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Theorem dvdsmulgcd 12749
Description: A divisibility equivalent for odmulg 14885. (Contributed by Stefan O'Rear, 6-Sep-2015.)
Assertion
Ref Expression
dvdsmulgcd  |-  ( ( B  e.  ZZ  /\  C  e.  ZZ )  ->  ( A  ||  ( B  x.  C )  <->  A 
||  ( B  x.  ( C  gcd  A ) ) ) )

Proof of Theorem dvdsmulgcd
Dummy variables  x  y are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 simplr 731 . . . 4  |-  ( ( ( B  e.  ZZ  /\  C  e.  ZZ )  /\  A  ||  ( B  x.  C )
)  ->  C  e.  ZZ )
2 dvdszrcl 12552 . . . . . 6  |-  ( A 
||  ( B  x.  C )  ->  ( A  e.  ZZ  /\  ( B  x.  C )  e.  ZZ ) )
32adantl 452 . . . . 5  |-  ( ( ( B  e.  ZZ  /\  C  e.  ZZ )  /\  A  ||  ( B  x.  C )
)  ->  ( A  e.  ZZ  /\  ( B  x.  C )  e.  ZZ ) )
43simpld 445 . . . 4  |-  ( ( ( B  e.  ZZ  /\  C  e.  ZZ )  /\  A  ||  ( B  x.  C )
)  ->  A  e.  ZZ )
5 bezout 12737 . . . 4  |-  ( ( C  e.  ZZ  /\  A  e.  ZZ )  ->  E. x  e.  ZZ  E. y  e.  ZZ  ( C  gcd  A )  =  ( ( C  x.  x )  +  ( A  x.  y ) ) )
61, 4, 5syl2anc 642 . . 3  |-  ( ( ( B  e.  ZZ  /\  C  e.  ZZ )  /\  A  ||  ( B  x.  C )
)  ->  E. x  e.  ZZ  E. y  e.  ZZ  ( C  gcd  A )  =  ( ( C  x.  x )  +  ( A  x.  y ) ) )
74adantr 451 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ( B  e.  ZZ  /\  C  e.  ZZ )  /\  A  ||  ( B  x.  C
) )  /\  (
x  e.  ZZ  /\  y  e.  ZZ )
)  ->  A  e.  ZZ )
8 simplll 734 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ( B  e.  ZZ  /\  C  e.  ZZ )  /\  A  ||  ( B  x.  C
) )  /\  (
x  e.  ZZ  /\  y  e.  ZZ )
)  ->  B  e.  ZZ )
9 simpllr 735 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ( B  e.  ZZ  /\  C  e.  ZZ )  /\  A  ||  ( B  x.  C
) )  /\  (
x  e.  ZZ  /\  y  e.  ZZ )
)  ->  C  e.  ZZ )
10 simprl 732 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ( B  e.  ZZ  /\  C  e.  ZZ )  /\  A  ||  ( B  x.  C
) )  /\  (
x  e.  ZZ  /\  y  e.  ZZ )
)  ->  x  e.  ZZ )
119, 10zmulcld 10139 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ( B  e.  ZZ  /\  C  e.  ZZ )  /\  A  ||  ( B  x.  C
) )  /\  (
x  e.  ZZ  /\  y  e.  ZZ )
)  ->  ( C  x.  x )  e.  ZZ )
128, 11zmulcld 10139 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ( B  e.  ZZ  /\  C  e.  ZZ )  /\  A  ||  ( B  x.  C
) )  /\  (
x  e.  ZZ  /\  y  e.  ZZ )
)  ->  ( B  x.  ( C  x.  x
) )  e.  ZZ )
13 simprr 733 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ( B  e.  ZZ  /\  C  e.  ZZ )  /\  A  ||  ( B  x.  C
) )  /\  (
x  e.  ZZ  /\  y  e.  ZZ )
)  ->  y  e.  ZZ )
147, 13zmulcld 10139 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ( B  e.  ZZ  /\  C  e.  ZZ )  /\  A  ||  ( B  x.  C
) )  /\  (
x  e.  ZZ  /\  y  e.  ZZ )
)  ->  ( A  x.  y )  e.  ZZ )
158, 14zmulcld 10139 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ( B  e.  ZZ  /\  C  e.  ZZ )  /\  A  ||  ( B  x.  C
) )  /\  (
x  e.  ZZ  /\  y  e.  ZZ )
)  ->  ( B  x.  ( A  x.  y
) )  e.  ZZ )
16 simplr 731 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ( B  e.  ZZ  /\  C  e.  ZZ )  /\  A  ||  ( B  x.  C
) )  /\  (
x  e.  ZZ  /\  y  e.  ZZ )
)  ->  A  ||  ( B  x.  C )
)
178, 9zmulcld 10139 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ( B  e.  ZZ  /\  C  e.  ZZ )  /\  A  ||  ( B  x.  C
) )  /\  (
x  e.  ZZ  /\  y  e.  ZZ )
)  ->  ( B  x.  C )  e.  ZZ )
18 dvdsmultr1 12579 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( A  e.  ZZ  /\  ( B  x.  C
)  e.  ZZ  /\  x  e.  ZZ )  ->  ( A  ||  ( B  x.  C )  ->  A  ||  ( ( B  x.  C )  x.  x ) ) )
197, 17, 10, 18syl3anc 1182 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ( B  e.  ZZ  /\  C  e.  ZZ )  /\  A  ||  ( B  x.  C
) )  /\  (
x  e.  ZZ  /\  y  e.  ZZ )
)  ->  ( A  ||  ( B  x.  C
)  ->  A  ||  (
( B  x.  C
)  x.  x ) ) )
2016, 19mpd 14 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ( B  e.  ZZ  /\  C  e.  ZZ )  /\  A  ||  ( B  x.  C
) )  /\  (
x  e.  ZZ  /\  y  e.  ZZ )
)  ->  A  ||  (
( B  x.  C
)  x.  x ) )
218zcnd 10134 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ( B  e.  ZZ  /\  C  e.  ZZ )  /\  A  ||  ( B  x.  C
) )  /\  (
x  e.  ZZ  /\  y  e.  ZZ )
)  ->  B  e.  CC )
229zcnd 10134 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ( B  e.  ZZ  /\  C  e.  ZZ )  /\  A  ||  ( B  x.  C
) )  /\  (
x  e.  ZZ  /\  y  e.  ZZ )
)  ->  C  e.  CC )
2310zcnd 10134 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ( B  e.  ZZ  /\  C  e.  ZZ )  /\  A  ||  ( B  x.  C
) )  /\  (
x  e.  ZZ  /\  y  e.  ZZ )
)  ->  x  e.  CC )
2421, 22, 23mulassd 8874 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ( B  e.  ZZ  /\  C  e.  ZZ )  /\  A  ||  ( B  x.  C
) )  /\  (
x  e.  ZZ  /\  y  e.  ZZ )
)  ->  ( ( B  x.  C )  x.  x )  =  ( B  x.  ( C  x.  x ) ) )
2520, 24breqtrd 4063 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ( B  e.  ZZ  /\  C  e.  ZZ )  /\  A  ||  ( B  x.  C
) )  /\  (
x  e.  ZZ  /\  y  e.  ZZ )
)  ->  A  ||  ( B  x.  ( C  x.  x ) ) )
268, 13zmulcld 10139 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ( B  e.  ZZ  /\  C  e.  ZZ )  /\  A  ||  ( B  x.  C
) )  /\  (
x  e.  ZZ  /\  y  e.  ZZ )
)  ->  ( B  x.  y )  e.  ZZ )
27 dvdsmul1 12566 . . . . . . . . 9  |-  ( ( A  e.  ZZ  /\  ( B  x.  y
)  e.  ZZ )  ->  A  ||  ( A  x.  ( B  x.  y ) ) )
287, 26, 27syl2anc 642 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ( B  e.  ZZ  /\  C  e.  ZZ )  /\  A  ||  ( B  x.  C
) )  /\  (
x  e.  ZZ  /\  y  e.  ZZ )
)  ->  A  ||  ( A  x.  ( B  x.  y ) ) )
297zcnd 10134 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ( B  e.  ZZ  /\  C  e.  ZZ )  /\  A  ||  ( B  x.  C
) )  /\  (
x  e.  ZZ  /\  y  e.  ZZ )
)  ->  A  e.  CC )
3013zcnd 10134 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ( B  e.  ZZ  /\  C  e.  ZZ )  /\  A  ||  ( B  x.  C
) )  /\  (
x  e.  ZZ  /\  y  e.  ZZ )
)  ->  y  e.  CC )
3121, 29, 30mul12d 9037 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ( B  e.  ZZ  /\  C  e.  ZZ )  /\  A  ||  ( B  x.  C
) )  /\  (
x  e.  ZZ  /\  y  e.  ZZ )
)  ->  ( B  x.  ( A  x.  y
) )  =  ( A  x.  ( B  x.  y ) ) )
3228, 31breqtrrd 4065 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ( B  e.  ZZ  /\  C  e.  ZZ )  /\  A  ||  ( B  x.  C
) )  /\  (
x  e.  ZZ  /\  y  e.  ZZ )
)  ->  A  ||  ( B  x.  ( A  x.  y ) ) )
33 dvds2add 12576 . . . . . . . 8  |-  ( ( A  e.  ZZ  /\  ( B  x.  ( C  x.  x )
)  e.  ZZ  /\  ( B  x.  ( A  x.  y )
)  e.  ZZ )  ->  ( ( A 
||  ( B  x.  ( C  x.  x
) )  /\  A  ||  ( B  x.  ( A  x.  y )
) )  ->  A  ||  ( ( B  x.  ( C  x.  x
) )  +  ( B  x.  ( A  x.  y ) ) ) ) )
3433imp 418 . . . . . . 7  |-  ( ( ( A  e.  ZZ  /\  ( B  x.  ( C  x.  x )
)  e.  ZZ  /\  ( B  x.  ( A  x.  y )
)  e.  ZZ )  /\  ( A  ||  ( B  x.  ( C  x.  x )
)  /\  A  ||  ( B  x.  ( A  x.  y ) ) ) )  ->  A  ||  (
( B  x.  ( C  x.  x )
)  +  ( B  x.  ( A  x.  y ) ) ) )
357, 12, 15, 25, 32, 34syl32anc 1190 . . . . . 6  |-  ( ( ( ( B  e.  ZZ  /\  C  e.  ZZ )  /\  A  ||  ( B  x.  C
) )  /\  (
x  e.  ZZ  /\  y  e.  ZZ )
)  ->  A  ||  (
( B  x.  ( C  x.  x )
)  +  ( B  x.  ( A  x.  y ) ) ) )
3611zcnd 10134 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ( B  e.  ZZ  /\  C  e.  ZZ )  /\  A  ||  ( B  x.  C
) )  /\  (
x  e.  ZZ  /\  y  e.  ZZ )
)  ->  ( C  x.  x )  e.  CC )
3714zcnd 10134 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ( B  e.  ZZ  /\  C  e.  ZZ )  /\  A  ||  ( B  x.  C
) )  /\  (
x  e.  ZZ  /\  y  e.  ZZ )
)  ->  ( A  x.  y )  e.  CC )
3821, 36, 37adddid 8875 . . . . . 6  |-  ( ( ( ( B  e.  ZZ  /\  C  e.  ZZ )  /\  A  ||  ( B  x.  C
) )  /\  (
x  e.  ZZ  /\  y  e.  ZZ )
)  ->  ( B  x.  ( ( C  x.  x )  +  ( A  x.  y ) ) )  =  ( ( B  x.  ( C  x.  x )
)  +  ( B  x.  ( A  x.  y ) ) ) )
3935, 38breqtrrd 4065 . . . . 5  |-  ( ( ( ( B  e.  ZZ  /\  C  e.  ZZ )  /\  A  ||  ( B  x.  C
) )  /\  (
x  e.  ZZ  /\  y  e.  ZZ )
)  ->  A  ||  ( B  x.  ( ( C  x.  x )  +  ( A  x.  y ) ) ) )
40 oveq2 5882 . . . . . 6  |-  ( ( C  gcd  A )  =  ( ( C  x.  x )  +  ( A  x.  y
) )  ->  ( B  x.  ( C  gcd  A ) )  =  ( B  x.  (
( C  x.  x
)  +  ( A  x.  y ) ) ) )
4140breq2d 4051 . . . . 5  |-  ( ( C  gcd  A )  =  ( ( C  x.  x )  +  ( A  x.  y
) )  ->  ( A  ||  ( B  x.  ( C  gcd  A ) )  <->  A  ||  ( B  x.  ( ( C  x.  x )  +  ( A  x.  y
) ) ) ) )
4239, 41syl5ibrcom 213 . . . 4  |-  ( ( ( ( B  e.  ZZ  /\  C  e.  ZZ )  /\  A  ||  ( B  x.  C
) )  /\  (
x  e.  ZZ  /\  y  e.  ZZ )
)  ->  ( ( C  gcd  A )  =  ( ( C  x.  x )  +  ( A  x.  y ) )  ->  A  ||  ( B  x.  ( C  gcd  A ) ) ) )
4342rexlimdvva 2687 . . 3  |-  ( ( ( B  e.  ZZ  /\  C  e.  ZZ )  /\  A  ||  ( B  x.  C )
)  ->  ( E. x  e.  ZZ  E. y  e.  ZZ  ( C  gcd  A )  =  ( ( C  x.  x )  +  ( A  x.  y ) )  ->  A  ||  ( B  x.  ( C  gcd  A ) ) ) )
446, 43mpd 14 . 2  |-  ( ( ( B  e.  ZZ  /\  C  e.  ZZ )  /\  A  ||  ( B  x.  C )
)  ->  A  ||  ( B  x.  ( C  gcd  A ) ) )
45 dvdszrcl 12552 . . . . 5  |-  ( A 
||  ( B  x.  ( C  gcd  A ) )  ->  ( A  e.  ZZ  /\  ( B  x.  ( C  gcd  A ) )  e.  ZZ ) )
4645adantl 452 . . . 4  |-  ( ( ( B  e.  ZZ  /\  C  e.  ZZ )  /\  A  ||  ( B  x.  ( C  gcd  A ) ) )  ->  ( A  e.  ZZ  /\  ( B  x.  ( C  gcd  A ) )  e.  ZZ ) )
4746simpld 445 . . 3  |-  ( ( ( B  e.  ZZ  /\  C  e.  ZZ )  /\  A  ||  ( B  x.  ( C  gcd  A ) ) )  ->  A  e.  ZZ )
4846simprd 449 . . 3  |-  ( ( ( B  e.  ZZ  /\  C  e.  ZZ )  /\  A  ||  ( B  x.  ( C  gcd  A ) ) )  ->  ( B  x.  ( C  gcd  A ) )  e.  ZZ )
49 zmulcl 10082 . . . 4  |-  ( ( B  e.  ZZ  /\  C  e.  ZZ )  ->  ( B  x.  C
)  e.  ZZ )
5049adantr 451 . . 3  |-  ( ( ( B  e.  ZZ  /\  C  e.  ZZ )  /\  A  ||  ( B  x.  ( C  gcd  A ) ) )  ->  ( B  x.  C )  e.  ZZ )
51 simpr 447 . . 3  |-  ( ( ( B  e.  ZZ  /\  C  e.  ZZ )  /\  A  ||  ( B  x.  ( C  gcd  A ) ) )  ->  A  ||  ( B  x.  ( C  gcd  A ) ) )
52 simplr 731 . . . . . 6  |-  ( ( ( B  e.  ZZ  /\  C  e.  ZZ )  /\  A  ||  ( B  x.  ( C  gcd  A ) ) )  ->  C  e.  ZZ )
53 gcddvds 12710 . . . . . 6  |-  ( ( C  e.  ZZ  /\  A  e.  ZZ )  ->  ( ( C  gcd  A )  ||  C  /\  ( C  gcd  A ) 
||  A ) )
5452, 47, 53syl2anc 642 . . . . 5  |-  ( ( ( B  e.  ZZ  /\  C  e.  ZZ )  /\  A  ||  ( B  x.  ( C  gcd  A ) ) )  ->  ( ( C  gcd  A )  ||  C  /\  ( C  gcd  A )  ||  A ) )
5554simpld 445 . . . 4  |-  ( ( ( B  e.  ZZ  /\  C  e.  ZZ )  /\  A  ||  ( B  x.  ( C  gcd  A ) ) )  ->  ( C  gcd  A )  ||  C )
5652, 47gcdcld 12713 . . . . . 6  |-  ( ( ( B  e.  ZZ  /\  C  e.  ZZ )  /\  A  ||  ( B  x.  ( C  gcd  A ) ) )  ->  ( C  gcd  A )  e.  NN0 )
5756nn0zd 10131 . . . . 5  |-  ( ( ( B  e.  ZZ  /\  C  e.  ZZ )  /\  A  ||  ( B  x.  ( C  gcd  A ) ) )  ->  ( C  gcd  A )  e.  ZZ )
58 simpll 730 . . . . 5  |-  ( ( ( B  e.  ZZ  /\  C  e.  ZZ )  /\  A  ||  ( B  x.  ( C  gcd  A ) ) )  ->  B  e.  ZZ )
59 dvdscmul 12571 . . . . 5  |-  ( ( ( C  gcd  A
)  e.  ZZ  /\  C  e.  ZZ  /\  B  e.  ZZ )  ->  (
( C  gcd  A
)  ||  C  ->  ( B  x.  ( C  gcd  A ) ) 
||  ( B  x.  C ) ) )
6057, 52, 58, 59syl3anc 1182 . . . 4  |-  ( ( ( B  e.  ZZ  /\  C  e.  ZZ )  /\  A  ||  ( B  x.  ( C  gcd  A ) ) )  ->  ( ( C  gcd  A )  ||  C  ->  ( B  x.  ( C  gcd  A ) )  ||  ( B  x.  C ) ) )
6155, 60mpd 14 . . 3  |-  ( ( ( B  e.  ZZ  /\  C  e.  ZZ )  /\  A  ||  ( B  x.  ( C  gcd  A ) ) )  ->  ( B  x.  ( C  gcd  A ) )  ||  ( B  x.  C ) )
62 dvdstr 12578 . . . 4  |-  ( ( A  e.  ZZ  /\  ( B  x.  ( C  gcd  A ) )  e.  ZZ  /\  ( B  x.  C )  e.  ZZ )  ->  (
( A  ||  ( B  x.  ( C  gcd  A ) )  /\  ( B  x.  ( C  gcd  A ) ) 
||  ( B  x.  C ) )  ->  A  ||  ( B  x.  C ) ) )
6362imp 418 . . 3  |-  ( ( ( A  e.  ZZ  /\  ( B  x.  ( C  gcd  A ) )  e.  ZZ  /\  ( B  x.  C )  e.  ZZ )  /\  ( A  ||  ( B  x.  ( C  gcd  A ) )  /\  ( B  x.  ( C  gcd  A ) )  ||  ( B  x.  C )
) )  ->  A  ||  ( B  x.  C
) )
6447, 48, 50, 51, 61, 63syl32anc 1190 . 2  |-  ( ( ( B  e.  ZZ  /\  C  e.  ZZ )  /\  A  ||  ( B  x.  ( C  gcd  A ) ) )  ->  A  ||  ( B  x.  C )
)
6544, 64impbida 805 1  |-  ( ( B  e.  ZZ  /\  C  e.  ZZ )  ->  ( A  ||  ( B  x.  C )  <->  A 
||  ( B  x.  ( C  gcd  A ) ) ) )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    <-> wb 176    /\ wa 358    /\ w3a 934    = wceq 1632    e. wcel 1696   E.wrex 2557   class class class wbr 4039  (class class class)co 5874    + caddc 8756    x. cmul 8758   ZZcz 10040    || cdivides 12547    gcd cgcd 12701
This theorem is referenced by:  odmulg  14885
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1536  ax-5 1547  ax-17 1606  ax-9 1644  ax-8 1661  ax-13 1698  ax-14 1700  ax-6 1715  ax-7 1720  ax-11 1727  ax-12 1878  ax-ext 2277  ax-sep 4157  ax-nul 4165  ax-pow 4204  ax-pr 4230  ax-un 4528  ax-cnex 8809  ax-resscn 8810  ax-1cn 8811  ax-icn 8812  ax-addcl 8813  ax-addrcl 8814  ax-mulcl 8815  ax-mulrcl 8816  ax-mulcom 8817  ax-addass 8818  ax-mulass 8819  ax-distr 8820  ax-i2m1 8821  ax-1ne0 8822  ax-1rid 8823  ax-rnegex 8824  ax-rrecex 8825  ax-cnre 8826  ax-pre-lttri 8827  ax-pre-lttrn 8828  ax-pre-ltadd 8829  ax-pre-mulgt0 8830  ax-pre-sup 8831
This theorem depends on definitions:  df-bi 177  df-or 359  df-an 360  df-3or 935  df-3an 936  df-tru 1310  df-ex 1532  df-nf 1535  df-sb 1639  df-eu 2160  df-mo 2161  df-clab 2283  df-cleq 2289  df-clel 2292  df-nfc 2421  df-ne 2461  df-nel 2462  df-ral 2561  df-rex 2562  df-reu 2563  df-rmo 2564  df-rab 2565  df-v 2803  df-sbc 3005  df-csb 3095  df-dif 3168  df-un 3170  df-in 3172  df-ss 3179  df-pss 3181  df-nul 3469  df-if 3579  df-pw 3640  df-sn 3659  df-pr 3660  df-tp 3661  df-op 3662  df-uni 3844  df-iun 3923  df-br 4040  df-opab 4094  df-mpt 4095  df-tr 4130  df-eprel 4321  df-id 4325  df-po 4330  df-so 4331  df-fr 4368  df-we 4370  df-ord 4411  df-on 4412  df-lim 4413  df-suc 4414  df-om 4673  df-xp 4711  df-rel 4712  df-cnv 4713  df-co 4714  df-dm 4715  df-rn 4716  df-res 4717  df-ima 4718  df-iota 5235  df-fun 5273  df-fn 5274  df-f 5275  df-f1 5276  df-fo 5277  df-f1o 5278  df-fv 5279  df-ov 5877  df-oprab 5878  df-mpt2 5879  df-2nd 6139  df-riota 6320  df-recs 6404  df-rdg 6439  df-er 6676  df-en 6880  df-dom 6881  df-sdom 6882  df-sup 7210  df-pnf 8885  df-mnf 8886  df-xr 8887  df-ltxr 8888  df-le 8889  df-sub 9055  df-neg 9056  df-div 9440  df-nn 9763  df-2 9820  df-3 9821  df-n0 9982  df-z 10041  df-uz 10247  df-rp 10371  df-fl 10941  df-mod 10990  df-seq 11063  df-exp 11121  df-cj 11600  df-re 11601  df-im 11602  df-sqr 11736  df-abs 11737  df-dvds 12548  df-gcd 12702
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