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Theorem dvexp 19831
Description: Derivative of a power function. (Contributed by Mario Carneiro, 9-Aug-2014.) (Revised by Mario Carneiro, 10-Feb-2015.)
Assertion
Ref Expression
dvexp  |-  ( N  e.  NN  ->  ( CC  _D  ( x  e.  CC  |->  ( x ^ N ) ) )  =  ( x  e.  CC  |->  ( N  x.  ( x ^ ( N  -  1 ) ) ) ) )
Distinct variable group:    x, N

Proof of Theorem dvexp
Dummy variables  k  n are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 oveq2 6081 . . . . 5  |-  ( n  =  1  ->  (
x ^ n )  =  ( x ^
1 ) )
21mpteq2dv 4288 . . . 4  |-  ( n  =  1  ->  (
x  e.  CC  |->  ( x ^ n ) )  =  ( x  e.  CC  |->  ( x ^ 1 ) ) )
32oveq2d 6089 . . 3  |-  ( n  =  1  ->  ( CC  _D  ( x  e.  CC  |->  ( x ^
n ) ) )  =  ( CC  _D  ( x  e.  CC  |->  ( x ^ 1 ) ) ) )
4 id 20 . . . . 5  |-  ( n  =  1  ->  n  =  1 )
5 oveq1 6080 . . . . . 6  |-  ( n  =  1  ->  (
n  -  1 )  =  ( 1  -  1 ) )
65oveq2d 6089 . . . . 5  |-  ( n  =  1  ->  (
x ^ ( n  -  1 ) )  =  ( x ^
( 1  -  1 ) ) )
74, 6oveq12d 6091 . . . 4  |-  ( n  =  1  ->  (
n  x.  ( x ^ ( n  - 
1 ) ) )  =  ( 1  x.  ( x ^ (
1  -  1 ) ) ) )
87mpteq2dv 4288 . . 3  |-  ( n  =  1  ->  (
x  e.  CC  |->  ( n  x.  ( x ^ ( n  - 
1 ) ) ) )  =  ( x  e.  CC  |->  ( 1  x.  ( x ^
( 1  -  1 ) ) ) ) )
93, 8eqeq12d 2449 . 2  |-  ( n  =  1  ->  (
( CC  _D  (
x  e.  CC  |->  ( x ^ n ) ) )  =  ( x  e.  CC  |->  ( n  x.  ( x ^ ( n  - 
1 ) ) ) )  <->  ( CC  _D  ( x  e.  CC  |->  ( x ^ 1 ) ) )  =  ( x  e.  CC  |->  ( 1  x.  (
x ^ ( 1  -  1 ) ) ) ) ) )
10 oveq2 6081 . . . . 5  |-  ( n  =  k  ->  (
x ^ n )  =  ( x ^
k ) )
1110mpteq2dv 4288 . . . 4  |-  ( n  =  k  ->  (
x  e.  CC  |->  ( x ^ n ) )  =  ( x  e.  CC  |->  ( x ^ k ) ) )
1211oveq2d 6089 . . 3  |-  ( n  =  k  ->  ( CC  _D  ( x  e.  CC  |->  ( x ^
n ) ) )  =  ( CC  _D  ( x  e.  CC  |->  ( x ^ k
) ) ) )
13 id 20 . . . . 5  |-  ( n  =  k  ->  n  =  k )
14 oveq1 6080 . . . . . 6  |-  ( n  =  k  ->  (
n  -  1 )  =  ( k  - 
1 ) )
1514oveq2d 6089 . . . . 5  |-  ( n  =  k  ->  (
x ^ ( n  -  1 ) )  =  ( x ^
( k  -  1 ) ) )
1613, 15oveq12d 6091 . . . 4  |-  ( n  =  k  ->  (
n  x.  ( x ^ ( n  - 
1 ) ) )  =  ( k  x.  ( x ^ (
k  -  1 ) ) ) )
1716mpteq2dv 4288 . . 3  |-  ( n  =  k  ->  (
x  e.  CC  |->  ( n  x.  ( x ^ ( n  - 
1 ) ) ) )  =  ( x  e.  CC  |->  ( k  x.  ( x ^
( k  -  1 ) ) ) ) )
1812, 17eqeq12d 2449 . 2  |-  ( n  =  k  ->  (
( CC  _D  (
x  e.  CC  |->  ( x ^ n ) ) )  =  ( x  e.  CC  |->  ( n  x.  ( x ^ ( n  - 
1 ) ) ) )  <->  ( CC  _D  ( x  e.  CC  |->  ( x ^ k
) ) )  =  ( x  e.  CC  |->  ( k  x.  (
x ^ ( k  -  1 ) ) ) ) ) )
19 oveq2 6081 . . . . 5  |-  ( n  =  ( k  +  1 )  ->  (
x ^ n )  =  ( x ^
( k  +  1 ) ) )
2019mpteq2dv 4288 . . . 4  |-  ( n  =  ( k  +  1 )  ->  (
x  e.  CC  |->  ( x ^ n ) )  =  ( x  e.  CC  |->  ( x ^ ( k  +  1 ) ) ) )
2120oveq2d 6089 . . 3  |-  ( n  =  ( k  +  1 )  ->  ( CC  _D  ( x  e.  CC  |->  ( x ^
n ) ) )  =  ( CC  _D  ( x  e.  CC  |->  ( x ^ (
k  +  1 ) ) ) ) )
22 id 20 . . . . 5  |-  ( n  =  ( k  +  1 )  ->  n  =  ( k  +  1 ) )
23 oveq1 6080 . . . . . 6  |-  ( n  =  ( k  +  1 )  ->  (
n  -  1 )  =  ( ( k  +  1 )  - 
1 ) )
2423oveq2d 6089 . . . . 5  |-  ( n  =  ( k  +  1 )  ->  (
x ^ ( n  -  1 ) )  =  ( x ^
( ( k  +  1 )  -  1 ) ) )
2522, 24oveq12d 6091 . . . 4  |-  ( n  =  ( k  +  1 )  ->  (
n  x.  ( x ^ ( n  - 
1 ) ) )  =  ( ( k  +  1 )  x.  ( x ^ (
( k  +  1 )  -  1 ) ) ) )
2625mpteq2dv 4288 . . 3  |-  ( n  =  ( k  +  1 )  ->  (
x  e.  CC  |->  ( n  x.  ( x ^ ( n  - 
1 ) ) ) )  =  ( x  e.  CC  |->  ( ( k  +  1 )  x.  ( x ^
( ( k  +  1 )  -  1 ) ) ) ) )
2721, 26eqeq12d 2449 . 2  |-  ( n  =  ( k  +  1 )  ->  (
( CC  _D  (
x  e.  CC  |->  ( x ^ n ) ) )  =  ( x  e.  CC  |->  ( n  x.  ( x ^ ( n  - 
1 ) ) ) )  <->  ( CC  _D  ( x  e.  CC  |->  ( x ^ (
k  +  1 ) ) ) )  =  ( x  e.  CC  |->  ( ( k  +  1 )  x.  (
x ^ ( ( k  +  1 )  -  1 ) ) ) ) ) )
28 oveq2 6081 . . . . 5  |-  ( n  =  N  ->  (
x ^ n )  =  ( x ^ N ) )
2928mpteq2dv 4288 . . . 4  |-  ( n  =  N  ->  (
x  e.  CC  |->  ( x ^ n ) )  =  ( x  e.  CC  |->  ( x ^ N ) ) )
3029oveq2d 6089 . . 3  |-  ( n  =  N  ->  ( CC  _D  ( x  e.  CC  |->  ( x ^
n ) ) )  =  ( CC  _D  ( x  e.  CC  |->  ( x ^ N
) ) ) )
31 id 20 . . . . 5  |-  ( n  =  N  ->  n  =  N )
32 oveq1 6080 . . . . . 6  |-  ( n  =  N  ->  (
n  -  1 )  =  ( N  - 
1 ) )
3332oveq2d 6089 . . . . 5  |-  ( n  =  N  ->  (
x ^ ( n  -  1 ) )  =  ( x ^
( N  -  1 ) ) )
3431, 33oveq12d 6091 . . . 4  |-  ( n  =  N  ->  (
n  x.  ( x ^ ( n  - 
1 ) ) )  =  ( N  x.  ( x ^ ( N  -  1 ) ) ) )
3534mpteq2dv 4288 . . 3  |-  ( n  =  N  ->  (
x  e.  CC  |->  ( n  x.  ( x ^ ( n  - 
1 ) ) ) )  =  ( x  e.  CC  |->  ( N  x.  ( x ^
( N  -  1 ) ) ) ) )
3630, 35eqeq12d 2449 . 2  |-  ( n  =  N  ->  (
( CC  _D  (
x  e.  CC  |->  ( x ^ n ) ) )  =  ( x  e.  CC  |->  ( n  x.  ( x ^ ( n  - 
1 ) ) ) )  <->  ( CC  _D  ( x  e.  CC  |->  ( x ^ N
) ) )  =  ( x  e.  CC  |->  ( N  x.  (
x ^ ( N  -  1 ) ) ) ) ) )
37 exp1 11379 . . . . . 6  |-  ( x  e.  CC  ->  (
x ^ 1 )  =  x )
3837mpteq2ia 4283 . . . . 5  |-  ( x  e.  CC  |->  ( x ^ 1 ) )  =  ( x  e.  CC  |->  x )
39 mptresid 5187 . . . . 5  |-  ( x  e.  CC  |->  x )  =  (  _I  |`  CC )
4038, 39eqtri 2455 . . . 4  |-  ( x  e.  CC  |->  ( x ^ 1 ) )  =  (  _I  |`  CC )
4140oveq2i 6084 . . 3  |-  ( CC 
_D  ( x  e.  CC  |->  ( x ^
1 ) ) )  =  ( CC  _D  (  _I  |`  CC ) )
42 1m1e0 10060 . . . . . . . . . 10  |-  ( 1  -  1 )  =  0
4342oveq2i 6084 . . . . . . . . 9  |-  ( x ^ ( 1  -  1 ) )  =  ( x ^ 0 )
44 exp0 11378 . . . . . . . . 9  |-  ( x  e.  CC  ->  (
x ^ 0 )  =  1 )
4543, 44syl5eq 2479 . . . . . . . 8  |-  ( x  e.  CC  ->  (
x ^ ( 1  -  1 ) )  =  1 )
4645oveq2d 6089 . . . . . . 7  |-  ( x  e.  CC  ->  (
1  x.  ( x ^ ( 1  -  1 ) ) )  =  ( 1  x.  1 ) )
47 1t1e1 10118 . . . . . . 7  |-  ( 1  x.  1 )  =  1
4846, 47syl6eq 2483 . . . . . 6  |-  ( x  e.  CC  ->  (
1  x.  ( x ^ ( 1  -  1 ) ) )  =  1 )
4948mpteq2ia 4283 . . . . 5  |-  ( x  e.  CC  |->  ( 1  x.  ( x ^
( 1  -  1 ) ) ) )  =  ( x  e.  CC  |->  1 )
50 fconstmpt 4913 . . . . 5  |-  ( CC 
X.  { 1 } )  =  ( x  e.  CC  |->  1 )
5149, 50eqtr4i 2458 . . . 4  |-  ( x  e.  CC  |->  ( 1  x.  ( x ^
( 1  -  1 ) ) ) )  =  ( CC  X.  { 1 } )
52 dvid 19796 . . . 4  |-  ( CC 
_D  (  _I  |`  CC ) )  =  ( CC 
X.  { 1 } )
5351, 52eqtr4i 2458 . . 3  |-  ( x  e.  CC  |->  ( 1  x.  ( x ^
( 1  -  1 ) ) ) )  =  ( CC  _D  (  _I  |`  CC ) )
5441, 53eqtr4i 2458 . 2  |-  ( CC 
_D  ( x  e.  CC  |->  ( x ^
1 ) ) )  =  ( x  e.  CC  |->  ( 1  x.  ( x ^ (
1  -  1 ) ) ) )
55 nncn 10000 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( k  e.  NN  ->  k  e.  CC )
5655adantr 452 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( k  e.  NN  /\  x  e.  CC )  ->  k  e.  CC )
57 ax-1cn 9040 . . . . . . . . . . 11  |-  1  e.  CC
58 pncan 9303 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( k  e.  CC  /\  1  e.  CC )  ->  ( ( k  +  1 )  -  1 )  =  k )
5956, 57, 58sylancl 644 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( k  e.  NN  /\  x  e.  CC )  ->  ( ( k  +  1 )  -  1 )  =  k )
6059oveq2d 6089 . . . . . . . . 9  |-  ( ( k  e.  NN  /\  x  e.  CC )  ->  ( x ^ (
( k  +  1 )  -  1 ) )  =  ( x ^ k ) )
6160oveq2d 6089 . . . . . . . 8  |-  ( ( k  e.  NN  /\  x  e.  CC )  ->  ( ( k  +  1 )  x.  (
x ^ ( ( k  +  1 )  -  1 ) ) )  =  ( ( k  +  1 )  x.  ( x ^
k ) ) )
6257a1i 11 . . . . . . . . 9  |-  ( ( k  e.  NN  /\  x  e.  CC )  ->  1  e.  CC )
63 id 20 . . . . . . . . . 10  |-  ( x  e.  CC  ->  x  e.  CC )
64 nnnn0 10220 . . . . . . . . . 10  |-  ( k  e.  NN  ->  k  e.  NN0 )
65 expcl 11391 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( x  e.  CC  /\  k  e.  NN0 )  -> 
( x ^ k
)  e.  CC )
6663, 64, 65syl2anr 465 . . . . . . . . 9  |-  ( ( k  e.  NN  /\  x  e.  CC )  ->  ( x ^ k
)  e.  CC )
6756, 62, 66adddird 9105 . . . . . . . 8  |-  ( ( k  e.  NN  /\  x  e.  CC )  ->  ( ( k  +  1 )  x.  (
x ^ k ) )  =  ( ( k  x.  ( x ^ k ) )  +  ( 1  x.  ( x ^ k
) ) ) )
6866mulid2d 9098 . . . . . . . . 9  |-  ( ( k  e.  NN  /\  x  e.  CC )  ->  ( 1  x.  (
x ^ k ) )  =  ( x ^ k ) )
6968oveq2d 6089 . . . . . . . 8  |-  ( ( k  e.  NN  /\  x  e.  CC )  ->  ( ( k  x.  ( x ^ k
) )  +  ( 1  x.  ( x ^ k ) ) )  =  ( ( k  x.  ( x ^ k ) )  +  ( x ^
k ) ) )
7061, 67, 693eqtrd 2471 . . . . . . 7  |-  ( ( k  e.  NN  /\  x  e.  CC )  ->  ( ( k  +  1 )  x.  (
x ^ ( ( k  +  1 )  -  1 ) ) )  =  ( ( k  x.  ( x ^ k ) )  +  ( x ^
k ) ) )
7170mpteq2dva 4287 . . . . . 6  |-  ( k  e.  NN  ->  (
x  e.  CC  |->  ( ( k  +  1 )  x.  ( x ^ ( ( k  +  1 )  - 
1 ) ) ) )  =  ( x  e.  CC  |->  ( ( k  x.  ( x ^ k ) )  +  ( x ^
k ) ) ) )
72 cnex 9063 . . . . . . . 8  |-  CC  e.  _V
7372a1i 11 . . . . . . 7  |-  ( k  e.  NN  ->  CC  e.  _V )
7456, 66mulcld 9100 . . . . . . 7  |-  ( ( k  e.  NN  /\  x  e.  CC )  ->  ( k  x.  (
x ^ k ) )  e.  CC )
75 nnm1nn0 10253 . . . . . . . . . . 11  |-  ( k  e.  NN  ->  (
k  -  1 )  e.  NN0 )
76 expcl 11391 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( x  e.  CC  /\  ( k  -  1 )  e.  NN0 )  ->  ( x ^ (
k  -  1 ) )  e.  CC )
7763, 75, 76syl2anr 465 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( k  e.  NN  /\  x  e.  CC )  ->  ( x ^ (
k  -  1 ) )  e.  CC )
7856, 77mulcld 9100 . . . . . . . . 9  |-  ( ( k  e.  NN  /\  x  e.  CC )  ->  ( k  x.  (
x ^ ( k  -  1 ) ) )  e.  CC )
79 simpr 448 . . . . . . . . 9  |-  ( ( k  e.  NN  /\  x  e.  CC )  ->  x  e.  CC )
80 eqidd 2436 . . . . . . . . 9  |-  ( k  e.  NN  ->  (
x  e.  CC  |->  ( k  x.  ( x ^ ( k  - 
1 ) ) ) )  =  ( x  e.  CC  |->  ( k  x.  ( x ^
( k  -  1 ) ) ) ) )
8139eqcomi 2439 . . . . . . . . . 10  |-  (  _I  |`  CC )  =  ( x  e.  CC  |->  x )
8281a1i 11 . . . . . . . . 9  |-  ( k  e.  NN  ->  (  _I  |`  CC )  =  ( x  e.  CC  |->  x ) )
8373, 78, 79, 80, 82offval2 6314 . . . . . . . 8  |-  ( k  e.  NN  ->  (
( x  e.  CC  |->  ( k  x.  (
x ^ ( k  -  1 ) ) ) )  o F  x.  (  _I  |`  CC ) )  =  ( x  e.  CC  |->  ( ( k  x.  ( x ^ ( k  - 
1 ) ) )  x.  x ) ) )
8456, 77, 79mulassd 9103 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( k  e.  NN  /\  x  e.  CC )  ->  ( ( k  x.  ( x ^ (
k  -  1 ) ) )  x.  x
)  =  ( k  x.  ( ( x ^ ( k  - 
1 ) )  x.  x ) ) )
85 expm1t 11400 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( x  e.  CC  /\  k  e.  NN )  ->  ( x ^ k
)  =  ( ( x ^ ( k  -  1 ) )  x.  x ) )
8685ancoms 440 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( k  e.  NN  /\  x  e.  CC )  ->  ( x ^ k
)  =  ( ( x ^ ( k  -  1 ) )  x.  x ) )
8786oveq2d 6089 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( k  e.  NN  /\  x  e.  CC )  ->  ( k  x.  (
x ^ k ) )  =  ( k  x.  ( ( x ^ ( k  - 
1 ) )  x.  x ) ) )
8884, 87eqtr4d 2470 . . . . . . . . 9  |-  ( ( k  e.  NN  /\  x  e.  CC )  ->  ( ( k  x.  ( x ^ (
k  -  1 ) ) )  x.  x
)  =  ( k  x.  ( x ^
k ) ) )
8988mpteq2dva 4287 . . . . . . . 8  |-  ( k  e.  NN  ->  (
x  e.  CC  |->  ( ( k  x.  (
x ^ ( k  -  1 ) ) )  x.  x ) )  =  ( x  e.  CC  |->  ( k  x.  ( x ^
k ) ) ) )
9083, 89eqtrd 2467 . . . . . . 7  |-  ( k  e.  NN  ->  (
( x  e.  CC  |->  ( k  x.  (
x ^ ( k  -  1 ) ) ) )  o F  x.  (  _I  |`  CC ) )  =  ( x  e.  CC  |->  ( k  x.  ( x ^
k ) ) ) )
9152, 50eqtri 2455 . . . . . . . . . 10  |-  ( CC 
_D  (  _I  |`  CC ) )  =  ( x  e.  CC  |->  1 )
9291a1i 11 . . . . . . . . 9  |-  ( k  e.  NN  ->  ( CC  _D  (  _I  |`  CC ) )  =  ( x  e.  CC  |->  1 ) )
93 eqidd 2436 . . . . . . . . 9  |-  ( k  e.  NN  ->  (
x  e.  CC  |->  ( x ^ k ) )  =  ( x  e.  CC  |->  ( x ^ k ) ) )
9473, 62, 66, 92, 93offval2 6314 . . . . . . . 8  |-  ( k  e.  NN  ->  (
( CC  _D  (  _I  |`  CC ) )  o F  x.  (
x  e.  CC  |->  ( x ^ k ) ) )  =  ( x  e.  CC  |->  ( 1  x.  ( x ^ k ) ) ) )
9568mpteq2dva 4287 . . . . . . . 8  |-  ( k  e.  NN  ->  (
x  e.  CC  |->  ( 1  x.  ( x ^ k ) ) )  =  ( x  e.  CC  |->  ( x ^ k ) ) )
9694, 95eqtrd 2467 . . . . . . 7  |-  ( k  e.  NN  ->  (
( CC  _D  (  _I  |`  CC ) )  o F  x.  (
x  e.  CC  |->  ( x ^ k ) ) )  =  ( x  e.  CC  |->  ( x ^ k ) ) )
9773, 74, 66, 90, 96offval2 6314 . . . . . 6  |-  ( k  e.  NN  ->  (
( ( x  e.  CC  |->  ( k  x.  ( x ^ (
k  -  1 ) ) ) )  o F  x.  (  _I  |`  CC ) )  o F  +  ( ( CC  _D  (  _I  |`  CC ) )  o F  x.  ( x  e.  CC  |->  ( x ^ k ) ) ) )  =  ( x  e.  CC  |->  ( ( k  x.  (
x ^ k ) )  +  ( x ^ k ) ) ) )
9871, 97eqtr4d 2470 . . . . 5  |-  ( k  e.  NN  ->  (
x  e.  CC  |->  ( ( k  +  1 )  x.  ( x ^ ( ( k  +  1 )  - 
1 ) ) ) )  =  ( ( ( x  e.  CC  |->  ( k  x.  (
x ^ ( k  -  1 ) ) ) )  o F  x.  (  _I  |`  CC ) )  o F  +  ( ( CC  _D  (  _I  |`  CC ) )  o F  x.  ( x  e.  CC  |->  ( x ^ k
) ) ) ) )
99 oveq1 6080 . . . . . . 7  |-  ( ( CC  _D  ( x  e.  CC  |->  ( x ^ k ) ) )  =  ( x  e.  CC  |->  ( k  x.  ( x ^
( k  -  1 ) ) ) )  ->  ( ( CC 
_D  ( x  e.  CC  |->  ( x ^
k ) ) )  o F  x.  (  _I  |`  CC ) )  =  ( ( x  e.  CC  |->  ( k  x.  ( x ^
( k  -  1 ) ) ) )  o F  x.  (  _I  |`  CC ) ) )
10099oveq1d 6088 . . . . . 6  |-  ( ( CC  _D  ( x  e.  CC  |->  ( x ^ k ) ) )  =  ( x  e.  CC  |->  ( k  x.  ( x ^
( k  -  1 ) ) ) )  ->  ( ( ( CC  _D  ( x  e.  CC  |->  ( x ^ k ) ) )  o F  x.  (  _I  |`  CC ) )  o F  +  ( ( CC  _D  (  _I  |`  CC ) )  o F  x.  ( x  e.  CC  |->  ( x ^ k
) ) ) )  =  ( ( ( x  e.  CC  |->  ( k  x.  ( x ^ ( k  - 
1 ) ) ) )  o F  x.  (  _I  |`  CC ) )  o F  +  ( ( CC  _D  (  _I  |`  CC ) )  o F  x.  ( x  e.  CC  |->  ( x ^ k
) ) ) ) )
101100eqcomd 2440 . . . . 5  |-  ( ( CC  _D  ( x  e.  CC  |->  ( x ^ k ) ) )  =  ( x  e.  CC  |->  ( k  x.  ( x ^
( k  -  1 ) ) ) )  ->  ( ( ( x  e.  CC  |->  ( k  x.  ( x ^ ( k  - 
1 ) ) ) )  o F  x.  (  _I  |`  CC ) )  o F  +  ( ( CC  _D  (  _I  |`  CC ) )  o F  x.  ( x  e.  CC  |->  ( x ^ k
) ) ) )  =  ( ( ( CC  _D  ( x  e.  CC  |->  ( x ^ k ) ) )  o F  x.  (  _I  |`  CC ) )  o F  +  ( ( CC  _D  (  _I  |`  CC ) )  o F  x.  ( x  e.  CC  |->  ( x ^ k
) ) ) ) )
10298, 101sylan9eq 2487 . . . 4  |-  ( ( k  e.  NN  /\  ( CC  _D  (
x  e.  CC  |->  ( x ^ k ) ) )  =  ( x  e.  CC  |->  ( k  x.  ( x ^ ( k  - 
1 ) ) ) ) )  ->  (
x  e.  CC  |->  ( ( k  +  1 )  x.  ( x ^ ( ( k  +  1 )  - 
1 ) ) ) )  =  ( ( ( CC  _D  (
x  e.  CC  |->  ( x ^ k ) ) )  o F  x.  (  _I  |`  CC ) )  o F  +  ( ( CC  _D  (  _I  |`  CC ) )  o F  x.  ( x  e.  CC  |->  ( x ^ k
) ) ) ) )
10372prid2 3905 . . . . . 6  |-  CC  e.  { RR ,  CC }
104103a1i 11 . . . . 5  |-  ( ( k  e.  NN  /\  ( CC  _D  (
x  e.  CC  |->  ( x ^ k ) ) )  =  ( x  e.  CC  |->  ( k  x.  ( x ^ ( k  - 
1 ) ) ) ) )  ->  CC  e.  { RR ,  CC } )
105 eqid 2435 . . . . . . 7  |-  ( x  e.  CC  |->  ( x ^ k ) )  =  ( x  e.  CC  |->  ( x ^
k ) )
10666, 105fmptd 5885 . . . . . 6  |-  ( k  e.  NN  ->  (
x  e.  CC  |->  ( x ^ k ) ) : CC --> CC )
107106adantr 452 . . . . 5  |-  ( ( k  e.  NN  /\  ( CC  _D  (
x  e.  CC  |->  ( x ^ k ) ) )  =  ( x  e.  CC  |->  ( k  x.  ( x ^ ( k  - 
1 ) ) ) ) )  ->  (
x  e.  CC  |->  ( x ^ k ) ) : CC --> CC )
108 f1oi 5705 . . . . . 6  |-  (  _I  |`  CC ) : CC -1-1-onto-> CC
109 f1of 5666 . . . . . 6  |-  ( (  _I  |`  CC ) : CC -1-1-onto-> CC  ->  (  _I  |`  CC ) : CC --> CC )
110108, 109mp1i 12 . . . . 5  |-  ( ( k  e.  NN  /\  ( CC  _D  (
x  e.  CC  |->  ( x ^ k ) ) )  =  ( x  e.  CC  |->  ( k  x.  ( x ^ ( k  - 
1 ) ) ) ) )  ->  (  _I  |`  CC ) : CC --> CC )
111 simpr 448 . . . . . . 7  |-  ( ( k  e.  NN  /\  ( CC  _D  (
x  e.  CC  |->  ( x ^ k ) ) )  =  ( x  e.  CC  |->  ( k  x.  ( x ^ ( k  - 
1 ) ) ) ) )  ->  ( CC  _D  ( x  e.  CC  |->  ( x ^
k ) ) )  =  ( x  e.  CC  |->  ( k  x.  ( x ^ (
k  -  1 ) ) ) ) )
112111dmeqd 5064 . . . . . 6  |-  ( ( k  e.  NN  /\  ( CC  _D  (
x  e.  CC  |->  ( x ^ k ) ) )  =  ( x  e.  CC  |->  ( k  x.  ( x ^ ( k  - 
1 ) ) ) ) )  ->  dom  ( CC  _D  (
x  e.  CC  |->  ( x ^ k ) ) )  =  dom  ( x  e.  CC  |->  ( k  x.  (
x ^ ( k  -  1 ) ) ) ) )
113 eqid 2435 . . . . . . . . 9  |-  ( x  e.  CC  |->  ( k  x.  ( x ^
( k  -  1 ) ) ) )  =  ( x  e.  CC  |->  ( k  x.  ( x ^ (
k  -  1 ) ) ) )
11478, 113fmptd 5885 . . . . . . . 8  |-  ( k  e.  NN  ->  (
x  e.  CC  |->  ( k  x.  ( x ^ ( k  - 
1 ) ) ) ) : CC --> CC )
115114adantr 452 . . . . . . 7  |-  ( ( k  e.  NN  /\  ( CC  _D  (
x  e.  CC  |->  ( x ^ k ) ) )  =  ( x  e.  CC  |->  ( k  x.  ( x ^ ( k  - 
1 ) ) ) ) )  ->  (
x  e.  CC  |->  ( k  x.  ( x ^ ( k  - 
1 ) ) ) ) : CC --> CC )
116 fdm 5587 . . . . . . 7  |-  ( ( x  e.  CC  |->  ( k  x.  ( x ^ ( k  - 
1 ) ) ) ) : CC --> CC  ->  dom  ( x  e.  CC  |->  ( k  x.  (
x ^ ( k  -  1 ) ) ) )  =  CC )
117115, 116syl 16 . . . . . 6  |-  ( ( k  e.  NN  /\  ( CC  _D  (
x  e.  CC  |->  ( x ^ k ) ) )  =  ( x  e.  CC  |->  ( k  x.  ( x ^ ( k  - 
1 ) ) ) ) )  ->  dom  ( x  e.  CC  |->  ( k  x.  (
x ^ ( k  -  1 ) ) ) )  =  CC )
118112, 117eqtrd 2467 . . . . 5  |-  ( ( k  e.  NN  /\  ( CC  _D  (
x  e.  CC  |->  ( x ^ k ) ) )  =  ( x  e.  CC  |->  ( k  x.  ( x ^ ( k  - 
1 ) ) ) ) )  ->  dom  ( CC  _D  (
x  e.  CC  |->  ( x ^ k ) ) )  =  CC )
119 1ex 9078 . . . . . . . . 9  |-  1  e.  _V
120119fconst 5621 . . . . . . . 8  |-  ( CC 
X.  { 1 } ) : CC --> { 1 }
12152feq1i 5577 . . . . . . . 8  |-  ( ( CC  _D  (  _I  |`  CC ) ) : CC --> { 1 }  <-> 
( CC  X.  {
1 } ) : CC --> { 1 } )
122120, 121mpbir 201 . . . . . . 7  |-  ( CC 
_D  (  _I  |`  CC ) ) : CC --> { 1 }
123122fdmi 5588 . . . . . 6  |-  dom  ( CC  _D  (  _I  |`  CC ) )  =  CC
124123a1i 11 . . . . 5  |-  ( ( k  e.  NN  /\  ( CC  _D  (
x  e.  CC  |->  ( x ^ k ) ) )  =  ( x  e.  CC  |->  ( k  x.  ( x ^ ( k  - 
1 ) ) ) ) )  ->  dom  ( CC  _D  (  _I  |`  CC ) )  =  CC )
125104, 107, 110, 118, 124dvmulf 19821 . . . 4  |-  ( ( k  e.  NN  /\  ( CC  _D  (
x  e.  CC  |->  ( x ^ k ) ) )  =  ( x  e.  CC  |->  ( k  x.  ( x ^ ( k  - 
1 ) ) ) ) )  ->  ( CC  _D  ( ( x  e.  CC  |->  ( x ^ k ) )  o F  x.  (  _I  |`  CC ) ) )  =  ( ( ( CC  _D  (
x  e.  CC  |->  ( x ^ k ) ) )  o F  x.  (  _I  |`  CC ) )  o F  +  ( ( CC  _D  (  _I  |`  CC ) )  o F  x.  ( x  e.  CC  |->  ( x ^ k
) ) ) ) )
12673, 66, 79, 93, 82offval2 6314 . . . . . . 7  |-  ( k  e.  NN  ->  (
( x  e.  CC  |->  ( x ^ k
) )  o F  x.  (  _I  |`  CC ) )  =  ( x  e.  CC  |->  ( ( x ^ k )  x.  x ) ) )
127 expp1 11380 . . . . . . . . 9  |-  ( ( x  e.  CC  /\  k  e.  NN0 )  -> 
( x ^ (
k  +  1 ) )  =  ( ( x ^ k )  x.  x ) )
12863, 64, 127syl2anr 465 . . . . . . . 8  |-  ( ( k  e.  NN  /\  x  e.  CC )  ->  ( x ^ (
k  +  1 ) )  =  ( ( x ^ k )  x.  x ) )
129128mpteq2dva 4287 . . . . . . 7  |-  ( k  e.  NN  ->  (
x  e.  CC  |->  ( x ^ ( k  +  1 ) ) )  =  ( x  e.  CC  |->  ( ( x ^ k )  x.  x ) ) )
130126, 129eqtr4d 2470 . . . . . 6  |-  ( k  e.  NN  ->  (
( x  e.  CC  |->  ( x ^ k
) )  o F  x.  (  _I  |`  CC ) )  =  ( x  e.  CC  |->  ( x ^ ( k  +  1 ) ) ) )
131130oveq2d 6089 . . . . 5  |-  ( k  e.  NN  ->  ( CC  _D  ( ( x  e.  CC  |->  ( x ^ k ) )  o F  x.  (  _I  |`  CC ) ) )  =  ( CC 
_D  ( x  e.  CC  |->  ( x ^
( k  +  1 ) ) ) ) )
132131adantr 452 . . . 4  |-  ( ( k  e.  NN  /\  ( CC  _D  (
x  e.  CC  |->  ( x ^ k ) ) )  =  ( x  e.  CC  |->  ( k  x.  ( x ^ ( k  - 
1 ) ) ) ) )  ->  ( CC  _D  ( ( x  e.  CC  |->  ( x ^ k ) )  o F  x.  (  _I  |`  CC ) ) )  =  ( CC 
_D  ( x  e.  CC  |->  ( x ^
( k  +  1 ) ) ) ) )
133102, 125, 1323eqtr2rd 2474 . . 3  |-  ( ( k  e.  NN  /\  ( CC  _D  (
x  e.  CC  |->  ( x ^ k ) ) )  =  ( x  e.  CC  |->  ( k  x.  ( x ^ ( k  - 
1 ) ) ) ) )  ->  ( CC  _D  ( x  e.  CC  |->  ( x ^
( k  +  1 ) ) ) )  =  ( x  e.  CC  |->  ( ( k  +  1 )  x.  ( x ^ (
( k  +  1 )  -  1 ) ) ) ) )
134133ex 424 . 2  |-  ( k  e.  NN  ->  (
( CC  _D  (
x  e.  CC  |->  ( x ^ k ) ) )  =  ( x  e.  CC  |->  ( k  x.  ( x ^ ( k  - 
1 ) ) ) )  ->  ( CC  _D  ( x  e.  CC  |->  ( x ^ (
k  +  1 ) ) ) )  =  ( x  e.  CC  |->  ( ( k  +  1 )  x.  (
x ^ ( ( k  +  1 )  -  1 ) ) ) ) ) )
1359, 18, 27, 36, 54, 134nnind 10010 1  |-  ( N  e.  NN  ->  ( CC  _D  ( x  e.  CC  |->  ( x ^ N ) ) )  =  ( x  e.  CC  |->  ( N  x.  ( x ^ ( N  -  1 ) ) ) ) )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    /\ wa 359    = wceq 1652    e. wcel 1725   _Vcvv 2948   {csn 3806   {cpr 3807    e. cmpt 4258    _I cid 4485    X. cxp 4868   dom cdm 4870    |` cres 4872   -->wf 5442   -1-1-onto->wf1o 5445  (class class class)co 6073    o Fcof 6295   CCcc 8980   RRcr 8981   0cc0 8982   1c1 8983    + caddc 8985    x. cmul 8987    - cmin 9283   NNcn 9992   NN0cn0 10213   ^cexp 11374    _D cdv 19742
This theorem is referenced by:  dvexp2  19832  dvexp3  19854  taylthlem2  20282  advlogexp  20538  logdivsum  21219  log2sumbnd  21230  dvreasin  26280  areacirclem2  26282  areacirclem3  26283  lhe4.4ex1a  27514  dvsinexp  27707
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1555  ax-5 1566  ax-17 1626  ax-9 1666  ax-8 1687  ax-13 1727  ax-14 1729  ax-6 1744  ax-7 1749  ax-11 1761  ax-12 1950  ax-ext 2416  ax-rep 4312  ax-sep 4322  ax-nul 4330  ax-pow 4369  ax-pr 4395  ax-un 4693  ax-inf2 7588  ax-cnex 9038  ax-resscn 9039  ax-1cn 9040  ax-icn 9041  ax-addcl 9042  ax-addrcl 9043  ax-mulcl 9044  ax-mulrcl 9045  ax-mulcom 9046  ax-addass 9047  ax-mulass 9048  ax-distr 9049  ax-i2m1 9050  ax-1ne0 9051  ax-1rid 9052  ax-rnegex 9053  ax-rrecex 9054  ax-cnre 9055  ax-pre-lttri 9056  ax-pre-lttrn 9057  ax-pre-ltadd 9058  ax-pre-mulgt0 9059  ax-pre-sup 9060  ax-addf 9061  ax-mulf 9062
This theorem depends on definitions:  df-bi 178  df-or 360  df-an 361  df-3or 937  df-3an 938  df-tru 1328  df-ex 1551  df-nf 1554  df-sb 1659  df-eu 2284  df-mo 2285  df-clab 2422  df-cleq 2428  df-clel 2431  df-nfc 2560  df-ne 2600  df-nel 2601  df-ral 2702  df-rex 2703  df-reu 2704  df-rmo 2705  df-rab 2706  df-v 2950  df-sbc 3154  df-csb 3244  df-dif 3315  df-un 3317  df-in 3319  df-ss 3326  df-pss 3328  df-nul 3621  df-if 3732  df-pw 3793  df-sn 3812  df-pr 3813  df-tp 3814  df-op 3815  df-uni 4008  df-int 4043  df-iun 4087  df-iin 4088  df-br 4205  df-opab 4259  df-mpt 4260  df-tr 4295  df-eprel 4486  df-id 4490  df-po 4495  df-so 4496  df-fr 4533  df-se 4534  df-we 4535  df-ord 4576  df-on 4577  df-lim 4578  df-suc 4579  df-om 4838  df-xp 4876  df-rel 4877  df-cnv 4878  df-co 4879  df-dm 4880  df-rn 4881  df-res 4882  df-ima 4883  df-iota 5410  df-fun 5448  df-fn 5449  df-f 5450  df-f1 5451  df-fo 5452  df-f1o 5453  df-fv 5454  df-isom 5455  df-ov 6076  df-oprab 6077  df-mpt2 6078  df-of 6297  df-1st 6341  df-2nd 6342  df-riota 6541  df-recs 6625  df-rdg 6660  df-1o 6716  df-2o 6717  df-oadd 6720  df-er 6897  df-map 7012  df-pm 7013  df-ixp 7056  df-en 7102  df-dom 7103  df-sdom 7104  df-fin 7105  df-fi 7408  df-sup 7438  df-oi 7471  df-card 7818  df-cda 8040  df-pnf 9114  df-mnf 9115  df-xr 9116  df-ltxr 9117  df-le 9118  df-sub 9285  df-neg 9286  df-div 9670  df-nn 9993  df-2 10050  df-3 10051  df-4 10052  df-5 10053  df-6 10054  df-7 10055  df-8 10056  df-9 10057  df-10 10058  df-n0 10214  df-z 10275  df-dec 10375  df-uz 10481  df-q 10567  df-rp 10605  df-xneg 10702  df-xadd 10703  df-xmul 10704  df-icc 10915  df-fz 11036  df-fzo 11128  df-seq 11316  df-exp 11375  df-hash 11611  df-cj 11896  df-re 11897  df-im 11898  df-sqr 12032  df-abs 12033  df-struct 13463  df-ndx 13464  df-slot 13465  df-base 13466  df-sets 13467  df-ress 13468  df-plusg 13534  df-mulr 13535  df-starv 13536  df-sca 13537  df-vsca 13538  df-tset 13540  df-ple 13541  df-ds 13543  df-unif 13544  df-hom 13545  df-cco 13546  df-rest 13642  df-topn 13643  df-topgen 13659  df-pt 13660  df-prds 13663  df-xrs 13718  df-0g 13719  df-gsum 13720  df-qtop 13725  df-imas 13726  df-xps 13728  df-mre 13803  df-mrc 13804  df-acs 13806  df-mnd 14682  df-submnd 14731  df-mulg 14807  df-cntz 15108  df-cmn 15406  df-psmet 16686  df-xmet 16687  df-met 16688  df-bl 16689  df-mopn 16690  df-fbas 16691  df-fg 16692  df-cnfld 16696  df-top 16955  df-bases 16957  df-topon 16958  df-topsp 16959  df-cld 17075  df-ntr 17076  df-cls 17077  df-nei 17154  df-lp 17192  df-perf 17193  df-cn 17283  df-cnp 17284  df-haus 17371  df-tx 17586  df-hmeo 17779  df-fil 17870  df-fm 17962  df-flim 17963  df-flf 17964  df-xms 18342  df-ms 18343  df-tms 18344  df-cncf 18900  df-limc 19745  df-dv 19746
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