MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  dvdsmul1 Structured version   Unicode version

Theorem dvdsmul1 12872
Description: An integer divides a multiple of itself. (Contributed by Paul Chapman, 21-Mar-2011.)
Assertion
Ref Expression
dvdsmul1  |-  ( ( M  e.  ZZ  /\  N  e.  ZZ )  ->  M  ||  ( M  x.  N ) )

Proof of Theorem dvdsmul1
StepHypRef Expression
1 zcn 10288 . . 3  |-  ( N  e.  ZZ  ->  N  e.  CC )
2 zcn 10288 . . 3  |-  ( M  e.  ZZ  ->  M  e.  CC )
3 mulcom 9077 . . 3  |-  ( ( N  e.  CC  /\  M  e.  CC )  ->  ( N  x.  M
)  =  ( M  x.  N ) )
41, 2, 3syl2anr 466 . 2  |-  ( ( M  e.  ZZ  /\  N  e.  ZZ )  ->  ( N  x.  M
)  =  ( M  x.  N ) )
5 zmulcl 10325 . . 3  |-  ( ( M  e.  ZZ  /\  N  e.  ZZ )  ->  ( M  x.  N
)  e.  ZZ )
6 dvds0lem 12861 . . . . 5  |-  ( ( ( N  e.  ZZ  /\  M  e.  ZZ  /\  ( M  x.  N
)  e.  ZZ )  /\  ( N  x.  M )  =  ( M  x.  N ) )  ->  M  ||  ( M  x.  N )
)
76ex 425 . . . 4  |-  ( ( N  e.  ZZ  /\  M  e.  ZZ  /\  ( M  x.  N )  e.  ZZ )  ->  (
( N  x.  M
)  =  ( M  x.  N )  ->  M  ||  ( M  x.  N ) ) )
873com12 1158 . . 3  |-  ( ( M  e.  ZZ  /\  N  e.  ZZ  /\  ( M  x.  N )  e.  ZZ )  ->  (
( N  x.  M
)  =  ( M  x.  N )  ->  M  ||  ( M  x.  N ) ) )
95, 8mpd3an3 1281 . 2  |-  ( ( M  e.  ZZ  /\  N  e.  ZZ )  ->  ( ( N  x.  M )  =  ( M  x.  N )  ->  M  ||  ( M  x.  N )
) )
104, 9mpd 15 1  |-  ( ( M  e.  ZZ  /\  N  e.  ZZ )  ->  M  ||  ( M  x.  N ) )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    /\ wa 360    /\ w3a 937    = wceq 1653    e. wcel 1726   class class class wbr 4213  (class class class)co 6082   CCcc 8989    x. cmul 8996   ZZcz 10283    || cdivides 12853
This theorem is referenced by:  dvdsmultr1  12885  ndvdsi  12931  bits0e  12942  bits0o  12943  mulgcd  13047  dvdsmulgcd  13055  nprm  13094  qredeq  13107  exprmfct  13111  phimullem  13169  prmdiv  13175  opoe  13186  omoe  13187  iserodd  13210  expnprm  13272  pockthlem  13274  prmreclem3  13287  4sqlem14  13327  odmulg2  15192  odbezout  15195  gexdvds  15219  sylow2alem2  15253  odadd1  15464  odadd2  15465  gexexlem  15468  prmirredlem  16774  znunit  16845  wilthlem2  20853  dvdsflf1o  20973  dvdsmulf1o  20980  ppiublem1  20987  ppiublem2  20988  perfectlem1  21014  bposlem3  21071  lgsdir  21115  lgsquadlem1  21139  lgsquad2lem1  21143  lgsquad2lem2  21144  2sqlem4  21152  2sqblem  21162  dchrisumlem1  21184  jm2.23  27068  jm2.27c  27079
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1556  ax-5 1567  ax-17 1627  ax-9 1667  ax-8 1688  ax-13 1728  ax-14 1730  ax-6 1745  ax-7 1750  ax-11 1762  ax-12 1951  ax-ext 2418  ax-sep 4331  ax-nul 4339  ax-pow 4378  ax-pr 4404  ax-un 4702  ax-resscn 9048  ax-1cn 9049  ax-icn 9050  ax-addcl 9051  ax-addrcl 9052  ax-mulcl 9053  ax-mulrcl 9054  ax-mulcom 9055  ax-addass 9056  ax-mulass 9057  ax-distr 9058  ax-i2m1 9059  ax-1ne0 9060  ax-1rid 9061  ax-rnegex 9062  ax-rrecex 9063  ax-cnre 9064  ax-pre-lttri 9065  ax-pre-lttrn 9066  ax-pre-ltadd 9067
This theorem depends on definitions:  df-bi 179  df-or 361  df-an 362  df-3or 938  df-3an 939  df-tru 1329  df-ex 1552  df-nf 1555  df-sb 1660  df-eu 2286  df-mo 2287  df-clab 2424  df-cleq 2430  df-clel 2433  df-nfc 2562  df-ne 2602  df-nel 2603  df-ral 2711  df-rex 2712  df-reu 2713  df-rab 2715  df-v 2959  df-sbc 3163  df-csb 3253  df-dif 3324  df-un 3326  df-in 3328  df-ss 3335  df-pss 3337  df-nul 3630  df-if 3741  df-pw 3802  df-sn 3821  df-pr 3822  df-tp 3823  df-op 3824  df-uni 4017  df-iun 4096  df-br 4214  df-opab 4268  df-mpt 4269  df-tr 4304  df-eprel 4495  df-id 4499  df-po 4504  df-so 4505  df-fr 4542  df-we 4544  df-ord 4585  df-on 4586  df-lim 4587  df-suc 4588  df-om 4847  df-xp 4885  df-rel 4886  df-cnv 4887  df-co 4888  df-dm 4889  df-rn 4890  df-res 4891  df-ima 4892  df-iota 5419  df-fun 5457  df-fn 5458  df-f 5459  df-f1 5460  df-fo 5461  df-f1o 5462  df-fv 5463  df-ov 6085  df-oprab 6086  df-mpt2 6087  df-riota 6550  df-recs 6634  df-rdg 6669  df-er 6906  df-en 7111  df-dom 7112  df-sdom 7113  df-pnf 9123  df-mnf 9124  df-ltxr 9126  df-sub 9294  df-neg 9295  df-nn 10002  df-n0 10223  df-z 10284  df-dvds 12854
  Copyright terms: Public domain W3C validator