MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  dvdsflip Unicode version

Theorem dvdsflip 20422
Description: An involution of the divisors of a number. (Contributed by Stefan O'Rear, 12-Sep-2015.) (Proof shortened by Mario Carneiro, 13-May-2016.)
Hypotheses
Ref Expression
dvdsflip.a  |-  A  =  { x  e.  NN  |  x  ||  N }
dvdsflip.f  |-  F  =  ( y  e.  A  |->  ( N  /  y
) )
Assertion
Ref Expression
dvdsflip  |-  ( N  e.  NN  ->  F : A -1-1-onto-> A )
Distinct variable groups:    y, A    x, y, N
Allowed substitution hints:    A( x)    F( x, y)

Proof of Theorem dvdsflip
Dummy variable  z is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 dvdsflip.f . 2  |-  F  =  ( y  e.  A  |->  ( N  /  y
) )
2 dvdsflip.a . . . . 5  |-  A  =  { x  e.  NN  |  x  ||  N }
32eleq2i 2347 . . . 4  |-  ( y  e.  A  <->  y  e.  { x  e.  NN  |  x  ||  N } )
4 dvdsdivcl 20421 . . . 4  |-  ( ( N  e.  NN  /\  y  e.  { x  e.  NN  |  x  ||  N } )  ->  ( N  /  y )  e. 
{ x  e.  NN  |  x  ||  N }
)
53, 4sylan2b 461 . . 3  |-  ( ( N  e.  NN  /\  y  e.  A )  ->  ( N  /  y
)  e.  { x  e.  NN  |  x  ||  N } )
65, 2syl6eleqr 2374 . 2  |-  ( ( N  e.  NN  /\  y  e.  A )  ->  ( N  /  y
)  e.  A )
72eleq2i 2347 . . . 4  |-  ( z  e.  A  <->  z  e.  { x  e.  NN  |  x  ||  N } )
8 dvdsdivcl 20421 . . . 4  |-  ( ( N  e.  NN  /\  z  e.  { x  e.  NN  |  x  ||  N } )  ->  ( N  /  z )  e. 
{ x  e.  NN  |  x  ||  N }
)
97, 8sylan2b 461 . . 3  |-  ( ( N  e.  NN  /\  z  e.  A )  ->  ( N  /  z
)  e.  { x  e.  NN  |  x  ||  N } )
109, 2syl6eleqr 2374 . 2  |-  ( ( N  e.  NN  /\  z  e.  A )  ->  ( N  /  z
)  e.  A )
11 ssrab2 3258 . . . . . . 7  |-  { x  e.  NN  |  x  ||  N }  C_  NN
122, 11eqsstri 3208 . . . . . 6  |-  A  C_  NN
1312sseli 3176 . . . . 5  |-  ( y  e.  A  ->  y  e.  NN )
1412sseli 3176 . . . . 5  |-  ( z  e.  A  ->  z  e.  NN )
1513, 14anim12i 549 . . . 4  |-  ( ( y  e.  A  /\  z  e.  A )  ->  ( y  e.  NN  /\  z  e.  NN ) )
16 nncn 9754 . . . . . . 7  |-  ( N  e.  NN  ->  N  e.  CC )
1716adantr 451 . . . . . 6  |-  ( ( N  e.  NN  /\  ( y  e.  NN  /\  z  e.  NN ) )  ->  N  e.  CC )
18 nncn 9754 . . . . . . 7  |-  ( y  e.  NN  ->  y  e.  CC )
1918ad2antrl 708 . . . . . 6  |-  ( ( N  e.  NN  /\  ( y  e.  NN  /\  z  e.  NN ) )  ->  y  e.  CC )
20 nncn 9754 . . . . . . 7  |-  ( z  e.  NN  ->  z  e.  CC )
2120ad2antll 709 . . . . . 6  |-  ( ( N  e.  NN  /\  ( y  e.  NN  /\  z  e.  NN ) )  ->  z  e.  CC )
22 nnne0 9778 . . . . . . 7  |-  ( z  e.  NN  ->  z  =/=  0 )
2322ad2antll 709 . . . . . 6  |-  ( ( N  e.  NN  /\  ( y  e.  NN  /\  z  e.  NN ) )  ->  z  =/=  0 )
2417, 19, 21, 23divmul3d 9570 . . . . 5  |-  ( ( N  e.  NN  /\  ( y  e.  NN  /\  z  e.  NN ) )  ->  ( ( N  /  z )  =  y  <->  N  =  (
y  x.  z ) ) )
25 nnne0 9778 . . . . . . 7  |-  ( y  e.  NN  ->  y  =/=  0 )
2625ad2antrl 708 . . . . . 6  |-  ( ( N  e.  NN  /\  ( y  e.  NN  /\  z  e.  NN ) )  ->  y  =/=  0 )
2717, 21, 19, 26divmul2d 9569 . . . . 5  |-  ( ( N  e.  NN  /\  ( y  e.  NN  /\  z  e.  NN ) )  ->  ( ( N  /  y )  =  z  <->  N  =  (
y  x.  z ) ) )
2824, 27bitr4d 247 . . . 4  |-  ( ( N  e.  NN  /\  ( y  e.  NN  /\  z  e.  NN ) )  ->  ( ( N  /  z )  =  y  <->  ( N  / 
y )  =  z ) )
2915, 28sylan2 460 . . 3  |-  ( ( N  e.  NN  /\  ( y  e.  A  /\  z  e.  A
) )  ->  (
( N  /  z
)  =  y  <->  ( N  /  y )  =  z ) )
30 eqcom 2285 . . 3  |-  ( y  =  ( N  / 
z )  <->  ( N  /  z )  =  y )
31 eqcom 2285 . . 3  |-  ( z  =  ( N  / 
y )  <->  ( N  /  y )  =  z )
3229, 30, 313bitr4g 279 . 2  |-  ( ( N  e.  NN  /\  ( y  e.  A  /\  z  e.  A
) )  ->  (
y  =  ( N  /  z )  <->  z  =  ( N  /  y
) ) )
331, 6, 10, 32f1o2d 6069 1  |-  ( N  e.  NN  ->  F : A -1-1-onto-> A )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    <-> wb 176    /\ wa 358    = wceq 1623    e. wcel 1684    =/= wne 2446   {crab 2547   class class class wbr 4023    e. cmpt 4077   -1-1-onto->wf1o 5254  (class class class)co 5858   CCcc 8735   0cc0 8737    x. cmul 8742    / cdiv 9423   NNcn 9746    || cdivides 12531
This theorem is referenced by:  fsumdvdscom  20425  phisum  27518
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1533  ax-5 1544  ax-17 1603  ax-9 1635  ax-8 1643  ax-13 1686  ax-14 1688  ax-6 1703  ax-7 1708  ax-11 1715  ax-12 1866  ax-ext 2264  ax-sep 4141  ax-nul 4149  ax-pow 4188  ax-pr 4214  ax-un 4512  ax-resscn 8794  ax-1cn 8795  ax-icn 8796  ax-addcl 8797  ax-addrcl 8798  ax-mulcl 8799  ax-mulrcl 8800  ax-mulcom 8801  ax-addass 8802  ax-mulass 8803  ax-distr 8804  ax-i2m1 8805  ax-1ne0 8806  ax-1rid 8807  ax-rnegex 8808  ax-rrecex 8809  ax-cnre 8810  ax-pre-lttri 8811  ax-pre-lttrn 8812  ax-pre-ltadd 8813  ax-pre-mulgt0 8814
This theorem depends on definitions:  df-bi 177  df-or 359  df-an 360  df-3or 935  df-3an 936  df-tru 1310  df-ex 1529  df-nf 1532  df-sb 1630  df-eu 2147  df-mo 2148  df-clab 2270  df-cleq 2276  df-clel 2279  df-nfc 2408  df-ne 2448  df-nel 2449  df-ral 2548  df-rex 2549  df-reu 2550  df-rmo 2551  df-rab 2552  df-v 2790  df-sbc 2992  df-csb 3082  df-dif 3155  df-un 3157  df-in 3159  df-ss 3166  df-pss 3168  df-nul 3456  df-if 3566  df-pw 3627  df-sn 3646  df-pr 3647  df-tp 3648  df-op 3649  df-uni 3828  df-iun 3907  df-br 4024  df-opab 4078  df-mpt 4079  df-tr 4114  df-eprel 4305  df-id 4309  df-po 4314  df-so 4315  df-fr 4352  df-we 4354  df-ord 4395  df-on 4396  df-lim 4397  df-suc 4398  df-om 4657  df-xp 4695  df-rel 4696  df-cnv 4697  df-co 4698  df-dm 4699  df-rn 4700  df-res 4701  df-ima 4702  df-iota 5219  df-fun 5257  df-fn 5258  df-f 5259  df-f1 5260  df-fo 5261  df-f1o 5262  df-fv 5263  df-ov 5861  df-oprab 5862  df-mpt2 5863  df-riota 6304  df-recs 6388  df-rdg 6423  df-er 6660  df-en 6864  df-dom 6865  df-sdom 6866  df-pnf 8869  df-mnf 8870  df-xr 8871  df-ltxr 8872  df-le 8873  df-sub 9039  df-neg 9040  df-div 9424  df-nn 9747  df-z 10025  df-dvds 12532
  Copyright terms: Public domain W3C validator