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Theorem dvelimvNEW7 29463
Description: Similar to dvelim 2074 with first hypothesis replaced by distinct variable condition. (Contributed by NM, 25-Jul-2015.)
Hypothesis
Ref Expression
dvelimvNEW.1  |-  ( z  =  y  ->  ( ph 
<->  ps ) )
Assertion
Ref Expression
dvelimvNEW7  |-  ( -. 
A. x  x  =  y  ->  ( ps  ->  A. x ps )
)
Distinct variable groups:    x, z    y, z    ps, z    ph, x
Allowed substitution hints:    ph( y, z)    ps( x, y)

Proof of Theorem dvelimvNEW7
StepHypRef Expression
1 ax-17 1627 . . . . . 6  |-  ( ps 
->  A. z ps )
21a1d 24 . . . . . 6  |-  ( ps 
->  ( z  =  y  ->  A. z ps )
)
31, 2alrimih 1575 . . . . 5  |-  ( ps 
->  A. z ( z  =  y  ->  A. z ps ) )
4 sp 1764 . . . . . . . 8  |-  ( A. z ps  ->  ps )
5 dvelimvNEW.1 . . . . . . . 8  |-  ( z  =  y  ->  ( ph 
<->  ps ) )
64, 5syl5ibr 214 . . . . . . 7  |-  ( z  =  y  ->  ( A. z ps  ->  ph )
)
76a2i 13 . . . . . 6  |-  ( ( z  =  y  ->  A. z ps )  -> 
( z  =  y  ->  ph ) )
87alimi 1569 . . . . 5  |-  ( A. z ( z  =  y  ->  A. z ps )  ->  A. z
( z  =  y  ->  ph ) )
93, 8syl 16 . . . 4  |-  ( ps 
->  A. z ( z  =  y  ->  ph )
)
10 ax10lem3OLD 2028 . . . . . . . 8  |-  ( A. z  z  =  x  ->  A. x  x  =  z )
1110con3i 130 . . . . . . 7  |-  ( -. 
A. x  x  =  z  ->  -.  A. z 
z  =  x )
12 hbn1 1746 . . . . . . . 8  |-  ( -. 
A. z  z  =  x  ->  A. z  -.  A. z  z  =  x )
13 ax10lem3OLD 2028 . . . . . . . . 9  |-  ( A. x  x  =  z  ->  A. z  z  =  x )
1413con3i 130 . . . . . . . 8  |-  ( -. 
A. z  z  =  x  ->  -.  A. x  x  =  z )
1512, 14alrimih 1575 . . . . . . 7  |-  ( -. 
A. z  z  =  x  ->  A. z  -.  A. x  x  =  z )
1611, 15syl 16 . . . . . 6  |-  ( -. 
A. x  x  =  z  ->  A. z  -.  A. x  x  =  z )
17 ax-17 1627 . . . . . 6  |-  ( -. 
A. x  x  =  y  ->  A. z  -.  A. x  x  =  y )
1816, 17hban 1851 . . . . 5  |-  ( ( -.  A. x  x  =  z  /\  -.  A. x  x  =  y )  ->  A. z
( -.  A. x  x  =  z  /\  -.  A. x  x  =  y ) )
19 hbn1 1746 . . . . . . 7  |-  ( -. 
A. x  x  =  z  ->  A. x  -.  A. x  x  =  z )
20 hbn1 1746 . . . . . . 7  |-  ( -. 
A. x  x  =  y  ->  A. x  -.  A. x  x  =  y )
2119, 20hban 1851 . . . . . 6  |-  ( ( -.  A. x  x  =  z  /\  -.  A. x  x  =  y )  ->  A. x
( -.  A. x  x  =  z  /\  -.  A. x  x  =  y ) )
22 ax12oNEW7 29462 . . . . . . 7  |-  ( -. 
A. x  x  =  z  ->  ( -.  A. x  x  =  y  ->  ( z  =  y  ->  A. x  z  =  y )
) )
2322imp 420 . . . . . 6  |-  ( ( -.  A. x  x  =  z  /\  -.  A. x  x  =  y )  ->  ( z  =  y  ->  A. x  z  =  y )
)
24 a17d 1628 . . . . . 6  |-  ( ( -.  A. x  x  =  z  /\  -.  A. x  x  =  y )  ->  ( ph  ->  A. x ph )
)
2521, 23, 24hbimd 1835 . . . . 5  |-  ( ( -.  A. x  x  =  z  /\  -.  A. x  x  =  y )  ->  ( (
z  =  y  ->  ph )  ->  A. x
( z  =  y  ->  ph ) ) )
2618, 25hbaldwAUX7 29449 . . . 4  |-  ( ( -.  A. x  x  =  z  /\  -.  A. x  x  =  y )  ->  ( A. z ( z  =  y  ->  ph )  ->  A. x A. z ( z  =  y  ->  ph ) ) )
275biimpd 200 . . . . . . . . 9  |-  ( z  =  y  ->  ( ph  ->  ps ) )
2827a2i 13 . . . . . . . 8  |-  ( ( z  =  y  ->  ph )  ->  ( z  =  y  ->  ps ) )
2928alimi 1569 . . . . . . 7  |-  ( A. z ( z  =  y  ->  ph )  ->  A. z ( z  =  y  ->  ps )
)
30 ax9v 1668 . . . . . . . 8  |-  -.  A. z  -.  z  =  y
31 con3 129 . . . . . . . . 9  |-  ( ( z  =  y  ->  ps )  ->  ( -. 
ps  ->  -.  z  =  y ) )
3231al2imi 1571 . . . . . . . 8  |-  ( A. z ( z  =  y  ->  ps )  ->  ( A. z  -. 
ps  ->  A. z  -.  z  =  y ) )
3330, 32mtoi 172 . . . . . . 7  |-  ( A. z ( z  =  y  ->  ps )  ->  -.  A. z  -. 
ps )
3429, 33syl 16 . . . . . 6  |-  ( A. z ( z  =  y  ->  ph )  ->  -.  A. z  -.  ps )
35 ax-17 1627 . . . . . 6  |-  ( -. 
ps  ->  A. z  -.  ps )
3634, 35nsyl2 122 . . . . 5  |-  ( A. z ( z  =  y  ->  ph )  ->  ps )
3736alimi 1569 . . . 4  |-  ( A. x A. z ( z  =  y  ->  ph )  ->  A. x ps )
389, 26, 37syl56 33 . . 3  |-  ( ( -.  A. x  x  =  z  /\  -.  A. x  x  =  y )  ->  ( ps  ->  A. x ps )
)
3938expcom 426 . 2  |-  ( -. 
A. x  x  =  y  ->  ( -.  A. x  x  =  z  ->  ( ps  ->  A. x ps ) ) )
40 sp 1764 . . . 4  |-  ( A. x  x  =  z  ->  x  =  z )
41 ax-11 1762 . . . 4  |-  ( x  =  z  ->  ( A. z ps  ->  A. x
( x  =  z  ->  ps ) ) )
4240, 1, 41syl2im 37 . . 3  |-  ( A. x  x  =  z  ->  ( ps  ->  A. x
( x  =  z  ->  ps ) ) )
43 pm2.27 38 . . . 4  |-  ( x  =  z  ->  (
( x  =  z  ->  ps )  ->  ps ) )
4443al2imi 1571 . . 3  |-  ( A. x  x  =  z  ->  ( A. x ( x  =  z  ->  ps )  ->  A. x ps ) )
4542, 44syld 43 . 2  |-  ( A. x  x  =  z  ->  ( ps  ->  A. x ps ) )
4639, 45pm2.61d2 155 1  |-  ( -. 
A. x  x  =  y  ->  ( ps  ->  A. x ps )
)
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:   -. wn 3    -> wi 4    <-> wb 178    /\ wa 360   A.wal 1550
This theorem is referenced by:  dveeq2NEW7  29464  dveeq1NEW7  29465  dveel1NEW7  29466  dveel2NEW7  29467
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1556  ax-5 1567  ax-17 1627  ax-9 1667  ax-8 1688  ax-6 1745  ax-11 1762  ax-12 1951  ax-7v 29443
This theorem depends on definitions:  df-bi 179  df-an 362  df-ex 1552  df-nf 1555
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