /\  ( K  e.  ZZ  /\  M  e.  ZZ  /\  N  e.  ZZ ) )  /\  ( x  e.  ZZ  /\  y  e.  ZZ ) )  /\  ( ( x  x.  K )  =  M  /\  (
y  x.  K )  =  N ) )  ->  ( ( ( x  x.  I )  +  ( y  x.  J ) )  x.  K )  =  ( ( I  x.  M
)  +  ( J  x.  N ) ) )
5352ex 424 . 2  |-  ( ( ( ( I  e.  ZZ  /\  J  e.  ZZ )  /\  ( K  e.  ZZ  /\  M  e.  ZZ  /\  N  e.  ZZ ) )  /\  ( x  e.  ZZ  /\  y  e.  ZZ ) )  ->  ( (
( x  x.  K
)  =  M  /\  ( y  x.  K
)  =  N )  ->  ( ( ( x  x.  I )  +  ( y  x.  J ) )  x.  K )  =  ( ( I  x.  M
)  +  ( J  x.  N ) ) ) )
543, 5, 11, 20, 53dvds2lem 12825 1  |-  ( ( ( I  e.  ZZ  /\  J  e.  ZZ )  /\  ( K  e.  ZZ  /\  M  e.  ZZ  /\  N  e.  ZZ ) )  -> 
( ( K  ||  M  /\  K  ||  N
)  ->  K  ||  (
( I  x.  M
)  +  ( J  x.  N ) ) ) )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    /\ wa 359    /\ w3a 936    = wceq 1649    e. wcel 1721   class class class wbr 4180  (class class class)co 6048   CCcc 8952    + caddc 8957    x. cmul 8959   ZZcz 10246    || cdivides 12815
This theorem is referenced by:  gcdaddmlem  12991  dvdsgcd  13006
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1552  ax-5 1563  ax-17 1623  ax-9 1662  ax-8 1683  ax-13 1723  ax-14 1725  ax-6 1740  ax-7 1745  ax-11 1757  ax-12 1946  ax-ext 2393  ax-sep 4298  ax-nul 4306  ax-pow 4345  ax-pr 4371  ax-un 4668  ax-resscn 9011  ax-1cn 9012  ax-icn 9013  ax-addcl 9014  ax-addrcl 9015  ax-mulcl 9016  ax-mulrcl 9017  ax-mulcom 9018  ax-addass 9019  ax-mulass 9020  ax-distr 9021  ax-i2m1 9022  ax-1ne0 9023  ax-1rid 9024  ax-rnegex 9025  ax-rrecex 9026  ax-cnre 9027  ax-pre-lttri 9028  ax-pre-lttrn 9029  ax-pre-ltadd 9030  ax-pre-mulgt0 9031
This theorem depends on definitions:  df-bi 178  df-or 360  df-an 361  df-3or 937  df-3an 938  df-tru 1325  df-ex 1548  df-nf 1551  df-sb 1656  df-eu 2266  df-mo 2267  df-clab 2399  df-cleq 2405  df-clel 2408  df-nfc 2537  df-ne 2577  df-nel 2578  df-ral 2679  df-rex 2680  df-reu 2681  df-rab 2683  df-v 2926  df-sbc 3130  df-csb 3220  df-dif 3291  df-un 3293  df-in 3295  df-ss 3302  df-pss 3304  df-nul 3597  df-if 3708  df-pw 3769  df-sn 3788  df-pr 3789  df-tp 3790  df-op 3791  df-uni 3984  df-iun 4063  df-br 4181  df-opab 4235  df-mpt 4236  df-tr 4271  df-eprel 4462  df-id 4466  df-po 4471  df-so 4472  df-fr 4509  df-we 4511  df-ord 4552  df-on 4553  df-lim 4554  df-suc 4555  df-om 4813  df-xp 4851  df-rel 4852  df-cnv 4853  df-co 4854  df-dm 4855  df-rn 4856  df-res 4857  df-ima 4858  df-iota 5385  df-fun 5423  df-fn 5424  df-f 5425  df-f1 5426  df-fo 5427  df-f1o 5428  df-fv 5429  df-ov 6051  df-oprab 6052  df-mpt2 6053  df-riota 6516  df-recs 6600  df-rdg 6635  df-er 6872  df-en 7077  df-dom 7078  df-sdom 7079  df-pnf 9086  df-mnf 9087  df-xr 9088  df-ltxr 9089  df-le 9090  df-sub 9257  df-neg 9258  df-nn 9965  df-n0 10186  df-z 10247  df-dvds 12816
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