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Theorem dvdslelem 12573
Description: Lemma for dvdsle 12574. (Contributed by Paul Chapman, 21-Mar-2011.)
Hypotheses
Ref Expression
dvdslelem.1  |-  M  e.  ZZ
dvdslelem.2  |-  N  e.  NN
dvdslelem.3  |-  K  e.  ZZ
Assertion
Ref Expression
dvdslelem  |-  ( N  <  M  ->  ( K  x.  M )  =/=  N )

Proof of Theorem dvdslelem
StepHypRef Expression
1 dvdslelem.3 . . . . . 6  |-  K  e.  ZZ
21zrei 10030 . . . . 5  |-  K  e.  RR
3 0re 8838 . . . . 5  |-  0  e.  RR
4 lelttric 8927 . . . . 5  |-  ( ( K  e.  RR  /\  0  e.  RR )  ->  ( K  <_  0  \/  0  <  K ) )
52, 3, 4mp2an 653 . . . 4  |-  ( K  <_  0  \/  0  <  K )
6 elnnz 10034 . . . . . . . 8  |-  ( K  e.  NN  <->  ( K  e.  ZZ  /\  0  < 
K ) )
7 elnnz1 10049 . . . . . . . 8  |-  ( K  e.  NN  <->  ( K  e.  ZZ  /\  1  <_  K ) )
86, 7bitr3i 242 . . . . . . 7  |-  ( ( K  e.  ZZ  /\  0  <  K )  <->  ( K  e.  ZZ  /\  1  <_  K ) )
9 pm5.32 617 . . . . . . 7  |-  ( ( K  e.  ZZ  ->  ( 0  <  K  <->  1  <_  K ) )  <->  ( ( K  e.  ZZ  /\  0  <  K )  <->  ( K  e.  ZZ  /\  1  <_  K ) ) )
108, 9mpbir 200 . . . . . 6  |-  ( K  e.  ZZ  ->  (
0  <  K  <->  1  <_  K ) )
111, 10ax-mp 8 . . . . 5  |-  ( 0  <  K  <->  1  <_  K )
1211orbi2i 505 . . . 4  |-  ( ( K  <_  0  \/  0  <  K )  <->  ( K  <_  0  \/  1  <_  K ) )
135, 12mpbi 199 . . 3  |-  ( K  <_  0  \/  1  <_  K )
14 le0neg1 9282 . . . . . . . . 9  |-  ( K  e.  RR  ->  ( K  <_  0  <->  0  <_  -u K ) )
152, 14ax-mp 8 . . . . . . . 8  |-  ( K  <_  0  <->  0  <_  -u K )
16 dvdslelem.2 . . . . . . . . . . . 12  |-  N  e.  NN
1716nngt0i 9779 . . . . . . . . . . 11  |-  0  <  N
1816nnrei 9755 . . . . . . . . . . . 12  |-  N  e.  RR
19 dvdslelem.1 . . . . . . . . . . . . 13  |-  M  e.  ZZ
2019zrei 10030 . . . . . . . . . . . 12  |-  M  e.  RR
213, 18, 20lttri 8945 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( 0  <  N  /\  N  <  M )  -> 
0  <  M )
2217, 21mpan 651 . . . . . . . . . 10  |-  ( N  <  M  ->  0  <  M )
233, 20ltlei 8940 . . . . . . . . . 10  |-  ( 0  <  M  ->  0  <_  M )
2422, 23syl 15 . . . . . . . . 9  |-  ( N  <  M  ->  0  <_  M )
252renegcli 9108 . . . . . . . . . 10  |-  -u K  e.  RR
2625, 20mulge0i 9320 . . . . . . . . 9  |-  ( ( 0  <_  -u K  /\  0  <_  M )  -> 
0  <_  ( -u K  x.  M ) )
2724, 26sylan2 460 . . . . . . . 8  |-  ( ( 0  <_  -u K  /\  N  <  M )  -> 
0  <_  ( -u K  x.  M ) )
2815, 27sylanb 458 . . . . . . 7  |-  ( ( K  <_  0  /\  N  <  M )  -> 
0  <_  ( -u K  x.  M ) )
2928expcom 424 . . . . . 6  |-  ( N  <  M  ->  ( K  <_  0  ->  0  <_  ( -u K  x.  M ) ) )
302, 20remulcli 8851 . . . . . . . 8  |-  ( K  x.  M )  e.  RR
31 le0neg1 9282 . . . . . . . 8  |-  ( ( K  x.  M )  e.  RR  ->  (
( K  x.  M
)  <_  0  <->  0  <_  -u ( K  x.  M
) ) )
3230, 31ax-mp 8 . . . . . . 7  |-  ( ( K  x.  M )  <_  0  <->  0  <_  -u ( K  x.  M
) )
332recni 8849 . . . . . . . . 9  |-  K  e.  CC
3420recni 8849 . . . . . . . . 9  |-  M  e.  CC
3533, 34mulneg1i 9225 . . . . . . . 8  |-  ( -u K  x.  M )  =  -u ( K  x.  M )
3635breq2i 4031 . . . . . . 7  |-  ( 0  <_  ( -u K  x.  M )  <->  0  <_  -u ( K  x.  M
) )
3732, 36bitr4i 243 . . . . . 6  |-  ( ( K  x.  M )  <_  0  <->  0  <_  (
-u K  x.  M
) )
3829, 37syl6ibr 218 . . . . 5  |-  ( N  <  M  ->  ( K  <_  0  ->  ( K  x.  M )  <_  0 ) )
3930, 3, 18lelttri 8946 . . . . . 6  |-  ( ( ( K  x.  M
)  <_  0  /\  0  <  N )  -> 
( K  x.  M
)  <  N )
4017, 39mpan2 652 . . . . 5  |-  ( ( K  x.  M )  <_  0  ->  ( K  x.  M )  <  N )
4138, 40syl6 29 . . . 4  |-  ( N  <  M  ->  ( K  <_  0  ->  ( K  x.  M )  <  N ) )
42 lemulge12 9619 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( M  e.  RR  /\  K  e.  RR )  /\  ( 0  <_  M  /\  1  <_  K
) )  ->  M  <_  ( K  x.  M
) )
4320, 2, 42mpanl12 663 . . . . . . 7  |-  ( ( 0  <_  M  /\  1  <_  K )  ->  M  <_  ( K  x.  M ) )
4424, 43sylan 457 . . . . . 6  |-  ( ( N  <  M  /\  1  <_  K )  ->  M  <_  ( K  x.  M ) )
4544ex 423 . . . . 5  |-  ( N  <  M  ->  (
1  <_  K  ->  M  <_  ( K  x.  M ) ) )
4618, 20, 30ltletri 8947 . . . . . 6  |-  ( ( N  <  M  /\  M  <_  ( K  x.  M ) )  ->  N  <  ( K  x.  M ) )
4746ex 423 . . . . 5  |-  ( N  <  M  ->  ( M  <_  ( K  x.  M )  ->  N  <  ( K  x.  M
) ) )
4845, 47syld 40 . . . 4  |-  ( N  <  M  ->  (
1  <_  K  ->  N  <  ( K  x.  M ) ) )
4941, 48orim12d 811 . . 3  |-  ( N  <  M  ->  (
( K  <_  0  \/  1  <_  K )  ->  ( ( K  x.  M )  < 
N  \/  N  < 
( K  x.  M
) ) ) )
5013, 49mpi 16 . 2  |-  ( N  <  M  ->  (
( K  x.  M
)  <  N  \/  N  <  ( K  x.  M ) ) )
5130, 18lttri2i 8932 . 2  |-  ( ( K  x.  M )  =/=  N  <->  ( ( K  x.  M )  <  N  \/  N  < 
( K  x.  M
) ) )
5250, 51sylibr 203 1  |-  ( N  <  M  ->  ( K  x.  M )  =/=  N )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    <-> wb 176    \/ wo 357    /\ wa 358    e. wcel 1684    =/= wne 2446   class class class wbr 4023  (class class class)co 5858   RRcr 8736   0cc0 8737   1c1 8738    x. cmul 8742    < clt 8867    <_ cle 8868   -ucneg 9038   NNcn 9746   ZZcz 10024
This theorem is referenced by:  dvdsle  12574
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1533  ax-5 1544  ax-17 1603  ax-9 1635  ax-8 1643  ax-13 1686  ax-14 1688  ax-6 1703  ax-7 1708  ax-11 1715  ax-12 1866  ax-ext 2264  ax-sep 4141  ax-nul 4149  ax-pow 4188  ax-pr 4214  ax-un 4512  ax-resscn 8794  ax-1cn 8795  ax-icn 8796  ax-addcl 8797  ax-addrcl 8798  ax-mulcl 8799  ax-mulrcl 8800  ax-mulcom 8801  ax-addass 8802  ax-mulass 8803  ax-distr 8804  ax-i2m1 8805  ax-1ne0 8806  ax-1rid 8807  ax-rnegex 8808  ax-rrecex 8809  ax-cnre 8810  ax-pre-lttri 8811  ax-pre-lttrn 8812  ax-pre-ltadd 8813  ax-pre-mulgt0 8814
This theorem depends on definitions:  df-bi 177  df-or 359  df-an 360  df-3or 935  df-3an 936  df-tru 1310  df-ex 1529  df-nf 1532  df-sb 1630  df-eu 2147  df-mo 2148  df-clab 2270  df-cleq 2276  df-clel 2279  df-nfc 2408  df-ne 2448  df-nel 2449  df-ral 2548  df-rex 2549  df-reu 2550  df-rab 2552  df-v 2790  df-sbc 2992  df-csb 3082  df-dif 3155  df-un 3157  df-in 3159  df-ss 3166  df-pss 3168  df-nul 3456  df-if 3566  df-pw 3627  df-sn 3646  df-pr 3647  df-tp 3648  df-op 3649  df-uni 3828  df-iun 3907  df-br 4024  df-opab 4078  df-mpt 4079  df-tr 4114  df-eprel 4305  df-id 4309  df-po 4314  df-so 4315  df-fr 4352  df-we 4354  df-ord 4395  df-on 4396  df-lim 4397  df-suc 4398  df-om 4657  df-xp 4695  df-rel 4696  df-cnv 4697  df-co 4698  df-dm 4699  df-rn 4700  df-res 4701  df-ima 4702  df-iota 5219  df-fun 5257  df-fn 5258  df-f 5259  df-f1 5260  df-fo 5261  df-f1o 5262  df-fv 5263  df-ov 5861  df-oprab 5862  df-mpt2 5863  df-riota 6304  df-recs 6388  df-rdg 6423  df-er 6660  df-en 6864  df-dom 6865  df-sdom 6866  df-pnf 8869  df-mnf 8870  df-xr 8871  df-ltxr 8872  df-le 8873  df-sub 9039  df-neg 9040  df-nn 9747  df-z 10025
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