MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  dvdsdivcl Unicode version

Theorem dvdsdivcl 20437
Description: The complement of a divisor of  N is also a divisor of  N. (Contributed by Mario Carneiro, 2-Jul-2015.)
Assertion
Ref Expression
dvdsdivcl  |-  ( ( N  e.  NN  /\  A  e.  { x  e.  NN  |  x  ||  N } )  ->  ( N  /  A )  e. 
{ x  e.  NN  |  x  ||  N }
)
Distinct variable groups:    x, A    x, N

Proof of Theorem dvdsdivcl
StepHypRef Expression
1 breq1 4042 . . . . . . 7  |-  ( x  =  A  ->  (
x  ||  N  <->  A  ||  N
) )
21elrab 2936 . . . . . 6  |-  ( A  e.  { x  e.  NN  |  x  ||  N }  <->  ( A  e.  NN  /\  A  ||  N ) )
32simprbi 450 . . . . 5  |-  ( A  e.  { x  e.  NN  |  x  ||  N }  ->  A  ||  N )
43adantl 452 . . . 4  |-  ( ( N  e.  NN  /\  A  e.  { x  e.  NN  |  x  ||  N } )  ->  A  ||  N )
52simplbi 446 . . . . . . 7  |-  ( A  e.  { x  e.  NN  |  x  ||  N }  ->  A  e.  NN )
65adantl 452 . . . . . 6  |-  ( ( N  e.  NN  /\  A  e.  { x  e.  NN  |  x  ||  N } )  ->  A  e.  NN )
7 nnz 10061 . . . . . 6  |-  ( A  e.  NN  ->  A  e.  ZZ )
86, 7syl 15 . . . . 5  |-  ( ( N  e.  NN  /\  A  e.  { x  e.  NN  |  x  ||  N } )  ->  A  e.  ZZ )
96nnne0d 9806 . . . . 5  |-  ( ( N  e.  NN  /\  A  e.  { x  e.  NN  |  x  ||  N } )  ->  A  =/=  0 )
10 nnz 10061 . . . . . 6  |-  ( N  e.  NN  ->  N  e.  ZZ )
1110adantr 451 . . . . 5  |-  ( ( N  e.  NN  /\  A  e.  { x  e.  NN  |  x  ||  N } )  ->  N  e.  ZZ )
12 dvdsval2 12550 . . . . 5  |-  ( ( A  e.  ZZ  /\  A  =/=  0  /\  N  e.  ZZ )  ->  ( A  ||  N  <->  ( N  /  A )  e.  ZZ ) )
138, 9, 11, 12syl3anc 1182 . . . 4  |-  ( ( N  e.  NN  /\  A  e.  { x  e.  NN  |  x  ||  N } )  ->  ( A  ||  N  <->  ( N  /  A )  e.  ZZ ) )
144, 13mpbid 201 . . 3  |-  ( ( N  e.  NN  /\  A  e.  { x  e.  NN  |  x  ||  N } )  ->  ( N  /  A )  e.  ZZ )
15 nnre 9769 . . . . 5  |-  ( N  e.  NN  ->  N  e.  RR )
1615adantr 451 . . . 4  |-  ( ( N  e.  NN  /\  A  e.  { x  e.  NN  |  x  ||  N } )  ->  N  e.  RR )
176nnred 9777 . . . 4  |-  ( ( N  e.  NN  /\  A  e.  { x  e.  NN  |  x  ||  N } )  ->  A  e.  RR )
18 nngt0 9791 . . . . 5  |-  ( N  e.  NN  ->  0  <  N )
1918adantr 451 . . . 4  |-  ( ( N  e.  NN  /\  A  e.  { x  e.  NN  |  x  ||  N } )  ->  0  <  N )
20 nngt0 9791 . . . . 5  |-  ( A  e.  NN  ->  0  <  A )
216, 20syl 15 . . . 4  |-  ( ( N  e.  NN  /\  A  e.  { x  e.  NN  |  x  ||  N } )  ->  0  <  A )
2216, 17, 19, 21divgt0d 9708 . . 3  |-  ( ( N  e.  NN  /\  A  e.  { x  e.  NN  |  x  ||  N } )  ->  0  <  ( N  /  A
) )
23 elnnz 10050 . . 3  |-  ( ( N  /  A )  e.  NN  <->  ( ( N  /  A )  e.  ZZ  /\  0  < 
( N  /  A
) ) )
2414, 22, 23sylanbrc 645 . 2  |-  ( ( N  e.  NN  /\  A  e.  { x  e.  NN  |  x  ||  N } )  ->  ( N  /  A )  e.  NN )
25 nncn 9770 . . . . 5  |-  ( N  e.  NN  ->  N  e.  CC )
2625adantr 451 . . . 4  |-  ( ( N  e.  NN  /\  A  e.  { x  e.  NN  |  x  ||  N } )  ->  N  e.  CC )
276nncnd 9778 . . . 4  |-  ( ( N  e.  NN  /\  A  e.  { x  e.  NN  |  x  ||  N } )  ->  A  e.  CC )
2826, 27, 9divcan2d 9554 . . 3  |-  ( ( N  e.  NN  /\  A  e.  { x  e.  NN  |  x  ||  N } )  ->  ( A  x.  ( N  /  A ) )  =  N )
29 dvds0lem 12555 . . 3  |-  ( ( ( A  e.  ZZ  /\  ( N  /  A
)  e.  ZZ  /\  N  e.  ZZ )  /\  ( A  x.  ( N  /  A ) )  =  N )  -> 
( N  /  A
)  ||  N )
308, 14, 11, 28, 29syl31anc 1185 . 2  |-  ( ( N  e.  NN  /\  A  e.  { x  e.  NN  |  x  ||  N } )  ->  ( N  /  A )  ||  N )
31 breq1 4042 . . 3  |-  ( x  =  ( N  /  A )  ->  (
x  ||  N  <->  ( N  /  A )  ||  N
) )
3231elrab 2936 . 2  |-  ( ( N  /  A )  e.  { x  e.  NN  |  x  ||  N }  <->  ( ( N  /  A )  e.  NN  /\  ( N  /  A )  ||  N ) )
3324, 30, 32sylanbrc 645 1  |-  ( ( N  e.  NN  /\  A  e.  { x  e.  NN  |  x  ||  N } )  ->  ( N  /  A )  e. 
{ x  e.  NN  |  x  ||  N }
)
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    <-> wb 176    /\ wa 358    = wceq 1632    e. wcel 1696    =/= wne 2459   {crab 2560   class class class wbr 4039  (class class class)co 5874   CCcc 8751   RRcr 8752   0cc0 8753    x. cmul 8758    < clt 8883    / cdiv 9439   NNcn 9762   ZZcz 10040    || cdivides 12547
This theorem is referenced by:  dvdsflip  20438  fsumdvdsdiaglem  20439  fsumdvdsdiag  20440  fsumdvdscom  20441  muinv  20449  logsqvma  20707  logsqvma2  20708  selberg  20713  selberg34r  20736  pntsval2  20741  pntrlog2bndlem1  20742
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1536  ax-5 1547  ax-17 1606  ax-9 1644  ax-8 1661  ax-13 1698  ax-14 1700  ax-6 1715  ax-7 1720  ax-11 1727  ax-12 1878  ax-ext 2277  ax-sep 4157  ax-nul 4165  ax-pow 4204  ax-pr 4230  ax-un 4528  ax-resscn 8810  ax-1cn 8811  ax-icn 8812  ax-addcl 8813  ax-addrcl 8814  ax-mulcl 8815  ax-mulrcl 8816  ax-mulcom 8817  ax-addass 8818  ax-mulass 8819  ax-distr 8820  ax-i2m1 8821  ax-1ne0 8822  ax-1rid 8823  ax-rnegex 8824  ax-rrecex 8825  ax-cnre 8826  ax-pre-lttri 8827  ax-pre-lttrn 8828  ax-pre-ltadd 8829  ax-pre-mulgt0 8830
This theorem depends on definitions:  df-bi 177  df-or 359  df-an 360  df-3or 935  df-3an 936  df-tru 1310  df-ex 1532  df-nf 1535  df-sb 1639  df-eu 2160  df-mo 2161  df-clab 2283  df-cleq 2289  df-clel 2292  df-nfc 2421  df-ne 2461  df-nel 2462  df-ral 2561  df-rex 2562  df-reu 2563  df-rmo 2564  df-rab 2565  df-v 2803  df-sbc 3005  df-csb 3095  df-dif 3168  df-un 3170  df-in 3172  df-ss 3179  df-pss 3181  df-nul 3469  df-if 3579  df-pw 3640  df-sn 3659  df-pr 3660  df-tp 3661  df-op 3662  df-uni 3844  df-iun 3923  df-br 4040  df-opab 4094  df-mpt 4095  df-tr 4130  df-eprel 4321  df-id 4325  df-po 4330  df-so 4331  df-fr 4368  df-we 4370  df-ord 4411  df-on 4412  df-lim 4413  df-suc 4414  df-om 4673  df-xp 4711  df-rel 4712  df-cnv 4713  df-co 4714  df-dm 4715  df-rn 4716  df-res 4717  df-ima 4718  df-iota 5235  df-fun 5273  df-fn 5274  df-f 5275  df-f1 5276  df-fo 5277  df-f1o 5278  df-fv 5279  df-ov 5877  df-oprab 5878  df-mpt2 5879  df-riota 6320  df-recs 6404  df-rdg 6439  df-er 6676  df-en 6880  df-dom 6881  df-sdom 6882  df-pnf 8885  df-mnf 8886  df-xr 8887  df-ltxr 8888  df-le 8889  df-sub 9055  df-neg 9056  df-div 9440  df-nn 9763  df-z 10041  df-dvds 12548
  Copyright terms: Public domain W3C validator