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Theorem dvferm2lem 19831
Description: Lemma for dvferm 19833. (Contributed by Mario Carneiro, 24-Feb-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
dvferm.a  |-  ( ph  ->  F : X --> RR )
dvferm.b  |-  ( ph  ->  X  C_  RR )
dvferm.u  |-  ( ph  ->  U  e.  ( A (,) B ) )
dvferm.s  |-  ( ph  ->  ( A (,) B
)  C_  X )
dvferm.d  |-  ( ph  ->  U  e.  dom  ( RR  _D  F ) )
dvferm2.r  |-  ( ph  ->  A. y  e.  ( A (,) U ) ( F `  y
)  <_  ( F `  U ) )
dvferm2.z  |-  ( ph  ->  ( ( RR  _D  F ) `  U
)  <  0 )
dvferm2.t  |-  ( ph  ->  T  e.  RR+ )
dvferm2.l  |-  ( ph  ->  A. z  e.  ( X  \  { U } ) ( ( z  =/=  U  /\  ( abs `  ( z  -  U ) )  <  T )  -> 
( abs `  (
( ( ( F `
 z )  -  ( F `  U ) )  /  ( z  -  U ) )  -  ( ( RR 
_D  F ) `  U ) ) )  <  -u ( ( RR 
_D  F ) `  U ) ) )
dvferm2.x  |-  S  =  ( ( if ( A  <_  ( U  -  T ) ,  ( U  -  T ) ,  A )  +  U )  /  2
)
Assertion
Ref Expression
dvferm2lem  |-  -.  ph
Distinct variable groups:    y, z, A    y, B, z    y, F, z    y, U, z   
y, X, z    ph, y    y, S, z    z, T
Allowed substitution hints:    ph( z)    T( y)

Proof of Theorem dvferm2lem
StepHypRef Expression
1 dvferm.u . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ph  ->  U  e.  ( A (,) B ) )
2 ne0i 3602 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( U  e.  ( A (,) B )  ->  ( A (,) B )  =/=  (/) )
3 ndmioo 10907 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( -.  ( A  e.  RR*  /\  B  e.  RR* )  ->  ( A (,) B
)  =  (/) )
43necon1ai 2617 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( A (,) B )  =/=  (/)  ->  ( A  e.  RR*  /\  B  e. 
RR* ) )
51, 2, 43syl 19 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ph  ->  ( A  e.  RR*  /\  B  e.  RR* )
)
65simprd 450 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ph  ->  B  e.  RR* )
7 eliooord 10934 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( U  e.  ( A (,) B )  ->  ( A  <  U  /\  U  <  B ) )
81, 7syl 16 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ph  ->  ( A  <  U  /\  U  <  B ) )
98simprd 450 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ph  ->  U  <  B )
10 ioossre 10936 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( A (,) B )  C_  RR
1110, 1sseldi 3314 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ph  ->  U  e.  RR )
1211rexrd 9098 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ph  ->  U  e.  RR* )
13 xrltle 10706 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( U  e.  RR*  /\  B  e.  RR* )  ->  ( U  <  B  ->  U  <_  B ) )
1412, 6, 13syl2anc 643 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ph  ->  ( U  <  B  ->  U  <_  B )
)
159, 14mpd 15 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ph  ->  U  <_  B )
16 iooss2 10916 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( B  e.  RR*  /\  U  <_  B )  ->  ( A (,) U )  C_  ( A (,) B ) )
176, 15, 16syl2anc 643 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ph  ->  ( A (,) U
)  C_  ( A (,) B ) )
18 dvferm.s . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ph  ->  ( A (,) B
)  C_  X )
1917, 18sstrd 3326 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ph  ->  ( A (,) U
)  C_  X )
20 dvferm2.x . . . . . . . . . . . . . 14  |-  S  =  ( ( if ( A  <_  ( U  -  T ) ,  ( U  -  T ) ,  A )  +  U )  /  2
)
21 mnfxr 10678 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  -oo  e.  RR*
2221a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ph  ->  -oo  e.  RR* )
23 dvferm2.t . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( ph  ->  T  e.  RR+ )
2423rpred 10612 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( ph  ->  T  e.  RR )
2511, 24resubcld 9429 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ph  ->  ( U  -  T
)  e.  RR )
2625rexrd 9098 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ph  ->  ( U  -  T
)  e.  RR* )
275simpld 446 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ph  ->  A  e.  RR* )
28 ifcl 3743 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( ( U  -  T
)  e.  RR*  /\  A  e.  RR* )  ->  if ( A  <_  ( U  -  T ) ,  ( U  -  T
) ,  A )  e.  RR* )
2926, 27, 28syl2anc 643 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ph  ->  if ( A  <_ 
( U  -  T
) ,  ( U  -  T ) ,  A )  e.  RR* )
30 mnflt 10686 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ( U  -  T )  e.  RR  ->  -oo  <  ( U  -  T ) )
3125, 30syl 16 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ph  ->  -oo  <  ( U  -  T ) )
32 xrmax2 10728 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ( A  e.  RR*  /\  ( U  -  T )  e.  RR* )  ->  ( U  -  T )  <_  if ( A  <_ 
( U  -  T
) ,  ( U  -  T ) ,  A ) )
3327, 26, 32syl2anc 643 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ph  ->  ( U  -  T
)  <_  if ( A  <_  ( U  -  T ) ,  ( U  -  T ) ,  A ) )
3422, 26, 29, 31, 33xrltletrd 10715 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ph  ->  -oo  <  if ( A  <_  ( U  -  T ) ,  ( U  -  T ) ,  A ) )
3511, 23ltsubrpd 10640 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ph  ->  ( U  -  T
)  <  U )
368simpld 446 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ph  ->  A  <  U )
37 breq1 4183 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ( U  -  T )  =  if ( A  <_  ( U  -  T ) ,  ( U  -  T ) ,  A )  -> 
( ( U  -  T )  <  U  <->  if ( A  <_  ( U  -  T ) ,  ( U  -  T ) ,  A
)  <  U )
)
38 breq1 4183 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( A  =  if ( A  <_  ( U  -  T ) ,  ( U  -  T ) ,  A )  -> 
( A  <  U  <->  if ( A  <_  ( U  -  T ) ,  ( U  -  T ) ,  A
)  <  U )
)
3937, 38ifboth 3738 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( ( U  -  T
)  <  U  /\  A  <  U )  ->  if ( A  <_  ( U  -  T ) ,  ( U  -  T ) ,  A
)  <  U )
4035, 36, 39syl2anc 643 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ph  ->  if ( A  <_ 
( U  -  T
) ,  ( U  -  T ) ,  A )  <  U
)
41 xrre2 10722 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( (  -oo  e.  RR*  /\  if ( A  <_ 
( U  -  T
) ,  ( U  -  T ) ,  A )  e.  RR*  /\  U  e.  RR* )  /\  (  -oo  <  if ( A  <_  ( U  -  T ) ,  ( U  -  T
) ,  A )  /\  if ( A  <_  ( U  -  T ) ,  ( U  -  T ) ,  A )  < 
U ) )  ->  if ( A  <_  ( U  -  T ) ,  ( U  -  T ) ,  A
)  e.  RR )
4222, 29, 12, 34, 40, 41syl32anc 1192 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ph  ->  if ( A  <_ 
( U  -  T
) ,  ( U  -  T ) ,  A )  e.  RR )
4342, 11readdcld 9079 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ph  ->  ( if ( A  <_  ( U  -  T ) ,  ( U  -  T ) ,  A )  +  U )  e.  RR )
4443rehalfcld 10178 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ph  ->  ( ( if ( A  <_  ( U  -  T ) ,  ( U  -  T ) ,  A )  +  U )  /  2
)  e.  RR )
4520, 44syl5eqel 2496 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ph  ->  S  e.  RR )
4645rexrd 9098 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ph  ->  S  e.  RR* )
47 xrmax1 10727 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( A  e.  RR*  /\  ( U  -  T )  e.  RR* )  ->  A  <_  if ( A  <_ 
( U  -  T
) ,  ( U  -  T ) ,  A ) )
4827, 26, 47syl2anc 643 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ph  ->  A  <_  if ( A  <_  ( U  -  T ) ,  ( U  -  T ) ,  A ) )
49 avglt1 10169 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( if ( A  <_ 
( U  -  T
) ,  ( U  -  T ) ,  A )  e.  RR  /\  U  e.  RR )  ->  ( if ( A  <_  ( U  -  T ) ,  ( U  -  T ) ,  A )  < 
U  <->  if ( A  <_ 
( U  -  T
) ,  ( U  -  T ) ,  A )  <  (
( if ( A  <_  ( U  -  T ) ,  ( U  -  T ) ,  A )  +  U )  /  2
) ) )
5042, 11, 49syl2anc 643 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ph  ->  ( if ( A  <_  ( U  -  T ) ,  ( U  -  T ) ,  A )  < 
U  <->  if ( A  <_ 
( U  -  T
) ,  ( U  -  T ) ,  A )  <  (
( if ( A  <_  ( U  -  T ) ,  ( U  -  T ) ,  A )  +  U )  /  2
) ) )
5140, 50mpbid 202 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ph  ->  if ( A  <_ 
( U  -  T
) ,  ( U  -  T ) ,  A )  <  (
( if ( A  <_  ( U  -  T ) ,  ( U  -  T ) ,  A )  +  U )  /  2
) )
5251, 20syl6breqr 4220 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ph  ->  if ( A  <_ 
( U  -  T
) ,  ( U  -  T ) ,  A )  <  S
)
5327, 29, 46, 48, 52xrlelttrd 10714 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ph  ->  A  <  S )
54 avglt2 10170 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( if ( A  <_ 
( U  -  T
) ,  ( U  -  T ) ,  A )  e.  RR  /\  U  e.  RR )  ->  ( if ( A  <_  ( U  -  T ) ,  ( U  -  T ) ,  A )  < 
U  <->  ( ( if ( A  <_  ( U  -  T ) ,  ( U  -  T ) ,  A
)  +  U )  /  2 )  < 
U ) )
5542, 11, 54syl2anc 643 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ph  ->  ( if ( A  <_  ( U  -  T ) ,  ( U  -  T ) ,  A )  < 
U  <->  ( ( if ( A  <_  ( U  -  T ) ,  ( U  -  T ) ,  A
)  +  U )  /  2 )  < 
U ) )
5640, 55mpbid 202 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ph  ->  ( ( if ( A  <_  ( U  -  T ) ,  ( U  -  T ) ,  A )  +  U )  /  2
)  <  U )
5720, 56syl5eqbr 4213 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ph  ->  S  <  U )
58 elioo2 10921 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( A  e.  RR*  /\  U  e.  RR* )  ->  ( S  e.  ( A (,) U )  <->  ( S  e.  RR  /\  A  < 
S  /\  S  <  U ) ) )
5927, 12, 58syl2anc 643 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ph  ->  ( S  e.  ( A (,) U )  <-> 
( S  e.  RR  /\  A  <  S  /\  S  <  U ) ) )
6045, 53, 57, 59mpbir3and 1137 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ph  ->  S  e.  ( A (,) U ) )
6119, 60sseldd 3317 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ph  ->  S  e.  X )
6245, 57ltned 9173 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ph  ->  S  =/=  U )
63 eldifsn 3895 . . . . . . . . . . 11  |-  ( S  e.  ( X  \  { U } )  <->  ( S  e.  X  /\  S  =/= 
U ) )
6461, 62, 63sylanbrc 646 . . . . . . . . . 10  |-  ( ph  ->  S  e.  ( X 
\  { U }
) )
65 dvferm2.l . . . . . . . . . 10  |-  ( ph  ->  A. z  e.  ( X  \  { U } ) ( ( z  =/=  U  /\  ( abs `  ( z  -  U ) )  <  T )  -> 
( abs `  (
( ( ( F `
 z )  -  ( F `  U ) )  /  ( z  -  U ) )  -  ( ( RR 
_D  F ) `  U ) ) )  <  -u ( ( RR 
_D  F ) `  U ) ) )
6645, 11, 57ltled 9185 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ph  ->  S  <_  U )
6745, 11, 66abssuble0d 12198 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ph  ->  ( abs `  ( S  -  U )
)  =  ( U  -  S ) )
6825, 42, 45, 33, 52lelttrd 9192 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ph  ->  ( U  -  T
)  <  S )
6911, 24, 45, 68ltsub23d 9595 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ph  ->  ( U  -  S
)  <  T )
7067, 69eqbrtrd 4200 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ph  ->  ( abs `  ( S  -  U )
)  <  T )
7162, 70jca 519 . . . . . . . . . 10  |-  ( ph  ->  ( S  =/=  U  /\  ( abs `  ( S  -  U )
)  <  T )
)
72 neeq1 2583 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( z  =  S  ->  (
z  =/=  U  <->  S  =/=  U ) )
73 oveq1 6055 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( z  =  S  ->  (
z  -  U )  =  ( S  -  U ) )
7473fveq2d 5699 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( z  =  S  ->  ( abs `  ( z  -  U ) )  =  ( abs `  ( S  -  U )
) )
7574breq1d 4190 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( z  =  S  ->  (
( abs `  (
z  -  U ) )  <  T  <->  ( abs `  ( S  -  U
) )  <  T
) )
7672, 75anbi12d 692 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( z  =  S  ->  (
( z  =/=  U  /\  ( abs `  (
z  -  U ) )  <  T )  <-> 
( S  =/=  U  /\  ( abs `  ( S  -  U )
)  <  T )
) )
77 fveq2 5695 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( z  =  S  ->  ( F `  z )  =  ( F `  S ) )
7877oveq1d 6063 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( z  =  S  ->  (
( F `  z
)  -  ( F `
 U ) )  =  ( ( F `
 S )  -  ( F `  U ) ) )
7978, 73oveq12d 6066 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( z  =  S  ->  (
( ( F `  z )  -  ( F `  U )
)  /  ( z  -  U ) )  =  ( ( ( F `  S )  -  ( F `  U ) )  / 
( S  -  U
) ) )
8079oveq1d 6063 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( z  =  S  ->  (
( ( ( F `
 z )  -  ( F `  U ) )  /  ( z  -  U ) )  -  ( ( RR 
_D  F ) `  U ) )  =  ( ( ( ( F `  S )  -  ( F `  U ) )  / 
( S  -  U
) )  -  (
( RR  _D  F
) `  U )
) )
8180fveq2d 5699 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( z  =  S  ->  ( abs `  ( ( ( ( F `  z
)  -  ( F `
 U ) )  /  ( z  -  U ) )  -  ( ( RR  _D  F ) `  U
) ) )  =  ( abs `  (
( ( ( F `
 S )  -  ( F `  U ) )  /  ( S  -  U ) )  -  ( ( RR 
_D  F ) `  U ) ) ) )
8281breq1d 4190 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( z  =  S  ->  (
( abs `  (
( ( ( F `
 z )  -  ( F `  U ) )  /  ( z  -  U ) )  -  ( ( RR 
_D  F ) `  U ) ) )  <  -u ( ( RR 
_D  F ) `  U )  <->  ( abs `  ( ( ( ( F `  S )  -  ( F `  U ) )  / 
( S  -  U
) )  -  (
( RR  _D  F
) `  U )
) )  <  -u (
( RR  _D  F
) `  U )
) )
8376, 82imbi12d 312 . . . . . . . . . . 11  |-  ( z  =  S  ->  (
( ( z  =/= 
U  /\  ( abs `  ( z  -  U
) )  <  T
)  ->  ( abs `  ( ( ( ( F `  z )  -  ( F `  U ) )  / 
( z  -  U
) )  -  (
( RR  _D  F
) `  U )
) )  <  -u (
( RR  _D  F
) `  U )
)  <->  ( ( S  =/=  U  /\  ( abs `  ( S  -  U ) )  < 
T )  ->  ( abs `  ( ( ( ( F `  S
)  -  ( F `
 U ) )  /  ( S  -  U ) )  -  ( ( RR  _D  F ) `  U
) ) )  <  -u ( ( RR  _D  F ) `  U
) ) ) )
8483rspcv 3016 . . . . . . . . . 10  |-  ( S  e.  ( X  \  { U } )  -> 
( A. z  e.  ( X  \  { U } ) ( ( z  =/=  U  /\  ( abs `  ( z  -  U ) )  <  T )  -> 
( abs `  (
( ( ( F `
 z )  -  ( F `  U ) )  /  ( z  -  U ) )  -  ( ( RR 
_D  F ) `  U ) ) )  <  -u ( ( RR 
_D  F ) `  U ) )  -> 
( ( S  =/= 
U  /\  ( abs `  ( S  -  U
) )  <  T
)  ->  ( abs `  ( ( ( ( F `  S )  -  ( F `  U ) )  / 
( S  -  U
) )  -  (
( RR  _D  F
) `  U )
) )  <  -u (
( RR  _D  F
) `  U )
) ) )
8564, 65, 71, 84syl3c 59 . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  ( abs `  (
( ( ( F `
 S )  -  ( F `  U ) )  /  ( S  -  U ) )  -  ( ( RR 
_D  F ) `  U ) ) )  <  -u ( ( RR 
_D  F ) `  U ) )
86 dvferm.a . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ph  ->  F : X --> RR )
8786, 61ffvelrnd 5838 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ph  ->  ( F `  S
)  e.  RR )
8818, 1sseldd 3317 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ph  ->  U  e.  X )
8986, 88ffvelrnd 5838 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ph  ->  ( F `  U
)  e.  RR )
9087, 89resubcld 9429 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ph  ->  ( ( F `  S )  -  ( F `  U )
)  e.  RR )
9145, 11resubcld 9429 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ph  ->  ( S  -  U
)  e.  RR )
9245recnd 9078 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ph  ->  S  e.  CC )
9311recnd 9078 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ph  ->  U  e.  CC )
9492, 93, 62subne0d 9384 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ph  ->  ( S  -  U
)  =/=  0 )
9590, 91, 94redivcld 9806 . . . . . . . . . 10  |-  ( ph  ->  ( ( ( F `
 S )  -  ( F `  U ) )  /  ( S  -  U ) )  e.  RR )
96 dvferm.b . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ph  ->  X  C_  RR )
97 dvfre 19798 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( F : X --> RR  /\  X  C_  RR )  -> 
( RR  _D  F
) : dom  ( RR  _D  F ) --> RR )
9886, 96, 97syl2anc 643 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ph  ->  ( RR  _D  F
) : dom  ( RR  _D  F ) --> RR )
99 dvferm.d . . . . . . . . . . 11  |-  ( ph  ->  U  e.  dom  ( RR  _D  F ) )
10098, 99ffvelrnd 5838 . . . . . . . . . 10  |-  ( ph  ->  ( ( RR  _D  F ) `  U
)  e.  RR )
101100renegcld 9428 . . . . . . . . . 10  |-  ( ph  -> 
-u ( ( RR 
_D  F ) `  U )  e.  RR )
10295, 100, 101absdifltd 12199 . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  ( ( abs `  (
( ( ( F `
 S )  -  ( F `  U ) )  /  ( S  -  U ) )  -  ( ( RR 
_D  F ) `  U ) ) )  <  -u ( ( RR 
_D  F ) `  U )  <->  ( (
( ( RR  _D  F ) `  U
)  -  -u (
( RR  _D  F
) `  U )
)  <  ( (
( F `  S
)  -  ( F `
 U ) )  /  ( S  -  U ) )  /\  ( ( ( F `
 S )  -  ( F `  U ) )  /  ( S  -  U ) )  <  ( ( ( RR  _D  F ) `
 U )  + 
-u ( ( RR 
_D  F ) `  U ) ) ) ) )
10385, 102mpbid 202 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  ( ( ( ( RR  _D  F ) `
 U )  -  -u ( ( RR  _D  F ) `  U
) )  <  (
( ( F `  S )  -  ( F `  U )
)  /  ( S  -  U ) )  /\  ( ( ( F `  S )  -  ( F `  U ) )  / 
( S  -  U
) )  <  (
( ( RR  _D  F ) `  U
)  +  -u (
( RR  _D  F
) `  U )
) ) )
104103simprd 450 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  ( ( ( F `
 S )  -  ( F `  U ) )  /  ( S  -  U ) )  <  ( ( ( RR  _D  F ) `
 U )  + 
-u ( ( RR 
_D  F ) `  U ) ) )
105100recnd 9078 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  ( ( RR  _D  F ) `  U
)  e.  CC )
106105negidd 9365 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  ( ( ( RR 
_D  F ) `  U )  +  -u ( ( RR  _D  F ) `  U
) )  =  0 )
107104, 106breqtrd 4204 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  ( ( ( F `
 S )  -  ( F `  U ) )  /  ( S  -  U ) )  <  0 )
10895lt0neg1d 9560 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  ( ( ( ( F `  S )  -  ( F `  U ) )  / 
( S  -  U
) )  <  0  <->  0  <  -u ( ( ( F `  S )  -  ( F `  U ) )  / 
( S  -  U
) ) ) )
109107, 108mpbid 202 . . . . 5  |-  ( ph  ->  0  <  -u (
( ( F `  S )  -  ( F `  U )
)  /  ( S  -  U ) ) )
11090recnd 9078 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  ( ( F `  S )  -  ( F `  U )
)  e.  CC )
11191recnd 9078 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  ( S  -  U
)  e.  CC )
112110, 111, 94divneg2d 9768 . . . . 5  |-  ( ph  -> 
-u ( ( ( F `  S )  -  ( F `  U ) )  / 
( S  -  U
) )  =  ( ( ( F `  S )  -  ( F `  U )
)  /  -u ( S  -  U )
) )
113109, 112breqtrd 4204 . . . 4  |-  ( ph  ->  0  <  ( ( ( F `  S
)  -  ( F `
 U ) )  /  -u ( S  -  U ) ) )
11491renegcld 9428 . . . . 5  |-  ( ph  -> 
-u ( S  -  U )  e.  RR )
11545, 11posdifd 9577 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  ( S  <  U  <->  0  <  ( U  -  S ) ) )
11657, 115mpbid 202 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  0  <  ( U  -  S ) )
11792, 93negsubdi2d 9391 . . . . . 6  |-  ( ph  -> 
-u ( S  -  U )  =  ( U  -  S ) )
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)
119 gt0div 9840 . . . . 5  |-  ( ( ( ( F `  S )  -  ( F `  U )
)  e.  RR  /\  -u ( S  -  U
)  e.  RR  /\  0  <  -u ( S  -  U ) )  -> 
( 0  <  (
( F `  S
)  -  ( F `
 U ) )  <->  0  <  ( ( ( F `  S
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 U ) )  /  -u ( S  -  U ) ) ) )
12090, 114, 118, 119syl3anc 1184 . . . 4  |-  ( ph  ->  ( 0  <  (
( F `  S
)  -  ( F `
 U ) )  <->  0  <  ( ( ( F `  S
)  -  ( F `
 U ) )  /  -u ( S  -  U ) ) ) )
121113, 120mpbird 224 . . 3  |-  ( ph  ->  0  <  ( ( F `  S )  -  ( F `  U ) ) )
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 S )  -  ( F `  U ) ) ) )
123121, 122mpbird 224 . 2  |-  ( ph  ->  ( F `  U
)  <  ( F `  S ) )
124 dvferm2.r . . . 4  |-  ( ph  ->  A. y  e.  ( A (,) U ) ( F `  y
)  <_  ( F `  U ) )
125 fveq2 5695 . . . . . 6  |-  ( y  =  S  ->  ( F `  y )  =  ( F `  S ) )
126125breq1d 4190 . . . . 5  |-  ( y  =  S  ->  (
( F `  y
)  <_  ( F `  U )  <->  ( F `  S )  <_  ( F `  U )
) )
127126rspcv 3016 . . . 4  |-  ( S  e.  ( A (,) U )  ->  ( A. y  e.  ( A (,) U ) ( F `  y )  <_  ( F `  U )  ->  ( F `  S )  <_  ( F `  U
) ) )
12860, 124, 127sylc 58 . . 3  |-  ( ph  ->  ( F `  S
)  <_  ( F `  U ) )
12987, 89lenltd 9183 . . 3  |-  ( ph  ->  ( ( F `  S )  <_  ( F `  U )  <->  -.  ( F `  U
)  <  ( F `  S ) ) )
130128, 129mpbid 202 . 2  |-  ( ph  ->  -.  ( F `  U )  <  ( F `  S )
)
131123, 130pm2.65i 167 1  |-  -.  ph
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:   -. wn 3    -> wi 4    <-> wb 177    /\ wa 359    /\ w3a 936    = wceq 1649    e. wcel 1721    =/= wne 2575   A.wral 2674    \ cdif 3285    C_ wss 3288   (/)c0 3596   ifcif 3707   {csn 3782   class class class wbr 4180   dom cdm 4845   -->wf 5417   ` cfv 5421  (class class class)co 6048   RRcr 8953   0cc0 8954    + caddc 8957    -oocmnf 9082   RR*cxr 9083    < clt 9084    <_ cle 9085    - cmin 9255   -ucneg 9256    / cdiv 9641   2c2 10013   RR+crp 10576   (,)cioo 10880   abscabs 12002    _D cdv 19711
This theorem is referenced by:  dvferm2  19832
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1552  ax-5 1563  ax-17 1623  ax-9 1662  ax-8 1683  ax-13 1723  ax-14 1725  ax-6 1740  ax-7 1745  ax-11 1757  ax-12 1946  ax-ext 2393  ax-rep 4288  ax-sep 4298  ax-nul 4306  ax-pow 4345  ax-pr 4371  ax-un 4668  ax-cnex 9010  ax-resscn 9011  ax-1cn 9012  ax-icn 9013  ax-addcl 9014  ax-addrcl 9015  ax-mulcl 9016  ax-mulrcl 9017  ax-mulcom 9018  ax-addass 9019  ax-mulass 9020  ax-distr 9021  ax-i2m1 9022  ax-1ne0 9023  ax-1rid 9024  ax-rnegex 9025  ax-rrecex 9026  ax-cnre 9027  ax-pre-lttri 9028  ax-pre-lttrn 9029  ax-pre-ltadd 9030  ax-pre-mulgt0 9031  ax-pre-sup 9032
This theorem depends on definitions:  df-bi 178  df-or 360  df-an 361  df-3or 937  df-3an 938  df-tru 1325  df-ex 1548  df-nf 1551  df-sb 1656  df-eu 2266  df-mo 2267  df-clab 2399  df-cleq 2405  df-clel 2408  df-nfc 2537  df-ne 2577  df-nel 2578  df-ral 2679  df-rex 2680  df-reu 2681  df-rmo 2682  df-rab 2683  df-v 2926  df-sbc 3130  df-csb 3220  df-dif 3291  df-un 3293  df-in 3295  df-ss 3302  df-pss 3304  df-nul 3597  df-if 3708  df-pw 3769  df-sn 3788  df-pr 3789  df-tp 3790  df-op 3791  df-uni 3984  df-int 4019  df-iun 4063  df-iin 4064  df-br 4181  df-opab 4235  df-mpt 4236  df-tr 4271  df-eprel 4462  df-id 4466  df-po 4471  df-so 4472  df-fr 4509  df-we 4511  df-ord 4552  df-on 4553  df-lim 4554  df-suc 4555  df-om 4813  df-xp 4851  df-rel 4852  df-cnv 4853  df-co 4854  df-dm 4855  df-rn 4856  df-res 4857  df-ima 4858  df-iota 5385  df-fun 5423  df-fn 5424  df-f 5425  df-f1 5426  df-fo 5427  df-f1o 5428  df-fv 5429  df-ov 6051  df-oprab 6052  df-mpt2 6053  df-1st 6316  df-2nd 6317  df-riota 6516  df-recs 6600  df-rdg 6635  df-1o 6691  df-oadd 6695  df-er 6872  df-map 6987  df-pm 6988  df-en 7077  df-dom 7078  df-sdom 7079  df-fin 7080  df-fi 7382  df-sup 7412  df-pnf 9086  df-mnf 9087  df-xr 9088  df-ltxr 9089  df-le 9090  df-sub 9257  df-neg 9258  df-div 9642  df-nn 9965  df-2 10022  df-3 10023  df-4 10024  df-5 10025  df-6 10026  df-7 10027  df-8 10028  df-9 10029  df-10 10030  df-n0 10186  df-z 10247  df-dec 10347  df-uz 10453  df-q 10539  df-rp 10577  df-xneg 10674  df-xadd 10675  df-xmul 10676  df-ioo 10884  df-icc 10887  df-fz 11008  df-seq 11287  df-exp 11346  df-cj 11867  df-re 11868  df-im 11869  df-sqr 12003  df-abs 12004  df-struct 13434  df-ndx 13435  df-slot 13436  df-base 13437  df-plusg 13505  df-mulr 13506  df-starv 13507  df-tset 13511  df-ple 13512  df-ds 13514  df-unif 13515  df-rest 13613  df-topn 13614  df-topgen 13630  df-psmet 16657  df-xmet 16658  df-met 16659  df-bl 16660  df-mopn 16661  df-fbas 16662  df-fg 16663  df-cnfld 16667  df-top 16926  df-bases 16928  df-topon 16929  df-topsp 16930  df-cld 17046  df-ntr 17047  df-cls 17048  df-nei 17125  df-lp 17163  df-perf 17164  df-cn 17253  df-cnp 17254  df-haus 17341  df-fil 17839  df-fm 17931  df-flim 17932  df-flf 17933  df-xms 18311  df-ms 18312  df-cncf 18869  df-limc 19714  df-dv 19715
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