MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  dvdssqim Structured version   Unicode version

Theorem dvdssqim 13053
Description: Unidirectional form of dvdssq 13060. (Contributed by Scott Fenton, 19-Apr-2014.)
Assertion
Ref Expression
dvdssqim  |-  ( ( M  e.  ZZ  /\  N  e.  ZZ )  ->  ( M  ||  N  ->  ( M ^ 2 )  ||  ( N ^ 2 ) ) )

Proof of Theorem dvdssqim
Dummy variable  k is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 divides 12854 . 2  |-  ( ( M  e.  ZZ  /\  N  e.  ZZ )  ->  ( M  ||  N  <->  E. k  e.  ZZ  (
k  x.  M )  =  N ) )
2 zsqcl 11452 . . . . . . 7  |-  ( k  e.  ZZ  ->  (
k ^ 2 )  e.  ZZ )
3 zsqcl 11452 . . . . . . 7  |-  ( M  e.  ZZ  ->  ( M ^ 2 )  e.  ZZ )
4 dvdsmul2 12872 . . . . . . 7  |-  ( ( ( k ^ 2 )  e.  ZZ  /\  ( M ^ 2 )  e.  ZZ )  -> 
( M ^ 2 )  ||  ( ( k ^ 2 )  x.  ( M ^
2 ) ) )
52, 3, 4syl2anr 465 . . . . . 6  |-  ( ( M  e.  ZZ  /\  k  e.  ZZ )  ->  ( M ^ 2 )  ||  ( ( k ^ 2 )  x.  ( M ^
2 ) ) )
6 zcn 10287 . . . . . . 7  |-  ( k  e.  ZZ  ->  k  e.  CC )
7 zcn 10287 . . . . . . 7  |-  ( M  e.  ZZ  ->  M  e.  CC )
8 sqmul 11445 . . . . . . 7  |-  ( ( k  e.  CC  /\  M  e.  CC )  ->  ( ( k  x.  M ) ^ 2 )  =  ( ( k ^ 2 )  x.  ( M ^
2 ) ) )
96, 7, 8syl2anr 465 . . . . . 6  |-  ( ( M  e.  ZZ  /\  k  e.  ZZ )  ->  ( ( k  x.  M ) ^ 2 )  =  ( ( k ^ 2 )  x.  ( M ^
2 ) ) )
105, 9breqtrrd 4238 . . . . 5  |-  ( ( M  e.  ZZ  /\  k  e.  ZZ )  ->  ( M ^ 2 )  ||  ( ( k  x.  M ) ^ 2 ) )
11 oveq1 6088 . . . . . 6  |-  ( ( k  x.  M )  =  N  ->  (
( k  x.  M
) ^ 2 )  =  ( N ^
2 ) )
1211breq2d 4224 . . . . 5  |-  ( ( k  x.  M )  =  N  ->  (
( M ^ 2 )  ||  ( ( k  x.  M ) ^ 2 )  <->  ( M ^ 2 )  ||  ( N ^ 2 ) ) )
1310, 12syl5ibcom 212 . . . 4  |-  ( ( M  e.  ZZ  /\  k  e.  ZZ )  ->  ( ( k  x.  M )  =  N  ->  ( M ^
2 )  ||  ( N ^ 2 ) ) )
1413rexlimdva 2830 . . 3  |-  ( M  e.  ZZ  ->  ( E. k  e.  ZZ  ( k  x.  M
)  =  N  -> 
( M ^ 2 )  ||  ( N ^ 2 ) ) )
1514adantr 452 . 2  |-  ( ( M  e.  ZZ  /\  N  e.  ZZ )  ->  ( E. k  e.  ZZ  ( k  x.  M )  =  N  ->  ( M ^
2 )  ||  ( N ^ 2 ) ) )
161, 15sylbid 207 1  |-  ( ( M  e.  ZZ  /\  N  e.  ZZ )  ->  ( M  ||  N  ->  ( M ^ 2 )  ||  ( N ^ 2 ) ) )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    /\ wa 359    = wceq 1652    e. wcel 1725   E.wrex 2706   class class class wbr 4212  (class class class)co 6081   CCcc 8988    x. cmul 8995   2c2 10049   ZZcz 10282   ^cexp 11382    || cdivides 12852
This theorem is referenced by:  sqgcd  13058  dvdssqlem  13059
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1555  ax-5 1566  ax-17 1626  ax-9 1666  ax-8 1687  ax-13 1727  ax-14 1729  ax-6 1744  ax-7 1749  ax-11 1761  ax-12 1950  ax-ext 2417  ax-sep 4330  ax-nul 4338  ax-pow 4377  ax-pr 4403  ax-un 4701  ax-cnex 9046  ax-resscn 9047  ax-1cn 9048  ax-icn 9049  ax-addcl 9050  ax-addrcl 9051  ax-mulcl 9052  ax-mulrcl 9053  ax-mulcom 9054  ax-addass 9055  ax-mulass 9056  ax-distr 9057  ax-i2m1 9058  ax-1ne0 9059  ax-1rid 9060  ax-rnegex 9061  ax-rrecex 9062  ax-cnre 9063  ax-pre-lttri 9064  ax-pre-lttrn 9065  ax-pre-ltadd 9066  ax-pre-mulgt0 9067
This theorem depends on definitions:  df-bi 178  df-or 360  df-an 361  df-3or 937  df-3an 938  df-tru 1328  df-ex 1551  df-nf 1554  df-sb 1659  df-eu 2285  df-mo 2286  df-clab 2423  df-cleq 2429  df-clel 2432  df-nfc 2561  df-ne 2601  df-nel 2602  df-ral 2710  df-rex 2711  df-reu 2712  df-rab 2714  df-v 2958  df-sbc 3162  df-csb 3252  df-dif 3323  df-un 3325  df-in 3327  df-ss 3334  df-pss 3336  df-nul 3629  df-if 3740  df-pw 3801  df-sn 3820  df-pr 3821  df-tp 3822  df-op 3823  df-uni 4016  df-iun 4095  df-br 4213  df-opab 4267  df-mpt 4268  df-tr 4303  df-eprel 4494  df-id 4498  df-po 4503  df-so 4504  df-fr 4541  df-we 4543  df-ord 4584  df-on 4585  df-lim 4586  df-suc 4587  df-om 4846  df-xp 4884  df-rel 4885  df-cnv 4886  df-co 4887  df-dm 4888  df-rn 4889  df-res 4890  df-ima 4891  df-iota 5418  df-fun 5456  df-fn 5457  df-f 5458  df-f1 5459  df-fo 5460  df-f1o 5461  df-fv 5462  df-ov 6084  df-oprab 6085  df-mpt2 6086  df-2nd 6350  df-riota 6549  df-recs 6633  df-rdg 6668  df-er 6905  df-en 7110  df-dom 7111  df-sdom 7112  df-pnf 9122  df-mnf 9123  df-xr 9124  df-ltxr 9125  df-le 9126  df-sub 9293  df-neg 9294  df-nn 10001  df-2 10058  df-n0 10222  df-z 10283  df-uz 10489  df-seq 11324  df-exp 11383  df-dvds 12853
  Copyright terms: Public domain W3C validator