Metamath Proof Explorer < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  dvdsppwf1o Unicode version

Theorem dvdsppwf1o 20442
 Description: A bijection from the divisors of a prime power to the integers less than the prime count. (Contributed by Mario Carneiro, 5-May-2016.)
Hypothesis
Ref Expression
dvdsppwf1o.f
Assertion
Ref Expression
dvdsppwf1o
Distinct variable groups:   ,,   ,,
Allowed substitution hints:   (,)

Proof of Theorem dvdsppwf1o
Dummy variable is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 dvdsppwf1o.f . 2
2 prmnn 12777 . . . . 5
32adantr 451 . . . 4
4 elfznn0 10838 . . . 4
5 nnexpcl 11132 . . . 4
63, 4, 5syl2an 463 . . 3
7 prmz 12778 . . . . 5
87ad2antrr 706 . . . 4
94adantl 452 . . . 4
10 elfzuz3 10811 . . . . 5
1110adantl 452 . . . 4
12 dvdsexp 12600 . . . 4
138, 9, 11, 12syl3anc 1182 . . 3
14 breq1 4042 . . . 4
1514elrab 2936 . . 3
166, 13, 15sylanbrc 645 . 2
17 simpl 443 . . . 4
18 ssrab2 3271 . . . . 5
1918sseli 3189 . . . 4
20 pccl 12918 . . . 4
2117, 19, 20syl2an 463 . . 3
2217adantr 451 . . . . 5
2319adantl 452 . . . . . 6
2423nnzd 10132 . . . . 5
257ad2antrr 706 . . . . . 6
26 simplr 731 . . . . . 6
27 zexpcl 11134 . . . . . 6
2825, 26, 27syl2anc 642 . . . . 5
29 breq1 4042 . . . . . . . 8
3029elrab 2936 . . . . . . 7
3130simprbi 450 . . . . . 6
3231adantl 452 . . . . 5
33 pcdvdstr 12944 . . . . 5
3422, 24, 28, 32, 33syl13anc 1184 . . . 4
35 pcidlem 12940 . . . . 5
3635adantr 451 . . . 4
3734, 36breqtrd 4063 . . 3
38 fznn0 10867 . . . 4
3926, 38syl 15 . . 3
4021, 37, 39mpbir2and 888 . 2
41 oveq2 5882 . . . . . . . . 9
4241breq2d 4051 . . . . . . . 8
4342rspcev 2897 . . . . . . 7
4426, 32, 43syl2anc 642 . . . . . 6
45 pcprmpw2 12950 . . . . . . 7
4617, 19, 45syl2an 463 . . . . . 6
4744, 46mpbid 201 . . . . 5
4847adantrl 696 . . . 4
49 oveq2 5882 . . . . 5
5049eqeq2d 2307 . . . 4
5148, 50syl5ibrcom 213 . . 3
52 elfzelz 10814 . . . . . . 7
53 pcid 12941 . . . . . . 7
5417, 52, 53syl2an 463 . . . . . 6
5554eqcomd 2301 . . . . 5
5655adantrr 697 . . . 4
57 oveq2 5882 . . . . 5
5857eqeq2d 2307 . . . 4
5956, 58syl5ibrcom 213 . . 3
6051, 59impbid 183 . 2
611, 16, 40, 60f1o2d 6085 1
 Colors of variables: wff set class Syntax hints:   wi 4   wb 176   wa 358   wceq 1632   wcel 1696  wrex 2557  crab 2560   class class class wbr 4039   cmpt 4093  wf1o 5270  cfv 5271  (class class class)co 5874  cc0 8753   cle 8884  cn 9762  cn0 9981  cz 10040  cuz 10246  cfz 10798  cexp 11120   cdivides 12547  cprime 12774   cpc 12905 This theorem is referenced by:  sgmppw  20452  0sgmppw  20453  dchrisum0flblem1  20673 This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1536  ax-5 1547  ax-17 1606  ax-9 1644  ax-8 1661  ax-13 1698  ax-14 1700  ax-6 1715  ax-7 1720  ax-11 1727  ax-12 1878  ax-ext 2277  ax-sep 4157  ax-nul 4165  ax-pow 4204  ax-pr 4230  ax-un 4528  ax-cnex 8809  ax-resscn 8810  ax-1cn 8811  ax-icn 8812  ax-addcl 8813  ax-addrcl 8814  ax-mulcl 8815  ax-mulrcl 8816  ax-mulcom 8817  ax-addass 8818  ax-mulass 8819  ax-distr 8820  ax-i2m1 8821  ax-1ne0 8822  ax-1rid 8823  ax-rnegex 8824  ax-rrecex 8825  ax-cnre 8826  ax-pre-lttri 8827  ax-pre-lttrn 8828  ax-pre-ltadd 8829  ax-pre-mulgt0 8830  ax-pre-sup 8831 This theorem depends on definitions:  df-bi 177  df-or 359  df-an 360  df-3or 935  df-3an 936  df-tru 1310  df-ex 1532  df-nf 1535  df-sb 1639  df-eu 2160  df-mo 2161  df-clab 2283  df-cleq 2289  df-clel 2292  df-nfc 2421  df-ne 2461  df-nel 2462  df-ral 2561  df-rex 2562  df-reu 2563  df-rmo 2564  df-rab 2565  df-v 2803  df-sbc 3005  df-csb 3095  df-dif 3168  df-un 3170  df-in 3172  df-ss 3179  df-pss 3181  df-nul 3469  df-if 3579  df-pw 3640  df-sn 3659  df-pr 3660  df-tp 3661  df-op 3662  df-uni 3844  df-int 3879  df-iun 3923  df-br 4040  df-opab 4094  df-mpt 4095  df-tr 4130  df-eprel 4321  df-id 4325  df-po 4330  df-so 4331  df-fr 4368  df-we 4370  df-ord 4411  df-on 4412  df-lim 4413  df-suc 4414  df-om 4673  df-xp 4711  df-rel 4712  df-cnv 4713  df-co 4714  df-dm 4715  df-rn 4716  df-res 4717  df-ima 4718  df-iota 5235  df-fun 5273  df-fn 5274  df-f 5275  df-f1 5276  df-fo 5277  df-f1o 5278  df-fv 5279  df-ov 5877  df-oprab 5878  df-mpt2 5879  df-1st 6138  df-2nd 6139  df-riota 6320  df-recs 6404  df-rdg 6439  df-1o 6495  df-2o 6496  df-oadd 6499  df-er 6676  df-en 6880  df-dom 6881  df-sdom 6882  df-fin 6883  df-sup 7210  df-pnf 8885  df-mnf 8886  df-xr 8887  df-ltxr 8888  df-le 8889  df-sub 9055  df-neg 9056  df-div 9440  df-nn 9763  df-2 9820  df-3 9821  df-n0 9982  df-z 10041  df-uz 10247  df-q 10333  df-rp 10371  df-fz 10799  df-fl 10941  df-mod 10990  df-seq 11063  df-exp 11121  df-cj 11600  df-re 11601  df-im 11602  df-sqr 11736  df-abs 11737  df-dvds 12548  df-gcd 12702  df-prm 12775  df-pc 12906
 Copyright terms: Public domain W3C validator