Metamath Proof Explorer < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  dvdsflf1o Structured version   Unicode version

Theorem dvdsflf1o 20977
 Description: A bijection from the numbers less than to the multiples of less than . Useful for some sum manipulations. (Contributed by Mario Carneiro, 3-May-2016.)
Hypotheses
Ref Expression
dvdsflf1o.1
dvdsflf1o.2
dvdsflf1o.f
Assertion
Ref Expression
dvdsflf1o
Distinct variable groups:   ,,   ,,   ,
Allowed substitution hints:   ()   (,)

Proof of Theorem dvdsflf1o
Dummy variable is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 dvdsflf1o.f . 2
2 dvdsflf1o.2 . . . . 5
3 elfznn 11085 . . . . 5
4 nnmulcl 10028 . . . . 5
52, 3, 4syl2an 465 . . . 4
6 dvdsflf1o.1 . . . . . . . . 9
76, 2nndivred 10053 . . . . . . . 8
8 fznnfl 11248 . . . . . . . 8
97, 8syl 16 . . . . . . 7
109simplbda 609 . . . . . 6
113adantl 454 . . . . . . . 8
1211nnred 10020 . . . . . . 7
136adantr 453 . . . . . . 7
142nnred 10020 . . . . . . . 8
1514adantr 453 . . . . . . 7
162nngt0d 10048 . . . . . . . 8
1716adantr 453 . . . . . . 7
18 lemuldiv2 9895 . . . . . . 7
1912, 13, 15, 17, 18syl112anc 1189 . . . . . 6
2010, 19mpbird 225 . . . . 5
212nnzd 10379 . . . . . . 7
22 elfzelz 11064 . . . . . . 7
23 zmulcl 10329 . . . . . . 7
2421, 22, 23syl2an 465 . . . . . 6
25 flge 11219 . . . . . 6
2613, 24, 25syl2anc 644 . . . . 5
2720, 26mpbid 203 . . . 4
286flcld 11212 . . . . . 6
2928adantr 453 . . . . 5
30 fznn 11120 . . . . 5
3129, 30syl 16 . . . 4
325, 27, 31mpbir2and 890 . . 3
33 dvdsmul1 12876 . . . 4
3421, 22, 33syl2an 465 . . 3
35 breq2 4219 . . . 4
3635elrab 3094 . . 3
3732, 34, 36sylanbrc 647 . 2
38 breq2 4219 . . . . . . 7
3938elrab 3094 . . . . . 6
4039simprbi 452 . . . . 5
4140adantl 454 . . . 4
42 elrabi 3092 . . . . . . 7
4342adantl 454 . . . . . 6
44 elfznn 11085 . . . . . 6
4543, 44syl 16 . . . . 5
462adantr 453 . . . . 5
47 nndivdvds 12863 . . . . 5
4845, 46, 47syl2anc 644 . . . 4
4941, 48mpbid 203 . . 3
50 fznnfl 11248 . . . . . . 7
516, 50syl 16 . . . . . 6
5251simplbda 609 . . . . 5
5342, 52sylan2 462 . . . 4
5445nnred 10020 . . . . 5
556adantr 453 . . . . 5
5614adantr 453 . . . . 5
5716adantr 453 . . . . 5
58 lediv1 9880 . . . . 5
5954, 55, 56, 57, 58syl112anc 1189 . . . 4
6053, 59mpbid 203 . . 3
617adantr 453 . . . 4
62 fznnfl 11248 . . . 4
6361, 62syl 16 . . 3
6449, 60, 63mpbir2and 890 . 2
6545nncnd 10021 . . . . 5
6665adantrl 698 . . . 4
672nncnd 10021 . . . . 5
6867adantr 453 . . . 4
6911nncnd 10021 . . . . 5
7069adantrr 699 . . . 4
712nnne0d 10049 . . . . 5
7271adantr 453 . . . 4
7366, 68, 70, 72divmuld 9817 . . 3
74 eqcom 2440 . . 3
75 eqcom 2440 . . 3
7673, 74, 753bitr4g 281 . 2
771, 37, 64, 76f1o2d 6299 1
 Colors of variables: wff set class Syntax hints:   wi 4   wb 178   wa 360   wceq 1653   wcel 1726   wne 2601  crab 2711   class class class wbr 4215   cmpt 4269  wf1o 5456  cfv 5457  (class class class)co 6084  cc 8993  cr 8994  cc0 8995  c1 8996   cmul 9000   clt 9125   cle 9126   cdiv 9682  cn 10005  cz 10287  cfz 11048  cfl 11206   cdivides 12857 This theorem is referenced by:  dvdsflsumcom  20978  logfac2  21006 This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1556  ax-5 1567  ax-17 1627  ax-9 1667  ax-8 1688  ax-13 1728  ax-14 1730  ax-6 1745  ax-7 1750  ax-11 1762  ax-12 1951  ax-ext 2419  ax-sep 4333  ax-nul 4341  ax-pow 4380  ax-pr 4406  ax-un 4704  ax-cnex 9051  ax-resscn 9052  ax-1cn 9053  ax-icn 9054  ax-addcl 9055  ax-addrcl 9056  ax-mulcl 9057  ax-mulrcl 9058  ax-mulcom 9059  ax-addass 9060  ax-mulass 9061  ax-distr 9062  ax-i2m1 9063  ax-1ne0 9064  ax-1rid 9065  ax-rnegex 9066  ax-rrecex 9067  ax-cnre 9068  ax-pre-lttri 9069  ax-pre-lttrn 9070  ax-pre-ltadd 9071  ax-pre-mulgt0 9072  ax-pre-sup 9073 This theorem depends on definitions:  df-bi 179  df-or 361  df-an 362  df-3or 938  df-3an 939  df-tru 1329  df-ex 1552  df-nf 1555  df-sb 1660  df-eu 2287  df-mo 2288  df-clab 2425  df-cleq 2431  df-clel 2434  df-nfc 2563  df-ne 2603  df-nel 2604  df-ral 2712  df-rex 2713  df-reu 2714  df-rmo 2715  df-rab 2716  df-v 2960  df-sbc 3164  df-csb 3254  df-dif 3325  df-un 3327  df-in 3329  df-ss 3336  df-pss 3338  df-nul 3631  df-if 3742  df-pw 3803  df-sn 3822  df-pr 3823  df-tp 3824  df-op 3825  df-uni 4018  df-iun 4097  df-br 4216  df-opab 4270  df-mpt 4271  df-tr 4306  df-eprel 4497  df-id 4501  df-po 4506  df-so 4507  df-fr 4544  df-we 4546  df-ord 4587  df-on 4588  df-lim 4589  df-suc 4590  df-om 4849  df-xp 4887  df-rel 4888  df-cnv 4889  df-co 4890  df-dm 4891  df-rn 4892  df-res 4893  df-ima 4894  df-iota 5421  df-fun 5459  df-fn 5460  df-f 5461  df-f1 5462  df-fo 5463  df-f1o 5464  df-fv 5465  df-ov 6087  df-oprab 6088  df-mpt2 6089  df-1st 6352  df-2nd 6353  df-riota 6552  df-recs 6636  df-rdg 6671  df-er 6908  df-en 7113  df-dom 7114  df-sdom 7115  df-sup 7449  df-pnf 9127  df-mnf 9128  df-xr 9129  df-ltxr 9130  df-le 9131  df-sub 9298  df-neg 9299  df-div 9683  df-nn 10006  df-n0 10227  df-z 10288  df-uz 10494  df-fz 11049  df-fl 11207  df-dvds 12858
 Copyright terms: Public domain W3C validator