MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  dvdsrz Unicode version

Theorem dvdsrz 16683
Description: Ring divisibility in  ZZ corresponds to ordinary divisibility. (Contributed by Stefan O'Rear, 3-Jan-2015.)
Hypothesis
Ref Expression
dvdsrz.z  |-  Z  =  (flds  ZZ )
Assertion
Ref Expression
dvdsrz  |-  ||  =  ( ||r `
 Z )

Proof of Theorem dvdsrz
Dummy variables  x  y  z are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 simpl 444 . . . . 5  |-  ( ( x  e.  ZZ  /\  y  e.  ZZ )  ->  x  e.  ZZ )
21anim1i 552 . . . 4  |-  ( ( ( x  e.  ZZ  /\  y  e.  ZZ )  /\  E. z  e.  ZZ  ( z  x.  x )  =  y )  ->  ( x  e.  ZZ  /\  E. z  e.  ZZ  ( z  x.  x )  =  y ) )
3 simpl 444 . . . . 5  |-  ( ( x  e.  ZZ  /\  E. z  e.  ZZ  (
z  x.  x )  =  y )  ->  x  e.  ZZ )
4 zmulcl 10249 . . . . . . . . 9  |-  ( ( z  e.  ZZ  /\  x  e.  ZZ )  ->  ( z  x.  x
)  e.  ZZ )
54ancoms 440 . . . . . . . 8  |-  ( ( x  e.  ZZ  /\  z  e.  ZZ )  ->  ( z  x.  x
)  e.  ZZ )
6 eleq1 2440 . . . . . . . 8  |-  ( ( z  x.  x )  =  y  ->  (
( z  x.  x
)  e.  ZZ  <->  y  e.  ZZ ) )
75, 6syl5ibcom 212 . . . . . . 7  |-  ( ( x  e.  ZZ  /\  z  e.  ZZ )  ->  ( ( z  x.  x )  =  y  ->  y  e.  ZZ ) )
87rexlimdva 2766 . . . . . 6  |-  ( x  e.  ZZ  ->  ( E. z  e.  ZZ  ( z  x.  x
)  =  y  -> 
y  e.  ZZ ) )
98imp 419 . . . . 5  |-  ( ( x  e.  ZZ  /\  E. z  e.  ZZ  (
z  x.  x )  =  y )  -> 
y  e.  ZZ )
10 simpr 448 . . . . 5  |-  ( ( x  e.  ZZ  /\  E. z  e.  ZZ  (
z  x.  x )  =  y )  ->  E. z  e.  ZZ  ( z  x.  x
)  =  y )
113, 9, 10jca31 521 . . . 4  |-  ( ( x  e.  ZZ  /\  E. z  e.  ZZ  (
z  x.  x )  =  y )  -> 
( ( x  e.  ZZ  /\  y  e.  ZZ )  /\  E. z  e.  ZZ  (
z  x.  x )  =  y ) )
122, 11impbii 181 . . 3  |-  ( ( ( x  e.  ZZ  /\  y  e.  ZZ )  /\  E. z  e.  ZZ  ( z  x.  x )  =  y )  <->  ( x  e.  ZZ  /\  E. z  e.  ZZ  ( z  x.  x )  =  y ) )
1312opabbii 4206 . 2  |-  { <. x ,  y >.  |  ( ( x  e.  ZZ  /\  y  e.  ZZ )  /\  E. z  e.  ZZ  ( z  x.  x )  =  y ) }  =  { <. x ,  y >.  |  ( x  e.  ZZ  /\  E. z  e.  ZZ  ( z  x.  x )  =  y ) }
14 df-dvds 12773 . 2  |-  ||  =  { <. x ,  y
>.  |  ( (
x  e.  ZZ  /\  y  e.  ZZ )  /\  E. z  e.  ZZ  ( z  x.  x
)  =  y ) }
15 zsscn 10215 . . . 4  |-  ZZ  C_  CC
16 dvdsrz.z . . . . 5  |-  Z  =  (flds  ZZ )
17 cnfldbas 16623 . . . . 5  |-  CC  =  ( Base ` fld )
1816, 17ressbas2 13440 . . . 4  |-  ( ZZ  C_  CC  ->  ZZ  =  ( Base `  Z )
)
1915, 18ax-mp 8 . . 3  |-  ZZ  =  ( Base `  Z )
20 eqid 2380 . . 3  |-  ( ||r `  Z
)  =  ( ||r `  Z
)
21 zex 10216 . . . 4  |-  ZZ  e.  _V
22 cnfldmul 16625 . . . . 5  |-  x.  =  ( .r ` fld )
2316, 22ressmulr 13502 . . . 4  |-  ( ZZ  e.  _V  ->  x.  =  ( .r `  Z ) )
2421, 23ax-mp 8 . . 3  |-  x.  =  ( .r `  Z )
2519, 20, 24dvdsrval 15670 . 2  |-  ( ||r `  Z
)  =  { <. x ,  y >.  |  ( x  e.  ZZ  /\  E. z  e.  ZZ  (
z  x.  x )  =  y ) }
2613, 14, 253eqtr4i 2410 1  |-  ||  =  ( ||r `
 Z )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    /\ wa 359    = wceq 1649    e. wcel 1717   E.wrex 2643   _Vcvv 2892    C_ wss 3256   {copab 4199   ` cfv 5387  (class class class)co 6013   CCcc 8914    x. cmul 8921   ZZcz 10207    || cdivides 12772   Basecbs 13389   ↾s cress 13390   .rcmulr 13450   ||rcdsr 15663  ℂfldccnfld 16619
This theorem is referenced by:  zlpir  16687  zndvds  16746
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1552  ax-5 1563  ax-17 1623  ax-9 1661  ax-8 1682  ax-13 1719  ax-14 1721  ax-6 1736  ax-7 1741  ax-11 1753  ax-12 1939  ax-ext 2361  ax-rep 4254  ax-sep 4264  ax-nul 4272  ax-pow 4311  ax-pr 4337  ax-un 4634  ax-cnex 8972  ax-resscn 8973  ax-1cn 8974  ax-icn 8975  ax-addcl 8976  ax-addrcl 8977  ax-mulcl 8978  ax-mulrcl 8979  ax-mulcom 8980  ax-addass 8981  ax-mulass 8982  ax-distr 8983  ax-i2m1 8984  ax-1ne0 8985  ax-1rid 8986  ax-rnegex 8987  ax-rrecex 8988  ax-cnre 8989  ax-pre-lttri 8990  ax-pre-lttrn 8991  ax-pre-ltadd 8992  ax-pre-mulgt0 8993  ax-mulf 8996
This theorem depends on definitions:  df-bi 178  df-or 360  df-an 361  df-3or 937  df-3an 938  df-tru 1325  df-ex 1548  df-nf 1551  df-sb 1656  df-eu 2235  df-mo 2236  df-clab 2367  df-cleq 2373  df-clel 2376  df-nfc 2505  df-ne 2545  df-nel 2546  df-ral 2647  df-rex 2648  df-reu 2649  df-rab 2651  df-v 2894  df-sbc 3098  df-csb 3188  df-dif 3259  df-un 3261  df-in 3263  df-ss 3270  df-pss 3272  df-nul 3565  df-if 3676  df-pw 3737  df-sn 3756  df-pr 3757  df-tp 3758  df-op 3759  df-uni 3951  df-int 3986  df-iun 4030  df-br 4147  df-opab 4201  df-mpt 4202  df-tr 4237  df-eprel 4428  df-id 4432  df-po 4437  df-so 4438  df-fr 4475  df-we 4477  df-ord 4518  df-on 4519  df-lim 4520  df-suc 4521  df-om 4779  df-xp 4817  df-rel 4818  df-cnv 4819  df-co 4820  df-dm 4821  df-rn 4822  df-res 4823  df-ima 4824  df-iota 5351  df-fun 5389  df-fn 5390  df-f 5391  df-f1 5392  df-fo 5393  df-f1o 5394  df-fv 5395  df-ov 6016  df-oprab 6017  df-mpt2 6018  df-1st 6281  df-2nd 6282  df-riota 6478  df-recs 6562  df-rdg 6597  df-1o 6653  df-oadd 6657  df-er 6834  df-en 7039  df-dom 7040  df-sdom 7041  df-fin 7042  df-pnf 9048  df-mnf 9049  df-xr 9050  df-ltxr 9051  df-le 9052  df-sub 9218  df-neg 9219  df-nn 9926  df-2 9983  df-3 9984  df-4 9985  df-5 9986  df-6 9987  df-7 9988  df-8 9989  df-9 9990  df-10 9991  df-n0 10147  df-z 10208  df-dec 10308  df-uz 10414  df-fz 10969  df-dvds 12773  df-struct 13391  df-ndx 13392  df-slot 13393  df-base 13394  df-sets 13395  df-ress 13396  df-plusg 13462  df-mulr 13463  df-starv 13464  df-tset 13468  df-ple 13469  df-ds 13471  df-unif 13472  df-dvdsr 15666  df-cnfld 16620
  Copyright terms: Public domain W3C validator