MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  dvferm1lem Unicode version

Theorem dvferm1lem 19546
Description: Lemma for dvferm 19550. (Contributed by Mario Carneiro, 24-Feb-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
dvferm.a  |-  ( ph  ->  F : X --> RR )
dvferm.b  |-  ( ph  ->  X  C_  RR )
dvferm.u  |-  ( ph  ->  U  e.  ( A (,) B ) )
dvferm.s  |-  ( ph  ->  ( A (,) B
)  C_  X )
dvferm.d  |-  ( ph  ->  U  e.  dom  ( RR  _D  F ) )
dvferm1.r  |-  ( ph  ->  A. y  e.  ( U (,) B ) ( F `  y
)  <_  ( F `  U ) )
dvferm1.z  |-  ( ph  ->  0  <  ( ( RR  _D  F ) `
 U ) )
dvferm1.t  |-  ( ph  ->  T  e.  RR+ )
dvferm1.l  |-  ( ph  ->  A. z  e.  ( X  \  { U } ) ( ( z  =/=  U  /\  ( abs `  ( z  -  U ) )  <  T )  -> 
( abs `  (
( ( ( F `
 z )  -  ( F `  U ) )  /  ( z  -  U ) )  -  ( ( RR 
_D  F ) `  U ) ) )  <  ( ( RR 
_D  F ) `  U ) ) )
dvferm1.x  |-  S  =  ( ( U  +  if ( B  <_  ( U  +  T ) ,  B ,  ( U  +  T ) ) )  /  2 )
Assertion
Ref Expression
dvferm1lem  |-  -.  ph
Distinct variable groups:    y, z, A    y, B, z    y, F, z    y, U, z   
y, X, z    ph, y    y, S, z    z, T
Allowed substitution hints:    ph( z)    T( y)

Proof of Theorem dvferm1lem
StepHypRef Expression
1 dvferm.a . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  F : X --> RR )
2 dvferm.b . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  X  C_  RR )
3 dvfre 19515 . . . . . . . . 9  |-  ( ( F : X --> RR  /\  X  C_  RR )  -> 
( RR  _D  F
) : dom  ( RR  _D  F ) --> RR )
41, 2, 3syl2anc 642 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  ( RR  _D  F
) : dom  ( RR  _D  F ) --> RR )
5 dvferm.d . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  U  e.  dom  ( RR  _D  F ) )
6 ffvelrn 5770 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( RR  _D  F
) : dom  ( RR  _D  F ) --> RR 
/\  U  e.  dom  ( RR  _D  F
) )  ->  (
( RR  _D  F
) `  U )  e.  RR )
74, 5, 6syl2anc 642 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  ( ( RR  _D  F ) `  U
)  e.  RR )
87recnd 9008 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  ( ( RR  _D  F ) `  U
)  e.  CC )
98subidd 9292 . . . . 5  |-  ( ph  ->  ( ( ( RR 
_D  F ) `  U )  -  (
( RR  _D  F
) `  U )
)  =  0 )
10 dvferm.u . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ph  ->  U  e.  ( A (,) B ) )
11 ne0i 3549 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( U  e.  ( A (,) B )  ->  ( A (,) B )  =/=  (/) )
12 ndmioo 10836 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( -.  ( A  e.  RR*  /\  B  e.  RR* )  ->  ( A (,) B
)  =  (/) )
1312necon1ai 2571 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( A (,) B )  =/=  (/)  ->  ( A  e.  RR*  /\  B  e. 
RR* ) )
1410, 11, 133syl 18 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ph  ->  ( A  e.  RR*  /\  B  e.  RR* )
)
1514simpld 445 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ph  ->  A  e.  RR* )
16 eliooord 10863 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( U  e.  ( A (,) B )  ->  ( A  <  U  /\  U  <  B ) )
1710, 16syl 15 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ph  ->  ( A  <  U  /\  U  <  B ) )
1817simpld 445 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ph  ->  A  <  U )
19 ioossre 10865 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( A (,) B )  C_  RR
2019, 10sseldi 3264 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ph  ->  U  e.  RR )
2120rexrd 9028 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ph  ->  U  e.  RR* )
22 xrltle 10635 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( A  e.  RR*  /\  U  e.  RR* )  ->  ( A  <  U  ->  A  <_  U ) )
2315, 21, 22syl2anc 642 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ph  ->  ( A  <  U  ->  A  <_  U )
)
2418, 23mpd 14 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ph  ->  A  <_  U )
25 iooss1 10844 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( A  e.  RR*  /\  A  <_  U )  ->  ( U (,) B )  C_  ( A (,) B ) )
2615, 24, 25syl2anc 642 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ph  ->  ( U (,) B
)  C_  ( A (,) B ) )
27 dvferm.s . . . . . . . . . . 11  |-  ( ph  ->  ( A (,) B
)  C_  X )
2826, 27sstrd 3275 . . . . . . . . . 10  |-  ( ph  ->  ( U (,) B
)  C_  X )
29 dvferm1.x . . . . . . . . . . . 12  |-  S  =  ( ( U  +  if ( B  <_  ( U  +  T ) ,  B ,  ( U  +  T ) ) )  /  2 )
3014simprd 449 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ph  ->  B  e.  RR* )
31 dvferm1.t . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ph  ->  T  e.  RR+ )
3231rpred 10541 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ph  ->  T  e.  RR )
3320, 32readdcld 9009 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ph  ->  ( U  +  T
)  e.  RR )
3433rexrd 9028 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ph  ->  ( U  +  T
)  e.  RR* )
35 ifcl 3690 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( B  e.  RR*  /\  ( U  +  T )  e.  RR* )  ->  if ( B  <_  ( U  +  T ) ,  B ,  ( U  +  T ) )  e.  RR* )
3630, 34, 35syl2anc 642 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ph  ->  if ( B  <_ 
( U  +  T
) ,  B , 
( U  +  T
) )  e.  RR* )
37 mnfxr 10607 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  -oo  e.  RR*
3837a1i 10 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ph  ->  -oo  e.  RR* )
39 mnflt 10615 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( U  e.  RR  ->  -oo  <  U )
4020, 39syl 15 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ph  ->  -oo  <  U )
4117simprd 449 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ph  ->  U  <  B )
4238, 21, 30, 40, 41xrlttrd 10642 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ph  ->  -oo  <  B )
43 mnflt 10615 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( U  +  T )  e.  RR  ->  -oo  <  ( U  +  T ) )
4433, 43syl 15 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ph  ->  -oo  <  ( U  +  T ) )
45 breq2 4129 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( B  =  if ( B  <_  ( U  +  T ) ,  B ,  ( U  +  T ) )  -> 
(  -oo  <  B  <->  -oo  <  if ( B  <_  ( U  +  T ) ,  B ,  ( U  +  T ) ) ) )
46 breq2 4129 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( U  +  T )  =  if ( B  <_  ( U  +  T ) ,  B ,  ( U  +  T ) )  -> 
(  -oo  <  ( U  +  T )  <->  -oo  <  if ( B  <_  ( U  +  T ) ,  B ,  ( U  +  T ) ) ) )
4745, 46ifboth 3685 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( 
-oo  <  B  /\  -oo  <  ( U  +  T
) )  ->  -oo  <  if ( B  <_  ( U  +  T ) ,  B ,  ( U  +  T ) ) )
4842, 44, 47syl2anc 642 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ph  ->  -oo  <  if ( B  <_  ( U  +  T ) ,  B ,  ( U  +  T ) ) )
49 xrmin2 10659 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( B  e.  RR*  /\  ( U  +  T )  e.  RR* )  ->  if ( B  <_  ( U  +  T ) ,  B ,  ( U  +  T ) )  <_  ( U  +  T ) )
5030, 34, 49syl2anc 642 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ph  ->  if ( B  <_ 
( U  +  T
) ,  B , 
( U  +  T
) )  <_  ( U  +  T )
)
51 xrre 10650 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( if ( B  <_  ( U  +  T ) ,  B ,  ( U  +  T ) )  e. 
RR*  /\  ( U  +  T )  e.  RR )  /\  (  -oo  <  if ( B  <_  ( U  +  T ) ,  B ,  ( U  +  T ) )  /\  if ( B  <_  ( U  +  T ) ,  B ,  ( U  +  T ) )  <_ 
( U  +  T
) ) )  ->  if ( B  <_  ( U  +  T ) ,  B ,  ( U  +  T ) )  e.  RR )
5236, 33, 48, 50, 51syl22anc 1184 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ph  ->  if ( B  <_ 
( U  +  T
) ,  B , 
( U  +  T
) )  e.  RR )
5320, 52readdcld 9009 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ph  ->  ( U  +  if ( B  <_  ( U  +  T ) ,  B ,  ( U  +  T ) ) )  e.  RR )
5453rehalfcld 10107 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ph  ->  ( ( U  +  if ( B  <_  ( U  +  T ) ,  B ,  ( U  +  T ) ) )  /  2 )  e.  RR )
5529, 54syl5eqel 2450 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ph  ->  S  e.  RR )
5620, 31ltaddrpd 10570 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ph  ->  U  <  ( U  +  T ) )
57 breq2 4129 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( B  =  if ( B  <_  ( U  +  T ) ,  B ,  ( U  +  T ) )  -> 
( U  <  B  <->  U  <  if ( B  <_  ( U  +  T ) ,  B ,  ( U  +  T ) ) ) )
58 breq2 4129 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( U  +  T )  =  if ( B  <_  ( U  +  T ) ,  B ,  ( U  +  T ) )  -> 
( U  <  ( U  +  T )  <->  U  <  if ( B  <_  ( U  +  T ) ,  B ,  ( U  +  T ) ) ) )
5957, 58ifboth 3685 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( U  <  B  /\  U  <  ( U  +  T ) )  ->  U  <  if ( B  <_  ( U  +  T ) ,  B ,  ( U  +  T ) ) )
6041, 56, 59syl2anc 642 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ph  ->  U  <  if ( B  <_  ( U  +  T ) ,  B ,  ( U  +  T ) ) )
61 avglt1 10098 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( U  e.  RR  /\  if ( B  <_  ( U  +  T ) ,  B ,  ( U  +  T ) )  e.  RR )  -> 
( U  <  if ( B  <_  ( U  +  T ) ,  B ,  ( U  +  T ) )  <-> 
U  <  ( ( U  +  if ( B  <_  ( U  +  T ) ,  B ,  ( U  +  T ) ) )  /  2 ) ) )
6220, 52, 61syl2anc 642 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ph  ->  ( U  <  if ( B  <_  ( U  +  T ) ,  B ,  ( U  +  T ) )  <-> 
U  <  ( ( U  +  if ( B  <_  ( U  +  T ) ,  B ,  ( U  +  T ) ) )  /  2 ) ) )
6360, 62mpbid 201 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ph  ->  U  <  ( ( U  +  if ( B  <_  ( U  +  T ) ,  B ,  ( U  +  T ) ) )  /  2 ) )
6463, 29syl6breqr 4165 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ph  ->  U  <  S )
6555rexrd 9028 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ph  ->  S  e.  RR* )
66 avglt2 10099 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( U  e.  RR  /\  if ( B  <_  ( U  +  T ) ,  B ,  ( U  +  T ) )  e.  RR )  -> 
( U  <  if ( B  <_  ( U  +  T ) ,  B ,  ( U  +  T ) )  <-> 
( ( U  +  if ( B  <_  ( U  +  T ) ,  B ,  ( U  +  T ) ) )  /  2 )  <  if ( B  <_  ( U  +  T ) ,  B ,  ( U  +  T ) ) ) )
6720, 52, 66syl2anc 642 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ph  ->  ( U  <  if ( B  <_  ( U  +  T ) ,  B ,  ( U  +  T ) )  <-> 
( ( U  +  if ( B  <_  ( U  +  T ) ,  B ,  ( U  +  T ) ) )  /  2 )  <  if ( B  <_  ( U  +  T ) ,  B ,  ( U  +  T ) ) ) )
6860, 67mpbid 201 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ph  ->  ( ( U  +  if ( B  <_  ( U  +  T ) ,  B ,  ( U  +  T ) ) )  /  2 )  <  if ( B  <_  ( U  +  T ) ,  B ,  ( U  +  T ) ) )
6929, 68syl5eqbr 4158 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ph  ->  S  <  if ( B  <_  ( U  +  T ) ,  B ,  ( U  +  T ) ) )
70 xrmin1 10658 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( B  e.  RR*  /\  ( U  +  T )  e.  RR* )  ->  if ( B  <_  ( U  +  T ) ,  B ,  ( U  +  T ) )  <_  B )
7130, 34, 70syl2anc 642 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ph  ->  if ( B  <_ 
( U  +  T
) ,  B , 
( U  +  T
) )  <_  B
)
7265, 36, 30, 69, 71xrltletrd 10644 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ph  ->  S  <  B )
73 elioo2 10850 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( U  e.  RR*  /\  B  e.  RR* )  ->  ( S  e.  ( U (,) B )  <->  ( S  e.  RR  /\  U  < 
S  /\  S  <  B ) ) )
7421, 30, 73syl2anc 642 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ph  ->  ( S  e.  ( U (,) B )  <-> 
( S  e.  RR  /\  U  <  S  /\  S  <  B ) ) )
7555, 64, 72, 74mpbir3and 1136 . . . . . . . . . 10  |-  ( ph  ->  S  e.  ( U (,) B ) )
7628, 75sseldd 3267 . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  S  e.  X )
7720, 64gtned 9101 . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  S  =/=  U )
78 eldifsn 3842 . . . . . . . . 9  |-  ( S  e.  ( X  \  { U } )  <->  ( S  e.  X  /\  S  =/= 
U ) )
7976, 77, 78sylanbrc 645 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  S  e.  ( X 
\  { U }
) )
80 dvferm1.l . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  A. z  e.  ( X  \  { U } ) ( ( z  =/=  U  /\  ( abs `  ( z  -  U ) )  <  T )  -> 
( abs `  (
( ( ( F `
 z )  -  ( F `  U ) )  /  ( z  -  U ) )  -  ( ( RR 
_D  F ) `  U ) ) )  <  ( ( RR 
_D  F ) `  U ) ) )
8120, 55, 64ltled 9114 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ph  ->  U  <_  S )
8220, 55, 81abssubge0d 12121 . . . . . . . . . 10  |-  ( ph  ->  ( abs `  ( S  -  U )
)  =  ( S  -  U ) )
8355, 52, 33, 69, 50ltletrd 9123 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ph  ->  S  <  ( U  +  T ) )
8455, 20, 32ltsubadd2d 9517 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ph  ->  ( ( S  -  U )  <  T  <->  S  <  ( U  +  T ) ) )
8583, 84mpbird 223 . . . . . . . . . 10  |-  ( ph  ->  ( S  -  U
)  <  T )
8682, 85eqbrtrd 4145 . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  ( abs `  ( S  -  U )
)  <  T )
8777, 86jca 518 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  ( S  =/=  U  /\  ( abs `  ( S  -  U )
)  <  T )
)
88 neeq1 2537 . . . . . . . . . . 11  |-  ( z  =  S  ->  (
z  =/=  U  <->  S  =/=  U ) )
89 oveq1 5988 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( z  =  S  ->  (
z  -  U )  =  ( S  -  U ) )
9089fveq2d 5636 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( z  =  S  ->  ( abs `  ( z  -  U ) )  =  ( abs `  ( S  -  U )
) )
9190breq1d 4135 . . . . . . . . . . 11  |-  ( z  =  S  ->  (
( abs `  (
z  -  U ) )  <  T  <->  ( abs `  ( S  -  U
) )  <  T
) )
9288, 91anbi12d 691 . . . . . . . . . 10  |-  ( z  =  S  ->  (
( z  =/=  U  /\  ( abs `  (
z  -  U ) )  <  T )  <-> 
( S  =/=  U  /\  ( abs `  ( S  -  U )
)  <  T )
) )
93 fveq2 5632 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( z  =  S  ->  ( F `  z )  =  ( F `  S ) )
9493oveq1d 5996 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( z  =  S  ->  (
( F `  z
)  -  ( F `
 U ) )  =  ( ( F `
 S )  -  ( F `  U ) ) )
9594, 89oveq12d 5999 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( z  =  S  ->  (
( ( F `  z )  -  ( F `  U )
)  /  ( z  -  U ) )  =  ( ( ( F `  S )  -  ( F `  U ) )  / 
( S  -  U
) ) )
9695oveq1d 5996 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( z  =  S  ->  (
( ( ( F `
 z )  -  ( F `  U ) )  /  ( z  -  U ) )  -  ( ( RR 
_D  F ) `  U ) )  =  ( ( ( ( F `  S )  -  ( F `  U ) )  / 
( S  -  U
) )  -  (
( RR  _D  F
) `  U )
) )
9796fveq2d 5636 . . . . . . . . . . 11  |-  ( z  =  S  ->  ( abs `  ( ( ( ( F `  z
)  -  ( F `
 U ) )  /  ( z  -  U ) )  -  ( ( RR  _D  F ) `  U
) ) )  =  ( abs `  (
( ( ( F `
 S )  -  ( F `  U ) )  /  ( S  -  U ) )  -  ( ( RR 
_D  F ) `  U ) ) ) )
9897breq1d 4135 . . . . . . . . . 10  |-  ( z  =  S  ->  (
( abs `  (
( ( ( F `
 z )  -  ( F `  U ) )  /  ( z  -  U ) )  -  ( ( RR 
_D  F ) `  U ) ) )  <  ( ( RR 
_D  F ) `  U )  <->  ( abs `  ( ( ( ( F `  S )  -  ( F `  U ) )  / 
( S  -  U
) )  -  (
( RR  _D  F
) `  U )
) )  <  (
( RR  _D  F
) `  U )
) )
9992, 98imbi12d 311 . . . . . . . . 9  |-  ( z  =  S  ->  (
( ( z  =/= 
U  /\  ( abs `  ( z  -  U
) )  <  T
)  ->  ( abs `  ( ( ( ( F `  z )  -  ( F `  U ) )  / 
( z  -  U
) )  -  (
( RR  _D  F
) `  U )
) )  <  (
( RR  _D  F
) `  U )
)  <->  ( ( S  =/=  U  /\  ( abs `  ( S  -  U ) )  < 
T )  ->  ( abs `  ( ( ( ( F `  S
)  -  ( F `
 U ) )  /  ( S  -  U ) )  -  ( ( RR  _D  F ) `  U
) ) )  < 
( ( RR  _D  F ) `  U
) ) ) )
10099rspcv 2965 . . . . . . . 8  |-  ( S  e.  ( X  \  { U } )  -> 
( A. z  e.  ( X  \  { U } ) ( ( z  =/=  U  /\  ( abs `  ( z  -  U ) )  <  T )  -> 
( abs `  (
( ( ( F `
 z )  -  ( F `  U ) )  /  ( z  -  U ) )  -  ( ( RR 
_D  F ) `  U ) ) )  <  ( ( RR 
_D  F ) `  U ) )  -> 
( ( S  =/= 
U  /\  ( abs `  ( S  -  U
) )  <  T
)  ->  ( abs `  ( ( ( ( F `  S )  -  ( F `  U ) )  / 
( S  -  U
) )  -  (
( RR  _D  F
) `  U )
) )  <  (
( RR  _D  F
) `  U )
) ) )
10179, 80, 87, 100syl3c 57 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  ( abs `  (
( ( ( F `
 S )  -  ( F `  U ) )  /  ( S  -  U ) )  -  ( ( RR 
_D  F ) `  U ) ) )  <  ( ( RR 
_D  F ) `  U ) )
102 ffvelrn 5770 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( F : X --> RR  /\  S  e.  X )  ->  ( F `  S
)  e.  RR )
1031, 76, 102syl2anc 642 . . . . . . . . . 10  |-  ( ph  ->  ( F `  S
)  e.  RR )
10427, 10sseldd 3267 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ph  ->  U  e.  X )
105 ffvelrn 5770 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( F : X --> RR  /\  U  e.  X )  ->  ( F `  U
)  e.  RR )
1061, 104, 105syl2anc 642 . . . . . . . . . 10  |-  ( ph  ->  ( F `  U
)  e.  RR )
107103, 106resubcld 9358 . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  ( ( F `  S )  -  ( F `  U )
)  e.  RR )
10855, 20resubcld 9358 . . . . . . . . . 10  |-  ( ph  ->  ( S  -  U
)  e.  RR )
10920, 55posdifd 9506 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ph  ->  ( U  <  S  <->  0  <  ( S  -  U ) ) )
11064, 109mpbid 201 . . . . . . . . . 10  |-  ( ph  ->  0  <  ( S  -  U ) )
111108, 110elrpd 10539 . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  ( S  -  U
)  e.  RR+ )
112107, 111rerpdivcld 10568 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  ( ( ( F `
 S )  -  ( F `  U ) )  /  ( S  -  U ) )  e.  RR )
113112, 7, 7absdifltd 12123 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  ( ( abs `  (
( ( ( F `
 S )  -  ( F `  U ) )  /  ( S  -  U ) )  -  ( ( RR 
_D  F ) `  U ) ) )  <  ( ( RR 
_D  F ) `  U )  <->  ( (
( ( RR  _D  F ) `  U
)  -  ( ( RR  _D  F ) `
 U ) )  <  ( ( ( F `  S )  -  ( F `  U ) )  / 
( S  -  U
) )  /\  (
( ( F `  S )  -  ( F `  U )
)  /  ( S  -  U ) )  <  ( ( ( RR  _D  F ) `
 U )  +  ( ( RR  _D  F ) `  U
) ) ) ) )
114101, 113mpbid 201 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  ( ( ( ( RR  _D  F ) `
 U )  -  ( ( RR  _D  F ) `  U
) )  <  (
( ( F `  S )  -  ( F `  U )
)  /  ( S  -  U ) )  /\  ( ( ( F `  S )  -  ( F `  U ) )  / 
( S  -  U
) )  <  (
( ( RR  _D  F ) `  U
)  +  ( ( RR  _D  F ) `
 U ) ) ) )
115114simpld 445 . . . . 5  |-  ( ph  ->  ( ( ( RR 
_D  F ) `  U )  -  (
( RR  _D  F
) `  U )
)  <  ( (
( F `  S
)  -  ( F `
 U ) )  /  ( S  -  U ) ) )
1169, 115eqbrtrrd 4147 . . . 4  |-  ( ph  ->  0  <  ( ( ( F `  S
)  -  ( F `
 U ) )  /  ( S  -  U ) ) )
117 gt0div 9769 . . . . 5  |-  ( ( ( ( F `  S )  -  ( F `  U )
)  e.  RR  /\  ( S  -  U
)  e.  RR  /\  0  <  ( S  -  U ) )  -> 
( 0  <  (
( F `  S
)  -  ( F `
 U ) )  <->  0  <  ( ( ( F `  S
)  -  ( F `
 U ) )  /  ( S  -  U ) ) ) )
118107, 108, 110, 117syl3anc 1183 . . . 4  |-  ( ph  ->  ( 0  <  (
( F `  S
)  -  ( F `
 U ) )  <->  0  <  ( ( ( F `  S
)  -  ( F `
 U ) )  /  ( S  -  U ) ) ) )
119116, 118mpbird 223 . . 3  |-  ( ph  ->  0  <  ( ( F `  S )  -  ( F `  U ) ) )
120106, 103posdifd 9506 . . 3  |-  ( ph  ->  ( ( F `  U )  <  ( F `  S )  <->  0  <  ( ( F `
 S )  -  ( F `  U ) ) ) )
121119, 120mpbird 223 . 2  |-  ( ph  ->  ( F `  U
)  <  ( F `  S ) )
122 dvferm1.r . . . 4  |-  ( ph  ->  A. y  e.  ( U (,) B ) ( F `  y
)  <_  ( F `  U ) )
123 fveq2 5632 . . . . . 6  |-  ( y  =  S  ->  ( F `  y )  =  ( F `  S ) )
124123breq1d 4135 . . . . 5  |-  ( y  =  S  ->  (
( F `  y
)  <_  ( F `  U )  <->  ( F `  S )  <_  ( F `  U )
) )
125124rspcv 2965 . . . 4  |-  ( S  e.  ( U (,) B )  ->  ( A. y  e.  ( U (,) B ) ( F `  y )  <_  ( F `  U )  ->  ( F `  S )  <_  ( F `  U
) ) )
12675, 122, 125sylc 56 . . 3  |-  ( ph  ->  ( F `  S
)  <_  ( F `  U ) )
127103, 106lenltd 9112 . . 3  |-  ( ph  ->  ( ( F `  S )  <_  ( F `  U )  <->  -.  ( F `  U
)  <  ( F `  S ) ) )
128126, 127mpbid 201 . 2  |-  ( ph  ->  -.  ( F `  U )  <  ( F `  S )
)
129121, 128pm2.65i 165 1  |-  -.  ph
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:   -. wn 3    -> wi 4    <-> wb 176    /\ wa 358    /\ w3a 935    = wceq 1647    e. wcel 1715    =/= wne 2529   A.wral 2628    \ cdif 3235    C_ wss 3238   (/)c0 3543   ifcif 3654   {csn 3729   class class class wbr 4125   dom cdm 4792   -->wf 5354   ` cfv 5358  (class class class)co 5981   RRcr 8883   0cc0 8884    + caddc 8887    -oocmnf 9012   RR*cxr 9013    < clt 9014    <_ cle 9015    - cmin 9184    / cdiv 9570   2c2 9942   RR+crp 10505   (,)cioo 10809   abscabs 11926    _D cdv 19428
This theorem is referenced by:  dvferm1  19547
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1551  ax-5 1562  ax-17 1621  ax-9 1659  ax-8 1680  ax-13 1717  ax-14 1719  ax-6 1734  ax-7 1739  ax-11 1751  ax-12 1937  ax-ext 2347  ax-rep 4233  ax-sep 4243  ax-nul 4251  ax-pow 4290  ax-pr 4316  ax-un 4615  ax-cnex 8940  ax-resscn 8941  ax-1cn 8942  ax-icn 8943  ax-addcl 8944  ax-addrcl 8945  ax-mulcl 8946  ax-mulrcl 8947  ax-mulcom 8948  ax-addass 8949  ax-mulass 8950  ax-distr 8951  ax-i2m1 8952  ax-1ne0 8953  ax-1rid 8954  ax-rnegex 8955  ax-rrecex 8956  ax-cnre 8957  ax-pre-lttri 8958  ax-pre-lttrn 8959  ax-pre-ltadd 8960  ax-pre-mulgt0 8961  ax-pre-sup 8962
This theorem depends on definitions:  df-bi 177  df-or 359  df-an 360  df-3or 936  df-3an 937  df-tru 1324  df-ex 1547  df-nf 1550  df-sb 1654  df-eu 2221  df-mo 2222  df-clab 2353  df-cleq 2359  df-clel 2362  df-nfc 2491  df-ne 2531  df-nel 2532  df-ral 2633  df-rex 2634  df-reu 2635  df-rmo 2636  df-rab 2637  df-v 2875  df-sbc 3078  df-csb 3168  df-dif 3241  df-un 3243  df-in 3245  df-ss 3252  df-pss 3254  df-nul 3544  df-if 3655  df-pw 3716  df-sn 3735  df-pr 3736  df-tp 3737  df-op 3738  df-uni 3930  df-int 3965  df-iun 4009  df-iin 4010  df-br 4126  df-opab 4180  df-mpt 4181  df-tr 4216  df-eprel 4408  df-id 4412  df-po 4417  df-so 4418  df-fr 4455  df-we 4457  df-ord 4498  df-on 4499  df-lim 4500  df-suc 4501  df-om 4760  df-xp 4798  df-rel 4799  df-cnv 4800  df-co 4801  df-dm 4802  df-rn 4803  df-res 4804  df-ima 4805  df-iota 5322  df-fun 5360  df-fn 5361  df-f 5362  df-f1 5363  df-fo 5364  df-f1o 5365  df-fv 5366  df-ov 5984  df-oprab 5985  df-mpt2 5986  df-1st 6249  df-2nd 6250  df-riota 6446  df-recs 6530  df-rdg 6565  df-1o 6621  df-oadd 6625  df-er 6802  df-map 6917  df-pm 6918  df-en 7007  df-dom 7008  df-sdom 7009  df-fin 7010  df-fi 7312  df-sup 7341  df-pnf 9016  df-mnf 9017  df-xr 9018  df-ltxr 9019  df-le 9020  df-sub 9186  df-neg 9187  df-div 9571  df-nn 9894  df-2 9951  df-3 9952  df-4 9953  df-5 9954  df-6 9955  df-7 9956  df-8 9957  df-9 9958  df-10 9959  df-n0 10115  df-z 10176  df-dec 10276  df-uz 10382  df-q 10468  df-rp 10506  df-xneg 10603  df-xadd 10604  df-xmul 10605  df-ioo 10813  df-icc 10816  df-fz 10936  df-seq 11211  df-exp 11270  df-cj 11791  df-re 11792  df-im 11793  df-sqr 11927  df-abs 11928  df-struct 13358  df-ndx 13359  df-slot 13360  df-base 13361  df-plusg 13429  df-mulr 13430  df-starv 13431  df-tset 13435  df-ple 13436  df-ds 13438  df-unif 13439  df-rest 13537  df-topn 13538  df-topgen 13554  df-xmet 16586  df-met 16587  df-bl 16588  df-mopn 16589  df-fbas 16590  df-fg 16591  df-cnfld 16594  df-top 16853  df-bases 16855  df-topon 16856  df-topsp 16857  df-cld 16973  df-ntr 16974  df-cls 16975  df-nei 17052  df-lp 17085  df-perf 17086  df-cn 17174  df-cnp 17175  df-haus 17260  df-fil 17754  df-fm 17846  df-flim 17847  df-flf 17848  df-xms 18098  df-ms 18099  df-cncf 18596  df-limc 19431  df-dv 19432
  Copyright terms: Public domain W3C validator