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Theorem dveflem 19868
Description: Derivative of the exponential function at 0. The key step in the proof is eftlub 12715, to show that  abs ( exp ( x )  - 
1  -  x )  <_  abs ( x ) ^ 2  x.  (
3  /  4 ). (Contributed by Mario Carneiro, 9-Aug-2014.) (Revised by Mario Carneiro, 28-Dec-2016.)
Assertion
Ref Expression
dveflem  |-  0
( CC  _D  exp ) 1

Proof of Theorem dveflem
Dummy variables  k  n  w  x  y 
z are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 0cn 9089 . . 3  |-  0  e.  CC
2 eqid 2438 . . . . 5  |-  ( TopOpen ` fld )  =  ( TopOpen ` fld )
32cnfldtop 18823 . . . 4  |-  ( TopOpen ` fld )  e.  Top
42cnfldtopon 18822 . . . . . 6  |-  ( TopOpen ` fld )  e.  (TopOn `  CC )
54toponunii 17002 . . . . 5  |-  CC  =  U. ( TopOpen ` fld )
65ntrtop 17139 . . . 4  |-  ( (
TopOpen ` fld )  e.  Top  ->  ( ( int `  ( TopOpen
` fld
) ) `  CC )  =  CC )
73, 6ax-mp 5 . . 3  |-  ( ( int `  ( TopOpen ` fld )
) `  CC )  =  CC
81, 7eleqtrri 2511 . 2  |-  0  e.  ( ( int `  ( TopOpen
` fld
) ) `  CC )
9 ax-1cn 9053 . . 3  |-  1  e.  CC
10 1rp 10621 . . . . . 6  |-  1  e.  RR+
11 ifcl 3777 . . . . . 6  |-  ( ( x  e.  RR+  /\  1  e.  RR+ )  ->  if ( x  <_  1 ,  x ,  1 )  e.  RR+ )
1210, 11mpan2 654 . . . . 5  |-  ( x  e.  RR+  ->  if ( x  <_  1 ,  x ,  1 )  e.  RR+ )
13 eldifsn 3929 . . . . . . 7  |-  ( w  e.  ( CC  \  { 0 } )  <-> 
( w  e.  CC  /\  w  =/=  0 ) )
14 simprl 734 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( x  e.  RR+  /\  (
w  e.  CC  /\  w  =/=  0 ) )  ->  w  e.  CC )
1514subid1d 9405 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( x  e.  RR+  /\  (
w  e.  CC  /\  w  =/=  0 ) )  ->  ( w  - 
0 )  =  w )
1615fveq2d 5735 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( x  e.  RR+  /\  (
w  e.  CC  /\  w  =/=  0 ) )  ->  ( abs `  (
w  -  0 ) )  =  ( abs `  w ) )
1716breq1d 4225 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( x  e.  RR+  /\  (
w  e.  CC  /\  w  =/=  0 ) )  ->  ( ( abs `  ( w  -  0 ) )  <  if ( x  <_  1 ,  x ,  1 )  <-> 
( abs `  w
)  <  if (
x  <_  1 ,  x ,  1 ) ) )
1814abscld 12243 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( x  e.  RR+  /\  (
w  e.  CC  /\  w  =/=  0 ) )  ->  ( abs `  w
)  e.  RR )
19 rpre 10623 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( x  e.  RR+  ->  x  e.  RR )
2019adantr 453 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( x  e.  RR+  /\  (
w  e.  CC  /\  w  =/=  0 ) )  ->  x  e.  RR )
21 1re 9095 . . . . . . . . . . . 12  |-  1  e.  RR
2221a1i 11 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( x  e.  RR+  /\  (
w  e.  CC  /\  w  =/=  0 ) )  ->  1  e.  RR )
23 ltmin 10786 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( abs `  w
)  e.  RR  /\  x  e.  RR  /\  1  e.  RR )  ->  (
( abs `  w
)  <  if (
x  <_  1 ,  x ,  1 )  <-> 
( ( abs `  w
)  <  x  /\  ( abs `  w )  <  1 ) ) )
2418, 20, 22, 23syl3anc 1185 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( x  e.  RR+  /\  (
w  e.  CC  /\  w  =/=  0 ) )  ->  ( ( abs `  w )  <  if ( x  <_  1 ,  x ,  1 )  <-> 
( ( abs `  w
)  <  x  /\  ( abs `  w )  <  1 ) ) )
2517, 24bitrd 246 . . . . . . . . 9  |-  ( ( x  e.  RR+  /\  (
w  e.  CC  /\  w  =/=  0 ) )  ->  ( ( abs `  ( w  -  0 ) )  <  if ( x  <_  1 ,  x ,  1 )  <-> 
( ( abs `  w
)  <  x  /\  ( abs `  w )  <  1 ) ) )
26 simplr 733 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( x  e.  RR+  /\  ( w  e.  CC  /\  w  =/=  0 ) )  /\  ( ( abs `  w )  <  x  /\  ( abs `  w )  <  1 ) )  -> 
( w  e.  CC  /\  w  =/=  0 ) )
2726, 13sylibr 205 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( x  e.  RR+  /\  ( w  e.  CC  /\  w  =/=  0 ) )  /\  ( ( abs `  w )  <  x  /\  ( abs `  w )  <  1 ) )  ->  w  e.  ( CC  \  { 0 } ) )
28 fveq2 5731 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( z  =  w  ->  ( exp `  z )  =  ( exp `  w
) )
2928oveq1d 6099 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( z  =  w  ->  (
( exp `  z
)  -  1 )  =  ( ( exp `  w )  -  1 ) )
30 id 21 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( z  =  w  ->  z  =  w )
3129, 30oveq12d 6102 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( z  =  w  ->  (
( ( exp `  z
)  -  1 )  /  z )  =  ( ( ( exp `  w )  -  1 )  /  w ) )
32 eqid 2438 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( z  e.  ( CC  \  { 0 } ) 
|->  ( ( ( exp `  z )  -  1 )  /  z ) )  =  ( z  e.  ( CC  \  { 0 } ) 
|->  ( ( ( exp `  z )  -  1 )  /  z ) )
33 ovex 6109 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( exp `  w
)  -  1 )  /  w )  e. 
_V
3431, 32, 33fvmpt 5809 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( w  e.  ( CC  \  { 0 } )  ->  ( ( z  e.  ( CC  \  { 0 } ) 
|->  ( ( ( exp `  z )  -  1 )  /  z ) ) `  w )  =  ( ( ( exp `  w )  -  1 )  /  w ) )
3527, 34syl 16 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( x  e.  RR+  /\  ( w  e.  CC  /\  w  =/=  0 ) )  /\  ( ( abs `  w )  <  x  /\  ( abs `  w )  <  1 ) )  -> 
( ( z  e.  ( CC  \  {
0 } )  |->  ( ( ( exp `  z
)  -  1 )  /  z ) ) `
 w )  =  ( ( ( exp `  w )  -  1 )  /  w ) )
3635oveq1d 6099 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( x  e.  RR+  /\  ( w  e.  CC  /\  w  =/=  0 ) )  /\  ( ( abs `  w )  <  x  /\  ( abs `  w )  <  1 ) )  -> 
( ( ( z  e.  ( CC  \  { 0 } ) 
|->  ( ( ( exp `  z )  -  1 )  /  z ) ) `  w )  -  1 )  =  ( ( ( ( exp `  w )  -  1 )  /  w )  -  1 ) )
3736fveq2d 5735 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( x  e.  RR+  /\  ( w  e.  CC  /\  w  =/=  0 ) )  /\  ( ( abs `  w )  <  x  /\  ( abs `  w )  <  1 ) )  -> 
( abs `  (
( ( z  e.  ( CC  \  {
0 } )  |->  ( ( ( exp `  z
)  -  1 )  /  z ) ) `
 w )  - 
1 ) )  =  ( abs `  (
( ( ( exp `  w )  -  1 )  /  w )  -  1 ) ) )
38 simplrl 738 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( ( x  e.  RR+  /\  ( w  e.  CC  /\  w  =/=  0 ) )  /\  ( ( abs `  w )  <  x  /\  ( abs `  w )  <  1 ) )  ->  w  e.  CC )
39 efcl 12690 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( w  e.  CC  ->  ( exp `  w )  e.  CC )
4038, 39syl 16 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( x  e.  RR+  /\  ( w  e.  CC  /\  w  =/=  0 ) )  /\  ( ( abs `  w )  <  x  /\  ( abs `  w )  <  1 ) )  -> 
( exp `  w
)  e.  CC )
419a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( x  e.  RR+  /\  ( w  e.  CC  /\  w  =/=  0 ) )  /\  ( ( abs `  w )  <  x  /\  ( abs `  w )  <  1 ) )  -> 
1  e.  CC )
4240, 41subcld 9416 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( x  e.  RR+  /\  ( w  e.  CC  /\  w  =/=  0 ) )  /\  ( ( abs `  w )  <  x  /\  ( abs `  w )  <  1 ) )  -> 
( ( exp `  w
)  -  1 )  e.  CC )
43 simplrr 739 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( x  e.  RR+  /\  ( w  e.  CC  /\  w  =/=  0 ) )  /\  ( ( abs `  w )  <  x  /\  ( abs `  w )  <  1 ) )  ->  w  =/=  0 )
4442, 38, 43divcld 9795 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( x  e.  RR+  /\  ( w  e.  CC  /\  w  =/=  0 ) )  /\  ( ( abs `  w )  <  x  /\  ( abs `  w )  <  1 ) )  -> 
( ( ( exp `  w )  -  1 )  /  w )  e.  CC )
4544, 41subcld 9416 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( x  e.  RR+  /\  ( w  e.  CC  /\  w  =/=  0 ) )  /\  ( ( abs `  w )  <  x  /\  ( abs `  w )  <  1 ) )  -> 
( ( ( ( exp `  w )  -  1 )  /  w )  -  1 )  e.  CC )
4645abscld 12243 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( x  e.  RR+  /\  ( w  e.  CC  /\  w  =/=  0 ) )  /\  ( ( abs `  w )  <  x  /\  ( abs `  w )  <  1 ) )  -> 
( abs `  (
( ( ( exp `  w )  -  1 )  /  w )  -  1 ) )  e.  RR )
4738abscld 12243 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( x  e.  RR+  /\  ( w  e.  CC  /\  w  =/=  0 ) )  /\  ( ( abs `  w )  <  x  /\  ( abs `  w )  <  1 ) )  -> 
( abs `  w
)  e.  RR )
48 simpll 732 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( x  e.  RR+  /\  ( w  e.  CC  /\  w  =/=  0 ) )  /\  ( ( abs `  w )  <  x  /\  ( abs `  w )  <  1 ) )  ->  x  e.  RR+ )
4948rpred 10653 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( x  e.  RR+  /\  ( w  e.  CC  /\  w  =/=  0 ) )  /\  ( ( abs `  w )  <  x  /\  ( abs `  w )  <  1 ) )  ->  x  e.  RR )
50 abscl 12088 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( w  e.  CC  ->  ( abs `  w )  e.  RR )
5150ad2antrr 708 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( ( w  e.  CC  /\  w  =/=  0 )  /\  ( abs `  w
)  <  1 )  ->  ( abs `  w
)  e.  RR )
5239ad2antrr 708 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( ( ( w  e.  CC  /\  w  =/=  0 )  /\  ( abs `  w
)  <  1 )  ->  ( exp `  w
)  e.  CC )
53 subcl 9310 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( ( ( exp `  w
)  e.  CC  /\  1  e.  CC )  ->  ( ( exp `  w
)  -  1 )  e.  CC )
5452, 9, 53sylancl 645 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( ( ( w  e.  CC  /\  w  =/=  0 )  /\  ( abs `  w
)  <  1 )  ->  ( ( exp `  w )  -  1 )  e.  CC )
55 simpll 732 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( ( ( w  e.  CC  /\  w  =/=  0 )  /\  ( abs `  w
)  <  1 )  ->  w  e.  CC )
56 simplr 733 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( ( ( w  e.  CC  /\  w  =/=  0 )  /\  ( abs `  w
)  <  1 )  ->  w  =/=  0
)
5754, 55, 56divcld 9795 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ( ( w  e.  CC  /\  w  =/=  0 )  /\  ( abs `  w
)  <  1 )  ->  ( ( ( exp `  w )  -  1 )  /  w )  e.  CC )
589a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ( ( w  e.  CC  /\  w  =/=  0 )  /\  ( abs `  w
)  <  1 )  ->  1  e.  CC )
5957, 58subcld 9416 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( ( w  e.  CC  /\  w  =/=  0 )  /\  ( abs `  w
)  <  1 )  ->  ( ( ( ( exp `  w
)  -  1 )  /  w )  - 
1 )  e.  CC )
6059abscld 12243 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( ( w  e.  CC  /\  w  =/=  0 )  /\  ( abs `  w
)  <  1 )  ->  ( abs `  (
( ( ( exp `  w )  -  1 )  /  w )  -  1 ) )  e.  RR )
6151, 60remulcld 9121 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( w  e.  CC  /\  w  =/=  0 )  /\  ( abs `  w
)  <  1 )  ->  ( ( abs `  w )  x.  ( abs `  ( ( ( ( exp `  w
)  -  1 )  /  w )  - 
1 ) ) )  e.  RR )
6251resqcld 11554 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( ( w  e.  CC  /\  w  =/=  0 )  /\  ( abs `  w
)  <  1 )  ->  ( ( abs `  w ) ^ 2 )  e.  RR )
63 3re 10076 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  3  e.  RR
64 4nn 10140 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  4  e.  NN
65 nndivre 10040 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( 3  e.  RR  /\  4  e.  NN )  ->  ( 3  /  4
)  e.  RR )
6663, 64, 65mp2an 655 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( 3  /  4 )  e.  RR
67 remulcl 9080 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( ( ( abs `  w
) ^ 2 )  e.  RR  /\  (
3  /  4 )  e.  RR )  -> 
( ( ( abs `  w ) ^ 2 )  x.  ( 3  /  4 ) )  e.  RR )
6862, 66, 67sylancl 645 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( w  e.  CC  /\  w  =/=  0 )  /\  ( abs `  w
)  <  1 )  ->  ( ( ( abs `  w ) ^ 2 )  x.  ( 3  /  4
) )  e.  RR )
6954, 55subcld 9416 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22  |-  ( ( ( w  e.  CC  /\  w  =/=  0 )  /\  ( abs `  w
)  <  1 )  ->  ( ( ( exp `  w )  -  1 )  -  w )  e.  CC )
7069, 55, 56divcan2d 9797 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( ( ( w  e.  CC  /\  w  =/=  0 )  /\  ( abs `  w
)  <  1 )  ->  ( w  x.  ( ( ( ( exp `  w )  -  1 )  -  w )  /  w
) )  =  ( ( ( exp `  w
)  -  1 )  -  w ) )
7154, 55, 55, 56divsubdird 9834 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23  |-  ( ( ( w  e.  CC  /\  w  =/=  0 )  /\  ( abs `  w
)  <  1 )  ->  ( ( ( ( exp `  w
)  -  1 )  -  w )  /  w )  =  ( ( ( ( exp `  w )  -  1 )  /  w )  -  ( w  /  w ) ) )
7255, 56dividd 9793 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24  |-  ( ( ( w  e.  CC  /\  w  =/=  0 )  /\  ( abs `  w
)  <  1 )  ->  ( w  /  w )  =  1 )
7372oveq2d 6100 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23  |-  ( ( ( w  e.  CC  /\  w  =/=  0 )  /\  ( abs `  w
)  <  1 )  ->  ( ( ( ( exp `  w
)  -  1 )  /  w )  -  ( w  /  w
) )  =  ( ( ( ( exp `  w )  -  1 )  /  w )  -  1 ) )
7471, 73eqtrd 2470 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22  |-  ( ( ( w  e.  CC  /\  w  =/=  0 )  /\  ( abs `  w
)  <  1 )  ->  ( ( ( ( exp `  w
)  -  1 )  -  w )  /  w )  =  ( ( ( ( exp `  w )  -  1 )  /  w )  -  1 ) )
7574oveq2d 6100 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( ( ( w  e.  CC  /\  w  =/=  0 )  /\  ( abs `  w
)  <  1 )  ->  ( w  x.  ( ( ( ( exp `  w )  -  1 )  -  w )  /  w
) )  =  ( w  x.  ( ( ( ( exp `  w
)  -  1 )  /  w )  - 
1 ) ) )
7652, 58, 55subsub4d 9447 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22  |-  ( ( ( w  e.  CC  /\  w  =/=  0 )  /\  ( abs `  w
)  <  1 )  ->  ( ( ( exp `  w )  -  1 )  -  w )  =  ( ( exp `  w
)  -  ( 1  +  w ) ) )
77 eqid 2438 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25  |-  ( n  e.  NN0  |->  ( ( w ^ n )  /  ( ! `  n ) ) )  =  ( n  e. 
NN0  |->  ( ( w ^ n )  / 
( ! `  n
) ) )
78 df-2 10063 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25  |-  2  =  ( 1  +  1 )
79 1nn0 10242 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25  |-  1  e.  NN0
80 1e0p1 10415 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26  |-  1  =  ( 0  +  1 )
81 0nn0 10241 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26  |-  0  e.  NN0
821a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26  |-  ( ( ( w  e.  CC  /\  w  =/=  0 )  /\  ( abs `  w
)  <  1 )  ->  0  e.  CC )
8377efval2 12691 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30  |-  ( w  e.  CC  ->  ( exp `  w )  = 
sum_ k  e.  NN0  ( ( n  e. 
NN0  |->  ( ( w ^ n )  / 
( ! `  n
) ) ) `  k ) )
8483ad2antrr 708 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29  |-  ( ( ( w  e.  CC  /\  w  =/=  0 )  /\  ( abs `  w
)  <  1 )  ->  ( exp `  w
)  =  sum_ k  e.  NN0  ( ( n  e.  NN0  |->  ( ( w ^ n )  /  ( ! `  n ) ) ) `
 k ) )
85 nn0uz 10525 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30  |-  NN0  =  ( ZZ>= `  0 )
8685sumeq1i 12497 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29  |-  sum_ k  e.  NN0  ( ( n  e.  NN0  |->  ( ( w ^ n )  /  ( ! `  n ) ) ) `
 k )  = 
sum_ k  e.  (
ZZ>= `  0 ) ( ( n  e.  NN0  |->  ( ( w ^
n )  /  ( ! `  n )
) ) `  k
)
8784, 86syl6req 2487 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28  |-  ( ( ( w  e.  CC  /\  w  =/=  0 )  /\  ( abs `  w
)  <  1 )  ->  sum_ k  e.  (
ZZ>= `  0 ) ( ( n  e.  NN0  |->  ( ( w ^
n )  /  ( ! `  n )
) ) `  k
)  =  ( exp `  w ) )
8887oveq2d 6100 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27  |-  ( ( ( w  e.  CC  /\  w  =/=  0 )  /\  ( abs `  w
)  <  1 )  ->  ( 0  + 
sum_ k  e.  (
ZZ>= `  0 ) ( ( n  e.  NN0  |->  ( ( w ^
n )  /  ( ! `  n )
) ) `  k
) )  =  ( 0  +  ( exp `  w ) ) )
8952addid2d 9272 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27  |-  ( ( ( w  e.  CC  /\  w  =/=  0 )  /\  ( abs `  w
)  <  1 )  ->  ( 0  +  ( exp `  w
) )  =  ( exp `  w ) )
9088, 89eqtr2d 2471 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26  |-  ( ( ( w  e.  CC  /\  w  =/=  0 )  /\  ( abs `  w
)  <  1 )  ->  ( exp `  w
)  =  ( 0  +  sum_ k  e.  (
ZZ>= `  0 ) ( ( n  e.  NN0  |->  ( ( w ^
n )  /  ( ! `  n )
) ) `  k
) ) )
91 eft0val 12718 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29  |-  ( w  e.  CC  ->  (
( w ^ 0 )  /  ( ! `
 0 ) )  =  1 )
9291ad2antrr 708 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28  |-  ( ( ( w  e.  CC  /\  w  =/=  0 )  /\  ( abs `  w
)  <  1 )  ->  ( ( w ^ 0 )  / 
( ! `  0
) )  =  1 )
9392oveq2d 6100 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27  |-  ( ( ( w  e.  CC  /\  w  =/=  0 )  /\  ( abs `  w
)  <  1 )  ->  ( 0  +  ( ( w ^
0 )  /  ( ! `  0 )
) )  =  ( 0  +  1 ) )
9493, 80syl6eqr 2488 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26  |-  ( ( ( w  e.  CC  /\  w  =/=  0 )  /\  ( abs `  w
)  <  1 )  ->  ( 0  +  ( ( w ^
0 )  /  ( ! `  0 )
) )  =  1 )
9577, 80, 81, 55, 82, 90, 94efsep 12716 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25  |-  ( ( ( w  e.  CC  /\  w  =/=  0 )  /\  ( abs `  w
)  <  1 )  ->  ( exp `  w
)  =  ( 1  +  sum_ k  e.  (
ZZ>= `  1 ) ( ( n  e.  NN0  |->  ( ( w ^
n )  /  ( ! `  n )
) ) `  k
) ) )
96 exp1 11392 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30  |-  ( w  e.  CC  ->  (
w ^ 1 )  =  w )
9796ad2antrr 708 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29  |-  ( ( ( w  e.  CC  /\  w  =/=  0 )  /\  ( abs `  w
)  <  1 )  ->  ( w ^
1 )  =  w )
9897oveq1d 6099 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28  |-  ( ( ( w  e.  CC  /\  w  =/=  0 )  /\  ( abs `  w
)  <  1 )  ->  ( ( w ^ 1 )  / 
( ! `  1
) )  =  ( w  /  ( ! `
 1 ) ) )
99 fac1 11575 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29  |-  ( ! `
 1 )  =  1
10099oveq2i 6095 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28  |-  ( w  /  ( ! ` 
1 ) )  =  ( w  /  1
)
10198, 100syl6eq 2486 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27  |-  ( ( ( w  e.  CC  /\  w  =/=  0 )  /\  ( abs `  w
)  <  1 )  ->  ( ( w ^ 1 )  / 
( ! `  1
) )  =  ( w  /  1 ) )
102 div1 9712 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28  |-  ( w  e.  CC  ->  (
w  /  1 )  =  w )
103102ad2antrr 708 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27  |-  ( ( ( w  e.  CC  /\  w  =/=  0 )  /\  ( abs `  w
)  <  1 )  ->  ( w  / 
1 )  =  w )
104101, 103eqtrd 2470 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26  |-  ( ( ( w  e.  CC  /\  w  =/=  0 )  /\  ( abs `  w
)  <  1 )  ->  ( ( w ^ 1 )  / 
( ! `  1
) )  =  w )
105104oveq2d 6100 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25  |-  ( ( ( w  e.  CC  /\  w  =/=  0 )  /\  ( abs `  w
)  <  1 )  ->  ( 1  +  ( ( w ^
1 )  /  ( ! `  1 )
) )  =  ( 1  +  w ) )
10677, 78, 79, 55, 58, 95, 105efsep 12716 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24  |-  ( ( ( w  e.  CC  /\  w  =/=  0 )  /\  ( abs `  w
)  <  1 )  ->  ( exp `  w
)  =  ( ( 1  +  w )  +  sum_ k  e.  (
ZZ>= `  2 ) ( ( n  e.  NN0  |->  ( ( w ^
n )  /  ( ! `  n )
) ) `  k
) ) )
107106eqcomd 2443 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23  |-  ( ( ( w  e.  CC  /\  w  =/=  0 )  /\  ( abs `  w
)  <  1 )  ->  ( ( 1  +  w )  + 
sum_ k  e.  (
ZZ>= `  2 ) ( ( n  e.  NN0  |->  ( ( w ^
n )  /  ( ! `  n )
) ) `  k
) )  =  ( exp `  w ) )
108 addcl 9077 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25  |-  ( ( 1  e.  CC  /\  w  e.  CC )  ->  ( 1  +  w
)  e.  CC )
1099, 55, 108sylancr 646 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24  |-  ( ( ( w  e.  CC  /\  w  =/=  0 )  /\  ( abs `  w
)  <  1 )  ->  ( 1  +  w )  e.  CC )
110 2nn0 10243 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25  |-  2  e.  NN0
11177eftlcl 12713 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25  |-  ( ( w  e.  CC  /\  2  e.  NN0 )  ->  sum_ k  e.  ( ZZ>= ` 
2 ) ( ( n  e.  NN0  |->  ( ( w ^ n )  /  ( ! `  n ) ) ) `
 k )  e.  CC )
11255, 110, 111sylancl 645 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24  |-  ( ( ( w  e.  CC  /\  w  =/=  0 )  /\  ( abs `  w
)  <  1 )  ->  sum_ k  e.  (
ZZ>= `  2 ) ( ( n  e.  NN0  |->  ( ( w ^
n )  /  ( ! `  n )
) ) `  k
)  e.  CC )
11352, 109, 112subaddd 9434 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23  |-  ( ( ( w  e.  CC  /\  w  =/=  0 )  /\  ( abs `  w
)  <  1 )  ->  ( ( ( exp `  w )  -  ( 1  +  w ) )  = 
sum_ k  e.  (
ZZ>= `  2 ) ( ( n  e.  NN0  |->  ( ( w ^
n )  /  ( ! `  n )
) ) `  k
)  <->  ( ( 1  +  w )  + 
sum_ k  e.  (
ZZ>= `  2 ) ( ( n  e.  NN0  |->  ( ( w ^
n )  /  ( ! `  n )
) ) `  k
) )  =  ( exp `  w ) ) )
114107, 113mpbird 225 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22  |-  ( ( ( w  e.  CC  /\  w  =/=  0 )  /\  ( abs `  w
)  <  1 )  ->  ( ( exp `  w )  -  (
1  +  w ) )  =  sum_ k  e.  ( ZZ>= `  2 )
( ( n  e. 
NN0  |->  ( ( w ^ n )  / 
( ! `  n
) ) ) `  k ) )
11576, 114eqtrd 2470 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( ( ( w  e.  CC  /\  w  =/=  0 )  /\  ( abs `  w
)  <  1 )  ->  ( ( ( exp `  w )  -  1 )  -  w )  =  sum_ k  e.  ( ZZ>= ` 
2 ) ( ( n  e.  NN0  |->  ( ( w ^ n )  /  ( ! `  n ) ) ) `
 k ) )
11670, 75, 1153eqtr3d 2478 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( ( ( w  e.  CC  /\  w  =/=  0 )  /\  ( abs `  w
)  <  1 )  ->  ( w  x.  ( ( ( ( exp `  w )  -  1 )  /  w )  -  1 ) )  =  sum_ k  e.  ( ZZ>= ` 
2 ) ( ( n  e.  NN0  |->  ( ( w ^ n )  /  ( ! `  n ) ) ) `
 k ) )
117116fveq2d 5735 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ( ( w  e.  CC  /\  w  =/=  0 )  /\  ( abs `  w
)  <  1 )  ->  ( abs `  (
w  x.  ( ( ( ( exp `  w
)  -  1 )  /  w )  - 
1 ) ) )  =  ( abs `  sum_ k  e.  ( ZZ>= ` 
2 ) ( ( n  e.  NN0  |->  ( ( w ^ n )  /  ( ! `  n ) ) ) `
 k ) ) )
11855, 59absmuld 12261 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ( ( w  e.  CC  /\  w  =/=  0 )  /\  ( abs `  w
)  <  1 )  ->  ( abs `  (
w  x.  ( ( ( ( exp `  w
)  -  1 )  /  w )  - 
1 ) ) )  =  ( ( abs `  w )  x.  ( abs `  ( ( ( ( exp `  w
)  -  1 )  /  w )  - 
1 ) ) ) )
119117, 118eqtr3d 2472 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( ( w  e.  CC  /\  w  =/=  0 )  /\  ( abs `  w
)  <  1 )  ->  ( abs `  sum_ k  e.  ( ZZ>= ` 
2 ) ( ( n  e.  NN0  |->  ( ( w ^ n )  /  ( ! `  n ) ) ) `
 k ) )  =  ( ( abs `  w )  x.  ( abs `  ( ( ( ( exp `  w
)  -  1 )  /  w )  - 
1 ) ) ) )
120 eqid 2438 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( n  e.  NN0  |->  ( ( ( abs `  w
) ^ n )  /  ( ! `  n ) ) )  =  ( n  e. 
NN0  |->  ( ( ( abs `  w ) ^ n )  / 
( ! `  n
) ) )
121 eqid 2438 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( n  e.  NN0  |->  ( ( ( ( abs `  w
) ^ 2 )  /  ( ! ` 
2 ) )  x.  ( ( 1  / 
( 2  +  1 ) ) ^ n
) ) )  =  ( n  e.  NN0  |->  ( ( ( ( abs `  w ) ^ 2 )  / 
( ! `  2
) )  x.  (
( 1  /  (
2  +  1 ) ) ^ n ) ) )
122 2nn 10138 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  2  e.  NN
123122a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ( ( w  e.  CC  /\  w  =/=  0 )  /\  ( abs `  w
)  <  1 )  ->  2  e.  NN )
12421a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( ( ( w  e.  CC  /\  w  =/=  0 )  /\  ( abs `  w
)  <  1 )  ->  1  e.  RR )
125 simpr 449 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( ( ( w  e.  CC  /\  w  =/=  0 )  /\  ( abs `  w
)  <  1 )  ->  ( abs `  w
)  <  1 )
12651, 124, 125ltled 9226 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ( ( w  e.  CC  /\  w  =/=  0 )  /\  ( abs `  w
)  <  1 )  ->  ( abs `  w
)  <_  1 )
12777, 120, 121, 123, 55, 126eftlub 12715 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( ( w  e.  CC  /\  w  =/=  0 )  /\  ( abs `  w
)  <  1 )  ->  ( abs `  sum_ k  e.  ( ZZ>= ` 
2 ) ( ( n  e.  NN0  |->  ( ( w ^ n )  /  ( ! `  n ) ) ) `
 k ) )  <_  ( ( ( abs `  w ) ^ 2 )  x.  ( ( 2  +  1 )  /  (
( ! `  2
)  x.  2 ) ) ) )
128119, 127eqbrtrrd 4237 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( ( w  e.  CC  /\  w  =/=  0 )  /\  ( abs `  w
)  <  1 )  ->  ( ( abs `  w )  x.  ( abs `  ( ( ( ( exp `  w
)  -  1 )  /  w )  - 
1 ) ) )  <_  ( ( ( abs `  w ) ^ 2 )  x.  ( ( 2  +  1 )  /  (
( ! `  2
)  x.  2 ) ) ) )
129 df-3 10064 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  3  =  ( 2  +  1 )
130 fac2 11577 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( ! `
 2 )  =  2
131130oveq1i 6094 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( ( ! `  2 )  x.  2 )  =  ( 2  x.  2 )
132 2t2e4 10132 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( 2  x.  2 )  =  4
133131, 132eqtr2i 2459 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  4  =  ( ( ! `
 2 )  x.  2 )
134129, 133oveq12i 6096 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( 3  /  4 )  =  ( ( 2  +  1 )  /  (
( ! `  2
)  x.  2 ) )
135134oveq2i 6095 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( ( abs `  w
) ^ 2 )  x.  ( 3  / 
4 ) )  =  ( ( ( abs `  w ) ^ 2 )  x.  ( ( 2  +  1 )  /  ( ( ! `
 2 )  x.  2 ) ) )
136128, 135syl6breqr 4255 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( w  e.  CC  /\  w  =/=  0 )  /\  ( abs `  w
)  <  1 )  ->  ( ( abs `  w )  x.  ( abs `  ( ( ( ( exp `  w
)  -  1 )  /  w )  - 
1 ) ) )  <_  ( ( ( abs `  w ) ^ 2 )  x.  ( 3  /  4
) ) )
13766a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( ( w  e.  CC  /\  w  =/=  0 )  /\  ( abs `  w
)  <  1 )  ->  ( 3  / 
4 )  e.  RR )
13851sqge0d 11555 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( ( w  e.  CC  /\  w  =/=  0 )  /\  ( abs `  w
)  <  1 )  ->  0  <_  (
( abs `  w
) ^ 2 ) )
139 3lt4 10150 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22  |-  3  <  4
140 4cn 10079 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23  |-  4  e.  CC
141140mulid1i 9097 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22  |-  ( 4  x.  1 )  =  4
142139, 141breqtrri 4240 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  3  <  ( 4  x.  1 )
143 4re 10078 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23  |-  4  e.  RR
144 4pos 10091 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23  |-  0  <  4
145143, 144pm3.2i 443 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22  |-  ( 4  e.  RR  /\  0  <  4 )
146 ltdivmul 9887 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22  |-  ( ( 3  e.  RR  /\  1  e.  RR  /\  (
4  e.  RR  /\  0  <  4 ) )  ->  ( ( 3  /  4 )  <  1  <->  3  <  (
4  x.  1 ) ) )
14763, 21, 145, 146mp3an 1280 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( ( 3  /  4 )  <  1  <->  3  <  ( 4  x.  1 ) )
148142, 147mpbir 202 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( 3  /  4 )  <  1
14966, 21, 148ltleii 9201 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( 3  /  4 )  <_ 
1
150149a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( ( w  e.  CC  /\  w  =/=  0 )  /\  ( abs `  w
)  <  1 )  ->  ( 3  / 
4 )  <_  1
)
151137, 124, 62, 138, 150lemul2ad 9956 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( ( w  e.  CC  /\  w  =/=  0 )  /\  ( abs `  w
)  <  1 )  ->  ( ( ( abs `  w ) ^ 2 )  x.  ( 3  /  4
) )  <_  (
( ( abs `  w
) ^ 2 )  x.  1 ) )
15251recnd 9119 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ( ( w  e.  CC  /\  w  =/=  0 )  /\  ( abs `  w
)  <  1 )  ->  ( abs `  w
)  e.  CC )
153152sqcld 11526 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( ( w  e.  CC  /\  w  =/=  0 )  /\  ( abs `  w
)  <  1 )  ->  ( ( abs `  w ) ^ 2 )  e.  CC )
154153mulid1d 9110 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( ( w  e.  CC  /\  w  =/=  0 )  /\  ( abs `  w
)  <  1 )  ->  ( ( ( abs `  w ) ^ 2 )  x.  1 )  =  ( ( abs `  w
) ^ 2 ) )
155151, 154breqtrd 4239 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( w  e.  CC  /\  w  =/=  0 )  /\  ( abs `  w
)  <  1 )  ->  ( ( ( abs `  w ) ^ 2 )  x.  ( 3  /  4
) )  <_  (
( abs `  w
) ^ 2 ) )
15661, 68, 62, 136, 155letrd 9232 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( w  e.  CC  /\  w  =/=  0 )  /\  ( abs `  w
)  <  1 )  ->  ( ( abs `  w )  x.  ( abs `  ( ( ( ( exp `  w
)  -  1 )  /  w )  - 
1 ) ) )  <_  ( ( abs `  w ) ^ 2 ) )
157152sqvald 11525 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( w  e.  CC  /\  w  =/=  0 )  /\  ( abs `  w
)  <  1 )  ->  ( ( abs `  w ) ^ 2 )  =  ( ( abs `  w )  x.  ( abs `  w
) ) )
158156, 157breqtrd 4239 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( w  e.  CC  /\  w  =/=  0 )  /\  ( abs `  w
)  <  1 )  ->  ( ( abs `  w )  x.  ( abs `  ( ( ( ( exp `  w
)  -  1 )  /  w )  - 
1 ) ) )  <_  ( ( abs `  w )  x.  ( abs `  w ) ) )
159 absgt0 12133 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( w  e.  CC  ->  (
w  =/=  0  <->  0  <  ( abs `  w
) ) )
160159ad2antrr 708 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( ( w  e.  CC  /\  w  =/=  0 )  /\  ( abs `  w
)  <  1 )  ->  ( w  =/=  0  <->  0  <  ( abs `  w ) ) )
16156, 160mpbid 203 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( w  e.  CC  /\  w  =/=  0 )  /\  ( abs `  w
)  <  1 )  ->  0  <  ( abs `  w ) )
16251, 161elrpd 10651 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( w  e.  CC  /\  w  =/=  0 )  /\  ( abs `  w
)  <  1 )  ->  ( abs `  w
)  e.  RR+ )
16360, 51, 162lemul2d 10693 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( w  e.  CC  /\  w  =/=  0 )  /\  ( abs `  w
)  <  1 )  ->  ( ( abs `  ( ( ( ( exp `  w )  -  1 )  /  w )  -  1 ) )  <_  ( abs `  w )  <->  ( ( abs `  w )  x.  ( abs `  (
( ( ( exp `  w )  -  1 )  /  w )  -  1 ) ) )  <_  ( ( abs `  w )  x.  ( abs `  w
) ) ) )
164158, 163mpbird 225 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( w  e.  CC  /\  w  =/=  0 )  /\  ( abs `  w
)  <  1 )  ->  ( abs `  (
( ( ( exp `  w )  -  1 )  /  w )  -  1 ) )  <_  ( abs `  w
) )
165164ad2ant2l 728 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( x  e.  RR+  /\  ( w  e.  CC  /\  w  =/=  0 ) )  /\  ( ( abs `  w )  <  x  /\  ( abs `  w )  <  1 ) )  -> 
( abs `  (
( ( ( exp `  w )  -  1 )  /  w )  -  1 ) )  <_  ( abs `  w
) )
166 simprl 734 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( x  e.  RR+  /\  ( w  e.  CC  /\  w  =/=  0 ) )  /\  ( ( abs `  w )  <  x  /\  ( abs `  w )  <  1 ) )  -> 
( abs `  w
)  <  x )
16746, 47, 49, 165, 166lelttrd 9233 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( x  e.  RR+  /\  ( w  e.  CC  /\  w  =/=  0 ) )  /\  ( ( abs `  w )  <  x  /\  ( abs `  w )  <  1 ) )  -> 
( abs `  (
( ( ( exp `  w )  -  1 )  /  w )  -  1 ) )  <  x )
16837, 167eqbrtrd 4235 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( x  e.  RR+  /\  ( w  e.  CC  /\  w  =/=  0 ) )  /\  ( ( abs `  w )  <  x  /\  ( abs `  w )  <  1 ) )  -> 
( abs `  (
( ( z  e.  ( CC  \  {
0 } )  |->  ( ( ( exp `  z
)  -  1 )  /  z ) ) `
 w )  - 
1 ) )  < 
x )
169168ex 425 . . . . . . . . 9  |-  ( ( x  e.  RR+  /\  (
w  e.  CC  /\  w  =/=  0 ) )  ->  ( ( ( abs `  w )  <  x  /\  ( abs `  w )  <  1 )  ->  ( abs `  ( ( ( z  e.  ( CC 
\  { 0 } )  |->  ( ( ( exp `  z )  -  1 )  / 
z ) ) `  w )  -  1 ) )  <  x
) )
17025, 169sylbid 208 . . . . . . . 8  |-  ( ( x  e.  RR+  /\  (
w  e.  CC  /\  w  =/=  0 ) )  ->  ( ( abs `  ( w  -  0 ) )  <  if ( x  <_  1 ,  x ,  1 )  ->  ( abs `  (
( ( z  e.  ( CC  \  {
0 } )  |->  ( ( ( exp `  z
)  -  1 )  /  z ) ) `
 w )  - 
1 ) )  < 
x ) )
171170adantld 455 . . . . . . 7  |-  ( ( x  e.  RR+  /\  (
w  e.  CC  /\  w  =/=  0 ) )  ->  ( ( w  =/=  0  /\  ( abs `  ( w  - 
0 ) )  < 
if ( x  <_ 
1 ,  x ,  1 ) )  -> 
( abs `  (
( ( z  e.  ( CC  \  {
0 } )  |->  ( ( ( exp `  z
)  -  1 )  /  z ) ) `
 w )  - 
1 ) )  < 
x ) )
17213, 171sylan2b 463 . . . . . 6  |-  ( ( x  e.  RR+  /\  w  e.  ( CC  \  {
0 } ) )  ->  ( ( w  =/=  0  /\  ( abs `  ( w  - 
0 ) )  < 
if ( x  <_ 
1 ,  x ,  1 ) )  -> 
( abs `  (
( ( z  e.  ( CC  \  {
0 } )  |->  ( ( ( exp `  z
)  -  1 )  /  z ) ) `
 w )  - 
1 ) )  < 
x ) )
173172ralrimiva 2791 . . . . 5  |-  ( x  e.  RR+  ->  A. w  e.  ( CC  \  {
0 } ) ( ( w  =/=  0  /\  ( abs `  (
w  -  0 ) )  <  if ( x  <_  1 ,  x ,  1 ) )  ->  ( abs `  ( ( ( z  e.  ( CC  \  { 0 } ) 
|->  ( ( ( exp `  z )  -  1 )  /  z ) ) `  w )  -  1 ) )  <  x ) )
174 breq2 4219 . . . . . . . . 9  |-  ( y  =  if ( x  <_  1 ,  x ,  1 )  -> 
( ( abs `  (
w  -  0 ) )  <  y  <->  ( abs `  ( w  -  0 ) )  <  if ( x  <_  1 ,  x ,  1 ) ) )
175174anbi2d 686 . . . . . . . 8  |-  ( y  =  if ( x  <_  1 ,  x ,  1 )  -> 
( ( w  =/=  0  /\  ( abs `  ( w  -  0 ) )  <  y
)  <->  ( w  =/=  0  /\  ( abs `  ( w  -  0 ) )  <  if ( x  <_  1 ,  x ,  1 ) ) ) )
176175imbi1d 310 . . . . . . 7  |-  ( y  =  if ( x  <_  1 ,  x ,  1 )  -> 
( ( ( w  =/=  0  /\  ( abs `  ( w  - 
0 ) )  < 
y )  ->  ( abs `  ( ( ( z  e.  ( CC 
\  { 0 } )  |->  ( ( ( exp `  z )  -  1 )  / 
z ) ) `  w )  -  1 ) )  <  x
)  <->  ( ( w  =/=  0  /\  ( abs `  ( w  - 
0 ) )  < 
if ( x  <_ 
1 ,  x ,  1 ) )  -> 
( abs `  (
( ( z  e.  ( CC  \  {
0 } )  |->  ( ( ( exp `  z
)  -  1 )  /  z ) ) `
 w )  - 
1 ) )  < 
x ) ) )
177176ralbidv 2727 . . . . . 6  |-  ( y  =  if ( x  <_  1 ,  x ,  1 )  -> 
( A. w  e.  ( CC  \  {
0 } ) ( ( w  =/=  0  /\  ( abs `  (
w  -  0 ) )  <  y )  ->  ( abs `  (
( ( z  e.  ( CC  \  {
0 } )  |->  ( ( ( exp `  z
)  -  1 )  /  z ) ) `
 w )  - 
1 ) )  < 
x )  <->  A. w  e.  ( CC  \  {
0 } ) ( ( w  =/=  0  /\  ( abs `  (
w  -  0 ) )  <  if ( x  <_  1 ,  x ,  1 ) )  ->  ( abs `  ( ( ( z  e.  ( CC  \  { 0 } ) 
|->  ( ( ( exp `  z )  -  1 )  /  z ) ) `  w )  -  1 ) )  <  x ) ) )
178177rspcev 3054 . . . . 5  |-  ( ( if ( x  <_ 
1 ,  x ,  1 )  e.  RR+  /\ 
A. w  e.  ( CC  \  { 0 } ) ( ( w  =/=  0  /\  ( abs `  (
w  -  0 ) )  <  if ( x  <_  1 ,  x ,  1 ) )  ->  ( abs `  ( ( ( z  e.  ( CC  \  { 0 } ) 
|->  ( ( ( exp `  z )  -  1 )  /  z ) ) `  w )  -  1 ) )  <  x ) )  ->  E. y  e.  RR+  A. w  e.  ( CC 
\  { 0 } ) ( ( w  =/=  0  /\  ( abs `  ( w  - 
0 ) )  < 
y )  ->  ( abs `  ( ( ( z  e.  ( CC 
\  { 0 } )  |->  ( ( ( exp `  z )  -  1 )  / 
z ) ) `  w )  -  1 ) )  <  x
) )
17912, 173, 178syl2anc 644 . . . 4  |-  ( x  e.  RR+  ->  E. y  e.  RR+  A. w  e.  ( CC  \  {
0 } ) ( ( w  =/=  0  /\  ( abs `  (
w  -  0 ) )  <  y )  ->  ( abs `  (
( ( z  e.  ( CC  \  {
0 } )  |->  ( ( ( exp `  z
)  -  1 )  /  z ) ) `
 w )  - 
1 ) )  < 
x ) )
180179rgen 2773 . . 3  |-  A. x  e.  RR+  E. y  e.  RR+  A. w  e.  ( CC  \  { 0 } ) ( ( w  =/=  0  /\  ( abs `  (
w  -  0 ) )  <  y )  ->  ( abs `  (
( ( z  e.  ( CC  \  {
0 } )  |->  ( ( ( exp `  z
)  -  1 )  /  z ) ) `
 w )  - 
1 ) )  < 
x )
181 eldifi 3471 . . . . . . . . . 10  |-  ( z  e.  ( CC  \  { 0 } )  ->  z  e.  CC )
182 efcl 12690 . . . . . . . . . 10  |-  ( z  e.  CC  ->  ( exp `  z )  e.  CC )
183181, 182syl 16 . . . . . . . . 9  |-  ( z  e.  ( CC  \  { 0 } )  ->  ( exp `  z
)  e.  CC )
1849a1i 11 . . . . . . . . 9  |-  ( z  e.  ( CC  \  { 0 } )  ->  1  e.  CC )
185183, 184subcld 9416 . . . . . . . 8  |-  ( z  e.  ( CC  \  { 0 } )  ->  ( ( exp `  z )  -  1 )  e.  CC )
186 eldifsni 3930 . . . . . . . 8  |-  ( z  e.  ( CC  \  { 0 } )  ->  z  =/=  0
)
187185, 181, 186divcld 9795 . . . . . . 7  |-  ( z  e.  ( CC  \  { 0 } )  ->  ( ( ( exp `  z )  -  1 )  / 
z )  e.  CC )
18832, 187fmpti 5895 . . . . . 6  |-  ( z  e.  ( CC  \  { 0 } ) 
|->  ( ( ( exp `  z )  -  1 )  /  z ) ) : ( CC 
\  { 0 } ) --> CC
189188a1i 11 . . . . 5  |-  (  T. 
->  ( z  e.  ( CC  \  { 0 } )  |->  ( ( ( exp `  z
)  -  1 )  /  z ) ) : ( CC  \  { 0 } ) --> CC )
190 difssd 3477 . . . . 5  |-  (  T. 
->  ( CC  \  {
0 } )  C_  CC )
1911a1i 11 . . . . 5  |-  (  T. 
->  0  e.  CC )
192189, 190, 191ellimc3 19771 . . . 4  |-  (  T. 
->  ( 1  e.  ( ( z  e.  ( CC  \  { 0 } )  |->  ( ( ( exp `  z
)  -  1 )  /  z ) ) lim
CC  0 )  <->  ( 1  e.  CC  /\  A. x  e.  RR+  E. y  e.  RR+  A. w  e.  ( CC  \  {
0 } ) ( ( w  =/=  0  /\  ( abs `  (
w  -  0 ) )  <  y )  ->  ( abs `  (
( ( z  e.  ( CC  \  {
0 } )  |->  ( ( ( exp `  z
)  -  1 )  /  z ) ) `
 w )  - 
1 ) )  < 
x ) ) ) )
193192trud 1333 . . 3  |-  ( 1  e.  ( ( z  e.  ( CC  \  { 0 } ) 
|->  ( ( ( exp `  z )  -  1 )  /  z ) ) lim CC  0 )  <-> 
( 1  e.  CC  /\ 
A. x  e.  RR+  E. y  e.  RR+  A. w  e.  ( CC  \  {
0 } ) ( ( w  =/=  0  /\  ( abs `  (
w  -  0 ) )  <  y )  ->  ( abs `  (
( ( z  e.  ( CC  \  {
0 } )  |->  ( ( ( exp `  z
)  -  1 )  /  z ) ) `
 w )  - 
1 ) )  < 
x ) ) )
1949, 180, 193mpbir2an 888 . 2  |-  1  e.  ( ( z  e.  ( CC  \  {
0 } )  |->  ( ( ( exp `  z
)  -  1 )  /  z ) ) lim
CC  0 )
1955restid 13666 . . . . . 6  |-  ( (
TopOpen ` fld )  e.  Top  ->  ( ( TopOpen ` fld )t  CC )  =  (
TopOpen ` fld ) )
1963, 195ax-mp 5 . . . . 5  |-  ( (
TopOpen ` fld )t  CC )  =  (
TopOpen ` fld )
197196eqcomi 2442 . . . 4  |-  ( TopOpen ` fld )  =  ( ( TopOpen ` fld )t  CC )
198181subid1d 9405 . . . . . . 7  |-  ( z  e.  ( CC  \  { 0 } )  ->  ( z  - 
0 )  =  z )
199198oveq2d 6100 . . . . . 6  |-  ( z  e.  ( CC  \  { 0 } )  ->  ( ( ( exp `  z )  -  ( exp `  0
) )  /  (
z  -  0 ) )  =  ( ( ( exp `  z
)  -  ( exp `  0 ) )  /  z ) )
200 ef0 12698 . . . . . . . 8  |-  ( exp `  0 )  =  1
201200oveq2i 6095 . . . . . . 7  |-  ( ( exp `  z )  -  ( exp `  0
) )  =  ( ( exp `  z
)  -  1 )
202201oveq1i 6094 . . . . . 6  |-  ( ( ( exp `  z
)  -  ( exp `  0 ) )  /  z )  =  ( ( ( exp `  z )  -  1 )  /  z )
203199, 202syl6req 2487 . . . . 5  |-  ( z  e.  ( CC  \  { 0 } )  ->  ( ( ( exp `  z )  -  1 )  / 
z )  =  ( ( ( exp `  z
)  -  ( exp `  0 ) )  /  ( z  - 
0 ) ) )
204203mpteq2ia 4294 . . . 4  |-  ( z  e.  ( CC  \  { 0 } ) 
|->  ( ( ( exp `  z )  -  1 )  /  z ) )  =  ( z  e.  ( CC  \  { 0 } ) 
|->  ( ( ( exp `  z )  -  ( exp `  0 ) )  /  ( z  - 
0 ) ) )
205 ssid 3369 . . . . 5  |-  CC  C_  CC
206205a1i 11 . . . 4  |-  (  T. 
->  CC  C_  CC )
207 eff 12689 . . . . 5  |-  exp : CC
--> CC
208207a1i 11 . . . 4  |-  (  T. 
->  exp : CC --> CC )
209197, 2, 204, 206, 208, 206eldv 19790 . . 3  |-  (  T. 
->  ( 0 ( CC 
_D  exp ) 1  <->  (
0  e.  ( ( int `  ( TopOpen ` fld )
) `  CC )  /\  1  e.  (
( z  e.  ( CC  \  { 0 } )  |->  ( ( ( exp `  z
)  -  1 )  /  z ) ) lim
CC  0 ) ) ) )
210209trud 1333 . 2  |-  ( 0 ( CC  _D  exp ) 1  <->  ( 0  e.  ( ( int `  ( TopOpen ` fld ) ) `  CC )  /\  1  e.  ( ( z  e.  ( CC  \  { 0 } )  |->  ( ( ( exp `  z
)  -  1 )  /  z ) ) lim
CC  0 ) ) )
2118, 194, 210mpbir2an 888 1  |-  0
( CC  _D  exp ) 1
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    <-> wb 178    /\ wa 360    T. wtru 1326    = wceq 1653    e. wcel 1726    =/= wne 2601   A.wral 2707   E.wrex 2708    \ cdif 3319    C_ wss 3322   ifcif 3741   {csn 3816   class class class wbr 4215    e. cmpt 4269   -->wf 5453   ` cfv 5457  (class class class)co 6084   CCcc 8993   RRcr 8994   0cc0 8995   1c1 8996    + caddc 8998    x. cmul 9000    < clt 9125    <_ cle 9126    - cmin 9296    / cdiv 9682   NNcn 10005   2c2 10054   3c3 10055   4c4 10056   NN0cn0 10226   ZZ>=cuz 10493   RR+crp 10617   ^cexp 11387   !cfa 11571   abscabs 12044   sum_csu 12484   expce 12669   ↾t crest 13653   TopOpenctopn 13654  ℂfldccnfld 16708   Topctop 16963   intcnt 17086   lim CC climc 19754    _D cdv 19755
This theorem is referenced by:  dvef  19869
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1556  ax-5 1567  ax-17 1627  ax-9 1667  ax-8 1688  ax-13 1728  ax-14 1730  ax-6 1745  ax-7 1750  ax-11 1762  ax-12 1951  ax-ext 2419  ax-rep 4323  ax-sep 4333  ax-nul 4341  ax-pow 4380  ax-pr 4406  ax-un 4704  ax-inf2 7599  ax-cnex 9051  ax-resscn 9052  ax-1cn 9053  ax-icn 9054  ax-addcl 9055  ax-addrcl 9056  ax-mulcl 9057  ax-mulrcl 9058  ax-mulcom 9059  ax-addass 9060  ax-mulass 9061  ax-distr 9062  ax-i2m1 9063  ax-1ne0 9064  ax-1rid 9065  ax-rnegex 9066  ax-rrecex 9067  ax-cnre 9068  ax-pre-lttri 9069  ax-pre-lttrn 9070  ax-pre-ltadd 9071  ax-pre-mulgt0 9072  ax-pre-sup 9073  ax-addf 9074  ax-mulf 9075
This theorem depends on definitions:  df-bi 179  df-or 361  df-an 362  df-3or 938  df-3an 939  df-tru 1329  df-ex 1552  df-nf 1555  df-sb 1660  df-eu 2287  df-mo 2288  df-clab 2425  df-cleq 2431  df-clel 2434  df-nfc 2563  df-ne 2603  df-nel 2604  df-ral 2712  df-rex 2713  df-reu 2714  df-rmo 2715  df-rab 2716  df-v 2960  df-sbc 3164  df-csb 3254  df-dif 3325  df-un 3327  df-in 3329  df-ss 3336  df-pss 3338  df-nul 3631  df-if 3742  df-pw 3803  df-sn 3822  df-pr 3823  df-tp 3824  df-op 3825  df-uni 4018  df-int 4053  df-iun 4097  df-br 4216  df-opab 4270  df-mpt 4271  df-tr 4306  df-eprel 4497  df-id 4501  df-po 4506  df-so 4507  df-fr 4544  df-se 4545  df-we 4546  df-ord 4587  df-on 4588  df-lim 4589  df-suc 4590  df-om 4849  df-xp 4887  df-rel 4888  df-cnv 4889  df-co 4890  df-dm 4891  df-rn 4892  df-res 4893  df-ima 4894  df-iota 5421  df-fun 5459  df-fn 5460  df-f 5461  df-f1 5462  df-fo 5463  df-f1o 5464  df-fv 5465  df-isom 5466  df-ov 6087  df-oprab 6088  df-mpt2 6089  df-1st 6352  df-2nd 6353  df-riota 6552  df-recs 6636  df-rdg 6671  df-1o 6727  df-oadd 6731  df-er 6908  df-map 7023  df-pm 7024  df-en 7113  df-dom 7114  df-sdom 7115  df-fin 7116  df-fi 7419  df-sup 7449  df-oi 7482  df-card 7831  df-pnf 9127  df-mnf 9128  df-xr 9129  df-ltxr 9130  df-le 9131  df-sub 9298  df-neg 9299  df-div 9683  df-nn 10006  df-2 10063  df-3 10064  df-4 10065  df-5 10066  df-6 10067  df-7 10068  df-8 10069  df-9 10070  df-10 10071  df-n0 10227  df-z 10288  df-dec 10388  df-uz 10494  df-q 10580  df-rp 10618  df-xneg 10715  df-xadd 10716  df-xmul 10717  df-ico 10927  df-fz 11049  df-fzo 11141  df-fl 11207  df-seq 11329  df-exp 11388  df-fac 11572  df-hash 11624  df-shft 11887  df-cj 11909  df-re 11910  df-im 11911  df-sqr 12045  df-abs 12046  df-limsup 12270  df-clim 12287  df-rlim 12288  df-sum 12485  df-ef 12675  df-struct 13476  df-ndx 13477  df-slot 13478  df-base 13479  df-plusg 13547  df-mulr 13548  df-starv 13549  df-tset 13553  df-ple 13554  df-ds 13556  df-unif 13557  df-rest 13655  df-topn 13656  df-topgen 13672  df-psmet 16699  df-xmet 16700  df-met 16701  df-bl 16702  df-mopn 16703  df-cnfld 16709  df-top 16968  df-bases 16970  df-topon 16971  df-topsp 16972  df-ntr 17089  df-cnp 17297  df-xms 18355  df-ms 18356  df-limc 19758  df-dv 19759
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