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Theorem dvferm1lem 19331
Description: Lemma for dvferm 19335. (Contributed by Mario Carneiro, 24-Feb-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
dvferm.a  |-  ( ph  ->  F : X --> RR )
dvferm.b  |-  ( ph  ->  X  C_  RR )
dvferm.u  |-  ( ph  ->  U  e.  ( A (,) B ) )
dvferm.s  |-  ( ph  ->  ( A (,) B
)  C_  X )
dvferm.d  |-  ( ph  ->  U  e.  dom  ( RR  _D  F ) )
dvferm1.r  |-  ( ph  ->  A. y  e.  ( U (,) B ) ( F `  y
)  <_  ( F `  U ) )
dvferm1.z  |-  ( ph  ->  0  <  ( ( RR  _D  F ) `
 U ) )
dvferm1.t  |-  ( ph  ->  T  e.  RR+ )
dvferm1.l  |-  ( ph  ->  A. z  e.  ( X  \  { U } ) ( ( z  =/=  U  /\  ( abs `  ( z  -  U ) )  <  T )  -> 
( abs `  (
( ( ( F `
 z )  -  ( F `  U ) )  /  ( z  -  U ) )  -  ( ( RR 
_D  F ) `  U ) ) )  <  ( ( RR 
_D  F ) `  U ) ) )
dvferm1.x  |-  S  =  ( ( U  +  if ( B  <_  ( U  +  T ) ,  B ,  ( U  +  T ) ) )  /  2 )
Assertion
Ref Expression
dvferm1lem  |-  -.  ph
Distinct variable groups:    y, z, A    y, B, z    y, F, z    y, U, z   
y, X, z    ph, y    y, S, z    z, T
Allowed substitution hints:    ph( z)    T( y)

Proof of Theorem dvferm1lem
StepHypRef Expression
1 dvferm.a . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  F : X --> RR )
2 dvferm.b . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  X  C_  RR )
3 dvfre 19300 . . . . . . . . 9  |-  ( ( F : X --> RR  /\  X  C_  RR )  -> 
( RR  _D  F
) : dom  ( RR  _D  F ) --> RR )
41, 2, 3syl2anc 642 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  ( RR  _D  F
) : dom  ( RR  _D  F ) --> RR )
5 dvferm.d . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  U  e.  dom  ( RR  _D  F ) )
6 ffvelrn 5663 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( RR  _D  F
) : dom  ( RR  _D  F ) --> RR 
/\  U  e.  dom  ( RR  _D  F
) )  ->  (
( RR  _D  F
) `  U )  e.  RR )
74, 5, 6syl2anc 642 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  ( ( RR  _D  F ) `  U
)  e.  RR )
87recnd 8861 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  ( ( RR  _D  F ) `  U
)  e.  CC )
98subidd 9145 . . . . 5  |-  ( ph  ->  ( ( ( RR 
_D  F ) `  U )  -  (
( RR  _D  F
) `  U )
)  =  0 )
10 dvferm.u . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ph  ->  U  e.  ( A (,) B ) )
11 ne0i 3461 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( U  e.  ( A (,) B )  ->  ( A (,) B )  =/=  (/) )
12 ndmioo 10683 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( -.  ( A  e.  RR*  /\  B  e.  RR* )  ->  ( A (,) B
)  =  (/) )
1312necon1ai 2488 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( A (,) B )  =/=  (/)  ->  ( A  e.  RR*  /\  B  e. 
RR* ) )
1410, 11, 133syl 18 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ph  ->  ( A  e.  RR*  /\  B  e.  RR* )
)
1514simpld 445 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ph  ->  A  e.  RR* )
16 eliooord 10710 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( U  e.  ( A (,) B )  ->  ( A  <  U  /\  U  <  B ) )
1710, 16syl 15 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ph  ->  ( A  <  U  /\  U  <  B ) )
1817simpld 445 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ph  ->  A  <  U )
19 ioossre 10712 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( A (,) B )  C_  RR
2019, 10sseldi 3178 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ph  ->  U  e.  RR )
2120rexrd 8881 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ph  ->  U  e.  RR* )
22 xrltle 10483 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( A  e.  RR*  /\  U  e.  RR* )  ->  ( A  <  U  ->  A  <_  U ) )
2315, 21, 22syl2anc 642 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ph  ->  ( A  <  U  ->  A  <_  U )
)
2418, 23mpd 14 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ph  ->  A  <_  U )
25 iooss1 10691 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( A  e.  RR*  /\  A  <_  U )  ->  ( U (,) B )  C_  ( A (,) B ) )
2615, 24, 25syl2anc 642 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ph  ->  ( U (,) B
)  C_  ( A (,) B ) )
27 dvferm.s . . . . . . . . . . 11  |-  ( ph  ->  ( A (,) B
)  C_  X )
2826, 27sstrd 3189 . . . . . . . . . 10  |-  ( ph  ->  ( U (,) B
)  C_  X )
29 dvferm1.x . . . . . . . . . . . 12  |-  S  =  ( ( U  +  if ( B  <_  ( U  +  T ) ,  B ,  ( U  +  T ) ) )  /  2 )
3014simprd 449 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ph  ->  B  e.  RR* )
31 dvferm1.t . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ph  ->  T  e.  RR+ )
3231rpred 10390 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ph  ->  T  e.  RR )
3320, 32readdcld 8862 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ph  ->  ( U  +  T
)  e.  RR )
3433rexrd 8881 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ph  ->  ( U  +  T
)  e.  RR* )
35 ifcl 3601 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( B  e.  RR*  /\  ( U  +  T )  e.  RR* )  ->  if ( B  <_  ( U  +  T ) ,  B ,  ( U  +  T ) )  e.  RR* )
3630, 34, 35syl2anc 642 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ph  ->  if ( B  <_ 
( U  +  T
) ,  B , 
( U  +  T
) )  e.  RR* )
37 mnfxr 10456 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  -oo  e.  RR*
3837a1i 10 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ph  ->  -oo  e.  RR* )
39 mnflt 10464 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( U  e.  RR  ->  -oo  <  U )
4020, 39syl 15 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ph  ->  -oo  <  U )
4117simprd 449 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ph  ->  U  <  B )
4238, 21, 30, 40, 41xrlttrd 10490 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ph  ->  -oo  <  B )
43 mnflt 10464 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( U  +  T )  e.  RR  ->  -oo  <  ( U  +  T ) )
4433, 43syl 15 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ph  ->  -oo  <  ( U  +  T ) )
45 breq2 4027 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( B  =  if ( B  <_  ( U  +  T ) ,  B ,  ( U  +  T ) )  -> 
(  -oo  <  B  <->  -oo  <  if ( B  <_  ( U  +  T ) ,  B ,  ( U  +  T ) ) ) )
46 breq2 4027 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( U  +  T )  =  if ( B  <_  ( U  +  T ) ,  B ,  ( U  +  T ) )  -> 
(  -oo  <  ( U  +  T )  <->  -oo  <  if ( B  <_  ( U  +  T ) ,  B ,  ( U  +  T ) ) ) )
4745, 46ifboth 3596 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( 
-oo  <  B  /\  -oo  <  ( U  +  T
) )  ->  -oo  <  if ( B  <_  ( U  +  T ) ,  B ,  ( U  +  T ) ) )
4842, 44, 47syl2anc 642 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ph  ->  -oo  <  if ( B  <_  ( U  +  T ) ,  B ,  ( U  +  T ) ) )
49 xrmin2 10507 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( B  e.  RR*  /\  ( U  +  T )  e.  RR* )  ->  if ( B  <_  ( U  +  T ) ,  B ,  ( U  +  T ) )  <_  ( U  +  T ) )
5030, 34, 49syl2anc 642 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ph  ->  if ( B  <_ 
( U  +  T
) ,  B , 
( U  +  T
) )  <_  ( U  +  T )
)
51 xrre 10498 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( if ( B  <_  ( U  +  T ) ,  B ,  ( U  +  T ) )  e. 
RR*  /\  ( U  +  T )  e.  RR )  /\  (  -oo  <  if ( B  <_  ( U  +  T ) ,  B ,  ( U  +  T ) )  /\  if ( B  <_  ( U  +  T ) ,  B ,  ( U  +  T ) )  <_ 
( U  +  T
) ) )  ->  if ( B  <_  ( U  +  T ) ,  B ,  ( U  +  T ) )  e.  RR )
5236, 33, 48, 50, 51syl22anc 1183 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ph  ->  if ( B  <_ 
( U  +  T
) ,  B , 
( U  +  T
) )  e.  RR )
5320, 52readdcld 8862 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ph  ->  ( U  +  if ( B  <_  ( U  +  T ) ,  B ,  ( U  +  T ) ) )  e.  RR )
5453rehalfcld 9958 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ph  ->  ( ( U  +  if ( B  <_  ( U  +  T ) ,  B ,  ( U  +  T ) ) )  /  2 )  e.  RR )
5529, 54syl5eqel 2367 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ph  ->  S  e.  RR )
5620, 31ltaddrpd 10419 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ph  ->  U  <  ( U  +  T ) )
57 breq2 4027 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( B  =  if ( B  <_  ( U  +  T ) ,  B ,  ( U  +  T ) )  -> 
( U  <  B  <->  U  <  if ( B  <_  ( U  +  T ) ,  B ,  ( U  +  T ) ) ) )
58 breq2 4027 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( U  +  T )  =  if ( B  <_  ( U  +  T ) ,  B ,  ( U  +  T ) )  -> 
( U  <  ( U  +  T )  <->  U  <  if ( B  <_  ( U  +  T ) ,  B ,  ( U  +  T ) ) ) )
5957, 58ifboth 3596 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( U  <  B  /\  U  <  ( U  +  T ) )  ->  U  <  if ( B  <_  ( U  +  T ) ,  B ,  ( U  +  T ) ) )
6041, 56, 59syl2anc 642 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ph  ->  U  <  if ( B  <_  ( U  +  T ) ,  B ,  ( U  +  T ) ) )
61 avglt1 9949 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( U  e.  RR  /\  if ( B  <_  ( U  +  T ) ,  B ,  ( U  +  T ) )  e.  RR )  -> 
( U  <  if ( B  <_  ( U  +  T ) ,  B ,  ( U  +  T ) )  <-> 
U  <  ( ( U  +  if ( B  <_  ( U  +  T ) ,  B ,  ( U  +  T ) ) )  /  2 ) ) )
6220, 52, 61syl2anc 642 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ph  ->  ( U  <  if ( B  <_  ( U  +  T ) ,  B ,  ( U  +  T ) )  <-> 
U  <  ( ( U  +  if ( B  <_  ( U  +  T ) ,  B ,  ( U  +  T ) ) )  /  2 ) ) )
6360, 62mpbid 201 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ph  ->  U  <  ( ( U  +  if ( B  <_  ( U  +  T ) ,  B ,  ( U  +  T ) ) )  /  2 ) )
6463, 29syl6breqr 4063 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ph  ->  U  <  S )
6555rexrd 8881 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ph  ->  S  e.  RR* )
66 avglt2 9950 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( U  e.  RR  /\  if ( B  <_  ( U  +  T ) ,  B ,  ( U  +  T ) )  e.  RR )  -> 
( U  <  if ( B  <_  ( U  +  T ) ,  B ,  ( U  +  T ) )  <-> 
( ( U  +  if ( B  <_  ( U  +  T ) ,  B ,  ( U  +  T ) ) )  /  2 )  <  if ( B  <_  ( U  +  T ) ,  B ,  ( U  +  T ) ) ) )
6720, 52, 66syl2anc 642 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ph  ->  ( U  <  if ( B  <_  ( U  +  T ) ,  B ,  ( U  +  T ) )  <-> 
( ( U  +  if ( B  <_  ( U  +  T ) ,  B ,  ( U  +  T ) ) )  /  2 )  <  if ( B  <_  ( U  +  T ) ,  B ,  ( U  +  T ) ) ) )
6860, 67mpbid 201 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ph  ->  ( ( U  +  if ( B  <_  ( U  +  T ) ,  B ,  ( U  +  T ) ) )  /  2 )  <  if ( B  <_  ( U  +  T ) ,  B ,  ( U  +  T ) ) )
6929, 68syl5eqbr 4056 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ph  ->  S  <  if ( B  <_  ( U  +  T ) ,  B ,  ( U  +  T ) ) )
70 xrmin1 10506 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( B  e.  RR*  /\  ( U  +  T )  e.  RR* )  ->  if ( B  <_  ( U  +  T ) ,  B ,  ( U  +  T ) )  <_  B )
7130, 34, 70syl2anc 642 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ph  ->  if ( B  <_ 
( U  +  T
) ,  B , 
( U  +  T
) )  <_  B
)
7265, 36, 30, 69, 71xrltletrd 10492 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ph  ->  S  <  B )
73 elioo2 10697 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( U  e.  RR*  /\  B  e.  RR* )  ->  ( S  e.  ( U (,) B )  <->  ( S  e.  RR  /\  U  < 
S  /\  S  <  B ) ) )
7421, 30, 73syl2anc 642 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ph  ->  ( S  e.  ( U (,) B )  <-> 
( S  e.  RR  /\  U  <  S  /\  S  <  B ) ) )
7555, 64, 72, 74mpbir3and 1135 . . . . . . . . . 10  |-  ( ph  ->  S  e.  ( U (,) B ) )
7628, 75sseldd 3181 . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  S  e.  X )
7720, 64gtned 8954 . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  S  =/=  U )
78 eldifsn 3749 . . . . . . . . 9  |-  ( S  e.  ( X  \  { U } )  <->  ( S  e.  X  /\  S  =/= 
U ) )
7976, 77, 78sylanbrc 645 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  S  e.  ( X 
\  { U }
) )
80 dvferm1.l . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  A. z  e.  ( X  \  { U } ) ( ( z  =/=  U  /\  ( abs `  ( z  -  U ) )  <  T )  -> 
( abs `  (
( ( ( F `
 z )  -  ( F `  U ) )  /  ( z  -  U ) )  -  ( ( RR 
_D  F ) `  U ) ) )  <  ( ( RR 
_D  F ) `  U ) ) )
8120, 55, 64ltled 8967 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ph  ->  U  <_  S )
8220, 55, 81abssubge0d 11914 . . . . . . . . . 10  |-  ( ph  ->  ( abs `  ( S  -  U )
)  =  ( S  -  U ) )
8355, 52, 33, 69, 50ltletrd 8976 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ph  ->  S  <  ( U  +  T ) )
8455, 20, 32ltsubadd2d 9370 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ph  ->  ( ( S  -  U )  <  T  <->  S  <  ( U  +  T ) ) )
8583, 84mpbird 223 . . . . . . . . . 10  |-  ( ph  ->  ( S  -  U
)  <  T )
8682, 85eqbrtrd 4043 . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  ( abs `  ( S  -  U )
)  <  T )
8777, 86jca 518 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  ( S  =/=  U  /\  ( abs `  ( S  -  U )
)  <  T )
)
88 neeq1 2454 . . . . . . . . . . 11  |-  ( z  =  S  ->  (
z  =/=  U  <->  S  =/=  U ) )
89 oveq1 5865 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( z  =  S  ->  (
z  -  U )  =  ( S  -  U ) )
9089fveq2d 5529 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( z  =  S  ->  ( abs `  ( z  -  U ) )  =  ( abs `  ( S  -  U )
) )
9190breq1d 4033 . . . . . . . . . . 11  |-  ( z  =  S  ->  (
( abs `  (
z  -  U ) )  <  T  <->  ( abs `  ( S  -  U
) )  <  T
) )
9288, 91anbi12d 691 . . . . . . . . . 10  |-  ( z  =  S  ->  (
( z  =/=  U  /\  ( abs `  (
z  -  U ) )  <  T )  <-> 
( S  =/=  U  /\  ( abs `  ( S  -  U )
)  <  T )
) )
93 fveq2 5525 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( z  =  S  ->  ( F `  z )  =  ( F `  S ) )
9493oveq1d 5873 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( z  =  S  ->  (
( F `  z
)  -  ( F `
 U ) )  =  ( ( F `
 S )  -  ( F `  U ) ) )
9594, 89oveq12d 5876 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( z  =  S  ->  (
( ( F `  z )  -  ( F `  U )
)  /  ( z  -  U ) )  =  ( ( ( F `  S )  -  ( F `  U ) )  / 
( S  -  U
) ) )
9695oveq1d 5873 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( z  =  S  ->  (
( ( ( F `
 z )  -  ( F `  U ) )  /  ( z  -  U ) )  -  ( ( RR 
_D  F ) `  U ) )  =  ( ( ( ( F `  S )  -  ( F `  U ) )  / 
( S  -  U
) )  -  (
( RR  _D  F
) `  U )
) )
9796fveq2d 5529 . . . . . . . . . . 11  |-  ( z  =  S  ->  ( abs `  ( ( ( ( F `  z
)  -  ( F `
 U ) )  /  ( z  -  U ) )  -  ( ( RR  _D  F ) `  U
) ) )  =  ( abs `  (
( ( ( F `
 S )  -  ( F `  U ) )  /  ( S  -  U ) )  -  ( ( RR 
_D  F ) `  U ) ) ) )
9897breq1d 4033 . . . . . . . . . 10  |-  ( z  =  S  ->  (
( abs `  (
( ( ( F `
 z )  -  ( F `  U ) )  /  ( z  -  U ) )  -  ( ( RR 
_D  F ) `  U ) ) )  <  ( ( RR 
_D  F ) `  U )  <->  ( abs `  ( ( ( ( F `  S )  -  ( F `  U ) )  / 
( S  -  U
) )  -  (
( RR  _D  F
) `  U )
) )  <  (
( RR  _D  F
) `  U )
) )
9992, 98imbi12d 311 . . . . . . . . 9  |-  ( z  =  S  ->  (
( ( z  =/= 
U  /\  ( abs `  ( z  -  U
) )  <  T
)  ->  ( abs `  ( ( ( ( F `  z )  -  ( F `  U ) )  / 
( z  -  U
) )  -  (
( RR  _D  F
) `  U )
) )  <  (
( RR  _D  F
) `  U )
)  <->  ( ( S  =/=  U  /\  ( abs `  ( S  -  U ) )  < 
T )  ->  ( abs `  ( ( ( ( F `  S
)  -  ( F `
 U ) )  /  ( S  -  U ) )  -  ( ( RR  _D  F ) `  U
) ) )  < 
( ( RR  _D  F ) `  U
) ) ) )
10099rspcv 2880 . . . . . . . 8  |-  ( S  e.  ( X  \  { U } )  -> 
( A. z  e.  ( X  \  { U } ) ( ( z  =/=  U  /\  ( abs `  ( z  -  U ) )  <  T )  -> 
( abs `  (
( ( ( F `
 z )  -  ( F `  U ) )  /  ( z  -  U ) )  -  ( ( RR 
_D  F ) `  U ) ) )  <  ( ( RR 
_D  F ) `  U ) )  -> 
( ( S  =/= 
U  /\  ( abs `  ( S  -  U
) )  <  T
)  ->  ( abs `  ( ( ( ( F `  S )  -  ( F `  U ) )  / 
( S  -  U
) )  -  (
( RR  _D  F
) `  U )
) )  <  (
( RR  _D  F
) `  U )
) ) )
10179, 80, 87, 100syl3c 57 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  ( abs `  (
( ( ( F `
 S )  -  ( F `  U ) )  /  ( S  -  U ) )  -  ( ( RR 
_D  F ) `  U ) ) )  <  ( ( RR 
_D  F ) `  U ) )
102 ffvelrn 5663 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( F : X --> RR  /\  S  e.  X )  ->  ( F `  S
)  e.  RR )
1031, 76, 102syl2anc 642 . . . . . . . . . 10  |-  ( ph  ->  ( F `  S
)  e.  RR )
10427, 10sseldd 3181 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ph  ->  U  e.  X )
105 ffvelrn 5663 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( F : X --> RR  /\  U  e.  X )  ->  ( F `  U
)  e.  RR )
1061, 104, 105syl2anc 642 . . . . . . . . . 10  |-  ( ph  ->  ( F `  U
)  e.  RR )
107103, 106resubcld 9211 . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  ( ( F `  S )  -  ( F `  U )
)  e.  RR )
10855, 20resubcld 9211 . . . . . . . . . 10  |-  ( ph  ->  ( S  -  U
)  e.  RR )
10920, 55posdifd 9359 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ph  ->  ( U  <  S  <->  0  <  ( S  -  U ) ) )
11064, 109mpbid 201 . . . . . . . . . 10  |-  ( ph  ->  0  <  ( S  -  U ) )
111108, 110elrpd 10388 . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  ( S  -  U
)  e.  RR+ )
112107, 111rerpdivcld 10417 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  ( ( ( F `
 S )  -  ( F `  U ) )  /  ( S  -  U ) )  e.  RR )
113112, 7, 7absdifltd 11916 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  ( ( abs `  (
( ( ( F `
 S )  -  ( F `  U ) )  /  ( S  -  U ) )  -  ( ( RR 
_D  F ) `  U ) ) )  <  ( ( RR 
_D  F ) `  U )  <->  ( (
( ( RR  _D  F ) `  U
)  -  ( ( RR  _D  F ) `
 U ) )  <  ( ( ( F `  S )  -  ( F `  U ) )  / 
( S  -  U
) )  /\  (
( ( F `  S )  -  ( F `  U )
)  /  ( S  -  U ) )  <  ( ( ( RR  _D  F ) `
 U )  +  ( ( RR  _D  F ) `  U
) ) ) ) )
114101, 113mpbid 201 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  ( ( ( ( RR  _D  F ) `
 U )  -  ( ( RR  _D  F ) `  U
) )  <  (
( ( F `  S )  -  ( F `  U )
)  /  ( S  -  U ) )  /\  ( ( ( F `  S )  -  ( F `  U ) )  / 
( S  -  U
) )  <  (
( ( RR  _D  F ) `  U
)  +  ( ( RR  _D  F ) `
 U ) ) ) )
115114simpld 445 . . . . 5  |-  ( ph  ->  ( ( ( RR 
_D  F ) `  U )  -  (
( RR  _D  F
) `  U )
)  <  ( (
( F `  S
)  -  ( F `
 U ) )  /  ( S  -  U ) ) )
1169, 115eqbrtrrd 4045 . . . 4  |-  ( ph  ->  0  <  ( ( ( F `  S
)  -  ( F `
 U ) )  /  ( S  -  U ) ) )
117 gt0div 9622 . . . . 5  |-  ( ( ( ( F `  S )  -  ( F `  U )
)  e.  RR  /\  ( S  -  U
)  e.  RR  /\  0  <  ( S  -  U ) )  -> 
( 0  <  (
( F `  S
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 U ) )  <->  0  <  ( ( ( F `  S
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 U ) )  /  ( S  -  U ) ) ) )
118107, 108, 110, 117syl3anc 1182 . . . 4  |-  ( ph  ->  ( 0  <  (
( F `  S
)  -  ( F `
 U ) )  <->  0  <  ( ( ( F `  S
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 U ) )  /  ( S  -  U ) ) ) )
119116, 118mpbird 223 . . 3  |-  ( ph  ->  0  <  ( ( F `  S )  -  ( F `  U ) ) )
120106, 103posdifd 9359 . . 3  |-  ( ph  ->  ( ( F `  U )  <  ( F `  S )  <->  0  <  ( ( F `
 S )  -  ( F `  U ) ) ) )
121119, 120mpbird 223 . 2  |-  ( ph  ->  ( F `  U
)  <  ( F `  S ) )
122 dvferm1.r . . . 4  |-  ( ph  ->  A. y  e.  ( U (,) B ) ( F `  y
)  <_  ( F `  U ) )
123 fveq2 5525 . . . . . 6  |-  ( y  =  S  ->  ( F `  y )  =  ( F `  S ) )
124123breq1d 4033 . . . . 5  |-  ( y  =  S  ->  (
( F `  y
)  <_  ( F `  U )  <->  ( F `  S )  <_  ( F `  U )
) )
125124rspcv 2880 . . . 4  |-  ( S  e.  ( U (,) B )  ->  ( A. y  e.  ( U (,) B ) ( F `  y )  <_  ( F `  U )  ->  ( F `  S )  <_  ( F `  U
) ) )
12675, 122, 125sylc 56 . . 3  |-  ( ph  ->  ( F `  S
)  <_  ( F `  U ) )
127103, 106lenltd 8965 . . 3  |-  ( ph  ->  ( ( F `  S )  <_  ( F `  U )  <->  -.  ( F `  U
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128126, 127mpbid 201 . 2  |-  ( ph  ->  -.  ( F `  U )  <  ( F `  S )
)
129121, 128pm2.65i 165 1  |-  -.  ph
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:   -. wn 3    -> wi 4    <-> wb 176    /\ wa 358    /\ w3a 934    = wceq 1623    e. wcel 1684    =/= wne 2446   A.wral 2543    \ cdif 3149    C_ wss 3152   (/)c0 3455   ifcif 3565   {csn 3640   class class class wbr 4023   dom cdm 4689   -->wf 5251   ` cfv 5255  (class class class)co 5858   RRcr 8736   0cc0 8737    + caddc 8740    -oocmnf 8865   RR*cxr 8866    < clt 8867    <_ cle 8868    - cmin 9037    / cdiv 9423   2c2 9795   RR+crp 10354   (,)cioo 10656   abscabs 11719    _D cdv 19213
This theorem is referenced by:  dvferm1  19332
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1533  ax-5 1544  ax-17 1603  ax-9 1635  ax-8 1643  ax-13 1686  ax-14 1688  ax-6 1703  ax-7 1708  ax-11 1715  ax-12 1866  ax-ext 2264  ax-rep 4131  ax-sep 4141  ax-nul 4149  ax-pow 4188  ax-pr 4214  ax-un 4512  ax-cnex 8793  ax-resscn 8794  ax-1cn 8795  ax-icn 8796  ax-addcl 8797  ax-addrcl 8798  ax-mulcl 8799  ax-mulrcl 8800  ax-mulcom 8801  ax-addass 8802  ax-mulass 8803  ax-distr 8804  ax-i2m1 8805  ax-1ne0 8806  ax-1rid 8807  ax-rnegex 8808  ax-rrecex 8809  ax-cnre 8810  ax-pre-lttri 8811  ax-pre-lttrn 8812  ax-pre-ltadd 8813  ax-pre-mulgt0 8814  ax-pre-sup 8815
This theorem depends on definitions:  df-bi 177  df-or 359  df-an 360  df-3or 935  df-3an 936  df-tru 1310  df-ex 1529  df-nf 1532  df-sb 1630  df-eu 2147  df-mo 2148  df-clab 2270  df-cleq 2276  df-clel 2279  df-nfc 2408  df-ne 2448  df-nel 2449  df-ral 2548  df-rex 2549  df-reu 2550  df-rmo 2551  df-rab 2552  df-v 2790  df-sbc 2992  df-csb 3082  df-dif 3155  df-un 3157  df-in 3159  df-ss 3166  df-pss 3168  df-nul 3456  df-if 3566  df-pw 3627  df-sn 3646  df-pr 3647  df-tp 3648  df-op 3649  df-uni 3828  df-int 3863  df-iun 3907  df-iin 3908  df-br 4024  df-opab 4078  df-mpt 4079  df-tr 4114  df-eprel 4305  df-id 4309  df-po 4314  df-so 4315  df-fr 4352  df-we 4354  df-ord 4395  df-on 4396  df-lim 4397  df-suc 4398  df-om 4657  df-xp 4695  df-rel 4696  df-cnv 4697  df-co 4698  df-dm 4699  df-rn 4700  df-res 4701  df-ima 4702  df-iota 5219  df-fun 5257  df-fn 5258  df-f 5259  df-f1 5260  df-fo 5261  df-f1o 5262  df-fv 5263  df-ov 5861  df-oprab 5862  df-mpt2 5863  df-1st 6122  df-2nd 6123  df-riota 6304  df-recs 6388  df-rdg 6423  df-1o 6479  df-oadd 6483  df-er 6660  df-map 6774  df-pm 6775  df-en 6864  df-dom 6865  df-sdom 6866  df-fin 6867  df-fi 7165  df-sup 7194  df-pnf 8869  df-mnf 8870  df-xr 8871  df-ltxr 8872  df-le 8873  df-sub 9039  df-neg 9040  df-div 9424  df-nn 9747  df-2 9804  df-3 9805  df-4 9806  df-5 9807  df-6 9808  df-7 9809  df-8 9810  df-9 9811  df-10 9812  df-n0 9966  df-z 10025  df-dec 10125  df-uz 10231  df-q 10317  df-rp 10355  df-xneg 10452  df-xadd 10453  df-xmul 10454  df-ioo 10660  df-icc 10663  df-fz 10783  df-seq 11047  df-exp 11105  df-cj 11584  df-re 11585  df-im 11586  df-sqr 11720  df-abs 11721  df-struct 13150  df-ndx 13151  df-slot 13152  df-base 13153  df-plusg 13221  df-mulr 13222  df-starv 13223  df-tset 13227  df-ple 13228  df-ds 13230  df-rest 13327  df-topn 13328  df-topgen 13344  df-xmet 16373  df-met 16374  df-bl 16375  df-mopn 16376  df-cnfld 16378  df-top 16636  df-bases 16638  df-topon 16639  df-topsp 16640  df-cld 16756  df-ntr 16757  df-cls 16758  df-nei 16835  df-lp 16868  df-perf 16869  df-cn 16957  df-cnp 16958  df-haus 17043  df-fbas 17520  df-fg 17521  df-fil 17541  df-fm 17633  df-flim 17634  df-flf 17635  df-xms 17885  df-ms 17886  df-cncf 18382  df-limc 19216  df-dv 19217
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