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Theorem dvdsrabdioph 26994
Description: Divisibility is a Diophantine relation. (Contributed by Stefan O'Rear, 11-Oct-2014.)
Assertion
Ref Expression
dvdsrabdioph  |-  ( ( N  e.  NN0  /\  ( t  e.  ( ZZ  ^m  ( 1 ... N ) ) 
|->  A )  e.  (mzPoly `  ( 1 ... N
) )  /\  (
t  e.  ( ZZ 
^m  ( 1 ... N ) )  |->  B )  e.  (mzPoly `  ( 1 ... N
) ) )  ->  { t  e.  ( NN0  ^m  ( 1 ... N ) )  |  A  ||  B }  e.  (Dioph `  N
) )
Distinct variable group:    t, N
Allowed substitution hints:    A( t)    B( t)

Proof of Theorem dvdsrabdioph
Dummy variables  a 
b  c are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 rabdiophlem1 26985 . . . 4  |-  ( ( t  e.  ( ZZ 
^m  ( 1 ... N ) )  |->  A )  e.  (mzPoly `  ( 1 ... N
) )  ->  A. t  e.  ( NN0  ^m  (
1 ... N ) ) A  e.  ZZ )
2 rabdiophlem1 26985 . . . 4  |-  ( ( t  e.  ( ZZ 
^m  ( 1 ... N ) )  |->  B )  e.  (mzPoly `  ( 1 ... N
) )  ->  A. t  e.  ( NN0  ^m  (
1 ... N ) ) B  e.  ZZ )
3 divides 12549 . . . . . . 7  |-  ( ( A  e.  ZZ  /\  B  e.  ZZ )  ->  ( A  ||  B  <->  E. a  e.  ZZ  (
a  x.  A )  =  B ) )
4 oveq1 5881 . . . . . . . . 9  |-  ( a  =  b  ->  (
a  x.  A )  =  ( b  x.  A ) )
54eqeq1d 2304 . . . . . . . 8  |-  ( a  =  b  ->  (
( a  x.  A
)  =  B  <->  ( b  x.  A )  =  B ) )
6 oveq1 5881 . . . . . . . . 9  |-  ( a  =  -u b  ->  (
a  x.  A )  =  ( -u b  x.  A ) )
76eqeq1d 2304 . . . . . . . 8  |-  ( a  =  -u b  ->  (
( a  x.  A
)  =  B  <->  ( -u b  x.  A )  =  B ) )
85, 7rexzrexnn0 26988 . . . . . . 7  |-  ( E. a  e.  ZZ  (
a  x.  A )  =  B  <->  E. b  e.  NN0  ( ( b  x.  A )  =  B  \/  ( -u b  x.  A )  =  B ) )
93, 8syl6bb 252 . . . . . 6  |-  ( ( A  e.  ZZ  /\  B  e.  ZZ )  ->  ( A  ||  B  <->  E. b  e.  NN0  (
( b  x.  A
)  =  B  \/  ( -u b  x.  A
)  =  B ) ) )
109ralimi 2631 . . . . 5  |-  ( A. t  e.  ( NN0  ^m  ( 1 ... N
) ) ( A  e.  ZZ  /\  B  e.  ZZ )  ->  A. t  e.  ( NN0  ^m  (
1 ... N ) ) ( A  ||  B  <->  E. b  e.  NN0  (
( b  x.  A
)  =  B  \/  ( -u b  x.  A
)  =  B ) ) )
11 r19.26 2688 . . . . 5  |-  ( A. t  e.  ( NN0  ^m  ( 1 ... N
) ) ( A  e.  ZZ  /\  B  e.  ZZ )  <->  ( A. t  e.  ( NN0  ^m  ( 1 ... N
) ) A  e.  ZZ  /\  A. t  e.  ( NN0  ^m  (
1 ... N ) ) B  e.  ZZ ) )
12 rabbi 2731 . . . . 5  |-  ( A. t  e.  ( NN0  ^m  ( 1 ... N
) ) ( A 
||  B  <->  E. b  e.  NN0  ( ( b  x.  A )  =  B  \/  ( -u b  x.  A )  =  B ) )  <->  { t  e.  ( NN0  ^m  (
1 ... N ) )  |  A  ||  B }  =  { t  e.  ( NN0  ^m  (
1 ... N ) )  |  E. b  e. 
NN0  ( ( b  x.  A )  =  B  \/  ( -u b  x.  A )  =  B ) } )
1310, 11, 123imtr3i 256 . . . 4  |-  ( ( A. t  e.  ( NN0  ^m  ( 1 ... N ) ) A  e.  ZZ  /\  A. t  e.  ( NN0 
^m  ( 1 ... N ) ) B  e.  ZZ )  ->  { t  e.  ( NN0  ^m  ( 1 ... N ) )  |  A  ||  B }  =  { t  e.  ( NN0  ^m  (
1 ... N ) )  |  E. b  e. 
NN0  ( ( b  x.  A )  =  B  \/  ( -u b  x.  A )  =  B ) } )
141, 2, 13syl2an 463 . . 3  |-  ( ( ( t  e.  ( ZZ  ^m  ( 1 ... N ) ) 
|->  A )  e.  (mzPoly `  ( 1 ... N
) )  /\  (
t  e.  ( ZZ 
^m  ( 1 ... N ) )  |->  B )  e.  (mzPoly `  ( 1 ... N
) ) )  ->  { t  e.  ( NN0  ^m  ( 1 ... N ) )  |  A  ||  B }  =  { t  e.  ( NN0  ^m  (
1 ... N ) )  |  E. b  e. 
NN0  ( ( b  x.  A )  =  B  \/  ( -u b  x.  A )  =  B ) } )
15143adant1 973 . 2  |-  ( ( N  e.  NN0  /\  ( t  e.  ( ZZ  ^m  ( 1 ... N ) ) 
|->  A )  e.  (mzPoly `  ( 1 ... N
) )  /\  (
t  e.  ( ZZ 
^m  ( 1 ... N ) )  |->  B )  e.  (mzPoly `  ( 1 ... N
) ) )  ->  { t  e.  ( NN0  ^m  ( 1 ... N ) )  |  A  ||  B }  =  { t  e.  ( NN0  ^m  (
1 ... N ) )  |  E. b  e. 
NN0  ( ( b  x.  A )  =  B  \/  ( -u b  x.  A )  =  B ) } )
16 nfcv 2432 . . . 4  |-  F/_ t
( NN0  ^m  (
1 ... N ) )
17 nfcv 2432 . . . 4  |-  F/_ a
( NN0  ^m  (
1 ... N ) )
18 nfv 1609 . . . 4  |-  F/ a E. b  e.  NN0  ( ( b  x.  A )  =  B  \/  ( -u b  x.  A )  =  B )
19 nfcv 2432 . . . . 5  |-  F/_ t NN0
20 nfcv 2432 . . . . . . . 8  |-  F/_ t
b
21 nfcv 2432 . . . . . . . 8  |-  F/_ t  x.
22 nfcsb1v 3126 . . . . . . . 8  |-  F/_ t [_ a  /  t ]_ A
2320, 21, 22nfov 5897 . . . . . . 7  |-  F/_ t
( b  x.  [_ a  /  t ]_ A
)
24 nfcsb1v 3126 . . . . . . 7  |-  F/_ t [_ a  /  t ]_ B
2523, 24nfeq 2439 . . . . . 6  |-  F/ t ( b  x.  [_ a  /  t ]_ A
)  =  [_ a  /  t ]_ B
26 nfcv 2432 . . . . . . . 8  |-  F/_ t -u b
2726, 21, 22nfov 5897 . . . . . . 7  |-  F/_ t
( -u b  x.  [_ a  /  t ]_ A
)
2827, 24nfeq 2439 . . . . . 6  |-  F/ t ( -u b  x. 
[_ a  /  t ]_ A )  =  [_ a  /  t ]_ B
2925, 28nfor 1782 . . . . 5  |-  F/ t ( ( b  x. 
[_ a  /  t ]_ A )  =  [_ a  /  t ]_ B  \/  ( -u b  x. 
[_ a  /  t ]_ A )  =  [_ a  /  t ]_ B
)
3019, 29nfrex 2611 . . . 4  |-  F/ t E. b  e.  NN0  ( ( b  x. 
[_ a  /  t ]_ A )  =  [_ a  /  t ]_ B  \/  ( -u b  x. 
[_ a  /  t ]_ A )  =  [_ a  /  t ]_ B
)
31 csbeq1a 3102 . . . . . . . 8  |-  ( t  =  a  ->  A  =  [_ a  /  t ]_ A )
3231oveq2d 5890 . . . . . . 7  |-  ( t  =  a  ->  (
b  x.  A )  =  ( b  x. 
[_ a  /  t ]_ A ) )
33 csbeq1a 3102 . . . . . . 7  |-  ( t  =  a  ->  B  =  [_ a  /  t ]_ B )
3432, 33eqeq12d 2310 . . . . . 6  |-  ( t  =  a  ->  (
( b  x.  A
)  =  B  <->  ( b  x.  [_ a  /  t ]_ A )  =  [_ a  /  t ]_ B
) )
3531oveq2d 5890 . . . . . . 7  |-  ( t  =  a  ->  ( -u b  x.  A )  =  ( -u b  x.  [_ a  /  t ]_ A ) )
3635, 33eqeq12d 2310 . . . . . 6  |-  ( t  =  a  ->  (
( -u b  x.  A
)  =  B  <->  ( -u b  x.  [_ a  /  t ]_ A )  =  [_ a  /  t ]_ B
) )
3734, 36orbi12d 690 . . . . 5  |-  ( t  =  a  ->  (
( ( b  x.  A )  =  B  \/  ( -u b  x.  A )  =  B )  <->  ( ( b  x.  [_ a  / 
t ]_ A )  = 
[_ a  /  t ]_ B  \/  ( -u b  x.  [_ a  /  t ]_ A
)  =  [_ a  /  t ]_ B
) ) )
3837rexbidv 2577 . . . 4  |-  ( t  =  a  ->  ( E. b  e.  NN0  ( ( b  x.  A )  =  B  \/  ( -u b  x.  A )  =  B )  <->  E. b  e.  NN0  ( ( b  x. 
[_ a  /  t ]_ A )  =  [_ a  /  t ]_ B  \/  ( -u b  x. 
[_ a  /  t ]_ A )  =  [_ a  /  t ]_ B
) ) )
3916, 17, 18, 30, 38cbvrab 2799 . . 3  |-  { t  e.  ( NN0  ^m  ( 1 ... N
) )  |  E. b  e.  NN0  ( ( b  x.  A )  =  B  \/  ( -u b  x.  A )  =  B ) }  =  { a  e.  ( NN0  ^m  (
1 ... N ) )  |  E. b  e. 
NN0  ( ( b  x.  [_ a  / 
t ]_ A )  = 
[_ a  /  t ]_ B  \/  ( -u b  x.  [_ a  /  t ]_ A
)  =  [_ a  /  t ]_ B
) }
40 simp1 955 . . . 4  |-  ( ( N  e.  NN0  /\  ( t  e.  ( ZZ  ^m  ( 1 ... N ) ) 
|->  A )  e.  (mzPoly `  ( 1 ... N
) )  /\  (
t  e.  ( ZZ 
^m  ( 1 ... N ) )  |->  B )  e.  (mzPoly `  ( 1 ... N
) ) )  ->  N  e.  NN0 )
41 peano2nn0 10020 . . . . . . 7  |-  ( N  e.  NN0  ->  ( N  +  1 )  e. 
NN0 )
42413ad2ant1 976 . . . . . 6  |-  ( ( N  e.  NN0  /\  ( t  e.  ( ZZ  ^m  ( 1 ... N ) ) 
|->  A )  e.  (mzPoly `  ( 1 ... N
) )  /\  (
t  e.  ( ZZ 
^m  ( 1 ... N ) )  |->  B )  e.  (mzPoly `  ( 1 ... N
) ) )  -> 
( N  +  1 )  e.  NN0 )
43 ovex 5899 . . . . . . . . . 10  |-  ( 1 ... ( N  + 
1 ) )  e. 
_V
44 nn0p1nn 10019 . . . . . . . . . . 11  |-  ( N  e.  NN0  ->  ( N  +  1 )  e.  NN )
45 elfz1end 10836 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( N  +  1 )  e.  NN  <->  ( N  +  1 )  e.  ( 1 ... ( N  +  1 ) ) )
4644, 45sylib 188 . . . . . . . . . 10  |-  ( N  e.  NN0  ->  ( N  +  1 )  e.  ( 1 ... ( N  +  1 ) ) )
47 mzpproj 26918 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( 1 ... ( N  +  1 ) )  e.  _V  /\  ( N  +  1
)  e.  ( 1 ... ( N  + 
1 ) ) )  ->  ( c  e.  ( ZZ  ^m  (
1 ... ( N  + 
1 ) ) ) 
|->  ( c `  ( N  +  1 ) ) )  e.  (mzPoly `  ( 1 ... ( N  +  1 ) ) ) )
4843, 46, 47sylancr 644 . . . . . . . . 9  |-  ( N  e.  NN0  ->  ( c  e.  ( ZZ  ^m  ( 1 ... ( N  +  1 ) ) )  |->  ( c `
 ( N  + 
1 ) ) )  e.  (mzPoly `  (
1 ... ( N  + 
1 ) ) ) )
4948adantr 451 . . . . . . . 8  |-  ( ( N  e.  NN0  /\  ( t  e.  ( ZZ  ^m  ( 1 ... N ) ) 
|->  A )  e.  (mzPoly `  ( 1 ... N
) ) )  -> 
( c  e.  ( ZZ  ^m  ( 1 ... ( N  + 
1 ) ) ) 
|->  ( c `  ( N  +  1 ) ) )  e.  (mzPoly `  ( 1 ... ( N  +  1 ) ) ) )
50 eqid 2296 . . . . . . . . 9  |-  ( N  +  1 )  =  ( N  +  1 )
5150rabdiophlem2 26986 . . . . . . . 8  |-  ( ( N  e.  NN0  /\  ( t  e.  ( ZZ  ^m  ( 1 ... N ) ) 
|->  A )  e.  (mzPoly `  ( 1 ... N
) ) )  -> 
( c  e.  ( ZZ  ^m  ( 1 ... ( N  + 
1 ) ) ) 
|->  [_ ( c  |`  ( 1 ... N
) )  /  t ]_ A )  e.  (mzPoly `  ( 1 ... ( N  +  1 ) ) ) )
52 mzpmulmpt 26923 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( c  e.  ( ZZ  ^m  ( 1 ... ( N  + 
1 ) ) ) 
|->  ( c `  ( N  +  1 ) ) )  e.  (mzPoly `  ( 1 ... ( N  +  1 ) ) )  /\  (
c  e.  ( ZZ 
^m  ( 1 ... ( N  +  1 ) ) )  |->  [_ ( c  |`  (
1 ... N ) )  /  t ]_ A
)  e.  (mzPoly `  ( 1 ... ( N  +  1 ) ) ) )  -> 
( c  e.  ( ZZ  ^m  ( 1 ... ( N  + 
1 ) ) ) 
|->  ( ( c `  ( N  +  1
) )  x.  [_ ( c  |`  (
1 ... N ) )  /  t ]_ A
) )  e.  (mzPoly `  ( 1 ... ( N  +  1 ) ) ) )
5349, 51, 52syl2anc 642 . . . . . . 7  |-  ( ( N  e.  NN0  /\  ( t  e.  ( ZZ  ^m  ( 1 ... N ) ) 
|->  A )  e.  (mzPoly `  ( 1 ... N
) ) )  -> 
( c  e.  ( ZZ  ^m  ( 1 ... ( N  + 
1 ) ) ) 
|->  ( ( c `  ( N  +  1
) )  x.  [_ ( c  |`  (
1 ... N ) )  /  t ]_ A
) )  e.  (mzPoly `  ( 1 ... ( N  +  1 ) ) ) )
54533adant3 975 . . . . . 6  |-  ( ( N  e.  NN0  /\  ( t  e.  ( ZZ  ^m  ( 1 ... N ) ) 
|->  A )  e.  (mzPoly `  ( 1 ... N
) )  /\  (
t  e.  ( ZZ 
^m  ( 1 ... N ) )  |->  B )  e.  (mzPoly `  ( 1 ... N
) ) )  -> 
( c  e.  ( ZZ  ^m  ( 1 ... ( N  + 
1 ) ) ) 
|->  ( ( c `  ( N  +  1
) )  x.  [_ ( c  |`  (
1 ... N ) )  /  t ]_ A
) )  e.  (mzPoly `  ( 1 ... ( N  +  1 ) ) ) )
5550rabdiophlem2 26986 . . . . . . 7  |-  ( ( N  e.  NN0  /\  ( t  e.  ( ZZ  ^m  ( 1 ... N ) ) 
|->  B )  e.  (mzPoly `  ( 1 ... N
) ) )  -> 
( c  e.  ( ZZ  ^m  ( 1 ... ( N  + 
1 ) ) ) 
|->  [_ ( c  |`  ( 1 ... N
) )  /  t ]_ B )  e.  (mzPoly `  ( 1 ... ( N  +  1 ) ) ) )
56553adant2 974 . . . . . 6  |-  ( ( N  e.  NN0  /\  ( t  e.  ( ZZ  ^m  ( 1 ... N ) ) 
|->  A )  e.  (mzPoly `  ( 1 ... N
) )  /\  (
t  e.  ( ZZ 
^m  ( 1 ... N ) )  |->  B )  e.  (mzPoly `  ( 1 ... N
) ) )  -> 
( c  e.  ( ZZ  ^m  ( 1 ... ( N  + 
1 ) ) ) 
|->  [_ ( c  |`  ( 1 ... N
) )  /  t ]_ B )  e.  (mzPoly `  ( 1 ... ( N  +  1 ) ) ) )
57 eqrabdioph 26960 . . . . . 6  |-  ( ( ( N  +  1 )  e.  NN0  /\  ( c  e.  ( ZZ  ^m  ( 1 ... ( N  + 
1 ) ) ) 
|->  ( ( c `  ( N  +  1
) )  x.  [_ ( c  |`  (
1 ... N ) )  /  t ]_ A
) )  e.  (mzPoly `  ( 1 ... ( N  +  1 ) ) )  /\  (
c  e.  ( ZZ 
^m  ( 1 ... ( N  +  1 ) ) )  |->  [_ ( c  |`  (
1 ... N ) )  /  t ]_ B
)  e.  (mzPoly `  ( 1 ... ( N  +  1 ) ) ) )  ->  { c  e.  ( NN0  ^m  ( 1 ... ( N  + 
1 ) ) )  |  ( ( c `
 ( N  + 
1 ) )  x. 
[_ ( c  |`  ( 1 ... N
) )  /  t ]_ A )  =  [_ ( c  |`  (
1 ... N ) )  /  t ]_ B }  e.  (Dioph `  ( N  +  1 ) ) )
5842, 54, 56, 57syl3anc 1182 . . . . 5  |-  ( ( N  e.  NN0  /\  ( t  e.  ( ZZ  ^m  ( 1 ... N ) ) 
|->  A )  e.  (mzPoly `  ( 1 ... N
) )  /\  (
t  e.  ( ZZ 
^m  ( 1 ... N ) )  |->  B )  e.  (mzPoly `  ( 1 ... N
) ) )  ->  { c  e.  ( NN0  ^m  ( 1 ... ( N  + 
1 ) ) )  |  ( ( c `
 ( N  + 
1 ) )  x. 
[_ ( c  |`  ( 1 ... N
) )  /  t ]_ A )  =  [_ ( c  |`  (
1 ... N ) )  /  t ]_ B }  e.  (Dioph `  ( N  +  1 ) ) )
59 mzpnegmpt 26925 . . . . . . . . 9  |-  ( ( c  e.  ( ZZ 
^m  ( 1 ... ( N  +  1 ) ) )  |->  ( c `  ( N  +  1 ) ) )  e.  (mzPoly `  ( 1 ... ( N  +  1 ) ) )  ->  (
c  e.  ( ZZ 
^m  ( 1 ... ( N  +  1 ) ) )  |->  -u ( c `  ( N  +  1 ) ) )  e.  (mzPoly `  ( 1 ... ( N  +  1 ) ) ) )
6049, 59syl 15 . . . . . . . 8  |-  ( ( N  e.  NN0  /\  ( t  e.  ( ZZ  ^m  ( 1 ... N ) ) 
|->  A )  e.  (mzPoly `  ( 1 ... N
) ) )  -> 
( c  e.  ( ZZ  ^m  ( 1 ... ( N  + 
1 ) ) ) 
|->  -u ( c `  ( N  +  1
) ) )  e.  (mzPoly `  ( 1 ... ( N  +  1 ) ) ) )
61 mzpmulmpt 26923 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( c  e.  ( ZZ  ^m  ( 1 ... ( N  + 
1 ) ) ) 
|->  -u ( c `  ( N  +  1
) ) )  e.  (mzPoly `  ( 1 ... ( N  +  1 ) ) )  /\  ( c  e.  ( ZZ  ^m  ( 1 ... ( N  + 
1 ) ) ) 
|->  [_ ( c  |`  ( 1 ... N
) )  /  t ]_ A )  e.  (mzPoly `  ( 1 ... ( N  +  1 ) ) ) )  -> 
( c  e.  ( ZZ  ^m  ( 1 ... ( N  + 
1 ) ) ) 
|->  ( -u ( c `
 ( N  + 
1 ) )  x. 
[_ ( c  |`  ( 1 ... N
) )  /  t ]_ A ) )  e.  (mzPoly `  ( 1 ... ( N  +  1 ) ) ) )
6260, 51, 61syl2anc 642 . . . . . . 7  |-  ( ( N  e.  NN0  /\  ( t  e.  ( ZZ  ^m  ( 1 ... N ) ) 
|->  A )  e.  (mzPoly `  ( 1 ... N
) ) )  -> 
( c  e.  ( ZZ  ^m  ( 1 ... ( N  + 
1 ) ) ) 
|->  ( -u ( c `
 ( N  + 
1 ) )  x. 
[_ ( c  |`  ( 1 ... N
) )  /  t ]_ A ) )  e.  (mzPoly `  ( 1 ... ( N  +  1 ) ) ) )
63623adant3 975 . . . . . 6  |-  ( ( N  e.  NN0  /\  ( t  e.  ( ZZ  ^m  ( 1 ... N ) ) 
|->  A )  e.  (mzPoly `  ( 1 ... N
) )  /\  (
t  e.  ( ZZ 
^m  ( 1 ... N ) )  |->  B )  e.  (mzPoly `  ( 1 ... N
) ) )  -> 
( c  e.  ( ZZ  ^m  ( 1 ... ( N  + 
1 ) ) ) 
|->  ( -u ( c `
 ( N  + 
1 ) )  x. 
[_ ( c  |`  ( 1 ... N
) )  /  t ]_ A ) )  e.  (mzPoly `  ( 1 ... ( N  +  1 ) ) ) )
64 eqrabdioph 26960 . . . . . 6  |-  ( ( ( N  +  1 )  e.  NN0  /\  ( c  e.  ( ZZ  ^m  ( 1 ... ( N  + 
1 ) ) ) 
|->  ( -u ( c `
 ( N  + 
1 ) )  x. 
[_ ( c  |`  ( 1 ... N
) )  /  t ]_ A ) )  e.  (mzPoly `  ( 1 ... ( N  +  1 ) ) )  /\  ( c  e.  ( ZZ  ^m  ( 1 ... ( N  + 
1 ) ) ) 
|->  [_ ( c  |`  ( 1 ... N
) )  /  t ]_ B )  e.  (mzPoly `  ( 1 ... ( N  +  1 ) ) ) )  ->  { c  e.  ( NN0  ^m  ( 1 ... ( N  + 
1 ) ) )  |  ( -u (
c `  ( N  +  1 ) )  x.  [_ ( c  |`  ( 1 ... N
) )  /  t ]_ A )  =  [_ ( c  |`  (
1 ... N ) )  /  t ]_ B }  e.  (Dioph `  ( N  +  1 ) ) )
6542, 63, 56, 64syl3anc 1182 . . . . 5  |-  ( ( N  e.  NN0  /\  ( t  e.  ( ZZ  ^m  ( 1 ... N ) ) 
|->  A )  e.  (mzPoly `  ( 1 ... N
) )  /\  (
t  e.  ( ZZ 
^m  ( 1 ... N ) )  |->  B )  e.  (mzPoly `  ( 1 ... N
) ) )  ->  { c  e.  ( NN0  ^m  ( 1 ... ( N  + 
1 ) ) )  |  ( -u (
c `  ( N  +  1 ) )  x.  [_ ( c  |`  ( 1 ... N
) )  /  t ]_ A )  =  [_ ( c  |`  (
1 ... N ) )  /  t ]_ B }  e.  (Dioph `  ( N  +  1 ) ) )
66 orrabdioph 26964 . . . . 5  |-  ( ( { c  e.  ( NN0  ^m  ( 1 ... ( N  + 
1 ) ) )  |  ( ( c `
 ( N  + 
1 ) )  x. 
[_ ( c  |`  ( 1 ... N
) )  /  t ]_ A )  =  [_ ( c  |`  (
1 ... N ) )  /  t ]_ B }  e.  (Dioph `  ( N  +  1 ) )  /\  { c  e.  ( NN0  ^m  ( 1 ... ( N  +  1 ) ) )  |  (
-u ( c `  ( N  +  1
) )  x.  [_ ( c  |`  (
1 ... N ) )  /  t ]_ A
)  =  [_ (
c  |`  ( 1 ... N ) )  / 
t ]_ B }  e.  (Dioph `  ( N  + 
1 ) ) )  ->  { c  e.  ( NN0  ^m  (
1 ... ( N  + 
1 ) ) )  |  ( ( ( c `  ( N  +  1 ) )  x.  [_ ( c  |`  ( 1 ... N
) )  /  t ]_ A )  =  [_ ( c  |`  (
1 ... N ) )  /  t ]_ B  \/  ( -u ( c `
 ( N  + 
1 ) )  x. 
[_ ( c  |`  ( 1 ... N
) )  /  t ]_ A )  =  [_ ( c  |`  (
1 ... N ) )  /  t ]_ B
) }  e.  (Dioph `  ( N  +  1 ) ) )
6758, 65, 66syl2anc 642 . . . 4  |-  ( ( N  e.  NN0  /\  ( t  e.  ( ZZ  ^m  ( 1 ... N ) ) 
|->  A )  e.  (mzPoly `  ( 1 ... N
) )  /\  (
t  e.  ( ZZ 
^m  ( 1 ... N ) )  |->  B )  e.  (mzPoly `  ( 1 ... N
) ) )  ->  { c  e.  ( NN0  ^m  ( 1 ... ( N  + 
1 ) ) )  |  ( ( ( c `  ( N  +  1 ) )  x.  [_ ( c  |`  ( 1 ... N
) )  /  t ]_ A )  =  [_ ( c  |`  (
1 ... N ) )  /  t ]_ B  \/  ( -u ( c `
 ( N  + 
1 ) )  x. 
[_ ( c  |`  ( 1 ... N
) )  /  t ]_ A )  =  [_ ( c  |`  (
1 ... N ) )  /  t ]_ B
) }  e.  (Dioph `  ( N  +  1 ) ) )
68 oveq1 5881 . . . . . . 7  |-  ( b  =  ( c `  ( N  +  1
) )  ->  (
b  x.  [_ a  /  t ]_ A
)  =  ( ( c `  ( N  +  1 ) )  x.  [_ a  / 
t ]_ A ) )
6968eqeq1d 2304 . . . . . 6  |-  ( b  =  ( c `  ( N  +  1
) )  ->  (
( b  x.  [_ a  /  t ]_ A
)  =  [_ a  /  t ]_ B  <->  ( ( c `  ( N  +  1 ) )  x.  [_ a  /  t ]_ A
)  =  [_ a  /  t ]_ B
) )
70 negeq 9060 . . . . . . . 8  |-  ( b  =  ( c `  ( N  +  1
) )  ->  -u b  =  -u ( c `  ( N  +  1
) ) )
7170oveq1d 5889 . . . . . . 7  |-  ( b  =  ( c `  ( N  +  1
) )  ->  ( -u b  x.  [_ a  /  t ]_ A
)  =  ( -u ( c `  ( N  +  1 ) )  x.  [_ a  /  t ]_ A
) )
7271eqeq1d 2304 . . . . . 6  |-  ( b  =  ( c `  ( N  +  1
) )  ->  (
( -u b  x.  [_ a  /  t ]_ A
)  =  [_ a  /  t ]_ B  <->  (
-u ( c `  ( N  +  1
) )  x.  [_ a  /  t ]_ A
)  =  [_ a  /  t ]_ B
) )
7369, 72orbi12d 690 . . . . 5  |-  ( b  =  ( c `  ( N  +  1
) )  ->  (
( ( b  x. 
[_ a  /  t ]_ A )  =  [_ a  /  t ]_ B  \/  ( -u b  x. 
[_ a  /  t ]_ A )  =  [_ a  /  t ]_ B
)  <->  ( ( ( c `  ( N  +  1 ) )  x.  [_ a  / 
t ]_ A )  = 
[_ a  /  t ]_ B  \/  ( -u ( c `  ( N  +  1 ) )  x.  [_ a  /  t ]_ A
)  =  [_ a  /  t ]_ B
) ) )
74 csbeq1 3097 . . . . . . . 8  |-  ( a  =  ( c  |`  ( 1 ... N
) )  ->  [_ a  /  t ]_ A  =  [_ ( c  |`  ( 1 ... N
) )  /  t ]_ A )
7574oveq2d 5890 . . . . . . 7  |-  ( a  =  ( c  |`  ( 1 ... N
) )  ->  (
( c `  ( N  +  1 ) )  x.  [_ a  /  t ]_ A
)  =  ( ( c `  ( N  +  1 ) )  x.  [_ ( c  |`  ( 1 ... N
) )  /  t ]_ A ) )
76 csbeq1 3097 . . . . . . 7  |-  ( a  =  ( c  |`  ( 1 ... N
) )  ->  [_ a  /  t ]_ B  =  [_ ( c  |`  ( 1 ... N
) )  /  t ]_ B )
7775, 76eqeq12d 2310 . . . . . 6  |-  ( a  =  ( c  |`  ( 1 ... N
) )  ->  (
( ( c `  ( N  +  1
) )  x.  [_ a  /  t ]_ A
)  =  [_ a  /  t ]_ B  <->  ( ( c `  ( N  +  1 ) )  x.  [_ (
c  |`  ( 1 ... N ) )  / 
t ]_ A )  = 
[_ ( c  |`  ( 1 ... N
) )  /  t ]_ B ) )
7874oveq2d 5890 . . . . . . 7  |-  ( a  =  ( c  |`  ( 1 ... N
) )  ->  ( -u ( c `  ( N  +  1 ) )  x.  [_ a  /  t ]_ A
)  =  ( -u ( c `  ( N  +  1 ) )  x.  [_ (
c  |`  ( 1 ... N ) )  / 
t ]_ A ) )
7978, 76eqeq12d 2310 . . . . . 6  |-  ( a  =  ( c  |`  ( 1 ... N
) )  ->  (
( -u ( c `  ( N  +  1
) )  x.  [_ a  /  t ]_ A
)  =  [_ a  /  t ]_ B  <->  (
-u ( c `  ( N  +  1
) )  x.  [_ ( c  |`  (
1 ... N ) )  /  t ]_ A
)  =  [_ (
c  |`  ( 1 ... N ) )  / 
t ]_ B ) )
8077, 79orbi12d 690 . . . . 5  |-  ( a  =  ( c  |`  ( 1 ... N
) )  ->  (
( ( ( c `
 ( N  + 
1 ) )  x. 
[_ a  /  t ]_ A )  =  [_ a  /  t ]_ B  \/  ( -u ( c `
 ( N  + 
1 ) )  x. 
[_ a  /  t ]_ A )  =  [_ a  /  t ]_ B
)  <->  ( ( ( c `  ( N  +  1 ) )  x.  [_ ( c  |`  ( 1 ... N
) )  /  t ]_ A )  =  [_ ( c  |`  (
1 ... N ) )  /  t ]_ B  \/  ( -u ( c `
 ( N  + 
1 ) )  x. 
[_ ( c  |`  ( 1 ... N
) )  /  t ]_ A )  =  [_ ( c  |`  (
1 ... N ) )  /  t ]_ B
) ) )
8150, 73, 80rexrabdioph 26978 . . . 4  |-  ( ( N  e.  NN0  /\  { c  e.  ( NN0 
^m  ( 1 ... ( N  +  1 ) ) )  |  ( ( ( c `
 ( N  + 
1 ) )  x. 
[_ ( c  |`  ( 1 ... N
) )  /  t ]_ A )  =  [_ ( c  |`  (
1 ... N ) )  /  t ]_ B  \/  ( -u ( c `
 ( N  + 
1 ) )  x. 
[_ ( c  |`  ( 1 ... N
) )  /  t ]_ A )  =  [_ ( c  |`  (
1 ... N ) )  /  t ]_ B
) }  e.  (Dioph `  ( N  +  1 ) ) )  ->  { a  e.  ( NN0  ^m  ( 1 ... N ) )  |  E. b  e. 
NN0  ( ( b  x.  [_ a  / 
t ]_ A )  = 
[_ a  /  t ]_ B  \/  ( -u b  x.  [_ a  /  t ]_ A
)  =  [_ a  /  t ]_ B
) }  e.  (Dioph `  N ) )
8240, 67, 81syl2anc 642 . . 3  |-  ( ( N  e.  NN0  /\  ( t  e.  ( ZZ  ^m  ( 1 ... N ) ) 
|->  A )  e.  (mzPoly `  ( 1 ... N
) )  /\  (
t  e.  ( ZZ 
^m  ( 1 ... N ) )  |->  B )  e.  (mzPoly `  ( 1 ... N
) ) )  ->  { a  e.  ( NN0  ^m  ( 1 ... N ) )  |  E. b  e. 
NN0  ( ( b  x.  [_ a  / 
t ]_ A )  = 
[_ a  /  t ]_ B  \/  ( -u b  x.  [_ a  /  t ]_ A
)  =  [_ a  /  t ]_ B
) }  e.  (Dioph `  N ) )
8339, 82syl5eqel 2380 . 2  |-  ( ( N  e.  NN0  /\  ( t  e.  ( ZZ  ^m  ( 1 ... N ) ) 
|->  A )  e.  (mzPoly `  ( 1 ... N
) )  /\  (
t  e.  ( ZZ 
^m  ( 1 ... N ) )  |->  B )  e.  (mzPoly `  ( 1 ... N
) ) )  ->  { t  e.  ( NN0  ^m  ( 1 ... N ) )  |  E. b  e. 
NN0  ( ( b  x.  A )  =  B  \/  ( -u b  x.  A )  =  B ) }  e.  (Dioph `  N ) )
8415, 83eqeltrd 2370 1  |-  ( ( N  e.  NN0  /\  ( t  e.  ( ZZ  ^m  ( 1 ... N ) ) 
|->  A )  e.  (mzPoly `  ( 1 ... N
) )  /\  (
t  e.  ( ZZ 
^m  ( 1 ... N ) )  |->  B )  e.  (mzPoly `  ( 1 ... N
) ) )  ->  { t  e.  ( NN0  ^m  ( 1 ... N ) )  |  A  ||  B }  e.  (Dioph `  N
) )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    <-> wb 176    \/ wo 357    /\ wa 358    /\ w3a 934    = wceq 1632    e. wcel 1696   A.wral 2556   E.wrex 2557   {crab 2560   _Vcvv 2801   [_csb 3094   class class class wbr 4039    e. cmpt 4093    |` cres 4707   ` cfv 5271  (class class class)co 5874    ^m cmap 6788   1c1 8754    + caddc 8756    x. cmul 8758   -ucneg 9054   NNcn 9762   NN0cn0 9981   ZZcz 10040   ...cfz 10798    || cdivides 12547  mzPolycmzp 26903  Diophcdioph 26937
This theorem is referenced by:  rmydioph  27210  expdiophlem2  27218
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1536  ax-5 1547  ax-17 1606  ax-9 1644  ax-8 1661  ax-13 1698  ax-14 1700  ax-6 1715  ax-7 1720  ax-11 1727  ax-12 1878  ax-ext 2277  ax-rep 4147  ax-sep 4157  ax-nul 4165  ax-pow 4204  ax-pr 4230  ax-un 4528  ax-inf2 7358  ax-cnex 8809  ax-resscn 8810  ax-1cn 8811  ax-icn 8812  ax-addcl 8813  ax-addrcl 8814  ax-mulcl 8815  ax-mulrcl 8816  ax-mulcom 8817  ax-addass 8818  ax-mulass 8819  ax-distr 8820  ax-i2m1 8821  ax-1ne0 8822  ax-1rid 8823  ax-rnegex 8824  ax-rrecex 8825  ax-cnre 8826  ax-pre-lttri 8827  ax-pre-lttrn 8828  ax-pre-ltadd 8829  ax-pre-mulgt0 8830
This theorem depends on definitions:  df-bi 177  df-or 359  df-an 360  df-3or 935  df-3an 936  df-tru 1310  df-ex 1532  df-nf 1535  df-sb 1639  df-eu 2160  df-mo 2161  df-clab 2283  df-cleq 2289  df-clel 2292  df-nfc 2421  df-ne 2461  df-nel 2462  df-ral 2561  df-rex 2562  df-reu 2563  df-rmo 2564  df-rab 2565  df-v 2803  df-sbc 3005  df-csb 3095  df-dif 3168  df-un 3170  df-in 3172  df-ss 3179  df-pss 3181  df-nul 3469  df-if 3579  df-pw 3640  df-sn 3659  df-pr 3660  df-tp 3661  df-op 3662  df-uni 3844  df-int 3879  df-iun 3923  df-br 4040  df-opab 4094  df-mpt 4095  df-tr 4130  df-eprel 4321  df-id 4325  df-po 4330  df-so 4331  df-fr 4368  df-we 4370  df-ord 4411  df-on 4412  df-lim 4413  df-suc 4414  df-om 4673  df-xp 4711  df-rel 4712  df-cnv 4713  df-co 4714  df-dm 4715  df-rn 4716  df-res 4717  df-ima 4718  df-iota 5235  df-fun 5273  df-fn 5274  df-f 5275  df-f1 5276  df-fo 5277  df-f1o 5278  df-fv 5279  df-ov 5877  df-oprab 5878  df-mpt2 5879  df-of 6094  df-1st 6138  df-2nd 6139  df-riota 6320  df-recs 6404  df-rdg 6439  df-1o 6495  df-oadd 6499  df-er 6676  df-map 6790  df-en 6880  df-dom 6881  df-sdom 6882  df-fin 6883  df-card 7588  df-cda 7810  df-pnf 8885  df-mnf 8886  df-xr 8887  df-ltxr 8888  df-le 8889  df-sub 9055  df-neg 9056  df-nn 9763  df-n0 9982  df-z 10041  df-uz 10247  df-fz 10799  df-hash 11354  df-dvds 12548  df-mzpcl 26904  df-mzp 26905  df-dioph 26938
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