Metamath Proof Explorer < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  dvdsfac Structured version   Unicode version

Theorem dvdsfac 12904
 Description: A positive integer divides any greater factorial. (Contributed by Paul Chapman, 28-Nov-2012.)
Assertion
Ref Expression
dvdsfac

Proof of Theorem dvdsfac
Dummy variables are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 fveq2 5728 . . . . 5
21breq2d 4224 . . . 4
32imbi2d 308 . . 3
4 fveq2 5728 . . . . 5
54breq2d 4224 . . . 4
65imbi2d 308 . . 3
7 fveq2 5728 . . . . 5
87breq2d 4224 . . . 4
98imbi2d 308 . . 3
10 fveq2 5728 . . . . 5
1110breq2d 4224 . . . 4
1211imbi2d 308 . . 3
13 nnm1nn0 10261 . . . . . . . 8
14 faccl 11576 . . . . . . . 8
1513, 14syl 16 . . . . . . 7
1615nnzd 10374 . . . . . 6
17 nnz 10303 . . . . . 6
18 dvdsmul2 12872 . . . . . 6
1916, 17, 18syl2anc 643 . . . . 5
20 facnn2 11575 . . . . 5
2119, 20breqtrrd 4238 . . . 4
2221a1i 11 . . 3
2317adantl 453 . . . . . . 7
24 elnnuz 10522 . . . . . . . . . . . 12
25 uztrn 10502 . . . . . . . . . . . 12
2624, 25sylan2b 462 . . . . . . . . . . 11
27 elnnuz 10522 . . . . . . . . . . 11
2826, 27sylibr 204 . . . . . . . . . 10
2928nnnn0d 10274 . . . . . . . . 9
30 faccl 11576 . . . . . . . . 9
3129, 30syl 16 . . . . . . . 8
3231nnzd 10374 . . . . . . 7
3328nnzd 10374 . . . . . . . 8
3433peano2zd 10378 . . . . . . 7
35 dvdsmultr1 12884 . . . . . . 7
3623, 32, 34, 35syl3anc 1184 . . . . . 6
37 facp1 11571 . . . . . . . 8
3829, 37syl 16 . . . . . . 7
3938breq2d 4224 . . . . . 6
4036, 39sylibrd 226 . . . . 5
4140ex 424 . . . 4
4241a2d 24 . . 3
433, 6, 9, 12, 22, 42uzind4 10534 . 2
4443impcom 420 1
 Colors of variables: wff set class Syntax hints:   wi 4   wa 359   wceq 1652   wcel 1725   class class class wbr 4212  cfv 5454  (class class class)co 6081  c1 8991   caddc 8993   cmul 8995   cmin 9291  cn 10000  cn0 10221  cz 10282  cuz 10488  cfa 11566   cdivides 12852 This theorem is referenced by:  prmunb  13282  gexcl3  15221  wilth  20854  chtublem  20995 This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1555  ax-5 1566  ax-17 1626  ax-9 1666  ax-8 1687  ax-13 1727  ax-14 1729  ax-6 1744  ax-7 1749  ax-11 1761  ax-12 1950  ax-ext 2417  ax-sep 4330  ax-nul 4338  ax-pow 4377  ax-pr 4403  ax-un 4701  ax-cnex 9046  ax-resscn 9047  ax-1cn 9048  ax-icn 9049  ax-addcl 9050  ax-addrcl 9051  ax-mulcl 9052  ax-mulrcl 9053  ax-mulcom 9054  ax-addass 9055  ax-mulass 9056  ax-distr 9057  ax-i2m1 9058  ax-1ne0 9059  ax-1rid 9060  ax-rnegex 9061  ax-rrecex 9062  ax-cnre 9063  ax-pre-lttri 9064  ax-pre-lttrn 9065  ax-pre-ltadd 9066  ax-pre-mulgt0 9067 This theorem depends on definitions:  df-bi 178  df-or 360  df-an 361  df-3or 937  df-3an 938  df-tru 1328  df-ex 1551  df-nf 1554  df-sb 1659  df-eu 2285  df-mo 2286  df-clab 2423  df-cleq 2429  df-clel 2432  df-nfc 2561  df-ne 2601  df-nel 2602  df-ral 2710  df-rex 2711  df-reu 2712  df-rab 2714  df-v 2958  df-sbc 3162  df-csb 3252  df-dif 3323  df-un 3325  df-in 3327  df-ss 3334  df-pss 3336  df-nul 3629  df-if 3740  df-pw 3801  df-sn 3820  df-pr 3821  df-tp 3822  df-op 3823  df-uni 4016  df-iun 4095  df-br 4213  df-opab 4267  df-mpt 4268  df-tr 4303  df-eprel 4494  df-id 4498  df-po 4503  df-so 4504  df-fr 4541  df-we 4543  df-ord 4584  df-on 4585  df-lim 4586  df-suc 4587  df-om 4846  df-xp 4884  df-rel 4885  df-cnv 4886  df-co 4887  df-dm 4888  df-rn 4889  df-res 4890  df-ima 4891  df-iota 5418  df-fun 5456  df-fn 5457  df-f 5458  df-f1 5459  df-fo 5460  df-f1o 5461  df-fv 5462  df-ov 6084  df-oprab 6085  df-mpt2 6086  df-2nd 6350  df-riota 6549  df-recs 6633  df-rdg 6668  df-er 6905  df-en 7110  df-dom 7111  df-sdom 7112  df-pnf 9122  df-mnf 9123  df-xr 9124  df-ltxr 9125  df-le 9126  df-sub 9293  df-neg 9294  df-nn 10001  df-n0 10222  df-z 10283  df-uz 10489  df-seq 11324  df-fac 11567  df-dvds 12853
 Copyright terms: Public domain W3C validator