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Theorem dvdsmulf1o 20984
Description: If  M and  N are two coprime integers, multiplication forms a bijection from the set of pairs  <. j ,  k >. where  j  ||  M and  k  ||  N, to the set of divisors of  M  x.  N. (Contributed by Mario Carneiro, 2-Jul-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
dvdsmulf1o.1  |-  ( ph  ->  M  e.  NN )
dvdsmulf1o.2  |-  ( ph  ->  N  e.  NN )
dvdsmulf1o.3  |-  ( ph  ->  ( M  gcd  N
)  =  1 )
dvdsmulf1o.x  |-  X  =  { x  e.  NN  |  x  ||  M }
dvdsmulf1o.y  |-  Y  =  { x  e.  NN  |  x  ||  N }
dvdsmulf1o.z  |-  Z  =  { x  e.  NN  |  x  ||  ( M  x.  N ) }
Assertion
Ref Expression
dvdsmulf1o  |-  ( ph  ->  (  x.  |`  ( X  X.  Y ) ) : ( X  X.  Y ) -1-1-onto-> Z )
Distinct variable groups:    x, M    x, N
Allowed substitution hints:    ph( x)    X( x)    Y( x)    Z( x)

Proof of Theorem dvdsmulf1o
Dummy variables  i  u  j  m  n  v  w are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 ax-mulf 9075 . . . . . . 7  |-  x.  :
( CC  X.  CC )
--> CC
2 ffn 5594 . . . . . . 7  |-  (  x.  : ( CC  X.  CC ) --> CC  ->  x.  Fn  ( CC  X.  CC ) )
31, 2ax-mp 5 . . . . . 6  |-  x.  Fn  ( CC  X.  CC )
4 dvdsmulf1o.x . . . . . . . . 9  |-  X  =  { x  e.  NN  |  x  ||  M }
5 ssrab2 3430 . . . . . . . . 9  |-  { x  e.  NN  |  x  ||  M }  C_  NN
64, 5eqsstri 3380 . . . . . . . 8  |-  X  C_  NN
7 nnsscn 10010 . . . . . . . 8  |-  NN  C_  CC
86, 7sstri 3359 . . . . . . 7  |-  X  C_  CC
9 dvdsmulf1o.y . . . . . . . . 9  |-  Y  =  { x  e.  NN  |  x  ||  N }
10 ssrab2 3430 . . . . . . . . 9  |-  { x  e.  NN  |  x  ||  N }  C_  NN
119, 10eqsstri 3380 . . . . . . . 8  |-  Y  C_  NN
1211, 7sstri 3359 . . . . . . 7  |-  Y  C_  CC
13 xpss12 4984 . . . . . . 7  |-  ( ( X  C_  CC  /\  Y  C_  CC )  ->  ( X  X.  Y )  C_  ( CC  X.  CC ) )
148, 12, 13mp2an 655 . . . . . 6  |-  ( X  X.  Y )  C_  ( CC  X.  CC )
15 fnssres 5561 . . . . . 6  |-  ( (  x.  Fn  ( CC 
X.  CC )  /\  ( X  X.  Y
)  C_  ( CC  X.  CC ) )  -> 
(  x.  |`  ( X  X.  Y ) )  Fn  ( X  X.  Y ) )
163, 14, 15mp2an 655 . . . . 5  |-  (  x.  |`  ( X  X.  Y
) )  Fn  ( X  X.  Y )
1716a1i 11 . . . 4  |-  ( ph  ->  (  x.  |`  ( X  X.  Y ) )  Fn  ( X  X.  Y ) )
18 ovres 6216 . . . . . . 7  |-  ( ( i  e.  X  /\  j  e.  Y )  ->  ( i (  x.  |`  ( X  X.  Y
) ) j )  =  ( i  x.  j ) )
1918adantl 454 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  ( i  e.  X  /\  j  e.  Y ) )  -> 
( i (  x.  |`  ( X  X.  Y
) ) j )  =  ( i  x.  j ) )
20 breq1 4218 . . . . . . . . . . 11  |-  ( x  =  i  ->  (
x  ||  M  <->  i  ||  M ) )
2120, 4elrab2 3096 . . . . . . . . . 10  |-  ( i  e.  X  <->  ( i  e.  NN  /\  i  ||  M ) )
2221simplbi 448 . . . . . . . . 9  |-  ( i  e.  X  ->  i  e.  NN )
2322ad2antrl 710 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  ( i  e.  X  /\  j  e.  Y ) )  -> 
i  e.  NN )
24 breq1 4218 . . . . . . . . . . 11  |-  ( x  =  j  ->  (
x  ||  N  <->  j  ||  N ) )
2524, 9elrab2 3096 . . . . . . . . . 10  |-  ( j  e.  Y  <->  ( j  e.  NN  /\  j  ||  N ) )
2625simplbi 448 . . . . . . . . 9  |-  ( j  e.  Y  ->  j  e.  NN )
2726ad2antll 711 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  ( i  e.  X  /\  j  e.  Y ) )  -> 
j  e.  NN )
2823, 27nnmulcld 10052 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  ( i  e.  X  /\  j  e.  Y ) )  -> 
( i  x.  j
)  e.  NN )
2925simprbi 452 . . . . . . . . 9  |-  ( j  e.  Y  ->  j  ||  N )
3029ad2antll 711 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  ( i  e.  X  /\  j  e.  Y ) )  -> 
j  ||  N )
3121simprbi 452 . . . . . . . . 9  |-  ( i  e.  X  ->  i  ||  M )
3231ad2antrl 710 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  ( i  e.  X  /\  j  e.  Y ) )  -> 
i  ||  M )
3327nnzd 10379 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  ( i  e.  X  /\  j  e.  Y ) )  -> 
j  e.  ZZ )
34 dvdsmulf1o.2 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ph  ->  N  e.  NN )
3534adantr 453 . . . . . . . . . . 11  |-  ( (
ph  /\  ( i  e.  X  /\  j  e.  Y ) )  ->  N  e.  NN )
3635nnzd 10379 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  ( i  e.  X  /\  j  e.  Y ) )  ->  N  e.  ZZ )
3723nnzd 10379 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  ( i  e.  X  /\  j  e.  Y ) )  -> 
i  e.  ZZ )
38 dvdscmul 12881 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( j  e.  ZZ  /\  N  e.  ZZ  /\  i  e.  ZZ )  ->  (
j  ||  N  ->  ( i  x.  j ) 
||  ( i  x.  N ) ) )
3933, 36, 37, 38syl3anc 1185 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  ( i  e.  X  /\  j  e.  Y ) )  -> 
( j  ||  N  ->  ( i  x.  j
)  ||  ( i  x.  N ) ) )
40 dvdsmulf1o.1 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ph  ->  M  e.  NN )
4140adantr 453 . . . . . . . . . . 11  |-  ( (
ph  /\  ( i  e.  X  /\  j  e.  Y ) )  ->  M  e.  NN )
4241nnzd 10379 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  ( i  e.  X  /\  j  e.  Y ) )  ->  M  e.  ZZ )
43 dvdsmulc 12882 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( i  e.  ZZ  /\  M  e.  ZZ  /\  N  e.  ZZ )  ->  (
i  ||  M  ->  ( i  x.  N ) 
||  ( M  x.  N ) ) )
4437, 42, 36, 43syl3anc 1185 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  ( i  e.  X  /\  j  e.  Y ) )  -> 
( i  ||  M  ->  ( i  x.  N
)  ||  ( M  x.  N ) ) )
4528nnzd 10379 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  ( i  e.  X  /\  j  e.  Y ) )  -> 
( i  x.  j
)  e.  ZZ )
4637, 36zmulcld 10386 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  ( i  e.  X  /\  j  e.  Y ) )  -> 
( i  x.  N
)  e.  ZZ )
4742, 36zmulcld 10386 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  ( i  e.  X  /\  j  e.  Y ) )  -> 
( M  x.  N
)  e.  ZZ )
48 dvdstr 12888 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( i  x.  j
)  e.  ZZ  /\  ( i  x.  N
)  e.  ZZ  /\  ( M  x.  N
)  e.  ZZ )  ->  ( ( ( i  x.  j ) 
||  ( i  x.  N )  /\  (
i  x.  N ) 
||  ( M  x.  N ) )  -> 
( i  x.  j
)  ||  ( M  x.  N ) ) )
4945, 46, 47, 48syl3anc 1185 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  ( i  e.  X  /\  j  e.  Y ) )  -> 
( ( ( i  x.  j )  ||  ( i  x.  N
)  /\  ( i  x.  N )  ||  ( M  x.  N )
)  ->  ( i  x.  j )  ||  ( M  x.  N )
) )
5039, 44, 49syl2and 471 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  ( i  e.  X  /\  j  e.  Y ) )  -> 
( ( j  ||  N  /\  i  ||  M
)  ->  ( i  x.  j )  ||  ( M  x.  N )
) )
5130, 32, 50mp2and 662 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  ( i  e.  X  /\  j  e.  Y ) )  -> 
( i  x.  j
)  ||  ( M  x.  N ) )
52 breq1 4218 . . . . . . . 8  |-  ( x  =  ( i  x.  j )  ->  (
x  ||  ( M  x.  N )  <->  ( i  x.  j )  ||  ( M  x.  N )
) )
53 dvdsmulf1o.z . . . . . . . 8  |-  Z  =  { x  e.  NN  |  x  ||  ( M  x.  N ) }
5452, 53elrab2 3096 . . . . . . 7  |-  ( ( i  x.  j )  e.  Z  <->  ( (
i  x.  j )  e.  NN  /\  (
i  x.  j ) 
||  ( M  x.  N ) ) )
5528, 51, 54sylanbrc 647 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  ( i  e.  X  /\  j  e.  Y ) )  -> 
( i  x.  j
)  e.  Z )
5619, 55eqeltrd 2512 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  ( i  e.  X  /\  j  e.  Y ) )  -> 
( i (  x.  |`  ( X  X.  Y
) ) j )  e.  Z )
5756ralrimivva 2800 . . . 4  |-  ( ph  ->  A. i  e.  X  A. j  e.  Y  ( i (  x.  |`  ( X  X.  Y
) ) j )  e.  Z )
58 ffnov 6177 . . . 4  |-  ( (  x.  |`  ( X  X.  Y ) ) : ( X  X.  Y
) --> Z  <->  ( (  x.  |`  ( X  X.  Y ) )  Fn  ( X  X.  Y
)  /\  A. i  e.  X  A. j  e.  Y  ( i
(  x.  |`  ( X  X.  Y ) ) j )  e.  Z
) )
5917, 57, 58sylanbrc 647 . . 3  |-  ( ph  ->  (  x.  |`  ( X  X.  Y ) ) : ( X  X.  Y ) --> Z )
6023adantr 453 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ph  /\  (
i  e.  X  /\  j  e.  Y )
)  /\  ( (
m  e.  X  /\  n  e.  Y )  /\  ( i  x.  j
)  =  ( m  x.  n ) ) )  ->  i  e.  NN )
6160nnnn0d 10279 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ph  /\  (
i  e.  X  /\  j  e.  Y )
)  /\  ( (
m  e.  X  /\  n  e.  Y )  /\  ( i  x.  j
)  =  ( m  x.  n ) ) )  ->  i  e.  NN0 )
62 simprll 740 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ph  /\  (
i  e.  X  /\  j  e.  Y )
)  /\  ( (
m  e.  X  /\  n  e.  Y )  /\  ( i  x.  j
)  =  ( m  x.  n ) ) )  ->  m  e.  X )
63 breq1 4218 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( x  =  m  ->  (
x  ||  M  <->  m  ||  M
) )
6463, 4elrab2 3096 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( m  e.  X  <->  ( m  e.  NN  /\  m  ||  M ) )
6564simplbi 448 . . . . . . . . . . 11  |-  ( m  e.  X  ->  m  e.  NN )
6662, 65syl 16 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ph  /\  (
i  e.  X  /\  j  e.  Y )
)  /\  ( (
m  e.  X  /\  n  e.  Y )  /\  ( i  x.  j
)  =  ( m  x.  n ) ) )  ->  m  e.  NN )
6766nnnn0d 10279 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ph  /\  (
i  e.  X  /\  j  e.  Y )
)  /\  ( (
m  e.  X  /\  n  e.  Y )  /\  ( i  x.  j
)  =  ( m  x.  n ) ) )  ->  m  e.  NN0 )
6860nnzd 10379 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ph  /\  (
i  e.  X  /\  j  e.  Y )
)  /\  ( (
m  e.  X  /\  n  e.  Y )  /\  ( i  x.  j
)  =  ( m  x.  n ) ) )  ->  i  e.  ZZ )
6927adantr 453 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ph  /\  (
i  e.  X  /\  j  e.  Y )
)  /\  ( (
m  e.  X  /\  n  e.  Y )  /\  ( i  x.  j
)  =  ( m  x.  n ) ) )  ->  j  e.  NN )
7069nnzd 10379 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ph  /\  (
i  e.  X  /\  j  e.  Y )
)  /\  ( (
m  e.  X  /\  n  e.  Y )  /\  ( i  x.  j
)  =  ( m  x.  n ) ) )  ->  j  e.  ZZ )
71 dvdsmul1 12876 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( i  e.  ZZ  /\  j  e.  ZZ )  ->  i  ||  ( i  x.  j ) )
7268, 70, 71syl2anc 644 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ph  /\  (
i  e.  X  /\  j  e.  Y )
)  /\  ( (
m  e.  X  /\  n  e.  Y )  /\  ( i  x.  j
)  =  ( m  x.  n ) ) )  ->  i  ||  ( i  x.  j
) )
73 simprr 735 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ph  /\  (
i  e.  X  /\  j  e.  Y )
)  /\  ( (
m  e.  X  /\  n  e.  Y )  /\  ( i  x.  j
)  =  ( m  x.  n ) ) )  ->  ( i  x.  j )  =  ( m  x.  n ) )
748, 62sseldi 3348 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ph  /\  (
i  e.  X  /\  j  e.  Y )
)  /\  ( (
m  e.  X  /\  n  e.  Y )  /\  ( i  x.  j
)  =  ( m  x.  n ) ) )  ->  m  e.  CC )
75 simprlr 741 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( ph  /\  (
i  e.  X  /\  j  e.  Y )
)  /\  ( (
m  e.  X  /\  n  e.  Y )  /\  ( i  x.  j
)  =  ( m  x.  n ) ) )  ->  n  e.  Y )
76 breq1 4218 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( x  =  n  ->  (
x  ||  N  <->  n  ||  N
) )
7776, 9elrab2 3096 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( n  e.  Y  <->  ( n  e.  NN  /\  n  ||  N ) )
7877simplbi 448 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( n  e.  Y  ->  n  e.  NN )
7975, 78syl 16 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ph  /\  (
i  e.  X  /\  j  e.  Y )
)  /\  ( (
m  e.  X  /\  n  e.  Y )  /\  ( i  x.  j
)  =  ( m  x.  n ) ) )  ->  n  e.  NN )
8079nncnd 10021 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ph  /\  (
i  e.  X  /\  j  e.  Y )
)  /\  ( (
m  e.  X  /\  n  e.  Y )  /\  ( i  x.  j
)  =  ( m  x.  n ) ) )  ->  n  e.  CC )
8174, 80mulcomd 9114 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ph  /\  (
i  e.  X  /\  j  e.  Y )
)  /\  ( (
m  e.  X  /\  n  e.  Y )  /\  ( i  x.  j
)  =  ( m  x.  n ) ) )  ->  ( m  x.  n )  =  ( n  x.  m ) )
8273, 81eqtrd 2470 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ph  /\  (
i  e.  X  /\  j  e.  Y )
)  /\  ( (
m  e.  X  /\  n  e.  Y )  /\  ( i  x.  j
)  =  ( m  x.  n ) ) )  ->  ( i  x.  j )  =  ( n  x.  m ) )
8372, 82breqtrd 4239 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ph  /\  (
i  e.  X  /\  j  e.  Y )
)  /\  ( (
m  e.  X  /\  n  e.  Y )  /\  ( i  x.  j
)  =  ( m  x.  n ) ) )  ->  i  ||  ( n  x.  m
) )
8479nnzd 10379 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ph  /\  (
i  e.  X  /\  j  e.  Y )
)  /\  ( (
m  e.  X  /\  n  e.  Y )  /\  ( i  x.  j
)  =  ( m  x.  n ) ) )  ->  n  e.  ZZ )
8536adantr 453 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ph  /\  (
i  e.  X  /\  j  e.  Y )
)  /\  ( (
m  e.  X  /\  n  e.  Y )  /\  ( i  x.  j
)  =  ( m  x.  n ) ) )  ->  N  e.  ZZ )
86 gcdcom 13025 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( i  e.  ZZ  /\  N  e.  ZZ )  ->  ( i  gcd  N
)  =  ( N  gcd  i ) )
8768, 85, 86syl2anc 644 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ph  /\  (
i  e.  X  /\  j  e.  Y )
)  /\  ( (
m  e.  X  /\  n  e.  Y )  /\  ( i  x.  j
)  =  ( m  x.  n ) ) )  ->  ( i  gcd  N )  =  ( N  gcd  i ) )
8842adantr 453 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ph  /\  (
i  e.  X  /\  j  e.  Y )
)  /\  ( (
m  e.  X  /\  n  e.  Y )  /\  ( i  x.  j
)  =  ( m  x.  n ) ) )  ->  M  e.  ZZ )
8934nnzd 10379 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ph  ->  N  e.  ZZ )
9040nnzd 10379 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ph  ->  M  e.  ZZ )
91 gcdcom 13025 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( N  e.  ZZ  /\  M  e.  ZZ )  ->  ( N  gcd  M
)  =  ( M  gcd  N ) )
9289, 90, 91syl2anc 644 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ph  ->  ( N  gcd  M
)  =  ( M  gcd  N ) )
93 dvdsmulf1o.3 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ph  ->  ( M  gcd  N
)  =  1 )
9492, 93eqtrd 2470 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ph  ->  ( N  gcd  M
)  =  1 )
9594ad2antrr 708 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ph  /\  (
i  e.  X  /\  j  e.  Y )
)  /\  ( (
m  e.  X  /\  n  e.  Y )  /\  ( i  x.  j
)  =  ( m  x.  n ) ) )  ->  ( N  gcd  M )  =  1 )
9632adantr 453 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ph  /\  (
i  e.  X  /\  j  e.  Y )
)  /\  ( (
m  e.  X  /\  n  e.  Y )  /\  ( i  x.  j
)  =  ( m  x.  n ) ) )  ->  i  ||  M )
97 rpdvds 13129 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( N  e.  ZZ  /\  i  e.  ZZ  /\  M  e.  ZZ )  /\  ( ( N  gcd  M )  =  1  /\  i  ||  M ) )  ->  ( N  gcd  i )  =  1 )
9885, 68, 88, 95, 96, 97syl32anc 1193 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ph  /\  (
i  e.  X  /\  j  e.  Y )
)  /\  ( (
m  e.  X  /\  n  e.  Y )  /\  ( i  x.  j
)  =  ( m  x.  n ) ) )  ->  ( N  gcd  i )  =  1 )
9987, 98eqtrd 2470 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ph  /\  (
i  e.  X  /\  j  e.  Y )
)  /\  ( (
m  e.  X  /\  n  e.  Y )  /\  ( i  x.  j
)  =  ( m  x.  n ) ) )  ->  ( i  gcd  N )  =  1 )
10077simprbi 452 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( n  e.  Y  ->  n  ||  N )
10175, 100syl 16 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ph  /\  (
i  e.  X  /\  j  e.  Y )
)  /\  ( (
m  e.  X  /\  n  e.  Y )  /\  ( i  x.  j
)  =  ( m  x.  n ) ) )  ->  n  ||  N
)
102 rpdvds 13129 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( i  e.  ZZ  /\  n  e.  ZZ  /\  N  e.  ZZ )  /\  ( ( i  gcd 
N )  =  1  /\  n  ||  N
) )  ->  (
i  gcd  n )  =  1 )
10368, 84, 85, 99, 101, 102syl32anc 1193 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ph  /\  (
i  e.  X  /\  j  e.  Y )
)  /\  ( (
m  e.  X  /\  n  e.  Y )  /\  ( i  x.  j
)  =  ( m  x.  n ) ) )  ->  ( i  gcd  n )  =  1 )
10466nnzd 10379 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ph  /\  (
i  e.  X  /\  j  e.  Y )
)  /\  ( (
m  e.  X  /\  n  e.  Y )  /\  ( i  x.  j
)  =  ( m  x.  n ) ) )  ->  m  e.  ZZ )
105 coprmdvds 13107 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( i  e.  ZZ  /\  n  e.  ZZ  /\  m  e.  ZZ )  ->  (
( i  ||  (
n  x.  m )  /\  ( i  gcd  n )  =  1 )  ->  i  ||  m ) )
10668, 84, 104, 105syl3anc 1185 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ph  /\  (
i  e.  X  /\  j  e.  Y )
)  /\  ( (
m  e.  X  /\  n  e.  Y )  /\  ( i  x.  j
)  =  ( m  x.  n ) ) )  ->  ( (
i  ||  ( n  x.  m )  /\  (
i  gcd  n )  =  1 )  -> 
i  ||  m )
)
10783, 103, 106mp2and 662 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ph  /\  (
i  e.  X  /\  j  e.  Y )
)  /\  ( (
m  e.  X  /\  n  e.  Y )  /\  ( i  x.  j
)  =  ( m  x.  n ) ) )  ->  i  ||  m )
108 dvdsmul1 12876 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( m  e.  ZZ  /\  n  e.  ZZ )  ->  m  ||  ( m  x.  n ) )
109104, 84, 108syl2anc 644 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ph  /\  (
i  e.  X  /\  j  e.  Y )
)  /\  ( (
m  e.  X  /\  n  e.  Y )  /\  ( i  x.  j
)  =  ( m  x.  n ) ) )  ->  m  ||  (
m  x.  n ) )
11060nncnd 10021 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ph  /\  (
i  e.  X  /\  j  e.  Y )
)  /\  ( (
m  e.  X  /\  n  e.  Y )  /\  ( i  x.  j
)  =  ( m  x.  n ) ) )  ->  i  e.  CC )
11169nncnd 10021 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ph  /\  (
i  e.  X  /\  j  e.  Y )
)  /\  ( (
m  e.  X  /\  n  e.  Y )  /\  ( i  x.  j
)  =  ( m  x.  n ) ) )  ->  j  e.  CC )
112110, 111mulcomd 9114 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ph  /\  (
i  e.  X  /\  j  e.  Y )
)  /\  ( (
m  e.  X  /\  n  e.  Y )  /\  ( i  x.  j
)  =  ( m  x.  n ) ) )  ->  ( i  x.  j )  =  ( j  x.  i ) )
11373, 112eqtr3d 2472 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ph  /\  (
i  e.  X  /\  j  e.  Y )
)  /\  ( (
m  e.  X  /\  n  e.  Y )  /\  ( i  x.  j
)  =  ( m  x.  n ) ) )  ->  ( m  x.  n )  =  ( j  x.  i ) )
114109, 113breqtrd 4239 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ph  /\  (
i  e.  X  /\  j  e.  Y )
)  /\  ( (
m  e.  X  /\  n  e.  Y )  /\  ( i  x.  j
)  =  ( m  x.  n ) ) )  ->  m  ||  (
j  x.  i ) )
115 gcdcom 13025 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( m  e.  ZZ  /\  N  e.  ZZ )  ->  ( m  gcd  N
)  =  ( N  gcd  m ) )
116104, 85, 115syl2anc 644 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ph  /\  (
i  e.  X  /\  j  e.  Y )
)  /\  ( (
m  e.  X  /\  n  e.  Y )  /\  ( i  x.  j
)  =  ( m  x.  n ) ) )  ->  ( m  gcd  N )  =  ( N  gcd  m ) )
11764simprbi 452 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( m  e.  X  ->  m  ||  M )
11862, 117syl 16 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ph  /\  (
i  e.  X  /\  j  e.  Y )
)  /\  ( (
m  e.  X  /\  n  e.  Y )  /\  ( i  x.  j
)  =  ( m  x.  n ) ) )  ->  m  ||  M
)
119 rpdvds 13129 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( N  e.  ZZ  /\  m  e.  ZZ  /\  M  e.  ZZ )  /\  ( ( N  gcd  M )  =  1  /\  m  ||  M ) )  ->  ( N  gcd  m )  =  1 )
12085, 104, 88, 95, 118, 119syl32anc 1193 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ph  /\  (
i  e.  X  /\  j  e.  Y )
)  /\  ( (
m  e.  X  /\  n  e.  Y )  /\  ( i  x.  j
)  =  ( m  x.  n ) ) )  ->  ( N  gcd  m )  =  1 )
121116, 120eqtrd 2470 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ph  /\  (
i  e.  X  /\  j  e.  Y )
)  /\  ( (
m  e.  X  /\  n  e.  Y )  /\  ( i  x.  j
)  =  ( m  x.  n ) ) )  ->  ( m  gcd  N )  =  1 )
12230adantr 453 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ph  /\  (
i  e.  X  /\  j  e.  Y )
)  /\  ( (
m  e.  X  /\  n  e.  Y )  /\  ( i  x.  j
)  =  ( m  x.  n ) ) )  ->  j  ||  N )
123 rpdvds 13129 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( m  e.  ZZ  /\  j  e.  ZZ  /\  N  e.  ZZ )  /\  ( ( m  gcd  N )  =  1  /\  j  ||  N ) )  ->  ( m  gcd  j )  =  1 )
124104, 70, 85, 121, 122, 123syl32anc 1193 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ph  /\  (
i  e.  X  /\  j  e.  Y )
)  /\  ( (
m  e.  X  /\  n  e.  Y )  /\  ( i  x.  j
)  =  ( m  x.  n ) ) )  ->  ( m  gcd  j )  =  1 )
125 coprmdvds 13107 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( m  e.  ZZ  /\  j  e.  ZZ  /\  i  e.  ZZ )  ->  (
( m  ||  (
j  x.  i )  /\  ( m  gcd  j )  =  1 )  ->  m  ||  i
) )
126104, 70, 68, 125syl3anc 1185 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ph  /\  (
i  e.  X  /\  j  e.  Y )
)  /\  ( (
m  e.  X  /\  n  e.  Y )  /\  ( i  x.  j
)  =  ( m  x.  n ) ) )  ->  ( (
m  ||  ( j  x.  i )  /\  (
m  gcd  j )  =  1 )  ->  m  ||  i ) )
127114, 124, 126mp2and 662 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ph  /\  (
i  e.  X  /\  j  e.  Y )
)  /\  ( (
m  e.  X  /\  n  e.  Y )  /\  ( i  x.  j
)  =  ( m  x.  n ) ) )  ->  m  ||  i
)
128 dvdseq 12902 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( i  e.  NN0  /\  m  e.  NN0 )  /\  ( i  ||  m  /\  m  ||  i ) )  ->  i  =  m )
12961, 67, 107, 127, 128syl22anc 1186 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ph  /\  (
i  e.  X  /\  j  e.  Y )
)  /\  ( (
m  e.  X  /\  n  e.  Y )  /\  ( i  x.  j
)  =  ( m  x.  n ) ) )  ->  i  =  m )
13060nnne0d 10049 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ph  /\  (
i  e.  X  /\  j  e.  Y )
)  /\  ( (
m  e.  X  /\  n  e.  Y )  /\  ( i  x.  j
)  =  ( m  x.  n ) ) )  ->  i  =/=  0 )
131129oveq1d 6099 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ph  /\  (
i  e.  X  /\  j  e.  Y )
)  /\  ( (
m  e.  X  /\  n  e.  Y )  /\  ( i  x.  j
)  =  ( m  x.  n ) ) )  ->  ( i  x.  n )  =  ( m  x.  n ) )
13273, 131eqtr4d 2473 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ph  /\  (
i  e.  X  /\  j  e.  Y )
)  /\  ( (
m  e.  X  /\  n  e.  Y )  /\  ( i  x.  j
)  =  ( m  x.  n ) ) )  ->  ( i  x.  j )  =  ( i  x.  n ) )
133111, 80, 110, 130, 132mulcanad 9662 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ph  /\  (
i  e.  X  /\  j  e.  Y )
)  /\  ( (
m  e.  X  /\  n  e.  Y )  /\  ( i  x.  j
)  =  ( m  x.  n ) ) )  ->  j  =  n )
134129, 133opeq12d 3994 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ph  /\  (
i  e.  X  /\  j  e.  Y )
)  /\  ( (
m  e.  X  /\  n  e.  Y )  /\  ( i  x.  j
)  =  ( m  x.  n ) ) )  ->  <. i ,  j >.  =  <. m ,  n >. )
135134expr 600 . . . . . 6  |-  ( ( ( ph  /\  (
i  e.  X  /\  j  e.  Y )
)  /\  ( m  e.  X  /\  n  e.  Y ) )  -> 
( ( i  x.  j )  =  ( m  x.  n )  ->  <. i ,  j
>.  =  <. m ,  n >. ) )
136135ralrimivva 2800 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  ( i  e.  X  /\  j  e.  Y ) )  ->  A. m  e.  X  A. n  e.  Y  ( ( i  x.  j )  =  ( m  x.  n )  ->  <. i ,  j
>.  =  <. m ,  n >. ) )
137136ralrimivva 2800 . . . 4  |-  ( ph  ->  A. i  e.  X  A. j  e.  Y  A. m  e.  X  A. n  e.  Y  ( ( i  x.  j )  =  ( m  x.  n )  ->  <. i ,  j
>.  =  <. m ,  n >. ) )
138 fvres 5748 . . . . . . . . 9  |-  ( u  e.  ( X  X.  Y )  ->  (
(  x.  |`  ( X  X.  Y ) ) `
 u )  =  (  x.  `  u
) )
139 fvres 5748 . . . . . . . . 9  |-  ( v  e.  ( X  X.  Y )  ->  (
(  x.  |`  ( X  X.  Y ) ) `
 v )  =  (  x.  `  v
) )
140138, 139eqeqan12d 2453 . . . . . . . 8  |-  ( ( u  e.  ( X  X.  Y )  /\  v  e.  ( X  X.  Y ) )  -> 
( ( (  x.  |`  ( X  X.  Y
) ) `  u
)  =  ( (  x.  |`  ( X  X.  Y ) ) `  v )  <->  (  x.  `  u )  =  (  x.  `  v ) ) )
141140imbi1d 310 . . . . . . 7  |-  ( ( u  e.  ( X  X.  Y )  /\  v  e.  ( X  X.  Y ) )  -> 
( ( ( (  x.  |`  ( X  X.  Y ) ) `  u )  =  ( (  x.  |`  ( X  X.  Y ) ) `
 v )  ->  u  =  v )  <->  ( (  x.  `  u
)  =  (  x. 
`  v )  ->  u  =  v )
) )
142141ralbidva 2723 . . . . . 6  |-  ( u  e.  ( X  X.  Y )  ->  ( A. v  e.  ( X  X.  Y ) ( ( (  x.  |`  ( X  X.  Y ) ) `
 u )  =  ( (  x.  |`  ( X  X.  Y ) ) `
 v )  ->  u  =  v )  <->  A. v  e.  ( X  X.  Y ) ( (  x.  `  u
)  =  (  x. 
`  v )  ->  u  =  v )
) )
143142ralbiia 2739 . . . . 5  |-  ( A. u  e.  ( X  X.  Y ) A. v  e.  ( X  X.  Y
) ( ( (  x.  |`  ( X  X.  Y ) ) `  u )  =  ( (  x.  |`  ( X  X.  Y ) ) `
 v )  ->  u  =  v )  <->  A. u  e.  ( X  X.  Y ) A. v  e.  ( X  X.  Y ) ( (  x.  `  u )  =  (  x.  `  v )  ->  u  =  v ) )
144 fveq2 5731 . . . . . . . . . . 11  |-  ( v  =  <. m ,  n >.  ->  (  x.  `  v )  =  (  x.  `  <. m ,  n >. ) )
145 df-ov 6087 . . . . . . . . . . 11  |-  ( m  x.  n )  =  (  x.  `  <. m ,  n >. )
146144, 145syl6eqr 2488 . . . . . . . . . 10  |-  ( v  =  <. m ,  n >.  ->  (  x.  `  v )  =  ( m  x.  n ) )
147146eqeq2d 2449 . . . . . . . . 9  |-  ( v  =  <. m ,  n >.  ->  ( (  x. 
`  u )  =  (  x.  `  v
)  <->  (  x.  `  u )  =  ( m  x.  n ) ) )
148 eqeq2 2447 . . . . . . . . 9  |-  ( v  =  <. m ,  n >.  ->  ( u  =  v  <->  u  =  <. m ,  n >. )
)
149147, 148imbi12d 313 . . . . . . . 8  |-  ( v  =  <. m ,  n >.  ->  ( ( (  x.  `  u )  =  (  x.  `  v )  ->  u  =  v )  <->  ( (  x.  `  u )  =  ( m  x.  n
)  ->  u  =  <. m ,  n >. ) ) )
150149ralxp 5019 . . . . . . 7  |-  ( A. v  e.  ( X  X.  Y ) ( (  x.  `  u )  =  (  x.  `  v )  ->  u  =  v )  <->  A. m  e.  X  A. n  e.  Y  ( (  x.  `  u )  =  ( m  x.  n
)  ->  u  =  <. m ,  n >. ) )
151 fveq2 5731 . . . . . . . . . . 11  |-  ( u  =  <. i ,  j
>.  ->  (  x.  `  u )  =  (  x.  `  <. i ,  j >. )
)
152 df-ov 6087 . . . . . . . . . . 11  |-  ( i  x.  j )  =  (  x.  `  <. i ,  j >. )
153151, 152syl6eqr 2488 . . . . . . . . . 10  |-  ( u  =  <. i ,  j
>.  ->  (  x.  `  u )  =  ( i  x.  j ) )
154153eqeq1d 2446 . . . . . . . . 9  |-  ( u  =  <. i ,  j
>.  ->  ( (  x. 
`  u )  =  ( m  x.  n
)  <->  ( i  x.  j )  =  ( m  x.  n ) ) )
155 eqeq1 2444 . . . . . . . . 9  |-  ( u  =  <. i ,  j
>.  ->  ( u  = 
<. m ,  n >.  <->  <. i ,  j >.  =  <. m ,  n >. )
)
156154, 155imbi12d 313 . . . . . . . 8  |-  ( u  =  <. i ,  j
>.  ->  ( ( (  x.  `  u )  =  ( m  x.  n )  ->  u  =  <. m ,  n >. )  <->  ( ( i  x.  j )  =  ( m  x.  n
)  ->  <. i ,  j >.  =  <. m ,  n >. )
) )
1571562ralbidv 2749 . . . . . . 7  |-  ( u  =  <. i ,  j
>.  ->  ( A. m  e.  X  A. n  e.  Y  ( (  x.  `  u )  =  ( m  x.  n
)  ->  u  =  <. m ,  n >. )  <->  A. m  e.  X  A. n  e.  Y  ( ( i  x.  j )  =  ( m  x.  n )  ->  <. i ,  j
>.  =  <. m ,  n >. ) ) )
158150, 157syl5bb 250 . . . . . 6  |-  ( u  =  <. i ,  j
>.  ->  ( A. v  e.  ( X  X.  Y
) ( (  x. 
`  u )  =  (  x.  `  v
)  ->  u  =  v )  <->  A. m  e.  X  A. n  e.  Y  ( (
i  x.  j )  =  ( m  x.  n )  ->  <. i ,  j >.  =  <. m ,  n >. )
) )
159158ralxp 5019 . . . . 5  |-  ( A. u  e.  ( X  X.  Y ) A. v  e.  ( X  X.  Y
) ( (  x. 
`  u )  =  (  x.  `  v
)  ->  u  =  v )  <->  A. i  e.  X  A. j  e.  Y  A. m  e.  X  A. n  e.  Y  ( (
i  x.  j )  =  ( m  x.  n )  ->  <. i ,  j >.  =  <. m ,  n >. )
)
160143, 159bitri 242 . . . 4  |-  ( A. u  e.  ( X  X.  Y ) A. v  e.  ( X  X.  Y
) ( ( (  x.  |`  ( X  X.  Y ) ) `  u )  =  ( (  x.  |`  ( X  X.  Y ) ) `
 v )  ->  u  =  v )  <->  A. i  e.  X  A. j  e.  Y  A. m  e.  X  A. n  e.  Y  (
( i  x.  j
)  =  ( m  x.  n )  ->  <. i ,  j >.  =  <. m ,  n >. ) )
161137, 160sylibr 205 . . 3  |-  ( ph  ->  A. u  e.  ( X  X.  Y ) A. v  e.  ( X  X.  Y ) ( ( (  x.  |`  ( X  X.  Y
) ) `  u
)  =  ( (  x.  |`  ( X  X.  Y ) ) `  v )  ->  u  =  v ) )
162 dff13 6007 . . 3  |-  ( (  x.  |`  ( X  X.  Y ) ) : ( X  X.  Y
) -1-1-> Z  <->  ( (  x.  |`  ( X  X.  Y
) ) : ( X  X.  Y ) --> Z  /\  A. u  e.  ( X  X.  Y
) A. v  e.  ( X  X.  Y
) ( ( (  x.  |`  ( X  X.  Y ) ) `  u )  =  ( (  x.  |`  ( X  X.  Y ) ) `
 v )  ->  u  =  v )
) )
16359, 161, 162sylanbrc 647 . 2  |-  ( ph  ->  (  x.  |`  ( X  X.  Y ) ) : ( X  X.  Y ) -1-1-> Z )
164 breq1 4218 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( x  =  w  ->  (
x  ||  ( M  x.  N )  <->  w  ||  ( M  x.  N )
) )
165164, 53elrab2 3096 . . . . . . . . . . 11  |-  ( w  e.  Z  <->  ( w  e.  NN  /\  w  ||  ( M  x.  N
) ) )
166165simplbi 448 . . . . . . . . . 10  |-  ( w  e.  Z  ->  w  e.  NN )
167166adantl 454 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  w  e.  Z )  ->  w  e.  NN )
168167nnzd 10379 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  w  e.  Z )  ->  w  e.  ZZ )
16940adantr 453 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  w  e.  Z )  ->  M  e.  NN )
170169nnzd 10379 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  w  e.  Z )  ->  M  e.  ZZ )
171169nnne0d 10049 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  w  e.  Z )  ->  M  =/=  0 )
172 simpr 449 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( w  =  0  /\  M  =  0 )  ->  M  =  0 )
173172necon3ai 2646 . . . . . . . . 9  |-  ( M  =/=  0  ->  -.  ( w  =  0  /\  M  =  0
) )
174171, 173syl 16 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  w  e.  Z )  ->  -.  ( w  =  0  /\  M  =  0
) )
175 gcdn0cl 13019 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( w  e.  ZZ  /\  M  e.  ZZ )  /\  -.  ( w  =  0  /\  M  =  0 ) )  ->  ( w  gcd  M )  e.  NN )
176168, 170, 174, 175syl21anc 1184 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  w  e.  Z )  ->  (
w  gcd  M )  e.  NN )
177 gcddvds 13020 . . . . . . . . 9  |-  ( ( w  e.  ZZ  /\  M  e.  ZZ )  ->  ( ( w  gcd  M )  ||  w  /\  ( w  gcd  M ) 
||  M ) )
178168, 170, 177syl2anc 644 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  w  e.  Z )  ->  (
( w  gcd  M
)  ||  w  /\  ( w  gcd  M ) 
||  M ) )
179178simprd 451 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  w  e.  Z )  ->  (
w  gcd  M )  ||  M )
180 breq1 4218 . . . . . . . 8  |-  ( x  =  ( w  gcd  M )  ->  ( x  ||  M  <->  ( w  gcd  M )  ||  M ) )
181180, 4elrab2 3096 . . . . . . 7  |-  ( ( w  gcd  M )  e.  X  <->  ( (
w  gcd  M )  e.  NN  /\  ( w  gcd  M )  ||  M ) )
182176, 179, 181sylanbrc 647 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  w  e.  Z )  ->  (
w  gcd  M )  e.  X )
18334adantr 453 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  w  e.  Z )  ->  N  e.  NN )
184183nnzd 10379 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  w  e.  Z )  ->  N  e.  ZZ )
185183nnne0d 10049 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  w  e.  Z )  ->  N  =/=  0 )
186 simpr 449 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( w  =  0  /\  N  =  0 )  ->  N  =  0 )
187186necon3ai 2646 . . . . . . . . 9  |-  ( N  =/=  0  ->  -.  ( w  =  0  /\  N  =  0
) )
188185, 187syl 16 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  w  e.  Z )  ->  -.  ( w  =  0  /\  N  =  0
) )
189 gcdn0cl 13019 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( w  e.  ZZ  /\  N  e.  ZZ )  /\  -.  ( w  =  0  /\  N  =  0 ) )  ->  ( w  gcd  N )  e.  NN )
190168, 184, 188, 189syl21anc 1184 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  w  e.  Z )  ->  (
w  gcd  N )  e.  NN )
191 gcddvds 13020 . . . . . . . . 9  |-  ( ( w  e.  ZZ  /\  N  e.  ZZ )  ->  ( ( w  gcd  N )  ||  w  /\  ( w  gcd  N ) 
||  N ) )
192168, 184, 191syl2anc 644 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  w  e.  Z )  ->  (
( w  gcd  N
)  ||  w  /\  ( w  gcd  N ) 
||  N ) )
193192simprd 451 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  w  e.  Z )  ->  (
w  gcd  N )  ||  N )
194 breq1 4218 . . . . . . . 8  |-  ( x  =  ( w  gcd  N )  ->  ( x  ||  N  <->  ( w  gcd  N )  ||  N ) )
195194, 9elrab2 3096 . . . . . . 7  |-  ( ( w  gcd  N )  e.  Y  <->  ( (
w  gcd  N )  e.  NN  /\  ( w  gcd  N )  ||  N ) )
196190, 193, 195sylanbrc 647 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  w  e.  Z )  ->  (
w  gcd  N )  e.  Y )
197 opelxpi 4913 . . . . . 6  |-  ( ( ( w  gcd  M
)  e.  X  /\  ( w  gcd  N )  e.  Y )  ->  <. ( w  gcd  M
) ,  ( w  gcd  N ) >.  e.  ( X  X.  Y
) )
198182, 196, 197syl2anc 644 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  w  e.  Z )  ->  <. (
w  gcd  M ) ,  ( w  gcd  N ) >.  e.  ( X  X.  Y ) )
199 fvres 5748 . . . . . . 7  |-  ( <.
( w  gcd  M
) ,  ( w  gcd  N ) >.  e.  ( X  X.  Y
)  ->  ( (  x.  |`  ( X  X.  Y ) ) `  <. ( w  gcd  M
) ,  ( w  gcd  N ) >.
)  =  (  x. 
`  <. ( w  gcd  M ) ,  ( w  gcd  N ) >.
) )
200198, 199syl 16 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  w  e.  Z )  ->  (
(  x.  |`  ( X  X.  Y ) ) `
 <. ( w  gcd  M ) ,  ( w  gcd  N ) >.
)  =  (  x. 
`  <. ( w  gcd  M ) ,  ( w  gcd  N ) >.
) )
20193adantr 453 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  w  e.  Z )  ->  ( M  gcd  N )  =  1 )
202 rpmulgcd2 13110 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( w  e.  ZZ  /\  M  e.  ZZ  /\  N  e.  ZZ )  /\  ( M  gcd  N
)  =  1 )  ->  ( w  gcd  ( M  x.  N
) )  =  ( ( w  gcd  M
)  x.  ( w  gcd  N ) ) )
203168, 170, 184, 201, 202syl31anc 1188 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  w  e.  Z )  ->  (
w  gcd  ( M  x.  N ) )  =  ( ( w  gcd  M )  x.  ( w  gcd  N ) ) )
204 df-ov 6087 . . . . . . 7  |-  ( ( w  gcd  M )  x.  ( w  gcd  N ) )  =  (  x.  `  <. (
w  gcd  M ) ,  ( w  gcd  N ) >. )
205203, 204syl6eq 2486 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  w  e.  Z )  ->  (
w  gcd  ( M  x.  N ) )  =  (  x.  `  <. ( w  gcd  M ) ,  ( w  gcd  N ) >. ) )
206165simprbi 452 . . . . . . . 8  |-  ( w  e.  Z  ->  w  ||  ( M  x.  N
) )
207206adantl 454 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  w  e.  Z )  ->  w  ||  ( M  x.  N
) )
20840, 34nnmulcld 10052 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  ( M  x.  N
)  e.  NN )
209 gcdeq 13057 . . . . . . . 8  |-  ( ( w  e.  NN  /\  ( M  x.  N
)  e.  NN )  ->  ( ( w  gcd  ( M  x.  N ) )  =  w  <->  w  ||  ( M  x.  N ) ) )
210166, 208, 209syl2anr 466 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  w  e.  Z )  ->  (
( w  gcd  ( M  x.  N )
)  =  w  <->  w  ||  ( M  x.  N )
) )
211207, 210mpbird 225 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  w  e.  Z )  ->  (
w  gcd  ( M  x.  N ) )  =  w )
212200, 205, 2113eqtr2rd 2477 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  w  e.  Z )  ->  w  =  ( (  x.  |`  ( X  X.  Y
) ) `  <. ( w  gcd  M ) ,  ( w  gcd  N ) >. ) )
213 fveq2 5731 . . . . . . 7  |-  ( u  =  <. ( w  gcd  M ) ,  ( w  gcd  N ) >.  ->  ( (  x.  |`  ( X  X.  Y ) ) `
 u )  =  ( (  x.  |`  ( X  X.  Y ) ) `
 <. ( w  gcd  M ) ,  ( w  gcd  N ) >.
) )
214213eqeq2d 2449 . . . . . 6  |-  ( u  =  <. ( w  gcd  M ) ,  ( w  gcd  N ) >.  ->  ( w  =  ( (  x.  |`  ( X  X.  Y ) ) `
 u )  <->  w  =  ( (  x.  |`  ( X  X.  Y ) ) `
 <. ( w  gcd  M ) ,  ( w  gcd  N ) >.
) ) )
215214rspcev 3054 . . . . 5  |-  ( (
<. ( w  gcd  M
) ,  ( w  gcd  N ) >.  e.  ( X  X.  Y
)  /\  w  =  ( (  x.  |`  ( X  X.  Y ) ) `
 <. ( w  gcd  M ) ,  ( w  gcd  N ) >.
) )  ->  E. u  e.  ( X  X.  Y
) w  =  ( (  x.  |`  ( X  X.  Y ) ) `
 u ) )
216198, 212, 215syl2anc 644 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  w  e.  Z )  ->  E. u  e.  ( X  X.  Y
) w  =  ( (  x.  |`  ( X  X.  Y ) ) `
 u ) )
217216ralrimiva 2791 . . 3  |-  ( ph  ->  A. w  e.  Z  E. u  e.  ( X  X.  Y ) w  =  ( (  x.  |`  ( X  X.  Y
) ) `  u
) )
218 dffo3 5887 . . 3  |-  ( (  x.  |`  ( X  X.  Y ) ) : ( X  X.  Y
) -onto-> Z  <->  ( (  x.  |`  ( X  X.  Y
) ) : ( X  X.  Y ) --> Z  /\  A. w  e.  Z  E. u  e.  ( X  X.  Y
) w  =  ( (  x.  |`  ( X  X.  Y ) ) `
 u ) ) )
21959, 217, 218sylanbrc 647 . 2  |-  ( ph  ->  (  x.  |`  ( X  X.  Y ) ) : ( X  X.  Y ) -onto-> Z )
220 df-f1o 5464 . 2  |-  ( (  x.  |`  ( X  X.  Y ) ) : ( X  X.  Y
)
-1-1-onto-> Z 
<->  ( (  x.  |`  ( X  X.  Y ) ) : ( X  X.  Y ) -1-1-> Z  /\  (  x.  |`  ( X  X.  Y ) ) : ( X  X.  Y ) -onto-> Z ) )
221163, 219, 220sylanbrc 647 1  |-  ( ph  ->  (  x.  |`  ( X  X.  Y ) ) : ( X  X.  Y ) -1-1-onto-> Z )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:   -. wn 3    -> wi 4    <-> wb 178    /\ wa 360    = wceq 1653    e. wcel 1726    =/= wne 2601   A.wral 2707   E.wrex 2708   {crab 2711    C_ wss 3322   <.cop 3819   class class class wbr 4215    X. cxp 4879    |` cres 4883    Fn wfn 5452   -->wf 5453   -1-1->wf1 5454   -onto->wfo 5455   -1-1-onto->wf1o 5456   ` cfv 5457  (class class class)co 6084   CCcc 8993   0cc0 8995   1c1 8996    x. cmul 9000   NNcn 10005   NN0cn0 10226   ZZcz 10287    || cdivides 12857    gcd cgcd 13011
This theorem is referenced by:  fsumdvdsmul  20985
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1556  ax-5 1567  ax-17 1627  ax-9 1667  ax-8 1688  ax-13 1728  ax-14 1730  ax-6 1745  ax-7 1750  ax-11 1762  ax-12 1951  ax-ext 2419  ax-sep 4333  ax-nul 4341  ax-pow 4380  ax-pr 4406  ax-un 4704  ax-cnex 9051  ax-resscn 9052  ax-1cn 9053  ax-icn 9054  ax-addcl 9055  ax-addrcl 9056  ax-mulcl 9057  ax-mulrcl 9058  ax-mulcom 9059  ax-addass 9060  ax-mulass 9061  ax-distr 9062  ax-i2m1 9063  ax-1ne0 9064  ax-1rid 9065  ax-rnegex 9066  ax-rrecex 9067  ax-cnre 9068  ax-pre-lttri 9069  ax-pre-lttrn 9070  ax-pre-ltadd 9071  ax-pre-mulgt0 9072  ax-pre-sup 9073  ax-mulf 9075
This theorem depends on definitions:  df-bi 179  df-or 361  df-an 362  df-3or 938  df-3an 939  df-tru 1329  df-ex 1552  df-nf 1555  df-sb 1660  df-eu 2287  df-mo 2288  df-clab 2425  df-cleq 2431  df-clel 2434  df-nfc 2563  df-ne 2603  df-nel 2604  df-ral 2712  df-rex 2713  df-reu 2714  df-rmo 2715  df-rab 2716  df-v 2960  df-sbc 3164  df-csb 3254  df-dif 3325  df-un 3327  df-in 3329  df-ss 3336  df-pss 3338  df-nul 3631  df-if 3742  df-pw 3803  df-sn 3822  df-pr 3823  df-tp 3824  df-op 3825  df-uni 4018  df-iun 4097  df-br 4216  df-opab 4270  df-mpt 4271  df-tr 4306  df-eprel 4497  df-id 4501  df-po 4506  df-so 4507  df-fr 4544  df-we 4546  df-ord 4587  df-on 4588  df-lim 4589  df-suc 4590  df-om 4849  df-xp 4887  df-rel 4888  df-cnv 4889  df-co 4890  df-dm 4891  df-rn 4892  df-res 4893  df-ima 4894  df-iota 5421  df-fun 5459  df-fn 5460  df-f 5461  df-f1 5462  df-fo 5463  df-f1o 5464  df-fv 5465  df-ov 6087  df-oprab 6088  df-mpt2 6089  df-2nd 6353  df-riota 6552  df-recs 6636  df-rdg 6671  df-er 6908  df-en 7113  df-dom 7114  df-sdom 7115  df-sup 7449  df-pnf 9127  df-mnf 9128  df-xr 9129  df-ltxr 9130  df-le 9131  df-sub 9298  df-neg 9299  df-div 9683  df-nn 10006  df-2 10063  df-3 10064  df-n0 10227  df-z 10288  df-uz 10494  df-rp 10618  df-fl 11207  df-mod 11256  df-seq 11329  df-exp 11388  df-cj 11909  df-re 11910  df-im 11911  df-sqr 12045  df-abs 12046  df-dvds 12858  df-gcd 13012
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