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Theorem dvdsmulgcd 13056
Description: A divisibility equivalent for odmulg 15194. (Contributed by Stefan O'Rear, 6-Sep-2015.)
Assertion
Ref Expression
dvdsmulgcd  |-  ( ( B  e.  ZZ  /\  C  e.  ZZ )  ->  ( A  ||  ( B  x.  C )  <->  A 
||  ( B  x.  ( C  gcd  A ) ) ) )

Proof of Theorem dvdsmulgcd
Dummy variables  x  y are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 simplr 733 . . . 4  |-  ( ( ( B  e.  ZZ  /\  C  e.  ZZ )  /\  A  ||  ( B  x.  C )
)  ->  C  e.  ZZ )
2 dvdszrcl 12859 . . . . . 6  |-  ( A 
||  ( B  x.  C )  ->  ( A  e.  ZZ  /\  ( B  x.  C )  e.  ZZ ) )
32adantl 454 . . . . 5  |-  ( ( ( B  e.  ZZ  /\  C  e.  ZZ )  /\  A  ||  ( B  x.  C )
)  ->  ( A  e.  ZZ  /\  ( B  x.  C )  e.  ZZ ) )
43simpld 447 . . . 4  |-  ( ( ( B  e.  ZZ  /\  C  e.  ZZ )  /\  A  ||  ( B  x.  C )
)  ->  A  e.  ZZ )
5 bezout 13044 . . . 4  |-  ( ( C  e.  ZZ  /\  A  e.  ZZ )  ->  E. x  e.  ZZ  E. y  e.  ZZ  ( C  gcd  A )  =  ( ( C  x.  x )  +  ( A  x.  y ) ) )
61, 4, 5syl2anc 644 . . 3  |-  ( ( ( B  e.  ZZ  /\  C  e.  ZZ )  /\  A  ||  ( B  x.  C )
)  ->  E. x  e.  ZZ  E. y  e.  ZZ  ( C  gcd  A )  =  ( ( C  x.  x )  +  ( A  x.  y ) ) )
74adantr 453 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ( B  e.  ZZ  /\  C  e.  ZZ )  /\  A  ||  ( B  x.  C
) )  /\  (
x  e.  ZZ  /\  y  e.  ZZ )
)  ->  A  e.  ZZ )
8 simplll 736 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ( B  e.  ZZ  /\  C  e.  ZZ )  /\  A  ||  ( B  x.  C
) )  /\  (
x  e.  ZZ  /\  y  e.  ZZ )
)  ->  B  e.  ZZ )
9 simpllr 737 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ( B  e.  ZZ  /\  C  e.  ZZ )  /\  A  ||  ( B  x.  C
) )  /\  (
x  e.  ZZ  /\  y  e.  ZZ )
)  ->  C  e.  ZZ )
10 simprl 734 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ( B  e.  ZZ  /\  C  e.  ZZ )  /\  A  ||  ( B  x.  C
) )  /\  (
x  e.  ZZ  /\  y  e.  ZZ )
)  ->  x  e.  ZZ )
119, 10zmulcld 10383 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ( B  e.  ZZ  /\  C  e.  ZZ )  /\  A  ||  ( B  x.  C
) )  /\  (
x  e.  ZZ  /\  y  e.  ZZ )
)  ->  ( C  x.  x )  e.  ZZ )
128, 11zmulcld 10383 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ( B  e.  ZZ  /\  C  e.  ZZ )  /\  A  ||  ( B  x.  C
) )  /\  (
x  e.  ZZ  /\  y  e.  ZZ )
)  ->  ( B  x.  ( C  x.  x
) )  e.  ZZ )
13 simprr 735 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ( B  e.  ZZ  /\  C  e.  ZZ )  /\  A  ||  ( B  x.  C
) )  /\  (
x  e.  ZZ  /\  y  e.  ZZ )
)  ->  y  e.  ZZ )
147, 13zmulcld 10383 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ( B  e.  ZZ  /\  C  e.  ZZ )  /\  A  ||  ( B  x.  C
) )  /\  (
x  e.  ZZ  /\  y  e.  ZZ )
)  ->  ( A  x.  y )  e.  ZZ )
158, 14zmulcld 10383 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ( B  e.  ZZ  /\  C  e.  ZZ )  /\  A  ||  ( B  x.  C
) )  /\  (
x  e.  ZZ  /\  y  e.  ZZ )
)  ->  ( B  x.  ( A  x.  y
) )  e.  ZZ )
16 simplr 733 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ( B  e.  ZZ  /\  C  e.  ZZ )  /\  A  ||  ( B  x.  C
) )  /\  (
x  e.  ZZ  /\  y  e.  ZZ )
)  ->  A  ||  ( B  x.  C )
)
178, 9zmulcld 10383 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ( B  e.  ZZ  /\  C  e.  ZZ )  /\  A  ||  ( B  x.  C
) )  /\  (
x  e.  ZZ  /\  y  e.  ZZ )
)  ->  ( B  x.  C )  e.  ZZ )
18 dvdsmultr1 12886 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( A  e.  ZZ  /\  ( B  x.  C
)  e.  ZZ  /\  x  e.  ZZ )  ->  ( A  ||  ( B  x.  C )  ->  A  ||  ( ( B  x.  C )  x.  x ) ) )
197, 17, 10, 18syl3anc 1185 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ( B  e.  ZZ  /\  C  e.  ZZ )  /\  A  ||  ( B  x.  C
) )  /\  (
x  e.  ZZ  /\  y  e.  ZZ )
)  ->  ( A  ||  ( B  x.  C
)  ->  A  ||  (
( B  x.  C
)  x.  x ) ) )
2016, 19mpd 15 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ( B  e.  ZZ  /\  C  e.  ZZ )  /\  A  ||  ( B  x.  C
) )  /\  (
x  e.  ZZ  /\  y  e.  ZZ )
)  ->  A  ||  (
( B  x.  C
)  x.  x ) )
218zcnd 10378 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ( B  e.  ZZ  /\  C  e.  ZZ )  /\  A  ||  ( B  x.  C
) )  /\  (
x  e.  ZZ  /\  y  e.  ZZ )
)  ->  B  e.  CC )
229zcnd 10378 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ( B  e.  ZZ  /\  C  e.  ZZ )  /\  A  ||  ( B  x.  C
) )  /\  (
x  e.  ZZ  /\  y  e.  ZZ )
)  ->  C  e.  CC )
2310zcnd 10378 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ( B  e.  ZZ  /\  C  e.  ZZ )  /\  A  ||  ( B  x.  C
) )  /\  (
x  e.  ZZ  /\  y  e.  ZZ )
)  ->  x  e.  CC )
2421, 22, 23mulassd 9113 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ( B  e.  ZZ  /\  C  e.  ZZ )  /\  A  ||  ( B  x.  C
) )  /\  (
x  e.  ZZ  /\  y  e.  ZZ )
)  ->  ( ( B  x.  C )  x.  x )  =  ( B  x.  ( C  x.  x ) ) )
2520, 24breqtrd 4238 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ( B  e.  ZZ  /\  C  e.  ZZ )  /\  A  ||  ( B  x.  C
) )  /\  (
x  e.  ZZ  /\  y  e.  ZZ )
)  ->  A  ||  ( B  x.  ( C  x.  x ) ) )
268, 13zmulcld 10383 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ( B  e.  ZZ  /\  C  e.  ZZ )  /\  A  ||  ( B  x.  C
) )  /\  (
x  e.  ZZ  /\  y  e.  ZZ )
)  ->  ( B  x.  y )  e.  ZZ )
27 dvdsmul1 12873 . . . . . . . . 9  |-  ( ( A  e.  ZZ  /\  ( B  x.  y
)  e.  ZZ )  ->  A  ||  ( A  x.  ( B  x.  y ) ) )
287, 26, 27syl2anc 644 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ( B  e.  ZZ  /\  C  e.  ZZ )  /\  A  ||  ( B  x.  C
) )  /\  (
x  e.  ZZ  /\  y  e.  ZZ )
)  ->  A  ||  ( A  x.  ( B  x.  y ) ) )
297zcnd 10378 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ( B  e.  ZZ  /\  C  e.  ZZ )  /\  A  ||  ( B  x.  C
) )  /\  (
x  e.  ZZ  /\  y  e.  ZZ )
)  ->  A  e.  CC )
3013zcnd 10378 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ( B  e.  ZZ  /\  C  e.  ZZ )  /\  A  ||  ( B  x.  C
) )  /\  (
x  e.  ZZ  /\  y  e.  ZZ )
)  ->  y  e.  CC )
3121, 29, 30mul12d 9277 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ( B  e.  ZZ  /\  C  e.  ZZ )  /\  A  ||  ( B  x.  C
) )  /\  (
x  e.  ZZ  /\  y  e.  ZZ )
)  ->  ( B  x.  ( A  x.  y
) )  =  ( A  x.  ( B  x.  y ) ) )
3228, 31breqtrrd 4240 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ( B  e.  ZZ  /\  C  e.  ZZ )  /\  A  ||  ( B  x.  C
) )  /\  (
x  e.  ZZ  /\  y  e.  ZZ )
)  ->  A  ||  ( B  x.  ( A  x.  y ) ) )
33 dvds2add 12883 . . . . . . . 8  |-  ( ( A  e.  ZZ  /\  ( B  x.  ( C  x.  x )
)  e.  ZZ  /\  ( B  x.  ( A  x.  y )
)  e.  ZZ )  ->  ( ( A 
||  ( B  x.  ( C  x.  x
) )  /\  A  ||  ( B  x.  ( A  x.  y )
) )  ->  A  ||  ( ( B  x.  ( C  x.  x
) )  +  ( B  x.  ( A  x.  y ) ) ) ) )
3433imp 420 . . . . . . 7  |-  ( ( ( A  e.  ZZ  /\  ( B  x.  ( C  x.  x )
)  e.  ZZ  /\  ( B  x.  ( A  x.  y )
)  e.  ZZ )  /\  ( A  ||  ( B  x.  ( C  x.  x )
)  /\  A  ||  ( B  x.  ( A  x.  y ) ) ) )  ->  A  ||  (
( B  x.  ( C  x.  x )
)  +  ( B  x.  ( A  x.  y ) ) ) )
357, 12, 15, 25, 32, 34syl32anc 1193 . . . . . 6  |-  ( ( ( ( B  e.  ZZ  /\  C  e.  ZZ )  /\  A  ||  ( B  x.  C
) )  /\  (
x  e.  ZZ  /\  y  e.  ZZ )
)  ->  A  ||  (
( B  x.  ( C  x.  x )
)  +  ( B  x.  ( A  x.  y ) ) ) )
3611zcnd 10378 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ( B  e.  ZZ  /\  C  e.  ZZ )  /\  A  ||  ( B  x.  C
) )  /\  (
x  e.  ZZ  /\  y  e.  ZZ )
)  ->  ( C  x.  x )  e.  CC )
3714zcnd 10378 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ( B  e.  ZZ  /\  C  e.  ZZ )  /\  A  ||  ( B  x.  C
) )  /\  (
x  e.  ZZ  /\  y  e.  ZZ )
)  ->  ( A  x.  y )  e.  CC )
3821, 36, 37adddid 9114 . . . . . 6  |-  ( ( ( ( B  e.  ZZ  /\  C  e.  ZZ )  /\  A  ||  ( B  x.  C
) )  /\  (
x  e.  ZZ  /\  y  e.  ZZ )
)  ->  ( B  x.  ( ( C  x.  x )  +  ( A  x.  y ) ) )  =  ( ( B  x.  ( C  x.  x )
)  +  ( B  x.  ( A  x.  y ) ) ) )
3935, 38breqtrrd 4240 . . . . 5  |-  ( ( ( ( B  e.  ZZ  /\  C  e.  ZZ )  /\  A  ||  ( B  x.  C
) )  /\  (
x  e.  ZZ  /\  y  e.  ZZ )
)  ->  A  ||  ( B  x.  ( ( C  x.  x )  +  ( A  x.  y ) ) ) )
40 oveq2 6091 . . . . . 6  |-  ( ( C  gcd  A )  =  ( ( C  x.  x )  +  ( A  x.  y
) )  ->  ( B  x.  ( C  gcd  A ) )  =  ( B  x.  (
( C  x.  x
)  +  ( A  x.  y ) ) ) )
4140breq2d 4226 . . . . 5  |-  ( ( C  gcd  A )  =  ( ( C  x.  x )  +  ( A  x.  y
) )  ->  ( A  ||  ( B  x.  ( C  gcd  A ) )  <->  A  ||  ( B  x.  ( ( C  x.  x )  +  ( A  x.  y
) ) ) ) )
4239, 41syl5ibrcom 215 . . . 4  |-  ( ( ( ( B  e.  ZZ  /\  C  e.  ZZ )  /\  A  ||  ( B  x.  C
) )  /\  (
x  e.  ZZ  /\  y  e.  ZZ )
)  ->  ( ( C  gcd  A )  =  ( ( C  x.  x )  +  ( A  x.  y ) )  ->  A  ||  ( B  x.  ( C  gcd  A ) ) ) )
4342rexlimdvva 2839 . . 3  |-  ( ( ( B  e.  ZZ  /\  C  e.  ZZ )  /\  A  ||  ( B  x.  C )
)  ->  ( E. x  e.  ZZ  E. y  e.  ZZ  ( C  gcd  A )  =  ( ( C  x.  x )  +  ( A  x.  y ) )  ->  A  ||  ( B  x.  ( C  gcd  A ) ) ) )
446, 43mpd 15 . 2  |-  ( ( ( B  e.  ZZ  /\  C  e.  ZZ )  /\  A  ||  ( B  x.  C )
)  ->  A  ||  ( B  x.  ( C  gcd  A ) ) )
45 dvdszrcl 12859 . . . . 5  |-  ( A 
||  ( B  x.  ( C  gcd  A ) )  ->  ( A  e.  ZZ  /\  ( B  x.  ( C  gcd  A ) )  e.  ZZ ) )
4645adantl 454 . . . 4  |-  ( ( ( B  e.  ZZ  /\  C  e.  ZZ )  /\  A  ||  ( B  x.  ( C  gcd  A ) ) )  ->  ( A  e.  ZZ  /\  ( B  x.  ( C  gcd  A ) )  e.  ZZ ) )
4746simpld 447 . . 3  |-  ( ( ( B  e.  ZZ  /\  C  e.  ZZ )  /\  A  ||  ( B  x.  ( C  gcd  A ) ) )  ->  A  e.  ZZ )
4846simprd 451 . . 3  |-  ( ( ( B  e.  ZZ  /\  C  e.  ZZ )  /\  A  ||  ( B  x.  ( C  gcd  A ) ) )  ->  ( B  x.  ( C  gcd  A ) )  e.  ZZ )
49 zmulcl 10326 . . . 4  |-  ( ( B  e.  ZZ  /\  C  e.  ZZ )  ->  ( B  x.  C
)  e.  ZZ )
5049adantr 453 . . 3  |-  ( ( ( B  e.  ZZ  /\  C  e.  ZZ )  /\  A  ||  ( B  x.  ( C  gcd  A ) ) )  ->  ( B  x.  C )  e.  ZZ )
51 simpr 449 . . 3  |-  ( ( ( B  e.  ZZ  /\  C  e.  ZZ )  /\  A  ||  ( B  x.  ( C  gcd  A ) ) )  ->  A  ||  ( B  x.  ( C  gcd  A ) ) )
52 simplr 733 . . . . . 6  |-  ( ( ( B  e.  ZZ  /\  C  e.  ZZ )  /\  A  ||  ( B  x.  ( C  gcd  A ) ) )  ->  C  e.  ZZ )
53 gcddvds 13017 . . . . . 6  |-  ( ( C  e.  ZZ  /\  A  e.  ZZ )  ->  ( ( C  gcd  A )  ||  C  /\  ( C  gcd  A ) 
||  A ) )
5452, 47, 53syl2anc 644 . . . . 5  |-  ( ( ( B  e.  ZZ  /\  C  e.  ZZ )  /\  A  ||  ( B  x.  ( C  gcd  A ) ) )  ->  ( ( C  gcd  A )  ||  C  /\  ( C  gcd  A )  ||  A ) )
5554simpld 447 . . . 4  |-  ( ( ( B  e.  ZZ  /\  C  e.  ZZ )  /\  A  ||  ( B  x.  ( C  gcd  A ) ) )  ->  ( C  gcd  A )  ||  C )
5652, 47gcdcld 13020 . . . . . 6  |-  ( ( ( B  e.  ZZ  /\  C  e.  ZZ )  /\  A  ||  ( B  x.  ( C  gcd  A ) ) )  ->  ( C  gcd  A )  e.  NN0 )
5756nn0zd 10375 . . . . 5  |-  ( ( ( B  e.  ZZ  /\  C  e.  ZZ )  /\  A  ||  ( B  x.  ( C  gcd  A ) ) )  ->  ( C  gcd  A )  e.  ZZ )
58 simpll 732 . . . . 5  |-  ( ( ( B  e.  ZZ  /\  C  e.  ZZ )  /\  A  ||  ( B  x.  ( C  gcd  A ) ) )  ->  B  e.  ZZ )
59 dvdscmul 12878 . . . . 5  |-  ( ( ( C  gcd  A
)  e.  ZZ  /\  C  e.  ZZ  /\  B  e.  ZZ )  ->  (
( C  gcd  A
)  ||  C  ->  ( B  x.  ( C  gcd  A ) ) 
||  ( B  x.  C ) ) )
6057, 52, 58, 59syl3anc 1185 . . . 4  |-  ( ( ( B  e.  ZZ  /\  C  e.  ZZ )  /\  A  ||  ( B  x.  ( C  gcd  A ) ) )  ->  ( ( C  gcd  A )  ||  C  ->  ( B  x.  ( C  gcd  A ) )  ||  ( B  x.  C ) ) )
6155, 60mpd 15 . . 3  |-  ( ( ( B  e.  ZZ  /\  C  e.  ZZ )  /\  A  ||  ( B  x.  ( C  gcd  A ) ) )  ->  ( B  x.  ( C  gcd  A ) )  ||  ( B  x.  C ) )
62 dvdstr 12885 . . . 4  |-  ( ( A  e.  ZZ  /\  ( B  x.  ( C  gcd  A ) )  e.  ZZ  /\  ( B  x.  C )  e.  ZZ )  ->  (
( A  ||  ( B  x.  ( C  gcd  A ) )  /\  ( B  x.  ( C  gcd  A ) ) 
||  ( B  x.  C ) )  ->  A  ||  ( B  x.  C ) ) )
6362imp 420 . . 3  |-  ( ( ( A  e.  ZZ  /\  ( B  x.  ( C  gcd  A ) )  e.  ZZ  /\  ( B  x.  C )  e.  ZZ )  /\  ( A  ||  ( B  x.  ( C  gcd  A ) )  /\  ( B  x.  ( C  gcd  A ) )  ||  ( B  x.  C )
) )  ->  A  ||  ( B  x.  C
) )
6447, 48, 50, 51, 61, 63syl32anc 1193 . 2  |-  ( ( ( B  e.  ZZ  /\  C  e.  ZZ )  /\  A  ||  ( B  x.  ( C  gcd  A ) ) )  ->  A  ||  ( B  x.  C )
)
6544, 64impbida 807 1  |-  ( ( B  e.  ZZ  /\  C  e.  ZZ )  ->  ( A  ||  ( B  x.  C )  <->  A 
||  ( B  x.  ( C  gcd  A ) ) ) )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    <-> wb 178    /\ wa 360    /\ w3a 937    = wceq 1653    e. wcel 1726   E.wrex 2708   class class class wbr 4214  (class class class)co 6083    + caddc 8995    x. cmul 8997   ZZcz 10284    || cdivides 12854    gcd cgcd 13008
This theorem is referenced by:  odmulg  15194
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1556  ax-5 1567  ax-17 1627  ax-9 1667  ax-8 1688  ax-13 1728  ax-14 1730  ax-6 1745  ax-7 1750  ax-11 1762  ax-12 1951  ax-ext 2419  ax-sep 4332  ax-nul 4340  ax-pow 4379  ax-pr 4405  ax-un 4703  ax-cnex 9048  ax-resscn 9049  ax-1cn 9050  ax-icn 9051  ax-addcl 9052  ax-addrcl 9053  ax-mulcl 9054  ax-mulrcl 9055  ax-mulcom 9056  ax-addass 9057  ax-mulass 9058  ax-distr 9059  ax-i2m1 9060  ax-1ne0 9061  ax-1rid 9062  ax-rnegex 9063  ax-rrecex 9064  ax-cnre 9065  ax-pre-lttri 9066  ax-pre-lttrn 9067  ax-pre-ltadd 9068  ax-pre-mulgt0 9069  ax-pre-sup 9070
This theorem depends on definitions:  df-bi 179  df-or 361  df-an 362  df-3or 938  df-3an 939  df-tru 1329  df-ex 1552  df-nf 1555  df-sb 1660  df-eu 2287  df-mo 2288  df-clab 2425  df-cleq 2431  df-clel 2434  df-nfc 2563  df-ne 2603  df-nel 2604  df-ral 2712  df-rex 2713  df-reu 2714  df-rmo 2715  df-rab 2716  df-v 2960  df-sbc 3164  df-csb 3254  df-dif 3325  df-un 3327  df-in 3329  df-ss 3336  df-pss 3338  df-nul 3631  df-if 3742  df-pw 3803  df-sn 3822  df-pr 3823  df-tp 3824  df-op 3825  df-uni 4018  df-iun 4097  df-br 4215  df-opab 4269  df-mpt 4270  df-tr 4305  df-eprel 4496  df-id 4500  df-po 4505  df-so 4506  df-fr 4543  df-we 4545  df-ord 4586  df-on 4587  df-lim 4588  df-suc 4589  df-om 4848  df-xp 4886  df-rel 4887  df-cnv 4888  df-co 4889  df-dm 4890  df-rn 4891  df-res 4892  df-ima 4893  df-iota 5420  df-fun 5458  df-fn 5459  df-f 5460  df-f1 5461  df-fo 5462  df-f1o 5463  df-fv 5464  df-ov 6086  df-oprab 6087  df-mpt2 6088  df-2nd 6352  df-riota 6551  df-recs 6635  df-rdg 6670  df-er 6907  df-en 7112  df-dom 7113  df-sdom 7114  df-sup 7448  df-pnf 9124  df-mnf 9125  df-xr 9126  df-ltxr 9127  df-le 9128  df-sub 9295  df-neg 9296  df-div 9680  df-nn 10003  df-2 10060  df-3 10061  df-n0 10224  df-z 10285  df-uz 10491  df-rp 10615  df-fl 11204  df-mod 11253  df-seq 11326  df-exp 11385  df-cj 11906  df-re 11907  df-im 11908  df-sqr 12042  df-abs 12043  df-dvds 12855  df-gcd 13009
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