MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  dvdsle Unicode version

Theorem dvdsle 12574
Description: The divisors of a positive integer are bounded by it. The proof does not use  /. (Contributed by Paul Chapman, 21-Mar-2011.)
Assertion
Ref Expression
dvdsle  |-  ( ( M  e.  ZZ  /\  N  e.  NN )  ->  ( M  ||  N  ->  M  <_  N )
)

Proof of Theorem dvdsle
Dummy variable  n is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 breq2 4027 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( M  =  if ( M  e.  ZZ ,  M ,  1 )  -> 
( N  <  M  <->  N  <  if ( M  e.  ZZ ,  M ,  1 ) ) )
2 oveq2 5866 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( M  =  if ( M  e.  ZZ ,  M ,  1 )  -> 
( n  x.  M
)  =  ( n  x.  if ( M  e.  ZZ ,  M ,  1 ) ) )
32neeq1d 2459 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( M  =  if ( M  e.  ZZ ,  M ,  1 )  -> 
( ( n  x.  M )  =/=  N  <->  ( n  x.  if ( M  e.  ZZ ,  M ,  1 ) )  =/=  N ) )
41, 3imbi12d 311 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( M  =  if ( M  e.  ZZ ,  M ,  1 )  -> 
( ( N  < 
M  ->  ( n  x.  M )  =/=  N
)  <->  ( N  < 
if ( M  e.  ZZ ,  M , 
1 )  ->  (
n  x.  if ( M  e.  ZZ ,  M ,  1 ) )  =/=  N ) ) )
5 breq1 4026 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( N  =  if ( N  e.  NN ,  N ,  1 )  -> 
( N  <  if ( M  e.  ZZ ,  M ,  1 )  <-> 
if ( N  e.  NN ,  N , 
1 )  <  if ( M  e.  ZZ ,  M ,  1 ) ) )
6 neeq2 2455 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( N  =  if ( N  e.  NN ,  N ,  1 )  -> 
( ( n  x.  if ( M  e.  ZZ ,  M , 
1 ) )  =/= 
N  <->  ( n  x.  if ( M  e.  ZZ ,  M , 
1 ) )  =/= 
if ( N  e.  NN ,  N , 
1 ) ) )
75, 6imbi12d 311 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( N  =  if ( N  e.  NN ,  N ,  1 )  -> 
( ( N  < 
if ( M  e.  ZZ ,  M , 
1 )  ->  (
n  x.  if ( M  e.  ZZ ,  M ,  1 ) )  =/=  N )  <-> 
( if ( N  e.  NN ,  N ,  1 )  < 
if ( M  e.  ZZ ,  M , 
1 )  ->  (
n  x.  if ( M  e.  ZZ ,  M ,  1 ) )  =/=  if ( N  e.  NN ,  N ,  1 ) ) ) )
8 oveq1 5865 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( n  =  if ( n  e.  ZZ ,  n ,  1 )  -> 
( n  x.  if ( M  e.  ZZ ,  M ,  1 ) )  =  ( if ( n  e.  ZZ ,  n ,  1 )  x.  if ( M  e.  ZZ ,  M ,  1 ) ) )
98neeq1d 2459 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( n  =  if ( n  e.  ZZ ,  n ,  1 )  -> 
( ( n  x.  if ( M  e.  ZZ ,  M , 
1 ) )  =/= 
if ( N  e.  NN ,  N , 
1 )  <->  ( if ( n  e.  ZZ ,  n ,  1 )  x.  if ( M  e.  ZZ ,  M ,  1 ) )  =/=  if ( N  e.  NN ,  N ,  1 ) ) )
109imbi2d 307 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( n  =  if ( n  e.  ZZ ,  n ,  1 )  -> 
( ( if ( N  e.  NN ,  N ,  1 )  <  if ( M  e.  ZZ ,  M ,  1 )  -> 
( n  x.  if ( M  e.  ZZ ,  M ,  1 ) )  =/=  if ( N  e.  NN ,  N ,  1 ) )  <->  ( if ( N  e.  NN ,  N ,  1 )  <  if ( M  e.  ZZ ,  M ,  1 )  -> 
( if ( n  e.  ZZ ,  n ,  1 )  x.  if ( M  e.  ZZ ,  M , 
1 ) )  =/= 
if ( N  e.  NN ,  N , 
1 ) ) ) )
11 1z 10053 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  1  e.  ZZ
1211elimel 3617 . . . . . . . . . . . . 13  |-  if ( M  e.  ZZ ,  M ,  1 )  e.  ZZ
13 1nn 9757 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  1  e.  NN
1413elimel 3617 . . . . . . . . . . . . 13  |-  if ( N  e.  NN ,  N ,  1 )  e.  NN
1511elimel 3617 . . . . . . . . . . . . 13  |-  if ( n  e.  ZZ ,  n ,  1 )  e.  ZZ
1612, 14, 15dvdslelem 12573 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( if ( N  e.  NN ,  N ,  1 )  <  if ( M  e.  ZZ ,  M ,  1 )  -> 
( if ( n  e.  ZZ ,  n ,  1 )  x.  if ( M  e.  ZZ ,  M , 
1 ) )  =/= 
if ( N  e.  NN ,  N , 
1 ) )
174, 7, 10, 16dedth3h 3608 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( M  e.  ZZ  /\  N  e.  NN  /\  n  e.  ZZ )  ->  ( N  <  M  ->  (
n  x.  M )  =/=  N ) )
18173expia 1153 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( M  e.  ZZ  /\  N  e.  NN )  ->  ( n  e.  ZZ  ->  ( N  <  M  ->  ( n  x.  M
)  =/=  N ) ) )
1918com23 72 . . . . . . . . 9  |-  ( ( M  e.  ZZ  /\  N  e.  NN )  ->  ( N  <  M  ->  ( n  e.  ZZ  ->  ( n  x.  M
)  =/=  N ) ) )
20193impia 1148 . . . . . . . 8  |-  ( ( M  e.  ZZ  /\  N  e.  NN  /\  N  <  M )  ->  (
n  e.  ZZ  ->  ( n  x.  M )  =/=  N ) )
2120imp 418 . . . . . . 7  |-  ( ( ( M  e.  ZZ  /\  N  e.  NN  /\  N  <  M )  /\  n  e.  ZZ )  ->  ( n  x.  M
)  =/=  N )
2221neneqd 2462 . . . . . 6  |-  ( ( ( M  e.  ZZ  /\  N  e.  NN  /\  N  <  M )  /\  n  e.  ZZ )  ->  -.  ( n  x.  M )  =  N )
2322nrexdv 2646 . . . . 5  |-  ( ( M  e.  ZZ  /\  N  e.  NN  /\  N  <  M )  ->  -.  E. n  e.  ZZ  (
n  x.  M )  =  N )
24 nnz 10045 . . . . . . 7  |-  ( N  e.  NN  ->  N  e.  ZZ )
25 divides 12533 . . . . . . 7  |-  ( ( M  e.  ZZ  /\  N  e.  ZZ )  ->  ( M  ||  N  <->  E. n  e.  ZZ  (
n  x.  M )  =  N ) )
2624, 25sylan2 460 . . . . . 6  |-  ( ( M  e.  ZZ  /\  N  e.  NN )  ->  ( M  ||  N  <->  E. n  e.  ZZ  (
n  x.  M )  =  N ) )
27263adant3 975 . . . . 5  |-  ( ( M  e.  ZZ  /\  N  e.  NN  /\  N  <  M )  ->  ( M  ||  N  <->  E. n  e.  ZZ  ( n  x.  M )  =  N ) )
2823, 27mtbird 292 . . . 4  |-  ( ( M  e.  ZZ  /\  N  e.  NN  /\  N  <  M )  ->  -.  M  ||  N )
29283expia 1153 . . 3  |-  ( ( M  e.  ZZ  /\  N  e.  NN )  ->  ( N  <  M  ->  -.  M  ||  N
) )
3029con2d 107 . 2  |-  ( ( M  e.  ZZ  /\  N  e.  NN )  ->  ( M  ||  N  ->  -.  N  <  M
) )
31 zre 10028 . . 3  |-  ( M  e.  ZZ  ->  M  e.  RR )
32 nnre 9753 . . 3  |-  ( N  e.  NN  ->  N  e.  RR )
33 lenlt 8901 . . 3  |-  ( ( M  e.  RR  /\  N  e.  RR )  ->  ( M  <_  N  <->  -.  N  <  M ) )
3431, 32, 33syl2an 463 . 2  |-  ( ( M  e.  ZZ  /\  N  e.  NN )  ->  ( M  <_  N  <->  -.  N  <  M ) )
3530, 34sylibrd 225 1  |-  ( ( M  e.  ZZ  /\  N  e.  NN )  ->  ( M  ||  N  ->  M  <_  N )
)
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:   -. wn 3    -> wi 4    <-> wb 176    /\ wa 358    /\ w3a 934    = wceq 1623    e. wcel 1684    =/= wne 2446   E.wrex 2544   ifcif 3565   class class class wbr 4023  (class class class)co 5858   RRcr 8736   1c1 8738    x. cmul 8742    < clt 8867    <_ cle 8868   NNcn 9746   ZZcz 10024    || cdivides 12531
This theorem is referenced by:  dvdsleabs  12575  dvdseq  12576  fzm1ndvds  12580  fzo0dvdseq  12581  bitsfzolem  12625  bitsfzo  12626  bitsinv1lem  12632  gcd1  12711  bezoutlem4  12720  gcdeq  12731  isprm3  12767  qredeq  12785  isprm6  12788  isprm5  12791  maxprmfct  12792  prmfac1  12797  pcpre1  12895  pcidlem  12924  pcprod  12943  pcfac  12947  pockthg  12953  prmreclem1  12963  prmreclem3  12965  prmreclem5  12967  1arith  12974  4sqlem11  13002  gexcl2  14900  sylow1lem1  14909  sylow1lem5  14913  gexex  15145  ablfac1eu  15308  ablfaclem3  15322  znidomb  16515  sgmss  20344  dvdsflsumcom  20428  chtublem  20450  vmasum  20455  logfac2  20456  bposlem6  20528  lgsdir  20569  lgsdilem2  20570  lgsne0  20572  lgsqrlem2  20581  lgsquadlem2  20594  2sqlem8  20611  2sqblem  20616  nn0prpw  26239  bezoutr1  27073
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1533  ax-5 1544  ax-17 1603  ax-9 1635  ax-8 1643  ax-13 1686  ax-14 1688  ax-6 1703  ax-7 1708  ax-11 1715  ax-12 1866  ax-ext 2264  ax-sep 4141  ax-nul 4149  ax-pow 4188  ax-pr 4214  ax-un 4512  ax-resscn 8794  ax-1cn 8795  ax-icn 8796  ax-addcl 8797  ax-addrcl 8798  ax-mulcl 8799  ax-mulrcl 8800  ax-mulcom 8801  ax-addass 8802  ax-mulass 8803  ax-distr 8804  ax-i2m1 8805  ax-1ne0 8806  ax-1rid 8807  ax-rnegex 8808  ax-rrecex 8809  ax-cnre 8810  ax-pre-lttri 8811  ax-pre-lttrn 8812  ax-pre-ltadd 8813  ax-pre-mulgt0 8814
This theorem depends on definitions:  df-bi 177  df-or 359  df-an 360  df-3or 935  df-3an 936  df-tru 1310  df-ex 1529  df-nf 1532  df-sb 1630  df-eu 2147  df-mo 2148  df-clab 2270  df-cleq 2276  df-clel 2279  df-nfc 2408  df-ne 2448  df-nel 2449  df-ral 2548  df-rex 2549  df-reu 2550  df-rab 2552  df-v 2790  df-sbc 2992  df-csb 3082  df-dif 3155  df-un 3157  df-in 3159  df-ss 3166  df-pss 3168  df-nul 3456  df-if 3566  df-pw 3627  df-sn 3646  df-pr 3647  df-tp 3648  df-op 3649  df-uni 3828  df-iun 3907  df-br 4024  df-opab 4078  df-mpt 4079  df-tr 4114  df-eprel 4305  df-id 4309  df-po 4314  df-so 4315  df-fr 4352  df-we 4354  df-ord 4395  df-on 4396  df-lim 4397  df-suc 4398  df-om 4657  df-xp 4695  df-rel 4696  df-cnv 4697  df-co 4698  df-dm 4699  df-rn 4700  df-res 4701  df-ima 4702  df-iota 5219  df-fun 5257  df-fn 5258  df-f 5259  df-f1 5260  df-fo 5261  df-f1o 5262  df-fv 5263  df-ov 5861  df-oprab 5862  df-mpt2 5863  df-riota 6304  df-recs 6388  df-rdg 6423  df-er 6660  df-en 6864  df-dom 6865  df-sdom 6866  df-pnf 8869  df-mnf 8870  df-xr 8871  df-ltxr 8872  df-le 8873  df-sub 9039  df-neg 9040  df-nn 9747  df-z 10025  df-dvds 12532
  Copyright terms: Public domain W3C validator