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Theorem dvexp3 19325
Description: Derivative of an exponential of integer exponent. (Contributed by Mario Carneiro, 26-Feb-2015.)
Assertion
Ref Expression
dvexp3  |-  ( N  e.  ZZ  ->  ( CC  _D  ( x  e.  ( CC  \  {
0 } )  |->  ( x ^ N ) ) )  =  ( x  e.  ( CC 
\  { 0 } )  |->  ( N  x.  ( x ^ ( N  -  1 ) ) ) ) )
Distinct variable group:    x, N

Proof of Theorem dvexp3
Dummy variable  y is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 elznn0nn 10037 . 2  |-  ( N  e.  ZZ  <->  ( N  e.  NN0  \/  ( N  e.  RR  /\  -u N  e.  NN ) ) )
2 cnex 8818 . . . . . . 7  |-  CC  e.  _V
32prid2 3735 . . . . . 6  |-  CC  e.  { RR ,  CC }
43a1i 10 . . . . 5  |-  ( N  e.  NN0  ->  CC  e.  { RR ,  CC }
)
5 expcl 11121 . . . . . 6  |-  ( ( x  e.  CC  /\  N  e.  NN0 )  -> 
( x ^ N
)  e.  CC )
65ancoms 439 . . . . 5  |-  ( ( N  e.  NN0  /\  x  e.  CC )  ->  ( x ^ N
)  e.  CC )
7 c0ex 8832 . . . . . . 7  |-  0  e.  _V
8 ovex 5883 . . . . . . 7  |-  ( N  x.  ( x ^
( N  -  1 ) ) )  e. 
_V
97, 8ifex 3623 . . . . . 6  |-  if ( N  =  0 ,  0 ,  ( N  x.  ( x ^
( N  -  1 ) ) ) )  e.  _V
109a1i 10 . . . . 5  |-  ( ( N  e.  NN0  /\  x  e.  CC )  ->  if ( N  =  0 ,  0 ,  ( N  x.  (
x ^ ( N  -  1 ) ) ) )  e.  _V )
11 dvexp2 19303 . . . . 5  |-  ( N  e.  NN0  ->  ( CC 
_D  ( x  e.  CC  |->  ( x ^ N ) ) )  =  ( x  e.  CC  |->  if ( N  =  0 ,  0 ,  ( N  x.  ( x ^ ( N  -  1 ) ) ) ) ) )
12 difss 3303 . . . . . 6  |-  ( CC 
\  { 0 } )  C_  CC
1312a1i 10 . . . . 5  |-  ( N  e.  NN0  ->  ( CC 
\  { 0 } )  C_  CC )
14 eqid 2283 . . . . . . . 8  |-  ( TopOpen ` fld )  =  ( TopOpen ` fld )
1514cnfldtop 18293 . . . . . . 7  |-  ( TopOpen ` fld )  e.  Top
1614cnfldtopon 18292 . . . . . . . . 9  |-  ( TopOpen ` fld )  e.  (TopOn `  CC )
1716toponunii 16670 . . . . . . . 8  |-  CC  =  U. ( TopOpen ` fld )
1817restid 13338 . . . . . . 7  |-  ( (
TopOpen ` fld )  e.  Top  ->  ( ( TopOpen ` fld )t  CC )  =  (
TopOpen ` fld ) )
1915, 18ax-mp 8 . . . . . 6  |-  ( (
TopOpen ` fld )t  CC )  =  (
TopOpen ` fld )
2019eqcomi 2287 . . . . 5  |-  ( TopOpen ` fld )  =  ( ( TopOpen ` fld )t  CC )
2114cnfldhaus 18294 . . . . . . . 8  |-  ( TopOpen ` fld )  e.  Haus
22 0cn 8831 . . . . . . . 8  |-  0  e.  CC
2317sncld 17099 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( TopOpen ` fld )  e.  Haus  /\  0  e.  CC )  ->  { 0 }  e.  ( Clsd `  ( TopOpen
` fld
) ) )
2421, 22, 23mp2an 653 . . . . . . 7  |-  { 0 }  e.  ( Clsd `  ( TopOpen ` fld ) )
2517cldopn 16768 . . . . . . 7  |-  ( { 0 }  e.  (
Clsd `  ( TopOpen ` fld ) )  ->  ( CC  \  { 0 } )  e.  ( TopOpen ` fld )
)
2624, 25ax-mp 8 . . . . . 6  |-  ( CC 
\  { 0 } )  e.  ( TopOpen ` fld )
2726a1i 10 . . . . 5  |-  ( N  e.  NN0  ->  ( CC 
\  { 0 } )  e.  ( TopOpen ` fld )
)
284, 6, 10, 11, 13, 20, 14, 27dvmptres 19312 . . . 4  |-  ( N  e.  NN0  ->  ( CC 
_D  ( x  e.  ( CC  \  {
0 } )  |->  ( x ^ N ) ) )  =  ( x  e.  ( CC 
\  { 0 } )  |->  if ( N  =  0 ,  0 ,  ( N  x.  ( x ^ ( N  -  1 ) ) ) ) ) )
29 ifid 3597 . . . . . 6  |-  if ( N  =  0 ,  ( N  x.  (
x ^ ( N  -  1 ) ) ) ,  ( N  x.  ( x ^
( N  -  1 ) ) ) )  =  ( N  x.  ( x ^ ( N  -  1 ) ) )
30 id 19 . . . . . . . . 9  |-  ( N  =  0  ->  N  =  0 )
31 oveq1 5865 . . . . . . . . . 10  |-  ( N  =  0  ->  ( N  -  1 )  =  ( 0  -  1 ) )
3231oveq2d 5874 . . . . . . . . 9  |-  ( N  =  0  ->  (
x ^ ( N  -  1 ) )  =  ( x ^
( 0  -  1 ) ) )
3330, 32oveq12d 5876 . . . . . . . 8  |-  ( N  =  0  ->  ( N  x.  ( x ^ ( N  - 
1 ) ) )  =  ( 0  x.  ( x ^ (
0  -  1 ) ) ) )
34 eldifsn 3749 . . . . . . . . . . 11  |-  ( x  e.  ( CC  \  { 0 } )  <-> 
( x  e.  CC  /\  x  =/=  0 ) )
35 0z 10035 . . . . . . . . . . . . 13  |-  0  e.  ZZ
36 peano2zm 10062 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( 0  e.  ZZ  ->  (
0  -  1 )  e.  ZZ )
3735, 36ax-mp 8 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( 0  -  1 )  e.  ZZ
38 expclz 11128 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( x  e.  CC  /\  x  =/=  0  /\  (
0  -  1 )  e.  ZZ )  -> 
( x ^ (
0  -  1 ) )  e.  CC )
3937, 38mp3an3 1266 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( x  e.  CC  /\  x  =/=  0 )  -> 
( x ^ (
0  -  1 ) )  e.  CC )
4034, 39sylbi 187 . . . . . . . . . 10  |-  ( x  e.  ( CC  \  { 0 } )  ->  ( x ^
( 0  -  1 ) )  e.  CC )
4140adantl 452 . . . . . . . . 9  |-  ( ( N  e.  NN0  /\  x  e.  ( CC  \  { 0 } ) )  ->  ( x ^ ( 0  -  1 ) )  e.  CC )
4241mul02d 9010 . . . . . . . 8  |-  ( ( N  e.  NN0  /\  x  e.  ( CC  \  { 0 } ) )  ->  ( 0  x.  ( x ^
( 0  -  1 ) ) )  =  0 )
4333, 42sylan9eqr 2337 . . . . . . 7  |-  ( ( ( N  e.  NN0  /\  x  e.  ( CC 
\  { 0 } ) )  /\  N  =  0 )  -> 
( N  x.  (
x ^ ( N  -  1 ) ) )  =  0 )
4443ifeq1da 3590 . . . . . 6  |-  ( ( N  e.  NN0  /\  x  e.  ( CC  \  { 0 } ) )  ->  if ( N  =  0 , 
( N  x.  (
x ^ ( N  -  1 ) ) ) ,  ( N  x.  ( x ^
( N  -  1 ) ) ) )  =  if ( N  =  0 ,  0 ,  ( N  x.  ( x ^ ( N  -  1 ) ) ) ) )
4529, 44syl5eqr 2329 . . . . 5  |-  ( ( N  e.  NN0  /\  x  e.  ( CC  \  { 0 } ) )  ->  ( N  x.  ( x ^ ( N  -  1 ) ) )  =  if ( N  =  0 ,  0 ,  ( N  x.  ( x ^ ( N  - 
1 ) ) ) ) )
4645mpteq2dva 4106 . . . 4  |-  ( N  e.  NN0  ->  ( x  e.  ( CC  \  { 0 } ) 
|->  ( N  x.  (
x ^ ( N  -  1 ) ) ) )  =  ( x  e.  ( CC 
\  { 0 } )  |->  if ( N  =  0 ,  0 ,  ( N  x.  ( x ^ ( N  -  1 ) ) ) ) ) )
4728, 46eqtr4d 2318 . . 3  |-  ( N  e.  NN0  ->  ( CC 
_D  ( x  e.  ( CC  \  {
0 } )  |->  ( x ^ N ) ) )  =  ( x  e.  ( CC 
\  { 0 } )  |->  ( N  x.  ( x ^ ( N  -  1 ) ) ) ) )
48 eldifi 3298 . . . . . . . 8  |-  ( x  e.  ( CC  \  { 0 } )  ->  x  e.  CC )
4948adantl 452 . . . . . . 7  |-  ( ( ( N  e.  RR  /\  -u N  e.  NN )  /\  x  e.  ( CC  \  { 0 } ) )  ->  x  e.  CC )
50 simpll 730 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( N  e.  RR  /\  -u N  e.  NN )  /\  x  e.  ( CC  \  { 0 } ) )  ->  N  e.  RR )
5150recnd 8861 . . . . . . 7  |-  ( ( ( N  e.  RR  /\  -u N  e.  NN )  /\  x  e.  ( CC  \  { 0 } ) )  ->  N  e.  CC )
52 nnnn0 9972 . . . . . . . 8  |-  ( -u N  e.  NN  ->  -u N  e.  NN0 )
5352ad2antlr 707 . . . . . . 7  |-  ( ( ( N  e.  RR  /\  -u N  e.  NN )  /\  x  e.  ( CC  \  { 0 } ) )  ->  -u N  e.  NN0 )
54 expneg2 11112 . . . . . . 7  |-  ( ( x  e.  CC  /\  N  e.  CC  /\  -u N  e.  NN0 )  ->  (
x ^ N )  =  ( 1  / 
( x ^ -u N
) ) )
5549, 51, 53, 54syl3anc 1182 . . . . . 6  |-  ( ( ( N  e.  RR  /\  -u N  e.  NN )  /\  x  e.  ( CC  \  { 0 } ) )  -> 
( x ^ N
)  =  ( 1  /  ( x ^ -u N ) ) )
5655mpteq2dva 4106 . . . . 5  |-  ( ( N  e.  RR  /\  -u N  e.  NN )  ->  ( x  e.  ( CC  \  {
0 } )  |->  ( x ^ N ) )  =  ( x  e.  ( CC  \  { 0 } ) 
|->  ( 1  /  (
x ^ -u N
) ) ) )
5756oveq2d 5874 . . . 4  |-  ( ( N  e.  RR  /\  -u N  e.  NN )  ->  ( CC  _D  ( x  e.  ( CC  \  { 0 } )  |->  ( x ^ N ) ) )  =  ( CC  _D  ( x  e.  ( CC  \  { 0 } )  |->  ( 1  / 
( x ^ -u N
) ) ) ) )
583a1i 10 . . . . 5  |-  ( ( N  e.  RR  /\  -u N  e.  NN )  ->  CC  e.  { RR ,  CC } )
59 eldifsni 3750 . . . . . . . 8  |-  ( x  e.  ( CC  \  { 0 } )  ->  x  =/=  0
)
6059adantl 452 . . . . . . 7  |-  ( ( ( N  e.  RR  /\  -u N  e.  NN )  /\  x  e.  ( CC  \  { 0 } ) )  ->  x  =/=  0 )
61 nnz 10045 . . . . . . . 8  |-  ( -u N  e.  NN  ->  -u N  e.  ZZ )
6261ad2antlr 707 . . . . . . 7  |-  ( ( ( N  e.  RR  /\  -u N  e.  NN )  /\  x  e.  ( CC  \  { 0 } ) )  ->  -u N  e.  ZZ )
6349, 60, 62expclzd 11250 . . . . . 6  |-  ( ( ( N  e.  RR  /\  -u N  e.  NN )  /\  x  e.  ( CC  \  { 0 } ) )  -> 
( x ^ -u N
)  e.  CC )
6449, 60, 62expne0d 11251 . . . . . 6  |-  ( ( ( N  e.  RR  /\  -u N  e.  NN )  /\  x  e.  ( CC  \  { 0 } ) )  -> 
( x ^ -u N
)  =/=  0 )
65 eldifsn 3749 . . . . . 6  |-  ( ( x ^ -u N
)  e.  ( CC 
\  { 0 } )  <->  ( ( x ^ -u N )  e.  CC  /\  (
x ^ -u N
)  =/=  0 ) )
6663, 64, 65sylanbrc 645 . . . . 5  |-  ( ( ( N  e.  RR  /\  -u N  e.  NN )  /\  x  e.  ( CC  \  { 0 } ) )  -> 
( x ^ -u N
)  e.  ( CC 
\  { 0 } ) )
67 ovex 5883 . . . . . 6  |-  ( -u N  x.  ( x ^ ( -u N  -  1 ) ) )  e.  _V
6867a1i 10 . . . . 5  |-  ( ( ( N  e.  RR  /\  -u N  e.  NN )  /\  x  e.  ( CC  \  { 0 } ) )  -> 
( -u N  x.  (
x ^ ( -u N  -  1 ) ) )  e.  _V )
69 simpr 447 . . . . . . 7  |-  ( ( ( N  e.  RR  /\  -u N  e.  NN )  /\  y  e.  ( CC  \  { 0 } ) )  -> 
y  e.  ( CC 
\  { 0 } ) )
70 eldifsn 3749 . . . . . . 7  |-  ( y  e.  ( CC  \  { 0 } )  <-> 
( y  e.  CC  /\  y  =/=  0 ) )
7169, 70sylib 188 . . . . . 6  |-  ( ( ( N  e.  RR  /\  -u N  e.  NN )  /\  y  e.  ( CC  \  { 0 } ) )  -> 
( y  e.  CC  /\  y  =/=  0 ) )
72 reccl 9431 . . . . . 6  |-  ( ( y  e.  CC  /\  y  =/=  0 )  -> 
( 1  /  y
)  e.  CC )
7371, 72syl 15 . . . . 5  |-  ( ( ( N  e.  RR  /\  -u N  e.  NN )  /\  y  e.  ( CC  \  { 0 } ) )  -> 
( 1  /  y
)  e.  CC )
74 negex 9050 . . . . . 6  |-  -u (
1  /  ( y ^ 2 ) )  e.  _V
7574a1i 10 . . . . 5  |-  ( ( ( N  e.  RR  /\  -u N  e.  NN )  /\  y  e.  ( CC  \  { 0 } ) )  ->  -u ( 1  /  (
y ^ 2 ) )  e.  _V )
76 simpr 447 . . . . . . 7  |-  ( ( ( N  e.  RR  /\  -u N  e.  NN )  /\  x  e.  CC )  ->  x  e.  CC )
7752ad2antlr 707 . . . . . . 7  |-  ( ( ( N  e.  RR  /\  -u N  e.  NN )  /\  x  e.  CC )  ->  -u N  e.  NN0 )
7876, 77expcld 11245 . . . . . 6  |-  ( ( ( N  e.  RR  /\  -u N  e.  NN )  /\  x  e.  CC )  ->  ( x ^ -u N )  e.  CC )
7967a1i 10 . . . . . 6  |-  ( ( ( N  e.  RR  /\  -u N  e.  NN )  /\  x  e.  CC )  ->  ( -u N  x.  ( x ^ ( -u N  -  1 ) ) )  e.  _V )
80 dvexp 19302 . . . . . . 7  |-  ( -u N  e.  NN  ->  ( CC  _D  ( x  e.  CC  |->  ( x ^ -u N ) ) )  =  ( x  e.  CC  |->  (
-u N  x.  (
x ^ ( -u N  -  1 ) ) ) ) )
8180adantl 452 . . . . . 6  |-  ( ( N  e.  RR  /\  -u N  e.  NN )  ->  ( CC  _D  ( x  e.  CC  |->  ( x ^ -u N
) ) )  =  ( x  e.  CC  |->  ( -u N  x.  (
x ^ ( -u N  -  1 ) ) ) ) )
8212a1i 10 . . . . . 6  |-  ( ( N  e.  RR  /\  -u N  e.  NN )  ->  ( CC  \  { 0 } ) 
C_  CC )
8326a1i 10 . . . . . 6  |-  ( ( N  e.  RR  /\  -u N  e.  NN )  ->  ( CC  \  { 0 } )  e.  ( TopOpen ` fld ) )
8458, 78, 79, 81, 82, 20, 14, 83dvmptres 19312 . . . . 5  |-  ( ( N  e.  RR  /\  -u N  e.  NN )  ->  ( CC  _D  ( x  e.  ( CC  \  { 0 } )  |->  ( x ^ -u N ) ) )  =  ( x  e.  ( CC  \  {
0 } )  |->  (
-u N  x.  (
x ^ ( -u N  -  1 ) ) ) ) )
85 ax-1cn 8795 . . . . . 6  |-  1  e.  CC
86 dvrec 19304 . . . . . 6  |-  ( 1  e.  CC  ->  ( CC  _D  ( y  e.  ( CC  \  {
0 } )  |->  ( 1  /  y ) ) )  =  ( y  e.  ( CC 
\  { 0 } )  |->  -u ( 1  / 
( y ^ 2 ) ) ) )
8785, 86mp1i 11 . . . . 5  |-  ( ( N  e.  RR  /\  -u N  e.  NN )  ->  ( CC  _D  ( y  e.  ( CC  \  { 0 } )  |->  ( 1  /  y ) ) )  =  ( y  e.  ( CC  \  { 0 } ) 
|->  -u ( 1  / 
( y ^ 2 ) ) ) )
88 oveq2 5866 . . . . 5  |-  ( y  =  ( x ^ -u N )  ->  (
1  /  y )  =  ( 1  / 
( x ^ -u N
) ) )
89 oveq1 5865 . . . . . . 7  |-  ( y  =  ( x ^ -u N )  ->  (
y ^ 2 )  =  ( ( x ^ -u N ) ^ 2 ) )
9089oveq2d 5874 . . . . . 6  |-  ( y  =  ( x ^ -u N )  ->  (
1  /  ( y ^ 2 ) )  =  ( 1  / 
( ( x ^ -u N ) ^ 2 ) ) )
9190negeqd 9046 . . . . 5  |-  ( y  =  ( x ^ -u N )  ->  -u (
1  /  ( y ^ 2 ) )  =  -u ( 1  / 
( ( x ^ -u N ) ^ 2 ) ) )
9258, 58, 66, 68, 73, 75, 84, 87, 88, 91dvmptco 19321 . . . 4  |-  ( ( N  e.  RR  /\  -u N  e.  NN )  ->  ( CC  _D  ( x  e.  ( CC  \  { 0 } )  |->  ( 1  / 
( x ^ -u N
) ) ) )  =  ( x  e.  ( CC  \  {
0 } )  |->  (
-u ( 1  / 
( ( x ^ -u N ) ^ 2 ) )  x.  ( -u N  x.  ( x ^ ( -u N  -  1 ) ) ) ) ) )
93 2z 10054 . . . . . . . . . . . 12  |-  2  e.  ZZ
9493a1i 10 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( N  e.  RR  /\  -u N  e.  NN )  /\  x  e.  ( CC  \  { 0 } ) )  -> 
2  e.  ZZ )
95 expmulz 11148 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( x  e.  CC  /\  x  =/=  0 )  /\  ( -u N  e.  ZZ  /\  2  e.  ZZ ) )  -> 
( x ^ ( -u N  x.  2 ) )  =  ( ( x ^ -u N
) ^ 2 ) )
9649, 60, 62, 94, 95syl22anc 1183 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( N  e.  RR  /\  -u N  e.  NN )  /\  x  e.  ( CC  \  { 0 } ) )  -> 
( x ^ ( -u N  x.  2 ) )  =  ( ( x ^ -u N
) ^ 2 ) )
9796eqcomd 2288 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( N  e.  RR  /\  -u N  e.  NN )  /\  x  e.  ( CC  \  { 0 } ) )  -> 
( ( x ^ -u N ) ^ 2 )  =  ( x ^ ( -u N  x.  2 ) ) )
9897oveq2d 5874 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( N  e.  RR  /\  -u N  e.  NN )  /\  x  e.  ( CC  \  { 0 } ) )  -> 
( 1  /  (
( x ^ -u N
) ^ 2 ) )  =  ( 1  /  ( x ^
( -u N  x.  2 ) ) ) )
9998negeqd 9046 . . . . . . 7  |-  ( ( ( N  e.  RR  /\  -u N  e.  NN )  /\  x  e.  ( CC  \  { 0 } ) )  ->  -u ( 1  /  (
( x ^ -u N
) ^ 2 ) )  =  -u (
1  /  ( x ^ ( -u N  x.  2 ) ) ) )
100 peano2zm 10062 . . . . . . . . . 10  |-  ( -u N  e.  ZZ  ->  (
-u N  -  1 )  e.  ZZ )
10162, 100syl 15 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( N  e.  RR  /\  -u N  e.  NN )  /\  x  e.  ( CC  \  { 0 } ) )  -> 
( -u N  -  1 )  e.  ZZ )
10249, 60, 101expclzd 11250 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( N  e.  RR  /\  -u N  e.  NN )  /\  x  e.  ( CC  \  { 0 } ) )  -> 
( x ^ ( -u N  -  1 ) )  e.  CC )
10351, 102mulneg1d 9232 . . . . . . 7  |-  ( ( ( N  e.  RR  /\  -u N  e.  NN )  /\  x  e.  ( CC  \  { 0 } ) )  -> 
( -u N  x.  (
x ^ ( -u N  -  1 ) ) )  =  -u ( N  x.  (
x ^ ( -u N  -  1 ) ) ) )
10499, 103oveq12d 5876 . . . . . 6  |-  ( ( ( N  e.  RR  /\  -u N  e.  NN )  /\  x  e.  ( CC  \  { 0 } ) )  -> 
( -u ( 1  / 
( ( x ^ -u N ) ^ 2 ) )  x.  ( -u N  x.  ( x ^ ( -u N  -  1 ) ) ) )  =  (
-u ( 1  / 
( x ^ ( -u N  x.  2 ) ) )  x.  -u ( N  x.  ( x ^ ( -u N  -  1 ) ) ) ) )
105 zmulcl 10066 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
-u N  e.  ZZ  /\  2  e.  ZZ )  ->  ( -u N  x.  2 )  e.  ZZ )
10662, 93, 105sylancl 643 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( N  e.  RR  /\  -u N  e.  NN )  /\  x  e.  ( CC  \  { 0 } ) )  -> 
( -u N  x.  2 )  e.  ZZ )
10749, 60, 106expclzd 11250 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( N  e.  RR  /\  -u N  e.  NN )  /\  x  e.  ( CC  \  { 0 } ) )  -> 
( x ^ ( -u N  x.  2 ) )  e.  CC )
10849, 60, 106expne0d 11251 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( N  e.  RR  /\  -u N  e.  NN )  /\  x  e.  ( CC  \  { 0 } ) )  -> 
( x ^ ( -u N  x.  2 ) )  =/=  0 )
109107, 108reccld 9529 . . . . . . 7  |-  ( ( ( N  e.  RR  /\  -u N  e.  NN )  /\  x  e.  ( CC  \  { 0 } ) )  -> 
( 1  /  (
x ^ ( -u N  x.  2 ) ) )  e.  CC )
11051, 102mulcld 8855 . . . . . . 7  |-  ( ( ( N  e.  RR  /\  -u N  e.  NN )  /\  x  e.  ( CC  \  { 0 } ) )  -> 
( N  x.  (
x ^ ( -u N  -  1 ) ) )  e.  CC )
111109, 110mul2negd 9234 . . . . . 6  |-  ( ( ( N  e.  RR  /\  -u N  e.  NN )  /\  x  e.  ( CC  \  { 0 } ) )  -> 
( -u ( 1  / 
( x ^ ( -u N  x.  2 ) ) )  x.  -u ( N  x.  ( x ^ ( -u N  -  1 ) ) ) )  =  ( ( 1  /  (
x ^ ( -u N  x.  2 ) ) )  x.  ( N  x.  ( x ^ ( -u N  -  1 ) ) ) ) )
112109, 51, 102mul12d 9021 . . . . . . 7  |-  ( ( ( N  e.  RR  /\  -u N  e.  NN )  /\  x  e.  ( CC  \  { 0 } ) )  -> 
( ( 1  / 
( x ^ ( -u N  x.  2 ) ) )  x.  ( N  x.  ( x ^ ( -u N  -  1 ) ) ) )  =  ( N  x.  ( ( 1  /  ( x ^ ( -u N  x.  2 ) ) )  x.  ( x ^
( -u N  -  1 ) ) ) ) )
11349, 60, 106, 101expsubd 11256 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( N  e.  RR  /\  -u N  e.  NN )  /\  x  e.  ( CC  \  { 0 } ) )  -> 
( x ^ (
( -u N  -  1 )  -  ( -u N  x.  2 ) ) )  =  ( ( x ^ ( -u N  -  1 ) )  /  ( x ^ ( -u N  x.  2 ) ) ) )
114 nncn 9754 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( -u N  e.  NN  ->  -u N  e.  CC )
115114ad2antlr 707 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( N  e.  RR  /\  -u N  e.  NN )  /\  x  e.  ( CC  \  { 0 } ) )  ->  -u N  e.  CC )
11685a1i 10 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( N  e.  RR  /\  -u N  e.  NN )  /\  x  e.  ( CC  \  { 0 } ) )  -> 
1  e.  CC )
117106zcnd 10118 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( N  e.  RR  /\  -u N  e.  NN )  /\  x  e.  ( CC  \  { 0 } ) )  -> 
( -u N  x.  2 )  e.  CC )
118115, 116, 117sub32d 9189 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( N  e.  RR  /\  -u N  e.  NN )  /\  x  e.  ( CC  \  { 0 } ) )  -> 
( ( -u N  -  1 )  -  ( -u N  x.  2 ) )  =  ( ( -u N  -  ( -u N  x.  2 ) )  -  1 ) )
119115times2d 9955 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( N  e.  RR  /\  -u N  e.  NN )  /\  x  e.  ( CC  \  { 0 } ) )  -> 
( -u N  x.  2 )  =  ( -u N  +  -u N ) )
120115, 51negsubd 9163 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( N  e.  RR  /\  -u N  e.  NN )  /\  x  e.  ( CC  \  { 0 } ) )  -> 
( -u N  +  -u N )  =  (
-u N  -  N
) )
121119, 120eqtrd 2315 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( N  e.  RR  /\  -u N  e.  NN )  /\  x  e.  ( CC  \  { 0 } ) )  -> 
( -u N  x.  2 )  =  ( -u N  -  N )
)
122121oveq2d 5874 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( N  e.  RR  /\  -u N  e.  NN )  /\  x  e.  ( CC  \  { 0 } ) )  -> 
( -u N  -  ( -u N  x.  2 ) )  =  ( -u N  -  ( -u N  -  N ) ) )
123115, 51nncand 9162 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( N  e.  RR  /\  -u N  e.  NN )  /\  x  e.  ( CC  \  { 0 } ) )  -> 
( -u N  -  ( -u N  -  N ) )  =  N )
124122, 123eqtrd 2315 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( N  e.  RR  /\  -u N  e.  NN )  /\  x  e.  ( CC  \  { 0 } ) )  -> 
( -u N  -  ( -u N  x.  2 ) )  =  N )
125124oveq1d 5873 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( N  e.  RR  /\  -u N  e.  NN )  /\  x  e.  ( CC  \  { 0 } ) )  -> 
( ( -u N  -  ( -u N  x.  2 ) )  - 
1 )  =  ( N  -  1 ) )
126118, 125eqtrd 2315 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( N  e.  RR  /\  -u N  e.  NN )  /\  x  e.  ( CC  \  { 0 } ) )  -> 
( ( -u N  -  1 )  -  ( -u N  x.  2 ) )  =  ( N  -  1 ) )
127126oveq2d 5874 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( N  e.  RR  /\  -u N  e.  NN )  /\  x  e.  ( CC  \  { 0 } ) )  -> 
( x ^ (
( -u N  -  1 )  -  ( -u N  x.  2 ) ) )  =  ( x ^ ( N  -  1 ) ) )
128102, 107, 108divrec2d 9540 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( N  e.  RR  /\  -u N  e.  NN )  /\  x  e.  ( CC  \  { 0 } ) )  -> 
( ( x ^
( -u N  -  1 ) )  /  (
x ^ ( -u N  x.  2 ) ) )  =  ( ( 1  /  (
x ^ ( -u N  x.  2 ) ) )  x.  (
x ^ ( -u N  -  1 ) ) ) )
129113, 127, 1283eqtr3rd 2324 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( N  e.  RR  /\  -u N  e.  NN )  /\  x  e.  ( CC  \  { 0 } ) )  -> 
( ( 1  / 
( x ^ ( -u N  x.  2 ) ) )  x.  (
x ^ ( -u N  -  1 ) ) )  =  ( x ^ ( N  -  1 ) ) )
130129oveq2d 5874 . . . . . . 7  |-  ( ( ( N  e.  RR  /\  -u N  e.  NN )  /\  x  e.  ( CC  \  { 0 } ) )  -> 
( N  x.  (
( 1  /  (
x ^ ( -u N  x.  2 ) ) )  x.  (
x ^ ( -u N  -  1 ) ) ) )  =  ( N  x.  (
x ^ ( N  -  1 ) ) ) )
131112, 130eqtrd 2315 . . . . . 6  |-  ( ( ( N  e.  RR  /\  -u N  e.  NN )  /\  x  e.  ( CC  \  { 0 } ) )  -> 
( ( 1  / 
( x ^ ( -u N  x.  2 ) ) )  x.  ( N  x.  ( x ^ ( -u N  -  1 ) ) ) )  =  ( N  x.  ( x ^ ( N  - 
1 ) ) ) )
132104, 111, 1313eqtrd 2319 . . . . 5  |-  ( ( ( N  e.  RR  /\  -u N  e.  NN )  /\  x  e.  ( CC  \  { 0 } ) )  -> 
( -u ( 1  / 
( ( x ^ -u N ) ^ 2 ) )  x.  ( -u N  x.  ( x ^ ( -u N  -  1 ) ) ) )  =  ( N  x.  ( x ^ ( N  - 
1 ) ) ) )
133132mpteq2dva 4106 . . . 4  |-  ( ( N  e.  RR  /\  -u N  e.  NN )  ->  ( x  e.  ( CC  \  {
0 } )  |->  (
-u ( 1  / 
( ( x ^ -u N ) ^ 2 ) )  x.  ( -u N  x.  ( x ^ ( -u N  -  1 ) ) ) ) )  =  ( x  e.  ( CC  \  { 0 } )  |->  ( N  x.  ( x ^
( N  -  1 ) ) ) ) )
13457, 92, 1333eqtrd 2319 . . 3  |-  ( ( N  e.  RR  /\  -u N  e.  NN )  ->  ( CC  _D  ( x  e.  ( CC  \  { 0 } )  |->  ( x ^ N ) ) )  =  ( x  e.  ( CC  \  {
0 } )  |->  ( N  x.  ( x ^ ( N  - 
1 ) ) ) ) )
13547, 134jaoi 368 . 2  |-  ( ( N  e.  NN0  \/  ( N  e.  RR  /\  -u N  e.  NN ) )  ->  ( CC  _D  ( x  e.  ( CC  \  {
0 } )  |->  ( x ^ N ) ) )  =  ( x  e.  ( CC 
\  { 0 } )  |->  ( N  x.  ( x ^ ( N  -  1 ) ) ) ) )
1361, 135sylbi 187 1  |-  ( N  e.  ZZ  ->  ( CC  _D  ( x  e.  ( CC  \  {
0 } )  |->  ( x ^ N ) ) )  =  ( x  e.  ( CC 
\  { 0 } )  |->  ( N  x.  ( x ^ ( N  -  1 ) ) ) ) )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    \/ wo 357    /\ wa 358    = wceq 1623    e. wcel 1684    =/= wne 2446   _Vcvv 2788    \ cdif 3149    C_ wss 3152   ifcif 3565   {csn 3640   {cpr 3641    e. cmpt 4077   ` cfv 5255  (class class class)co 5858   CCcc 8735   RRcr 8736   0cc0 8737   1c1 8738    + caddc 8740    x. cmul 8742    - cmin 9037   -ucneg 9038    / cdiv 9423   NNcn 9746   2c2 9795   NN0cn0 9965   ZZcz 10024   ^cexp 11104   ↾t crest 13325   TopOpenctopn 13326  ℂfldccnfld 16377   Topctop 16631   Clsdccld 16753   Hauscha 17036    _D cdv 19213
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1533  ax-5 1544  ax-17 1603  ax-9 1635  ax-8 1643  ax-13 1686  ax-14 1688  ax-6 1703  ax-7 1708  ax-11 1715  ax-12 1866  ax-ext 2264  ax-rep 4131  ax-sep 4141  ax-nul 4149  ax-pow 4188  ax-pr 4214  ax-un 4512  ax-inf2 7342  ax-cnex 8793  ax-resscn 8794  ax-1cn 8795  ax-icn 8796  ax-addcl 8797  ax-addrcl 8798  ax-mulcl 8799  ax-mulrcl 8800  ax-mulcom 8801  ax-addass 8802  ax-mulass 8803  ax-distr 8804  ax-i2m1 8805  ax-1ne0 8806  ax-1rid 8807  ax-rnegex 8808  ax-rrecex 8809  ax-cnre 8810  ax-pre-lttri 8811  ax-pre-lttrn 8812  ax-pre-ltadd 8813  ax-pre-mulgt0 8814  ax-pre-sup 8815  ax-addf 8816  ax-mulf 8817
This theorem depends on definitions:  df-bi 177  df-or 359  df-an 360  df-3or 935  df-3an 936  df-tru 1310  df-ex 1529  df-nf 1532  df-sb 1630  df-eu 2147  df-mo 2148  df-clab 2270  df-cleq 2276  df-clel 2279  df-nfc 2408  df-ne 2448  df-nel 2449  df-ral 2548  df-rex 2549  df-reu 2550  df-rmo 2551  df-rab 2552  df-v 2790  df-sbc 2992  df-csb 3082  df-dif 3155  df-un 3157  df-in 3159  df-ss 3166  df-pss 3168  df-nul 3456  df-if 3566  df-pw 3627  df-sn 3646  df-pr 3647  df-tp 3648  df-op 3649  df-uni 3828  df-int 3863  df-iun 3907  df-iin 3908  df-br 4024  df-opab 4078  df-mpt 4079  df-tr 4114  df-eprel 4305  df-id 4309  df-po 4314  df-so 4315  df-fr 4352  df-se 4353  df-we 4354  df-ord 4395  df-on 4396  df-lim 4397  df-suc 4398  df-om 4657  df-xp 4695  df-rel 4696  df-cnv 4697  df-co 4698  df-dm 4699  df-rn 4700  df-res 4701  df-ima 4702  df-iota 5219  df-fun 5257  df-fn 5258  df-f 5259  df-f1 5260  df-fo 5261  df-f1o 5262  df-fv 5263  df-isom 5264  df-ov 5861  df-oprab 5862  df-mpt2 5863  df-of 6078  df-1st 6122  df-2nd 6123  df-riota 6304  df-recs 6388  df-rdg 6423  df-1o 6479  df-2o 6480  df-oadd 6483  df-er 6660  df-map 6774  df-pm 6775  df-ixp 6818  df-en 6864  df-dom 6865  df-sdom 6866  df-fin 6867  df-fi 7165  df-sup 7194  df-oi 7225  df-card 7572  df-cda 7794  df-pnf 8869  df-mnf 8870  df-xr 8871  df-ltxr 8872  df-le 8873  df-sub 9039  df-neg 9040  df-div 9424  df-nn 9747  df-2 9804  df-3 9805  df-4 9806  df-5 9807  df-6 9808  df-7 9809  df-8 9810  df-9 9811  df-10 9812  df-n0 9966  df-z 10025  df-dec 10125  df-uz 10231  df-q 10317  df-rp 10355  df-xneg 10452  df-xadd 10453  df-xmul 10454  df-icc 10663  df-fz 10783  df-fzo 10871  df-seq 11047  df-exp 11105  df-hash 11338  df-cj 11584  df-re 11585  df-im 11586  df-sqr 11720  df-abs 11721  df-struct 13150  df-ndx 13151  df-slot 13152  df-base 13153  df-sets 13154  df-ress 13155  df-plusg 13221  df-mulr 13222  df-starv 13223  df-sca 13224  df-vsca 13225  df-tset 13227  df-ple 13228  df-ds 13230  df-hom 13232  df-cco 13233  df-rest 13327  df-topn 13328  df-topgen 13344  df-pt 13345  df-prds 13348  df-xrs 13403  df-0g 13404  df-gsum 13405  df-qtop 13410  df-imas 13411  df-xps 13413  df-mre 13488  df-mrc 13489  df-acs 13491  df-mnd 14367  df-submnd 14416  df-mulg 14492  df-cntz 14793  df-cmn 15091  df-xmet 16373  df-met 16374  df-bl 16375  df-mopn 16376  df-cnfld 16378  df-top 16636  df-bases 16638  df-topon 16639  df-topsp 16640  df-cld 16756  df-ntr 16757  df-cls 16758  df-nei 16835  df-lp 16868  df-perf 16869  df-cn 16957  df-cnp 16958  df-t1 17042  df-haus 17043  df-tx 17257  df-hmeo 17446  df-fbas 17520  df-fg 17521  df-fil 17541  df-fm 17633  df-flim 17634  df-flf 17635  df-xms 17885  df-ms 17886  df-tms 17887  df-cncf 18382  df-limc 19216  df-dv 19217
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