MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  dvdsflip Structured version   Unicode version

Theorem dvdsflip 20959
Description: An involution of the divisors of a number. (Contributed by Stefan O'Rear, 12-Sep-2015.) (Proof shortened by Mario Carneiro, 13-May-2016.)
Hypotheses
Ref Expression
dvdsflip.a  |-  A  =  { x  e.  NN  |  x  ||  N }
dvdsflip.f  |-  F  =  ( y  e.  A  |->  ( N  /  y
) )
Assertion
Ref Expression
dvdsflip  |-  ( N  e.  NN  ->  F : A -1-1-onto-> A )
Distinct variable groups:    y, A    x, y, N
Allowed substitution hints:    A( x)    F( x, y)

Proof of Theorem dvdsflip
Dummy variable  z is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 dvdsflip.f . 2  |-  F  =  ( y  e.  A  |->  ( N  /  y
) )
2 dvdsflip.a . . . . 5  |-  A  =  { x  e.  NN  |  x  ||  N }
32eleq2i 2499 . . . 4  |-  ( y  e.  A  <->  y  e.  { x  e.  NN  |  x  ||  N } )
4 dvdsdivcl 20958 . . . 4  |-  ( ( N  e.  NN  /\  y  e.  { x  e.  NN  |  x  ||  N } )  ->  ( N  /  y )  e. 
{ x  e.  NN  |  x  ||  N }
)
53, 4sylan2b 462 . . 3  |-  ( ( N  e.  NN  /\  y  e.  A )  ->  ( N  /  y
)  e.  { x  e.  NN  |  x  ||  N } )
65, 2syl6eleqr 2526 . 2  |-  ( ( N  e.  NN  /\  y  e.  A )  ->  ( N  /  y
)  e.  A )
72eleq2i 2499 . . . 4  |-  ( z  e.  A  <->  z  e.  { x  e.  NN  |  x  ||  N } )
8 dvdsdivcl 20958 . . . 4  |-  ( ( N  e.  NN  /\  z  e.  { x  e.  NN  |  x  ||  N } )  ->  ( N  /  z )  e. 
{ x  e.  NN  |  x  ||  N }
)
97, 8sylan2b 462 . . 3  |-  ( ( N  e.  NN  /\  z  e.  A )  ->  ( N  /  z
)  e.  { x  e.  NN  |  x  ||  N } )
109, 2syl6eleqr 2526 . 2  |-  ( ( N  e.  NN  /\  z  e.  A )  ->  ( N  /  z
)  e.  A )
11 ssrab2 3420 . . . . . . 7  |-  { x  e.  NN  |  x  ||  N }  C_  NN
122, 11eqsstri 3370 . . . . . 6  |-  A  C_  NN
1312sseli 3336 . . . . 5  |-  ( y  e.  A  ->  y  e.  NN )
1412sseli 3336 . . . . 5  |-  ( z  e.  A  ->  z  e.  NN )
1513, 14anim12i 550 . . . 4  |-  ( ( y  e.  A  /\  z  e.  A )  ->  ( y  e.  NN  /\  z  e.  NN ) )
16 nncn 10000 . . . . . . 7  |-  ( N  e.  NN  ->  N  e.  CC )
1716adantr 452 . . . . . 6  |-  ( ( N  e.  NN  /\  ( y  e.  NN  /\  z  e.  NN ) )  ->  N  e.  CC )
18 nncn 10000 . . . . . . 7  |-  ( y  e.  NN  ->  y  e.  CC )
1918ad2antrl 709 . . . . . 6  |-  ( ( N  e.  NN  /\  ( y  e.  NN  /\  z  e.  NN ) )  ->  y  e.  CC )
20 nncn 10000 . . . . . . 7  |-  ( z  e.  NN  ->  z  e.  CC )
2120ad2antll 710 . . . . . 6  |-  ( ( N  e.  NN  /\  ( y  e.  NN  /\  z  e.  NN ) )  ->  z  e.  CC )
22 nnne0 10024 . . . . . . 7  |-  ( z  e.  NN  ->  z  =/=  0 )
2322ad2antll 710 . . . . . 6  |-  ( ( N  e.  NN  /\  ( y  e.  NN  /\  z  e.  NN ) )  ->  z  =/=  0 )
2417, 19, 21, 23divmul3d 9816 . . . . 5  |-  ( ( N  e.  NN  /\  ( y  e.  NN  /\  z  e.  NN ) )  ->  ( ( N  /  z )  =  y  <->  N  =  (
y  x.  z ) ) )
25 nnne0 10024 . . . . . . 7  |-  ( y  e.  NN  ->  y  =/=  0 )
2625ad2antrl 709 . . . . . 6  |-  ( ( N  e.  NN  /\  ( y  e.  NN  /\  z  e.  NN ) )  ->  y  =/=  0 )
2717, 21, 19, 26divmul2d 9815 . . . . 5  |-  ( ( N  e.  NN  /\  ( y  e.  NN  /\  z  e.  NN ) )  ->  ( ( N  /  y )  =  z  <->  N  =  (
y  x.  z ) ) )
2824, 27bitr4d 248 . . . 4  |-  ( ( N  e.  NN  /\  ( y  e.  NN  /\  z  e.  NN ) )  ->  ( ( N  /  z )  =  y  <->  ( N  / 
y )  =  z ) )
2915, 28sylan2 461 . . 3  |-  ( ( N  e.  NN  /\  ( y  e.  A  /\  z  e.  A
) )  ->  (
( N  /  z
)  =  y  <->  ( N  /  y )  =  z ) )
30 eqcom 2437 . . 3  |-  ( y  =  ( N  / 
z )  <->  ( N  /  z )  =  y )
31 eqcom 2437 . . 3  |-  ( z  =  ( N  / 
y )  <->  ( N  /  y )  =  z )
3229, 30, 313bitr4g 280 . 2  |-  ( ( N  e.  NN  /\  ( y  e.  A  /\  z  e.  A
) )  ->  (
y  =  ( N  /  z )  <->  z  =  ( N  /  y
) ) )
331, 6, 10, 32f1o2d 6288 1  |-  ( N  e.  NN  ->  F : A -1-1-onto-> A )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    <-> wb 177    /\ wa 359    = wceq 1652    e. wcel 1725    =/= wne 2598   {crab 2701   class class class wbr 4204    e. cmpt 4258   -1-1-onto->wf1o 5445  (class class class)co 6073   CCcc 8980   0cc0 8982    x. cmul 8987    / cdiv 9669   NNcn 9992    || cdivides 12844
This theorem is referenced by:  fsumdvdscom  20962  phisum  27486
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1555  ax-5 1566  ax-17 1626  ax-9 1666  ax-8 1687  ax-13 1727  ax-14 1729  ax-6 1744  ax-7 1749  ax-11 1761  ax-12 1950  ax-ext 2416  ax-sep 4322  ax-nul 4330  ax-pow 4369  ax-pr 4395  ax-un 4693  ax-resscn 9039  ax-1cn 9040  ax-icn 9041  ax-addcl 9042  ax-addrcl 9043  ax-mulcl 9044  ax-mulrcl 9045  ax-mulcom 9046  ax-addass 9047  ax-mulass 9048  ax-distr 9049  ax-i2m1 9050  ax-1ne0 9051  ax-1rid 9052  ax-rnegex 9053  ax-rrecex 9054  ax-cnre 9055  ax-pre-lttri 9056  ax-pre-lttrn 9057  ax-pre-ltadd 9058  ax-pre-mulgt0 9059
This theorem depends on definitions:  df-bi 178  df-or 360  df-an 361  df-3or 937  df-3an 938  df-tru 1328  df-ex 1551  df-nf 1554  df-sb 1659  df-eu 2284  df-mo 2285  df-clab 2422  df-cleq 2428  df-clel 2431  df-nfc 2560  df-ne 2600  df-nel 2601  df-ral 2702  df-rex 2703  df-reu 2704  df-rmo 2705  df-rab 2706  df-v 2950  df-sbc 3154  df-csb 3244  df-dif 3315  df-un 3317  df-in 3319  df-ss 3326  df-pss 3328  df-nul 3621  df-if 3732  df-pw 3793  df-sn 3812  df-pr 3813  df-tp 3814  df-op 3815  df-uni 4008  df-iun 4087  df-br 4205  df-opab 4259  df-mpt 4260  df-tr 4295  df-eprel 4486  df-id 4490  df-po 4495  df-so 4496  df-fr 4533  df-we 4535  df-ord 4576  df-on 4577  df-lim 4578  df-suc 4579  df-om 4838  df-xp 4876  df-rel 4877  df-cnv 4878  df-co 4879  df-dm 4880  df-rn 4881  df-res 4882  df-ima 4883  df-iota 5410  df-fun 5448  df-fn 5449  df-f 5450  df-f1 5451  df-fo 5452  df-f1o 5453  df-fv 5454  df-ov 6076  df-oprab 6077  df-mpt2 6078  df-riota 6541  df-recs 6625  df-rdg 6660  df-er 6897  df-en 7102  df-dom 7103  df-sdom 7104  df-pnf 9114  df-mnf 9115  df-xr 9116  df-ltxr 9117  df-le 9118  df-sub 9285  df-neg 9286  df-div 9670  df-nn 9993  df-z 10275  df-dvds 12845
  Copyright terms: Public domain W3C validator