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Theorem dvelimf-o 2238
Description: Proof of dvelimh 2017 that uses ax-10o 2197 but not ax-11o 2199, ax-10 2198, or ax-11 1757. Version of dvelimh 2017 using ax-10o 2197 instead of ax10o 2004. (Contributed by NM, 12-Nov-2002.) (Proof modification is discouraged.) (New usage is discouraged.)
Hypotheses
Ref Expression
dvelimf-o.1  |-  ( ph  ->  A. x ph )
dvelimf-o.2  |-  ( ps 
->  A. z ps )
dvelimf-o.3  |-  ( z  =  y  ->  ( ph 
<->  ps ) )
Assertion
Ref Expression
dvelimf-o  |-  ( -. 
A. x  x  =  y  ->  ( ps  ->  A. x ps )
)

Proof of Theorem dvelimf-o
StepHypRef Expression
1 hba1-o 2207 . . . . 5  |-  ( A. z ( z  =  y  ->  ph )  ->  A. z A. z ( z  =  y  ->  ph ) )
2 ax-10o 2197 . . . . . 6  |-  ( A. z  z  =  x  ->  ( A. z A. z ( z  =  y  ->  ph )  ->  A. x A. z ( z  =  y  ->  ph ) ) )
32aecoms-o 2210 . . . . 5  |-  ( A. x  x  =  z  ->  ( A. z A. z ( z  =  y  ->  ph )  ->  A. x A. z ( z  =  y  ->  ph ) ) )
41, 3syl5 30 . . . 4  |-  ( A. x  x  =  z  ->  ( A. z ( z  =  y  ->  ph )  ->  A. x A. z ( z  =  y  ->  ph ) ) )
54a1d 23 . . 3  |-  ( A. x  x  =  z  ->  ( -.  A. x  x  =  y  ->  ( A. z ( z  =  y  ->  ph )  ->  A. x A. z
( z  =  y  ->  ph ) ) ) )
6 hbnae-o 2237 . . . . . 6  |-  ( -. 
A. x  x  =  z  ->  A. z  -.  A. x  x  =  z )
7 hbnae-o 2237 . . . . . 6  |-  ( -. 
A. x  x  =  y  ->  A. z  -.  A. x  x  =  y )
86, 7hban 1846 . . . . 5  |-  ( ( -.  A. x  x  =  z  /\  -.  A. x  x  =  y )  ->  A. z
( -.  A. x  x  =  z  /\  -.  A. x  x  =  y ) )
9 hbnae-o 2237 . . . . . . 7  |-  ( -. 
A. x  x  =  z  ->  A. x  -.  A. x  x  =  z )
10 hbnae-o 2237 . . . . . . 7  |-  ( -. 
A. x  x  =  y  ->  A. x  -.  A. x  x  =  y )
119, 10hban 1846 . . . . . 6  |-  ( ( -.  A. x  x  =  z  /\  -.  A. x  x  =  y )  ->  A. x
( -.  A. x  x  =  z  /\  -.  A. x  x  =  y ) )
12 ax-12o 2200 . . . . . . 7  |-  ( -. 
A. x  x  =  z  ->  ( -.  A. x  x  =  y  ->  ( z  =  y  ->  A. x  z  =  y )
) )
1312imp 419 . . . . . 6  |-  ( ( -.  A. x  x  =  z  /\  -.  A. x  x  =  y )  ->  ( z  =  y  ->  A. x  z  =  y )
)
14 dvelimf-o.1 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  A. x ph )
1514a1i 11 . . . . . 6  |-  ( ( -.  A. x  x  =  z  /\  -.  A. x  x  =  y )  ->  ( ph  ->  A. x ph )
)
1611, 13, 15hbimd 1830 . . . . 5  |-  ( ( -.  A. x  x  =  z  /\  -.  A. x  x  =  y )  ->  ( (
z  =  y  ->  ph )  ->  A. x
( z  =  y  ->  ph ) ) )
178, 16hbald 1751 . . . 4  |-  ( ( -.  A. x  x  =  z  /\  -.  A. x  x  =  y )  ->  ( A. z ( z  =  y  ->  ph )  ->  A. x A. z ( z  =  y  ->  ph ) ) )
1817ex 424 . . 3  |-  ( -. 
A. x  x  =  z  ->  ( -.  A. x  x  =  y  ->  ( A. z
( z  =  y  ->  ph )  ->  A. x A. z ( z  =  y  ->  ph ) ) ) )
195, 18pm2.61i 158 . 2  |-  ( -. 
A. x  x  =  y  ->  ( A. z ( z  =  y  ->  ph )  ->  A. x A. z ( z  =  y  ->  ph ) ) )
20 dvelimf-o.2 . . 3  |-  ( ps 
->  A. z ps )
21 dvelimf-o.3 . . 3  |-  ( z  =  y  ->  ( ph 
<->  ps ) )
2220, 21equsalh 1968 . 2  |-  ( A. z ( z  =  y  ->  ph )  <->  ps )
2322albii 1572 . 2  |-  ( A. x A. z ( z  =  y  ->  ph )  <->  A. x ps )
2419, 22, 233imtr3g 261 1  |-  ( -. 
A. x  x  =  y  ->  ( ps  ->  A. x ps )
)
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:   -. wn 3    -> wi 4    <-> wb 177    /\ wa 359   A.wal 1546
This theorem is referenced by:  dveeq2-o  2242  dveeq1-o  2245  ax11el  2252
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1552  ax-5 1563  ax-17 1623  ax-9 1662  ax-8 1683  ax-6 1740  ax-7 1745  ax-11 1757  ax-12 1946  ax-4 2193  ax-5o 2194  ax-6o 2195  ax-10o 2197  ax-12o 2200
This theorem depends on definitions:  df-bi 178  df-an 361  df-ex 1548  df-nf 1551
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