MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  dvdsrneg Unicode version

Theorem dvdsrneg 15718
Description: An element divides its negative. (Contributed by Mario Carneiro, 1-Dec-2014.)
Hypotheses
Ref Expression
dvdsr.1  |-  B  =  ( Base `  R
)
dvdsr.2  |-  .||  =  (
||r `  R )
dvdsrneg.5  |-  N  =  ( inv g `  R )
Assertion
Ref Expression
dvdsrneg  |-  ( ( R  e.  Ring  /\  X  e.  B )  ->  X  .||  ( N `  X
) )

Proof of Theorem dvdsrneg
StepHypRef Expression
1 id 20 . . 3  |-  ( X  e.  B  ->  X  e.  B )
2 rnggrp 15628 . . . 4  |-  ( R  e.  Ring  ->  R  e. 
Grp )
3 dvdsr.1 . . . . 5  |-  B  =  ( Base `  R
)
4 eqid 2408 . . . . 5  |-  ( 1r
`  R )  =  ( 1r `  R
)
53, 4rngidcl 15643 . . . 4  |-  ( R  e.  Ring  ->  ( 1r
`  R )  e.  B )
6 dvdsrneg.5 . . . . 5  |-  N  =  ( inv g `  R )
73, 6grpinvcl 14809 . . . 4  |-  ( ( R  e.  Grp  /\  ( 1r `  R )  e.  B )  -> 
( N `  ( 1r `  R ) )  e.  B )
82, 5, 7syl2anc 643 . . 3  |-  ( R  e.  Ring  ->  ( N `
 ( 1r `  R ) )  e.  B )
9 dvdsr.2 . . . 4  |-  .||  =  (
||r `  R )
10 eqid 2408 . . . 4  |-  ( .r
`  R )  =  ( .r `  R
)
113, 9, 10dvdsrmul 15712 . . 3  |-  ( ( X  e.  B  /\  ( N `  ( 1r
`  R ) )  e.  B )  ->  X  .||  ( ( N `
 ( 1r `  R ) ) ( .r `  R ) X ) )
121, 8, 11syl2anr 465 . 2  |-  ( ( R  e.  Ring  /\  X  e.  B )  ->  X  .||  ( ( N `  ( 1r `  R ) ) ( .r `  R ) X ) )
13 simpl 444 . . 3  |-  ( ( R  e.  Ring  /\  X  e.  B )  ->  R  e.  Ring )
14 simpr 448 . . 3  |-  ( ( R  e.  Ring  /\  X  e.  B )  ->  X  e.  B )
153, 10, 4, 6, 13, 14rngnegl 15662 . 2  |-  ( ( R  e.  Ring  /\  X  e.  B )  ->  (
( N `  ( 1r `  R ) ) ( .r `  R
) X )  =  ( N `  X
) )
1612, 15breqtrd 4200 1  |-  ( ( R  e.  Ring  /\  X  e.  B )  ->  X  .||  ( N `  X
) )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    /\ wa 359    = wceq 1649    e. wcel 1721   class class class wbr 4176   ` cfv 5417  (class class class)co 6044   Basecbs 13428   .rcmulr 13489   Grpcgrp 14644   inv gcminusg 14645   Ringcrg 15619   1rcur 15621   ||rcdsr 15702
This theorem is referenced by:  unitnegcl  15745
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1552  ax-5 1563  ax-17 1623  ax-9 1662  ax-8 1683  ax-13 1723  ax-14 1725  ax-6 1740  ax-7 1745  ax-11 1757  ax-12 1946  ax-ext 2389  ax-rep 4284  ax-sep 4294  ax-nul 4302  ax-pow 4341  ax-pr 4367  ax-un 4664  ax-cnex 9006  ax-resscn 9007  ax-1cn 9008  ax-icn 9009  ax-addcl 9010  ax-addrcl 9011  ax-mulcl 9012  ax-mulrcl 9013  ax-mulcom 9014  ax-addass 9015  ax-mulass 9016  ax-distr 9017  ax-i2m1 9018  ax-1ne0 9019  ax-1rid 9020  ax-rnegex 9021  ax-rrecex 9022  ax-cnre 9023  ax-pre-lttri 9024  ax-pre-lttrn 9025  ax-pre-ltadd 9026  ax-pre-mulgt0 9027
This theorem depends on definitions:  df-bi 178  df-or 360  df-an 361  df-3or 937  df-3an 938  df-tru 1325  df-ex 1548  df-nf 1551  df-sb 1656  df-eu 2262  df-mo 2263  df-clab 2395  df-cleq 2401  df-clel 2404  df-nfc 2533  df-ne 2573  df-nel 2574  df-ral 2675  df-rex 2676  df-reu 2677  df-rmo 2678  df-rab 2679  df-v 2922  df-sbc 3126  df-csb 3216  df-dif 3287  df-un 3289  df-in 3291  df-ss 3298  df-pss 3300  df-nul 3593  df-if 3704  df-pw 3765  df-sn 3784  df-pr 3785  df-tp 3786  df-op 3787  df-uni 3980  df-iun 4059  df-br 4177  df-opab 4231  df-mpt 4232  df-tr 4267  df-eprel 4458  df-id 4462  df-po 4467  df-so 4468  df-fr 4505  df-we 4507  df-ord 4548  df-on 4549  df-lim 4550  df-suc 4551  df-om 4809  df-xp 4847  df-rel 4848  df-cnv 4849  df-co 4850  df-dm 4851  df-rn 4852  df-res 4853  df-ima 4854  df-iota 5381  df-fun 5419  df-fn 5420  df-f 5421  df-f1 5422  df-fo 5423  df-f1o 5424  df-fv 5425  df-ov 6047  df-oprab 6048  df-mpt2 6049  df-riota 6512  df-recs 6596  df-rdg 6631  df-er 6868  df-en 7073  df-dom 7074  df-sdom 7075  df-pnf 9082  df-mnf 9083  df-xr 9084  df-ltxr 9085  df-le 9086  df-sub 9253  df-neg 9254  df-nn 9961  df-2 10018  df-ndx 13431  df-slot 13432  df-base 13433  df-sets 13434  df-plusg 13501  df-0g 13686  df-mnd 14649  df-grp 14771  df-minusg 14772  df-mgp 15608  df-rng 15622  df-ur 15624  df-dvdsr 15705
  Copyright terms: Public domain W3C validator