MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  dvdsrz Structured version   Unicode version

Theorem dvdsrz 16759
Description: Ring divisibility in  ZZ corresponds to ordinary divisibility. (Contributed by Stefan O'Rear, 3-Jan-2015.)
Hypothesis
Ref Expression
dvdsrz.z  |-  Z  =  (flds  ZZ )
Assertion
Ref Expression
dvdsrz  |-  ||  =  ( ||r `
 Z )

Proof of Theorem dvdsrz
Dummy variables  x  y  z are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 simpl 444 . . . . 5  |-  ( ( x  e.  ZZ  /\  y  e.  ZZ )  ->  x  e.  ZZ )
21anim1i 552 . . . 4  |-  ( ( ( x  e.  ZZ  /\  y  e.  ZZ )  /\  E. z  e.  ZZ  ( z  x.  x )  =  y )  ->  ( x  e.  ZZ  /\  E. z  e.  ZZ  ( z  x.  x )  =  y ) )
3 simpl 444 . . . . 5  |-  ( ( x  e.  ZZ  /\  E. z  e.  ZZ  (
z  x.  x )  =  y )  ->  x  e.  ZZ )
4 zmulcl 10316 . . . . . . . . 9  |-  ( ( z  e.  ZZ  /\  x  e.  ZZ )  ->  ( z  x.  x
)  e.  ZZ )
54ancoms 440 . . . . . . . 8  |-  ( ( x  e.  ZZ  /\  z  e.  ZZ )  ->  ( z  x.  x
)  e.  ZZ )
6 eleq1 2495 . . . . . . . 8  |-  ( ( z  x.  x )  =  y  ->  (
( z  x.  x
)  e.  ZZ  <->  y  e.  ZZ ) )
75, 6syl5ibcom 212 . . . . . . 7  |-  ( ( x  e.  ZZ  /\  z  e.  ZZ )  ->  ( ( z  x.  x )  =  y  ->  y  e.  ZZ ) )
87rexlimdva 2822 . . . . . 6  |-  ( x  e.  ZZ  ->  ( E. z  e.  ZZ  ( z  x.  x
)  =  y  -> 
y  e.  ZZ ) )
98imp 419 . . . . 5  |-  ( ( x  e.  ZZ  /\  E. z  e.  ZZ  (
z  x.  x )  =  y )  -> 
y  e.  ZZ )
10 simpr 448 . . . . 5  |-  ( ( x  e.  ZZ  /\  E. z  e.  ZZ  (
z  x.  x )  =  y )  ->  E. z  e.  ZZ  ( z  x.  x
)  =  y )
113, 9, 10jca31 521 . . . 4  |-  ( ( x  e.  ZZ  /\  E. z  e.  ZZ  (
z  x.  x )  =  y )  -> 
( ( x  e.  ZZ  /\  y  e.  ZZ )  /\  E. z  e.  ZZ  (
z  x.  x )  =  y ) )
122, 11impbii 181 . . 3  |-  ( ( ( x  e.  ZZ  /\  y  e.  ZZ )  /\  E. z  e.  ZZ  ( z  x.  x )  =  y )  <->  ( x  e.  ZZ  /\  E. z  e.  ZZ  ( z  x.  x )  =  y ) )
1312opabbii 4264 . 2  |-  { <. x ,  y >.  |  ( ( x  e.  ZZ  /\  y  e.  ZZ )  /\  E. z  e.  ZZ  ( z  x.  x )  =  y ) }  =  { <. x ,  y >.  |  ( x  e.  ZZ  /\  E. z  e.  ZZ  ( z  x.  x )  =  y ) }
14 df-dvds 12845 . 2  |-  ||  =  { <. x ,  y
>.  |  ( (
x  e.  ZZ  /\  y  e.  ZZ )  /\  E. z  e.  ZZ  ( z  x.  x
)  =  y ) }
15 zsscn 10282 . . . 4  |-  ZZ  C_  CC
16 dvdsrz.z . . . . 5  |-  Z  =  (flds  ZZ )
17 cnfldbas 16699 . . . . 5  |-  CC  =  ( Base ` fld )
1816, 17ressbas2 13512 . . . 4  |-  ( ZZ  C_  CC  ->  ZZ  =  ( Base `  Z )
)
1915, 18ax-mp 8 . . 3  |-  ZZ  =  ( Base `  Z )
20 eqid 2435 . . 3  |-  ( ||r `  Z
)  =  ( ||r `  Z
)
21 zex 10283 . . . 4  |-  ZZ  e.  _V
22 cnfldmul 16701 . . . . 5  |-  x.  =  ( .r ` fld )
2316, 22ressmulr 13574 . . . 4  |-  ( ZZ  e.  _V  ->  x.  =  ( .r `  Z ) )
2421, 23ax-mp 8 . . 3  |-  x.  =  ( .r `  Z )
2519, 20, 24dvdsrval 15742 . 2  |-  ( ||r `  Z
)  =  { <. x ,  y >.  |  ( x  e.  ZZ  /\  E. z  e.  ZZ  (
z  x.  x )  =  y ) }
2613, 14, 253eqtr4i 2465 1  |-  ||  =  ( ||r `
 Z )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    /\ wa 359    = wceq 1652    e. wcel 1725   E.wrex 2698   _Vcvv 2948    C_ wss 3312   {copab 4257   ` cfv 5446  (class class class)co 6073   CCcc 8980    x. cmul 8987   ZZcz 10274    || cdivides 12844   Basecbs 13461   ↾s cress 13462   .rcmulr 13522   ||rcdsr 15735  ℂfldccnfld 16695
This theorem is referenced by:  zlpir  16763  zndvds  16822
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1555  ax-5 1566  ax-17 1626  ax-9 1666  ax-8 1687  ax-13 1727  ax-14 1729  ax-6 1744  ax-7 1749  ax-11 1761  ax-12 1950  ax-ext 2416  ax-rep 4312  ax-sep 4322  ax-nul 4330  ax-pow 4369  ax-pr 4395  ax-un 4693  ax-cnex 9038  ax-resscn 9039  ax-1cn 9040  ax-icn 9041  ax-addcl 9042  ax-addrcl 9043  ax-mulcl 9044  ax-mulrcl 9045  ax-mulcom 9046  ax-addass 9047  ax-mulass 9048  ax-distr 9049  ax-i2m1 9050  ax-1ne0 9051  ax-1rid 9052  ax-rnegex 9053  ax-rrecex 9054  ax-cnre 9055  ax-pre-lttri 9056  ax-pre-lttrn 9057  ax-pre-ltadd 9058  ax-pre-mulgt0 9059  ax-mulf 9062
This theorem depends on definitions:  df-bi 178  df-or 360  df-an 361  df-3or 937  df-3an 938  df-tru 1328  df-ex 1551  df-nf 1554  df-sb 1659  df-eu 2284  df-mo 2285  df-clab 2422  df-cleq 2428  df-clel 2431  df-nfc 2560  df-ne 2600  df-nel 2601  df-ral 2702  df-rex 2703  df-reu 2704  df-rab 2706  df-v 2950  df-sbc 3154  df-csb 3244  df-dif 3315  df-un 3317  df-in 3319  df-ss 3326  df-pss 3328  df-nul 3621  df-if 3732  df-pw 3793  df-sn 3812  df-pr 3813  df-tp 3814  df-op 3815  df-uni 4008  df-int 4043  df-iun 4087  df-br 4205  df-opab 4259  df-mpt 4260  df-tr 4295  df-eprel 4486  df-id 4490  df-po 4495  df-so 4496  df-fr 4533  df-we 4535  df-ord 4576  df-on 4577  df-lim 4578  df-suc 4579  df-om 4838  df-xp 4876  df-rel 4877  df-cnv 4878  df-co 4879  df-dm 4880  df-rn 4881  df-res 4882  df-ima 4883  df-iota 5410  df-fun 5448  df-fn 5449  df-f 5450  df-f1 5451  df-fo 5452  df-f1o 5453  df-fv 5454  df-ov 6076  df-oprab 6077  df-mpt2 6078  df-1st 6341  df-2nd 6342  df-riota 6541  df-recs 6625  df-rdg 6660  df-1o 6716  df-oadd 6720  df-er 6897  df-en 7102  df-dom 7103  df-sdom 7104  df-fin 7105  df-pnf 9114  df-mnf 9115  df-xr 9116  df-ltxr 9117  df-le 9118  df-sub 9285  df-neg 9286  df-nn 9993  df-2 10050  df-3 10051  df-4 10052  df-5 10053  df-6 10054  df-7 10055  df-8 10056  df-9 10057  df-10 10058  df-n0 10214  df-z 10275  df-dec 10375  df-uz 10481  df-fz 11036  df-dvds 12845  df-struct 13463  df-ndx 13464  df-slot 13465  df-base 13466  df-sets 13467  df-ress 13468  df-plusg 13534  df-mulr 13535  df-starv 13536  df-tset 13540  df-ple 13541  df-ds 13543  df-unif 13544  df-dvdsr 15738  df-cnfld 16696
  Copyright terms: Public domain W3C validator