MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  dvdsrz Unicode version

Theorem dvdsrz 16456
Description: Ring divisibility in  ZZ corresponds to ordinary divisibility. (Contributed by Stefan O'Rear, 3-Jan-2015.)
Hypothesis
Ref Expression
dvdsrz.z  |-  Z  =  (flds  ZZ )
Assertion
Ref Expression
dvdsrz  |-  ||  =  ( ||r `
 Z )

Proof of Theorem dvdsrz
Dummy variables  x  y  z are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 simpl 443 . . . . 5  |-  ( ( x  e.  ZZ  /\  y  e.  ZZ )  ->  x  e.  ZZ )
21anim1i 551 . . . 4  |-  ( ( ( x  e.  ZZ  /\  y  e.  ZZ )  /\  E. z  e.  ZZ  ( z  x.  x )  =  y )  ->  ( x  e.  ZZ  /\  E. z  e.  ZZ  ( z  x.  x )  =  y ) )
3 simpl 443 . . . . 5  |-  ( ( x  e.  ZZ  /\  E. z  e.  ZZ  (
z  x.  x )  =  y )  ->  x  e.  ZZ )
4 zmulcl 10082 . . . . . . . . 9  |-  ( ( z  e.  ZZ  /\  x  e.  ZZ )  ->  ( z  x.  x
)  e.  ZZ )
54ancoms 439 . . . . . . . 8  |-  ( ( x  e.  ZZ  /\  z  e.  ZZ )  ->  ( z  x.  x
)  e.  ZZ )
6 eleq1 2356 . . . . . . . 8  |-  ( ( z  x.  x )  =  y  ->  (
( z  x.  x
)  e.  ZZ  <->  y  e.  ZZ ) )
75, 6syl5ibcom 211 . . . . . . 7  |-  ( ( x  e.  ZZ  /\  z  e.  ZZ )  ->  ( ( z  x.  x )  =  y  ->  y  e.  ZZ ) )
87rexlimdva 2680 . . . . . 6  |-  ( x  e.  ZZ  ->  ( E. z  e.  ZZ  ( z  x.  x
)  =  y  -> 
y  e.  ZZ ) )
98imp 418 . . . . 5  |-  ( ( x  e.  ZZ  /\  E. z  e.  ZZ  (
z  x.  x )  =  y )  -> 
y  e.  ZZ )
10 simpr 447 . . . . 5  |-  ( ( x  e.  ZZ  /\  E. z  e.  ZZ  (
z  x.  x )  =  y )  ->  E. z  e.  ZZ  ( z  x.  x
)  =  y )
113, 9, 10jca31 520 . . . 4  |-  ( ( x  e.  ZZ  /\  E. z  e.  ZZ  (
z  x.  x )  =  y )  -> 
( ( x  e.  ZZ  /\  y  e.  ZZ )  /\  E. z  e.  ZZ  (
z  x.  x )  =  y ) )
122, 11impbii 180 . . 3  |-  ( ( ( x  e.  ZZ  /\  y  e.  ZZ )  /\  E. z  e.  ZZ  ( z  x.  x )  =  y )  <->  ( x  e.  ZZ  /\  E. z  e.  ZZ  ( z  x.  x )  =  y ) )
1312opabbii 4099 . 2  |-  { <. x ,  y >.  |  ( ( x  e.  ZZ  /\  y  e.  ZZ )  /\  E. z  e.  ZZ  ( z  x.  x )  =  y ) }  =  { <. x ,  y >.  |  ( x  e.  ZZ  /\  E. z  e.  ZZ  ( z  x.  x )  =  y ) }
14 df-dvds 12548 . 2  |-  ||  =  { <. x ,  y
>.  |  ( (
x  e.  ZZ  /\  y  e.  ZZ )  /\  E. z  e.  ZZ  ( z  x.  x
)  =  y ) }
15 zsscn 10048 . . . 4  |-  ZZ  C_  CC
16 dvdsrz.z . . . . 5  |-  Z  =  (flds  ZZ )
17 cnfldbas 16399 . . . . 5  |-  CC  =  ( Base ` fld )
1816, 17ressbas2 13215 . . . 4  |-  ( ZZ  C_  CC  ->  ZZ  =  ( Base `  Z )
)
1915, 18ax-mp 8 . . 3  |-  ZZ  =  ( Base `  Z )
20 eqid 2296 . . 3  |-  ( ||r `  Z
)  =  ( ||r `  Z
)
21 zex 10049 . . . 4  |-  ZZ  e.  _V
22 cnfldmul 16401 . . . . 5  |-  x.  =  ( .r ` fld )
2316, 22ressmulr 13277 . . . 4  |-  ( ZZ  e.  _V  ->  x.  =  ( .r `  Z ) )
2421, 23ax-mp 8 . . 3  |-  x.  =  ( .r `  Z )
2519, 20, 24dvdsrval 15443 . 2  |-  ( ||r `  Z
)  =  { <. x ,  y >.  |  ( x  e.  ZZ  /\  E. z  e.  ZZ  (
z  x.  x )  =  y ) }
2613, 14, 253eqtr4i 2326 1  |-  ||  =  ( ||r `
 Z )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    /\ wa 358    = wceq 1632    e. wcel 1696   E.wrex 2557   _Vcvv 2801    C_ wss 3165   {copab 4092   ` cfv 5271  (class class class)co 5874   CCcc 8751    x. cmul 8758   ZZcz 10040    || cdivides 12547   Basecbs 13164   ↾s cress 13165   .rcmulr 13225   ||rcdsr 15436  ℂfldccnfld 16393
This theorem is referenced by:  zlpir  16460  zndvds  16519
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1536  ax-5 1547  ax-17 1606  ax-9 1644  ax-8 1661  ax-13 1698  ax-14 1700  ax-6 1715  ax-7 1720  ax-11 1727  ax-12 1878  ax-ext 2277  ax-rep 4147  ax-sep 4157  ax-nul 4165  ax-pow 4204  ax-pr 4230  ax-un 4528  ax-cnex 8809  ax-resscn 8810  ax-1cn 8811  ax-icn 8812  ax-addcl 8813  ax-addrcl 8814  ax-mulcl 8815  ax-mulrcl 8816  ax-mulcom 8817  ax-addass 8818  ax-mulass 8819  ax-distr 8820  ax-i2m1 8821  ax-1ne0 8822  ax-1rid 8823  ax-rnegex 8824  ax-rrecex 8825  ax-cnre 8826  ax-pre-lttri 8827  ax-pre-lttrn 8828  ax-pre-ltadd 8829  ax-pre-mulgt0 8830  ax-mulf 8833
This theorem depends on definitions:  df-bi 177  df-or 359  df-an 360  df-3or 935  df-3an 936  df-tru 1310  df-ex 1532  df-nf 1535  df-sb 1639  df-eu 2160  df-mo 2161  df-clab 2283  df-cleq 2289  df-clel 2292  df-nfc 2421  df-ne 2461  df-nel 2462  df-ral 2561  df-rex 2562  df-reu 2563  df-rab 2565  df-v 2803  df-sbc 3005  df-csb 3095  df-dif 3168  df-un 3170  df-in 3172  df-ss 3179  df-pss 3181  df-nul 3469  df-if 3579  df-pw 3640  df-sn 3659  df-pr 3660  df-tp 3661  df-op 3662  df-uni 3844  df-int 3879  df-iun 3923  df-br 4040  df-opab 4094  df-mpt 4095  df-tr 4130  df-eprel 4321  df-id 4325  df-po 4330  df-so 4331  df-fr 4368  df-we 4370  df-ord 4411  df-on 4412  df-lim 4413  df-suc 4414  df-om 4673  df-xp 4711  df-rel 4712  df-cnv 4713  df-co 4714  df-dm 4715  df-rn 4716  df-res 4717  df-ima 4718  df-iota 5235  df-fun 5273  df-fn 5274  df-f 5275  df-f1 5276  df-fo 5277  df-f1o 5278  df-fv 5279  df-ov 5877  df-oprab 5878  df-mpt2 5879  df-1st 6138  df-2nd 6139  df-riota 6320  df-recs 6404  df-rdg 6439  df-1o 6495  df-oadd 6499  df-er 6676  df-en 6880  df-dom 6881  df-sdom 6882  df-fin 6883  df-pnf 8885  df-mnf 8886  df-xr 8887  df-ltxr 8888  df-le 8889  df-sub 9055  df-neg 9056  df-nn 9763  df-2 9820  df-3 9821  df-4 9822  df-5 9823  df-6 9824  df-7 9825  df-8 9826  df-9 9827  df-10 9828  df-n0 9982  df-z 10041  df-dec 10141  df-uz 10247  df-fz 10799  df-dvds 12548  df-struct 13166  df-ndx 13167  df-slot 13168  df-base 13169  df-sets 13170  df-ress 13171  df-plusg 13237  df-mulr 13238  df-starv 13239  df-tset 13243  df-ple 13244  df-ds 13246  df-dvdsr 15439  df-cnfld 16394
  Copyright terms: Public domain W3C validator