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Theorem dvdsflf1o 20650
Description: A bijection from the numbers less than  N  /  A to the multiples of  A less than  N. Useful for some sum manipulations. (Contributed by Mario Carneiro, 3-May-2016.)
Hypotheses
Ref Expression
dvdsflf1o.1  |-  ( ph  ->  A  e.  RR )
dvdsflf1o.2  |-  ( ph  ->  N  e.  NN )
dvdsflf1o.f  |-  F  =  ( n  e.  ( 1 ... ( |_
`  ( A  /  N ) ) ) 
|->  ( N  x.  n
) )
Assertion
Ref Expression
dvdsflf1o  |-  ( ph  ->  F : ( 1 ... ( |_ `  ( A  /  N
) ) ) -1-1-onto-> { x  e.  ( 1 ... ( |_ `  A ) )  |  N  ||  x } )
Distinct variable groups:    x, n, A    n, N, x    ph, n
Allowed substitution hints:    ph( x)    F( x, n)

Proof of Theorem dvdsflf1o
Dummy variable  m is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 dvdsflf1o.f . 2  |-  F  =  ( n  e.  ( 1 ... ( |_
`  ( A  /  N ) ) ) 
|->  ( N  x.  n
) )
2 dvdsflf1o.2 . . . . 5  |-  ( ph  ->  N  e.  NN )
3 elfznn 10972 . . . . 5  |-  ( n  e.  ( 1 ... ( |_ `  ( A  /  N ) ) )  ->  n  e.  NN )
4 nnmulcl 9916 . . . . 5  |-  ( ( N  e.  NN  /\  n  e.  NN )  ->  ( N  x.  n
)  e.  NN )
52, 3, 4syl2an 463 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  n  e.  ( 1 ... ( |_ `  ( A  /  N ) ) ) )  ->  ( N  x.  n )  e.  NN )
6 dvdsflf1o.1 . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  A  e.  RR )
76, 2nndivred 9941 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  ( A  /  N
)  e.  RR )
8 fznnfl 11130 . . . . . . . 8  |-  ( ( A  /  N )  e.  RR  ->  (
n  e.  ( 1 ... ( |_ `  ( A  /  N
) ) )  <->  ( n  e.  NN  /\  n  <_ 
( A  /  N
) ) ) )
97, 8syl 15 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  ( n  e.  ( 1 ... ( |_
`  ( A  /  N ) ) )  <-> 
( n  e.  NN  /\  n  <_  ( A  /  N ) ) ) )
109simplbda 607 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  n  e.  ( 1 ... ( |_ `  ( A  /  N ) ) ) )  ->  n  <_  ( A  /  N ) )
113adantl 452 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  n  e.  ( 1 ... ( |_ `  ( A  /  N ) ) ) )  ->  n  e.  NN )
1211nnred 9908 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  n  e.  ( 1 ... ( |_ `  ( A  /  N ) ) ) )  ->  n  e.  RR )
136adantr 451 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  n  e.  ( 1 ... ( |_ `  ( A  /  N ) ) ) )  ->  A  e.  RR )
142nnred 9908 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  N  e.  RR )
1514adantr 451 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  n  e.  ( 1 ... ( |_ `  ( A  /  N ) ) ) )  ->  N  e.  RR )
162nngt0d 9936 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  0  <  N )
1716adantr 451 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  n  e.  ( 1 ... ( |_ `  ( A  /  N ) ) ) )  ->  0  <  N )
18 lemuldiv2 9783 . . . . . . 7  |-  ( ( n  e.  RR  /\  A  e.  RR  /\  ( N  e.  RR  /\  0  <  N ) )  -> 
( ( N  x.  n )  <_  A  <->  n  <_  ( A  /  N ) ) )
1912, 13, 15, 17, 18syl112anc 1187 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  n  e.  ( 1 ... ( |_ `  ( A  /  N ) ) ) )  ->  ( ( N  x.  n )  <_  A  <->  n  <_  ( A  /  N ) ) )
2010, 19mpbird 223 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  n  e.  ( 1 ... ( |_ `  ( A  /  N ) ) ) )  ->  ( N  x.  n )  <_  A
)
212nnzd 10267 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  N  e.  ZZ )
22 elfzelz 10951 . . . . . . 7  |-  ( n  e.  ( 1 ... ( |_ `  ( A  /  N ) ) )  ->  n  e.  ZZ )
23 zmulcl 10217 . . . . . . 7  |-  ( ( N  e.  ZZ  /\  n  e.  ZZ )  ->  ( N  x.  n
)  e.  ZZ )
2421, 22, 23syl2an 463 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  n  e.  ( 1 ... ( |_ `  ( A  /  N ) ) ) )  ->  ( N  x.  n )  e.  ZZ )
25 flge 11101 . . . . . 6  |-  ( ( A  e.  RR  /\  ( N  x.  n
)  e.  ZZ )  ->  ( ( N  x.  n )  <_  A 
<->  ( N  x.  n
)  <_  ( |_ `  A ) ) )
2613, 24, 25syl2anc 642 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  n  e.  ( 1 ... ( |_ `  ( A  /  N ) ) ) )  ->  ( ( N  x.  n )  <_  A  <->  ( N  x.  n )  <_  ( |_ `  A ) ) )
2720, 26mpbid 201 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  n  e.  ( 1 ... ( |_ `  ( A  /  N ) ) ) )  ->  ( N  x.  n )  <_  ( |_ `  A ) )
286flcld 11094 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  ( |_ `  A
)  e.  ZZ )
2928adantr 451 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  n  e.  ( 1 ... ( |_ `  ( A  /  N ) ) ) )  ->  ( |_ `  A )  e.  ZZ )
30 fznn 11005 . . . . 5  |-  ( ( |_ `  A )  e.  ZZ  ->  (
( N  x.  n
)  e.  ( 1 ... ( |_ `  A ) )  <->  ( ( N  x.  n )  e.  NN  /\  ( N  x.  n )  <_ 
( |_ `  A
) ) ) )
3129, 30syl 15 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  n  e.  ( 1 ... ( |_ `  ( A  /  N ) ) ) )  ->  ( ( N  x.  n )  e.  ( 1 ... ( |_ `  A ) )  <-> 
( ( N  x.  n )  e.  NN  /\  ( N  x.  n
)  <_  ( |_ `  A ) ) ) )
325, 27, 31mpbir2and 888 . . 3  |-  ( (
ph  /\  n  e.  ( 1 ... ( |_ `  ( A  /  N ) ) ) )  ->  ( N  x.  n )  e.  ( 1 ... ( |_
`  A ) ) )
33 dvdsmul1 12758 . . . 4  |-  ( ( N  e.  ZZ  /\  n  e.  ZZ )  ->  N  ||  ( N  x.  n ) )
3421, 22, 33syl2an 463 . . 3  |-  ( (
ph  /\  n  e.  ( 1 ... ( |_ `  ( A  /  N ) ) ) )  ->  N  ||  ( N  x.  n )
)
35 breq2 4129 . . . 4  |-  ( x  =  ( N  x.  n )  ->  ( N  ||  x  <->  N  ||  ( N  x.  n )
) )
3635elrab 3009 . . 3  |-  ( ( N  x.  n )  e.  { x  e.  ( 1 ... ( |_ `  A ) )  |  N  ||  x } 
<->  ( ( N  x.  n )  e.  ( 1 ... ( |_
`  A ) )  /\  N  ||  ( N  x.  n )
) )
3732, 34, 36sylanbrc 645 . 2  |-  ( (
ph  /\  n  e.  ( 1 ... ( |_ `  ( A  /  N ) ) ) )  ->  ( N  x.  n )  e.  {
x  e.  ( 1 ... ( |_ `  A ) )  |  N  ||  x }
)
38 breq2 4129 . . . . . . 7  |-  ( x  =  m  ->  ( N  ||  x  <->  N  ||  m
) )
3938elrab 3009 . . . . . 6  |-  ( m  e.  { x  e.  ( 1 ... ( |_ `  A ) )  |  N  ||  x } 
<->  ( m  e.  ( 1 ... ( |_
`  A ) )  /\  N  ||  m
) )
4039simprbi 450 . . . . 5  |-  ( m  e.  { x  e.  ( 1 ... ( |_ `  A ) )  |  N  ||  x }  ->  N  ||  m
)
4140adantl 452 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  m  e.  { x  e.  ( 1 ... ( |_ `  A ) )  |  N  ||  x }
)  ->  N  ||  m
)
4239simplbi 446 . . . . . . 7  |-  ( m  e.  { x  e.  ( 1 ... ( |_ `  A ) )  |  N  ||  x }  ->  m  e.  ( 1 ... ( |_
`  A ) ) )
4342adantl 452 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  m  e.  { x  e.  ( 1 ... ( |_ `  A ) )  |  N  ||  x }
)  ->  m  e.  ( 1 ... ( |_ `  A ) ) )
44 elfznn 10972 . . . . . 6  |-  ( m  e.  ( 1 ... ( |_ `  A
) )  ->  m  e.  NN )
4543, 44syl 15 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  m  e.  { x  e.  ( 1 ... ( |_ `  A ) )  |  N  ||  x }
)  ->  m  e.  NN )
462adantr 451 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  m  e.  { x  e.  ( 1 ... ( |_ `  A ) )  |  N  ||  x }
)  ->  N  e.  NN )
47 nndivdvds 12745 . . . . 5  |-  ( ( m  e.  NN  /\  N  e.  NN )  ->  ( N  ||  m  <->  ( m  /  N )  e.  NN ) )
4845, 46, 47syl2anc 642 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  m  e.  { x  e.  ( 1 ... ( |_ `  A ) )  |  N  ||  x }
)  ->  ( N  ||  m  <->  ( m  /  N )  e.  NN ) )
4941, 48mpbid 201 . . 3  |-  ( (
ph  /\  m  e.  { x  e.  ( 1 ... ( |_ `  A ) )  |  N  ||  x }
)  ->  ( m  /  N )  e.  NN )
50 fznnfl 11130 . . . . . . 7  |-  ( A  e.  RR  ->  (
m  e.  ( 1 ... ( |_ `  A ) )  <->  ( m  e.  NN  /\  m  <_  A ) ) )
516, 50syl 15 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  ( m  e.  ( 1 ... ( |_
`  A ) )  <-> 
( m  e.  NN  /\  m  <_  A )
) )
5251simplbda 607 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  m  e.  ( 1 ... ( |_ `  A ) ) )  ->  m  <_  A )
5342, 52sylan2 460 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  m  e.  { x  e.  ( 1 ... ( |_ `  A ) )  |  N  ||  x }
)  ->  m  <_  A )
5445nnred 9908 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  m  e.  { x  e.  ( 1 ... ( |_ `  A ) )  |  N  ||  x }
)  ->  m  e.  RR )
556adantr 451 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  m  e.  { x  e.  ( 1 ... ( |_ `  A ) )  |  N  ||  x }
)  ->  A  e.  RR )
5614adantr 451 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  m  e.  { x  e.  ( 1 ... ( |_ `  A ) )  |  N  ||  x }
)  ->  N  e.  RR )
5716adantr 451 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  m  e.  { x  e.  ( 1 ... ( |_ `  A ) )  |  N  ||  x }
)  ->  0  <  N )
58 lediv1 9768 . . . . 5  |-  ( ( m  e.  RR  /\  A  e.  RR  /\  ( N  e.  RR  /\  0  <  N ) )  -> 
( m  <_  A  <->  ( m  /  N )  <_  ( A  /  N ) ) )
5954, 55, 56, 57, 58syl112anc 1187 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  m  e.  { x  e.  ( 1 ... ( |_ `  A ) )  |  N  ||  x }
)  ->  ( m  <_  A  <->  ( m  /  N )  <_  ( A  /  N ) ) )
6053, 59mpbid 201 . . 3  |-  ( (
ph  /\  m  e.  { x  e.  ( 1 ... ( |_ `  A ) )  |  N  ||  x }
)  ->  ( m  /  N )  <_  ( A  /  N ) )
617adantr 451 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  m  e.  { x  e.  ( 1 ... ( |_ `  A ) )  |  N  ||  x }
)  ->  ( A  /  N )  e.  RR )
62 fznnfl 11130 . . . 4  |-  ( ( A  /  N )  e.  RR  ->  (
( m  /  N
)  e.  ( 1 ... ( |_ `  ( A  /  N
) ) )  <->  ( (
m  /  N )  e.  NN  /\  (
m  /  N )  <_  ( A  /  N ) ) ) )
6361, 62syl 15 . . 3  |-  ( (
ph  /\  m  e.  { x  e.  ( 1 ... ( |_ `  A ) )  |  N  ||  x }
)  ->  ( (
m  /  N )  e.  ( 1 ... ( |_ `  ( A  /  N ) ) )  <->  ( ( m  /  N )  e.  NN  /\  ( m  /  N )  <_ 
( A  /  N
) ) ) )
6449, 60, 63mpbir2and 888 . 2  |-  ( (
ph  /\  m  e.  { x  e.  ( 1 ... ( |_ `  A ) )  |  N  ||  x }
)  ->  ( m  /  N )  e.  ( 1 ... ( |_
`  ( A  /  N ) ) ) )
6545nncnd 9909 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  m  e.  { x  e.  ( 1 ... ( |_ `  A ) )  |  N  ||  x }
)  ->  m  e.  CC )
6665adantrl 696 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  ( n  e.  ( 1 ... ( |_ `  ( A  /  N ) ) )  /\  m  e.  {
x  e.  ( 1 ... ( |_ `  A ) )  |  N  ||  x }
) )  ->  m  e.  CC )
672nncnd 9909 . . . . 5  |-  ( ph  ->  N  e.  CC )
6867adantr 451 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  ( n  e.  ( 1 ... ( |_ `  ( A  /  N ) ) )  /\  m  e.  {
x  e.  ( 1 ... ( |_ `  A ) )  |  N  ||  x }
) )  ->  N  e.  CC )
6911nncnd 9909 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  n  e.  ( 1 ... ( |_ `  ( A  /  N ) ) ) )  ->  n  e.  CC )
7069adantrr 697 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  ( n  e.  ( 1 ... ( |_ `  ( A  /  N ) ) )  /\  m  e.  {
x  e.  ( 1 ... ( |_ `  A ) )  |  N  ||  x }
) )  ->  n  e.  CC )
712nnne0d 9937 . . . . 5  |-  ( ph  ->  N  =/=  0 )
7271adantr 451 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  ( n  e.  ( 1 ... ( |_ `  ( A  /  N ) ) )  /\  m  e.  {
x  e.  ( 1 ... ( |_ `  A ) )  |  N  ||  x }
) )  ->  N  =/=  0 )
7366, 68, 70, 72divmuld 9705 . . 3  |-  ( (
ph  /\  ( n  e.  ( 1 ... ( |_ `  ( A  /  N ) ) )  /\  m  e.  {
x  e.  ( 1 ... ( |_ `  A ) )  |  N  ||  x }
) )  ->  (
( m  /  N
)  =  n  <->  ( N  x.  n )  =  m ) )
74 eqcom 2368 . . 3  |-  ( n  =  ( m  /  N )  <->  ( m  /  N )  =  n )
75 eqcom 2368 . . 3  |-  ( m  =  ( N  x.  n )  <->  ( N  x.  n )  =  m )
7673, 74, 753bitr4g 279 . 2  |-  ( (
ph  /\  ( n  e.  ( 1 ... ( |_ `  ( A  /  N ) ) )  /\  m  e.  {
x  e.  ( 1 ... ( |_ `  A ) )  |  N  ||  x }
) )  ->  (
n  =  ( m  /  N )  <->  m  =  ( N  x.  n
) ) )
771, 37, 64, 76f1o2d 6196 1  |-  ( ph  ->  F : ( 1 ... ( |_ `  ( A  /  N
) ) ) -1-1-onto-> { x  e.  ( 1 ... ( |_ `  A ) )  |  N  ||  x } )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    <-> wb 176    /\ wa 358    = wceq 1647    e. wcel 1715    =/= wne 2529   {crab 2632   class class class wbr 4125    e. cmpt 4179   -1-1-onto->wf1o 5357   ` cfv 5358  (class class class)co 5981   CCcc 8882   RRcr 8883   0cc0 8884   1c1 8885    x. cmul 8889    < clt 9014    <_ cle 9015    / cdiv 9570   NNcn 9893   ZZcz 10175   ...cfz 10935   |_cfl 11088    || cdivides 12739
This theorem is referenced by:  dvdsflsumcom  20651  logfac2  20679
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1551  ax-5 1562  ax-17 1621  ax-9 1659  ax-8 1680  ax-13 1717  ax-14 1719  ax-6 1734  ax-7 1739  ax-11 1751  ax-12 1937  ax-ext 2347  ax-sep 4243  ax-nul 4251  ax-pow 4290  ax-pr 4316  ax-un 4615  ax-cnex 8940  ax-resscn 8941  ax-1cn 8942  ax-icn 8943  ax-addcl 8944  ax-addrcl 8945  ax-mulcl 8946  ax-mulrcl 8947  ax-mulcom 8948  ax-addass 8949  ax-mulass 8950  ax-distr 8951  ax-i2m1 8952  ax-1ne0 8953  ax-1rid 8954  ax-rnegex 8955  ax-rrecex 8956  ax-cnre 8957  ax-pre-lttri 8958  ax-pre-lttrn 8959  ax-pre-ltadd 8960  ax-pre-mulgt0 8961  ax-pre-sup 8962
This theorem depends on definitions:  df-bi 177  df-or 359  df-an 360  df-3or 936  df-3an 937  df-tru 1324  df-ex 1547  df-nf 1550  df-sb 1654  df-eu 2221  df-mo 2222  df-clab 2353  df-cleq 2359  df-clel 2362  df-nfc 2491  df-ne 2531  df-nel 2532  df-ral 2633  df-rex 2634  df-reu 2635  df-rmo 2636  df-rab 2637  df-v 2875  df-sbc 3078  df-csb 3168  df-dif 3241  df-un 3243  df-in 3245  df-ss 3252  df-pss 3254  df-nul 3544  df-if 3655  df-pw 3716  df-sn 3735  df-pr 3736  df-tp 3737  df-op 3738  df-uni 3930  df-iun 4009  df-br 4126  df-opab 4180  df-mpt 4181  df-tr 4216  df-eprel 4408  df-id 4412  df-po 4417  df-so 4418  df-fr 4455  df-we 4457  df-ord 4498  df-on 4499  df-lim 4500  df-suc 4501  df-om 4760  df-xp 4798  df-rel 4799  df-cnv 4800  df-co 4801  df-dm 4802  df-rn 4803  df-res 4804  df-ima 4805  df-iota 5322  df-fun 5360  df-fn 5361  df-f 5362  df-f1 5363  df-fo 5364  df-f1o 5365  df-fv 5366  df-ov 5984  df-oprab 5985  df-mpt2 5986  df-1st 6249  df-2nd 6250  df-riota 6446  df-recs 6530  df-rdg 6565  df-er 6802  df-en 7007  df-dom 7008  df-sdom 7009  df-sup 7341  df-pnf 9016  df-mnf 9017  df-xr 9018  df-ltxr 9019  df-le 9020  df-sub 9186  df-neg 9187  df-div 9571  df-nn 9894  df-n0 10115  df-z 10176  df-uz 10382  df-fz 10936  df-fl 11089  df-dvds 12740
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