MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  dvdsrmul1 Unicode version

Theorem dvdsrmul1 15678
Description: The divisibility relation is preserved under right-multiplication. (Contributed by Mario Carneiro, 1-Dec-2014.)
Hypotheses
Ref Expression
dvdsr.1  |-  B  =  ( Base `  R
)
dvdsr.2  |-  .||  =  (
||r `  R )
dvdsrmul1.3  |-  .x.  =  ( .r `  R )
Assertion
Ref Expression
dvdsrmul1  |-  ( ( R  e.  Ring  /\  Z  e.  B  /\  X  .||  Y )  ->  ( X  .x.  Z )  .||  ( Y  .x.  Z ) )

Proof of Theorem dvdsrmul1
Dummy variable  x is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 dvdsr.1 . . . 4  |-  B  =  ( Base `  R
)
2 dvdsr.2 . . . 4  |-  .||  =  (
||r `  R )
3 dvdsrmul1.3 . . . 4  |-  .x.  =  ( .r `  R )
41, 2, 3dvdsr 15671 . . 3  |-  ( X 
.||  Y  <->  ( X  e.  B  /\  E. x  e.  B  ( x  .x.  X )  =  Y ) )
5 simplll 735 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ( R  e. 
Ring  /\  Z  e.  B
)  /\  X  e.  B )  /\  x  e.  B )  ->  R  e.  Ring )
6 simplr 732 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ( R  e. 
Ring  /\  Z  e.  B
)  /\  X  e.  B )  /\  x  e.  B )  ->  X  e.  B )
7 simpllr 736 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ( R  e. 
Ring  /\  Z  e.  B
)  /\  X  e.  B )  /\  x  e.  B )  ->  Z  e.  B )
81, 3rngcl 15597 . . . . . . . . 9  |-  ( ( R  e.  Ring  /\  X  e.  B  /\  Z  e.  B )  ->  ( X  .x.  Z )  e.  B )
95, 6, 7, 8syl3anc 1184 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ( R  e. 
Ring  /\  Z  e.  B
)  /\  X  e.  B )  /\  x  e.  B )  ->  ( X  .x.  Z )  e.  B )
101, 2, 3dvdsrmul 15673 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( X  .x.  Z
)  e.  B  /\  x  e.  B )  ->  ( X  .x.  Z
)  .||  ( x  .x.  ( X  .x.  Z ) ) )
119, 10sylancom 649 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ( R  e. 
Ring  /\  Z  e.  B
)  /\  X  e.  B )  /\  x  e.  B )  ->  ( X  .x.  Z )  .||  ( x  .x.  ( X 
.x.  Z ) ) )
12 simpr 448 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ( R  e. 
Ring  /\  Z  e.  B
)  /\  X  e.  B )  /\  x  e.  B )  ->  x  e.  B )
131, 3rngass 15600 . . . . . . . 8  |-  ( ( R  e.  Ring  /\  (
x  e.  B  /\  X  e.  B  /\  Z  e.  B )
)  ->  ( (
x  .x.  X )  .x.  Z )  =  ( x  .x.  ( X 
.x.  Z ) ) )
145, 12, 6, 7, 13syl13anc 1186 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ( R  e. 
Ring  /\  Z  e.  B
)  /\  X  e.  B )  /\  x  e.  B )  ->  (
( x  .x.  X
)  .x.  Z )  =  ( x  .x.  ( X  .x.  Z ) ) )
1511, 14breqtrrd 4172 . . . . . 6  |-  ( ( ( ( R  e. 
Ring  /\  Z  e.  B
)  /\  X  e.  B )  /\  x  e.  B )  ->  ( X  .x.  Z )  .||  ( ( x  .x.  X )  .x.  Z
) )
16 oveq1 6020 . . . . . . 7  |-  ( ( x  .x.  X )  =  Y  ->  (
( x  .x.  X
)  .x.  Z )  =  ( Y  .x.  Z ) )
1716breq2d 4158 . . . . . 6  |-  ( ( x  .x.  X )  =  Y  ->  (
( X  .x.  Z
)  .||  ( ( x 
.x.  X )  .x.  Z )  <->  ( X  .x.  Z )  .||  ( Y 
.x.  Z ) ) )
1815, 17syl5ibcom 212 . . . . 5  |-  ( ( ( ( R  e. 
Ring  /\  Z  e.  B
)  /\  X  e.  B )  /\  x  e.  B )  ->  (
( x  .x.  X
)  =  Y  -> 
( X  .x.  Z
)  .||  ( Y  .x.  Z ) ) )
1918rexlimdva 2766 . . . 4  |-  ( ( ( R  e.  Ring  /\  Z  e.  B )  /\  X  e.  B
)  ->  ( E. x  e.  B  (
x  .x.  X )  =  Y  ->  ( X 
.x.  Z )  .||  ( Y  .x.  Z ) ) )
2019expimpd 587 . . 3  |-  ( ( R  e.  Ring  /\  Z  e.  B )  ->  (
( X  e.  B  /\  E. x  e.  B  ( x  .x.  X )  =  Y )  -> 
( X  .x.  Z
)  .||  ( Y  .x.  Z ) ) )
214, 20syl5bi 209 . 2  |-  ( ( R  e.  Ring  /\  Z  e.  B )  ->  ( X  .||  Y  ->  ( X  .x.  Z )  .||  ( Y  .x.  Z ) ) )
22213impia 1150 1  |-  ( ( R  e.  Ring  /\  Z  e.  B  /\  X  .||  Y )  ->  ( X  .x.  Z )  .||  ( Y  .x.  Z ) )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    /\ wa 359    /\ w3a 936    = wceq 1649    e. wcel 1717   E.wrex 2643   class class class wbr 4146   ` cfv 5387  (class class class)co 6013   Basecbs 13389   .rcmulr 13450   Ringcrg 15580   ||rcdsr 15663
This theorem is referenced by:  unitmulcl  15689
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1552  ax-5 1563  ax-17 1623  ax-9 1661  ax-8 1682  ax-13 1719  ax-14 1721  ax-6 1736  ax-7 1741  ax-11 1753  ax-12 1939  ax-ext 2361  ax-rep 4254  ax-sep 4264  ax-nul 4272  ax-pow 4311  ax-pr 4337  ax-un 4634  ax-cnex 8972  ax-resscn 8973  ax-1cn 8974  ax-icn 8975  ax-addcl 8976  ax-addrcl 8977  ax-mulcl 8978  ax-mulrcl 8979  ax-mulcom 8980  ax-addass 8981  ax-mulass 8982  ax-distr 8983  ax-i2m1 8984  ax-1ne0 8985  ax-1rid 8986  ax-rnegex 8987  ax-rrecex 8988  ax-cnre 8989  ax-pre-lttri 8990  ax-pre-lttrn 8991  ax-pre-ltadd 8992  ax-pre-mulgt0 8993
This theorem depends on definitions:  df-bi 178  df-or 360  df-an 361  df-3or 937  df-3an 938  df-tru 1325  df-ex 1548  df-nf 1551  df-sb 1656  df-eu 2235  df-mo 2236  df-clab 2367  df-cleq 2373  df-clel 2376  df-nfc 2505  df-ne 2545  df-nel 2546  df-ral 2647  df-rex 2648  df-reu 2649  df-rab 2651  df-v 2894  df-sbc 3098  df-csb 3188  df-dif 3259  df-un 3261  df-in 3263  df-ss 3270  df-pss 3272  df-nul 3565  df-if 3676  df-pw 3737  df-sn 3756  df-pr 3757  df-tp 3758  df-op 3759  df-uni 3951  df-iun 4030  df-br 4147  df-opab 4201  df-mpt 4202  df-tr 4237  df-eprel 4428  df-id 4432  df-po 4437  df-so 4438  df-fr 4475  df-we 4477  df-ord 4518  df-on 4519  df-lim 4520  df-suc 4521  df-om 4779  df-xp 4817  df-rel 4818  df-cnv 4819  df-co 4820  df-dm 4821  df-rn 4822  df-res 4823  df-ima 4824  df-iota 5351  df-fun 5389  df-fn 5390  df-f 5391  df-f1 5392  df-fo 5393  df-f1o 5394  df-fv 5395  df-ov 6016  df-oprab 6017  df-mpt2 6018  df-riota 6478  df-recs 6562  df-rdg 6597  df-er 6834  df-en 7039  df-dom 7040  df-sdom 7041  df-pnf 9048  df-mnf 9049  df-xr 9050  df-ltxr 9051  df-le 9052  df-sub 9218  df-neg 9219  df-nn 9926  df-2 9983  df-ndx 13392  df-slot 13393  df-base 13394  df-sets 13395  df-plusg 13462  df-mnd 14610  df-mgp 15569  df-rng 15583  df-dvdsr 15666
  Copyright terms: Public domain W3C validator