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Theorem dveflem 19326
Description: Derivative of the exponential function at 0. The key step in the proof is eftlub 12389, to show that  abs ( exp ( x )  - 
1  -  x )  <_  abs ( x ) ^ 2  x.  (
3  /  4 ). (Contributed by Mario Carneiro, 9-Aug-2014.) (Revised by Mario Carneiro, 28-Dec-2016.)
Assertion
Ref Expression
dveflem  |-  0
( CC  _D  exp ) 1

Proof of Theorem dveflem
Dummy variables  k  n  w  x  y 
z are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 0cn 8831 . . 3  |-  0  e.  CC
2 eqid 2283 . . . . 5  |-  ( TopOpen ` fld )  =  ( TopOpen ` fld )
32cnfldtop 18293 . . . 4  |-  ( TopOpen ` fld )  e.  Top
42cnfldtopon 18292 . . . . . 6  |-  ( TopOpen ` fld )  e.  (TopOn `  CC )
54toponunii 16670 . . . . 5  |-  CC  =  U. ( TopOpen ` fld )
65ntrtop 16807 . . . 4  |-  ( (
TopOpen ` fld )  e.  Top  ->  ( ( int `  ( TopOpen
` fld
) ) `  CC )  =  CC )
73, 6ax-mp 8 . . 3  |-  ( ( int `  ( TopOpen ` fld )
) `  CC )  =  CC
81, 7eleqtrri 2356 . 2  |-  0  e.  ( ( int `  ( TopOpen
` fld
) ) `  CC )
9 ax-1cn 8795 . . 3  |-  1  e.  CC
10 1rp 10358 . . . . . 6  |-  1  e.  RR+
11 ifcl 3601 . . . . . 6  |-  ( ( x  e.  RR+  /\  1  e.  RR+ )  ->  if ( x  <_  1 ,  x ,  1 )  e.  RR+ )
1210, 11mpan2 652 . . . . 5  |-  ( x  e.  RR+  ->  if ( x  <_  1 ,  x ,  1 )  e.  RR+ )
13 eldifsn 3749 . . . . . . 7  |-  ( w  e.  ( CC  \  { 0 } )  <-> 
( w  e.  CC  /\  w  =/=  0 ) )
14 simprl 732 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( x  e.  RR+  /\  (
w  e.  CC  /\  w  =/=  0 ) )  ->  w  e.  CC )
1514subid1d 9146 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( x  e.  RR+  /\  (
w  e.  CC  /\  w  =/=  0 ) )  ->  ( w  - 
0 )  =  w )
1615fveq2d 5529 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( x  e.  RR+  /\  (
w  e.  CC  /\  w  =/=  0 ) )  ->  ( abs `  (
w  -  0 ) )  =  ( abs `  w ) )
1716breq1d 4033 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( x  e.  RR+  /\  (
w  e.  CC  /\  w  =/=  0 ) )  ->  ( ( abs `  ( w  -  0 ) )  <  if ( x  <_  1 ,  x ,  1 )  <-> 
( abs `  w
)  <  if (
x  <_  1 ,  x ,  1 ) ) )
1814abscld 11918 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( x  e.  RR+  /\  (
w  e.  CC  /\  w  =/=  0 ) )  ->  ( abs `  w
)  e.  RR )
19 rpre 10360 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( x  e.  RR+  ->  x  e.  RR )
2019adantr 451 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( x  e.  RR+  /\  (
w  e.  CC  /\  w  =/=  0 ) )  ->  x  e.  RR )
21 1re 8837 . . . . . . . . . . . 12  |-  1  e.  RR
2221a1i 10 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( x  e.  RR+  /\  (
w  e.  CC  /\  w  =/=  0 ) )  ->  1  e.  RR )
23 ltmin 10522 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( abs `  w
)  e.  RR  /\  x  e.  RR  /\  1  e.  RR )  ->  (
( abs `  w
)  <  if (
x  <_  1 ,  x ,  1 )  <-> 
( ( abs `  w
)  <  x  /\  ( abs `  w )  <  1 ) ) )
2418, 20, 22, 23syl3anc 1182 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( x  e.  RR+  /\  (
w  e.  CC  /\  w  =/=  0 ) )  ->  ( ( abs `  w )  <  if ( x  <_  1 ,  x ,  1 )  <-> 
( ( abs `  w
)  <  x  /\  ( abs `  w )  <  1 ) ) )
2517, 24bitrd 244 . . . . . . . . 9  |-  ( ( x  e.  RR+  /\  (
w  e.  CC  /\  w  =/=  0 ) )  ->  ( ( abs `  ( w  -  0 ) )  <  if ( x  <_  1 ,  x ,  1 )  <-> 
( ( abs `  w
)  <  x  /\  ( abs `  w )  <  1 ) ) )
26 simplr 731 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( x  e.  RR+  /\  ( w  e.  CC  /\  w  =/=  0 ) )  /\  ( ( abs `  w )  <  x  /\  ( abs `  w )  <  1 ) )  -> 
( w  e.  CC  /\  w  =/=  0 ) )
2726, 13sylibr 203 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( x  e.  RR+  /\  ( w  e.  CC  /\  w  =/=  0 ) )  /\  ( ( abs `  w )  <  x  /\  ( abs `  w )  <  1 ) )  ->  w  e.  ( CC  \  { 0 } ) )
28 fveq2 5525 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( z  =  w  ->  ( exp `  z )  =  ( exp `  w
) )
2928oveq1d 5873 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( z  =  w  ->  (
( exp `  z
)  -  1 )  =  ( ( exp `  w )  -  1 ) )
30 id 19 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( z  =  w  ->  z  =  w )
3129, 30oveq12d 5876 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( z  =  w  ->  (
( ( exp `  z
)  -  1 )  /  z )  =  ( ( ( exp `  w )  -  1 )  /  w ) )
32 eqid 2283 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( z  e.  ( CC  \  { 0 } ) 
|->  ( ( ( exp `  z )  -  1 )  /  z ) )  =  ( z  e.  ( CC  \  { 0 } ) 
|->  ( ( ( exp `  z )  -  1 )  /  z ) )
33 ovex 5883 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( exp `  w
)  -  1 )  /  w )  e. 
_V
3431, 32, 33fvmpt 5602 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( w  e.  ( CC  \  { 0 } )  ->  ( ( z  e.  ( CC  \  { 0 } ) 
|->  ( ( ( exp `  z )  -  1 )  /  z ) ) `  w )  =  ( ( ( exp `  w )  -  1 )  /  w ) )
3527, 34syl 15 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( x  e.  RR+  /\  ( w  e.  CC  /\  w  =/=  0 ) )  /\  ( ( abs `  w )  <  x  /\  ( abs `  w )  <  1 ) )  -> 
( ( z  e.  ( CC  \  {
0 } )  |->  ( ( ( exp `  z
)  -  1 )  /  z ) ) `
 w )  =  ( ( ( exp `  w )  -  1 )  /  w ) )
3635oveq1d 5873 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( x  e.  RR+  /\  ( w  e.  CC  /\  w  =/=  0 ) )  /\  ( ( abs `  w )  <  x  /\  ( abs `  w )  <  1 ) )  -> 
( ( ( z  e.  ( CC  \  { 0 } ) 
|->  ( ( ( exp `  z )  -  1 )  /  z ) ) `  w )  -  1 )  =  ( ( ( ( exp `  w )  -  1 )  /  w )  -  1 ) )
3736fveq2d 5529 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( x  e.  RR+  /\  ( w  e.  CC  /\  w  =/=  0 ) )  /\  ( ( abs `  w )  <  x  /\  ( abs `  w )  <  1 ) )  -> 
( abs `  (
( ( z  e.  ( CC  \  {
0 } )  |->  ( ( ( exp `  z
)  -  1 )  /  z ) ) `
 w )  - 
1 ) )  =  ( abs `  (
( ( ( exp `  w )  -  1 )  /  w )  -  1 ) ) )
3826simpld 445 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( ( x  e.  RR+  /\  ( w  e.  CC  /\  w  =/=  0 ) )  /\  ( ( abs `  w )  <  x  /\  ( abs `  w )  <  1 ) )  ->  w  e.  CC )
39 efcl 12364 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( w  e.  CC  ->  ( exp `  w )  e.  CC )
4038, 39syl 15 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( x  e.  RR+  /\  ( w  e.  CC  /\  w  =/=  0 ) )  /\  ( ( abs `  w )  <  x  /\  ( abs `  w )  <  1 ) )  -> 
( exp `  w
)  e.  CC )
419a1i 10 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( x  e.  RR+  /\  ( w  e.  CC  /\  w  =/=  0 ) )  /\  ( ( abs `  w )  <  x  /\  ( abs `  w )  <  1 ) )  -> 
1  e.  CC )
4240, 41subcld 9157 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( x  e.  RR+  /\  ( w  e.  CC  /\  w  =/=  0 ) )  /\  ( ( abs `  w )  <  x  /\  ( abs `  w )  <  1 ) )  -> 
( ( exp `  w
)  -  1 )  e.  CC )
43 simplrl 736 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( x  e.  RR+  /\  ( w  e.  CC  /\  w  =/=  0 ) )  /\  ( ( abs `  w )  <  x  /\  ( abs `  w )  <  1 ) )  ->  w  e.  CC )
44 simplrr 737 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( x  e.  RR+  /\  ( w  e.  CC  /\  w  =/=  0 ) )  /\  ( ( abs `  w )  <  x  /\  ( abs `  w )  <  1 ) )  ->  w  =/=  0 )
4542, 43, 44divcld 9536 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( x  e.  RR+  /\  ( w  e.  CC  /\  w  =/=  0 ) )  /\  ( ( abs `  w )  <  x  /\  ( abs `  w )  <  1 ) )  -> 
( ( ( exp `  w )  -  1 )  /  w )  e.  CC )
4645, 41subcld 9157 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( x  e.  RR+  /\  ( w  e.  CC  /\  w  =/=  0 ) )  /\  ( ( abs `  w )  <  x  /\  ( abs `  w )  <  1 ) )  -> 
( ( ( ( exp `  w )  -  1 )  /  w )  -  1 )  e.  CC )
4746abscld 11918 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( x  e.  RR+  /\  ( w  e.  CC  /\  w  =/=  0 ) )  /\  ( ( abs `  w )  <  x  /\  ( abs `  w )  <  1 ) )  -> 
( abs `  (
( ( ( exp `  w )  -  1 )  /  w )  -  1 ) )  e.  RR )
48 abscl 11763 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( w  e.  CC  ->  ( abs `  w )  e.  RR )
4943, 48syl 15 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( x  e.  RR+  /\  ( w  e.  CC  /\  w  =/=  0 ) )  /\  ( ( abs `  w )  <  x  /\  ( abs `  w )  <  1 ) )  -> 
( abs `  w
)  e.  RR )
50 simpll 730 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( x  e.  RR+  /\  ( w  e.  CC  /\  w  =/=  0 ) )  /\  ( ( abs `  w )  <  x  /\  ( abs `  w )  <  1 ) )  ->  x  e.  RR+ )
5150rpred 10390 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( x  e.  RR+  /\  ( w  e.  CC  /\  w  =/=  0 ) )  /\  ( ( abs `  w )  <  x  /\  ( abs `  w )  <  1 ) )  ->  x  e.  RR )
5248ad2antrr 706 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( ( w  e.  CC  /\  w  =/=  0 )  /\  ( abs `  w
)  <  1 )  ->  ( abs `  w
)  e.  RR )
5339ad2antrr 706 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( ( ( w  e.  CC  /\  w  =/=  0 )  /\  ( abs `  w
)  <  1 )  ->  ( exp `  w
)  e.  CC )
54 subcl 9051 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( ( ( exp `  w
)  e.  CC  /\  1  e.  CC )  ->  ( ( exp `  w
)  -  1 )  e.  CC )
5553, 9, 54sylancl 643 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( ( ( w  e.  CC  /\  w  =/=  0 )  /\  ( abs `  w
)  <  1 )  ->  ( ( exp `  w )  -  1 )  e.  CC )
56 simpll 730 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( ( ( w  e.  CC  /\  w  =/=  0 )  /\  ( abs `  w
)  <  1 )  ->  w  e.  CC )
57 simplr 731 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( ( ( w  e.  CC  /\  w  =/=  0 )  /\  ( abs `  w
)  <  1 )  ->  w  =/=  0
)
5855, 56, 57divcld 9536 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ( ( w  e.  CC  /\  w  =/=  0 )  /\  ( abs `  w
)  <  1 )  ->  ( ( ( exp `  w )  -  1 )  /  w )  e.  CC )
599a1i 10 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ( ( w  e.  CC  /\  w  =/=  0 )  /\  ( abs `  w
)  <  1 )  ->  1  e.  CC )
6058, 59subcld 9157 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( ( w  e.  CC  /\  w  =/=  0 )  /\  ( abs `  w
)  <  1 )  ->  ( ( ( ( exp `  w
)  -  1 )  /  w )  - 
1 )  e.  CC )
6160abscld 11918 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( ( w  e.  CC  /\  w  =/=  0 )  /\  ( abs `  w
)  <  1 )  ->  ( abs `  (
( ( ( exp `  w )  -  1 )  /  w )  -  1 ) )  e.  RR )
6252, 61remulcld 8863 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( w  e.  CC  /\  w  =/=  0 )  /\  ( abs `  w
)  <  1 )  ->  ( ( abs `  w )  x.  ( abs `  ( ( ( ( exp `  w
)  -  1 )  /  w )  - 
1 ) ) )  e.  RR )
6352resqcld 11271 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( ( w  e.  CC  /\  w  =/=  0 )  /\  ( abs `  w
)  <  1 )  ->  ( ( abs `  w ) ^ 2 )  e.  RR )
64 3re 9817 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  3  e.  RR
65 4nn 9879 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  4  e.  NN
66 nndivre 9781 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( 3  e.  RR  /\  4  e.  NN )  ->  ( 3  /  4
)  e.  RR )
6764, 65, 66mp2an 653 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( 3  /  4 )  e.  RR
68 remulcl 8822 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( ( ( abs `  w
) ^ 2 )  e.  RR  /\  (
3  /  4 )  e.  RR )  -> 
( ( ( abs `  w ) ^ 2 )  x.  ( 3  /  4 ) )  e.  RR )
6963, 67, 68sylancl 643 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( w  e.  CC  /\  w  =/=  0 )  /\  ( abs `  w
)  <  1 )  ->  ( ( ( abs `  w ) ^ 2 )  x.  ( 3  /  4
) )  e.  RR )
7055, 56subcld 9157 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22  |-  ( ( ( w  e.  CC  /\  w  =/=  0 )  /\  ( abs `  w
)  <  1 )  ->  ( ( ( exp `  w )  -  1 )  -  w )  e.  CC )
7170, 56, 57divcan2d 9538 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( ( ( w  e.  CC  /\  w  =/=  0 )  /\  ( abs `  w
)  <  1 )  ->  ( w  x.  ( ( ( ( exp `  w )  -  1 )  -  w )  /  w
) )  =  ( ( ( exp `  w
)  -  1 )  -  w ) )
7255, 56, 56, 57divsubdird 9575 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23  |-  ( ( ( w  e.  CC  /\  w  =/=  0 )  /\  ( abs `  w
)  <  1 )  ->  ( ( ( ( exp `  w
)  -  1 )  -  w )  /  w )  =  ( ( ( ( exp `  w )  -  1 )  /  w )  -  ( w  /  w ) ) )
7356, 57dividd 9534 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24  |-  ( ( ( w  e.  CC  /\  w  =/=  0 )  /\  ( abs `  w
)  <  1 )  ->  ( w  /  w )  =  1 )
7473oveq2d 5874 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23  |-  ( ( ( w  e.  CC  /\  w  =/=  0 )  /\  ( abs `  w
)  <  1 )  ->  ( ( ( ( exp `  w
)  -  1 )  /  w )  -  ( w  /  w
) )  =  ( ( ( ( exp `  w )  -  1 )  /  w )  -  1 ) )
7572, 74eqtrd 2315 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22  |-  ( ( ( w  e.  CC  /\  w  =/=  0 )  /\  ( abs `  w
)  <  1 )  ->  ( ( ( ( exp `  w
)  -  1 )  -  w )  /  w )  =  ( ( ( ( exp `  w )  -  1 )  /  w )  -  1 ) )
7675oveq2d 5874 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( ( ( w  e.  CC  /\  w  =/=  0 )  /\  ( abs `  w
)  <  1 )  ->  ( w  x.  ( ( ( ( exp `  w )  -  1 )  -  w )  /  w
) )  =  ( w  x.  ( ( ( ( exp `  w
)  -  1 )  /  w )  - 
1 ) ) )
7753, 59, 56subsub4d 9188 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22  |-  ( ( ( w  e.  CC  /\  w  =/=  0 )  /\  ( abs `  w
)  <  1 )  ->  ( ( ( exp `  w )  -  1 )  -  w )  =  ( ( exp `  w
)  -  ( 1  +  w ) ) )
78 eqid 2283 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25  |-  ( n  e.  NN0  |->  ( ( w ^ n )  /  ( ! `  n ) ) )  =  ( n  e. 
NN0  |->  ( ( w ^ n )  / 
( ! `  n
) ) )
79 df-2 9804 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25  |-  2  =  ( 1  +  1 )
80 1nn0 9981 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25  |-  1  e.  NN0
81 1e0p1 10152 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26  |-  1  =  ( 0  +  1 )
82 0nn0 9980 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26  |-  0  e.  NN0
831a1i 10 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26  |-  ( ( ( w  e.  CC  /\  w  =/=  0 )  /\  ( abs `  w
)  <  1 )  ->  0  e.  CC )
8478efval2 12365 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30  |-  ( w  e.  CC  ->  ( exp `  w )  = 
sum_ k  e.  NN0  ( ( n  e. 
NN0  |->  ( ( w ^ n )  / 
( ! `  n
) ) ) `  k ) )
8584ad2antrr 706 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29  |-  ( ( ( w  e.  CC  /\  w  =/=  0 )  /\  ( abs `  w
)  <  1 )  ->  ( exp `  w
)  =  sum_ k  e.  NN0  ( ( n  e.  NN0  |->  ( ( w ^ n )  /  ( ! `  n ) ) ) `
 k ) )
86 nn0uz 10262 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30  |-  NN0  =  ( ZZ>= `  0 )
8786sumeq1i 12171 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29  |-  sum_ k  e.  NN0  ( ( n  e.  NN0  |->  ( ( w ^ n )  /  ( ! `  n ) ) ) `
 k )  = 
sum_ k  e.  (
ZZ>= `  0 ) ( ( n  e.  NN0  |->  ( ( w ^
n )  /  ( ! `  n )
) ) `  k
)
8885, 87syl6req 2332 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28  |-  ( ( ( w  e.  CC  /\  w  =/=  0 )  /\  ( abs `  w
)  <  1 )  ->  sum_ k  e.  (
ZZ>= `  0 ) ( ( n  e.  NN0  |->  ( ( w ^
n )  /  ( ! `  n )
) ) `  k
)  =  ( exp `  w ) )
8988oveq2d 5874 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27  |-  ( ( ( w  e.  CC  /\  w  =/=  0 )  /\  ( abs `  w
)  <  1 )  ->  ( 0  + 
sum_ k  e.  (
ZZ>= `  0 ) ( ( n  e.  NN0  |->  ( ( w ^
n )  /  ( ! `  n )
) ) `  k
) )  =  ( 0  +  ( exp `  w ) ) )
9053addid2d 9013 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27  |-  ( ( ( w  e.  CC  /\  w  =/=  0 )  /\  ( abs `  w
)  <  1 )  ->  ( 0  +  ( exp `  w
) )  =  ( exp `  w ) )
9189, 90eqtr2d 2316 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26  |-  ( ( ( w  e.  CC  /\  w  =/=  0 )  /\  ( abs `  w
)  <  1 )  ->  ( exp `  w
)  =  ( 0  +  sum_ k  e.  (
ZZ>= `  0 ) ( ( n  e.  NN0  |->  ( ( w ^
n )  /  ( ! `  n )
) ) `  k
) ) )
92 eft0val 12392 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29  |-  ( w  e.  CC  ->  (
( w ^ 0 )  /  ( ! `
 0 ) )  =  1 )
9392ad2antrr 706 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28  |-  ( ( ( w  e.  CC  /\  w  =/=  0 )  /\  ( abs `  w
)  <  1 )  ->  ( ( w ^ 0 )  / 
( ! `  0
) )  =  1 )
9493oveq2d 5874 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27  |-  ( ( ( w  e.  CC  /\  w  =/=  0 )  /\  ( abs `  w
)  <  1 )  ->  ( 0  +  ( ( w ^
0 )  /  ( ! `  0 )
) )  =  ( 0  +  1 ) )
9594, 81syl6eqr 2333 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26  |-  ( ( ( w  e.  CC  /\  w  =/=  0 )  /\  ( abs `  w
)  <  1 )  ->  ( 0  +  ( ( w ^
0 )  /  ( ! `  0 )
) )  =  1 )
9678, 81, 82, 56, 83, 91, 95efsep 12390 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25  |-  ( ( ( w  e.  CC  /\  w  =/=  0 )  /\  ( abs `  w
)  <  1 )  ->  ( exp `  w
)  =  ( 1  +  sum_ k  e.  (
ZZ>= `  1 ) ( ( n  e.  NN0  |->  ( ( w ^
n )  /  ( ! `  n )
) ) `  k
) ) )
97 exp1 11109 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30  |-  ( w  e.  CC  ->  (
w ^ 1 )  =  w )
9897ad2antrr 706 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29  |-  ( ( ( w  e.  CC  /\  w  =/=  0 )  /\  ( abs `  w
)  <  1 )  ->  ( w ^
1 )  =  w )
9998oveq1d 5873 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28  |-  ( ( ( w  e.  CC  /\  w  =/=  0 )  /\  ( abs `  w
)  <  1 )  ->  ( ( w ^ 1 )  / 
( ! `  1
) )  =  ( w  /  ( ! `
 1 ) ) )
100 fac1 11292 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29  |-  ( ! `
 1 )  =  1
101100oveq2i 5869 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28  |-  ( w  /  ( ! ` 
1 ) )  =  ( w  /  1
)
10299, 101syl6eq 2331 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27  |-  ( ( ( w  e.  CC  /\  w  =/=  0 )  /\  ( abs `  w
)  <  1 )  ->  ( ( w ^ 1 )  / 
( ! `  1
) )  =  ( w  /  1 ) )
103 div1 9453 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28  |-  ( w  e.  CC  ->  (
w  /  1 )  =  w )
104103ad2antrr 706 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27  |-  ( ( ( w  e.  CC  /\  w  =/=  0 )  /\  ( abs `  w
)  <  1 )  ->  ( w  / 
1 )  =  w )
105102, 104eqtrd 2315 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26  |-  ( ( ( w  e.  CC  /\  w  =/=  0 )  /\  ( abs `  w
)  <  1 )  ->  ( ( w ^ 1 )  / 
( ! `  1
) )  =  w )
106105oveq2d 5874 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25  |-  ( ( ( w  e.  CC  /\  w  =/=  0 )  /\  ( abs `  w
)  <  1 )  ->  ( 1  +  ( ( w ^
1 )  /  ( ! `  1 )
) )  =  ( 1  +  w ) )
10778, 79, 80, 56, 59, 96, 106efsep 12390 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24  |-  ( ( ( w  e.  CC  /\  w  =/=  0 )  /\  ( abs `  w
)  <  1 )  ->  ( exp `  w
)  =  ( ( 1  +  w )  +  sum_ k  e.  (
ZZ>= `  2 ) ( ( n  e.  NN0  |->  ( ( w ^
n )  /  ( ! `  n )
) ) `  k
) ) )
108107eqcomd 2288 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23  |-  ( ( ( w  e.  CC  /\  w  =/=  0 )  /\  ( abs `  w
)  <  1 )  ->  ( ( 1  +  w )  + 
sum_ k  e.  (
ZZ>= `  2 ) ( ( n  e.  NN0  |->  ( ( w ^
n )  /  ( ! `  n )
) ) `  k
) )  =  ( exp `  w ) )
109 addcl 8819 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25  |-  ( ( 1  e.  CC  /\  w  e.  CC )  ->  ( 1  +  w
)  e.  CC )
1109, 56, 109sylancr 644 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24  |-  ( ( ( w  e.  CC  /\  w  =/=  0 )  /\  ( abs `  w
)  <  1 )  ->  ( 1  +  w )  e.  CC )
111 2nn0 9982 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25  |-  2  e.  NN0
11278eftlcl 12387 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25  |-  ( ( w  e.  CC  /\  2  e.  NN0 )  ->  sum_ k  e.  ( ZZ>= ` 
2 ) ( ( n  e.  NN0  |->  ( ( w ^ n )  /  ( ! `  n ) ) ) `
 k )  e.  CC )
11356, 111, 112sylancl 643 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24  |-  ( ( ( w  e.  CC  /\  w  =/=  0 )  /\  ( abs `  w
)  <  1 )  ->  sum_ k  e.  (
ZZ>= `  2 ) ( ( n  e.  NN0  |->  ( ( w ^
n )  /  ( ! `  n )
) ) `  k
)  e.  CC )
11453, 110, 113subaddd 9175 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23  |-  ( ( ( w  e.  CC  /\  w  =/=  0 )  /\  ( abs `  w
)  <  1 )  ->  ( ( ( exp `  w )  -  ( 1  +  w ) )  = 
sum_ k  e.  (
ZZ>= `  2 ) ( ( n  e.  NN0  |->  ( ( w ^
n )  /  ( ! `  n )
) ) `  k
)  <->  ( ( 1  +  w )  + 
sum_ k  e.  (
ZZ>= `  2 ) ( ( n  e.  NN0  |->  ( ( w ^
n )  /  ( ! `  n )
) ) `  k
) )  =  ( exp `  w ) ) )
115108, 114mpbird 223 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22  |-  ( ( ( w  e.  CC  /\  w  =/=  0 )  /\  ( abs `  w
)  <  1 )  ->  ( ( exp `  w )  -  (
1  +  w ) )  =  sum_ k  e.  ( ZZ>= `  2 )
( ( n  e. 
NN0  |->  ( ( w ^ n )  / 
( ! `  n
) ) ) `  k ) )
11677, 115eqtrd 2315 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( ( ( w  e.  CC  /\  w  =/=  0 )  /\  ( abs `  w
)  <  1 )  ->  ( ( ( exp `  w )  -  1 )  -  w )  =  sum_ k  e.  ( ZZ>= ` 
2 ) ( ( n  e.  NN0  |->  ( ( w ^ n )  /  ( ! `  n ) ) ) `
 k ) )
11771, 76, 1163eqtr3d 2323 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( ( ( w  e.  CC  /\  w  =/=  0 )  /\  ( abs `  w
)  <  1 )  ->  ( w  x.  ( ( ( ( exp `  w )  -  1 )  /  w )  -  1 ) )  =  sum_ k  e.  ( ZZ>= ` 
2 ) ( ( n  e.  NN0  |->  ( ( w ^ n )  /  ( ! `  n ) ) ) `
 k ) )
118117fveq2d 5529 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ( ( w  e.  CC  /\  w  =/=  0 )  /\  ( abs `  w
)  <  1 )  ->  ( abs `  (
w  x.  ( ( ( ( exp `  w
)  -  1 )  /  w )  - 
1 ) ) )  =  ( abs `  sum_ k  e.  ( ZZ>= ` 
2 ) ( ( n  e.  NN0  |->  ( ( w ^ n )  /  ( ! `  n ) ) ) `
 k ) ) )
11956, 60absmuld 11936 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ( ( w  e.  CC  /\  w  =/=  0 )  /\  ( abs `  w
)  <  1 )  ->  ( abs `  (
w  x.  ( ( ( ( exp `  w
)  -  1 )  /  w )  - 
1 ) ) )  =  ( ( abs `  w )  x.  ( abs `  ( ( ( ( exp `  w
)  -  1 )  /  w )  - 
1 ) ) ) )
120118, 119eqtr3d 2317 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( ( w  e.  CC  /\  w  =/=  0 )  /\  ( abs `  w
)  <  1 )  ->  ( abs `  sum_ k  e.  ( ZZ>= ` 
2 ) ( ( n  e.  NN0  |->  ( ( w ^ n )  /  ( ! `  n ) ) ) `
 k ) )  =  ( ( abs `  w )  x.  ( abs `  ( ( ( ( exp `  w
)  -  1 )  /  w )  - 
1 ) ) ) )
121 eqid 2283 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( n  e.  NN0  |->  ( ( ( abs `  w
) ^ n )  /  ( ! `  n ) ) )  =  ( n  e. 
NN0  |->  ( ( ( abs `  w ) ^ n )  / 
( ! `  n
) ) )
122 eqid 2283 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( n  e.  NN0  |->  ( ( ( ( abs `  w
) ^ 2 )  /  ( ! ` 
2 ) )  x.  ( ( 1  / 
( 2  +  1 ) ) ^ n
) ) )  =  ( n  e.  NN0  |->  ( ( ( ( abs `  w ) ^ 2 )  / 
( ! `  2
) )  x.  (
( 1  /  (
2  +  1 ) ) ^ n ) ) )
123 2nn 9877 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  2  e.  NN
124123a1i 10 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ( ( w  e.  CC  /\  w  =/=  0 )  /\  ( abs `  w
)  <  1 )  ->  2  e.  NN )
12521a1i 10 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( ( ( w  e.  CC  /\  w  =/=  0 )  /\  ( abs `  w
)  <  1 )  ->  1  e.  RR )
126 simpr 447 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( ( ( w  e.  CC  /\  w  =/=  0 )  /\  ( abs `  w
)  <  1 )  ->  ( abs `  w
)  <  1 )
12752, 125, 126ltled 8967 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ( ( w  e.  CC  /\  w  =/=  0 )  /\  ( abs `  w
)  <  1 )  ->  ( abs `  w
)  <_  1 )
12878, 121, 122, 124, 56, 127eftlub 12389 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( ( w  e.  CC  /\  w  =/=  0 )  /\  ( abs `  w
)  <  1 )  ->  ( abs `  sum_ k  e.  ( ZZ>= ` 
2 ) ( ( n  e.  NN0  |->  ( ( w ^ n )  /  ( ! `  n ) ) ) `
 k ) )  <_  ( ( ( abs `  w ) ^ 2 )  x.  ( ( 2  +  1 )  /  (
( ! `  2
)  x.  2 ) ) ) )
129120, 128eqbrtrrd 4045 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( ( w  e.  CC  /\  w  =/=  0 )  /\  ( abs `  w
)  <  1 )  ->  ( ( abs `  w )  x.  ( abs `  ( ( ( ( exp `  w
)  -  1 )  /  w )  - 
1 ) ) )  <_  ( ( ( abs `  w ) ^ 2 )  x.  ( ( 2  +  1 )  /  (
( ! `  2
)  x.  2 ) ) ) )
130 df-3 9805 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  3  =  ( 2  +  1 )
131 fac2 11294 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( ! `
 2 )  =  2
132131oveq1i 5868 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( ( ! `  2 )  x.  2 )  =  ( 2  x.  2 )
133 2t2e4 9871 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( 2  x.  2 )  =  4
134132, 133eqtr2i 2304 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  4  =  ( ( ! `
 2 )  x.  2 )
135130, 134oveq12i 5870 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( 3  /  4 )  =  ( ( 2  +  1 )  /  (
( ! `  2
)  x.  2 ) )
136135oveq2i 5869 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( ( abs `  w
) ^ 2 )  x.  ( 3  / 
4 ) )  =  ( ( ( abs `  w ) ^ 2 )  x.  ( ( 2  +  1 )  /  ( ( ! `
 2 )  x.  2 ) ) )
137129, 136syl6breqr 4063 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( w  e.  CC  /\  w  =/=  0 )  /\  ( abs `  w
)  <  1 )  ->  ( ( abs `  w )  x.  ( abs `  ( ( ( ( exp `  w
)  -  1 )  /  w )  - 
1 ) ) )  <_  ( ( ( abs `  w ) ^ 2 )  x.  ( 3  /  4
) ) )
13867a1i 10 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( ( w  e.  CC  /\  w  =/=  0 )  /\  ( abs `  w
)  <  1 )  ->  ( 3  / 
4 )  e.  RR )
13952sqge0d 11272 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( ( w  e.  CC  /\  w  =/=  0 )  /\  ( abs `  w
)  <  1 )  ->  0  <_  (
( abs `  w
) ^ 2 ) )
140 3lt4 9889 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22  |-  3  <  4
141 4cn 9820 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23  |-  4  e.  CC
142141mulid1i 8839 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22  |-  ( 4  x.  1 )  =  4
143140, 142breqtrri 4048 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  3  <  ( 4  x.  1 )
144 4re 9819 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23  |-  4  e.  RR
145 4pos 9832 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23  |-  0  <  4
146144, 145pm3.2i 441 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22  |-  ( 4  e.  RR  /\  0  <  4 )
147 ltdivmul 9628 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22  |-  ( ( 3  e.  RR  /\  1  e.  RR  /\  (
4  e.  RR  /\  0  <  4 ) )  ->  ( ( 3  /  4 )  <  1  <->  3  <  (
4  x.  1 ) ) )
14864, 21, 146, 147mp3an 1277 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( ( 3  /  4 )  <  1  <->  3  <  ( 4  x.  1 ) )
149143, 148mpbir 200 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( 3  /  4 )  <  1
15067, 21, 149ltleii 8941 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( 3  /  4 )  <_ 
1
151150a1i 10 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( ( w  e.  CC  /\  w  =/=  0 )  /\  ( abs `  w
)  <  1 )  ->  ( 3  / 
4 )  <_  1
)
152138, 125, 63, 139, 151lemul2ad 9697 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( ( w  e.  CC  /\  w  =/=  0 )  /\  ( abs `  w
)  <  1 )  ->  ( ( ( abs `  w ) ^ 2 )  x.  ( 3  /  4
) )  <_  (
( ( abs `  w
) ^ 2 )  x.  1 ) )
15352recnd 8861 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ( ( w  e.  CC  /\  w  =/=  0 )  /\  ( abs `  w
)  <  1 )  ->  ( abs `  w
)  e.  CC )
154153sqcld 11243 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( ( w  e.  CC  /\  w  =/=  0 )  /\  ( abs `  w
)  <  1 )  ->  ( ( abs `  w ) ^ 2 )  e.  CC )
155154mulid1d 8852 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( ( w  e.  CC  /\  w  =/=  0 )  /\  ( abs `  w
)  <  1 )  ->  ( ( ( abs `  w ) ^ 2 )  x.  1 )  =  ( ( abs `  w
) ^ 2 ) )
156152, 155breqtrd 4047 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( w  e.  CC  /\  w  =/=  0 )  /\  ( abs `  w
)  <  1 )  ->  ( ( ( abs `  w ) ^ 2 )  x.  ( 3  /  4
) )  <_  (
( abs `  w
) ^ 2 ) )
15762, 69, 63, 137, 156letrd 8973 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( w  e.  CC  /\  w  =/=  0 )  /\  ( abs `  w
)  <  1 )  ->  ( ( abs `  w )  x.  ( abs `  ( ( ( ( exp `  w
)  -  1 )  /  w )  - 
1 ) ) )  <_  ( ( abs `  w ) ^ 2 ) )
158153sqvald 11242 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( w  e.  CC  /\  w  =/=  0 )  /\  ( abs `  w
)  <  1 )  ->  ( ( abs `  w ) ^ 2 )  =  ( ( abs `  w )  x.  ( abs `  w
) ) )
159157, 158breqtrd 4047 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( w  e.  CC  /\  w  =/=  0 )  /\  ( abs `  w
)  <  1 )  ->  ( ( abs `  w )  x.  ( abs `  ( ( ( ( exp `  w
)  -  1 )  /  w )  - 
1 ) ) )  <_  ( ( abs `  w )  x.  ( abs `  w ) ) )
160 absgt0 11808 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( w  e.  CC  ->  (
w  =/=  0  <->  0  <  ( abs `  w
) ) )
161160ad2antrr 706 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( ( w  e.  CC  /\  w  =/=  0 )  /\  ( abs `  w
)  <  1 )  ->  ( w  =/=  0  <->  0  <  ( abs `  w ) ) )
16257, 161mpbid 201 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( w  e.  CC  /\  w  =/=  0 )  /\  ( abs `  w
)  <  1 )  ->  0  <  ( abs `  w ) )
16352, 162elrpd 10388 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( w  e.  CC  /\  w  =/=  0 )  /\  ( abs `  w
)  <  1 )  ->  ( abs `  w
)  e.  RR+ )
16461, 52, 163lemul2d 10430 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( w  e.  CC  /\  w  =/=  0 )  /\  ( abs `  w
)  <  1 )  ->  ( ( abs `  ( ( ( ( exp `  w )  -  1 )  /  w )  -  1 ) )  <_  ( abs `  w )  <->  ( ( abs `  w )  x.  ( abs `  (
( ( ( exp `  w )  -  1 )  /  w )  -  1 ) ) )  <_  ( ( abs `  w )  x.  ( abs `  w
) ) ) )
165159, 164mpbird 223 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( w  e.  CC  /\  w  =/=  0 )  /\  ( abs `  w
)  <  1 )  ->  ( abs `  (
( ( ( exp `  w )  -  1 )  /  w )  -  1 ) )  <_  ( abs `  w
) )
166165ad2ant2l 726 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( x  e.  RR+  /\  ( w  e.  CC  /\  w  =/=  0 ) )  /\  ( ( abs `  w )  <  x  /\  ( abs `  w )  <  1 ) )  -> 
( abs `  (
( ( ( exp `  w )  -  1 )  /  w )  -  1 ) )  <_  ( abs `  w
) )
167 simprl 732 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( x  e.  RR+  /\  ( w  e.  CC  /\  w  =/=  0 ) )  /\  ( ( abs `  w )  <  x  /\  ( abs `  w )  <  1 ) )  -> 
( abs `  w
)  <  x )
16847, 49, 51, 166, 167lelttrd 8974 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( x  e.  RR+  /\  ( w  e.  CC  /\  w  =/=  0 ) )  /\  ( ( abs `  w )  <  x  /\  ( abs `  w )  <  1 ) )  -> 
( abs `  (
( ( ( exp `  w )  -  1 )  /  w )  -  1 ) )  <  x )
16937, 168eqbrtrd 4043 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( x  e.  RR+  /\  ( w  e.  CC  /\  w  =/=  0 ) )  /\  ( ( abs `  w )  <  x  /\  ( abs `  w )  <  1 ) )  -> 
( abs `  (
( ( z  e.  ( CC  \  {
0 } )  |->  ( ( ( exp `  z
)  -  1 )  /  z ) ) `
 w )  - 
1 ) )  < 
x )
170169ex 423 . . . . . . . . 9  |-  ( ( x  e.  RR+  /\  (
w  e.  CC  /\  w  =/=  0 ) )  ->  ( ( ( abs `  w )  <  x  /\  ( abs `  w )  <  1 )  ->  ( abs `  ( ( ( z  e.  ( CC 
\  { 0 } )  |->  ( ( ( exp `  z )  -  1 )  / 
z ) ) `  w )  -  1 ) )  <  x
) )
17125, 170sylbid 206 . . . . . . . 8  |-  ( ( x  e.  RR+  /\  (
w  e.  CC  /\  w  =/=  0 ) )  ->  ( ( abs `  ( w  -  0 ) )  <  if ( x  <_  1 ,  x ,  1 )  ->  ( abs `  (
( ( z  e.  ( CC  \  {
0 } )  |->  ( ( ( exp `  z
)  -  1 )  /  z ) ) `
 w )  - 
1 ) )  < 
x ) )
172171adantld 453 . . . . . . 7  |-  ( ( x  e.  RR+  /\  (
w  e.  CC  /\  w  =/=  0 ) )  ->  ( ( w  =/=  0  /\  ( abs `  ( w  - 
0 ) )  < 
if ( x  <_ 
1 ,  x ,  1 ) )  -> 
( abs `  (
( ( z  e.  ( CC  \  {
0 } )  |->  ( ( ( exp `  z
)  -  1 )  /  z ) ) `
 w )  - 
1 ) )  < 
x ) )
17313, 172sylan2b 461 . . . . . 6  |-  ( ( x  e.  RR+  /\  w  e.  ( CC  \  {
0 } ) )  ->  ( ( w  =/=  0  /\  ( abs `  ( w  - 
0 ) )  < 
if ( x  <_ 
1 ,  x ,  1 ) )  -> 
( abs `  (
( ( z  e.  ( CC  \  {
0 } )  |->  ( ( ( exp `  z
)  -  1 )  /  z ) ) `
 w )  - 
1 ) )  < 
x ) )
174173ralrimiva 2626 . . . . 5  |-  ( x  e.  RR+  ->  A. w  e.  ( CC  \  {
0 } ) ( ( w  =/=  0  /\  ( abs `  (
w  -  0 ) )  <  if ( x  <_  1 ,  x ,  1 ) )  ->  ( abs `  ( ( ( z  e.  ( CC  \  { 0 } ) 
|->  ( ( ( exp `  z )  -  1 )  /  z ) ) `  w )  -  1 ) )  <  x ) )
175 breq2 4027 . . . . . . . . 9  |-  ( y  =  if ( x  <_  1 ,  x ,  1 )  -> 
( ( abs `  (
w  -  0 ) )  <  y  <->  ( abs `  ( w  -  0 ) )  <  if ( x  <_  1 ,  x ,  1 ) ) )
176175anbi2d 684 . . . . . . . 8  |-  ( y  =  if ( x  <_  1 ,  x ,  1 )  -> 
( ( w  =/=  0  /\  ( abs `  ( w  -  0 ) )  <  y
)  <->  ( w  =/=  0  /\  ( abs `  ( w  -  0 ) )  <  if ( x  <_  1 ,  x ,  1 ) ) ) )
177176imbi1d 308 . . . . . . 7  |-  ( y  =  if ( x  <_  1 ,  x ,  1 )  -> 
( ( ( w  =/=  0  /\  ( abs `  ( w  - 
0 ) )  < 
y )  ->  ( abs `  ( ( ( z  e.  ( CC 
\  { 0 } )  |->  ( ( ( exp `  z )  -  1 )  / 
z ) ) `  w )  -  1 ) )  <  x
)  <->  ( ( w  =/=  0  /\  ( abs `  ( w  - 
0 ) )  < 
if ( x  <_ 
1 ,  x ,  1 ) )  -> 
( abs `  (
( ( z  e.  ( CC  \  {
0 } )  |->  ( ( ( exp `  z
)  -  1 )  /  z ) ) `
 w )  - 
1 ) )  < 
x ) ) )
178177ralbidv 2563 . . . . . 6  |-  ( y  =  if ( x  <_  1 ,  x ,  1 )  -> 
( A. w  e.  ( CC  \  {
0 } ) ( ( w  =/=  0  /\  ( abs `  (
w  -  0 ) )  <  y )  ->  ( abs `  (
( ( z  e.  ( CC  \  {
0 } )  |->  ( ( ( exp `  z
)  -  1 )  /  z ) ) `
 w )  - 
1 ) )  < 
x )  <->  A. w  e.  ( CC  \  {
0 } ) ( ( w  =/=  0  /\  ( abs `  (
w  -  0 ) )  <  if ( x  <_  1 ,  x ,  1 ) )  ->  ( abs `  ( ( ( z  e.  ( CC  \  { 0 } ) 
|->  ( ( ( exp `  z )  -  1 )  /  z ) ) `  w )  -  1 ) )  <  x ) ) )
179178rspcev 2884 . . . . 5  |-  ( ( if ( x  <_ 
1 ,  x ,  1 )  e.  RR+  /\ 
A. w  e.  ( CC  \  { 0 } ) ( ( w  =/=  0  /\  ( abs `  (
w  -  0 ) )  <  if ( x  <_  1 ,  x ,  1 ) )  ->  ( abs `  ( ( ( z  e.  ( CC  \  { 0 } ) 
|->  ( ( ( exp `  z )  -  1 )  /  z ) ) `  w )  -  1 ) )  <  x ) )  ->  E. y  e.  RR+  A. w  e.  ( CC 
\  { 0 } ) ( ( w  =/=  0  /\  ( abs `  ( w  - 
0 ) )  < 
y )  ->  ( abs `  ( ( ( z  e.  ( CC 
\  { 0 } )  |->  ( ( ( exp `  z )  -  1 )  / 
z ) ) `  w )  -  1 ) )  <  x
) )
18012, 174, 179syl2anc 642 . . . 4  |-  ( x  e.  RR+  ->  E. y  e.  RR+  A. w  e.  ( CC  \  {
0 } ) ( ( w  =/=  0  /\  ( abs `  (
w  -  0 ) )  <  y )  ->  ( abs `  (
( ( z  e.  ( CC  \  {
0 } )  |->  ( ( ( exp `  z
)  -  1 )  /  z ) ) `
 w )  - 
1 ) )  < 
x ) )
181180rgen 2608 . . 3  |-  A. x  e.  RR+  E. y  e.  RR+  A. w  e.  ( CC  \  { 0 } ) ( ( w  =/=  0  /\  ( abs `  (
w  -  0 ) )  <  y )  ->  ( abs `  (
( ( z  e.  ( CC  \  {
0 } )  |->  ( ( ( exp `  z
)  -  1 )  /  z ) ) `
 w )  - 
1 ) )  < 
x )
182 eldifi 3298 . . . . . . . . . 10  |-  ( z  e.  ( CC  \  { 0 } )  ->  z  e.  CC )
183 efcl 12364 . . . . . . . . . 10  |-  ( z  e.  CC  ->  ( exp `  z )  e.  CC )
184182, 183syl 15 . . . . . . . . 9  |-  ( z  e.  ( CC  \  { 0 } )  ->  ( exp `  z
)  e.  CC )
1859a1i 10 . . . . . . . . 9  |-  ( z  e.  ( CC  \  { 0 } )  ->  1  e.  CC )
186184, 185subcld 9157 . . . . . . . 8  |-  ( z  e.  ( CC  \  { 0 } )  ->  ( ( exp `  z )  -  1 )  e.  CC )
187 eldifsni 3750 . . . . . . . 8  |-  ( z  e.  ( CC  \  { 0 } )  ->  z  =/=  0
)
188186, 182, 187divcld 9536 . . . . . . 7  |-  ( z  e.  ( CC  \  { 0 } )  ->  ( ( ( exp `  z )  -  1 )  / 
z )  e.  CC )
18932, 188fmpti 5683 . . . . . 6  |-  ( z  e.  ( CC  \  { 0 } ) 
|->  ( ( ( exp `  z )  -  1 )  /  z ) ) : ( CC 
\  { 0 } ) --> CC
190189a1i 10 . . . . 5  |-  (  T. 
->  ( z  e.  ( CC  \  { 0 } )  |->  ( ( ( exp `  z
)  -  1 )  /  z ) ) : ( CC  \  { 0 } ) --> CC )
191 difss 3303 . . . . . 6  |-  ( CC 
\  { 0 } )  C_  CC
192191a1i 10 . . . . 5  |-  (  T. 
->  ( CC  \  {
0 } )  C_  CC )
1931a1i 10 . . . . 5  |-  (  T. 
->  0  e.  CC )
194190, 192, 193ellimc3 19229 . . . 4  |-  (  T. 
->  ( 1  e.  ( ( z  e.  ( CC  \  { 0 } )  |->  ( ( ( exp `  z
)  -  1 )  /  z ) ) lim
CC  0 )  <->  ( 1  e.  CC  /\  A. x  e.  RR+  E. y  e.  RR+  A. w  e.  ( CC  \  {
0 } ) ( ( w  =/=  0  /\  ( abs `  (
w  -  0 ) )  <  y )  ->  ( abs `  (
( ( z  e.  ( CC  \  {
0 } )  |->  ( ( ( exp `  z
)  -  1 )  /  z ) ) `
 w )  - 
1 ) )  < 
x ) ) ) )
195194trud 1314 . . 3  |-  ( 1  e.  ( ( z  e.  ( CC  \  { 0 } ) 
|->  ( ( ( exp `  z )  -  1 )  /  z ) ) lim CC  0 )  <-> 
( 1  e.  CC  /\ 
A. x  e.  RR+  E. y  e.  RR+  A. w  e.  ( CC  \  {
0 } ) ( ( w  =/=  0  /\  ( abs `  (
w  -  0 ) )  <  y )  ->  ( abs `  (
( ( z  e.  ( CC  \  {
0 } )  |->  ( ( ( exp `  z
)  -  1 )  /  z ) ) `
 w )  - 
1 ) )  < 
x ) ) )
1969, 181, 195mpbir2an 886 . 2  |-  1  e.  ( ( z  e.  ( CC  \  {
0 } )  |->  ( ( ( exp `  z
)  -  1 )  /  z ) ) lim
CC  0 )
1975restid 13338 . . . . . 6  |-  ( (
TopOpen ` fld )  e.  Top  ->  ( ( TopOpen ` fld )t  CC )  =  (
TopOpen ` fld ) )
1983, 197ax-mp 8 . . . . 5  |-  ( (
TopOpen ` fld )t  CC )  =  (
TopOpen ` fld )
199198eqcomi 2287 . . . 4  |-  ( TopOpen ` fld )  =  ( ( TopOpen ` fld )t  CC )
200182subid1d 9146 . . . . . . 7  |-  ( z  e.  ( CC  \  { 0 } )  ->  ( z  - 
0 )  =  z )
201200oveq2d 5874 . . . . . 6  |-  ( z  e.  ( CC  \  { 0 } )  ->  ( ( ( exp `  z )  -  ( exp `  0
) )  /  (
z  -  0 ) )  =  ( ( ( exp `  z
)  -  ( exp `  0 ) )  /  z ) )
202 ef0 12372 . . . . . . . 8  |-  ( exp `  0 )  =  1
203202oveq2i 5869 . . . . . . 7  |-  ( ( exp `  z )  -  ( exp `  0
) )  =  ( ( exp `  z
)  -  1 )
204203oveq1i 5868 . . . . . 6  |-  ( ( ( exp `  z
)  -  ( exp `  0 ) )  /  z )  =  ( ( ( exp `  z )  -  1 )  /  z )
205201, 204syl6req 2332 . . . . 5  |-  ( z  e.  ( CC  \  { 0 } )  ->  ( ( ( exp `  z )  -  1 )  / 
z )  =  ( ( ( exp `  z
)  -  ( exp `  0 ) )  /  ( z  - 
0 ) ) )
206205mpteq2ia 4102 . . . 4  |-  ( z  e.  ( CC  \  { 0 } ) 
|->  ( ( ( exp `  z )  -  1 )  /  z ) )  =  ( z  e.  ( CC  \  { 0 } ) 
|->  ( ( ( exp `  z )  -  ( exp `  0 ) )  /  ( z  - 
0 ) ) )
207 ssid 3197 . . . . 5  |-  CC  C_  CC
208207a1i 10 . . . 4  |-  (  T. 
->  CC  C_  CC )
209 eff 12363 . . . . 5  |-  exp : CC
--> CC
210209a1i 10 . . . 4  |-  (  T. 
->  exp : CC --> CC )
211199, 2, 206, 208, 210, 208eldv 19248 . . 3  |-  (  T. 
->  ( 0 ( CC 
_D  exp ) 1  <->  (
0  e.  ( ( int `  ( TopOpen ` fld )
) `  CC )  /\  1  e.  (
( z  e.  ( CC  \  { 0 } )  |->  ( ( ( exp `  z
)  -  1 )  /  z ) ) lim
CC  0 ) ) ) )
212211trud 1314 . 2  |-  ( 0 ( CC  _D  exp ) 1  <->  ( 0  e.  ( ( int `  ( TopOpen ` fld ) ) `  CC )  /\  1  e.  ( ( z  e.  ( CC  \  { 0 } )  |->  ( ( ( exp `  z
)  -  1 )  /  z ) ) lim
CC  0 ) ) )
2138, 196, 212mpbir2an 886 1  |-  0
( CC  _D  exp ) 1
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    <-> wb 176    /\ wa 358    T. wtru 1307    = wceq 1623    e. wcel 1684    =/= wne 2446   A.wral 2543   E.wrex 2544    \ cdif 3149    C_ wss 3152   ifcif 3565   {csn 3640   class class class wbr 4023    e. cmpt 4077   -->wf 5251   ` cfv 5255  (class class class)co 5858   CCcc 8735   RRcr 8736   0cc0 8737   1c1 8738    + caddc 8740    x. cmul 8742    < clt 8867    <_ cle 8868    - cmin 9037    / cdiv 9423   NNcn 9746   2c2 9795   3c3 9796   4c4 9797   NN0cn0 9965   ZZ>=cuz 10230   RR+crp 10354   ^cexp 11104   !cfa 11288   abscabs 11719   sum_csu 12158   expce 12343   ↾t crest 13325   TopOpenctopn 13326  ℂfldccnfld 16377   Topctop 16631   intcnt 16754   lim CC climc 19212    _D cdv 19213
This theorem is referenced by:  dvef  19327
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1533  ax-5 1544  ax-17 1603  ax-9 1635  ax-8 1643  ax-13 1686  ax-14 1688  ax-6 1703  ax-7 1708  ax-11 1715  ax-12 1866  ax-ext 2264  ax-rep 4131  ax-sep 4141  ax-nul 4149  ax-pow 4188  ax-pr 4214  ax-un 4512  ax-inf2 7342  ax-cnex 8793  ax-resscn 8794  ax-1cn 8795  ax-icn 8796  ax-addcl 8797  ax-addrcl 8798  ax-mulcl 8799  ax-mulrcl 8800  ax-mulcom 8801  ax-addass 8802  ax-mulass 8803  ax-distr 8804  ax-i2m1 8805  ax-1ne0 8806  ax-1rid 8807  ax-rnegex 8808  ax-rrecex 8809  ax-cnre 8810  ax-pre-lttri 8811  ax-pre-lttrn 8812  ax-pre-ltadd 8813  ax-pre-mulgt0 8814  ax-pre-sup 8815  ax-addf 8816  ax-mulf 8817
This theorem depends on definitions:  df-bi 177  df-or 359  df-an 360  df-3or 935  df-3an 936  df-tru 1310  df-ex 1529  df-nf 1532  df-sb 1630  df-eu 2147  df-mo 2148  df-clab 2270  df-cleq 2276  df-clel 2279  df-nfc 2408  df-ne 2448  df-nel 2449  df-ral 2548  df-rex 2549  df-reu 2550  df-rmo 2551  df-rab 2552  df-v 2790  df-sbc 2992  df-csb 3082  df-dif 3155  df-un 3157  df-in 3159  df-ss 3166  df-pss 3168  df-nul 3456  df-if 3566  df-pw 3627  df-sn 3646  df-pr 3647  df-tp 3648  df-op 3649  df-uni 3828  df-int 3863  df-iun 3907  df-br 4024  df-opab 4078  df-mpt 4079  df-tr 4114  df-eprel 4305  df-id 4309  df-po 4314  df-so 4315  df-fr 4352  df-se 4353  df-we 4354  df-ord 4395  df-on 4396  df-lim 4397  df-suc 4398  df-om 4657  df-xp 4695  df-rel 4696  df-cnv 4697  df-co 4698  df-dm 4699  df-rn 4700  df-res 4701  df-ima 4702  df-iota 5219  df-fun 5257  df-fn 5258  df-f 5259  df-f1 5260  df-fo 5261  df-f1o 5262  df-fv 5263  df-isom 5264  df-ov 5861  df-oprab 5862  df-mpt2 5863  df-1st 6122  df-2nd 6123  df-riota 6304  df-recs 6388  df-rdg 6423  df-1o 6479  df-oadd 6483  df-er 6660  df-map 6774  df-pm 6775  df-en 6864  df-dom 6865  df-sdom 6866  df-fin 6867  df-fi 7165  df-sup 7194  df-oi 7225  df-card 7572  df-pnf 8869  df-mnf 8870  df-xr 8871  df-ltxr 8872  df-le 8873  df-sub 9039  df-neg 9040  df-div 9424  df-nn 9747  df-2 9804  df-3 9805  df-4 9806  df-5 9807  df-6 9808  df-7 9809  df-8 9810  df-9 9811  df-10 9812  df-n0 9966  df-z 10025  df-dec 10125  df-uz 10231  df-q 10317  df-rp 10355  df-xneg 10452  df-xadd 10453  df-xmul 10454  df-ico 10662  df-fz 10783  df-fzo 10871  df-fl 10925  df-seq 11047  df-exp 11105  df-fac 11289  df-hash 11338  df-shft 11562  df-cj 11584  df-re 11585  df-im 11586  df-sqr 11720  df-abs 11721  df-limsup 11945  df-clim 11962  df-rlim 11963  df-sum 12159  df-ef 12349  df-struct 13150  df-ndx 13151  df-slot 13152  df-base 13153  df-plusg 13221  df-mulr 13222  df-starv 13223  df-tset 13227  df-ple 13228  df-ds 13230  df-rest 13327  df-topn 13328  df-topgen 13344  df-xmet 16373  df-met 16374  df-bl 16375  df-mopn 16376  df-cnfld 16378  df-top 16636  df-bases 16638  df-topon 16639  df-topsp 16640  df-ntr 16757  df-cnp 16958  df-xms 17885  df-ms 17886  df-limc 19216  df-dv 19217
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