MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  dvdsdivcl Unicode version

Theorem dvdsdivcl 20421
Description: The complement of a divisor of  N is also a divisor of  N. (Contributed by Mario Carneiro, 2-Jul-2015.)
Assertion
Ref Expression
dvdsdivcl  |-  ( ( N  e.  NN  /\  A  e.  { x  e.  NN  |  x  ||  N } )  ->  ( N  /  A )  e. 
{ x  e.  NN  |  x  ||  N }
)
Distinct variable groups:    x, A    x, N

Proof of Theorem dvdsdivcl
StepHypRef Expression
1 breq1 4026 . . . . . . 7  |-  ( x  =  A  ->  (
x  ||  N  <->  A  ||  N
) )
21elrab 2923 . . . . . 6  |-  ( A  e.  { x  e.  NN  |  x  ||  N }  <->  ( A  e.  NN  /\  A  ||  N ) )
32simprbi 450 . . . . 5  |-  ( A  e.  { x  e.  NN  |  x  ||  N }  ->  A  ||  N )
43adantl 452 . . . 4  |-  ( ( N  e.  NN  /\  A  e.  { x  e.  NN  |  x  ||  N } )  ->  A  ||  N )
52simplbi 446 . . . . . . 7  |-  ( A  e.  { x  e.  NN  |  x  ||  N }  ->  A  e.  NN )
65adantl 452 . . . . . 6  |-  ( ( N  e.  NN  /\  A  e.  { x  e.  NN  |  x  ||  N } )  ->  A  e.  NN )
7 nnz 10045 . . . . . 6  |-  ( A  e.  NN  ->  A  e.  ZZ )
86, 7syl 15 . . . . 5  |-  ( ( N  e.  NN  /\  A  e.  { x  e.  NN  |  x  ||  N } )  ->  A  e.  ZZ )
96nnne0d 9790 . . . . 5  |-  ( ( N  e.  NN  /\  A  e.  { x  e.  NN  |  x  ||  N } )  ->  A  =/=  0 )
10 nnz 10045 . . . . . 6  |-  ( N  e.  NN  ->  N  e.  ZZ )
1110adantr 451 . . . . 5  |-  ( ( N  e.  NN  /\  A  e.  { x  e.  NN  |  x  ||  N } )  ->  N  e.  ZZ )
12 dvdsval2 12534 . . . . 5  |-  ( ( A  e.  ZZ  /\  A  =/=  0  /\  N  e.  ZZ )  ->  ( A  ||  N  <->  ( N  /  A )  e.  ZZ ) )
138, 9, 11, 12syl3anc 1182 . . . 4  |-  ( ( N  e.  NN  /\  A  e.  { x  e.  NN  |  x  ||  N } )  ->  ( A  ||  N  <->  ( N  /  A )  e.  ZZ ) )
144, 13mpbid 201 . . 3  |-  ( ( N  e.  NN  /\  A  e.  { x  e.  NN  |  x  ||  N } )  ->  ( N  /  A )  e.  ZZ )
15 nnre 9753 . . . . 5  |-  ( N  e.  NN  ->  N  e.  RR )
1615adantr 451 . . . 4  |-  ( ( N  e.  NN  /\  A  e.  { x  e.  NN  |  x  ||  N } )  ->  N  e.  RR )
176nnred 9761 . . . 4  |-  ( ( N  e.  NN  /\  A  e.  { x  e.  NN  |  x  ||  N } )  ->  A  e.  RR )
18 nngt0 9775 . . . . 5  |-  ( N  e.  NN  ->  0  <  N )
1918adantr 451 . . . 4  |-  ( ( N  e.  NN  /\  A  e.  { x  e.  NN  |  x  ||  N } )  ->  0  <  N )
20 nngt0 9775 . . . . 5  |-  ( A  e.  NN  ->  0  <  A )
216, 20syl 15 . . . 4  |-  ( ( N  e.  NN  /\  A  e.  { x  e.  NN  |  x  ||  N } )  ->  0  <  A )
2216, 17, 19, 21divgt0d 9692 . . 3  |-  ( ( N  e.  NN  /\  A  e.  { x  e.  NN  |  x  ||  N } )  ->  0  <  ( N  /  A
) )
23 elnnz 10034 . . 3  |-  ( ( N  /  A )  e.  NN  <->  ( ( N  /  A )  e.  ZZ  /\  0  < 
( N  /  A
) ) )
2414, 22, 23sylanbrc 645 . 2  |-  ( ( N  e.  NN  /\  A  e.  { x  e.  NN  |  x  ||  N } )  ->  ( N  /  A )  e.  NN )
25 nncn 9754 . . . . 5  |-  ( N  e.  NN  ->  N  e.  CC )
2625adantr 451 . . . 4  |-  ( ( N  e.  NN  /\  A  e.  { x  e.  NN  |  x  ||  N } )  ->  N  e.  CC )
276nncnd 9762 . . . 4  |-  ( ( N  e.  NN  /\  A  e.  { x  e.  NN  |  x  ||  N } )  ->  A  e.  CC )
2826, 27, 9divcan2d 9538 . . 3  |-  ( ( N  e.  NN  /\  A  e.  { x  e.  NN  |  x  ||  N } )  ->  ( A  x.  ( N  /  A ) )  =  N )
29 dvds0lem 12539 . . 3  |-  ( ( ( A  e.  ZZ  /\  ( N  /  A
)  e.  ZZ  /\  N  e.  ZZ )  /\  ( A  x.  ( N  /  A ) )  =  N )  -> 
( N  /  A
)  ||  N )
308, 14, 11, 28, 29syl31anc 1185 . 2  |-  ( ( N  e.  NN  /\  A  e.  { x  e.  NN  |  x  ||  N } )  ->  ( N  /  A )  ||  N )
31 breq1 4026 . . 3  |-  ( x  =  ( N  /  A )  ->  (
x  ||  N  <->  ( N  /  A )  ||  N
) )
3231elrab 2923 . 2  |-  ( ( N  /  A )  e.  { x  e.  NN  |  x  ||  N }  <->  ( ( N  /  A )  e.  NN  /\  ( N  /  A )  ||  N ) )
3324, 30, 32sylanbrc 645 1  |-  ( ( N  e.  NN  /\  A  e.  { x  e.  NN  |  x  ||  N } )  ->  ( N  /  A )  e. 
{ x  e.  NN  |  x  ||  N }
)
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    <-> wb 176    /\ wa 358    = wceq 1623    e. wcel 1684    =/= wne 2446   {crab 2547   class class class wbr 4023  (class class class)co 5858   CCcc 8735   RRcr 8736   0cc0 8737    x. cmul 8742    < clt 8867    / cdiv 9423   NNcn 9746   ZZcz 10024    || cdivides 12531
This theorem is referenced by:  dvdsflip  20422  fsumdvdsdiaglem  20423  fsumdvdsdiag  20424  fsumdvdscom  20425  muinv  20433  logsqvma  20691  logsqvma2  20692  selberg  20697  selberg34r  20720  pntsval2  20725  pntrlog2bndlem1  20726
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1533  ax-5 1544  ax-17 1603  ax-9 1635  ax-8 1643  ax-13 1686  ax-14 1688  ax-6 1703  ax-7 1708  ax-11 1715  ax-12 1866  ax-ext 2264  ax-sep 4141  ax-nul 4149  ax-pow 4188  ax-pr 4214  ax-un 4512  ax-resscn 8794  ax-1cn 8795  ax-icn 8796  ax-addcl 8797  ax-addrcl 8798  ax-mulcl 8799  ax-mulrcl 8800  ax-mulcom 8801  ax-addass 8802  ax-mulass 8803  ax-distr 8804  ax-i2m1 8805  ax-1ne0 8806  ax-1rid 8807  ax-rnegex 8808  ax-rrecex 8809  ax-cnre 8810  ax-pre-lttri 8811  ax-pre-lttrn 8812  ax-pre-ltadd 8813  ax-pre-mulgt0 8814
This theorem depends on definitions:  df-bi 177  df-or 359  df-an 360  df-3or 935  df-3an 936  df-tru 1310  df-ex 1529  df-nf 1532  df-sb 1630  df-eu 2147  df-mo 2148  df-clab 2270  df-cleq 2276  df-clel 2279  df-nfc 2408  df-ne 2448  df-nel 2449  df-ral 2548  df-rex 2549  df-reu 2550  df-rmo 2551  df-rab 2552  df-v 2790  df-sbc 2992  df-csb 3082  df-dif 3155  df-un 3157  df-in 3159  df-ss 3166  df-pss 3168  df-nul 3456  df-if 3566  df-pw 3627  df-sn 3646  df-pr 3647  df-tp 3648  df-op 3649  df-uni 3828  df-iun 3907  df-br 4024  df-opab 4078  df-mpt 4079  df-tr 4114  df-eprel 4305  df-id 4309  df-po 4314  df-so 4315  df-fr 4352  df-we 4354  df-ord 4395  df-on 4396  df-lim 4397  df-suc 4398  df-om 4657  df-xp 4695  df-rel 4696  df-cnv 4697  df-co 4698  df-dm 4699  df-rn 4700  df-res 4701  df-ima 4702  df-iota 5219  df-fun 5257  df-fn 5258  df-f 5259  df-f1 5260  df-fo 5261  df-f1o 5262  df-fv 5263  df-ov 5861  df-oprab 5862  df-mpt2 5863  df-riota 6304  df-recs 6388  df-rdg 6423  df-er 6660  df-en 6864  df-dom 6865  df-sdom 6866  df-pnf 8869  df-mnf 8870  df-xr 8871  df-ltxr 8872  df-le 8873  df-sub 9039  df-neg 9040  df-div 9424  df-nn 9747  df-z 10025  df-dvds 12532
  Copyright terms: Public domain W3C validator