MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  dvelimh Unicode version

Theorem dvelimh 1904
Description: Version of dvelim 1956 without any variable restrictions. (Contributed by NM, 1-Oct-2002.)
Hypotheses
Ref Expression
dvelimh.1  |-  ( ph  ->  A. x ph )
dvelimh.2  |-  ( ps 
->  A. z ps )
dvelimh.3  |-  ( z  =  y  ->  ( ph 
<->  ps ) )
Assertion
Ref Expression
dvelimh  |-  ( -. 
A. x  x  =  y  ->  ( ps  ->  A. x ps )
)

Proof of Theorem dvelimh
StepHypRef Expression
1 hba1 1719 . . . . 5  |-  ( A. z ( z  =  y  ->  ph )  ->  A. z A. z ( z  =  y  ->  ph ) )
2 ax10o 1892 . . . . . 6  |-  ( A. z  z  =  x  ->  ( A. z A. z ( z  =  y  ->  ph )  ->  A. x A. z ( z  =  y  ->  ph ) ) )
32aecoms 1887 . . . . 5  |-  ( A. x  x  =  z  ->  ( A. z A. z ( z  =  y  ->  ph )  ->  A. x A. z ( z  =  y  ->  ph ) ) )
41, 3syl5 28 . . . 4  |-  ( A. x  x  =  z  ->  ( A. z ( z  =  y  ->  ph )  ->  A. x A. z ( z  =  y  ->  ph ) ) )
54a1d 22 . . 3  |-  ( A. x  x  =  z  ->  ( -.  A. x  x  =  y  ->  ( A. z ( z  =  y  ->  ph )  ->  A. x A. z
( z  =  y  ->  ph ) ) ) )
6 hbnae 1895 . . . . . 6  |-  ( -. 
A. x  x  =  z  ->  A. z  -.  A. x  x  =  z )
7 hbnae 1895 . . . . . 6  |-  ( -. 
A. x  x  =  y  ->  A. z  -.  A. x  x  =  y )
86, 7hban 1736 . . . . 5  |-  ( ( -.  A. x  x  =  z  /\  -.  A. x  x  =  y )  ->  A. z
( -.  A. x  x  =  z  /\  -.  A. x  x  =  y ) )
9 hbnae 1895 . . . . . . 7  |-  ( -. 
A. x  x  =  z  ->  A. x  -.  A. x  x  =  z )
10 hbnae 1895 . . . . . . 7  |-  ( -. 
A. x  x  =  y  ->  A. x  -.  A. x  x  =  y )
119, 10hban 1736 . . . . . 6  |-  ( ( -.  A. x  x  =  z  /\  -.  A. x  x  =  y )  ->  A. x
( -.  A. x  x  =  z  /\  -.  A. x  x  =  y ) )
12 ax12o 1875 . . . . . . 7  |-  ( -. 
A. x  x  =  z  ->  ( -.  A. x  x  =  y  ->  ( z  =  y  ->  A. x  z  =  y )
) )
1312imp 418 . . . . . 6  |-  ( ( -.  A. x  x  =  z  /\  -.  A. x  x  =  y )  ->  ( z  =  y  ->  A. x  z  =  y )
)
14 dvelimh.1 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  A. x ph )
1514a1i 10 . . . . . 6  |-  ( ( -.  A. x  x  =  z  /\  -.  A. x  x  =  y )  ->  ( ph  ->  A. x ph )
)
1611, 13, 15hbimd 1721 . . . . 5  |-  ( ( -.  A. x  x  =  z  /\  -.  A. x  x  =  y )  ->  ( (
z  =  y  ->  ph )  ->  A. x
( z  =  y  ->  ph ) ) )
178, 16hbald 1714 . . . 4  |-  ( ( -.  A. x  x  =  z  /\  -.  A. x  x  =  y )  ->  ( A. z ( z  =  y  ->  ph )  ->  A. x A. z ( z  =  y  ->  ph ) ) )
1817ex 423 . . 3  |-  ( -. 
A. x  x  =  z  ->  ( -.  A. x  x  =  y  ->  ( A. z
( z  =  y  ->  ph )  ->  A. x A. z ( z  =  y  ->  ph ) ) ) )
195, 18pm2.61i 156 . 2  |-  ( -. 
A. x  x  =  y  ->  ( A. z ( z  =  y  ->  ph )  ->  A. x A. z ( z  =  y  ->  ph ) ) )
20 dvelimh.2 . . 3  |-  ( ps 
->  A. z ps )
21 dvelimh.3 . . 3  |-  ( z  =  y  ->  ( ph 
<->  ps ) )
2220, 21equsalh 1901 . 2  |-  ( A. z ( z  =  y  ->  ph )  <->  ps )
2322albii 1553 . 2  |-  ( A. x A. z ( z  =  y  ->  ph )  <->  A. x ps )
2419, 22, 233imtr3g 260 1  |-  ( -. 
A. x  x  =  y  ->  ( ps  ->  A. x ps )
)
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:   -. wn 3    -> wi 4    <-> wb 176    /\ wa 358   A.wal 1527
This theorem is referenced by:  dvelim  1956  dveeq1-o16  2127  dveel2ALT  2130  a9e2nd  28324  a9e2ndVD  28684  a9e2ndALT  28707  a12study2  29134
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1533  ax-5 1544  ax-17 1603  ax-9 1635  ax-8 1643  ax-6 1703  ax-7 1708  ax-11 1715  ax-12 1866
This theorem depends on definitions:  df-bi 177  df-an 360  df-ex 1529  df-nf 1532
  Copyright terms: Public domain W3C validator