MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  dvdsmultr2 Structured version   Unicode version

Theorem dvdsmultr2 12887
Description: If an integer divides another, it divides a multiple of it. (Contributed by Paul Chapman, 17-Nov-2012.)
Assertion
Ref Expression
dvdsmultr2  |-  ( ( K  e.  ZZ  /\  M  e.  ZZ  /\  N  e.  ZZ )  ->  ( K  ||  N  ->  K  ||  ( M  x.  N
) ) )

Proof of Theorem dvdsmultr2
StepHypRef Expression
1 dvdsmul2 12874 . . . 4  |-  ( ( M  e.  ZZ  /\  N  e.  ZZ )  ->  N  ||  ( M  x.  N ) )
21biantrud 495 . . 3  |-  ( ( M  e.  ZZ  /\  N  e.  ZZ )  ->  ( K  ||  N  <->  ( K  ||  N  /\  N  ||  ( M  x.  N ) ) ) )
323adant1 976 . 2  |-  ( ( K  e.  ZZ  /\  M  e.  ZZ  /\  N  e.  ZZ )  ->  ( K  ||  N  <->  ( K  ||  N  /\  N  ||  ( M  x.  N
) ) ) )
4 simp1 958 . . 3  |-  ( ( K  e.  ZZ  /\  M  e.  ZZ  /\  N  e.  ZZ )  ->  K  e.  ZZ )
5 simp3 960 . . 3  |-  ( ( K  e.  ZZ  /\  M  e.  ZZ  /\  N  e.  ZZ )  ->  N  e.  ZZ )
6 zmulcl 10326 . . . 4  |-  ( ( M  e.  ZZ  /\  N  e.  ZZ )  ->  ( M  x.  N
)  e.  ZZ )
763adant1 976 . . 3  |-  ( ( K  e.  ZZ  /\  M  e.  ZZ  /\  N  e.  ZZ )  ->  ( M  x.  N )  e.  ZZ )
8 dvdstr 12885 . . 3  |-  ( ( K  e.  ZZ  /\  N  e.  ZZ  /\  ( M  x.  N )  e.  ZZ )  ->  (
( K  ||  N  /\  N  ||  ( M  x.  N ) )  ->  K  ||  ( M  x.  N )
) )
94, 5, 7, 8syl3anc 1185 . 2  |-  ( ( K  e.  ZZ  /\  M  e.  ZZ  /\  N  e.  ZZ )  ->  (
( K  ||  N  /\  N  ||  ( M  x.  N ) )  ->  K  ||  ( M  x.  N )
) )
103, 9sylbid 208 1  |-  ( ( K  e.  ZZ  /\  M  e.  ZZ  /\  N  e.  ZZ )  ->  ( K  ||  N  ->  K  ||  ( M  x.  N
) ) )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    <-> wb 178    /\ wa 360    /\ w3a 937    e. wcel 1726   class class class wbr 4214  (class class class)co 6083    x. cmul 8997   ZZcz 10284    || cdivides 12854
This theorem is referenced by:  ordvdsmul  12888  3dvds  12914  divalglem0  12915  divalglem2  12917  mulgcddvds  13106  znunit  16846  lgsdir2  21114  lgseisenlem1  21135  lgseisenlem2  21136  2sqblem  21163  nn0prpwlem  26327  congmul  27034  coprmdvdsb  27054  jm2.25  27072  jm2.27a  27078  jm2.27c  27080
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1556  ax-5 1567  ax-17 1627  ax-9 1667  ax-8 1688  ax-13 1728  ax-14 1730  ax-6 1745  ax-7 1750  ax-11 1762  ax-12 1951  ax-ext 2419  ax-sep 4332  ax-nul 4340  ax-pow 4379  ax-pr 4405  ax-un 4703  ax-resscn 9049  ax-1cn 9050  ax-icn 9051  ax-addcl 9052  ax-addrcl 9053  ax-mulcl 9054  ax-mulrcl 9055  ax-mulcom 9056  ax-addass 9057  ax-mulass 9058  ax-distr 9059  ax-i2m1 9060  ax-1ne0 9061  ax-1rid 9062  ax-rnegex 9063  ax-rrecex 9064  ax-cnre 9065  ax-pre-lttri 9066  ax-pre-lttrn 9067  ax-pre-ltadd 9068
This theorem depends on definitions:  df-bi 179  df-or 361  df-an 362  df-3or 938  df-3an 939  df-tru 1329  df-ex 1552  df-nf 1555  df-sb 1660  df-eu 2287  df-mo 2288  df-clab 2425  df-cleq 2431  df-clel 2434  df-nfc 2563  df-ne 2603  df-nel 2604  df-ral 2712  df-rex 2713  df-reu 2714  df-rab 2716  df-v 2960  df-sbc 3164  df-csb 3254  df-dif 3325  df-un 3327  df-in 3329  df-ss 3336  df-pss 3338  df-nul 3631  df-if 3742  df-pw 3803  df-sn 3822  df-pr 3823  df-tp 3824  df-op 3825  df-uni 4018  df-iun 4097  df-br 4215  df-opab 4269  df-mpt 4270  df-tr 4305  df-eprel 4496  df-id 4500  df-po 4505  df-so 4506  df-fr 4543  df-we 4545  df-ord 4586  df-on 4587  df-lim 4588  df-suc 4589  df-om 4848  df-xp 4886  df-rel 4887  df-cnv 4888  df-co 4889  df-dm 4890  df-rn 4891  df-res 4892  df-ima 4893  df-iota 5420  df-fun 5458  df-fn 5459  df-f 5460  df-f1 5461  df-fo 5462  df-f1o 5463  df-fv 5464  df-ov 6086  df-oprab 6087  df-mpt2 6088  df-riota 6551  df-recs 6635  df-rdg 6670  df-er 6907  df-en 7112  df-dom 7113  df-sdom 7114  df-pnf 9124  df-mnf 9125  df-ltxr 9127  df-sub 9295  df-neg 9296  df-nn 10003  df-n0 10224  df-z 10285  df-dvds 12855
  Copyright terms: Public domain W3C validator