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Theorem dvdslelem 12886
Description: Lemma for dvdsle 12887. (Contributed by Paul Chapman, 21-Mar-2011.)
Hypotheses
Ref Expression
dvdslelem.1  |-  M  e.  ZZ
dvdslelem.2  |-  N  e.  NN
dvdslelem.3  |-  K  e.  ZZ
Assertion
Ref Expression
dvdslelem  |-  ( N  <  M  ->  ( K  x.  M )  =/=  N )

Proof of Theorem dvdslelem
StepHypRef Expression
1 dvdslelem.3 . . . . . 6  |-  K  e.  ZZ
21zrei 10280 . . . . 5  |-  K  e.  RR
3 0re 9083 . . . . 5  |-  0  e.  RR
4 lelttric 9172 . . . . 5  |-  ( ( K  e.  RR  /\  0  e.  RR )  ->  ( K  <_  0  \/  0  <  K ) )
52, 3, 4mp2an 654 . . . 4  |-  ( K  <_  0  \/  0  <  K )
6 elnnz 10284 . . . . . . . 8  |-  ( K  e.  NN  <->  ( K  e.  ZZ  /\  0  < 
K ) )
7 elnnz1 10299 . . . . . . . 8  |-  ( K  e.  NN  <->  ( K  e.  ZZ  /\  1  <_  K ) )
86, 7bitr3i 243 . . . . . . 7  |-  ( ( K  e.  ZZ  /\  0  <  K )  <->  ( K  e.  ZZ  /\  1  <_  K ) )
9 pm5.32 618 . . . . . . 7  |-  ( ( K  e.  ZZ  ->  ( 0  <  K  <->  1  <_  K ) )  <->  ( ( K  e.  ZZ  /\  0  <  K )  <->  ( K  e.  ZZ  /\  1  <_  K ) ) )
108, 9mpbir 201 . . . . . 6  |-  ( K  e.  ZZ  ->  (
0  <  K  <->  1  <_  K ) )
111, 10ax-mp 8 . . . . 5  |-  ( 0  <  K  <->  1  <_  K )
1211orbi2i 506 . . . 4  |-  ( ( K  <_  0  \/  0  <  K )  <->  ( K  <_  0  \/  1  <_  K ) )
135, 12mpbi 200 . . 3  |-  ( K  <_  0  \/  1  <_  K )
14 le0neg1 9528 . . . . . . . . 9  |-  ( K  e.  RR  ->  ( K  <_  0  <->  0  <_  -u K ) )
152, 14ax-mp 8 . . . . . . . 8  |-  ( K  <_  0  <->  0  <_  -u K )
16 dvdslelem.2 . . . . . . . . . . . 12  |-  N  e.  NN
1716nngt0i 10025 . . . . . . . . . . 11  |-  0  <  N
1816nnrei 10001 . . . . . . . . . . . 12  |-  N  e.  RR
19 dvdslelem.1 . . . . . . . . . . . . 13  |-  M  e.  ZZ
2019zrei 10280 . . . . . . . . . . . 12  |-  M  e.  RR
213, 18, 20lttri 9191 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( 0  <  N  /\  N  <  M )  -> 
0  <  M )
2217, 21mpan 652 . . . . . . . . . 10  |-  ( N  <  M  ->  0  <  M )
233, 20ltlei 9187 . . . . . . . . . 10  |-  ( 0  <  M  ->  0  <_  M )
2422, 23syl 16 . . . . . . . . 9  |-  ( N  <  M  ->  0  <_  M )
252renegcli 9354 . . . . . . . . . 10  |-  -u K  e.  RR
2625, 20mulge0i 9566 . . . . . . . . 9  |-  ( ( 0  <_  -u K  /\  0  <_  M )  -> 
0  <_  ( -u K  x.  M ) )
2724, 26sylan2 461 . . . . . . . 8  |-  ( ( 0  <_  -u K  /\  N  <  M )  -> 
0  <_  ( -u K  x.  M ) )
2815, 27sylanb 459 . . . . . . 7  |-  ( ( K  <_  0  /\  N  <  M )  -> 
0  <_  ( -u K  x.  M ) )
2928expcom 425 . . . . . 6  |-  ( N  <  M  ->  ( K  <_  0  ->  0  <_  ( -u K  x.  M ) ) )
302, 20remulcli 9096 . . . . . . . 8  |-  ( K  x.  M )  e.  RR
31 le0neg1 9528 . . . . . . . 8  |-  ( ( K  x.  M )  e.  RR  ->  (
( K  x.  M
)  <_  0  <->  0  <_  -u ( K  x.  M
) ) )
3230, 31ax-mp 8 . . . . . . 7  |-  ( ( K  x.  M )  <_  0  <->  0  <_  -u ( K  x.  M
) )
332recni 9094 . . . . . . . . 9  |-  K  e.  CC
3420recni 9094 . . . . . . . . 9  |-  M  e.  CC
3533, 34mulneg1i 9471 . . . . . . . 8  |-  ( -u K  x.  M )  =  -u ( K  x.  M )
3635breq2i 4212 . . . . . . 7  |-  ( 0  <_  ( -u K  x.  M )  <->  0  <_  -u ( K  x.  M
) )
3732, 36bitr4i 244 . . . . . 6  |-  ( ( K  x.  M )  <_  0  <->  0  <_  (
-u K  x.  M
) )
3829, 37syl6ibr 219 . . . . 5  |-  ( N  <  M  ->  ( K  <_  0  ->  ( K  x.  M )  <_  0 ) )
3930, 3, 18lelttri 9192 . . . . . 6  |-  ( ( ( K  x.  M
)  <_  0  /\  0  <  N )  -> 
( K  x.  M
)  <  N )
4017, 39mpan2 653 . . . . 5  |-  ( ( K  x.  M )  <_  0  ->  ( K  x.  M )  <  N )
4138, 40syl6 31 . . . 4  |-  ( N  <  M  ->  ( K  <_  0  ->  ( K  x.  M )  <  N ) )
42 lemulge12 9865 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( M  e.  RR  /\  K  e.  RR )  /\  ( 0  <_  M  /\  1  <_  K
) )  ->  M  <_  ( K  x.  M
) )
4320, 2, 42mpanl12 664 . . . . . . 7  |-  ( ( 0  <_  M  /\  1  <_  K )  ->  M  <_  ( K  x.  M ) )
4424, 43sylan 458 . . . . . 6  |-  ( ( N  <  M  /\  1  <_  K )  ->  M  <_  ( K  x.  M ) )
4544ex 424 . . . . 5  |-  ( N  <  M  ->  (
1  <_  K  ->  M  <_  ( K  x.  M ) ) )
4618, 20, 30ltletri 9193 . . . . . 6  |-  ( ( N  <  M  /\  M  <_  ( K  x.  M ) )  ->  N  <  ( K  x.  M ) )
4746ex 424 . . . . 5  |-  ( N  <  M  ->  ( M  <_  ( K  x.  M )  ->  N  <  ( K  x.  M
) ) )
4845, 47syld 42 . . . 4  |-  ( N  <  M  ->  (
1  <_  K  ->  N  <  ( K  x.  M ) ) )
4941, 48orim12d 812 . . 3  |-  ( N  <  M  ->  (
( K  <_  0  \/  1  <_  K )  ->  ( ( K  x.  M )  < 
N  \/  N  < 
( K  x.  M
) ) ) )
5013, 49mpi 17 . 2  |-  ( N  <  M  ->  (
( K  x.  M
)  <  N  \/  N  <  ( K  x.  M ) ) )
5130, 18lttri2i 9179 . 2  |-  ( ( K  x.  M )  =/=  N  <->  ( ( K  x.  M )  <  N  \/  N  < 
( K  x.  M
) ) )
5250, 51sylibr 204 1  |-  ( N  <  M  ->  ( K  x.  M )  =/=  N )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    <-> wb 177    \/ wo 358    /\ wa 359    e. wcel 1725    =/= wne 2598   class class class wbr 4204  (class class class)co 6073   RRcr 8981   0cc0 8982   1c1 8983    x. cmul 8987    < clt 9112    <_ cle 9113   -ucneg 9284   NNcn 9992   ZZcz 10274
This theorem is referenced by:  dvdsle  12887
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1555  ax-5 1566  ax-17 1626  ax-9 1666  ax-8 1687  ax-13 1727  ax-14 1729  ax-6 1744  ax-7 1749  ax-11 1761  ax-12 1950  ax-ext 2416  ax-sep 4322  ax-nul 4330  ax-pow 4369  ax-pr 4395  ax-un 4693  ax-resscn 9039  ax-1cn 9040  ax-icn 9041  ax-addcl 9042  ax-addrcl 9043  ax-mulcl 9044  ax-mulrcl 9045  ax-mulcom 9046  ax-addass 9047  ax-mulass 9048  ax-distr 9049  ax-i2m1 9050  ax-1ne0 9051  ax-1rid 9052  ax-rnegex 9053  ax-rrecex 9054  ax-cnre 9055  ax-pre-lttri 9056  ax-pre-lttrn 9057  ax-pre-ltadd 9058  ax-pre-mulgt0 9059
This theorem depends on definitions:  df-bi 178  df-or 360  df-an 361  df-3or 937  df-3an 938  df-tru 1328  df-ex 1551  df-nf 1554  df-sb 1659  df-eu 2284  df-mo 2285  df-clab 2422  df-cleq 2428  df-clel 2431  df-nfc 2560  df-ne 2600  df-nel 2601  df-ral 2702  df-rex 2703  df-reu 2704  df-rab 2706  df-v 2950  df-sbc 3154  df-csb 3244  df-dif 3315  df-un 3317  df-in 3319  df-ss 3326  df-pss 3328  df-nul 3621  df-if 3732  df-pw 3793  df-sn 3812  df-pr 3813  df-tp 3814  df-op 3815  df-uni 4008  df-iun 4087  df-br 4205  df-opab 4259  df-mpt 4260  df-tr 4295  df-eprel 4486  df-id 4490  df-po 4495  df-so 4496  df-fr 4533  df-we 4535  df-ord 4576  df-on 4577  df-lim 4578  df-suc 4579  df-om 4838  df-xp 4876  df-rel 4877  df-cnv 4878  df-co 4879  df-dm 4880  df-rn 4881  df-res 4882  df-ima 4883  df-iota 5410  df-fun 5448  df-fn 5449  df-f 5450  df-f1 5451  df-fo 5452  df-f1o 5453  df-fv 5454  df-ov 6076  df-oprab 6077  df-mpt2 6078  df-riota 6541  df-recs 6625  df-rdg 6660  df-er 6897  df-en 7102  df-dom 7103  df-sdom 7104  df-pnf 9114  df-mnf 9115  df-xr 9116  df-ltxr 9117  df-le 9118  df-sub 9285  df-neg 9286  df-nn 9993  df-z 10275
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