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Theorem dvexp 19302
Description: Derivative of a power function. (Contributed by Mario Carneiro, 9-Aug-2014.) (Revised by Mario Carneiro, 10-Feb-2015.)
Assertion
Ref Expression
dvexp  |-  ( N  e.  NN  ->  ( CC  _D  ( x  e.  CC  |->  ( x ^ N ) ) )  =  ( x  e.  CC  |->  ( N  x.  ( x ^ ( N  -  1 ) ) ) ) )
Distinct variable group:    x, N

Proof of Theorem dvexp
Dummy variables  k  n are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 oveq2 5866 . . . . 5  |-  ( n  =  1  ->  (
x ^ n )  =  ( x ^
1 ) )
21mpteq2dv 4107 . . . 4  |-  ( n  =  1  ->  (
x  e.  CC  |->  ( x ^ n ) )  =  ( x  e.  CC  |->  ( x ^ 1 ) ) )
32oveq2d 5874 . . 3  |-  ( n  =  1  ->  ( CC  _D  ( x  e.  CC  |->  ( x ^
n ) ) )  =  ( CC  _D  ( x  e.  CC  |->  ( x ^ 1 ) ) ) )
4 id 19 . . . . 5  |-  ( n  =  1  ->  n  =  1 )
5 oveq1 5865 . . . . . 6  |-  ( n  =  1  ->  (
n  -  1 )  =  ( 1  -  1 ) )
65oveq2d 5874 . . . . 5  |-  ( n  =  1  ->  (
x ^ ( n  -  1 ) )  =  ( x ^
( 1  -  1 ) ) )
74, 6oveq12d 5876 . . . 4  |-  ( n  =  1  ->  (
n  x.  ( x ^ ( n  - 
1 ) ) )  =  ( 1  x.  ( x ^ (
1  -  1 ) ) ) )
87mpteq2dv 4107 . . 3  |-  ( n  =  1  ->  (
x  e.  CC  |->  ( n  x.  ( x ^ ( n  - 
1 ) ) ) )  =  ( x  e.  CC  |->  ( 1  x.  ( x ^
( 1  -  1 ) ) ) ) )
93, 8eqeq12d 2297 . 2  |-  ( n  =  1  ->  (
( CC  _D  (
x  e.  CC  |->  ( x ^ n ) ) )  =  ( x  e.  CC  |->  ( n  x.  ( x ^ ( n  - 
1 ) ) ) )  <->  ( CC  _D  ( x  e.  CC  |->  ( x ^ 1 ) ) )  =  ( x  e.  CC  |->  ( 1  x.  (
x ^ ( 1  -  1 ) ) ) ) ) )
10 oveq2 5866 . . . . 5  |-  ( n  =  k  ->  (
x ^ n )  =  ( x ^
k ) )
1110mpteq2dv 4107 . . . 4  |-  ( n  =  k  ->  (
x  e.  CC  |->  ( x ^ n ) )  =  ( x  e.  CC  |->  ( x ^ k ) ) )
1211oveq2d 5874 . . 3  |-  ( n  =  k  ->  ( CC  _D  ( x  e.  CC  |->  ( x ^
n ) ) )  =  ( CC  _D  ( x  e.  CC  |->  ( x ^ k
) ) ) )
13 id 19 . . . . 5  |-  ( n  =  k  ->  n  =  k )
14 oveq1 5865 . . . . . 6  |-  ( n  =  k  ->  (
n  -  1 )  =  ( k  - 
1 ) )
1514oveq2d 5874 . . . . 5  |-  ( n  =  k  ->  (
x ^ ( n  -  1 ) )  =  ( x ^
( k  -  1 ) ) )
1613, 15oveq12d 5876 . . . 4  |-  ( n  =  k  ->  (
n  x.  ( x ^ ( n  - 
1 ) ) )  =  ( k  x.  ( x ^ (
k  -  1 ) ) ) )
1716mpteq2dv 4107 . . 3  |-  ( n  =  k  ->  (
x  e.  CC  |->  ( n  x.  ( x ^ ( n  - 
1 ) ) ) )  =  ( x  e.  CC  |->  ( k  x.  ( x ^
( k  -  1 ) ) ) ) )
1812, 17eqeq12d 2297 . 2  |-  ( n  =  k  ->  (
( CC  _D  (
x  e.  CC  |->  ( x ^ n ) ) )  =  ( x  e.  CC  |->  ( n  x.  ( x ^ ( n  - 
1 ) ) ) )  <->  ( CC  _D  ( x  e.  CC  |->  ( x ^ k
) ) )  =  ( x  e.  CC  |->  ( k  x.  (
x ^ ( k  -  1 ) ) ) ) ) )
19 oveq2 5866 . . . . 5  |-  ( n  =  ( k  +  1 )  ->  (
x ^ n )  =  ( x ^
( k  +  1 ) ) )
2019mpteq2dv 4107 . . . 4  |-  ( n  =  ( k  +  1 )  ->  (
x  e.  CC  |->  ( x ^ n ) )  =  ( x  e.  CC  |->  ( x ^ ( k  +  1 ) ) ) )
2120oveq2d 5874 . . 3  |-  ( n  =  ( k  +  1 )  ->  ( CC  _D  ( x  e.  CC  |->  ( x ^
n ) ) )  =  ( CC  _D  ( x  e.  CC  |->  ( x ^ (
k  +  1 ) ) ) ) )
22 id 19 . . . . 5  |-  ( n  =  ( k  +  1 )  ->  n  =  ( k  +  1 ) )
23 oveq1 5865 . . . . . 6  |-  ( n  =  ( k  +  1 )  ->  (
n  -  1 )  =  ( ( k  +  1 )  - 
1 ) )
2423oveq2d 5874 . . . . 5  |-  ( n  =  ( k  +  1 )  ->  (
x ^ ( n  -  1 ) )  =  ( x ^
( ( k  +  1 )  -  1 ) ) )
2522, 24oveq12d 5876 . . . 4  |-  ( n  =  ( k  +  1 )  ->  (
n  x.  ( x ^ ( n  - 
1 ) ) )  =  ( ( k  +  1 )  x.  ( x ^ (
( k  +  1 )  -  1 ) ) ) )
2625mpteq2dv 4107 . . 3  |-  ( n  =  ( k  +  1 )  ->  (
x  e.  CC  |->  ( n  x.  ( x ^ ( n  - 
1 ) ) ) )  =  ( x  e.  CC  |->  ( ( k  +  1 )  x.  ( x ^
( ( k  +  1 )  -  1 ) ) ) ) )
2721, 26eqeq12d 2297 . 2  |-  ( n  =  ( k  +  1 )  ->  (
( CC  _D  (
x  e.  CC  |->  ( x ^ n ) ) )  =  ( x  e.  CC  |->  ( n  x.  ( x ^ ( n  - 
1 ) ) ) )  <->  ( CC  _D  ( x  e.  CC  |->  ( x ^ (
k  +  1 ) ) ) )  =  ( x  e.  CC  |->  ( ( k  +  1 )  x.  (
x ^ ( ( k  +  1 )  -  1 ) ) ) ) ) )
28 oveq2 5866 . . . . 5  |-  ( n  =  N  ->  (
x ^ n )  =  ( x ^ N ) )
2928mpteq2dv 4107 . . . 4  |-  ( n  =  N  ->  (
x  e.  CC  |->  ( x ^ n ) )  =  ( x  e.  CC  |->  ( x ^ N ) ) )
3029oveq2d 5874 . . 3  |-  ( n  =  N  ->  ( CC  _D  ( x  e.  CC  |->  ( x ^
n ) ) )  =  ( CC  _D  ( x  e.  CC  |->  ( x ^ N
) ) ) )
31 id 19 . . . . 5  |-  ( n  =  N  ->  n  =  N )
32 oveq1 5865 . . . . . 6  |-  ( n  =  N  ->  (
n  -  1 )  =  ( N  - 
1 ) )
3332oveq2d 5874 . . . . 5  |-  ( n  =  N  ->  (
x ^ ( n  -  1 ) )  =  ( x ^
( N  -  1 ) ) )
3431, 33oveq12d 5876 . . . 4  |-  ( n  =  N  ->  (
n  x.  ( x ^ ( n  - 
1 ) ) )  =  ( N  x.  ( x ^ ( N  -  1 ) ) ) )
3534mpteq2dv 4107 . . 3  |-  ( n  =  N  ->  (
x  e.  CC  |->  ( n  x.  ( x ^ ( n  - 
1 ) ) ) )  =  ( x  e.  CC  |->  ( N  x.  ( x ^
( N  -  1 ) ) ) ) )
3630, 35eqeq12d 2297 . 2  |-  ( n  =  N  ->  (
( CC  _D  (
x  e.  CC  |->  ( x ^ n ) ) )  =  ( x  e.  CC  |->  ( n  x.  ( x ^ ( n  - 
1 ) ) ) )  <->  ( CC  _D  ( x  e.  CC  |->  ( x ^ N
) ) )  =  ( x  e.  CC  |->  ( N  x.  (
x ^ ( N  -  1 ) ) ) ) ) )
37 exp1 11109 . . . . . 6  |-  ( x  e.  CC  ->  (
x ^ 1 )  =  x )
3837mpteq2ia 4102 . . . . 5  |-  ( x  e.  CC  |->  ( x ^ 1 ) )  =  ( x  e.  CC  |->  x )
39 mptresid 5004 . . . . 5  |-  ( x  e.  CC  |->  x )  =  (  _I  |`  CC )
4038, 39eqtri 2303 . . . 4  |-  ( x  e.  CC  |->  ( x ^ 1 ) )  =  (  _I  |`  CC )
4140oveq2i 5869 . . 3  |-  ( CC 
_D  ( x  e.  CC  |->  ( x ^
1 ) ) )  =  ( CC  _D  (  _I  |`  CC ) )
42 1m1e0 9814 . . . . . . . . . 10  |-  ( 1  -  1 )  =  0
4342oveq2i 5869 . . . . . . . . 9  |-  ( x ^ ( 1  -  1 ) )  =  ( x ^ 0 )
44 exp0 11108 . . . . . . . . 9  |-  ( x  e.  CC  ->  (
x ^ 0 )  =  1 )
4543, 44syl5eq 2327 . . . . . . . 8  |-  ( x  e.  CC  ->  (
x ^ ( 1  -  1 ) )  =  1 )
4645oveq2d 5874 . . . . . . 7  |-  ( x  e.  CC  ->  (
1  x.  ( x ^ ( 1  -  1 ) ) )  =  ( 1  x.  1 ) )
47 1t1e1 9870 . . . . . . 7  |-  ( 1  x.  1 )  =  1
4846, 47syl6eq 2331 . . . . . 6  |-  ( x  e.  CC  ->  (
1  x.  ( x ^ ( 1  -  1 ) ) )  =  1 )
4948mpteq2ia 4102 . . . . 5  |-  ( x  e.  CC  |->  ( 1  x.  ( x ^
( 1  -  1 ) ) ) )  =  ( x  e.  CC  |->  1 )
50 fconstmpt 4732 . . . . 5  |-  ( CC 
X.  { 1 } )  =  ( x  e.  CC  |->  1 )
5149, 50eqtr4i 2306 . . . 4  |-  ( x  e.  CC  |->  ( 1  x.  ( x ^
( 1  -  1 ) ) ) )  =  ( CC  X.  { 1 } )
52 dvid 19267 . . . 4  |-  ( CC 
_D  (  _I  |`  CC ) )  =  ( CC 
X.  { 1 } )
5351, 52eqtr4i 2306 . . 3  |-  ( x  e.  CC  |->  ( 1  x.  ( x ^
( 1  -  1 ) ) ) )  =  ( CC  _D  (  _I  |`  CC ) )
5441, 53eqtr4i 2306 . 2  |-  ( CC 
_D  ( x  e.  CC  |->  ( x ^
1 ) ) )  =  ( x  e.  CC  |->  ( 1  x.  ( x ^ (
1  -  1 ) ) ) )
55 nncn 9754 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( k  e.  NN  ->  k  e.  CC )
5655adantr 451 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( k  e.  NN  /\  x  e.  CC )  ->  k  e.  CC )
57 ax-1cn 8795 . . . . . . . . . . 11  |-  1  e.  CC
58 pncan 9057 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( k  e.  CC  /\  1  e.  CC )  ->  ( ( k  +  1 )  -  1 )  =  k )
5956, 57, 58sylancl 643 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( k  e.  NN  /\  x  e.  CC )  ->  ( ( k  +  1 )  -  1 )  =  k )
6059oveq2d 5874 . . . . . . . . 9  |-  ( ( k  e.  NN  /\  x  e.  CC )  ->  ( x ^ (
( k  +  1 )  -  1 ) )  =  ( x ^ k ) )
6160oveq2d 5874 . . . . . . . 8  |-  ( ( k  e.  NN  /\  x  e.  CC )  ->  ( ( k  +  1 )  x.  (
x ^ ( ( k  +  1 )  -  1 ) ) )  =  ( ( k  +  1 )  x.  ( x ^
k ) ) )
6257a1i 10 . . . . . . . . 9  |-  ( ( k  e.  NN  /\  x  e.  CC )  ->  1  e.  CC )
63 id 19 . . . . . . . . . 10  |-  ( x  e.  CC  ->  x  e.  CC )
64 nnnn0 9972 . . . . . . . . . 10  |-  ( k  e.  NN  ->  k  e.  NN0 )
65 expcl 11121 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( x  e.  CC  /\  k  e.  NN0 )  -> 
( x ^ k
)  e.  CC )
6663, 64, 65syl2anr 464 . . . . . . . . 9  |-  ( ( k  e.  NN  /\  x  e.  CC )  ->  ( x ^ k
)  e.  CC )
6756, 62, 66adddird 8860 . . . . . . . 8  |-  ( ( k  e.  NN  /\  x  e.  CC )  ->  ( ( k  +  1 )  x.  (
x ^ k ) )  =  ( ( k  x.  ( x ^ k ) )  +  ( 1  x.  ( x ^ k
) ) ) )
6866mulid2d 8853 . . . . . . . . 9  |-  ( ( k  e.  NN  /\  x  e.  CC )  ->  ( 1  x.  (
x ^ k ) )  =  ( x ^ k ) )
6968oveq2d 5874 . . . . . . . 8  |-  ( ( k  e.  NN  /\  x  e.  CC )  ->  ( ( k  x.  ( x ^ k
) )  +  ( 1  x.  ( x ^ k ) ) )  =  ( ( k  x.  ( x ^ k ) )  +  ( x ^
k ) ) )
7061, 67, 693eqtrd 2319 . . . . . . 7  |-  ( ( k  e.  NN  /\  x  e.  CC )  ->  ( ( k  +  1 )  x.  (
x ^ ( ( k  +  1 )  -  1 ) ) )  =  ( ( k  x.  ( x ^ k ) )  +  ( x ^
k ) ) )
7170mpteq2dva 4106 . . . . . 6  |-  ( k  e.  NN  ->  (
x  e.  CC  |->  ( ( k  +  1 )  x.  ( x ^ ( ( k  +  1 )  - 
1 ) ) ) )  =  ( x  e.  CC  |->  ( ( k  x.  ( x ^ k ) )  +  ( x ^
k ) ) ) )
72 cnex 8818 . . . . . . . 8  |-  CC  e.  _V
7372a1i 10 . . . . . . 7  |-  ( k  e.  NN  ->  CC  e.  _V )
7456, 66mulcld 8855 . . . . . . 7  |-  ( ( k  e.  NN  /\  x  e.  CC )  ->  ( k  x.  (
x ^ k ) )  e.  CC )
75 nnm1nn0 10005 . . . . . . . . . . 11  |-  ( k  e.  NN  ->  (
k  -  1 )  e.  NN0 )
76 expcl 11121 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( x  e.  CC  /\  ( k  -  1 )  e.  NN0 )  ->  ( x ^ (
k  -  1 ) )  e.  CC )
7763, 75, 76syl2anr 464 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( k  e.  NN  /\  x  e.  CC )  ->  ( x ^ (
k  -  1 ) )  e.  CC )
7856, 77mulcld 8855 . . . . . . . . 9  |-  ( ( k  e.  NN  /\  x  e.  CC )  ->  ( k  x.  (
x ^ ( k  -  1 ) ) )  e.  CC )
79 simpr 447 . . . . . . . . 9  |-  ( ( k  e.  NN  /\  x  e.  CC )  ->  x  e.  CC )
80 eqidd 2284 . . . . . . . . 9  |-  ( k  e.  NN  ->  (
x  e.  CC  |->  ( k  x.  ( x ^ ( k  - 
1 ) ) ) )  =  ( x  e.  CC  |->  ( k  x.  ( x ^
( k  -  1 ) ) ) ) )
8139eqcomi 2287 . . . . . . . . . 10  |-  (  _I  |`  CC )  =  ( x  e.  CC  |->  x )
8281a1i 10 . . . . . . . . 9  |-  ( k  e.  NN  ->  (  _I  |`  CC )  =  ( x  e.  CC  |->  x ) )
8373, 78, 79, 80, 82offval2 6095 . . . . . . . 8  |-  ( k  e.  NN  ->  (
( x  e.  CC  |->  ( k  x.  (
x ^ ( k  -  1 ) ) ) )  o F  x.  (  _I  |`  CC ) )  =  ( x  e.  CC  |->  ( ( k  x.  ( x ^ ( k  - 
1 ) ) )  x.  x ) ) )
8456, 77, 79mulassd 8858 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( k  e.  NN  /\  x  e.  CC )  ->  ( ( k  x.  ( x ^ (
k  -  1 ) ) )  x.  x
)  =  ( k  x.  ( ( x ^ ( k  - 
1 ) )  x.  x ) ) )
85 expm1t 11130 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( x  e.  CC  /\  k  e.  NN )  ->  ( x ^ k
)  =  ( ( x ^ ( k  -  1 ) )  x.  x ) )
8685ancoms 439 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( k  e.  NN  /\  x  e.  CC )  ->  ( x ^ k
)  =  ( ( x ^ ( k  -  1 ) )  x.  x ) )
8786oveq2d 5874 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( k  e.  NN  /\  x  e.  CC )  ->  ( k  x.  (
x ^ k ) )  =  ( k  x.  ( ( x ^ ( k  - 
1 ) )  x.  x ) ) )
8884, 87eqtr4d 2318 . . . . . . . . 9  |-  ( ( k  e.  NN  /\  x  e.  CC )  ->  ( ( k  x.  ( x ^ (
k  -  1 ) ) )  x.  x
)  =  ( k  x.  ( x ^
k ) ) )
8988mpteq2dva 4106 . . . . . . . 8  |-  ( k  e.  NN  ->  (
x  e.  CC  |->  ( ( k  x.  (
x ^ ( k  -  1 ) ) )  x.  x ) )  =  ( x  e.  CC  |->  ( k  x.  ( x ^
k ) ) ) )
9083, 89eqtrd 2315 . . . . . . 7  |-  ( k  e.  NN  ->  (
( x  e.  CC  |->  ( k  x.  (
x ^ ( k  -  1 ) ) ) )  o F  x.  (  _I  |`  CC ) )  =  ( x  e.  CC  |->  ( k  x.  ( x ^
k ) ) ) )
9152, 50eqtri 2303 . . . . . . . . . 10  |-  ( CC 
_D  (  _I  |`  CC ) )  =  ( x  e.  CC  |->  1 )
9291a1i 10 . . . . . . . . 9  |-  ( k  e.  NN  ->  ( CC  _D  (  _I  |`  CC ) )  =  ( x  e.  CC  |->  1 ) )
93 eqidd 2284 . . . . . . . . 9  |-  ( k  e.  NN  ->  (
x  e.  CC  |->  ( x ^ k ) )  =  ( x  e.  CC  |->  ( x ^ k ) ) )
9473, 62, 66, 92, 93offval2 6095 . . . . . . . 8  |-  ( k  e.  NN  ->  (
( CC  _D  (  _I  |`  CC ) )  o F  x.  (
x  e.  CC  |->  ( x ^ k ) ) )  =  ( x  e.  CC  |->  ( 1  x.  ( x ^ k ) ) ) )
9568mpteq2dva 4106 . . . . . . . 8  |-  ( k  e.  NN  ->  (
x  e.  CC  |->  ( 1  x.  ( x ^ k ) ) )  =  ( x  e.  CC  |->  ( x ^ k ) ) )
9694, 95eqtrd 2315 . . . . . . 7  |-  ( k  e.  NN  ->  (
( CC  _D  (  _I  |`  CC ) )  o F  x.  (
x  e.  CC  |->  ( x ^ k ) ) )  =  ( x  e.  CC  |->  ( x ^ k ) ) )
9773, 74, 66, 90, 96offval2 6095 . . . . . 6  |-  ( k  e.  NN  ->  (
( ( x  e.  CC  |->  ( k  x.  ( x ^ (
k  -  1 ) ) ) )  o F  x.  (  _I  |`  CC ) )  o F  +  ( ( CC  _D  (  _I  |`  CC ) )  o F  x.  ( x  e.  CC  |->  ( x ^ k ) ) ) )  =  ( x  e.  CC  |->  ( ( k  x.  (
x ^ k ) )  +  ( x ^ k ) ) ) )
9871, 97eqtr4d 2318 . . . . 5  |-  ( k  e.  NN  ->  (
x  e.  CC  |->  ( ( k  +  1 )  x.  ( x ^ ( ( k  +  1 )  - 
1 ) ) ) )  =  ( ( ( x  e.  CC  |->  ( k  x.  (
x ^ ( k  -  1 ) ) ) )  o F  x.  (  _I  |`  CC ) )  o F  +  ( ( CC  _D  (  _I  |`  CC ) )  o F  x.  ( x  e.  CC  |->  ( x ^ k
) ) ) ) )
99 oveq1 5865 . . . . . . 7  |-  ( ( CC  _D  ( x  e.  CC  |->  ( x ^ k ) ) )  =  ( x  e.  CC  |->  ( k  x.  ( x ^
( k  -  1 ) ) ) )  ->  ( ( CC 
_D  ( x  e.  CC  |->  ( x ^
k ) ) )  o F  x.  (  _I  |`  CC ) )  =  ( ( x  e.  CC  |->  ( k  x.  ( x ^
( k  -  1 ) ) ) )  o F  x.  (  _I  |`  CC ) ) )
10099oveq1d 5873 . . . . . 6  |-  ( ( CC  _D  ( x  e.  CC  |->  ( x ^ k ) ) )  =  ( x  e.  CC  |->  ( k  x.  ( x ^
( k  -  1 ) ) ) )  ->  ( ( ( CC  _D  ( x  e.  CC  |->  ( x ^ k ) ) )  o F  x.  (  _I  |`  CC ) )  o F  +  ( ( CC  _D  (  _I  |`  CC ) )  o F  x.  ( x  e.  CC  |->  ( x ^ k
) ) ) )  =  ( ( ( x  e.  CC  |->  ( k  x.  ( x ^ ( k  - 
1 ) ) ) )  o F  x.  (  _I  |`  CC ) )  o F  +  ( ( CC  _D  (  _I  |`  CC ) )  o F  x.  ( x  e.  CC  |->  ( x ^ k
) ) ) ) )
101100eqcomd 2288 . . . . 5  |-  ( ( CC  _D  ( x  e.  CC  |->  ( x ^ k ) ) )  =  ( x  e.  CC  |->  ( k  x.  ( x ^
( k  -  1 ) ) ) )  ->  ( ( ( x  e.  CC  |->  ( k  x.  ( x ^ ( k  - 
1 ) ) ) )  o F  x.  (  _I  |`  CC ) )  o F  +  ( ( CC  _D  (  _I  |`  CC ) )  o F  x.  ( x  e.  CC  |->  ( x ^ k
) ) ) )  =  ( ( ( CC  _D  ( x  e.  CC  |->  ( x ^ k ) ) )  o F  x.  (  _I  |`  CC ) )  o F  +  ( ( CC  _D  (  _I  |`  CC ) )  o F  x.  ( x  e.  CC  |->  ( x ^ k
) ) ) ) )
10298, 101sylan9eq 2335 . . . 4  |-  ( ( k  e.  NN  /\  ( CC  _D  (
x  e.  CC  |->  ( x ^ k ) ) )  =  ( x  e.  CC  |->  ( k  x.  ( x ^ ( k  - 
1 ) ) ) ) )  ->  (
x  e.  CC  |->  ( ( k  +  1 )  x.  ( x ^ ( ( k  +  1 )  - 
1 ) ) ) )  =  ( ( ( CC  _D  (
x  e.  CC  |->  ( x ^ k ) ) )  o F  x.  (  _I  |`  CC ) )  o F  +  ( ( CC  _D  (  _I  |`  CC ) )  o F  x.  ( x  e.  CC  |->  ( x ^ k
) ) ) ) )
10372prid2 3735 . . . . . 6  |-  CC  e.  { RR ,  CC }
104103a1i 10 . . . . 5  |-  ( ( k  e.  NN  /\  ( CC  _D  (
x  e.  CC  |->  ( x ^ k ) ) )  =  ( x  e.  CC  |->  ( k  x.  ( x ^ ( k  - 
1 ) ) ) ) )  ->  CC  e.  { RR ,  CC } )
105 eqid 2283 . . . . . . 7  |-  ( x  e.  CC  |->  ( x ^ k ) )  =  ( x  e.  CC  |->  ( x ^
k ) )
10666, 105fmptd 5684 . . . . . 6  |-  ( k  e.  NN  ->  (
x  e.  CC  |->  ( x ^ k ) ) : CC --> CC )
107106adantr 451 . . . . 5  |-  ( ( k  e.  NN  /\  ( CC  _D  (
x  e.  CC  |->  ( x ^ k ) ) )  =  ( x  e.  CC  |->  ( k  x.  ( x ^ ( k  - 
1 ) ) ) ) )  ->  (
x  e.  CC  |->  ( x ^ k ) ) : CC --> CC )
108 f1oi 5511 . . . . . 6  |-  (  _I  |`  CC ) : CC -1-1-onto-> CC
109 f1of 5472 . . . . . 6  |-  ( (  _I  |`  CC ) : CC -1-1-onto-> CC  ->  (  _I  |`  CC ) : CC --> CC )
110108, 109mp1i 11 . . . . 5  |-  ( ( k  e.  NN  /\  ( CC  _D  (
x  e.  CC  |->  ( x ^ k ) ) )  =  ( x  e.  CC  |->  ( k  x.  ( x ^ ( k  - 
1 ) ) ) ) )  ->  (  _I  |`  CC ) : CC --> CC )
111 simpr 447 . . . . . . 7  |-  ( ( k  e.  NN  /\  ( CC  _D  (
x  e.  CC  |->  ( x ^ k ) ) )  =  ( x  e.  CC  |->  ( k  x.  ( x ^ ( k  - 
1 ) ) ) ) )  ->  ( CC  _D  ( x  e.  CC  |->  ( x ^
k ) ) )  =  ( x  e.  CC  |->  ( k  x.  ( x ^ (
k  -  1 ) ) ) ) )
112111dmeqd 4881 . . . . . 6  |-  ( ( k  e.  NN  /\  ( CC  _D  (
x  e.  CC  |->  ( x ^ k ) ) )  =  ( x  e.  CC  |->  ( k  x.  ( x ^ ( k  - 
1 ) ) ) ) )  ->  dom  ( CC  _D  (
x  e.  CC  |->  ( x ^ k ) ) )  =  dom  ( x  e.  CC  |->  ( k  x.  (
x ^ ( k  -  1 ) ) ) ) )
113 eqid 2283 . . . . . . . . 9  |-  ( x  e.  CC  |->  ( k  x.  ( x ^
( k  -  1 ) ) ) )  =  ( x  e.  CC  |->  ( k  x.  ( x ^ (
k  -  1 ) ) ) )
11478, 113fmptd 5684 . . . . . . . 8  |-  ( k  e.  NN  ->  (
x  e.  CC  |->  ( k  x.  ( x ^ ( k  - 
1 ) ) ) ) : CC --> CC )
115114adantr 451 . . . . . . 7  |-  ( ( k  e.  NN  /\  ( CC  _D  (
x  e.  CC  |->  ( x ^ k ) ) )  =  ( x  e.  CC  |->  ( k  x.  ( x ^ ( k  - 
1 ) ) ) ) )  ->  (
x  e.  CC  |->  ( k  x.  ( x ^ ( k  - 
1 ) ) ) ) : CC --> CC )
116 fdm 5393 . . . . . . 7  |-  ( ( x  e.  CC  |->  ( k  x.  ( x ^ ( k  - 
1 ) ) ) ) : CC --> CC  ->  dom  ( x  e.  CC  |->  ( k  x.  (
x ^ ( k  -  1 ) ) ) )  =  CC )
117115, 116syl 15 . . . . . 6  |-  ( ( k  e.  NN  /\  ( CC  _D  (
x  e.  CC  |->  ( x ^ k ) ) )  =  ( x  e.  CC  |->  ( k  x.  ( x ^ ( k  - 
1 ) ) ) ) )  ->  dom  ( x  e.  CC  |->  ( k  x.  (
x ^ ( k  -  1 ) ) ) )  =  CC )
118112, 117eqtrd 2315 . . . . 5  |-  ( ( k  e.  NN  /\  ( CC  _D  (
x  e.  CC  |->  ( x ^ k ) ) )  =  ( x  e.  CC  |->  ( k  x.  ( x ^ ( k  - 
1 ) ) ) ) )  ->  dom  ( CC  _D  (
x  e.  CC  |->  ( x ^ k ) ) )  =  CC )
119 1ex 8833 . . . . . . . . 9  |-  1  e.  _V
120119fconst 5427 . . . . . . . 8  |-  ( CC 
X.  { 1 } ) : CC --> { 1 }
12152feq1i 5383 . . . . . . . 8  |-  ( ( CC  _D  (  _I  |`  CC ) ) : CC --> { 1 }  <-> 
( CC  X.  {
1 } ) : CC --> { 1 } )
122120, 121mpbir 200 . . . . . . 7  |-  ( CC 
_D  (  _I  |`  CC ) ) : CC --> { 1 }
123122fdmi 5394 . . . . . 6  |-  dom  ( CC  _D  (  _I  |`  CC ) )  =  CC
124123a1i 10 . . . . 5  |-  ( ( k  e.  NN  /\  ( CC  _D  (
x  e.  CC  |->  ( x ^ k ) ) )  =  ( x  e.  CC  |->  ( k  x.  ( x ^ ( k  - 
1 ) ) ) ) )  ->  dom  ( CC  _D  (  _I  |`  CC ) )  =  CC )
125104, 107, 110, 118, 124dvmulf 19292 . . . 4  |-  ( ( k  e.  NN  /\  ( CC  _D  (
x  e.  CC  |->  ( x ^ k ) ) )  =  ( x  e.  CC  |->  ( k  x.  ( x ^ ( k  - 
1 ) ) ) ) )  ->  ( CC  _D  ( ( x  e.  CC  |->  ( x ^ k ) )  o F  x.  (  _I  |`  CC ) ) )  =  ( ( ( CC  _D  (
x  e.  CC  |->  ( x ^ k ) ) )  o F  x.  (  _I  |`  CC ) )  o F  +  ( ( CC  _D  (  _I  |`  CC ) )  o F  x.  ( x  e.  CC  |->  ( x ^ k
) ) ) ) )
12673, 66, 79, 93, 82offval2 6095 . . . . . . 7  |-  ( k  e.  NN  ->  (
( x  e.  CC  |->  ( x ^ k
) )  o F  x.  (  _I  |`  CC ) )  =  ( x  e.  CC  |->  ( ( x ^ k )  x.  x ) ) )
127 expp1 11110 . . . . . . . . 9  |-  ( ( x  e.  CC  /\  k  e.  NN0 )  -> 
( x ^ (
k  +  1 ) )  =  ( ( x ^ k )  x.  x ) )
12863, 64, 127syl2anr 464 . . . . . . . 8  |-  ( ( k  e.  NN  /\  x  e.  CC )  ->  ( x ^ (
k  +  1 ) )  =  ( ( x ^ k )  x.  x ) )
129128mpteq2dva 4106 . . . . . . 7  |-  ( k  e.  NN  ->  (
x  e.  CC  |->  ( x ^ ( k  +  1 ) ) )  =  ( x  e.  CC  |->  ( ( x ^ k )  x.  x ) ) )
130126, 129eqtr4d 2318 . . . . . 6  |-  ( k  e.  NN  ->  (
( x  e.  CC  |->  ( x ^ k
) )  o F  x.  (  _I  |`  CC ) )  =  ( x  e.  CC  |->  ( x ^ ( k  +  1 ) ) ) )
131130oveq2d 5874 . . . . 5  |-  ( k  e.  NN  ->  ( CC  _D  ( ( x  e.  CC  |->  ( x ^ k ) )  o F  x.  (  _I  |`  CC ) ) )  =  ( CC 
_D  ( x  e.  CC  |->  ( x ^
( k  +  1 ) ) ) ) )
132131adantr 451 . . . 4  |-  ( ( k  e.  NN  /\  ( CC  _D  (
x  e.  CC  |->  ( x ^ k ) ) )  =  ( x  e.  CC  |->  ( k  x.  ( x ^ ( k  - 
1 ) ) ) ) )  ->  ( CC  _D  ( ( x  e.  CC  |->  ( x ^ k ) )  o F  x.  (  _I  |`  CC ) ) )  =  ( CC 
_D  ( x  e.  CC  |->  ( x ^
( k  +  1 ) ) ) ) )
133102, 125, 1323eqtr2rd 2322 . . 3  |-  ( ( k  e.  NN  /\  ( CC  _D  (
x  e.  CC  |->  ( x ^ k ) ) )  =  ( x  e.  CC  |->  ( k  x.  ( x ^ ( k  - 
1 ) ) ) ) )  ->  ( CC  _D  ( x  e.  CC  |->  ( x ^
( k  +  1 ) ) ) )  =  ( x  e.  CC  |->  ( ( k  +  1 )  x.  ( x ^ (
( k  +  1 )  -  1 ) ) ) ) )
134133ex 423 . 2  |-  ( k  e.  NN  ->  (
( CC  _D  (
x  e.  CC  |->  ( x ^ k ) ) )  =  ( x  e.  CC  |->  ( k  x.  ( x ^ ( k  - 
1 ) ) ) )  ->  ( CC  _D  ( x  e.  CC  |->  ( x ^ (
k  +  1 ) ) ) )  =  ( x  e.  CC  |->  ( ( k  +  1 )  x.  (
x ^ ( ( k  +  1 )  -  1 ) ) ) ) ) )
1359, 18, 27, 36, 54, 134nnind 9764 1  |-  ( N  e.  NN  ->  ( CC  _D  ( x  e.  CC  |->  ( x ^ N ) ) )  =  ( x  e.  CC  |->  ( N  x.  ( x ^ ( N  -  1 ) ) ) ) )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    /\ wa 358    = wceq 1623    e. wcel 1684   _Vcvv 2788   {csn 3640   {cpr 3641    e. cmpt 4077    _I cid 4304    X. cxp 4687   dom cdm 4689    |` cres 4691   -->wf 5251   -1-1-onto->wf1o 5254  (class class class)co 5858    o Fcof 6076   CCcc 8735   RRcr 8736   0cc0 8737   1c1 8738    + caddc 8740    x. cmul 8742    - cmin 9037   NNcn 9746   NN0cn0 9965   ^cexp 11104    _D cdv 19213
This theorem is referenced by:  dvexp2  19303  dvexp3  19325  taylthlem2  19753  advlogexp  20002  logdivsum  20682  log2sumbnd  20693  dvreasin  24923  areacirclem2  24925  areacirclem3  24926  lhe4.4ex1a  27546  dvsinexp  27740
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1533  ax-5 1544  ax-17 1603  ax-9 1635  ax-8 1643  ax-13 1686  ax-14 1688  ax-6 1703  ax-7 1708  ax-11 1715  ax-12 1866  ax-ext 2264  ax-rep 4131  ax-sep 4141  ax-nul 4149  ax-pow 4188  ax-pr 4214  ax-un 4512  ax-inf2 7342  ax-cnex 8793  ax-resscn 8794  ax-1cn 8795  ax-icn 8796  ax-addcl 8797  ax-addrcl 8798  ax-mulcl 8799  ax-mulrcl 8800  ax-mulcom 8801  ax-addass 8802  ax-mulass 8803  ax-distr 8804  ax-i2m1 8805  ax-1ne0 8806  ax-1rid 8807  ax-rnegex 8808  ax-rrecex 8809  ax-cnre 8810  ax-pre-lttri 8811  ax-pre-lttrn 8812  ax-pre-ltadd 8813  ax-pre-mulgt0 8814  ax-pre-sup 8815  ax-addf 8816  ax-mulf 8817
This theorem depends on definitions:  df-bi 177  df-or 359  df-an 360  df-3or 935  df-3an 936  df-tru 1310  df-ex 1529  df-nf 1532  df-sb 1630  df-eu 2147  df-mo 2148  df-clab 2270  df-cleq 2276  df-clel 2279  df-nfc 2408  df-ne 2448  df-nel 2449  df-ral 2548  df-rex 2549  df-reu 2550  df-rmo 2551  df-rab 2552  df-v 2790  df-sbc 2992  df-csb 3082  df-dif 3155  df-un 3157  df-in 3159  df-ss 3166  df-pss 3168  df-nul 3456  df-if 3566  df-pw 3627  df-sn 3646  df-pr 3647  df-tp 3648  df-op 3649  df-uni 3828  df-int 3863  df-iun 3907  df-iin 3908  df-br 4024  df-opab 4078  df-mpt 4079  df-tr 4114  df-eprel 4305  df-id 4309  df-po 4314  df-so 4315  df-fr 4352  df-se 4353  df-we 4354  df-ord 4395  df-on 4396  df-lim 4397  df-suc 4398  df-om 4657  df-xp 4695  df-rel 4696  df-cnv 4697  df-co 4698  df-dm 4699  df-rn 4700  df-res 4701  df-ima 4702  df-iota 5219  df-fun 5257  df-fn 5258  df-f 5259  df-f1 5260  df-fo 5261  df-f1o 5262  df-fv 5263  df-isom 5264  df-ov 5861  df-oprab 5862  df-mpt2 5863  df-of 6078  df-1st 6122  df-2nd 6123  df-riota 6304  df-recs 6388  df-rdg 6423  df-1o 6479  df-2o 6480  df-oadd 6483  df-er 6660  df-map 6774  df-pm 6775  df-ixp 6818  df-en 6864  df-dom 6865  df-sdom 6866  df-fin 6867  df-fi 7165  df-sup 7194  df-oi 7225  df-card 7572  df-cda 7794  df-pnf 8869  df-mnf 8870  df-xr 8871  df-ltxr 8872  df-le 8873  df-sub 9039  df-neg 9040  df-div 9424  df-nn 9747  df-2 9804  df-3 9805  df-4 9806  df-5 9807  df-6 9808  df-7 9809  df-8 9810  df-9 9811  df-10 9812  df-n0 9966  df-z 10025  df-dec 10125  df-uz 10231  df-q 10317  df-rp 10355  df-xneg 10452  df-xadd 10453  df-xmul 10454  df-icc 10663  df-fz 10783  df-fzo 10871  df-seq 11047  df-exp 11105  df-hash 11338  df-cj 11584  df-re 11585  df-im 11586  df-sqr 11720  df-abs 11721  df-struct 13150  df-ndx 13151  df-slot 13152  df-base 13153  df-sets 13154  df-ress 13155  df-plusg 13221  df-mulr 13222  df-starv 13223  df-sca 13224  df-vsca 13225  df-tset 13227  df-ple 13228  df-ds 13230  df-hom 13232  df-cco 13233  df-rest 13327  df-topn 13328  df-topgen 13344  df-pt 13345  df-prds 13348  df-xrs 13403  df-0g 13404  df-gsum 13405  df-qtop 13410  df-imas 13411  df-xps 13413  df-mre 13488  df-mrc 13489  df-acs 13491  df-mnd 14367  df-submnd 14416  df-mulg 14492  df-cntz 14793  df-cmn 15091  df-xmet 16373  df-met 16374  df-bl 16375  df-mopn 16376  df-cnfld 16378  df-top 16636  df-bases 16638  df-topon 16639  df-topsp 16640  df-cld 16756  df-ntr 16757  df-cls 16758  df-nei 16835  df-lp 16868  df-perf 16869  df-cn 16957  df-cnp 16958  df-haus 17043  df-tx 17257  df-hmeo 17446  df-fbas 17520  df-fg 17521  df-fil 17541  df-fm 17633  df-flim 17634  df-flf 17635  df-xms 17885  df-ms 17886  df-tms 17887  df-cncf 18382  df-limc 19216  df-dv 19217
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