Metamath Proof Explorer < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  dvferm2 Unicode version

Theorem dvferm2 19432
 Description: One-sided version of dvferm 19433. A point which is the local maximum of its left neighborhood has derivative at least zero. (Contributed by Mario Carneiro, 24-Feb-2015.) (Proof shortened by Mario Carneiro, 28-Dec-2016.)
Hypotheses
Ref Expression
dvferm.a
dvferm.b
dvferm.u
dvferm.s
dvferm.d
dvferm2.r
Assertion
Ref Expression
dvferm2
Distinct variable groups:   ,   ,   ,   ,   ,   ,

Proof of Theorem dvferm2
Dummy variables are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 dvferm.a . . . . . . . . 9
2 dvferm.b . . . . . . . . 9
3 dvfre 19398 . . . . . . . . 9
41, 2, 3syl2anc 642 . . . . . . . 8
5 dvferm.d . . . . . . . 8
6 ffvelrn 5743 . . . . . . . 8
74, 5, 6syl2anc 642 . . . . . . 7
87adantr 451 . . . . . 6
98renegcld 9297 . . . . 5
107lt0neg1d 9429 . . . . . 6
1110biimpa 470 . . . . 5
129, 11elrpd 10477 . . . 4
13 dvf 19355 . . . . . . . . . . 11
14 ffun 5471 . . . . . . . . . . 11
15 funfvbrb 5718 . . . . . . . . . . 11
1613, 14, 15mp2b 9 . . . . . . . . . 10
175, 16sylib 188 . . . . . . . . 9
18 eqid 2358 . . . . . . . . . 10 fldt fldt
19 eqid 2358 . . . . . . . . . 10 fld fld
20 eqid 2358 . . . . . . . . . 10
21 ax-resscn 8881 . . . . . . . . . . 11
2221a1i 10 . . . . . . . . . 10
23 fss 5477 . . . . . . . . . . 11
241, 21, 23sylancl 643 . . . . . . . . . 10
2518, 19, 20, 22, 24, 2eldv 19346 . . . . . . . . 9 fldt lim
2617, 25mpbid 201 . . . . . . . 8 fldt lim
2726simprd 449 . . . . . . 7 lim
2827adantr 451 . . . . . 6 lim
292, 21syl6ss 3267 . . . . . . . . . 10
30 dvferm.s . . . . . . . . . . 11
31 dvferm.u . . . . . . . . . . 11
3230, 31sseldd 3257 . . . . . . . . . 10
3324, 29, 32dvlem 19344 . . . . . . . . 9
3433, 20fmptd 5764 . . . . . . . 8
3534adantr 451 . . . . . . 7
36 difss 3379 . . . . . . . 8
3729adantr 451 . . . . . . . 8
3836, 37syl5ss 3266 . . . . . . 7
3929, 32sseldd 3257 . . . . . . . 8
4039adantr 451 . . . . . . 7
4135, 38, 40ellimc3 19327 . . . . . 6 lim
4228, 41mpbid 201 . . . . 5
4342simprd 449 . . . 4
44 fveq2 5605 . . . . . . . . . . . . . 14
4544oveq1d 5957 . . . . . . . . . . . . 13
46 oveq1 5949 . . . . . . . . . . . . 13
4745, 46oveq12d 5960 . . . . . . . . . . . 12
48 ovex 5967 . . . . . . . . . . . 12
4947, 20, 48fvmpt 5682 . . . . . . . . . . 11
5049oveq1d 5957 . . . . . . . . . 10
5150fveq2d 5609 . . . . . . . . 9
52 id 19 . . . . . . . . 9
5351, 52breqan12rd 4118 . . . . . . . 8
5453imbi2d 307 . . . . . . 7
5554ralbidva 2635 . . . . . 6
5655rexbidv 2640 . . . . 5
5756rspcv 2956 . . . 4
5812, 43, 57sylc 56 . . 3
591ad3antrrr 710 . . . . . 6
602ad3antrrr 710 . . . . . 6
6131ad3antrrr 710 . . . . . 6
6230ad3antrrr 710 . . . . . 6
635ad3antrrr 710 . . . . . 6
64 dvferm2.r . . . . . . 7
6564ad3antrrr 710 . . . . . 6
66 simpllr 735 . . . . . 6
67 simplr 731 . . . . . 6
68 simpr 447 . . . . . 6
69 eqid 2358 . . . . . 6
7059, 60, 61, 62, 63, 65, 66, 67, 68, 69dvferm2lem 19431 . . . . 5
7170imnani 412 . . . 4
7271nrexdv 2722 . . 3
7358, 72pm2.65da 559 . 2
74 0re 8925 . . 3
75 lenlt 8988 . . 3
7674, 7, 75sylancr 644 . 2
7773, 76mpbird 223 1
 Colors of variables: wff set class Syntax hints:   wn 3   wi 4   wb 176   wa 358   wceq 1642   wcel 1710   wne 2521  wral 2619  wrex 2620   cdif 3225   wss 3228  cif 3641  csn 3716   class class class wbr 4102   cmpt 4156   cdm 4768   wfun 5328  wf 5330  cfv 5334  (class class class)co 5942  cc 8822  cr 8823  cc0 8824   caddc 8827   clt 8954   cle 8955   cmin 9124  cneg 9125   cdiv 9510  c2 9882  crp 10443  cioo 10745  cabs 11809   ↾t crest 13418  ctopn 13419  ℂfldccnfld 16476  cnt 16854   lim climc 19310   cdv 19311 This theorem is referenced by:  dvferm  19433  dvivthlem1  19453 This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1546  ax-5 1557  ax-17 1616  ax-9 1654  ax-8 1675  ax-13 1712  ax-14 1714  ax-6 1729  ax-7 1734  ax-11 1746  ax-12 1930  ax-ext 2339  ax-rep 4210  ax-sep 4220  ax-nul 4228  ax-pow 4267  ax-pr 4293  ax-un 4591  ax-cnex 8880  ax-resscn 8881  ax-1cn 8882  ax-icn 8883  ax-addcl 8884  ax-addrcl 8885  ax-mulcl 8886  ax-mulrcl 8887  ax-mulcom 8888  ax-addass 8889  ax-mulass 8890  ax-distr 8891  ax-i2m1 8892  ax-1ne0 8893  ax-1rid 8894  ax-rnegex 8895  ax-rrecex 8896  ax-cnre 8897  ax-pre-lttri 8898  ax-pre-lttrn 8899  ax-pre-ltadd 8900  ax-pre-mulgt0 8901  ax-pre-sup 8902 This theorem depends on definitions:  df-bi 177  df-or 359  df-an 360  df-3or 935  df-3an 936  df-tru 1319  df-ex 1542  df-nf 1545  df-sb 1649  df-eu 2213  df-mo 2214  df-clab 2345  df-cleq 2351  df-clel 2354  df-nfc 2483  df-ne 2523  df-nel 2524  df-ral 2624  df-rex 2625  df-reu 2626  df-rmo 2627  df-rab 2628  df-v 2866  df-sbc 3068  df-csb 3158  df-dif 3231  df-un 3233  df-in 3235  df-ss 3242  df-pss 3244  df-nul 3532  df-if 3642  df-pw 3703  df-sn 3722  df-pr 3723  df-tp 3724  df-op 3725  df-uni 3907  df-int 3942  df-iun 3986  df-iin 3987  df-br 4103  df-opab 4157  df-mpt 4158  df-tr 4193  df-eprel 4384  df-id 4388  df-po 4393  df-so 4394  df-fr 4431  df-we 4433  df-ord 4474  df-on 4475  df-lim 4476  df-suc 4477  df-om 4736  df-xp 4774  df-rel 4775  df-cnv 4776  df-co 4777  df-dm 4778  df-rn 4779  df-res 4780  df-ima 4781  df-iota 5298  df-fun 5336  df-fn 5337  df-f 5338  df-f1 5339  df-fo 5340  df-f1o 5341  df-fv 5342  df-ov 5945  df-oprab 5946  df-mpt2 5947  df-1st 6206  df-2nd 6207  df-riota 6388  df-recs 6472  df-rdg 6507  df-1o 6563  df-oadd 6567  df-er 6744  df-map 6859  df-pm 6860  df-en 6949  df-dom 6950  df-sdom 6951  df-fin 6952  df-fi 7252  df-sup 7281  df-pnf 8956  df-mnf 8957  df-xr 8958  df-ltxr 8959  df-le 8960  df-sub 9126  df-neg 9127  df-div 9511  df-nn 9834  df-2 9891  df-3 9892  df-4 9893  df-5 9894  df-6 9895  df-7 9896  df-8 9897  df-9 9898  df-10 9899  df-n0 10055  df-z 10114  df-dec 10214  df-uz 10320  df-q 10406  df-rp 10444  df-xneg 10541  df-xadd 10542  df-xmul 10543  df-ioo 10749  df-icc 10752  df-fz 10872  df-seq 11136  df-exp 11195  df-cj 11674  df-re 11675  df-im 11676  df-sqr 11810  df-abs 11811  df-struct 13241  df-ndx 13242  df-slot 13243  df-base 13244  df-plusg 13312  df-mulr 13313  df-starv 13314  df-tset 13318  df-ple 13319  df-ds 13321  df-unif 13322  df-rest 13420  df-topn 13421  df-topgen 13437  df-xmet 16469  df-met 16470  df-bl 16471  df-mopn 16472  df-fbas 16473  df-fg 16474  df-cnfld 16477  df-top 16736  df-bases 16738  df-topon 16739  df-topsp 16740  df-cld 16856  df-ntr 16857  df-cls 16858  df-nei 16935  df-lp 16968  df-perf 16969  df-cn 17057  df-cnp 17058  df-haus 17143  df-fil 17637  df-fm 17729  df-flim 17730  df-flf 17731  df-xms 17981  df-ms 17982  df-cncf 18479  df-limc 19314  df-dv 19315
 Copyright terms: Public domain W3C validator