Metamath Proof Explorer < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  dvdsmulf1o Structured version   Unicode version

Theorem dvdsmulf1o 20984
 Description: If and are two coprime integers, multiplication forms a bijection from the set of pairs where and , to the set of divisors of . (Contributed by Mario Carneiro, 2-Jul-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
dvdsmulf1o.1
dvdsmulf1o.2
dvdsmulf1o.3
dvdsmulf1o.x
dvdsmulf1o.y
dvdsmulf1o.z
Assertion
Ref Expression
dvdsmulf1o
Distinct variable groups:   ,   ,
Allowed substitution hints:   ()   ()   ()   ()

Proof of Theorem dvdsmulf1o
Dummy variables are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 ax-mulf 9075 . . . . . . 7
2 ffn 5594 . . . . . . 7
31, 2ax-mp 5 . . . . . 6
4 dvdsmulf1o.x . . . . . . . . 9
5 ssrab2 3430 . . . . . . . . 9
64, 5eqsstri 3380 . . . . . . . 8
7 nnsscn 10010 . . . . . . . 8
86, 7sstri 3359 . . . . . . 7
9 dvdsmulf1o.y . . . . . . . . 9
10 ssrab2 3430 . . . . . . . . 9
119, 10eqsstri 3380 . . . . . . . 8
1211, 7sstri 3359 . . . . . . 7
13 xpss12 4984 . . . . . . 7
148, 12, 13mp2an 655 . . . . . 6
15 fnssres 5561 . . . . . 6
163, 14, 15mp2an 655 . . . . 5
1716a1i 11 . . . 4
18 ovres 6216 . . . . . . 7
1918adantl 454 . . . . . 6
20 breq1 4218 . . . . . . . . . . 11
2120, 4elrab2 3096 . . . . . . . . . 10
2221simplbi 448 . . . . . . . . 9
2322ad2antrl 710 . . . . . . . 8
24 breq1 4218 . . . . . . . . . . 11
2524, 9elrab2 3096 . . . . . . . . . 10
2625simplbi 448 . . . . . . . . 9
2726ad2antll 711 . . . . . . . 8
2823, 27nnmulcld 10052 . . . . . . 7
2925simprbi 452 . . . . . . . . 9
3029ad2antll 711 . . . . . . . 8
3121simprbi 452 . . . . . . . . 9
3231ad2antrl 710 . . . . . . . 8
3327nnzd 10379 . . . . . . . . . 10
34 dvdsmulf1o.2 . . . . . . . . . . . 12
3534adantr 453 . . . . . . . . . . 11
3635nnzd 10379 . . . . . . . . . 10
3723nnzd 10379 . . . . . . . . . 10
38 dvdscmul 12881 . . . . . . . . . 10
3933, 36, 37, 38syl3anc 1185 . . . . . . . . 9
40 dvdsmulf1o.1 . . . . . . . . . . . 12
4140adantr 453 . . . . . . . . . . 11
4241nnzd 10379 . . . . . . . . . 10
43 dvdsmulc 12882 . . . . . . . . . 10
4437, 42, 36, 43syl3anc 1185 . . . . . . . . 9
4528nnzd 10379 . . . . . . . . . 10
4637, 36zmulcld 10386 . . . . . . . . . 10
4742, 36zmulcld 10386 . . . . . . . . . 10
48 dvdstr 12888 . . . . . . . . . 10
4945, 46, 47, 48syl3anc 1185 . . . . . . . . 9
5039, 44, 49syl2and 471 . . . . . . . 8
5130, 32, 50mp2and 662 . . . . . . 7
52 breq1 4218 . . . . . . . 8
53 dvdsmulf1o.z . . . . . . . 8
5452, 53elrab2 3096 . . . . . . 7
5528, 51, 54sylanbrc 647 . . . . . 6
5619, 55eqeltrd 2512 . . . . 5
5756ralrimivva 2800 . . . 4
58 ffnov 6177 . . . 4
5917, 57, 58sylanbrc 647 . . 3
6023adantr 453 . . . . . . . . . 10
6160nnnn0d 10279 . . . . . . . . 9
62 simprll 740 . . . . . . . . . . 11
63 breq1 4218 . . . . . . . . . . . . 13
6463, 4elrab2 3096 . . . . . . . . . . . 12
6564simplbi 448 . . . . . . . . . . 11
6662, 65syl 16 . . . . . . . . . 10
6766nnnn0d 10279 . . . . . . . . 9
6860nnzd 10379 . . . . . . . . . . . 12
6927adantr 453 . . . . . . . . . . . . 13
7069nnzd 10379 . . . . . . . . . . . 12
71 dvdsmul1 12876 . . . . . . . . . . . 12
7268, 70, 71syl2anc 644 . . . . . . . . . . 11
73 simprr 735 . . . . . . . . . . . 12
748, 62sseldi 3348 . . . . . . . . . . . . 13
75 simprlr 741 . . . . . . . . . . . . . . 15
76 breq1 4218 . . . . . . . . . . . . . . . . 17
7776, 9elrab2 3096 . . . . . . . . . . . . . . . 16
7877simplbi 448 . . . . . . . . . . . . . . 15
7975, 78syl 16 . . . . . . . . . . . . . 14
8079nncnd 10021 . . . . . . . . . . . . 13
8174, 80mulcomd 9114 . . . . . . . . . . . 12
8273, 81eqtrd 2470 . . . . . . . . . . 11
8372, 82breqtrd 4239 . . . . . . . . . 10
8479nnzd 10379 . . . . . . . . . . 11
8536adantr 453 . . . . . . . . . . 11
86 gcdcom 13025 . . . . . . . . . . . . 13
8768, 85, 86syl2anc 644 . . . . . . . . . . . 12
8842adantr 453 . . . . . . . . . . . . 13
8934nnzd 10379 . . . . . . . . . . . . . . . 16
9040nnzd 10379 . . . . . . . . . . . . . . . 16
91 gcdcom 13025 . . . . . . . . . . . . . . . 16
9289, 90, 91syl2anc 644 . . . . . . . . . . . . . . 15
93 dvdsmulf1o.3 . . . . . . . . . . . . . . 15
9492, 93eqtrd 2470 . . . . . . . . . . . . . 14
9594ad2antrr 708 . . . . . . . . . . . . 13
9632adantr 453 . . . . . . . . . . . . 13
97 rpdvds 13129 . . . . . . . . . . . . 13
9885, 68, 88, 95, 96, 97syl32anc 1193 . . . . . . . . . . . 12
9987, 98eqtrd 2470 . . . . . . . . . . 11
10077simprbi 452 . . . . . . . . . . . 12
10175, 100syl 16 . . . . . . . . . . 11
102 rpdvds 13129 . . . . . . . . . . 11
10368, 84, 85, 99, 101, 102syl32anc 1193 . . . . . . . . . 10
10466nnzd 10379 . . . . . . . . . . 11
105 coprmdvds 13107 . . . . . . . . . . 11
10668, 84, 104, 105syl3anc 1185 . . . . . . . . . 10
10783, 103, 106mp2and 662 . . . . . . . . 9
108 dvdsmul1 12876 . . . . . . . . . . . 12
109104, 84, 108syl2anc 644 . . . . . . . . . . 11
11060nncnd 10021 . . . . . . . . . . . . 13
11169nncnd 10021 . . . . . . . . . . . . 13
112110, 111mulcomd 9114 . . . . . . . . . . . 12
11373, 112eqtr3d 2472 . . . . . . . . . . 11
114109, 113breqtrd 4239 . . . . . . . . . 10
115 gcdcom 13025 . . . . . . . . . . . . 13
116104, 85, 115syl2anc 644 . . . . . . . . . . . 12
11764simprbi 452 . . . . . . . . . . . . . 14
11862, 117syl 16 . . . . . . . . . . . . 13
119 rpdvds 13129 . . . . . . . . . . . . 13
12085, 104, 88, 95, 118, 119syl32anc 1193 . . . . . . . . . . . 12
121116, 120eqtrd 2470 . . . . . . . . . . 11
12230adantr 453 . . . . . . . . . . 11
123 rpdvds 13129 . . . . . . . . . . 11
124104, 70, 85, 121, 122, 123syl32anc 1193 . . . . . . . . . 10
125 coprmdvds 13107 . . . . . . . . . . 11
126104, 70, 68, 125syl3anc 1185 . . . . . . . . . 10
127114, 124, 126mp2and 662 . . . . . . . . 9
128 dvdseq 12902 . . . . . . . . 9
12961, 67, 107, 127, 128syl22anc 1186 . . . . . . . 8
13060nnne0d 10049 . . . . . . . . 9
131129oveq1d 6099 . . . . . . . . . 10
13273, 131eqtr4d 2473 . . . . . . . . 9
133111, 80, 110, 130, 132mulcanad 9662 . . . . . . . 8
134129, 133opeq12d 3994 . . . . . . 7
135134expr 600 . . . . . 6
136135ralrimivva 2800 . . . . 5
137136ralrimivva 2800 . . . 4
138 fvres 5748 . . . . . . . . 9
139 fvres 5748 . . . . . . . . 9
140138, 139eqeqan12d 2453 . . . . . . . 8
141140imbi1d 310 . . . . . . 7
142141ralbidva 2723 . . . . . 6
143142ralbiia 2739 . . . . 5
144 fveq2 5731 . . . . . . . . . . 11
145 df-ov 6087 . . . . . . . . . . 11
146144, 145syl6eqr 2488 . . . . . . . . . 10
147146eqeq2d 2449 . . . . . . . . 9
148 eqeq2 2447 . . . . . . . . 9
149147, 148imbi12d 313 . . . . . . . 8
150149ralxp 5019 . . . . . . 7
151 fveq2 5731 . . . . . . . . . . 11
152 df-ov 6087 . . . . . . . . . . 11
153151, 152syl6eqr 2488 . . . . . . . . . 10
154153eqeq1d 2446 . . . . . . . . 9
155 eqeq1 2444 . . . . . . . . 9
156154, 155imbi12d 313 . . . . . . . 8
1571562ralbidv 2749 . . . . . . 7
158150, 157syl5bb 250 . . . . . 6
159158ralxp 5019 . . . . 5
160143, 159bitri 242 . . . 4
161137, 160sylibr 205 . . 3
162 dff13 6007 . . 3
16359, 161, 162sylanbrc 647 . 2
164 breq1 4218 . . . . . . . . . . . 12
165164, 53elrab2 3096 . . . . . . . . . . 11
166165simplbi 448 . . . . . . . . . 10
167166adantl 454 . . . . . . . . 9
168167nnzd 10379 . . . . . . . 8
16940adantr 453 . . . . . . . . 9
170169nnzd 10379 . . . . . . . 8
171169nnne0d 10049 . . . . . . . . 9
172 simpr 449 . . . . . . . . . 10
173172necon3ai 2646 . . . . . . . . 9
174171, 173syl 16 . . . . . . . 8
175 gcdn0cl 13019 . . . . . . . 8
176168, 170, 174, 175syl21anc 1184 . . . . . . 7
177 gcddvds 13020 . . . . . . . . 9
178168, 170, 177syl2anc 644 . . . . . . . 8
179178simprd 451 . . . . . . 7
180 breq1 4218 . . . . . . . 8
181180, 4elrab2 3096 . . . . . . 7
182176, 179, 181sylanbrc 647 . . . . . 6
18334adantr 453 . . . . . . . . 9
184183nnzd 10379 . . . . . . . 8
185183nnne0d 10049 . . . . . . . . 9
186 simpr 449 . . . . . . . . . 10
187186necon3ai 2646 . . . . . . . . 9
188185, 187syl 16 . . . . . . . 8
189 gcdn0cl 13019 . . . . . . . 8
190168, 184, 188, 189syl21anc 1184 . . . . . . 7
191 gcddvds 13020 . . . . . . . . 9
192168, 184, 191syl2anc 644 . . . . . . . 8
193192simprd 451 . . . . . . 7
194 breq1 4218 . . . . . . . 8
195194, 9elrab2 3096 . . . . . . 7
196190, 193, 195sylanbrc 647 . . . . . 6
197 opelxpi 4913 . . . . . 6
198182, 196, 197syl2anc 644 . . . . 5
199 fvres 5748 . . . . . . 7
200198, 199syl 16 . . . . . 6
20193adantr 453 . . . . . . . 8
202 rpmulgcd2 13110 . . . . . . . 8
203168, 170, 184, 201, 202syl31anc 1188 . . . . . . 7
204 df-ov 6087 . . . . . . 7
205203, 204syl6eq 2486 . . . . . 6
206165simprbi 452 . . . . . . . 8
207206adantl 454 . . . . . . 7
20840, 34nnmulcld 10052 . . . . . . . 8
209 gcdeq 13057 . . . . . . . 8
210166, 208, 209syl2anr 466 . . . . . . 7
211207, 210mpbird 225 . . . . . 6
212200, 205, 2113eqtr2rd 2477 . . . . 5
213 fveq2 5731 . . . . . . 7
214213eqeq2d 2449 . . . . . 6
215214rspcev 3054 . . . . 5
216198, 212, 215syl2anc 644 . . . 4
217216ralrimiva 2791 . . 3
218 dffo3 5887 . . 3
21959, 217, 218sylanbrc 647 . 2
220 df-f1o 5464 . 2
221163, 219, 220sylanbrc 647 1
 Colors of variables: wff set class Syntax hints:   wn 3   wi 4   wb 178   wa 360   wceq 1653   wcel 1726   wne 2601  wral 2707  wrex 2708  crab 2711   wss 3322  cop 3819   class class class wbr 4215   cxp 4879   cres 4883   wfn 5452  wf 5453  wf1 5454  wfo 5455  wf1o 5456  cfv 5457  (class class class)co 6084  cc 8993  cc0 8995  c1 8996   cmul 9000  cn 10005  cn0 10226  cz 10287   cdivides 12857   cgcd 13011 This theorem is referenced by:  fsumdvdsmul  20985 This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1556  ax-5 1567  ax-17 1627  ax-9 1667  ax-8 1688  ax-13 1728  ax-14 1730  ax-6 1745  ax-7 1750  ax-11 1762  ax-12 1951  ax-ext 2419  ax-sep 4333  ax-nul 4341  ax-pow 4380  ax-pr 4406  ax-un 4704  ax-cnex 9051  ax-resscn 9052  ax-1cn 9053  ax-icn 9054  ax-addcl 9055  ax-addrcl 9056  ax-mulcl 9057  ax-mulrcl 9058  ax-mulcom 9059  ax-addass 9060  ax-mulass 9061  ax-distr 9062  ax-i2m1 9063  ax-1ne0 9064  ax-1rid 9065  ax-rnegex 9066  ax-rrecex 9067  ax-cnre 9068  ax-pre-lttri 9069  ax-pre-lttrn 9070  ax-pre-ltadd 9071  ax-pre-mulgt0 9072  ax-pre-sup 9073  ax-mulf 9075 This theorem depends on definitions:  df-bi 179  df-or 361  df-an 362  df-3or 938  df-3an 939  df-tru 1329  df-ex 1552  df-nf 1555  df-sb 1660  df-eu 2287  df-mo 2288  df-clab 2425  df-cleq 2431  df-clel 2434  df-nfc 2563  df-ne 2603  df-nel 2604  df-ral 2712  df-rex 2713  df-reu 2714  df-rmo 2715  df-rab 2716  df-v 2960  df-sbc 3164  df-csb 3254  df-dif 3325  df-un 3327  df-in 3329  df-ss 3336  df-pss 3338  df-nul 3631  df-if 3742  df-pw 3803  df-sn 3822  df-pr 3823  df-tp 3824  df-op 3825  df-uni 4018  df-iun 4097  df-br 4216  df-opab 4270  df-mpt 4271  df-tr 4306  df-eprel 4497  df-id 4501  df-po 4506  df-so 4507  df-fr 4544  df-we 4546  df-ord 4587  df-on 4588  df-lim 4589  df-suc 4590  df-om 4849  df-xp 4887  df-rel 4888  df-cnv 4889  df-co 4890  df-dm 4891  df-rn 4892  df-res 4893  df-ima 4894  df-iota 5421  df-fun 5459  df-fn 5460  df-f 5461  df-f1 5462  df-fo 5463  df-f1o 5464  df-fv 5465  df-ov 6087  df-oprab 6088  df-mpt2 6089  df-2nd 6353  df-riota 6552  df-recs 6636  df-rdg 6671  df-er 6908  df-en 7113  df-dom 7114  df-sdom 7115  df-sup 7449  df-pnf 9127  df-mnf 9128  df-xr 9129  df-ltxr 9130  df-le 9131  df-sub 9298  df-neg 9299  df-div 9683  df-nn 10006  df-2 10063  df-3 10064  df-n0 10227  df-z 10288  df-uz 10494  df-rp 10618  df-fl 11207  df-mod 11256  df-seq 11329  df-exp 11388  df-cj 11909  df-re 11910  df-im 11911  df-sqr 12045  df-abs 12046  df-dvds 12858  df-gcd 13012
 Copyright terms: Public domain W3C validator