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Theorem dvexp 19708
Description: Derivative of a power function. (Contributed by Mario Carneiro, 9-Aug-2014.) (Revised by Mario Carneiro, 10-Feb-2015.)
Assertion
Ref Expression
dvexp  |-  ( N  e.  NN  ->  ( CC  _D  ( x  e.  CC  |->  ( x ^ N ) ) )  =  ( x  e.  CC  |->  ( N  x.  ( x ^ ( N  -  1 ) ) ) ) )
Distinct variable group:    x, N

Proof of Theorem dvexp
Dummy variables  k  n are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 oveq2 6030 . . . . 5  |-  ( n  =  1  ->  (
x ^ n )  =  ( x ^
1 ) )
21mpteq2dv 4239 . . . 4  |-  ( n  =  1  ->  (
x  e.  CC  |->  ( x ^ n ) )  =  ( x  e.  CC  |->  ( x ^ 1 ) ) )
32oveq2d 6038 . . 3  |-  ( n  =  1  ->  ( CC  _D  ( x  e.  CC  |->  ( x ^
n ) ) )  =  ( CC  _D  ( x  e.  CC  |->  ( x ^ 1 ) ) ) )
4 id 20 . . . . 5  |-  ( n  =  1  ->  n  =  1 )
5 oveq1 6029 . . . . . 6  |-  ( n  =  1  ->  (
n  -  1 )  =  ( 1  -  1 ) )
65oveq2d 6038 . . . . 5  |-  ( n  =  1  ->  (
x ^ ( n  -  1 ) )  =  ( x ^
( 1  -  1 ) ) )
74, 6oveq12d 6040 . . . 4  |-  ( n  =  1  ->  (
n  x.  ( x ^ ( n  - 
1 ) ) )  =  ( 1  x.  ( x ^ (
1  -  1 ) ) ) )
87mpteq2dv 4239 . . 3  |-  ( n  =  1  ->  (
x  e.  CC  |->  ( n  x.  ( x ^ ( n  - 
1 ) ) ) )  =  ( x  e.  CC  |->  ( 1  x.  ( x ^
( 1  -  1 ) ) ) ) )
93, 8eqeq12d 2403 . 2  |-  ( n  =  1  ->  (
( CC  _D  (
x  e.  CC  |->  ( x ^ n ) ) )  =  ( x  e.  CC  |->  ( n  x.  ( x ^ ( n  - 
1 ) ) ) )  <->  ( CC  _D  ( x  e.  CC  |->  ( x ^ 1 ) ) )  =  ( x  e.  CC  |->  ( 1  x.  (
x ^ ( 1  -  1 ) ) ) ) ) )
10 oveq2 6030 . . . . 5  |-  ( n  =  k  ->  (
x ^ n )  =  ( x ^
k ) )
1110mpteq2dv 4239 . . . 4  |-  ( n  =  k  ->  (
x  e.  CC  |->  ( x ^ n ) )  =  ( x  e.  CC  |->  ( x ^ k ) ) )
1211oveq2d 6038 . . 3  |-  ( n  =  k  ->  ( CC  _D  ( x  e.  CC  |->  ( x ^
n ) ) )  =  ( CC  _D  ( x  e.  CC  |->  ( x ^ k
) ) ) )
13 id 20 . . . . 5  |-  ( n  =  k  ->  n  =  k )
14 oveq1 6029 . . . . . 6  |-  ( n  =  k  ->  (
n  -  1 )  =  ( k  - 
1 ) )
1514oveq2d 6038 . . . . 5  |-  ( n  =  k  ->  (
x ^ ( n  -  1 ) )  =  ( x ^
( k  -  1 ) ) )
1613, 15oveq12d 6040 . . . 4  |-  ( n  =  k  ->  (
n  x.  ( x ^ ( n  - 
1 ) ) )  =  ( k  x.  ( x ^ (
k  -  1 ) ) ) )
1716mpteq2dv 4239 . . 3  |-  ( n  =  k  ->  (
x  e.  CC  |->  ( n  x.  ( x ^ ( n  - 
1 ) ) ) )  =  ( x  e.  CC  |->  ( k  x.  ( x ^
( k  -  1 ) ) ) ) )
1812, 17eqeq12d 2403 . 2  |-  ( n  =  k  ->  (
( CC  _D  (
x  e.  CC  |->  ( x ^ n ) ) )  =  ( x  e.  CC  |->  ( n  x.  ( x ^ ( n  - 
1 ) ) ) )  <->  ( CC  _D  ( x  e.  CC  |->  ( x ^ k
) ) )  =  ( x  e.  CC  |->  ( k  x.  (
x ^ ( k  -  1 ) ) ) ) ) )
19 oveq2 6030 . . . . 5  |-  ( n  =  ( k  +  1 )  ->  (
x ^ n )  =  ( x ^
( k  +  1 ) ) )
2019mpteq2dv 4239 . . . 4  |-  ( n  =  ( k  +  1 )  ->  (
x  e.  CC  |->  ( x ^ n ) )  =  ( x  e.  CC  |->  ( x ^ ( k  +  1 ) ) ) )
2120oveq2d 6038 . . 3  |-  ( n  =  ( k  +  1 )  ->  ( CC  _D  ( x  e.  CC  |->  ( x ^
n ) ) )  =  ( CC  _D  ( x  e.  CC  |->  ( x ^ (
k  +  1 ) ) ) ) )
22 id 20 . . . . 5  |-  ( n  =  ( k  +  1 )  ->  n  =  ( k  +  1 ) )
23 oveq1 6029 . . . . . 6  |-  ( n  =  ( k  +  1 )  ->  (
n  -  1 )  =  ( ( k  +  1 )  - 
1 ) )
2423oveq2d 6038 . . . . 5  |-  ( n  =  ( k  +  1 )  ->  (
x ^ ( n  -  1 ) )  =  ( x ^
( ( k  +  1 )  -  1 ) ) )
2522, 24oveq12d 6040 . . . 4  |-  ( n  =  ( k  +  1 )  ->  (
n  x.  ( x ^ ( n  - 
1 ) ) )  =  ( ( k  +  1 )  x.  ( x ^ (
( k  +  1 )  -  1 ) ) ) )
2625mpteq2dv 4239 . . 3  |-  ( n  =  ( k  +  1 )  ->  (
x  e.  CC  |->  ( n  x.  ( x ^ ( n  - 
1 ) ) ) )  =  ( x  e.  CC  |->  ( ( k  +  1 )  x.  ( x ^
( ( k  +  1 )  -  1 ) ) ) ) )
2721, 26eqeq12d 2403 . 2  |-  ( n  =  ( k  +  1 )  ->  (
( CC  _D  (
x  e.  CC  |->  ( x ^ n ) ) )  =  ( x  e.  CC  |->  ( n  x.  ( x ^ ( n  - 
1 ) ) ) )  <->  ( CC  _D  ( x  e.  CC  |->  ( x ^ (
k  +  1 ) ) ) )  =  ( x  e.  CC  |->  ( ( k  +  1 )  x.  (
x ^ ( ( k  +  1 )  -  1 ) ) ) ) ) )
28 oveq2 6030 . . . . 5  |-  ( n  =  N  ->  (
x ^ n )  =  ( x ^ N ) )
2928mpteq2dv 4239 . . . 4  |-  ( n  =  N  ->  (
x  e.  CC  |->  ( x ^ n ) )  =  ( x  e.  CC  |->  ( x ^ N ) ) )
3029oveq2d 6038 . . 3  |-  ( n  =  N  ->  ( CC  _D  ( x  e.  CC  |->  ( x ^
n ) ) )  =  ( CC  _D  ( x  e.  CC  |->  ( x ^ N
) ) ) )
31 id 20 . . . . 5  |-  ( n  =  N  ->  n  =  N )
32 oveq1 6029 . . . . . 6  |-  ( n  =  N  ->  (
n  -  1 )  =  ( N  - 
1 ) )
3332oveq2d 6038 . . . . 5  |-  ( n  =  N  ->  (
x ^ ( n  -  1 ) )  =  ( x ^
( N  -  1 ) ) )
3431, 33oveq12d 6040 . . . 4  |-  ( n  =  N  ->  (
n  x.  ( x ^ ( n  - 
1 ) ) )  =  ( N  x.  ( x ^ ( N  -  1 ) ) ) )
3534mpteq2dv 4239 . . 3  |-  ( n  =  N  ->  (
x  e.  CC  |->  ( n  x.  ( x ^ ( n  - 
1 ) ) ) )  =  ( x  e.  CC  |->  ( N  x.  ( x ^
( N  -  1 ) ) ) ) )
3630, 35eqeq12d 2403 . 2  |-  ( n  =  N  ->  (
( CC  _D  (
x  e.  CC  |->  ( x ^ n ) ) )  =  ( x  e.  CC  |->  ( n  x.  ( x ^ ( n  - 
1 ) ) ) )  <->  ( CC  _D  ( x  e.  CC  |->  ( x ^ N
) ) )  =  ( x  e.  CC  |->  ( N  x.  (
x ^ ( N  -  1 ) ) ) ) ) )
37 exp1 11316 . . . . . 6  |-  ( x  e.  CC  ->  (
x ^ 1 )  =  x )
3837mpteq2ia 4234 . . . . 5  |-  ( x  e.  CC  |->  ( x ^ 1 ) )  =  ( x  e.  CC  |->  x )
39 mptresid 5137 . . . . 5  |-  ( x  e.  CC  |->  x )  =  (  _I  |`  CC )
4038, 39eqtri 2409 . . . 4  |-  ( x  e.  CC  |->  ( x ^ 1 ) )  =  (  _I  |`  CC )
4140oveq2i 6033 . . 3  |-  ( CC 
_D  ( x  e.  CC  |->  ( x ^
1 ) ) )  =  ( CC  _D  (  _I  |`  CC ) )
42 1m1e0 10002 . . . . . . . . . 10  |-  ( 1  -  1 )  =  0
4342oveq2i 6033 . . . . . . . . 9  |-  ( x ^ ( 1  -  1 ) )  =  ( x ^ 0 )
44 exp0 11315 . . . . . . . . 9  |-  ( x  e.  CC  ->  (
x ^ 0 )  =  1 )
4543, 44syl5eq 2433 . . . . . . . 8  |-  ( x  e.  CC  ->  (
x ^ ( 1  -  1 ) )  =  1 )
4645oveq2d 6038 . . . . . . 7  |-  ( x  e.  CC  ->  (
1  x.  ( x ^ ( 1  -  1 ) ) )  =  ( 1  x.  1 ) )
47 1t1e1 10060 . . . . . . 7  |-  ( 1  x.  1 )  =  1
4846, 47syl6eq 2437 . . . . . 6  |-  ( x  e.  CC  ->  (
1  x.  ( x ^ ( 1  -  1 ) ) )  =  1 )
4948mpteq2ia 4234 . . . . 5  |-  ( x  e.  CC  |->  ( 1  x.  ( x ^
( 1  -  1 ) ) ) )  =  ( x  e.  CC  |->  1 )
50 fconstmpt 4863 . . . . 5  |-  ( CC 
X.  { 1 } )  =  ( x  e.  CC  |->  1 )
5149, 50eqtr4i 2412 . . . 4  |-  ( x  e.  CC  |->  ( 1  x.  ( x ^
( 1  -  1 ) ) ) )  =  ( CC  X.  { 1 } )
52 dvid 19673 . . . 4  |-  ( CC 
_D  (  _I  |`  CC ) )  =  ( CC 
X.  { 1 } )
5351, 52eqtr4i 2412 . . 3  |-  ( x  e.  CC  |->  ( 1  x.  ( x ^
( 1  -  1 ) ) ) )  =  ( CC  _D  (  _I  |`  CC ) )
5441, 53eqtr4i 2412 . 2  |-  ( CC 
_D  ( x  e.  CC  |->  ( x ^
1 ) ) )  =  ( x  e.  CC  |->  ( 1  x.  ( x ^ (
1  -  1 ) ) ) )
55 nncn 9942 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( k  e.  NN  ->  k  e.  CC )
5655adantr 452 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( k  e.  NN  /\  x  e.  CC )  ->  k  e.  CC )
57 ax-1cn 8983 . . . . . . . . . . 11  |-  1  e.  CC
58 pncan 9245 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( k  e.  CC  /\  1  e.  CC )  ->  ( ( k  +  1 )  -  1 )  =  k )
5956, 57, 58sylancl 644 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( k  e.  NN  /\  x  e.  CC )  ->  ( ( k  +  1 )  -  1 )  =  k )
6059oveq2d 6038 . . . . . . . . 9  |-  ( ( k  e.  NN  /\  x  e.  CC )  ->  ( x ^ (
( k  +  1 )  -  1 ) )  =  ( x ^ k ) )
6160oveq2d 6038 . . . . . . . 8  |-  ( ( k  e.  NN  /\  x  e.  CC )  ->  ( ( k  +  1 )  x.  (
x ^ ( ( k  +  1 )  -  1 ) ) )  =  ( ( k  +  1 )  x.  ( x ^
k ) ) )
6257a1i 11 . . . . . . . . 9  |-  ( ( k  e.  NN  /\  x  e.  CC )  ->  1  e.  CC )
63 id 20 . . . . . . . . . 10  |-  ( x  e.  CC  ->  x  e.  CC )
64 nnnn0 10162 . . . . . . . . . 10  |-  ( k  e.  NN  ->  k  e.  NN0 )
65 expcl 11328 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( x  e.  CC  /\  k  e.  NN0 )  -> 
( x ^ k
)  e.  CC )
6663, 64, 65syl2anr 465 . . . . . . . . 9  |-  ( ( k  e.  NN  /\  x  e.  CC )  ->  ( x ^ k
)  e.  CC )
6756, 62, 66adddird 9048 . . . . . . . 8  |-  ( ( k  e.  NN  /\  x  e.  CC )  ->  ( ( k  +  1 )  x.  (
x ^ k ) )  =  ( ( k  x.  ( x ^ k ) )  +  ( 1  x.  ( x ^ k
) ) ) )
6866mulid2d 9041 . . . . . . . . 9  |-  ( ( k  e.  NN  /\  x  e.  CC )  ->  ( 1  x.  (
x ^ k ) )  =  ( x ^ k ) )
6968oveq2d 6038 . . . . . . . 8  |-  ( ( k  e.  NN  /\  x  e.  CC )  ->  ( ( k  x.  ( x ^ k
) )  +  ( 1  x.  ( x ^ k ) ) )  =  ( ( k  x.  ( x ^ k ) )  +  ( x ^
k ) ) )
7061, 67, 693eqtrd 2425 . . . . . . 7  |-  ( ( k  e.  NN  /\  x  e.  CC )  ->  ( ( k  +  1 )  x.  (
x ^ ( ( k  +  1 )  -  1 ) ) )  =  ( ( k  x.  ( x ^ k ) )  +  ( x ^
k ) ) )
7170mpteq2dva 4238 . . . . . 6  |-  ( k  e.  NN  ->  (
x  e.  CC  |->  ( ( k  +  1 )  x.  ( x ^ ( ( k  +  1 )  - 
1 ) ) ) )  =  ( x  e.  CC  |->  ( ( k  x.  ( x ^ k ) )  +  ( x ^
k ) ) ) )
72 cnex 9006 . . . . . . . 8  |-  CC  e.  _V
7372a1i 11 . . . . . . 7  |-  ( k  e.  NN  ->  CC  e.  _V )
7456, 66mulcld 9043 . . . . . . 7  |-  ( ( k  e.  NN  /\  x  e.  CC )  ->  ( k  x.  (
x ^ k ) )  e.  CC )
75 nnm1nn0 10195 . . . . . . . . . . 11  |-  ( k  e.  NN  ->  (
k  -  1 )  e.  NN0 )
76 expcl 11328 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( x  e.  CC  /\  ( k  -  1 )  e.  NN0 )  ->  ( x ^ (
k  -  1 ) )  e.  CC )
7763, 75, 76syl2anr 465 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( k  e.  NN  /\  x  e.  CC )  ->  ( x ^ (
k  -  1 ) )  e.  CC )
7856, 77mulcld 9043 . . . . . . . . 9  |-  ( ( k  e.  NN  /\  x  e.  CC )  ->  ( k  x.  (
x ^ ( k  -  1 ) ) )  e.  CC )
79 simpr 448 . . . . . . . . 9  |-  ( ( k  e.  NN  /\  x  e.  CC )  ->  x  e.  CC )
80 eqidd 2390 . . . . . . . . 9  |-  ( k  e.  NN  ->  (
x  e.  CC  |->  ( k  x.  ( x ^ ( k  - 
1 ) ) ) )  =  ( x  e.  CC  |->  ( k  x.  ( x ^
( k  -  1 ) ) ) ) )
8139eqcomi 2393 . . . . . . . . . 10  |-  (  _I  |`  CC )  =  ( x  e.  CC  |->  x )
8281a1i 11 . . . . . . . . 9  |-  ( k  e.  NN  ->  (  _I  |`  CC )  =  ( x  e.  CC  |->  x ) )
8373, 78, 79, 80, 82offval2 6263 . . . . . . . 8  |-  ( k  e.  NN  ->  (
( x  e.  CC  |->  ( k  x.  (
x ^ ( k  -  1 ) ) ) )  o F  x.  (  _I  |`  CC ) )  =  ( x  e.  CC  |->  ( ( k  x.  ( x ^ ( k  - 
1 ) ) )  x.  x ) ) )
8456, 77, 79mulassd 9046 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( k  e.  NN  /\  x  e.  CC )  ->  ( ( k  x.  ( x ^ (
k  -  1 ) ) )  x.  x
)  =  ( k  x.  ( ( x ^ ( k  - 
1 ) )  x.  x ) ) )
85 expm1t 11337 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( x  e.  CC  /\  k  e.  NN )  ->  ( x ^ k
)  =  ( ( x ^ ( k  -  1 ) )  x.  x ) )
8685ancoms 440 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( k  e.  NN  /\  x  e.  CC )  ->  ( x ^ k
)  =  ( ( x ^ ( k  -  1 ) )  x.  x ) )
8786oveq2d 6038 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( k  e.  NN  /\  x  e.  CC )  ->  ( k  x.  (
x ^ k ) )  =  ( k  x.  ( ( x ^ ( k  - 
1 ) )  x.  x ) ) )
8884, 87eqtr4d 2424 . . . . . . . . 9  |-  ( ( k  e.  NN  /\  x  e.  CC )  ->  ( ( k  x.  ( x ^ (
k  -  1 ) ) )  x.  x
)  =  ( k  x.  ( x ^
k ) ) )
8988mpteq2dva 4238 . . . . . . . 8  |-  ( k  e.  NN  ->  (
x  e.  CC  |->  ( ( k  x.  (
x ^ ( k  -  1 ) ) )  x.  x ) )  =  ( x  e.  CC  |->  ( k  x.  ( x ^
k ) ) ) )
9083, 89eqtrd 2421 . . . . . . 7  |-  ( k  e.  NN  ->  (
( x  e.  CC  |->  ( k  x.  (
x ^ ( k  -  1 ) ) ) )  o F  x.  (  _I  |`  CC ) )  =  ( x  e.  CC  |->  ( k  x.  ( x ^
k ) ) ) )
9152, 50eqtri 2409 . . . . . . . . . 10  |-  ( CC 
_D  (  _I  |`  CC ) )  =  ( x  e.  CC  |->  1 )
9291a1i 11 . . . . . . . . 9  |-  ( k  e.  NN  ->  ( CC  _D  (  _I  |`  CC ) )  =  ( x  e.  CC  |->  1 ) )
93 eqidd 2390 . . . . . . . . 9  |-  ( k  e.  NN  ->  (
x  e.  CC  |->  ( x ^ k ) )  =  ( x  e.  CC  |->  ( x ^ k ) ) )
9473, 62, 66, 92, 93offval2 6263 . . . . . . . 8  |-  ( k  e.  NN  ->  (
( CC  _D  (  _I  |`  CC ) )  o F  x.  (
x  e.  CC  |->  ( x ^ k ) ) )  =  ( x  e.  CC  |->  ( 1  x.  ( x ^ k ) ) ) )
9568mpteq2dva 4238 . . . . . . . 8  |-  ( k  e.  NN  ->  (
x  e.  CC  |->  ( 1  x.  ( x ^ k ) ) )  =  ( x  e.  CC  |->  ( x ^ k ) ) )
9694, 95eqtrd 2421 . . . . . . 7  |-  ( k  e.  NN  ->  (
( CC  _D  (  _I  |`  CC ) )  o F  x.  (
x  e.  CC  |->  ( x ^ k ) ) )  =  ( x  e.  CC  |->  ( x ^ k ) ) )
9773, 74, 66, 90, 96offval2 6263 . . . . . 6  |-  ( k  e.  NN  ->  (
( ( x  e.  CC  |->  ( k  x.  ( x ^ (
k  -  1 ) ) ) )  o F  x.  (  _I  |`  CC ) )  o F  +  ( ( CC  _D  (  _I  |`  CC ) )  o F  x.  ( x  e.  CC  |->  ( x ^ k ) ) ) )  =  ( x  e.  CC  |->  ( ( k  x.  (
x ^ k ) )  +  ( x ^ k ) ) ) )
9871, 97eqtr4d 2424 . . . . 5  |-  ( k  e.  NN  ->  (
x  e.  CC  |->  ( ( k  +  1 )  x.  ( x ^ ( ( k  +  1 )  - 
1 ) ) ) )  =  ( ( ( x  e.  CC  |->  ( k  x.  (
x ^ ( k  -  1 ) ) ) )  o F  x.  (  _I  |`  CC ) )  o F  +  ( ( CC  _D  (  _I  |`  CC ) )  o F  x.  ( x  e.  CC  |->  ( x ^ k
) ) ) ) )
99 oveq1 6029 . . . . . . 7  |-  ( ( CC  _D  ( x  e.  CC  |->  ( x ^ k ) ) )  =  ( x  e.  CC  |->  ( k  x.  ( x ^
( k  -  1 ) ) ) )  ->  ( ( CC 
_D  ( x  e.  CC  |->  ( x ^
k ) ) )  o F  x.  (  _I  |`  CC ) )  =  ( ( x  e.  CC  |->  ( k  x.  ( x ^
( k  -  1 ) ) ) )  o F  x.  (  _I  |`  CC ) ) )
10099oveq1d 6037 . . . . . 6  |-  ( ( CC  _D  ( x  e.  CC  |->  ( x ^ k ) ) )  =  ( x  e.  CC  |->  ( k  x.  ( x ^
( k  -  1 ) ) ) )  ->  ( ( ( CC  _D  ( x  e.  CC  |->  ( x ^ k ) ) )  o F  x.  (  _I  |`  CC ) )  o F  +  ( ( CC  _D  (  _I  |`  CC ) )  o F  x.  ( x  e.  CC  |->  ( x ^ k
) ) ) )  =  ( ( ( x  e.  CC  |->  ( k  x.  ( x ^ ( k  - 
1 ) ) ) )  o F  x.  (  _I  |`  CC ) )  o F  +  ( ( CC  _D  (  _I  |`  CC ) )  o F  x.  ( x  e.  CC  |->  ( x ^ k
) ) ) ) )
101100eqcomd 2394 . . . . 5  |-  ( ( CC  _D  ( x  e.  CC  |->  ( x ^ k ) ) )  =  ( x  e.  CC  |->  ( k  x.  ( x ^
( k  -  1 ) ) ) )  ->  ( ( ( x  e.  CC  |->  ( k  x.  ( x ^ ( k  - 
1 ) ) ) )  o F  x.  (  _I  |`  CC ) )  o F  +  ( ( CC  _D  (  _I  |`  CC ) )  o F  x.  ( x  e.  CC  |->  ( x ^ k
) ) ) )  =  ( ( ( CC  _D  ( x  e.  CC  |->  ( x ^ k ) ) )  o F  x.  (  _I  |`  CC ) )  o F  +  ( ( CC  _D  (  _I  |`  CC ) )  o F  x.  ( x  e.  CC  |->  ( x ^ k
) ) ) ) )
10298, 101sylan9eq 2441 . . . 4  |-  ( ( k  e.  NN  /\  ( CC  _D  (
x  e.  CC  |->  ( x ^ k ) ) )  =  ( x  e.  CC  |->  ( k  x.  ( x ^ ( k  - 
1 ) ) ) ) )  ->  (
x  e.  CC  |->  ( ( k  +  1 )  x.  ( x ^ ( ( k  +  1 )  - 
1 ) ) ) )  =  ( ( ( CC  _D  (
x  e.  CC  |->  ( x ^ k ) ) )  o F  x.  (  _I  |`  CC ) )  o F  +  ( ( CC  _D  (  _I  |`  CC ) )  o F  x.  ( x  e.  CC  |->  ( x ^ k
) ) ) ) )
10372prid2 3858 . . . . . 6  |-  CC  e.  { RR ,  CC }
104103a1i 11 . . . . 5  |-  ( ( k  e.  NN  /\  ( CC  _D  (
x  e.  CC  |->  ( x ^ k ) ) )  =  ( x  e.  CC  |->  ( k  x.  ( x ^ ( k  - 
1 ) ) ) ) )  ->  CC  e.  { RR ,  CC } )
105 eqid 2389 . . . . . . 7  |-  ( x  e.  CC  |->  ( x ^ k ) )  =  ( x  e.  CC  |->  ( x ^
k ) )
10666, 105fmptd 5834 . . . . . 6  |-  ( k  e.  NN  ->  (
x  e.  CC  |->  ( x ^ k ) ) : CC --> CC )
107106adantr 452 . . . . 5  |-  ( ( k  e.  NN  /\  ( CC  _D  (
x  e.  CC  |->  ( x ^ k ) ) )  =  ( x  e.  CC  |->  ( k  x.  ( x ^ ( k  - 
1 ) ) ) ) )  ->  (
x  e.  CC  |->  ( x ^ k ) ) : CC --> CC )
108 f1oi 5655 . . . . . 6  |-  (  _I  |`  CC ) : CC -1-1-onto-> CC
109 f1of 5616 . . . . . 6  |-  ( (  _I  |`  CC ) : CC -1-1-onto-> CC  ->  (  _I  |`  CC ) : CC --> CC )
110108, 109mp1i 12 . . . . 5  |-  ( ( k  e.  NN  /\  ( CC  _D  (
x  e.  CC  |->  ( x ^ k ) ) )  =  ( x  e.  CC  |->  ( k  x.  ( x ^ ( k  - 
1 ) ) ) ) )  ->  (  _I  |`  CC ) : CC --> CC )
111 simpr 448 . . . . . . 7  |-  ( ( k  e.  NN  /\  ( CC  _D  (
x  e.  CC  |->  ( x ^ k ) ) )  =  ( x  e.  CC  |->  ( k  x.  ( x ^ ( k  - 
1 ) ) ) ) )  ->  ( CC  _D  ( x  e.  CC  |->  ( x ^
k ) ) )  =  ( x  e.  CC  |->  ( k  x.  ( x ^ (
k  -  1 ) ) ) ) )
112111dmeqd 5014 . . . . . 6  |-  ( ( k  e.  NN  /\  ( CC  _D  (
x  e.  CC  |->  ( x ^ k ) ) )  =  ( x  e.  CC  |->  ( k  x.  ( x ^ ( k  - 
1 ) ) ) ) )  ->  dom  ( CC  _D  (
x  e.  CC  |->  ( x ^ k ) ) )  =  dom  ( x  e.  CC  |->  ( k  x.  (
x ^ ( k  -  1 ) ) ) ) )
113 eqid 2389 . . . . . . . . 9  |-  ( x  e.  CC  |->  ( k  x.  ( x ^
( k  -  1 ) ) ) )  =  ( x  e.  CC  |->  ( k  x.  ( x ^ (
k  -  1 ) ) ) )
11478, 113fmptd 5834 . . . . . . . 8  |-  ( k  e.  NN  ->  (
x  e.  CC  |->  ( k  x.  ( x ^ ( k  - 
1 ) ) ) ) : CC --> CC )
115114adantr 452 . . . . . . 7  |-  ( ( k  e.  NN  /\  ( CC  _D  (
x  e.  CC  |->  ( x ^ k ) ) )  =  ( x  e.  CC  |->  ( k  x.  ( x ^ ( k  - 
1 ) ) ) ) )  ->  (
x  e.  CC  |->  ( k  x.  ( x ^ ( k  - 
1 ) ) ) ) : CC --> CC )
116 fdm 5537 . . . . . . 7  |-  ( ( x  e.  CC  |->  ( k  x.  ( x ^ ( k  - 
1 ) ) ) ) : CC --> CC  ->  dom  ( x  e.  CC  |->  ( k  x.  (
x ^ ( k  -  1 ) ) ) )  =  CC )
117115, 116syl 16 . . . . . 6  |-  ( ( k  e.  NN  /\  ( CC  _D  (
x  e.  CC  |->  ( x ^ k ) ) )  =  ( x  e.  CC  |->  ( k  x.  ( x ^ ( k  - 
1 ) ) ) ) )  ->  dom  ( x  e.  CC  |->  ( k  x.  (
x ^ ( k  -  1 ) ) ) )  =  CC )
118112, 117eqtrd 2421 . . . . 5  |-  ( ( k  e.  NN  /\  ( CC  _D  (
x  e.  CC  |->  ( x ^ k ) ) )  =  ( x  e.  CC  |->  ( k  x.  ( x ^ ( k  - 
1 ) ) ) ) )  ->  dom  ( CC  _D  (
x  e.  CC  |->  ( x ^ k ) ) )  =  CC )
119 1ex 9021 . . . . . . . . 9  |-  1  e.  _V
120119fconst 5571 . . . . . . . 8  |-  ( CC 
X.  { 1 } ) : CC --> { 1 }
12152feq1i 5527 . . . . . . . 8  |-  ( ( CC  _D  (  _I  |`  CC ) ) : CC --> { 1 }  <-> 
( CC  X.  {
1 } ) : CC --> { 1 } )
122120, 121mpbir 201 . . . . . . 7  |-  ( CC 
_D  (  _I  |`  CC ) ) : CC --> { 1 }
123122fdmi 5538 . . . . . 6  |-  dom  ( CC  _D  (  _I  |`  CC ) )  =  CC
124123a1i 11 . . . . 5  |-  ( ( k  e.  NN  /\  ( CC  _D  (
x  e.  CC  |->  ( x ^ k ) ) )  =  ( x  e.  CC  |->  ( k  x.  ( x ^ ( k  - 
1 ) ) ) ) )  ->  dom  ( CC  _D  (  _I  |`  CC ) )  =  CC )
125104, 107, 110, 118, 124dvmulf 19698 . . . 4  |-  ( ( k  e.  NN  /\  ( CC  _D  (
x  e.  CC  |->  ( x ^ k ) ) )  =  ( x  e.  CC  |->  ( k  x.  ( x ^ ( k  - 
1 ) ) ) ) )  ->  ( CC  _D  ( ( x  e.  CC  |->  ( x ^ k ) )  o F  x.  (  _I  |`  CC ) ) )  =  ( ( ( CC  _D  (
x  e.  CC  |->  ( x ^ k ) ) )  o F  x.  (  _I  |`  CC ) )  o F  +  ( ( CC  _D  (  _I  |`  CC ) )  o F  x.  ( x  e.  CC  |->  ( x ^ k
) ) ) ) )
12673, 66, 79, 93, 82offval2 6263 . . . . . . 7  |-  ( k  e.  NN  ->  (
( x  e.  CC  |->  ( x ^ k
) )  o F  x.  (  _I  |`  CC ) )  =  ( x  e.  CC  |->  ( ( x ^ k )  x.  x ) ) )
127 expp1 11317 . . . . . . . . 9  |-  ( ( x  e.  CC  /\  k  e.  NN0 )  -> 
( x ^ (
k  +  1 ) )  =  ( ( x ^ k )  x.  x ) )
12863, 64, 127syl2anr 465 . . . . . . . 8  |-  ( ( k  e.  NN  /\  x  e.  CC )  ->  ( x ^ (
k  +  1 ) )  =  ( ( x ^ k )  x.  x ) )
129128mpteq2dva 4238 . . . . . . 7  |-  ( k  e.  NN  ->  (
x  e.  CC  |->  ( x ^ ( k  +  1 ) ) )  =  ( x  e.  CC  |->  ( ( x ^ k )  x.  x ) ) )
130126, 129eqtr4d 2424 . . . . . 6  |-  ( k  e.  NN  ->  (
( x  e.  CC  |->  ( x ^ k
) )  o F  x.  (  _I  |`  CC ) )  =  ( x  e.  CC  |->  ( x ^ ( k  +  1 ) ) ) )
131130oveq2d 6038 . . . . 5  |-  ( k  e.  NN  ->  ( CC  _D  ( ( x  e.  CC  |->  ( x ^ k ) )  o F  x.  (  _I  |`  CC ) ) )  =  ( CC 
_D  ( x  e.  CC  |->  ( x ^
( k  +  1 ) ) ) ) )
132131adantr 452 . . . 4  |-  ( ( k  e.  NN  /\  ( CC  _D  (
x  e.  CC  |->  ( x ^ k ) ) )  =  ( x  e.  CC  |->  ( k  x.  ( x ^ ( k  - 
1 ) ) ) ) )  ->  ( CC  _D  ( ( x  e.  CC  |->  ( x ^ k ) )  o F  x.  (  _I  |`  CC ) ) )  =  ( CC 
_D  ( x  e.  CC  |->  ( x ^
( k  +  1 ) ) ) ) )
133102, 125, 1323eqtr2rd 2428 . . 3  |-  ( ( k  e.  NN  /\  ( CC  _D  (
x  e.  CC  |->  ( x ^ k ) ) )  =  ( x  e.  CC  |->  ( k  x.  ( x ^ ( k  - 
1 ) ) ) ) )  ->  ( CC  _D  ( x  e.  CC  |->  ( x ^
( k  +  1 ) ) ) )  =  ( x  e.  CC  |->  ( ( k  +  1 )  x.  ( x ^ (
( k  +  1 )  -  1 ) ) ) ) )
134133ex 424 . 2  |-  ( k  e.  NN  ->  (
( CC  _D  (
x  e.  CC  |->  ( x ^ k ) ) )  =  ( x  e.  CC  |->  ( k  x.  ( x ^ ( k  - 
1 ) ) ) )  ->  ( CC  _D  ( x  e.  CC  |->  ( x ^ (
k  +  1 ) ) ) )  =  ( x  e.  CC  |->  ( ( k  +  1 )  x.  (
x ^ ( ( k  +  1 )  -  1 ) ) ) ) ) )
1359, 18, 27, 36, 54, 134nnind 9952 1  |-  ( N  e.  NN  ->  ( CC  _D  ( x  e.  CC  |->  ( x ^ N ) ) )  =  ( x  e.  CC  |->  ( N  x.  ( x ^ ( N  -  1 ) ) ) ) )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    /\ wa 359    = wceq 1649    e. wcel 1717   _Vcvv 2901   {csn 3759   {cpr 3760    e. cmpt 4209    _I cid 4436    X. cxp 4818   dom cdm 4820    |` cres 4822   -->wf 5392   -1-1-onto->wf1o 5395  (class class class)co 6022    o Fcof 6244   CCcc 8923   RRcr 8924   0cc0 8925   1c1 8926    + caddc 8928    x. cmul 8930    - cmin 9225   NNcn 9934   NN0cn0 10155   ^cexp 11311    _D cdv 19619
This theorem is referenced by:  dvexp2  19709  dvexp3  19731  taylthlem2  20159  advlogexp  20415  logdivsum  21096  log2sumbnd  21107  dvreasin  25982  areacirclem2  25984  areacirclem3  25985  lhe4.4ex1a  27217  dvsinexp  27410
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1552  ax-5 1563  ax-17 1623  ax-9 1661  ax-8 1682  ax-13 1719  ax-14 1721  ax-6 1736  ax-7 1741  ax-11 1753  ax-12 1939  ax-ext 2370  ax-rep 4263  ax-sep 4273  ax-nul 4281  ax-pow 4320  ax-pr 4346  ax-un 4643  ax-inf2 7531  ax-cnex 8981  ax-resscn 8982  ax-1cn 8983  ax-icn 8984  ax-addcl 8985  ax-addrcl 8986  ax-mulcl 8987  ax-mulrcl 8988  ax-mulcom 8989  ax-addass 8990  ax-mulass 8991  ax-distr 8992  ax-i2m1 8993  ax-1ne0 8994  ax-1rid 8995  ax-rnegex 8996  ax-rrecex 8997  ax-cnre 8998  ax-pre-lttri 8999  ax-pre-lttrn 9000  ax-pre-ltadd 9001  ax-pre-mulgt0 9002  ax-pre-sup 9003  ax-addf 9004  ax-mulf 9005
This theorem depends on definitions:  df-bi 178  df-or 360  df-an 361  df-3or 937  df-3an 938  df-tru 1325  df-ex 1548  df-nf 1551  df-sb 1656  df-eu 2244  df-mo 2245  df-clab 2376  df-cleq 2382  df-clel 2385  df-nfc 2514  df-ne 2554  df-nel 2555  df-ral 2656  df-rex 2657  df-reu 2658  df-rmo 2659  df-rab 2660  df-v 2903  df-sbc 3107  df-csb 3197  df-dif 3268  df-un 3270  df-in 3272  df-ss 3279  df-pss 3281  df-nul 3574  df-if 3685  df-pw 3746  df-sn 3765  df-pr 3766  df-tp 3767  df-op 3768  df-uni 3960  df-int 3995  df-iun 4039  df-iin 4040  df-br 4156  df-opab 4210  df-mpt 4211  df-tr 4246  df-eprel 4437  df-id 4441  df-po 4446  df-so 4447  df-fr 4484  df-se 4485  df-we 4486  df-ord 4527  df-on 4528  df-lim 4529  df-suc 4530  df-om 4788  df-xp 4826  df-rel 4827  df-cnv 4828  df-co 4829  df-dm 4830  df-rn 4831  df-res 4832  df-ima 4833  df-iota 5360  df-fun 5398  df-fn 5399  df-f 5400  df-f1 5401  df-fo 5402  df-f1o 5403  df-fv 5404  df-isom 5405  df-ov 6025  df-oprab 6026  df-mpt2 6027  df-of 6246  df-1st 6290  df-2nd 6291  df-riota 6487  df-recs 6571  df-rdg 6606  df-1o 6662  df-2o 6663  df-oadd 6666  df-er 6843  df-map 6958  df-pm 6959  df-ixp 7002  df-en 7048  df-dom 7049  df-sdom 7050  df-fin 7051  df-fi 7353  df-sup 7383  df-oi 7414  df-card 7761  df-cda 7983  df-pnf 9057  df-mnf 9058  df-xr 9059  df-ltxr 9060  df-le 9061  df-sub 9227  df-neg 9228  df-div 9612  df-nn 9935  df-2 9992  df-3 9993  df-4 9994  df-5 9995  df-6 9996  df-7 9997  df-8 9998  df-9 9999  df-10 10000  df-n0 10156  df-z 10217  df-dec 10317  df-uz 10423  df-q 10509  df-rp 10547  df-xneg 10644  df-xadd 10645  df-xmul 10646  df-icc 10857  df-fz 10978  df-fzo 11068  df-seq 11253  df-exp 11312  df-hash 11548  df-cj 11833  df-re 11834  df-im 11835  df-sqr 11969  df-abs 11970  df-struct 13400  df-ndx 13401  df-slot 13402  df-base 13403  df-sets 13404  df-ress 13405  df-plusg 13471  df-mulr 13472  df-starv 13473  df-sca 13474  df-vsca 13475  df-tset 13477  df-ple 13478  df-ds 13480  df-unif 13481  df-hom 13482  df-cco 13483  df-rest 13579  df-topn 13580  df-topgen 13596  df-pt 13597  df-prds 13600  df-xrs 13655  df-0g 13656  df-gsum 13657  df-qtop 13662  df-imas 13663  df-xps 13665  df-mre 13740  df-mrc 13741  df-acs 13743  df-mnd 14619  df-submnd 14668  df-mulg 14744  df-cntz 15045  df-cmn 15343  df-xmet 16621  df-met 16622  df-bl 16623  df-mopn 16624  df-fbas 16625  df-fg 16626  df-cnfld 16629  df-top 16888  df-bases 16890  df-topon 16891  df-topsp 16892  df-cld 17008  df-ntr 17009  df-cls 17010  df-nei 17087  df-lp 17125  df-perf 17126  df-cn 17215  df-cnp 17216  df-haus 17303  df-tx 17517  df-hmeo 17710  df-fil 17801  df-fm 17893  df-flim 17894  df-flf 17895  df-xms 18261  df-ms 18262  df-tms 18263  df-cncf 18781  df-limc 19622  df-dv 19623
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