Theorem dvds2ln 12885

Description: If an integer divides each of two other integers, it divides any linear combination of them. (Contributed by Paul Chapman, 21-Mar-2011.)

Assertion

Ref	Expression
dvds2ln	|- ( ( ( I e. ZZ /\ J e. ZZ ) /\ ( K e. ZZ /\ M e. ZZ /\ N e. ZZ ) ) -> ( ( K || M /\ K || N ) -> K || ( ( I x. M ) + ( J x. N ) ) ) )

Proof of Theorem dvds2ln

Dummy variables x y are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		simpr1 964	. . 3 |- ( ( ( I e. ZZ /\ J e. ZZ ) /\ ( K e. ZZ /\ M e. ZZ /\ N e. ZZ ) ) -> K e. ZZ )
2		simpr2 965	. . 3 |- ( ( ( I e. ZZ /\ J e. ZZ ) /\ ( K e. ZZ /\ M e. ZZ /\ N e. ZZ ) ) -> M e. ZZ )
3	1, 2	jca 520	. 2 |- ( ( ( I e. ZZ /\ J e. ZZ ) /\ ( K e. ZZ /\ M e. ZZ /\ N e. ZZ ) ) -> ( K e. ZZ /\ M e. ZZ ) )
4		simpr3 966	. . 3 |- ( ( ( I e. ZZ /\ J e. ZZ ) /\ ( K e. ZZ /\ M e. ZZ /\ N e. ZZ ) ) -> N e. ZZ )
5	1, 4	jca 520	. 2 |- ( ( ( I e. ZZ /\ J e. ZZ ) /\ ( K e. ZZ /\ M e. ZZ /\ N e. ZZ ) ) -> ( K e. ZZ /\ N e. ZZ ) )
6		simpll 732	. . . . 5 |- ( ( ( I e. ZZ /\ J e. ZZ ) /\ ( K e. ZZ /\ M e. ZZ /\ N e. ZZ ) ) -> I e. ZZ )
7	6, 2	zmulcld 10386	. . . 4 |- ( ( ( I e. ZZ /\ J e. ZZ ) /\ ( K e. ZZ /\ M e. ZZ /\ N e. ZZ ) ) -> ( I x. M ) e. ZZ )
8		simplr 733	. . . . 5 |- ( ( ( I e. ZZ /\ J e. ZZ ) /\ ( K e. ZZ /\ M e. ZZ /\ N e. ZZ ) ) -> J e. ZZ )
9	8, 4	zmulcld 10386	. . . 4 |- ( ( ( I e. ZZ /\ J e. ZZ ) /\ ( K e. ZZ /\ M e. ZZ /\ N e. ZZ ) ) -> ( J x. N ) e. ZZ )
10	7, 9	zaddcld 10384	. . 3 |- ( ( ( I e. ZZ /\ J e. ZZ ) /\ ( K e. ZZ /\ M e. ZZ /\ N e. ZZ ) ) -> ( ( I x. M ) + ( J x. N ) ) e. ZZ )
11	1, 10	jca 520	. 2 |- ( ( ( I e. ZZ /\ J e. ZZ ) /\ ( K e. ZZ /\ M e. ZZ /\ N e. ZZ ) ) -> ( K e. ZZ /\ ( ( I x. M ) + ( J x. N ) ) e. ZZ ) )
12		zmulcl 10329	. . . . . . . 8 |- ( ( x e. ZZ /\ I e. ZZ ) -> ( x x. I ) e. ZZ )
13		zmulcl 10329	. . . . . . . 8 |- ( ( y e. ZZ /\ J e. ZZ ) -> ( y x. J ) e. ZZ )
14	12, 13	anim12i 551	. . . . . . 7 |- ( ( ( x e. ZZ /\ I e. ZZ ) /\ ( y e. ZZ /\ J e. ZZ ) ) -> ( ( x x. I ) e. ZZ /\ ( y x. J ) e. ZZ ) )
15	14	an4s 801	. . . . . 6 |- ( ( ( x e. ZZ /\ y e. ZZ ) /\ ( I e. ZZ /\ J e. ZZ ) ) -> ( ( x x. I ) e. ZZ /\ ( y x. J ) e. ZZ ) )
16	15	expcom 426	. . . . 5 |- ( ( I e. ZZ /\ J e. ZZ ) -> ( ( x e. ZZ /\ y e. ZZ ) -> ( ( x x. I ) e. ZZ /\ ( y x. J ) e. ZZ ) ) )
17	16	adantr 453	. . . 4 |- ( ( ( I e. ZZ /\ J e. ZZ ) /\ ( K e. ZZ /\ M e. ZZ /\ N e. ZZ ) ) -> ( ( x e. ZZ /\ y e. ZZ ) -> ( ( x x. I ) e. ZZ /\ ( y x. J ) e. ZZ ) ) )
18	17	imp 420	. . 3 |- ( ( ( ( I e. ZZ /\ J e. ZZ ) /\ ( K e. ZZ /\ M e. ZZ /\ N e. ZZ ) ) /\ ( x e. ZZ /\ y e. ZZ ) ) -> ( ( x x. I ) e. ZZ /\ ( y x. J ) e. ZZ ) )
19		zaddcl 10322	. . 3 |- ( ( ( x x. I ) e. ZZ /\ ( y x. J ) e. ZZ ) -> ( ( x x. I ) + ( y x. J ) ) e. ZZ )
20	18, 19	syl 16	. 2 |- ( ( ( ( I e. ZZ /\ J e. ZZ ) /\ ( K e. ZZ /\ M e. ZZ /\ N e. ZZ ) ) /\ ( x e. ZZ /\ y e. ZZ ) ) -> ( ( x x. I ) + ( y x. J ) ) e. ZZ )
21		zcn 10292	. . . . . . . 8 |- ( ( x x. I ) e. ZZ -> ( x x. I ) e. CC )
22		zcn 10292	. . . . . . . 8 |- ( ( y x. J ) e. ZZ -> ( y x. J ) e. CC )
23	21, 22	anim12i 551	. . . . . . 7 |- ( ( ( x x. I ) e. ZZ /\ ( y x. J ) e. ZZ ) -> ( ( x x. I ) e. CC /\ ( y x. J ) e. CC ) )
24	18, 23	syl 16	. . . . . 6 |- ( ( ( ( I e. ZZ /\ J e. ZZ ) /\ ( K e. ZZ /\ M e. ZZ /\ N e. ZZ ) ) /\ ( x e. ZZ /\ y e. ZZ ) ) -> ( ( x x. I ) e. CC /\ ( y x. J ) e. CC ) )
25	1	zcnd 10381	. . . . . . 7 |- ( ( ( I e. ZZ /\ J e. ZZ ) /\ ( K e. ZZ /\ M e. ZZ /\ N e. ZZ ) ) -> K e. CC )
26	25	adantr 453	. . . . . 6 |- ( ( ( ( I e. ZZ /\ J e. ZZ ) /\ ( K e. ZZ /\ M e. ZZ /\ N e. ZZ ) ) /\ ( x e. ZZ /\ y e. ZZ ) ) -> K e. CC )
27		adddir 9088	. . . . . . 7 |- ( ( ( x x. I ) e. CC /\ ( y x. J ) e. CC /\ K e. CC ) -> ( ( ( x x. I ) + ( y x. J ) ) x. K ) = ( ( ( x x. I ) x. K ) + ( ( y x. J ) x. K ) ) )
28	27	3expa 1154	. . . . . 6 |- ( ( ( ( x x. I ) e. CC /\ ( y x. J ) e. CC ) /\ K e. CC ) -> ( ( ( x x. I ) + ( y x. J ) ) x. K ) = ( ( ( x x. I ) x. K ) + ( ( y x. J ) x. K ) ) )
29	24, 26, 28	syl2anc 644	. . . . 5 |- ( ( ( ( I e. ZZ /\ J e. ZZ ) /\ ( K e. ZZ /\ M e. ZZ /\ N e. ZZ ) ) /\ ( x e. ZZ /\ y e. ZZ ) ) -> ( ( ( x x. I ) + ( y x. J ) ) x. K ) = ( ( ( x x. I ) x. K ) + ( ( y x. J ) x. K ) ) )
30		zcn 10292	. . . . . . . . 9 |- ( x e. ZZ -> x e. CC )
31	30	adantr 453	. . . . . . . 8 |- ( ( x e. ZZ /\ y e. ZZ ) -> x e. CC )
32	31	adantl 454	. . . . . . 7 |- ( ( ( ( I e. ZZ /\ J e. ZZ ) /\ ( K e. ZZ /\ M e. ZZ /\ N e. ZZ ) ) /\ ( x e. ZZ /\ y e. ZZ ) ) -> x e. CC )
33		zcn 10292	. . . . . . . 8 |- ( I e. ZZ -> I e. CC )
34	33	ad3antrrr 712	. . . . . . 7 |- ( ( ( ( I e. ZZ /\ J e. ZZ ) /\ ( K e. ZZ /\ M e. ZZ /\ N e. ZZ ) ) /\ ( x e. ZZ /\ y e. ZZ ) ) -> I e. CC )
35	32, 34, 26	mul32d 9281	. . . . . 6 |- ( ( ( ( I e. ZZ /\ J e. ZZ ) /\ ( K e. ZZ /\ M e. ZZ /\ N e. ZZ ) ) /\ ( x e. ZZ /\ y e. ZZ ) ) -> ( ( x x. I ) x. K ) = ( ( x x. K ) x. I ) )
36		zcn 10292	. . . . . . . . 9 |- ( y e. ZZ -> y e. CC )
37	36	adantl 454	. . . . . . . 8 |- ( ( x e. ZZ /\ y e. ZZ ) -> y e. CC )
38	37	adantl 454	. . . . . . 7 |- ( ( ( ( I e. ZZ /\ J e. ZZ ) /\ ( K e. ZZ /\ M e. ZZ /\ N e. ZZ ) ) /\ ( x e. ZZ /\ y e. ZZ ) ) -> y e. CC )
39	8	zcnd 10381	. . . . . . . 8 |- ( ( ( I e. ZZ /\ J e. ZZ ) /\ ( K e. ZZ /\ M e. ZZ /\ N e. ZZ ) ) -> J e. CC )
40	39	adantr 453	. . . . . . 7 |- ( ( ( ( I e. ZZ /\ J e. ZZ ) /\ ( K e. ZZ /\ M e. ZZ /\ N e. ZZ ) ) /\ ( x e. ZZ /\ y e. ZZ ) ) -> J e. CC )
41	38, 40, 26	mul32d 9281	. . . . . 6 |- ( ( ( ( I e. ZZ /\ J e. ZZ ) /\ ( K e. ZZ /\ M e. ZZ /\ N e. ZZ ) ) /\ ( x e. ZZ /\ y e. ZZ ) ) -> ( ( y x. J ) x. K ) = ( ( y x. K ) x. J ) )
42	35, 41	oveq12d 6102	. . . . 5 |- ( ( ( ( I e. ZZ /\ J e. ZZ ) /\ ( K e. ZZ /\ M e. ZZ /\ N e. ZZ ) ) /\ ( x e. ZZ /\ y e. ZZ ) ) -> ( ( ( x x. I ) x. K ) + ( ( y x. J ) x. K ) ) = ( ( ( x x. K ) x. I ) + ( ( y x. K ) x. J ) ) )
43	32, 26	mulcld 9113	. . . . . . 7 |- ( ( ( ( I e. ZZ /\ J e. ZZ ) /\ ( K e. ZZ /\ M e. ZZ /\ N e. ZZ ) ) /\ ( x e. ZZ /\ y e. ZZ ) ) -> ( x x. K ) e. CC )
44	43, 34	mulcomd 9114	. . . . . 6 |- ( ( ( ( I e. ZZ /\ J e. ZZ ) /\ ( K e. ZZ /\ M e. ZZ /\ N e. ZZ ) ) /\ ( x e. ZZ /\ y e. ZZ ) ) -> ( ( x x. K ) x. I ) = ( I x. ( x x. K ) ) )
45	38, 26	mulcld 9113	. . . . . . 7 |- ( ( ( ( I e. ZZ /\ J e. ZZ ) /\ ( K e. ZZ /\ M e. ZZ /\ N e. ZZ ) ) /\ ( x e. ZZ /\ y e. ZZ ) ) -> ( y x. K ) e. CC )
46	45, 40	mulcomd 9114	. . . . . 6 |- ( ( ( ( I e. ZZ /\ J e. ZZ ) /\ ( K e. ZZ /\ M e. ZZ /\ N e. ZZ ) ) /\ ( x e. ZZ /\ y e. ZZ ) ) -> ( ( y x. K ) x. J ) = ( J x. ( y x. K ) ) )
47	44, 46	oveq12d 6102	. . . . 5 |- ( ( ( ( I e. ZZ /\ J e. ZZ ) /\ ( K e. ZZ /\ M e. ZZ /\ N e. ZZ ) ) /\ ( x e. ZZ /\ y e. ZZ ) ) -> ( ( ( x x. K ) x. I ) + ( ( y x. K ) x. J ) ) = ( ( I x. ( x x. K ) ) + ( J x. ( y x. K ) ) ) )
48	29, 42, 47	3eqtrd 2474	. . . 4 |- ( ( ( ( I e. ZZ /\ J e. ZZ ) /\ ( K e. ZZ /\ M e. ZZ /\ N e. ZZ ) ) /\ ( x e. ZZ /\ y e. ZZ ) ) -> ( ( ( x x. I ) + ( y x. J ) ) x. K ) = ( ( I x. ( x x. K ) ) + ( J x. ( y x. K ) ) ) )
49		oveq2 6092	. . . . 5 |- ( ( x x. K ) = M -> ( I x. ( x x. K ) ) = ( I x. M ) )
50		oveq2 6092	. . . . 5 |- ( ( y x. K ) = N -> ( J x. ( y x. K ) ) = ( J x. N ) )
51	49, 50	oveqan12d 6103	. . . 4 |- ( ( ( x x. K ) = M /\ ( y x. K ) = N ) -> ( ( I x. ( x x. K ) ) + ( J x. ( y x. K ) ) ) = ( ( I x. M ) + ( J x. N ) ) )
52	48, 51	sylan9eq 2490	. . 3 |- ( ( ( ( ( I e. ZZ /\ J e. ZZ ) /\ ( K e. ZZ /\ M e. ZZ /\ N e. ZZ ) ) /\ ( x e. ZZ /\ y e. ZZ ) ) /\ ( ( x x. K ) = M /\ ( y x. K ) = N ) ) -> ( ( ( x x. I ) + ( y x. J ) ) x. K ) = ( ( I x. M ) + ( J x. N ) ) )
53	52	ex 425	. 2 |- ( ( ( ( I e. ZZ /\ J e. ZZ ) /\ ( K e. ZZ /\ M e. ZZ /\ N e. ZZ ) ) /\ ( x e. ZZ /\ y e. ZZ ) ) -> ( ( ( x x. K ) = M /\ ( y x. K ) = N ) -> ( ( ( x x. I ) + ( y x. J ) ) x. K ) = ( ( I x. M ) + ( J x. N ) ) ) )
54	3, 5, 11, 20, 53	dvds2lem 12867	1 |- ( ( ( I e. ZZ /\ J e. ZZ ) /\ ( K e. ZZ /\ M e. ZZ /\ N e. ZZ ) ) -> ( ( K || M /\ K || N ) -> K || ( ( I x. M ) + ( J x. N ) ) ) )

Syntax hints:   -> wi 4   /\ wa 360   /\ w3a 937   = wceq 1653   e. wcel 1726   class class class wbr 4215  (class class class)co 6084   CCcc 8993   + caddc 8998   x. cmul 9000   ZZcz 10287   || cdivides 12857

This theorem is referenced by:  gcdaddmlem  13033  dvdsgcd  13048

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1556  ax-5 1567  ax-17 1627  ax-9 1667  ax-8 1688  ax-13 1728  ax-14 1730  ax-6 1745  ax-7 1750  ax-11 1762  ax-12 1951  ax-ext 2419  ax-sep 4333  ax-nul 4341  ax-pow 4380  ax-pr 4406  ax-un 4704  ax-resscn 9052  ax-1cn 9053  ax-icn 9054  ax-addcl 9055  ax-addrcl 9056  ax-mulcl 9057  ax-mulrcl 9058  ax-mulcom 9059  ax-addass 9060  ax-mulass 9061  ax-distr 9062  ax-i2m1 9063  ax-1ne0 9064  ax-1rid 9065  ax-rnegex 9066  ax-rrecex 9067  ax-cnre 9068  ax-pre-lttri 9069  ax-pre-lttrn 9070  ax-pre-ltadd 9071  ax-pre-mulgt0 9072

This theorem depends on definitions:  df-bi 179  df-or 361  df-an 362  df-3or 938  df-3an 939  df-tru 1329  df-ex 1552  df-nf 1555  df-sb 1660  df-eu 2287  df-mo 2288  df-clab 2425  df-cleq 2431  df-clel 2434  df-nfc 2563  df-ne 2603  df-nel 2604  df-ral 2712  df-rex 2713  df-reu 2714  df-rab 2716  df-v 2960  df-sbc 3164  df-csb 3254  df-dif 3325  df-un 3327  df-in 3329  df-ss 3336  df-pss 3338  df-nul 3631  df-if 3742  df-pw 3803  df-sn 3822  df-pr 3823  df-tp 3824  df-op 3825  df-uni 4018  df-iun 4097  df-br 4216  df-opab 4270  df-mpt 4271  df-tr 4306  df-eprel 4497  df-id 4501  df-po 4506  df-so 4507  df-fr 4544  df-we 4546  df-ord 4587  df-on 4588  df-lim 4589  df-suc 4590  df-om 4849  df-xp 4887  df-rel 4888  df-cnv 4889  df-co 4890  df-dm 4891  df-rn 4892  df-res 4893  df-ima 4894  df-iota 5421  df-fun 5459  df-fn 5460  df-f 5461  df-f1 5462  df-fo 5463  df-f1o 5464  df-fv 5465  df-ov 6087  df-oprab 6088  df-mpt2 6089  df-riota 6552  df-recs 6636  df-rdg 6671  df-er 6908  df-en 7113  df-dom 7114  df-sdom 7115  df-pnf 9127  df-mnf 9128  df-xr 9129  df-ltxr 9130  df-le 9131  df-sub 9298  df-neg 9299  df-nn 10006  df-n0 10227  df-z 10288  df-dvds 12858