MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  dvferm Structured version   Unicode version

Theorem dvferm 19862
Description: Fermat's theorem on stationary points. A point  U which is a local maximum has derivative equal to zero. (Contributed by Mario Carneiro, 1-Sep-2014.)
Hypotheses
Ref Expression
dvferm.a  |-  ( ph  ->  F : X --> RR )
dvferm.b  |-  ( ph  ->  X  C_  RR )
dvferm.u  |-  ( ph  ->  U  e.  ( A (,) B ) )
dvferm.s  |-  ( ph  ->  ( A (,) B
)  C_  X )
dvferm.d  |-  ( ph  ->  U  e.  dom  ( RR  _D  F ) )
dvferm.r  |-  ( ph  ->  A. y  e.  ( A (,) B ) ( F `  y
)  <_  ( F `  U ) )
Assertion
Ref Expression
dvferm  |-  ( ph  ->  ( ( RR  _D  F ) `  U
)  =  0 )
Distinct variable groups:    y, A    y, B    y, F    y, U    y, X    ph, y

Proof of Theorem dvferm
StepHypRef Expression
1 dvferm.a . . 3  |-  ( ph  ->  F : X --> RR )
2 dvferm.b . . 3  |-  ( ph  ->  X  C_  RR )
3 dvferm.u . . 3  |-  ( ph  ->  U  e.  ( A (,) B ) )
4 dvferm.s . . 3  |-  ( ph  ->  ( A (,) B
)  C_  X )
5 dvferm.d . . 3  |-  ( ph  ->  U  e.  dom  ( RR  _D  F ) )
6 ne0i 3626 . . . . . . 7  |-  ( U  e.  ( A (,) B )  ->  ( A (,) B )  =/=  (/) )
7 ndmioo 10933 . . . . . . . 8  |-  ( -.  ( A  e.  RR*  /\  B  e.  RR* )  ->  ( A (,) B
)  =  (/) )
87necon1ai 2640 . . . . . . 7  |-  ( ( A (,) B )  =/=  (/)  ->  ( A  e.  RR*  /\  B  e. 
RR* ) )
93, 6, 83syl 19 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  ( A  e.  RR*  /\  B  e.  RR* )
)
109simpld 446 . . . . 5  |-  ( ph  ->  A  e.  RR* )
11 eliooord 10960 . . . . . . . 8  |-  ( U  e.  ( A (,) B )  ->  ( A  <  U  /\  U  <  B ) )
123, 11syl 16 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  ( A  <  U  /\  U  <  B ) )
1312simpld 446 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  A  <  U )
14 ioossre 10962 . . . . . . . . 9  |-  ( A (,) B )  C_  RR
1514, 3sseldi 3338 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  U  e.  RR )
1615rexrd 9124 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  U  e.  RR* )
17 xrltle 10732 . . . . . . 7  |-  ( ( A  e.  RR*  /\  U  e.  RR* )  ->  ( A  <  U  ->  A  <_  U ) )
1810, 16, 17syl2anc 643 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  ( A  <  U  ->  A  <_  U )
)
1913, 18mpd 15 . . . . 5  |-  ( ph  ->  A  <_  U )
20 iooss1 10941 . . . . 5  |-  ( ( A  e.  RR*  /\  A  <_  U )  ->  ( U (,) B )  C_  ( A (,) B ) )
2110, 19, 20syl2anc 643 . . . 4  |-  ( ph  ->  ( U (,) B
)  C_  ( A (,) B ) )
22 dvferm.r . . . 4  |-  ( ph  ->  A. y  e.  ( A (,) B ) ( F `  y
)  <_  ( F `  U ) )
23 ssralv 3399 . . . 4  |-  ( ( U (,) B ) 
C_  ( A (,) B )  ->  ( A. y  e.  ( A (,) B ) ( F `  y )  <_  ( F `  U )  ->  A. y  e.  ( U (,) B
) ( F `  y )  <_  ( F `  U )
) )
2421, 22, 23sylc 58 . . 3  |-  ( ph  ->  A. y  e.  ( U (,) B ) ( F `  y
)  <_  ( F `  U ) )
251, 2, 3, 4, 5, 24dvferm1 19859 . 2  |-  ( ph  ->  ( ( RR  _D  F ) `  U
)  <_  0 )
269simprd 450 . . . . 5  |-  ( ph  ->  B  e.  RR* )
2712simprd 450 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  U  <  B )
28 xrltle 10732 . . . . . . 7  |-  ( ( U  e.  RR*  /\  B  e.  RR* )  ->  ( U  <  B  ->  U  <_  B ) )
2916, 26, 28syl2anc 643 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  ( U  <  B  ->  U  <_  B )
)
3027, 29mpd 15 . . . . 5  |-  ( ph  ->  U  <_  B )
31 iooss2 10942 . . . . 5  |-  ( ( B  e.  RR*  /\  U  <_  B )  ->  ( A (,) U )  C_  ( A (,) B ) )
3226, 30, 31syl2anc 643 . . . 4  |-  ( ph  ->  ( A (,) U
)  C_  ( A (,) B ) )
33 ssralv 3399 . . . 4  |-  ( ( A (,) U ) 
C_  ( A (,) B )  ->  ( A. y  e.  ( A (,) B ) ( F `  y )  <_  ( F `  U )  ->  A. y  e.  ( A (,) U
) ( F `  y )  <_  ( F `  U )
) )
3432, 22, 33sylc 58 . . 3  |-  ( ph  ->  A. y  e.  ( A (,) U ) ( F `  y
)  <_  ( F `  U ) )
351, 2, 3, 4, 5, 34dvferm2 19861 . 2  |-  ( ph  ->  0  <_  ( ( RR  _D  F ) `  U ) )
36 dvfre 19827 . . . . 5  |-  ( ( F : X --> RR  /\  X  C_  RR )  -> 
( RR  _D  F
) : dom  ( RR  _D  F ) --> RR )
371, 2, 36syl2anc 643 . . . 4  |-  ( ph  ->  ( RR  _D  F
) : dom  ( RR  _D  F ) --> RR )
3837, 5ffvelrnd 5863 . . 3  |-  ( ph  ->  ( ( RR  _D  F ) `  U
)  e.  RR )
39 0re 9081 . . 3  |-  0  e.  RR
40 letri3 9150 . . 3  |-  ( ( ( ( RR  _D  F ) `  U
)  e.  RR  /\  0  e.  RR )  ->  ( ( ( RR 
_D  F ) `  U )  =  0  <-> 
( ( ( RR 
_D  F ) `  U )  <_  0  /\  0  <_  ( ( RR  _D  F ) `
 U ) ) ) )
4138, 39, 40sylancl 644 . 2  |-  ( ph  ->  ( ( ( RR 
_D  F ) `  U )  =  0  <-> 
( ( ( RR 
_D  F ) `  U )  <_  0  /\  0  <_  ( ( RR  _D  F ) `
 U ) ) ) )
4225, 35, 41mpbir2and 889 1  |-  ( ph  ->  ( ( RR  _D  F ) `  U
)  =  0 )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    <-> wb 177    /\ wa 359    = wceq 1652    e. wcel 1725    =/= wne 2598   A.wral 2697    C_ wss 3312   (/)c0 3620   class class class wbr 4204   dom cdm 4870   -->wf 5442   ` cfv 5446  (class class class)co 6073   RRcr 8979   0cc0 8980   RR*cxr 9109    < clt 9110    <_ cle 9111   (,)cioo 10906    _D cdv 19740
This theorem is referenced by:  rollelem  19863  dvivthlem1  19882
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1555  ax-5 1566  ax-17 1626  ax-9 1666  ax-8 1687  ax-13 1727  ax-14 1729  ax-6 1744  ax-7 1749  ax-11 1761  ax-12 1950  ax-ext 2416  ax-rep 4312  ax-sep 4322  ax-nul 4330  ax-pow 4369  ax-pr 4395  ax-un 4693  ax-cnex 9036  ax-resscn 9037  ax-1cn 9038  ax-icn 9039  ax-addcl 9040  ax-addrcl 9041  ax-mulcl 9042  ax-mulrcl 9043  ax-mulcom 9044  ax-addass 9045  ax-mulass 9046  ax-distr 9047  ax-i2m1 9048  ax-1ne0 9049  ax-1rid 9050  ax-rnegex 9051  ax-rrecex 9052  ax-cnre 9053  ax-pre-lttri 9054  ax-pre-lttrn 9055  ax-pre-ltadd 9056  ax-pre-mulgt0 9057  ax-pre-sup 9058
This theorem depends on definitions:  df-bi 178  df-or 360  df-an 361  df-3or 937  df-3an 938  df-tru 1328  df-ex 1551  df-nf 1554  df-sb 1659  df-eu 2284  df-mo 2285  df-clab 2422  df-cleq 2428  df-clel 2431  df-nfc 2560  df-ne 2600  df-nel 2601  df-ral 2702  df-rex 2703  df-reu 2704  df-rmo 2705  df-rab 2706  df-v 2950  df-sbc 3154  df-csb 3244  df-dif 3315  df-un 3317  df-in 3319  df-ss 3326  df-pss 3328  df-nul 3621  df-if 3732  df-pw 3793  df-sn 3812  df-pr 3813  df-tp 3814  df-op 3815  df-uni 4008  df-int 4043  df-iun 4087  df-iin 4088  df-br 4205  df-opab 4259  df-mpt 4260  df-tr 4295  df-eprel 4486  df-id 4490  df-po 4495  df-so 4496  df-fr 4533  df-we 4535  df-ord 4576  df-on 4577  df-lim 4578  df-suc 4579  df-om 4838  df-xp 4876  df-rel 4877  df-cnv 4878  df-co 4879  df-dm 4880  df-rn 4881  df-res 4882  df-ima 4883  df-iota 5410  df-fun 5448  df-fn 5449  df-f 5450  df-f1 5451  df-fo 5452  df-f1o 5453  df-fv 5454  df-ov 6076  df-oprab 6077  df-mpt2 6078  df-1st 6341  df-2nd 6342  df-riota 6541  df-recs 6625  df-rdg 6660  df-1o 6716  df-oadd 6720  df-er 6897  df-map 7012  df-pm 7013  df-en 7102  df-dom 7103  df-sdom 7104  df-fin 7105  df-fi 7408  df-sup 7438  df-pnf 9112  df-mnf 9113  df-xr 9114  df-ltxr 9115  df-le 9116  df-sub 9283  df-neg 9284  df-div 9668  df-nn 9991  df-2 10048  df-3 10049  df-4 10050  df-5 10051  df-6 10052  df-7 10053  df-8 10054  df-9 10055  df-10 10056  df-n0 10212  df-z 10273  df-dec 10373  df-uz 10479  df-q 10565  df-rp 10603  df-xneg 10700  df-xadd 10701  df-xmul 10702  df-ioo 10910  df-icc 10913  df-fz 11034  df-seq 11314  df-exp 11373  df-cj 11894  df-re 11895  df-im 11896  df-sqr 12030  df-abs 12031  df-struct 13461  df-ndx 13462  df-slot 13463  df-base 13464  df-plusg 13532  df-mulr 13533  df-starv 13534  df-tset 13538  df-ple 13539  df-ds 13541  df-unif 13542  df-rest 13640  df-topn 13641  df-topgen 13657  df-psmet 16684  df-xmet 16685  df-met 16686  df-bl 16687  df-mopn 16688  df-fbas 16689  df-fg 16690  df-cnfld 16694  df-top 16953  df-bases 16955  df-topon 16956  df-topsp 16957  df-cld 17073  df-ntr 17074  df-cls 17075  df-nei 17152  df-lp 17190  df-perf 17191  df-cn 17281  df-cnp 17282  df-haus 17369  df-fil 17868  df-fm 17960  df-flim 17961  df-flf 17962  df-xms 18340  df-ms 18341  df-cncf 18898  df-limc 19743  df-dv 19744
  Copyright terms: Public domain W3C validator