Metamath Proof Explorer < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  dvdsrval Structured version   Unicode version

Theorem dvdsrval 15750
 Description: Value of the divides relation. (Contributed by Mario Carneiro, 1-Dec-2014.) (Revised by Mario Carneiro, 6-Jan-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
dvdsr.1
dvdsr.2 r
dvdsr.3
Assertion
Ref Expression
dvdsrval
Distinct variable groups:   ,,   ,,,   ,,,   , ,,
Allowed substitution hint:   ()

Proof of Theorem dvdsrval
Dummy variable is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 dvdsr.2 . . 3 r
2 fveq2 5728 . . . . . . . . 9
3 dvdsr.1 . . . . . . . . 9
42, 3syl6eqr 2486 . . . . . . . 8
54eleq2d 2503 . . . . . . 7
64rexeqdv 2911 . . . . . . 7
75, 6anbi12d 692 . . . . . 6
8 fveq2 5728 . . . . . . . . . . 11
9 dvdsr.3 . . . . . . . . . . 11
108, 9syl6eqr 2486 . . . . . . . . . 10
1110oveqd 6098 . . . . . . . . 9
1211eqeq1d 2444 . . . . . . . 8
1312rexbidv 2726 . . . . . . 7
1413anbi2d 685 . . . . . 6
157, 14bitrd 245 . . . . 5
1615opabbidv 4271 . . . 4
17 df-dvdsr 15746 . . . 4 r
18 fvex 5742 . . . . . 6
193, 18eqeltri 2506 . . . . 5
20 eqcom 2438 . . . . . . . . 9
2120rexbii 2730 . . . . . . . 8
2221abbii 2548 . . . . . . 7
2319abrexex 5983 . . . . . . 7
2422, 23eqeltri 2506 . . . . . 6
2524a1i 11 . . . . 5
2619, 25opabex3 5990 . . . 4
2716, 17, 26fvmpt 5806 . . 3 r
281, 27syl5eq 2480 . 2
29 fvprc 5722 . . . 4 r
301, 29syl5eq 2480 . . 3
31 opabn0 4485 . . . . 5
32 n0i 3633 . . . . . . . 8
33 fvprc 5722 . . . . . . . . 9
343, 33syl5eq 2480 . . . . . . . 8
3532, 34nsyl2 121 . . . . . . 7
3635adantr 452 . . . . . 6
3736exlimivv 1645 . . . . 5
3831, 37sylbi 188 . . . 4
3938necon1bi 2647 . . 3
4030, 39eqtr4d 2471 . 2
4128, 40pm2.61i 158 1
 Colors of variables: wff set class Syntax hints:   wn 3   wa 359  wex 1550   wceq 1652   wcel 1725  cab 2422   wne 2599  wrex 2706  cvv 2956  c0 3628  copab 4265  cfv 5454  (class class class)co 6081  cbs 13469  cmulr 13530  rcdsr 15743 This theorem is referenced by:  dvdsr  15751  dvdsrpropd  15801  dvdsrz  16767 This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1555  ax-5 1566  ax-17 1626  ax-9 1666  ax-8 1687  ax-13 1727  ax-14 1729  ax-6 1744  ax-7 1749  ax-11 1761  ax-12 1950  ax-ext 2417  ax-rep 4320  ax-sep 4330  ax-nul 4338  ax-pow 4377  ax-pr 4403  ax-un 4701 This theorem depends on definitions:  df-bi 178  df-or 360  df-an 361  df-3an 938  df-tru 1328  df-ex 1551  df-nf 1554  df-sb 1659  df-eu 2285  df-mo 2286  df-clab 2423  df-cleq 2429  df-clel 2432  df-nfc 2561  df-ne 2601  df-ral 2710  df-rex 2711  df-reu 2712  df-rab 2714  df-v 2958  df-sbc 3162  df-csb 3252  df-dif 3323  df-un 3325  df-in 3327  df-ss 3334  df-nul 3629  df-if 3740  df-pw 3801  df-sn 3820  df-pr 3821  df-op 3823  df-uni 4016  df-iun 4095  df-br 4213  df-opab 4267  df-mpt 4268  df-id 4498  df-xp 4884  df-rel 4885  df-cnv 4886  df-co 4887  df-dm 4888  df-rn 4889  df-res 4890  df-ima 4891  df-iota 5418  df-fun 5456  df-fn 5457  df-f 5458  df-f1 5459  df-fo 5460  df-f1o 5461  df-fv 5462  df-ov 6084  df-dvdsr 15746
 Copyright terms: Public domain W3C validator