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Theorem dvdslelem 12822
Description: Lemma for dvdsle 12823. (Contributed by Paul Chapman, 21-Mar-2011.)
Hypotheses
Ref Expression
dvdslelem.1  |-  M  e.  ZZ
dvdslelem.2  |-  N  e.  NN
dvdslelem.3  |-  K  e.  ZZ
Assertion
Ref Expression
dvdslelem  |-  ( N  <  M  ->  ( K  x.  M )  =/=  N )

Proof of Theorem dvdslelem
StepHypRef Expression
1 dvdslelem.3 . . . . . 6  |-  K  e.  ZZ
21zrei 10221 . . . . 5  |-  K  e.  RR
3 0re 9025 . . . . 5  |-  0  e.  RR
4 lelttric 9114 . . . . 5  |-  ( ( K  e.  RR  /\  0  e.  RR )  ->  ( K  <_  0  \/  0  <  K ) )
52, 3, 4mp2an 654 . . . 4  |-  ( K  <_  0  \/  0  <  K )
6 elnnz 10225 . . . . . . . 8  |-  ( K  e.  NN  <->  ( K  e.  ZZ  /\  0  < 
K ) )
7 elnnz1 10240 . . . . . . . 8  |-  ( K  e.  NN  <->  ( K  e.  ZZ  /\  1  <_  K ) )
86, 7bitr3i 243 . . . . . . 7  |-  ( ( K  e.  ZZ  /\  0  <  K )  <->  ( K  e.  ZZ  /\  1  <_  K ) )
9 pm5.32 618 . . . . . . 7  |-  ( ( K  e.  ZZ  ->  ( 0  <  K  <->  1  <_  K ) )  <->  ( ( K  e.  ZZ  /\  0  <  K )  <->  ( K  e.  ZZ  /\  1  <_  K ) ) )
108, 9mpbir 201 . . . . . 6  |-  ( K  e.  ZZ  ->  (
0  <  K  <->  1  <_  K ) )
111, 10ax-mp 8 . . . . 5  |-  ( 0  <  K  <->  1  <_  K )
1211orbi2i 506 . . . 4  |-  ( ( K  <_  0  \/  0  <  K )  <->  ( K  <_  0  \/  1  <_  K ) )
135, 12mpbi 200 . . 3  |-  ( K  <_  0  \/  1  <_  K )
14 le0neg1 9469 . . . . . . . . 9  |-  ( K  e.  RR  ->  ( K  <_  0  <->  0  <_  -u K ) )
152, 14ax-mp 8 . . . . . . . 8  |-  ( K  <_  0  <->  0  <_  -u K )
16 dvdslelem.2 . . . . . . . . . . . 12  |-  N  e.  NN
1716nngt0i 9966 . . . . . . . . . . 11  |-  0  <  N
1816nnrei 9942 . . . . . . . . . . . 12  |-  N  e.  RR
19 dvdslelem.1 . . . . . . . . . . . . 13  |-  M  e.  ZZ
2019zrei 10221 . . . . . . . . . . . 12  |-  M  e.  RR
213, 18, 20lttri 9132 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( 0  <  N  /\  N  <  M )  -> 
0  <  M )
2217, 21mpan 652 . . . . . . . . . 10  |-  ( N  <  M  ->  0  <  M )
233, 20ltlei 9127 . . . . . . . . . 10  |-  ( 0  <  M  ->  0  <_  M )
2422, 23syl 16 . . . . . . . . 9  |-  ( N  <  M  ->  0  <_  M )
252renegcli 9295 . . . . . . . . . 10  |-  -u K  e.  RR
2625, 20mulge0i 9507 . . . . . . . . 9  |-  ( ( 0  <_  -u K  /\  0  <_  M )  -> 
0  <_  ( -u K  x.  M ) )
2724, 26sylan2 461 . . . . . . . 8  |-  ( ( 0  <_  -u K  /\  N  <  M )  -> 
0  <_  ( -u K  x.  M ) )
2815, 27sylanb 459 . . . . . . 7  |-  ( ( K  <_  0  /\  N  <  M )  -> 
0  <_  ( -u K  x.  M ) )
2928expcom 425 . . . . . 6  |-  ( N  <  M  ->  ( K  <_  0  ->  0  <_  ( -u K  x.  M ) ) )
302, 20remulcli 9038 . . . . . . . 8  |-  ( K  x.  M )  e.  RR
31 le0neg1 9469 . . . . . . . 8  |-  ( ( K  x.  M )  e.  RR  ->  (
( K  x.  M
)  <_  0  <->  0  <_  -u ( K  x.  M
) ) )
3230, 31ax-mp 8 . . . . . . 7  |-  ( ( K  x.  M )  <_  0  <->  0  <_  -u ( K  x.  M
) )
332recni 9036 . . . . . . . . 9  |-  K  e.  CC
3420recni 9036 . . . . . . . . 9  |-  M  e.  CC
3533, 34mulneg1i 9412 . . . . . . . 8  |-  ( -u K  x.  M )  =  -u ( K  x.  M )
3635breq2i 4162 . . . . . . 7  |-  ( 0  <_  ( -u K  x.  M )  <->  0  <_  -u ( K  x.  M
) )
3732, 36bitr4i 244 . . . . . 6  |-  ( ( K  x.  M )  <_  0  <->  0  <_  (
-u K  x.  M
) )
3829, 37syl6ibr 219 . . . . 5  |-  ( N  <  M  ->  ( K  <_  0  ->  ( K  x.  M )  <_  0 ) )
3930, 3, 18lelttri 9133 . . . . . 6  |-  ( ( ( K  x.  M
)  <_  0  /\  0  <  N )  -> 
( K  x.  M
)  <  N )
4017, 39mpan2 653 . . . . 5  |-  ( ( K  x.  M )  <_  0  ->  ( K  x.  M )  <  N )
4138, 40syl6 31 . . . 4  |-  ( N  <  M  ->  ( K  <_  0  ->  ( K  x.  M )  <  N ) )
42 lemulge12 9806 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( M  e.  RR  /\  K  e.  RR )  /\  ( 0  <_  M  /\  1  <_  K
) )  ->  M  <_  ( K  x.  M
) )
4320, 2, 42mpanl12 664 . . . . . . 7  |-  ( ( 0  <_  M  /\  1  <_  K )  ->  M  <_  ( K  x.  M ) )
4424, 43sylan 458 . . . . . 6  |-  ( ( N  <  M  /\  1  <_  K )  ->  M  <_  ( K  x.  M ) )
4544ex 424 . . . . 5  |-  ( N  <  M  ->  (
1  <_  K  ->  M  <_  ( K  x.  M ) ) )
4618, 20, 30ltletri 9134 . . . . . 6  |-  ( ( N  <  M  /\  M  <_  ( K  x.  M ) )  ->  N  <  ( K  x.  M ) )
4746ex 424 . . . . 5  |-  ( N  <  M  ->  ( M  <_  ( K  x.  M )  ->  N  <  ( K  x.  M
) ) )
4845, 47syld 42 . . . 4  |-  ( N  <  M  ->  (
1  <_  K  ->  N  <  ( K  x.  M ) ) )
4941, 48orim12d 812 . . 3  |-  ( N  <  M  ->  (
( K  <_  0  \/  1  <_  K )  ->  ( ( K  x.  M )  < 
N  \/  N  < 
( K  x.  M
) ) ) )
5013, 49mpi 17 . 2  |-  ( N  <  M  ->  (
( K  x.  M
)  <  N  \/  N  <  ( K  x.  M ) ) )
5130, 18lttri2i 9119 . 2  |-  ( ( K  x.  M )  =/=  N  <->  ( ( K  x.  M )  <  N  \/  N  < 
( K  x.  M
) ) )
5250, 51sylibr 204 1  |-  ( N  <  M  ->  ( K  x.  M )  =/=  N )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    <-> wb 177    \/ wo 358    /\ wa 359    e. wcel 1717    =/= wne 2551   class class class wbr 4154  (class class class)co 6021   RRcr 8923   0cc0 8924   1c1 8925    x. cmul 8929    < clt 9054    <_ cle 9055   -ucneg 9225   NNcn 9933   ZZcz 10215
This theorem is referenced by:  dvdsle  12823
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1552  ax-5 1563  ax-17 1623  ax-9 1661  ax-8 1682  ax-13 1719  ax-14 1721  ax-6 1736  ax-7 1741  ax-11 1753  ax-12 1939  ax-ext 2369  ax-sep 4272  ax-nul 4280  ax-pow 4319  ax-pr 4345  ax-un 4642  ax-resscn 8981  ax-1cn 8982  ax-icn 8983  ax-addcl 8984  ax-addrcl 8985  ax-mulcl 8986  ax-mulrcl 8987  ax-mulcom 8988  ax-addass 8989  ax-mulass 8990  ax-distr 8991  ax-i2m1 8992  ax-1ne0 8993  ax-1rid 8994  ax-rnegex 8995  ax-rrecex 8996  ax-cnre 8997  ax-pre-lttri 8998  ax-pre-lttrn 8999  ax-pre-ltadd 9000  ax-pre-mulgt0 9001
This theorem depends on definitions:  df-bi 178  df-or 360  df-an 361  df-3or 937  df-3an 938  df-tru 1325  df-ex 1548  df-nf 1551  df-sb 1656  df-eu 2243  df-mo 2244  df-clab 2375  df-cleq 2381  df-clel 2384  df-nfc 2513  df-ne 2553  df-nel 2554  df-ral 2655  df-rex 2656  df-reu 2657  df-rab 2659  df-v 2902  df-sbc 3106  df-csb 3196  df-dif 3267  df-un 3269  df-in 3271  df-ss 3278  df-pss 3280  df-nul 3573  df-if 3684  df-pw 3745  df-sn 3764  df-pr 3765  df-tp 3766  df-op 3767  df-uni 3959  df-iun 4038  df-br 4155  df-opab 4209  df-mpt 4210  df-tr 4245  df-eprel 4436  df-id 4440  df-po 4445  df-so 4446  df-fr 4483  df-we 4485  df-ord 4526  df-on 4527  df-lim 4528  df-suc 4529  df-om 4787  df-xp 4825  df-rel 4826  df-cnv 4827  df-co 4828  df-dm 4829  df-rn 4830  df-res 4831  df-ima 4832  df-iota 5359  df-fun 5397  df-fn 5398  df-f 5399  df-f1 5400  df-fo 5401  df-f1o 5402  df-fv 5403  df-ov 6024  df-oprab 6025  df-mpt2 6026  df-riota 6486  df-recs 6570  df-rdg 6605  df-er 6842  df-en 7047  df-dom 7048  df-sdom 7049  df-pnf 9056  df-mnf 9057  df-xr 9058  df-ltxr 9059  df-le 9060  df-sub 9226  df-neg 9227  df-nn 9934  df-z 10216
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