MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  dvdsle Unicode version

Theorem dvdsle 12815
Description: The divisors of a positive integer are bounded by it. The proof does not use  /. (Contributed by Paul Chapman, 21-Mar-2011.)
Assertion
Ref Expression
dvdsle  |-  ( ( M  e.  ZZ  /\  N  e.  NN )  ->  ( M  ||  N  ->  M  <_  N )
)

Proof of Theorem dvdsle
Dummy variable  n is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 breq2 4150 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( M  =  if ( M  e.  ZZ ,  M ,  1 )  -> 
( N  <  M  <->  N  <  if ( M  e.  ZZ ,  M ,  1 ) ) )
2 oveq2 6021 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( M  =  if ( M  e.  ZZ ,  M ,  1 )  -> 
( n  x.  M
)  =  ( n  x.  if ( M  e.  ZZ ,  M ,  1 ) ) )
32neeq1d 2556 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( M  =  if ( M  e.  ZZ ,  M ,  1 )  -> 
( ( n  x.  M )  =/=  N  <->  ( n  x.  if ( M  e.  ZZ ,  M ,  1 ) )  =/=  N ) )
41, 3imbi12d 312 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( M  =  if ( M  e.  ZZ ,  M ,  1 )  -> 
( ( N  < 
M  ->  ( n  x.  M )  =/=  N
)  <->  ( N  < 
if ( M  e.  ZZ ,  M , 
1 )  ->  (
n  x.  if ( M  e.  ZZ ,  M ,  1 ) )  =/=  N ) ) )
5 breq1 4149 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( N  =  if ( N  e.  NN ,  N ,  1 )  -> 
( N  <  if ( M  e.  ZZ ,  M ,  1 )  <-> 
if ( N  e.  NN ,  N , 
1 )  <  if ( M  e.  ZZ ,  M ,  1 ) ) )
6 neeq2 2552 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( N  =  if ( N  e.  NN ,  N ,  1 )  -> 
( ( n  x.  if ( M  e.  ZZ ,  M , 
1 ) )  =/= 
N  <->  ( n  x.  if ( M  e.  ZZ ,  M , 
1 ) )  =/= 
if ( N  e.  NN ,  N , 
1 ) ) )
75, 6imbi12d 312 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( N  =  if ( N  e.  NN ,  N ,  1 )  -> 
( ( N  < 
if ( M  e.  ZZ ,  M , 
1 )  ->  (
n  x.  if ( M  e.  ZZ ,  M ,  1 ) )  =/=  N )  <-> 
( if ( N  e.  NN ,  N ,  1 )  < 
if ( M  e.  ZZ ,  M , 
1 )  ->  (
n  x.  if ( M  e.  ZZ ,  M ,  1 ) )  =/=  if ( N  e.  NN ,  N ,  1 ) ) ) )
8 oveq1 6020 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( n  =  if ( n  e.  ZZ ,  n ,  1 )  -> 
( n  x.  if ( M  e.  ZZ ,  M ,  1 ) )  =  ( if ( n  e.  ZZ ,  n ,  1 )  x.  if ( M  e.  ZZ ,  M ,  1 ) ) )
98neeq1d 2556 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( n  =  if ( n  e.  ZZ ,  n ,  1 )  -> 
( ( n  x.  if ( M  e.  ZZ ,  M , 
1 ) )  =/= 
if ( N  e.  NN ,  N , 
1 )  <->  ( if ( n  e.  ZZ ,  n ,  1 )  x.  if ( M  e.  ZZ ,  M ,  1 ) )  =/=  if ( N  e.  NN ,  N ,  1 ) ) )
109imbi2d 308 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( n  =  if ( n  e.  ZZ ,  n ,  1 )  -> 
( ( if ( N  e.  NN ,  N ,  1 )  <  if ( M  e.  ZZ ,  M ,  1 )  -> 
( n  x.  if ( M  e.  ZZ ,  M ,  1 ) )  =/=  if ( N  e.  NN ,  N ,  1 ) )  <->  ( if ( N  e.  NN ,  N ,  1 )  <  if ( M  e.  ZZ ,  M ,  1 )  -> 
( if ( n  e.  ZZ ,  n ,  1 )  x.  if ( M  e.  ZZ ,  M , 
1 ) )  =/= 
if ( N  e.  NN ,  N , 
1 ) ) ) )
11 1z 10236 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  1  e.  ZZ
1211elimel 3727 . . . . . . . . . . . . 13  |-  if ( M  e.  ZZ ,  M ,  1 )  e.  ZZ
13 1nn 9936 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  1  e.  NN
1413elimel 3727 . . . . . . . . . . . . 13  |-  if ( N  e.  NN ,  N ,  1 )  e.  NN
1511elimel 3727 . . . . . . . . . . . . 13  |-  if ( n  e.  ZZ ,  n ,  1 )  e.  ZZ
1612, 14, 15dvdslelem 12814 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( if ( N  e.  NN ,  N ,  1 )  <  if ( M  e.  ZZ ,  M ,  1 )  -> 
( if ( n  e.  ZZ ,  n ,  1 )  x.  if ( M  e.  ZZ ,  M , 
1 ) )  =/= 
if ( N  e.  NN ,  N , 
1 ) )
174, 7, 10, 16dedth3h 3718 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( M  e.  ZZ  /\  N  e.  NN  /\  n  e.  ZZ )  ->  ( N  <  M  ->  (
n  x.  M )  =/=  N ) )
18173expia 1155 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( M  e.  ZZ  /\  N  e.  NN )  ->  ( n  e.  ZZ  ->  ( N  <  M  ->  ( n  x.  M
)  =/=  N ) ) )
1918com23 74 . . . . . . . . 9  |-  ( ( M  e.  ZZ  /\  N  e.  NN )  ->  ( N  <  M  ->  ( n  e.  ZZ  ->  ( n  x.  M
)  =/=  N ) ) )
20193impia 1150 . . . . . . . 8  |-  ( ( M  e.  ZZ  /\  N  e.  NN  /\  N  <  M )  ->  (
n  e.  ZZ  ->  ( n  x.  M )  =/=  N ) )
2120imp 419 . . . . . . 7  |-  ( ( ( M  e.  ZZ  /\  N  e.  NN  /\  N  <  M )  /\  n  e.  ZZ )  ->  ( n  x.  M
)  =/=  N )
2221neneqd 2559 . . . . . 6  |-  ( ( ( M  e.  ZZ  /\  N  e.  NN  /\  N  <  M )  /\  n  e.  ZZ )  ->  -.  ( n  x.  M )  =  N )
2322nrexdv 2745 . . . . 5  |-  ( ( M  e.  ZZ  /\  N  e.  NN  /\  N  <  M )  ->  -.  E. n  e.  ZZ  (
n  x.  M )  =  N )
24 nnz 10228 . . . . . . 7  |-  ( N  e.  NN  ->  N  e.  ZZ )
25 divides 12774 . . . . . . 7  |-  ( ( M  e.  ZZ  /\  N  e.  ZZ )  ->  ( M  ||  N  <->  E. n  e.  ZZ  (
n  x.  M )  =  N ) )
2624, 25sylan2 461 . . . . . 6  |-  ( ( M  e.  ZZ  /\  N  e.  NN )  ->  ( M  ||  N  <->  E. n  e.  ZZ  (
n  x.  M )  =  N ) )
27263adant3 977 . . . . 5  |-  ( ( M  e.  ZZ  /\  N  e.  NN  /\  N  <  M )  ->  ( M  ||  N  <->  E. n  e.  ZZ  ( n  x.  M )  =  N ) )
2823, 27mtbird 293 . . . 4  |-  ( ( M  e.  ZZ  /\  N  e.  NN  /\  N  <  M )  ->  -.  M  ||  N )
29283expia 1155 . . 3  |-  ( ( M  e.  ZZ  /\  N  e.  NN )  ->  ( N  <  M  ->  -.  M  ||  N
) )
3029con2d 109 . 2  |-  ( ( M  e.  ZZ  /\  N  e.  NN )  ->  ( M  ||  N  ->  -.  N  <  M
) )
31 zre 10211 . . 3  |-  ( M  e.  ZZ  ->  M  e.  RR )
32 nnre 9932 . . 3  |-  ( N  e.  NN  ->  N  e.  RR )
33 lenlt 9080 . . 3  |-  ( ( M  e.  RR  /\  N  e.  RR )  ->  ( M  <_  N  <->  -.  N  <  M ) )
3431, 32, 33syl2an 464 . 2  |-  ( ( M  e.  ZZ  /\  N  e.  NN )  ->  ( M  <_  N  <->  -.  N  <  M ) )
3530, 34sylibrd 226 1  |-  ( ( M  e.  ZZ  /\  N  e.  NN )  ->  ( M  ||  N  ->  M  <_  N )
)
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:   -. wn 3    -> wi 4    <-> wb 177    /\ wa 359    /\ w3a 936    = wceq 1649    e. wcel 1717    =/= wne 2543   E.wrex 2643   ifcif 3675   class class class wbr 4146  (class class class)co 6013   RRcr 8915   1c1 8917    x. cmul 8921    < clt 9046    <_ cle 9047   NNcn 9925   ZZcz 10207    || cdivides 12772
This theorem is referenced by:  dvdsleabs  12816  dvdseq  12817  fzm1ndvds  12821  fzo0dvdseq  12822  bitsfzolem  12866  bitsfzo  12867  bitsinv1lem  12873  gcd1  12952  bezoutlem4  12961  gcdeq  12972  isprm3  13008  qredeq  13026  isprm6  13029  isprm5  13032  maxprmfct  13033  prmfac1  13038  pcpre1  13136  pcidlem  13165  pcprod  13184  pcfac  13188  pockthg  13194  prmreclem1  13204  prmreclem3  13206  prmreclem5  13208  1arith  13215  4sqlem11  13243  gexcl2  15143  sylow1lem1  15152  sylow1lem5  15156  gexex  15388  ablfac1eu  15551  ablfaclem3  15565  znidomb  16758  sgmss  20749  dvdsflsumcom  20833  chtublem  20855  vmasum  20860  logfac2  20861  bposlem6  20933  lgsdir  20974  lgsdilem2  20975  lgsne0  20977  lgsqrlem2  20986  lgsquadlem2  20999  2sqlem8  21016  2sqblem  21021  nn0prpw  26010  bezoutr1  26735
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1552  ax-5 1563  ax-17 1623  ax-9 1661  ax-8 1682  ax-13 1719  ax-14 1721  ax-6 1736  ax-7 1741  ax-11 1753  ax-12 1939  ax-ext 2361  ax-sep 4264  ax-nul 4272  ax-pow 4311  ax-pr 4337  ax-un 4634  ax-resscn 8973  ax-1cn 8974  ax-icn 8975  ax-addcl 8976  ax-addrcl 8977  ax-mulcl 8978  ax-mulrcl 8979  ax-mulcom 8980  ax-addass 8981  ax-mulass 8982  ax-distr 8983  ax-i2m1 8984  ax-1ne0 8985  ax-1rid 8986  ax-rnegex 8987  ax-rrecex 8988  ax-cnre 8989  ax-pre-lttri 8990  ax-pre-lttrn 8991  ax-pre-ltadd 8992  ax-pre-mulgt0 8993
This theorem depends on definitions:  df-bi 178  df-or 360  df-an 361  df-3or 937  df-3an 938  df-tru 1325  df-ex 1548  df-nf 1551  df-sb 1656  df-eu 2235  df-mo 2236  df-clab 2367  df-cleq 2373  df-clel 2376  df-nfc 2505  df-ne 2545  df-nel 2546  df-ral 2647  df-rex 2648  df-reu 2649  df-rab 2651  df-v 2894  df-sbc 3098  df-csb 3188  df-dif 3259  df-un 3261  df-in 3263  df-ss 3270  df-pss 3272  df-nul 3565  df-if 3676  df-pw 3737  df-sn 3756  df-pr 3757  df-tp 3758  df-op 3759  df-uni 3951  df-iun 4030  df-br 4147  df-opab 4201  df-mpt 4202  df-tr 4237  df-eprel 4428  df-id 4432  df-po 4437  df-so 4438  df-fr 4475  df-we 4477  df-ord 4518  df-on 4519  df-lim 4520  df-suc 4521  df-om 4779  df-xp 4817  df-rel 4818  df-cnv 4819  df-co 4820  df-dm 4821  df-rn 4822  df-res 4823  df-ima 4824  df-iota 5351  df-fun 5389  df-fn 5390  df-f 5391  df-f1 5392  df-fo 5393  df-f1o 5394  df-fv 5395  df-ov 6016  df-oprab 6017  df-mpt2 6018  df-riota 6478  df-recs 6562  df-rdg 6597  df-er 6834  df-en 7039  df-dom 7040  df-sdom 7041  df-pnf 9048  df-mnf 9049  df-xr 9050  df-ltxr 9051  df-le 9052  df-sub 9218  df-neg 9219  df-nn 9926  df-z 10208  df-dvds 12773
  Copyright terms: Public domain W3C validator