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Theorem dvdslelem 12589
Description: Lemma for dvdsle 12590. (Contributed by Paul Chapman, 21-Mar-2011.)
Hypotheses
Ref Expression
dvdslelem.1  |-  M  e.  ZZ
dvdslelem.2  |-  N  e.  NN
dvdslelem.3  |-  K  e.  ZZ
Assertion
Ref Expression
dvdslelem  |-  ( N  <  M  ->  ( K  x.  M )  =/=  N )

Proof of Theorem dvdslelem
StepHypRef Expression
1 dvdslelem.3 . . . . . 6  |-  K  e.  ZZ
21zrei 10046 . . . . 5  |-  K  e.  RR
3 0re 8854 . . . . 5  |-  0  e.  RR
4 lelttric 8943 . . . . 5  |-  ( ( K  e.  RR  /\  0  e.  RR )  ->  ( K  <_  0  \/  0  <  K ) )
52, 3, 4mp2an 653 . . . 4  |-  ( K  <_  0  \/  0  <  K )
6 elnnz 10050 . . . . . . . 8  |-  ( K  e.  NN  <->  ( K  e.  ZZ  /\  0  < 
K ) )
7 elnnz1 10065 . . . . . . . 8  |-  ( K  e.  NN  <->  ( K  e.  ZZ  /\  1  <_  K ) )
86, 7bitr3i 242 . . . . . . 7  |-  ( ( K  e.  ZZ  /\  0  <  K )  <->  ( K  e.  ZZ  /\  1  <_  K ) )
9 pm5.32 617 . . . . . . 7  |-  ( ( K  e.  ZZ  ->  ( 0  <  K  <->  1  <_  K ) )  <->  ( ( K  e.  ZZ  /\  0  <  K )  <->  ( K  e.  ZZ  /\  1  <_  K ) ) )
108, 9mpbir 200 . . . . . 6  |-  ( K  e.  ZZ  ->  (
0  <  K  <->  1  <_  K ) )
111, 10ax-mp 8 . . . . 5  |-  ( 0  <  K  <->  1  <_  K )
1211orbi2i 505 . . . 4  |-  ( ( K  <_  0  \/  0  <  K )  <->  ( K  <_  0  \/  1  <_  K ) )
135, 12mpbi 199 . . 3  |-  ( K  <_  0  \/  1  <_  K )
14 le0neg1 9298 . . . . . . . . 9  |-  ( K  e.  RR  ->  ( K  <_  0  <->  0  <_  -u K ) )
152, 14ax-mp 8 . . . . . . . 8  |-  ( K  <_  0  <->  0  <_  -u K )
16 dvdslelem.2 . . . . . . . . . . . 12  |-  N  e.  NN
1716nngt0i 9795 . . . . . . . . . . 11  |-  0  <  N
1816nnrei 9771 . . . . . . . . . . . 12  |-  N  e.  RR
19 dvdslelem.1 . . . . . . . . . . . . 13  |-  M  e.  ZZ
2019zrei 10046 . . . . . . . . . . . 12  |-  M  e.  RR
213, 18, 20lttri 8961 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( 0  <  N  /\  N  <  M )  -> 
0  <  M )
2217, 21mpan 651 . . . . . . . . . 10  |-  ( N  <  M  ->  0  <  M )
233, 20ltlei 8956 . . . . . . . . . 10  |-  ( 0  <  M  ->  0  <_  M )
2422, 23syl 15 . . . . . . . . 9  |-  ( N  <  M  ->  0  <_  M )
252renegcli 9124 . . . . . . . . . 10  |-  -u K  e.  RR
2625, 20mulge0i 9336 . . . . . . . . 9  |-  ( ( 0  <_  -u K  /\  0  <_  M )  -> 
0  <_  ( -u K  x.  M ) )
2724, 26sylan2 460 . . . . . . . 8  |-  ( ( 0  <_  -u K  /\  N  <  M )  -> 
0  <_  ( -u K  x.  M ) )
2815, 27sylanb 458 . . . . . . 7  |-  ( ( K  <_  0  /\  N  <  M )  -> 
0  <_  ( -u K  x.  M ) )
2928expcom 424 . . . . . 6  |-  ( N  <  M  ->  ( K  <_  0  ->  0  <_  ( -u K  x.  M ) ) )
302, 20remulcli 8867 . . . . . . . 8  |-  ( K  x.  M )  e.  RR
31 le0neg1 9298 . . . . . . . 8  |-  ( ( K  x.  M )  e.  RR  ->  (
( K  x.  M
)  <_  0  <->  0  <_  -u ( K  x.  M
) ) )
3230, 31ax-mp 8 . . . . . . 7  |-  ( ( K  x.  M )  <_  0  <->  0  <_  -u ( K  x.  M
) )
332recni 8865 . . . . . . . . 9  |-  K  e.  CC
3420recni 8865 . . . . . . . . 9  |-  M  e.  CC
3533, 34mulneg1i 9241 . . . . . . . 8  |-  ( -u K  x.  M )  =  -u ( K  x.  M )
3635breq2i 4047 . . . . . . 7  |-  ( 0  <_  ( -u K  x.  M )  <->  0  <_  -u ( K  x.  M
) )
3732, 36bitr4i 243 . . . . . 6  |-  ( ( K  x.  M )  <_  0  <->  0  <_  (
-u K  x.  M
) )
3829, 37syl6ibr 218 . . . . 5  |-  ( N  <  M  ->  ( K  <_  0  ->  ( K  x.  M )  <_  0 ) )
3930, 3, 18lelttri 8962 . . . . . 6  |-  ( ( ( K  x.  M
)  <_  0  /\  0  <  N )  -> 
( K  x.  M
)  <  N )
4017, 39mpan2 652 . . . . 5  |-  ( ( K  x.  M )  <_  0  ->  ( K  x.  M )  <  N )
4138, 40syl6 29 . . . 4  |-  ( N  <  M  ->  ( K  <_  0  ->  ( K  x.  M )  <  N ) )
42 lemulge12 9635 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( M  e.  RR  /\  K  e.  RR )  /\  ( 0  <_  M  /\  1  <_  K
) )  ->  M  <_  ( K  x.  M
) )
4320, 2, 42mpanl12 663 . . . . . . 7  |-  ( ( 0  <_  M  /\  1  <_  K )  ->  M  <_  ( K  x.  M ) )
4424, 43sylan 457 . . . . . 6  |-  ( ( N  <  M  /\  1  <_  K )  ->  M  <_  ( K  x.  M ) )
4544ex 423 . . . . 5  |-  ( N  <  M  ->  (
1  <_  K  ->  M  <_  ( K  x.  M ) ) )
4618, 20, 30ltletri 8963 . . . . . 6  |-  ( ( N  <  M  /\  M  <_  ( K  x.  M ) )  ->  N  <  ( K  x.  M ) )
4746ex 423 . . . . 5  |-  ( N  <  M  ->  ( M  <_  ( K  x.  M )  ->  N  <  ( K  x.  M
) ) )
4845, 47syld 40 . . . 4  |-  ( N  <  M  ->  (
1  <_  K  ->  N  <  ( K  x.  M ) ) )
4941, 48orim12d 811 . . 3  |-  ( N  <  M  ->  (
( K  <_  0  \/  1  <_  K )  ->  ( ( K  x.  M )  < 
N  \/  N  < 
( K  x.  M
) ) ) )
5013, 49mpi 16 . 2  |-  ( N  <  M  ->  (
( K  x.  M
)  <  N  \/  N  <  ( K  x.  M ) ) )
5130, 18lttri2i 8948 . 2  |-  ( ( K  x.  M )  =/=  N  <->  ( ( K  x.  M )  <  N  \/  N  < 
( K  x.  M
) ) )
5250, 51sylibr 203 1  |-  ( N  <  M  ->  ( K  x.  M )  =/=  N )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    <-> wb 176    \/ wo 357    /\ wa 358    e. wcel 1696    =/= wne 2459   class class class wbr 4039  (class class class)co 5874   RRcr 8752   0cc0 8753   1c1 8754    x. cmul 8758    < clt 8883    <_ cle 8884   -ucneg 9054   NNcn 9762   ZZcz 10040
This theorem is referenced by:  dvdsle  12590
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1536  ax-5 1547  ax-17 1606  ax-9 1644  ax-8 1661  ax-13 1698  ax-14 1700  ax-6 1715  ax-7 1720  ax-11 1727  ax-12 1878  ax-ext 2277  ax-sep 4157  ax-nul 4165  ax-pow 4204  ax-pr 4230  ax-un 4528  ax-resscn 8810  ax-1cn 8811  ax-icn 8812  ax-addcl 8813  ax-addrcl 8814  ax-mulcl 8815  ax-mulrcl 8816  ax-mulcom 8817  ax-addass 8818  ax-mulass 8819  ax-distr 8820  ax-i2m1 8821  ax-1ne0 8822  ax-1rid 8823  ax-rnegex 8824  ax-rrecex 8825  ax-cnre 8826  ax-pre-lttri 8827  ax-pre-lttrn 8828  ax-pre-ltadd 8829  ax-pre-mulgt0 8830
This theorem depends on definitions:  df-bi 177  df-or 359  df-an 360  df-3or 935  df-3an 936  df-tru 1310  df-ex 1532  df-nf 1535  df-sb 1639  df-eu 2160  df-mo 2161  df-clab 2283  df-cleq 2289  df-clel 2292  df-nfc 2421  df-ne 2461  df-nel 2462  df-ral 2561  df-rex 2562  df-reu 2563  df-rab 2565  df-v 2803  df-sbc 3005  df-csb 3095  df-dif 3168  df-un 3170  df-in 3172  df-ss 3179  df-pss 3181  df-nul 3469  df-if 3579  df-pw 3640  df-sn 3659  df-pr 3660  df-tp 3661  df-op 3662  df-uni 3844  df-iun 3923  df-br 4040  df-opab 4094  df-mpt 4095  df-tr 4130  df-eprel 4321  df-id 4325  df-po 4330  df-so 4331  df-fr 4368  df-we 4370  df-ord 4411  df-on 4412  df-lim 4413  df-suc 4414  df-om 4673  df-xp 4711  df-rel 4712  df-cnv 4713  df-co 4714  df-dm 4715  df-rn 4716  df-res 4717  df-ima 4718  df-iota 5235  df-fun 5273  df-fn 5274  df-f 5275  df-f1 5276  df-fo 5277  df-f1o 5278  df-fv 5279  df-ov 5877  df-oprab 5878  df-mpt2 5879  df-riota 6320  df-recs 6404  df-rdg 6439  df-er 6676  df-en 6880  df-dom 6881  df-sdom 6882  df-pnf 8885  df-mnf 8886  df-xr 8887  df-ltxr 8888  df-le 8889  df-sub 9055  df-neg 9056  df-nn 9763  df-z 10041
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