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Theorem dvdsrtr 15434
Description: Divisibility is transitive. (Contributed by Mario Carneiro, 1-Dec-2014.)
Hypotheses
Ref Expression
dvdsr.1  |-  B  =  ( Base `  R
)
dvdsr.2  |-  .||  =  (
||r `  R )
Assertion
Ref Expression
dvdsrtr  |-  ( ( R  e.  Ring  /\  Y  .|| 
Z  /\  Z  .||  X )  ->  Y  .||  X )

Proof of Theorem dvdsrtr
Dummy variables  x  y are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 dvdsr.1 . . . . . 6  |-  B  =  ( Base `  R
)
2 dvdsr.2 . . . . . 6  |-  .||  =  (
||r `  R )
3 eqid 2283 . . . . . 6  |-  ( .r
`  R )  =  ( .r `  R
)
41, 2, 3dvdsr 15428 . . . . 5  |-  ( Y 
.||  Z  <->  ( Y  e.  B  /\  E. y  e.  B  ( y
( .r `  R
) Y )  =  Z ) )
51, 2, 3dvdsr 15428 . . . . 5  |-  ( Z 
.||  X  <->  ( Z  e.  B  /\  E. x  e.  B  ( x
( .r `  R
) Z )  =  X ) )
64, 5anbi12i 678 . . . 4  |-  ( ( Y  .||  Z  /\  Z  .||  X )  <->  ( ( Y  e.  B  /\  E. y  e.  B  ( y ( .r `  R ) Y )  =  Z )  /\  ( Z  e.  B  /\  E. x  e.  B  ( x ( .r
`  R ) Z )  =  X ) ) )
7 an4 797 . . . 4  |-  ( ( ( Y  e.  B  /\  E. y  e.  B  ( y ( .r
`  R ) Y )  =  Z )  /\  ( Z  e.  B  /\  E. x  e.  B  ( x
( .r `  R
) Z )  =  X ) )  <->  ( ( Y  e.  B  /\  Z  e.  B )  /\  ( E. y  e.  B  ( y ( .r `  R ) Y )  =  Z  /\  E. x  e.  B  ( x ( .r `  R ) Z )  =  X ) ) )
86, 7bitri 240 . . 3  |-  ( ( Y  .||  Z  /\  Z  .||  X )  <->  ( ( Y  e.  B  /\  Z  e.  B )  /\  ( E. y  e.  B  ( y ( .r `  R ) Y )  =  Z  /\  E. x  e.  B  ( x ( .r `  R ) Z )  =  X ) ) )
9 reeanv 2707 . . . . 5  |-  ( E. y  e.  B  E. x  e.  B  (
( y ( .r
`  R ) Y )  =  Z  /\  ( x ( .r
`  R ) Z )  =  X )  <-> 
( E. y  e.  B  ( y ( .r `  R ) Y )  =  Z  /\  E. x  e.  B  ( x ( .r `  R ) Z )  =  X ) )
10 simplrl 736 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( R  e.  Ring  /\  ( Y  e.  B  /\  Z  e.  B
) )  /\  (
y  e.  B  /\  x  e.  B )
)  ->  Y  e.  B )
11 simpll 730 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( R  e.  Ring  /\  ( Y  e.  B  /\  Z  e.  B
) )  /\  (
y  e.  B  /\  x  e.  B )
)  ->  R  e.  Ring )
12 simprr 733 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( R  e.  Ring  /\  ( Y  e.  B  /\  Z  e.  B
) )  /\  (
y  e.  B  /\  x  e.  B )
)  ->  x  e.  B )
13 simprl 732 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( R  e.  Ring  /\  ( Y  e.  B  /\  Z  e.  B
) )  /\  (
y  e.  B  /\  x  e.  B )
)  ->  y  e.  B )
141, 3rngcl 15354 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( R  e.  Ring  /\  x  e.  B  /\  y  e.  B )  ->  (
x ( .r `  R ) y )  e.  B )
1511, 12, 13, 14syl3anc 1182 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( R  e.  Ring  /\  ( Y  e.  B  /\  Z  e.  B
) )  /\  (
y  e.  B  /\  x  e.  B )
)  ->  ( x
( .r `  R
) y )  e.  B )
161, 2, 3dvdsrmul 15430 . . . . . . . . 9  |-  ( ( Y  e.  B  /\  ( x ( .r
`  R ) y )  e.  B )  ->  Y  .||  ( ( x ( .r `  R ) y ) ( .r `  R
) Y ) )
1710, 15, 16syl2anc 642 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( R  e.  Ring  /\  ( Y  e.  B  /\  Z  e.  B
) )  /\  (
y  e.  B  /\  x  e.  B )
)  ->  Y  .||  ( ( x ( .r `  R ) y ) ( .r `  R
) Y ) )
181, 3rngass 15357 . . . . . . . . 9  |-  ( ( R  e.  Ring  /\  (
x  e.  B  /\  y  e.  B  /\  Y  e.  B )
)  ->  ( (
x ( .r `  R ) y ) ( .r `  R
) Y )  =  ( x ( .r
`  R ) ( y ( .r `  R ) Y ) ) )
1911, 12, 13, 10, 18syl13anc 1184 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( R  e.  Ring  /\  ( Y  e.  B  /\  Z  e.  B
) )  /\  (
y  e.  B  /\  x  e.  B )
)  ->  ( (
x ( .r `  R ) y ) ( .r `  R
) Y )  =  ( x ( .r
`  R ) ( y ( .r `  R ) Y ) ) )
2017, 19breqtrd 4047 . . . . . . 7  |-  ( ( ( R  e.  Ring  /\  ( Y  e.  B  /\  Z  e.  B
) )  /\  (
y  e.  B  /\  x  e.  B )
)  ->  Y  .||  ( x ( .r `  R
) ( y ( .r `  R ) Y ) ) )
21 oveq2 5866 . . . . . . . . 9  |-  ( ( y ( .r `  R ) Y )  =  Z  ->  (
x ( .r `  R ) ( y ( .r `  R
) Y ) )  =  ( x ( .r `  R ) Z ) )
22 id 19 . . . . . . . . 9  |-  ( ( x ( .r `  R ) Z )  =  X  ->  (
x ( .r `  R ) Z )  =  X )
2321, 22sylan9eq 2335 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( y ( .r
`  R ) Y )  =  Z  /\  ( x ( .r
`  R ) Z )  =  X )  ->  ( x ( .r `  R ) ( y ( .r
`  R ) Y ) )  =  X )
2423breq2d 4035 . . . . . . 7  |-  ( ( ( y ( .r
`  R ) Y )  =  Z  /\  ( x ( .r
`  R ) Z )  =  X )  ->  ( Y  .||  ( x ( .r
`  R ) ( y ( .r `  R ) Y ) )  <->  Y  .||  X ) )
2520, 24syl5ibcom 211 . . . . . 6  |-  ( ( ( R  e.  Ring  /\  ( Y  e.  B  /\  Z  e.  B
) )  /\  (
y  e.  B  /\  x  e.  B )
)  ->  ( (
( y ( .r
`  R ) Y )  =  Z  /\  ( x ( .r
`  R ) Z )  =  X )  ->  Y  .||  X ) )
2625rexlimdvva 2674 . . . . 5  |-  ( ( R  e.  Ring  /\  ( Y  e.  B  /\  Z  e.  B )
)  ->  ( E. y  e.  B  E. x  e.  B  (
( y ( .r
`  R ) Y )  =  Z  /\  ( x ( .r
`  R ) Z )  =  X )  ->  Y  .||  X ) )
279, 26syl5bir 209 . . . 4  |-  ( ( R  e.  Ring  /\  ( Y  e.  B  /\  Z  e.  B )
)  ->  ( ( E. y  e.  B  ( y ( .r
`  R ) Y )  =  Z  /\  E. x  e.  B  ( x ( .r `  R ) Z )  =  X )  ->  Y  .||  X ) )
2827expimpd 586 . . 3  |-  ( R  e.  Ring  ->  ( ( ( Y  e.  B  /\  Z  e.  B
)  /\  ( E. y  e.  B  (
y ( .r `  R ) Y )  =  Z  /\  E. x  e.  B  (
x ( .r `  R ) Z )  =  X ) )  ->  Y  .||  X ) )
298, 28syl5bi 208 . 2  |-  ( R  e.  Ring  ->  ( ( Y  .||  Z  /\  Z  .||  X )  ->  Y  .||  X ) )
30293impib 1149 1  |-  ( ( R  e.  Ring  /\  Y  .|| 
Z  /\  Z  .||  X )  ->  Y  .||  X )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    /\ wa 358    /\ w3a 934    = wceq 1623    e. wcel 1684   E.wrex 2544   class class class wbr 4023   ` cfv 5255  (class class class)co 5858   Basecbs 13148   .rcmulr 13209   Ringcrg 15337   ||rcdsr 15420
This theorem is referenced by:  dvdsunit  15445  unitmulcl  15446  unitnegcl  15463
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1533  ax-5 1544  ax-17 1603  ax-9 1635  ax-8 1643  ax-13 1686  ax-14 1688  ax-6 1703  ax-7 1708  ax-11 1715  ax-12 1866  ax-ext 2264  ax-rep 4131  ax-sep 4141  ax-nul 4149  ax-pow 4188  ax-pr 4214  ax-un 4512  ax-cnex 8793  ax-resscn 8794  ax-1cn 8795  ax-icn 8796  ax-addcl 8797  ax-addrcl 8798  ax-mulcl 8799  ax-mulrcl 8800  ax-mulcom 8801  ax-addass 8802  ax-mulass 8803  ax-distr 8804  ax-i2m1 8805  ax-1ne0 8806  ax-1rid 8807  ax-rnegex 8808  ax-rrecex 8809  ax-cnre 8810  ax-pre-lttri 8811  ax-pre-lttrn 8812  ax-pre-ltadd 8813  ax-pre-mulgt0 8814
This theorem depends on definitions:  df-bi 177  df-or 359  df-an 360  df-3or 935  df-3an 936  df-tru 1310  df-ex 1529  df-nf 1532  df-sb 1630  df-eu 2147  df-mo 2148  df-clab 2270  df-cleq 2276  df-clel 2279  df-nfc 2408  df-ne 2448  df-nel 2449  df-ral 2548  df-rex 2549  df-reu 2550  df-rab 2552  df-v 2790  df-sbc 2992  df-csb 3082  df-dif 3155  df-un 3157  df-in 3159  df-ss 3166  df-pss 3168  df-nul 3456  df-if 3566  df-pw 3627  df-sn 3646  df-pr 3647  df-tp 3648  df-op 3649  df-uni 3828  df-iun 3907  df-br 4024  df-opab 4078  df-mpt 4079  df-tr 4114  df-eprel 4305  df-id 4309  df-po 4314  df-so 4315  df-fr 4352  df-we 4354  df-ord 4395  df-on 4396  df-lim 4397  df-suc 4398  df-om 4657  df-xp 4695  df-rel 4696  df-cnv 4697  df-co 4698  df-dm 4699  df-rn 4700  df-res 4701  df-ima 4702  df-iota 5219  df-fun 5257  df-fn 5258  df-f 5259  df-f1 5260  df-fo 5261  df-f1o 5262  df-fv 5263  df-ov 5861  df-oprab 5862  df-mpt2 5863  df-riota 6304  df-recs 6388  df-rdg 6423  df-er 6660  df-en 6864  df-dom 6865  df-sdom 6866  df-pnf 8869  df-mnf 8870  df-xr 8871  df-ltxr 8872  df-le 8873  df-sub 9039  df-neg 9040  df-nn 9747  df-2 9804  df-ndx 13151  df-slot 13152  df-base 13153  df-sets 13154  df-plusg 13221  df-mnd 14367  df-mgp 15326  df-rng 15340  df-dvdsr 15423
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