MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  dvferm Unicode version

Theorem dvferm 19335
Description: Fermat's theorem on stationary points. A point  U which is a local maximum has derivative equal to zero. (Contributed by Mario Carneiro, 1-Sep-2014.)
Hypotheses
Ref Expression
dvferm.a  |-  ( ph  ->  F : X --> RR )
dvferm.b  |-  ( ph  ->  X  C_  RR )
dvferm.u  |-  ( ph  ->  U  e.  ( A (,) B ) )
dvferm.s  |-  ( ph  ->  ( A (,) B
)  C_  X )
dvferm.d  |-  ( ph  ->  U  e.  dom  ( RR  _D  F ) )
dvferm.r  |-  ( ph  ->  A. y  e.  ( A (,) B ) ( F `  y
)  <_  ( F `  U ) )
Assertion
Ref Expression
dvferm  |-  ( ph  ->  ( ( RR  _D  F ) `  U
)  =  0 )
Distinct variable groups:    y, A    y, B    y, F    y, U    y, X    ph, y

Proof of Theorem dvferm
StepHypRef Expression
1 dvferm.a . . 3  |-  ( ph  ->  F : X --> RR )
2 dvferm.b . . 3  |-  ( ph  ->  X  C_  RR )
3 dvferm.u . . 3  |-  ( ph  ->  U  e.  ( A (,) B ) )
4 dvferm.s . . 3  |-  ( ph  ->  ( A (,) B
)  C_  X )
5 dvferm.d . . 3  |-  ( ph  ->  U  e.  dom  ( RR  _D  F ) )
6 ne0i 3461 . . . . . . 7  |-  ( U  e.  ( A (,) B )  ->  ( A (,) B )  =/=  (/) )
7 ndmioo 10683 . . . . . . . 8  |-  ( -.  ( A  e.  RR*  /\  B  e.  RR* )  ->  ( A (,) B
)  =  (/) )
87necon1ai 2488 . . . . . . 7  |-  ( ( A (,) B )  =/=  (/)  ->  ( A  e.  RR*  /\  B  e. 
RR* ) )
93, 6, 83syl 18 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  ( A  e.  RR*  /\  B  e.  RR* )
)
109simpld 445 . . . . 5  |-  ( ph  ->  A  e.  RR* )
11 eliooord 10710 . . . . . . . 8  |-  ( U  e.  ( A (,) B )  ->  ( A  <  U  /\  U  <  B ) )
123, 11syl 15 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  ( A  <  U  /\  U  <  B ) )
1312simpld 445 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  A  <  U )
14 ioossre 10712 . . . . . . . . 9  |-  ( A (,) B )  C_  RR
1514, 3sseldi 3178 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  U  e.  RR )
1615rexrd 8881 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  U  e.  RR* )
17 xrltle 10483 . . . . . . 7  |-  ( ( A  e.  RR*  /\  U  e.  RR* )  ->  ( A  <  U  ->  A  <_  U ) )
1810, 16, 17syl2anc 642 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  ( A  <  U  ->  A  <_  U )
)
1913, 18mpd 14 . . . . 5  |-  ( ph  ->  A  <_  U )
20 iooss1 10691 . . . . 5  |-  ( ( A  e.  RR*  /\  A  <_  U )  ->  ( U (,) B )  C_  ( A (,) B ) )
2110, 19, 20syl2anc 642 . . . 4  |-  ( ph  ->  ( U (,) B
)  C_  ( A (,) B ) )
22 dvferm.r . . . 4  |-  ( ph  ->  A. y  e.  ( A (,) B ) ( F `  y
)  <_  ( F `  U ) )
23 ssralv 3237 . . . 4  |-  ( ( U (,) B ) 
C_  ( A (,) B )  ->  ( A. y  e.  ( A (,) B ) ( F `  y )  <_  ( F `  U )  ->  A. y  e.  ( U (,) B
) ( F `  y )  <_  ( F `  U )
) )
2421, 22, 23sylc 56 . . 3  |-  ( ph  ->  A. y  e.  ( U (,) B ) ( F `  y
)  <_  ( F `  U ) )
251, 2, 3, 4, 5, 24dvferm1 19332 . 2  |-  ( ph  ->  ( ( RR  _D  F ) `  U
)  <_  0 )
269simprd 449 . . . . 5  |-  ( ph  ->  B  e.  RR* )
2712simprd 449 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  U  <  B )
28 xrltle 10483 . . . . . . 7  |-  ( ( U  e.  RR*  /\  B  e.  RR* )  ->  ( U  <  B  ->  U  <_  B ) )
2916, 26, 28syl2anc 642 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  ( U  <  B  ->  U  <_  B )
)
3027, 29mpd 14 . . . . 5  |-  ( ph  ->  U  <_  B )
31 iooss2 10692 . . . . 5  |-  ( ( B  e.  RR*  /\  U  <_  B )  ->  ( A (,) U )  C_  ( A (,) B ) )
3226, 30, 31syl2anc 642 . . . 4  |-  ( ph  ->  ( A (,) U
)  C_  ( A (,) B ) )
33 ssralv 3237 . . . 4  |-  ( ( A (,) U ) 
C_  ( A (,) B )  ->  ( A. y  e.  ( A (,) B ) ( F `  y )  <_  ( F `  U )  ->  A. y  e.  ( A (,) U
) ( F `  y )  <_  ( F `  U )
) )
3432, 22, 33sylc 56 . . 3  |-  ( ph  ->  A. y  e.  ( A (,) U ) ( F `  y
)  <_  ( F `  U ) )
351, 2, 3, 4, 5, 34dvferm2 19334 . 2  |-  ( ph  ->  0  <_  ( ( RR  _D  F ) `  U ) )
36 dvfre 19300 . . . . 5  |-  ( ( F : X --> RR  /\  X  C_  RR )  -> 
( RR  _D  F
) : dom  ( RR  _D  F ) --> RR )
371, 2, 36syl2anc 642 . . . 4  |-  ( ph  ->  ( RR  _D  F
) : dom  ( RR  _D  F ) --> RR )
38 ffvelrn 5663 . . . 4  |-  ( ( ( RR  _D  F
) : dom  ( RR  _D  F ) --> RR 
/\  U  e.  dom  ( RR  _D  F
) )  ->  (
( RR  _D  F
) `  U )  e.  RR )
3937, 5, 38syl2anc 642 . . 3  |-  ( ph  ->  ( ( RR  _D  F ) `  U
)  e.  RR )
40 0re 8838 . . 3  |-  0  e.  RR
41 letri3 8907 . . 3  |-  ( ( ( ( RR  _D  F ) `  U
)  e.  RR  /\  0  e.  RR )  ->  ( ( ( RR 
_D  F ) `  U )  =  0  <-> 
( ( ( RR 
_D  F ) `  U )  <_  0  /\  0  <_  ( ( RR  _D  F ) `
 U ) ) ) )
4239, 40, 41sylancl 643 . 2  |-  ( ph  ->  ( ( ( RR 
_D  F ) `  U )  =  0  <-> 
( ( ( RR 
_D  F ) `  U )  <_  0  /\  0  <_  ( ( RR  _D  F ) `
 U ) ) ) )
4325, 35, 42mpbir2and 888 1  |-  ( ph  ->  ( ( RR  _D  F ) `  U
)  =  0 )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    <-> wb 176    /\ wa 358    = wceq 1623    e. wcel 1684    =/= wne 2446   A.wral 2543    C_ wss 3152   (/)c0 3455   class class class wbr 4023   dom cdm 4689   -->wf 5251   ` cfv 5255  (class class class)co 5858   RRcr 8736   0cc0 8737   RR*cxr 8866    < clt 8867    <_ cle 8868   (,)cioo 10656    _D cdv 19213
This theorem is referenced by:  rollelem  19336  dvivthlem1  19355
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1533  ax-5 1544  ax-17 1603  ax-9 1635  ax-8 1643  ax-13 1686  ax-14 1688  ax-6 1703  ax-7 1708  ax-11 1715  ax-12 1866  ax-ext 2264  ax-rep 4131  ax-sep 4141  ax-nul 4149  ax-pow 4188  ax-pr 4214  ax-un 4512  ax-cnex 8793  ax-resscn 8794  ax-1cn 8795  ax-icn 8796  ax-addcl 8797  ax-addrcl 8798  ax-mulcl 8799  ax-mulrcl 8800  ax-mulcom 8801  ax-addass 8802  ax-mulass 8803  ax-distr 8804  ax-i2m1 8805  ax-1ne0 8806  ax-1rid 8807  ax-rnegex 8808  ax-rrecex 8809  ax-cnre 8810  ax-pre-lttri 8811  ax-pre-lttrn 8812  ax-pre-ltadd 8813  ax-pre-mulgt0 8814  ax-pre-sup 8815
This theorem depends on definitions:  df-bi 177  df-or 359  df-an 360  df-3or 935  df-3an 936  df-tru 1310  df-ex 1529  df-nf 1532  df-sb 1630  df-eu 2147  df-mo 2148  df-clab 2270  df-cleq 2276  df-clel 2279  df-nfc 2408  df-ne 2448  df-nel 2449  df-ral 2548  df-rex 2549  df-reu 2550  df-rmo 2551  df-rab 2552  df-v 2790  df-sbc 2992  df-csb 3082  df-dif 3155  df-un 3157  df-in 3159  df-ss 3166  df-pss 3168  df-nul 3456  df-if 3566  df-pw 3627  df-sn 3646  df-pr 3647  df-tp 3648  df-op 3649  df-uni 3828  df-int 3863  df-iun 3907  df-iin 3908  df-br 4024  df-opab 4078  df-mpt 4079  df-tr 4114  df-eprel 4305  df-id 4309  df-po 4314  df-so 4315  df-fr 4352  df-we 4354  df-ord 4395  df-on 4396  df-lim 4397  df-suc 4398  df-om 4657  df-xp 4695  df-rel 4696  df-cnv 4697  df-co 4698  df-dm 4699  df-rn 4700  df-res 4701  df-ima 4702  df-iota 5219  df-fun 5257  df-fn 5258  df-f 5259  df-f1 5260  df-fo 5261  df-f1o 5262  df-fv 5263  df-ov 5861  df-oprab 5862  df-mpt2 5863  df-1st 6122  df-2nd 6123  df-riota 6304  df-recs 6388  df-rdg 6423  df-1o 6479  df-oadd 6483  df-er 6660  df-map 6774  df-pm 6775  df-en 6864  df-dom 6865  df-sdom 6866  df-fin 6867  df-fi 7165  df-sup 7194  df-pnf 8869  df-mnf 8870  df-xr 8871  df-ltxr 8872  df-le 8873  df-sub 9039  df-neg 9040  df-div 9424  df-nn 9747  df-2 9804  df-3 9805  df-4 9806  df-5 9807  df-6 9808  df-7 9809  df-8 9810  df-9 9811  df-10 9812  df-n0 9966  df-z 10025  df-dec 10125  df-uz 10231  df-q 10317  df-rp 10355  df-xneg 10452  df-xadd 10453  df-xmul 10454  df-ioo 10660  df-icc 10663  df-fz 10783  df-seq 11047  df-exp 11105  df-cj 11584  df-re 11585  df-im 11586  df-sqr 11720  df-abs 11721  df-struct 13150  df-ndx 13151  df-slot 13152  df-base 13153  df-plusg 13221  df-mulr 13222  df-starv 13223  df-tset 13227  df-ple 13228  df-ds 13230  df-rest 13327  df-topn 13328  df-topgen 13344  df-xmet 16373  df-met 16374  df-bl 16375  df-mopn 16376  df-cnfld 16378  df-top 16636  df-bases 16638  df-topon 16639  df-topsp 16640  df-cld 16756  df-ntr 16757  df-cls 16758  df-nei 16835  df-lp 16868  df-perf 16869  df-cn 16957  df-cnp 16958  df-haus 17043  df-fbas 17520  df-fg 17521  df-fil 17541  df-fm 17633  df-flim 17634  df-flf 17635  df-xms 17885  df-ms 17886  df-cncf 18382  df-limc 19216  df-dv 19217
  Copyright terms: Public domain W3C validator