MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  dvdsrmul Unicode version

Theorem dvdsrmul 15430
Description: A left-multiple of  X is divisible by  X. (Contributed by Mario Carneiro, 1-Dec-2014.)
Hypotheses
Ref Expression
dvdsr.1  |-  B  =  ( Base `  R
)
dvdsr.2  |-  .||  =  (
||r `  R )
dvdsr.3  |-  .x.  =  ( .r `  R )
Assertion
Ref Expression
dvdsrmul  |-  ( ( X  e.  B  /\  Y  e.  B )  ->  X  .||  ( Y  .x.  X ) )

Proof of Theorem dvdsrmul
Dummy variable  z is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 simpl 443 . 2  |-  ( ( X  e.  B  /\  Y  e.  B )  ->  X  e.  B )
2 simpr 447 . . 3  |-  ( ( X  e.  B  /\  Y  e.  B )  ->  Y  e.  B )
3 eqid 2283 . . 3  |-  ( Y 
.x.  X )  =  ( Y  .x.  X
)
4 oveq1 5865 . . . . 5  |-  ( z  =  Y  ->  (
z  .x.  X )  =  ( Y  .x.  X ) )
54eqeq1d 2291 . . . 4  |-  ( z  =  Y  ->  (
( z  .x.  X
)  =  ( Y 
.x.  X )  <->  ( Y  .x.  X )  =  ( Y  .x.  X ) ) )
65rspcev 2884 . . 3  |-  ( ( Y  e.  B  /\  ( Y  .x.  X )  =  ( Y  .x.  X ) )  ->  E. z  e.  B  ( z  .x.  X
)  =  ( Y 
.x.  X ) )
72, 3, 6sylancl 643 . 2  |-  ( ( X  e.  B  /\  Y  e.  B )  ->  E. z  e.  B  ( z  .x.  X
)  =  ( Y 
.x.  X ) )
8 dvdsr.1 . . 3  |-  B  =  ( Base `  R
)
9 dvdsr.2 . . 3  |-  .||  =  (
||r `  R )
10 dvdsr.3 . . 3  |-  .x.  =  ( .r `  R )
118, 9, 10dvdsr 15428 . 2  |-  ( X 
.||  ( Y  .x.  X )  <->  ( X  e.  B  /\  E. z  e.  B  ( z  .x.  X )  =  ( Y  .x.  X ) ) )
121, 7, 11sylanbrc 645 1  |-  ( ( X  e.  B  /\  Y  e.  B )  ->  X  .||  ( Y  .x.  X ) )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    /\ wa 358    = wceq 1623    e. wcel 1684   E.wrex 2544   class class class wbr 4023   ` cfv 5255  (class class class)co 5858   Basecbs 13148   .rcmulr 13209   ||rcdsr 15420
This theorem is referenced by:  dvdsrid  15433  dvdsrtr  15434  dvdsrmul1  15435  dvdsrneg  15436  unitmulclb  15447  unitgrp  15449  isdrng2  15522  subrguss  15560  subrgunit  15563  fidomndrnglem  16047  dvdsq1p  19546
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1533  ax-5 1544  ax-17 1603  ax-9 1635  ax-8 1643  ax-13 1686  ax-14 1688  ax-6 1703  ax-7 1708  ax-11 1715  ax-12 1866  ax-ext 2264  ax-rep 4131  ax-sep 4141  ax-nul 4149  ax-pow 4188  ax-pr 4214  ax-un 4512
This theorem depends on definitions:  df-bi 177  df-or 359  df-an 360  df-3an 936  df-tru 1310  df-ex 1529  df-nf 1532  df-sb 1630  df-eu 2147  df-mo 2148  df-clab 2270  df-cleq 2276  df-clel 2279  df-nfc 2408  df-ne 2448  df-ral 2548  df-rex 2549  df-reu 2550  df-rab 2552  df-v 2790  df-sbc 2992  df-csb 3082  df-dif 3155  df-un 3157  df-in 3159  df-ss 3166  df-nul 3456  df-if 3566  df-pw 3627  df-sn 3646  df-pr 3647  df-op 3649  df-uni 3828  df-iun 3907  df-br 4024  df-opab 4078  df-mpt 4079  df-id 4309  df-xp 4695  df-rel 4696  df-cnv 4697  df-co 4698  df-dm 4699  df-rn 4700  df-res 4701  df-ima 4702  df-iota 5219  df-fun 5257  df-fn 5258  df-f 5259  df-f1 5260  df-fo 5261  df-f1o 5262  df-fv 5263  df-ov 5861  df-dvdsr 15423
  Copyright terms: Public domain W3C validator