MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  dvdsval3 Unicode version

Theorem dvdsval3 12819
Description: One nonzero integer divides another integer if and only if the remainder upon division is zero. (Contributed by Mario Carneiro, 22-Feb-2014.) (Revised by Mario Carneiro, 15-Jul-2014.)
Assertion
Ref Expression
dvdsval3  |-  ( ( M  e.  NN  /\  N  e.  ZZ )  ->  ( M  ||  N  <->  ( N  mod  M )  =  0 ) )

Proof of Theorem dvdsval3
StepHypRef Expression
1 nnz 10267 . . . 4  |-  ( M  e.  NN  ->  M  e.  ZZ )
2 nnne0 9996 . . . 4  |-  ( M  e.  NN  ->  M  =/=  0 )
31, 2jca 519 . . 3  |-  ( M  e.  NN  ->  ( M  e.  ZZ  /\  M  =/=  0 ) )
4 dvdsval2 12818 . . . 4  |-  ( ( M  e.  ZZ  /\  M  =/=  0  /\  N  e.  ZZ )  ->  ( M  ||  N  <->  ( N  /  M )  e.  ZZ ) )
543expa 1153 . . 3  |-  ( ( ( M  e.  ZZ  /\  M  =/=  0 )  /\  N  e.  ZZ )  ->  ( M  ||  N 
<->  ( N  /  M
)  e.  ZZ ) )
63, 5sylan 458 . 2  |-  ( ( M  e.  NN  /\  N  e.  ZZ )  ->  ( M  ||  N  <->  ( N  /  M )  e.  ZZ ) )
7 zre 10250 . . 3  |-  ( N  e.  ZZ  ->  N  e.  RR )
8 nnrp 10585 . . 3  |-  ( M  e.  NN  ->  M  e.  RR+ )
9 mod0 11218 . . 3  |-  ( ( N  e.  RR  /\  M  e.  RR+ )  -> 
( ( N  mod  M )  =  0  <->  ( N  /  M )  e.  ZZ ) )
107, 8, 9syl2anr 465 . 2  |-  ( ( M  e.  NN  /\  N  e.  ZZ )  ->  ( ( N  mod  M )  =  0  <->  ( N  /  M )  e.  ZZ ) )
116, 10bitr4d 248 1  |-  ( ( M  e.  NN  /\  N  e.  ZZ )  ->  ( M  ||  N  <->  ( N  mod  M )  =  0 ) )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    <-> wb 177    /\ wa 359    = wceq 1649    e. wcel 1721    =/= wne 2575   class class class wbr 4180  (class class class)co 6048   RRcr 8953   0cc0 8954    / cdiv 9641   NNcn 9964   ZZcz 10246   RR+crp 10576    mod cmo 11213    || cdivides 12815
This theorem is referenced by:  moddvds  12822  bezoutlem3  13003  fermltl  13136  odzdvds  13144  fldivp1  13229  4sqlem10  13278  oddvds  15148  gexdvds  15181  zlpirlem3  16733  lgslem1  21041  lgslem4  21044  lgsdirprm  21074  lgsne0  21078  lgseisenlem1  21094
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1552  ax-5 1563  ax-17 1623  ax-9 1662  ax-8 1683  ax-13 1723  ax-14 1725  ax-6 1740  ax-7 1745  ax-11 1757  ax-12 1946  ax-ext 2393  ax-sep 4298  ax-nul 4306  ax-pow 4345  ax-pr 4371  ax-un 4668  ax-cnex 9010  ax-resscn 9011  ax-1cn 9012  ax-icn 9013  ax-addcl 9014  ax-addrcl 9015  ax-mulcl 9016  ax-mulrcl 9017  ax-mulcom 9018  ax-addass 9019  ax-mulass 9020  ax-distr 9021  ax-i2m1 9022  ax-1ne0 9023  ax-1rid 9024  ax-rnegex 9025  ax-rrecex 9026  ax-cnre 9027  ax-pre-lttri 9028  ax-pre-lttrn 9029  ax-pre-ltadd 9030  ax-pre-mulgt0 9031  ax-pre-sup 9032
This theorem depends on definitions:  df-bi 178  df-or 360  df-an 361  df-3or 937  df-3an 938  df-tru 1325  df-ex 1548  df-nf 1551  df-sb 1656  df-eu 2266  df-mo 2267  df-clab 2399  df-cleq 2405  df-clel 2408  df-nfc 2537  df-ne 2577  df-nel 2578  df-ral 2679  df-rex 2680  df-reu 2681  df-rmo 2682  df-rab 2683  df-v 2926  df-sbc 3130  df-csb 3220  df-dif 3291  df-un 3293  df-in 3295  df-ss 3302  df-pss 3304  df-nul 3597  df-if 3708  df-pw 3769  df-sn 3788  df-pr 3789  df-tp 3790  df-op 3791  df-uni 3984  df-iun 4063  df-br 4181  df-opab 4235  df-mpt 4236  df-tr 4271  df-eprel 4462  df-id 4466  df-po 4471  df-so 4472  df-fr 4509  df-we 4511  df-ord 4552  df-on 4553  df-lim 4554  df-suc 4555  df-om 4813  df-xp 4851  df-rel 4852  df-cnv 4853  df-co 4854  df-dm 4855  df-rn 4856  df-res 4857  df-ima 4858  df-iota 5385  df-fun 5423  df-fn 5424  df-f 5425  df-f1 5426  df-fo 5427  df-f1o 5428  df-fv 5429  df-ov 6051  df-oprab 6052  df-mpt2 6053  df-riota 6516  df-recs 6600  df-rdg 6635  df-er 6872  df-en 7077  df-dom 7078  df-sdom 7079  df-sup 7412  df-pnf 9086  df-mnf 9087  df-xr 9088  df-ltxr 9089  df-le 9090  df-sub 9257  df-neg 9258  df-div 9642  df-nn 9965  df-n0 10186  df-z 10247  df-uz 10453  df-rp 10577  df-fl 11165  df-mod 11214  df-dvds 12816
  Copyright terms: Public domain W3C validator