MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  dvdsdivcl Structured version   Unicode version

Theorem dvdsdivcl 20966
Description: The complement of a divisor of  N is also a divisor of  N. (Contributed by Mario Carneiro, 2-Jul-2015.)
Assertion
Ref Expression
dvdsdivcl  |-  ( ( N  e.  NN  /\  A  e.  { x  e.  NN  |  x  ||  N } )  ->  ( N  /  A )  e. 
{ x  e.  NN  |  x  ||  N }
)
Distinct variable groups:    x, A    x, N

Proof of Theorem dvdsdivcl
StepHypRef Expression
1 breq1 4215 . . . . . . 7  |-  ( x  =  A  ->  (
x  ||  N  <->  A  ||  N
) )
21elrab 3092 . . . . . 6  |-  ( A  e.  { x  e.  NN  |  x  ||  N }  <->  ( A  e.  NN  /\  A  ||  N ) )
32simprbi 451 . . . . 5  |-  ( A  e.  { x  e.  NN  |  x  ||  N }  ->  A  ||  N )
43adantl 453 . . . 4  |-  ( ( N  e.  NN  /\  A  e.  { x  e.  NN  |  x  ||  N } )  ->  A  ||  N )
5 elrabi 3090 . . . . . . 7  |-  ( A  e.  { x  e.  NN  |  x  ||  N }  ->  A  e.  NN )
65adantl 453 . . . . . 6  |-  ( ( N  e.  NN  /\  A  e.  { x  e.  NN  |  x  ||  N } )  ->  A  e.  NN )
7 nnz 10303 . . . . . 6  |-  ( A  e.  NN  ->  A  e.  ZZ )
86, 7syl 16 . . . . 5  |-  ( ( N  e.  NN  /\  A  e.  { x  e.  NN  |  x  ||  N } )  ->  A  e.  ZZ )
96nnne0d 10044 . . . . 5  |-  ( ( N  e.  NN  /\  A  e.  { x  e.  NN  |  x  ||  N } )  ->  A  =/=  0 )
10 nnz 10303 . . . . . 6  |-  ( N  e.  NN  ->  N  e.  ZZ )
1110adantr 452 . . . . 5  |-  ( ( N  e.  NN  /\  A  e.  { x  e.  NN  |  x  ||  N } )  ->  N  e.  ZZ )
12 dvdsval2 12855 . . . . 5  |-  ( ( A  e.  ZZ  /\  A  =/=  0  /\  N  e.  ZZ )  ->  ( A  ||  N  <->  ( N  /  A )  e.  ZZ ) )
138, 9, 11, 12syl3anc 1184 . . . 4  |-  ( ( N  e.  NN  /\  A  e.  { x  e.  NN  |  x  ||  N } )  ->  ( A  ||  N  <->  ( N  /  A )  e.  ZZ ) )
144, 13mpbid 202 . . 3  |-  ( ( N  e.  NN  /\  A  e.  { x  e.  NN  |  x  ||  N } )  ->  ( N  /  A )  e.  ZZ )
15 nnre 10007 . . . . 5  |-  ( N  e.  NN  ->  N  e.  RR )
1615adantr 452 . . . 4  |-  ( ( N  e.  NN  /\  A  e.  { x  e.  NN  |  x  ||  N } )  ->  N  e.  RR )
176nnred 10015 . . . 4  |-  ( ( N  e.  NN  /\  A  e.  { x  e.  NN  |  x  ||  N } )  ->  A  e.  RR )
18 nngt0 10029 . . . . 5  |-  ( N  e.  NN  ->  0  <  N )
1918adantr 452 . . . 4  |-  ( ( N  e.  NN  /\  A  e.  { x  e.  NN  |  x  ||  N } )  ->  0  <  N )
20 nngt0 10029 . . . . 5  |-  ( A  e.  NN  ->  0  <  A )
216, 20syl 16 . . . 4  |-  ( ( N  e.  NN  /\  A  e.  { x  e.  NN  |  x  ||  N } )  ->  0  <  A )
2216, 17, 19, 21divgt0d 9946 . . 3  |-  ( ( N  e.  NN  /\  A  e.  { x  e.  NN  |  x  ||  N } )  ->  0  <  ( N  /  A
) )
23 elnnz 10292 . . 3  |-  ( ( N  /  A )  e.  NN  <->  ( ( N  /  A )  e.  ZZ  /\  0  < 
( N  /  A
) ) )
2414, 22, 23sylanbrc 646 . 2  |-  ( ( N  e.  NN  /\  A  e.  { x  e.  NN  |  x  ||  N } )  ->  ( N  /  A )  e.  NN )
25 nncn 10008 . . . . 5  |-  ( N  e.  NN  ->  N  e.  CC )
2625adantr 452 . . . 4  |-  ( ( N  e.  NN  /\  A  e.  { x  e.  NN  |  x  ||  N } )  ->  N  e.  CC )
276nncnd 10016 . . . 4  |-  ( ( N  e.  NN  /\  A  e.  { x  e.  NN  |  x  ||  N } )  ->  A  e.  CC )
2826, 27, 9divcan2d 9792 . . 3  |-  ( ( N  e.  NN  /\  A  e.  { x  e.  NN  |  x  ||  N } )  ->  ( A  x.  ( N  /  A ) )  =  N )
29 dvds0lem 12860 . . 3  |-  ( ( ( A  e.  ZZ  /\  ( N  /  A
)  e.  ZZ  /\  N  e.  ZZ )  /\  ( A  x.  ( N  /  A ) )  =  N )  -> 
( N  /  A
)  ||  N )
308, 14, 11, 28, 29syl31anc 1187 . 2  |-  ( ( N  e.  NN  /\  A  e.  { x  e.  NN  |  x  ||  N } )  ->  ( N  /  A )  ||  N )
31 breq1 4215 . . 3  |-  ( x  =  ( N  /  A )  ->  (
x  ||  N  <->  ( N  /  A )  ||  N
) )
3231elrab 3092 . 2  |-  ( ( N  /  A )  e.  { x  e.  NN  |  x  ||  N }  <->  ( ( N  /  A )  e.  NN  /\  ( N  /  A )  ||  N ) )
3324, 30, 32sylanbrc 646 1  |-  ( ( N  e.  NN  /\  A  e.  { x  e.  NN  |  x  ||  N } )  ->  ( N  /  A )  e. 
{ x  e.  NN  |  x  ||  N }
)
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    <-> wb 177    /\ wa 359    = wceq 1652    e. wcel 1725    =/= wne 2599   {crab 2709   class class class wbr 4212  (class class class)co 6081   CCcc 8988   RRcr 8989   0cc0 8990    x. cmul 8995    < clt 9120    / cdiv 9677   NNcn 10000   ZZcz 10282    || cdivides 12852
This theorem is referenced by:  dvdsflip  20967  fsumdvdsdiaglem  20968  fsumdvdsdiag  20969  fsumdvdscom  20970  muinv  20978  logsqvma  21236  logsqvma2  21237  selberg  21242  selberg34r  21265  pntsval2  21270  pntrlog2bndlem1  21271
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1555  ax-5 1566  ax-17 1626  ax-9 1666  ax-8 1687  ax-13 1727  ax-14 1729  ax-6 1744  ax-7 1749  ax-11 1761  ax-12 1950  ax-ext 2417  ax-sep 4330  ax-nul 4338  ax-pow 4377  ax-pr 4403  ax-un 4701  ax-resscn 9047  ax-1cn 9048  ax-icn 9049  ax-addcl 9050  ax-addrcl 9051  ax-mulcl 9052  ax-mulrcl 9053  ax-mulcom 9054  ax-addass 9055  ax-mulass 9056  ax-distr 9057  ax-i2m1 9058  ax-1ne0 9059  ax-1rid 9060  ax-rnegex 9061  ax-rrecex 9062  ax-cnre 9063  ax-pre-lttri 9064  ax-pre-lttrn 9065  ax-pre-ltadd 9066  ax-pre-mulgt0 9067
This theorem depends on definitions:  df-bi 178  df-or 360  df-an 361  df-3or 937  df-3an 938  df-tru 1328  df-ex 1551  df-nf 1554  df-sb 1659  df-eu 2285  df-mo 2286  df-clab 2423  df-cleq 2429  df-clel 2432  df-nfc 2561  df-ne 2601  df-nel 2602  df-ral 2710  df-rex 2711  df-reu 2712  df-rmo 2713  df-rab 2714  df-v 2958  df-sbc 3162  df-csb 3252  df-dif 3323  df-un 3325  df-in 3327  df-ss 3334  df-pss 3336  df-nul 3629  df-if 3740  df-pw 3801  df-sn 3820  df-pr 3821  df-tp 3822  df-op 3823  df-uni 4016  df-iun 4095  df-br 4213  df-opab 4267  df-mpt 4268  df-tr 4303  df-eprel 4494  df-id 4498  df-po 4503  df-so 4504  df-fr 4541  df-we 4543  df-ord 4584  df-on 4585  df-lim 4586  df-suc 4587  df-om 4846  df-xp 4884  df-rel 4885  df-cnv 4886  df-co 4887  df-dm 4888  df-rn 4889  df-res 4890  df-ima 4891  df-iota 5418  df-fun 5456  df-fn 5457  df-f 5458  df-f1 5459  df-fo 5460  df-f1o 5461  df-fv 5462  df-ov 6084  df-oprab 6085  df-mpt2 6086  df-riota 6549  df-recs 6633  df-rdg 6668  df-er 6905  df-en 7110  df-dom 7111  df-sdom 7112  df-pnf 9122  df-mnf 9123  df-xr 9124  df-ltxr 9125  df-le 9126  df-sub 9293  df-neg 9294  df-div 9678  df-nn 10001  df-z 10283  df-dvds 12853
  Copyright terms: Public domain W3C validator