Metamath Proof Explorer < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  dvdsppwf1o Structured version   Unicode version

Theorem dvdsppwf1o 20963
 Description: A bijection from the divisors of a prime power to the integers less than the prime count. (Contributed by Mario Carneiro, 5-May-2016.)
Hypothesis
Ref Expression
dvdsppwf1o.f
Assertion
Ref Expression
dvdsppwf1o
Distinct variable groups:   ,,   ,,
Allowed substitution hints:   (,)

Proof of Theorem dvdsppwf1o
Dummy variable is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 dvdsppwf1o.f . 2
2 prmnn 13074 . . . . 5
32adantr 452 . . . 4
4 elfznn0 11075 . . . 4
5 nnexpcl 11386 . . . 4
63, 4, 5syl2an 464 . . 3
7 prmz 13075 . . . . 5
87ad2antrr 707 . . . 4
94adantl 453 . . . 4
10 elfzuz3 11048 . . . . 5
1110adantl 453 . . . 4
12 dvdsexp 12897 . . . 4
138, 9, 11, 12syl3anc 1184 . . 3
14 breq1 4207 . . . 4
1514elrab 3084 . . 3
166, 13, 15sylanbrc 646 . 2
17 simpl 444 . . . 4
18 elrabi 3082 . . . 4
19 pccl 13215 . . . 4
2017, 18, 19syl2an 464 . . 3
2117adantr 452 . . . . 5
2218adantl 453 . . . . . 6
2322nnzd 10366 . . . . 5
247ad2antrr 707 . . . . . 6
25 simplr 732 . . . . . 6
26 zexpcl 11388 . . . . . 6
2724, 25, 26syl2anc 643 . . . . 5
28 breq1 4207 . . . . . . . 8
2928elrab 3084 . . . . . . 7
3029simprbi 451 . . . . . 6
3130adantl 453 . . . . 5
32 pcdvdstr 13241 . . . . 5
3321, 23, 27, 31, 32syl13anc 1186 . . . 4
34 pcidlem 13237 . . . . 5
3534adantr 452 . . . 4
3633, 35breqtrd 4228 . . 3
37 fznn0 11105 . . . 4
3825, 37syl 16 . . 3
3920, 36, 38mpbir2and 889 . 2
40 oveq2 6081 . . . . . . . . 9
4140breq2d 4216 . . . . . . . 8
4241rspcev 3044 . . . . . . 7
4325, 31, 42syl2anc 643 . . . . . 6
44 pcprmpw2 13247 . . . . . . 7
4517, 18, 44syl2an 464 . . . . . 6
4643, 45mpbid 202 . . . . 5
4746adantrl 697 . . . 4
48 oveq2 6081 . . . . 5
4948eqeq2d 2446 . . . 4
5047, 49syl5ibrcom 214 . . 3
51 elfzelz 11051 . . . . . . 7
52 pcid 13238 . . . . . . 7
5317, 51, 52syl2an 464 . . . . . 6
5453eqcomd 2440 . . . . 5
5554adantrr 698 . . . 4
56 oveq2 6081 . . . . 5
5756eqeq2d 2446 . . . 4
5855, 57syl5ibrcom 214 . . 3
5950, 58impbid 184 . 2
601, 16, 39, 59f1o2d 6288 1
 Colors of variables: wff set class Syntax hints:   wi 4   wb 177   wa 359   wceq 1652   wcel 1725  wrex 2698  crab 2701   class class class wbr 4204   cmpt 4258  wf1o 5445  cfv 5446  (class class class)co 6073  cc0 8982   cle 9113  cn 9992  cn0 10213  cz 10274  cuz 10480  cfz 11035  cexp 11374   cdivides 12844  cprime 13071   cpc 13202 This theorem is referenced by:  sgmppw  20973  0sgmppw  20974  dchrisum0flblem1  21194 This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1555  ax-5 1566  ax-17 1626  ax-9 1666  ax-8 1687  ax-13 1727  ax-14 1729  ax-6 1744  ax-7 1749  ax-11 1761  ax-12 1950  ax-ext 2416  ax-sep 4322  ax-nul 4330  ax-pow 4369  ax-pr 4395  ax-un 4693  ax-cnex 9038  ax-resscn 9039  ax-1cn 9040  ax-icn 9041  ax-addcl 9042  ax-addrcl 9043  ax-mulcl 9044  ax-mulrcl 9045  ax-mulcom 9046  ax-addass 9047  ax-mulass 9048  ax-distr 9049  ax-i2m1 9050  ax-1ne0 9051  ax-1rid 9052  ax-rnegex 9053  ax-rrecex 9054  ax-cnre 9055  ax-pre-lttri 9056  ax-pre-lttrn 9057  ax-pre-ltadd 9058  ax-pre-mulgt0 9059  ax-pre-sup 9060 This theorem depends on definitions:  df-bi 178  df-or 360  df-an 361  df-3or 937  df-3an 938  df-tru 1328  df-ex 1551  df-nf 1554  df-sb 1659  df-eu 2284  df-mo 2285  df-clab 2422  df-cleq 2428  df-clel 2431  df-nfc 2560  df-ne 2600  df-nel 2601  df-ral 2702  df-rex 2703  df-reu 2704  df-rmo 2705  df-rab 2706  df-v 2950  df-sbc 3154  df-csb 3244  df-dif 3315  df-un 3317  df-in 3319  df-ss 3326  df-pss 3328  df-nul 3621  df-if 3732  df-pw 3793  df-sn 3812  df-pr 3813  df-tp 3814  df-op 3815  df-uni 4008  df-int 4043  df-iun 4087  df-br 4205  df-opab 4259  df-mpt 4260  df-tr 4295  df-eprel 4486  df-id 4490  df-po 4495  df-so 4496  df-fr 4533  df-we 4535  df-ord 4576  df-on 4577  df-lim 4578  df-suc 4579  df-om 4838  df-xp 4876  df-rel 4877  df-cnv 4878  df-co 4879  df-dm 4880  df-rn 4881  df-res 4882  df-ima 4883  df-iota 5410  df-fun 5448  df-fn 5449  df-f 5450  df-f1 5451  df-fo 5452  df-f1o 5453  df-fv 5454  df-ov 6076  df-oprab 6077  df-mpt2 6078  df-1st 6341  df-2nd 6342  df-riota 6541  df-recs 6625  df-rdg 6660  df-1o 6716  df-2o 6717  df-oadd 6720  df-er 6897  df-en 7102  df-dom 7103  df-sdom 7104  df-fin 7105  df-sup 7438  df-pnf 9114  df-mnf 9115  df-xr 9116  df-ltxr 9117  df-le 9118  df-sub 9285  df-neg 9286  df-div 9670  df-nn 9993  df-2 10050  df-3 10051  df-n0 10214  df-z 10275  df-uz 10481  df-q 10567  df-rp 10605  df-fz 11036  df-fl 11194  df-mod 11243  df-seq 11316  df-exp 11375  df-cj 11896  df-re 11897  df-im 11898  df-sqr 12032  df-abs 12033  df-dvds 12845  df-gcd 12999  df-prm 13072  df-pc 13203
 Copyright terms: Public domain W3C validator