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Theorem dvferm2lem 19870
Description: Lemma for dvferm 19872. (Contributed by Mario Carneiro, 24-Feb-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
dvferm.a  |-  ( ph  ->  F : X --> RR )
dvferm.b  |-  ( ph  ->  X  C_  RR )
dvferm.u  |-  ( ph  ->  U  e.  ( A (,) B ) )
dvferm.s  |-  ( ph  ->  ( A (,) B
)  C_  X )
dvferm.d  |-  ( ph  ->  U  e.  dom  ( RR  _D  F ) )
dvferm2.r  |-  ( ph  ->  A. y  e.  ( A (,) U ) ( F `  y
)  <_  ( F `  U ) )
dvferm2.z  |-  ( ph  ->  ( ( RR  _D  F ) `  U
)  <  0 )
dvferm2.t  |-  ( ph  ->  T  e.  RR+ )
dvferm2.l  |-  ( ph  ->  A. z  e.  ( X  \  { U } ) ( ( z  =/=  U  /\  ( abs `  ( z  -  U ) )  <  T )  -> 
( abs `  (
( ( ( F `
 z )  -  ( F `  U ) )  /  ( z  -  U ) )  -  ( ( RR 
_D  F ) `  U ) ) )  <  -u ( ( RR 
_D  F ) `  U ) ) )
dvferm2.x  |-  S  =  ( ( if ( A  <_  ( U  -  T ) ,  ( U  -  T ) ,  A )  +  U )  /  2
)
Assertion
Ref Expression
dvferm2lem  |-  -.  ph
Distinct variable groups:    y, z, A    y, B, z    y, F, z    y, U, z   
y, X, z    ph, y    y, S, z    z, T
Allowed substitution hints:    ph( z)    T( y)

Proof of Theorem dvferm2lem
StepHypRef Expression
1 dvferm.u . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ph  ->  U  e.  ( A (,) B ) )
2 ne0i 3634 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( U  e.  ( A (,) B )  ->  ( A (,) B )  =/=  (/) )
3 ndmioo 10943 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( -.  ( A  e.  RR*  /\  B  e.  RR* )  ->  ( A (,) B
)  =  (/) )
43necon1ai 2646 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( A (,) B )  =/=  (/)  ->  ( A  e.  RR*  /\  B  e. 
RR* ) )
51, 2, 43syl 19 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ph  ->  ( A  e.  RR*  /\  B  e.  RR* )
)
65simprd 450 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ph  ->  B  e.  RR* )
7 eliooord 10970 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( U  e.  ( A (,) B )  ->  ( A  <  U  /\  U  <  B ) )
81, 7syl 16 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ph  ->  ( A  <  U  /\  U  <  B ) )
98simprd 450 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ph  ->  U  <  B )
10 ioossre 10972 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( A (,) B )  C_  RR
1110, 1sseldi 3346 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ph  ->  U  e.  RR )
1211rexrd 9134 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ph  ->  U  e.  RR* )
13 xrltle 10742 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( U  e.  RR*  /\  B  e.  RR* )  ->  ( U  <  B  ->  U  <_  B ) )
1412, 6, 13syl2anc 643 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ph  ->  ( U  <  B  ->  U  <_  B )
)
159, 14mpd 15 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ph  ->  U  <_  B )
16 iooss2 10952 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( B  e.  RR*  /\  U  <_  B )  ->  ( A (,) U )  C_  ( A (,) B ) )
176, 15, 16syl2anc 643 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ph  ->  ( A (,) U
)  C_  ( A (,) B ) )
18 dvferm.s . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ph  ->  ( A (,) B
)  C_  X )
1917, 18sstrd 3358 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ph  ->  ( A (,) U
)  C_  X )
20 dvferm2.x . . . . . . . . . . . . . 14  |-  S  =  ( ( if ( A  <_  ( U  -  T ) ,  ( U  -  T ) ,  A )  +  U )  /  2
)
21 mnfxr 10714 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  -oo  e.  RR*
2221a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ph  ->  -oo  e.  RR* )
23 dvferm2.t . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( ph  ->  T  e.  RR+ )
2423rpred 10648 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( ph  ->  T  e.  RR )
2511, 24resubcld 9465 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ph  ->  ( U  -  T
)  e.  RR )
2625rexrd 9134 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ph  ->  ( U  -  T
)  e.  RR* )
275simpld 446 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ph  ->  A  e.  RR* )
28 ifcl 3775 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( ( U  -  T
)  e.  RR*  /\  A  e.  RR* )  ->  if ( A  <_  ( U  -  T ) ,  ( U  -  T
) ,  A )  e.  RR* )
2926, 27, 28syl2anc 643 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ph  ->  if ( A  <_ 
( U  -  T
) ,  ( U  -  T ) ,  A )  e.  RR* )
30 mnflt 10722 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ( U  -  T )  e.  RR  ->  -oo  <  ( U  -  T ) )
3125, 30syl 16 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ph  ->  -oo  <  ( U  -  T ) )
32 xrmax2 10764 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ( A  e.  RR*  /\  ( U  -  T )  e.  RR* )  ->  ( U  -  T )  <_  if ( A  <_ 
( U  -  T
) ,  ( U  -  T ) ,  A ) )
3327, 26, 32syl2anc 643 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ph  ->  ( U  -  T
)  <_  if ( A  <_  ( U  -  T ) ,  ( U  -  T ) ,  A ) )
3422, 26, 29, 31, 33xrltletrd 10751 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ph  ->  -oo  <  if ( A  <_  ( U  -  T ) ,  ( U  -  T ) ,  A ) )
3511, 23ltsubrpd 10676 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ph  ->  ( U  -  T
)  <  U )
368simpld 446 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ph  ->  A  <  U )
37 breq1 4215 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ( U  -  T )  =  if ( A  <_  ( U  -  T ) ,  ( U  -  T ) ,  A )  -> 
( ( U  -  T )  <  U  <->  if ( A  <_  ( U  -  T ) ,  ( U  -  T ) ,  A
)  <  U )
)
38 breq1 4215 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( A  =  if ( A  <_  ( U  -  T ) ,  ( U  -  T ) ,  A )  -> 
( A  <  U  <->  if ( A  <_  ( U  -  T ) ,  ( U  -  T ) ,  A
)  <  U )
)
3937, 38ifboth 3770 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( ( U  -  T
)  <  U  /\  A  <  U )  ->  if ( A  <_  ( U  -  T ) ,  ( U  -  T ) ,  A
)  <  U )
4035, 36, 39syl2anc 643 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ph  ->  if ( A  <_ 
( U  -  T
) ,  ( U  -  T ) ,  A )  <  U
)
41 xrre2 10758 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( (  -oo  e.  RR*  /\  if ( A  <_ 
( U  -  T
) ,  ( U  -  T ) ,  A )  e.  RR*  /\  U  e.  RR* )  /\  (  -oo  <  if ( A  <_  ( U  -  T ) ,  ( U  -  T
) ,  A )  /\  if ( A  <_  ( U  -  T ) ,  ( U  -  T ) ,  A )  < 
U ) )  ->  if ( A  <_  ( U  -  T ) ,  ( U  -  T ) ,  A
)  e.  RR )
4222, 29, 12, 34, 40, 41syl32anc 1192 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ph  ->  if ( A  <_ 
( U  -  T
) ,  ( U  -  T ) ,  A )  e.  RR )
4342, 11readdcld 9115 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ph  ->  ( if ( A  <_  ( U  -  T ) ,  ( U  -  T ) ,  A )  +  U )  e.  RR )
4443rehalfcld 10214 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ph  ->  ( ( if ( A  <_  ( U  -  T ) ,  ( U  -  T ) ,  A )  +  U )  /  2
)  e.  RR )
4520, 44syl5eqel 2520 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ph  ->  S  e.  RR )
4645rexrd 9134 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ph  ->  S  e.  RR* )
47 xrmax1 10763 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( A  e.  RR*  /\  ( U  -  T )  e.  RR* )  ->  A  <_  if ( A  <_ 
( U  -  T
) ,  ( U  -  T ) ,  A ) )
4827, 26, 47syl2anc 643 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ph  ->  A  <_  if ( A  <_  ( U  -  T ) ,  ( U  -  T ) ,  A ) )
49 avglt1 10205 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( if ( A  <_ 
( U  -  T
) ,  ( U  -  T ) ,  A )  e.  RR  /\  U  e.  RR )  ->  ( if ( A  <_  ( U  -  T ) ,  ( U  -  T ) ,  A )  < 
U  <->  if ( A  <_ 
( U  -  T
) ,  ( U  -  T ) ,  A )  <  (
( if ( A  <_  ( U  -  T ) ,  ( U  -  T ) ,  A )  +  U )  /  2
) ) )
5042, 11, 49syl2anc 643 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ph  ->  ( if ( A  <_  ( U  -  T ) ,  ( U  -  T ) ,  A )  < 
U  <->  if ( A  <_ 
( U  -  T
) ,  ( U  -  T ) ,  A )  <  (
( if ( A  <_  ( U  -  T ) ,  ( U  -  T ) ,  A )  +  U )  /  2
) ) )
5140, 50mpbid 202 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ph  ->  if ( A  <_ 
( U  -  T
) ,  ( U  -  T ) ,  A )  <  (
( if ( A  <_  ( U  -  T ) ,  ( U  -  T ) ,  A )  +  U )  /  2
) )
5251, 20syl6breqr 4252 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ph  ->  if ( A  <_ 
( U  -  T
) ,  ( U  -  T ) ,  A )  <  S
)
5327, 29, 46, 48, 52xrlelttrd 10750 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ph  ->  A  <  S )
54 avglt2 10206 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( if ( A  <_ 
( U  -  T
) ,  ( U  -  T ) ,  A )  e.  RR  /\  U  e.  RR )  ->  ( if ( A  <_  ( U  -  T ) ,  ( U  -  T ) ,  A )  < 
U  <->  ( ( if ( A  <_  ( U  -  T ) ,  ( U  -  T ) ,  A
)  +  U )  /  2 )  < 
U ) )
5542, 11, 54syl2anc 643 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ph  ->  ( if ( A  <_  ( U  -  T ) ,  ( U  -  T ) ,  A )  < 
U  <->  ( ( if ( A  <_  ( U  -  T ) ,  ( U  -  T ) ,  A
)  +  U )  /  2 )  < 
U ) )
5640, 55mpbid 202 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ph  ->  ( ( if ( A  <_  ( U  -  T ) ,  ( U  -  T ) ,  A )  +  U )  /  2
)  <  U )
5720, 56syl5eqbr 4245 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ph  ->  S  <  U )
58 elioo2 10957 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( A  e.  RR*  /\  U  e.  RR* )  ->  ( S  e.  ( A (,) U )  <->  ( S  e.  RR  /\  A  < 
S  /\  S  <  U ) ) )
5927, 12, 58syl2anc 643 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ph  ->  ( S  e.  ( A (,) U )  <-> 
( S  e.  RR  /\  A  <  S  /\  S  <  U ) ) )
6045, 53, 57, 59mpbir3and 1137 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ph  ->  S  e.  ( A (,) U ) )
6119, 60sseldd 3349 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ph  ->  S  e.  X )
6245, 57ltned 9209 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ph  ->  S  =/=  U )
63 eldifsn 3927 . . . . . . . . . . 11  |-  ( S  e.  ( X  \  { U } )  <->  ( S  e.  X  /\  S  =/= 
U ) )
6461, 62, 63sylanbrc 646 . . . . . . . . . 10  |-  ( ph  ->  S  e.  ( X 
\  { U }
) )
65 dvferm2.l . . . . . . . . . 10  |-  ( ph  ->  A. z  e.  ( X  \  { U } ) ( ( z  =/=  U  /\  ( abs `  ( z  -  U ) )  <  T )  -> 
( abs `  (
( ( ( F `
 z )  -  ( F `  U ) )  /  ( z  -  U ) )  -  ( ( RR 
_D  F ) `  U ) ) )  <  -u ( ( RR 
_D  F ) `  U ) ) )
6645, 11, 57ltled 9221 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ph  ->  S  <_  U )
6745, 11, 66abssuble0d 12235 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ph  ->  ( abs `  ( S  -  U )
)  =  ( U  -  S ) )
6825, 42, 45, 33, 52lelttrd 9228 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ph  ->  ( U  -  T
)  <  S )
6911, 24, 45, 68ltsub23d 9631 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ph  ->  ( U  -  S
)  <  T )
7067, 69eqbrtrd 4232 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ph  ->  ( abs `  ( S  -  U )
)  <  T )
7162, 70jca 519 . . . . . . . . . 10  |-  ( ph  ->  ( S  =/=  U  /\  ( abs `  ( S  -  U )
)  <  T )
)
72 neeq1 2609 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( z  =  S  ->  (
z  =/=  U  <->  S  =/=  U ) )
73 oveq1 6088 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( z  =  S  ->  (
z  -  U )  =  ( S  -  U ) )
7473fveq2d 5732 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( z  =  S  ->  ( abs `  ( z  -  U ) )  =  ( abs `  ( S  -  U )
) )
7574breq1d 4222 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( z  =  S  ->  (
( abs `  (
z  -  U ) )  <  T  <->  ( abs `  ( S  -  U
) )  <  T
) )
7672, 75anbi12d 692 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( z  =  S  ->  (
( z  =/=  U  /\  ( abs `  (
z  -  U ) )  <  T )  <-> 
( S  =/=  U  /\  ( abs `  ( S  -  U )
)  <  T )
) )
77 fveq2 5728 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( z  =  S  ->  ( F `  z )  =  ( F `  S ) )
7877oveq1d 6096 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( z  =  S  ->  (
( F `  z
)  -  ( F `
 U ) )  =  ( ( F `
 S )  -  ( F `  U ) ) )
7978, 73oveq12d 6099 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( z  =  S  ->  (
( ( F `  z )  -  ( F `  U )
)  /  ( z  -  U ) )  =  ( ( ( F `  S )  -  ( F `  U ) )  / 
( S  -  U
) ) )
8079oveq1d 6096 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( z  =  S  ->  (
( ( ( F `
 z )  -  ( F `  U ) )  /  ( z  -  U ) )  -  ( ( RR 
_D  F ) `  U ) )  =  ( ( ( ( F `  S )  -  ( F `  U ) )  / 
( S  -  U
) )  -  (
( RR  _D  F
) `  U )
) )
8180fveq2d 5732 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( z  =  S  ->  ( abs `  ( ( ( ( F `  z
)  -  ( F `
 U ) )  /  ( z  -  U ) )  -  ( ( RR  _D  F ) `  U
) ) )  =  ( abs `  (
( ( ( F `
 S )  -  ( F `  U ) )  /  ( S  -  U ) )  -  ( ( RR 
_D  F ) `  U ) ) ) )
8281breq1d 4222 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( z  =  S  ->  (
( abs `  (
( ( ( F `
 z )  -  ( F `  U ) )  /  ( z  -  U ) )  -  ( ( RR 
_D  F ) `  U ) ) )  <  -u ( ( RR 
_D  F ) `  U )  <->  ( abs `  ( ( ( ( F `  S )  -  ( F `  U ) )  / 
( S  -  U
) )  -  (
( RR  _D  F
) `  U )
) )  <  -u (
( RR  _D  F
) `  U )
) )
8376, 82imbi12d 312 . . . . . . . . . . 11  |-  ( z  =  S  ->  (
( ( z  =/= 
U  /\  ( abs `  ( z  -  U
) )  <  T
)  ->  ( abs `  ( ( ( ( F `  z )  -  ( F `  U ) )  / 
( z  -  U
) )  -  (
( RR  _D  F
) `  U )
) )  <  -u (
( RR  _D  F
) `  U )
)  <->  ( ( S  =/=  U  /\  ( abs `  ( S  -  U ) )  < 
T )  ->  ( abs `  ( ( ( ( F `  S
)  -  ( F `
 U ) )  /  ( S  -  U ) )  -  ( ( RR  _D  F ) `  U
) ) )  <  -u ( ( RR  _D  F ) `  U
) ) ) )
8483rspcv 3048 . . . . . . . . . 10  |-  ( S  e.  ( X  \  { U } )  -> 
( A. z  e.  ( X  \  { U } ) ( ( z  =/=  U  /\  ( abs `  ( z  -  U ) )  <  T )  -> 
( abs `  (
( ( ( F `
 z )  -  ( F `  U ) )  /  ( z  -  U ) )  -  ( ( RR 
_D  F ) `  U ) ) )  <  -u ( ( RR 
_D  F ) `  U ) )  -> 
( ( S  =/= 
U  /\  ( abs `  ( S  -  U
) )  <  T
)  ->  ( abs `  ( ( ( ( F `  S )  -  ( F `  U ) )  / 
( S  -  U
) )  -  (
( RR  _D  F
) `  U )
) )  <  -u (
( RR  _D  F
) `  U )
) ) )
8564, 65, 71, 84syl3c 59 . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  ( abs `  (
( ( ( F `
 S )  -  ( F `  U ) )  /  ( S  -  U ) )  -  ( ( RR 
_D  F ) `  U ) ) )  <  -u ( ( RR 
_D  F ) `  U ) )
86 dvferm.a . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ph  ->  F : X --> RR )
8786, 61ffvelrnd 5871 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ph  ->  ( F `  S
)  e.  RR )
8818, 1sseldd 3349 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ph  ->  U  e.  X )
8986, 88ffvelrnd 5871 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ph  ->  ( F `  U
)  e.  RR )
9087, 89resubcld 9465 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ph  ->  ( ( F `  S )  -  ( F `  U )
)  e.  RR )
9145, 11resubcld 9465 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ph  ->  ( S  -  U
)  e.  RR )
9245recnd 9114 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ph  ->  S  e.  CC )
9311recnd 9114 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ph  ->  U  e.  CC )
9492, 93, 62subne0d 9420 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ph  ->  ( S  -  U
)  =/=  0 )
9590, 91, 94redivcld 9842 . . . . . . . . . 10  |-  ( ph  ->  ( ( ( F `
 S )  -  ( F `  U ) )  /  ( S  -  U ) )  e.  RR )
96 dvferm.b . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ph  ->  X  C_  RR )
97 dvfre 19837 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( F : X --> RR  /\  X  C_  RR )  -> 
( RR  _D  F
) : dom  ( RR  _D  F ) --> RR )
9886, 96, 97syl2anc 643 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ph  ->  ( RR  _D  F
) : dom  ( RR  _D  F ) --> RR )
99 dvferm.d . . . . . . . . . . 11  |-  ( ph  ->  U  e.  dom  ( RR  _D  F ) )
10098, 99ffvelrnd 5871 . . . . . . . . . 10  |-  ( ph  ->  ( ( RR  _D  F ) `  U
)  e.  RR )
101100renegcld 9464 . . . . . . . . . 10  |-  ( ph  -> 
-u ( ( RR 
_D  F ) `  U )  e.  RR )
10295, 100, 101absdifltd 12236 . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  ( ( abs `  (
( ( ( F `
 S )  -  ( F `  U ) )  /  ( S  -  U ) )  -  ( ( RR 
_D  F ) `  U ) ) )  <  -u ( ( RR 
_D  F ) `  U )  <->  ( (
( ( RR  _D  F ) `  U
)  -  -u (
( RR  _D  F
) `  U )
)  <  ( (
( F `  S
)  -  ( F `
 U ) )  /  ( S  -  U ) )  /\  ( ( ( F `
 S )  -  ( F `  U ) )  /  ( S  -  U ) )  <  ( ( ( RR  _D  F ) `
 U )  + 
-u ( ( RR 
_D  F ) `  U ) ) ) ) )
10385, 102mpbid 202 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  ( ( ( ( RR  _D  F ) `
 U )  -  -u ( ( RR  _D  F ) `  U
) )  <  (
( ( F `  S )  -  ( F `  U )
)  /  ( S  -  U ) )  /\  ( ( ( F `  S )  -  ( F `  U ) )  / 
( S  -  U
) )  <  (
( ( RR  _D  F ) `  U
)  +  -u (
( RR  _D  F
) `  U )
) ) )
104103simprd 450 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  ( ( ( F `
 S )  -  ( F `  U ) )  /  ( S  -  U ) )  <  ( ( ( RR  _D  F ) `
 U )  + 
-u ( ( RR 
_D  F ) `  U ) ) )
105100recnd 9114 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  ( ( RR  _D  F ) `  U
)  e.  CC )
106105negidd 9401 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  ( ( ( RR 
_D  F ) `  U )  +  -u ( ( RR  _D  F ) `  U
) )  =  0 )
107104, 106breqtrd 4236 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  ( ( ( F `
 S )  -  ( F `  U ) )  /  ( S  -  U ) )  <  0 )
10895lt0neg1d 9596 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  ( ( ( ( F `  S )  -  ( F `  U ) )  / 
( S  -  U
) )  <  0  <->  0  <  -u ( ( ( F `  S )  -  ( F `  U ) )  / 
( S  -  U
) ) ) )
109107, 108mpbid 202 . . . . 5  |-  ( ph  ->  0  <  -u (
( ( F `  S )  -  ( F `  U )
)  /  ( S  -  U ) ) )
11090recnd 9114 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  ( ( F `  S )  -  ( F `  U )
)  e.  CC )
11191recnd 9114 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  ( S  -  U
)  e.  CC )
112110, 111, 94divneg2d 9804 . . . . 5  |-  ( ph  -> 
-u ( ( ( F `  S )  -  ( F `  U ) )  / 
( S  -  U
) )  =  ( ( ( F `  S )  -  ( F `  U )
)  /  -u ( S  -  U )
) )
113109, 112breqtrd 4236 . . . 4  |-  ( ph  ->  0  <  ( ( ( F `  S
)  -  ( F `
 U ) )  /  -u ( S  -  U ) ) )
11491renegcld 9464 . . . . 5  |-  ( ph  -> 
-u ( S  -  U )  e.  RR )
11545, 11posdifd 9613 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  ( S  <  U  <->  0  <  ( U  -  S ) ) )
11657, 115mpbid 202 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  0  <  ( U  -  S ) )
11792, 93negsubdi2d 9427 . . . . . 6  |-  ( ph  -> 
-u ( S  -  U )  =  ( U  -  S ) )
118116, 117breqtrrd 4238 . . . . 5  |-  ( ph  ->  0  <  -u ( S  -  U )
)
119 gt0div 9876 . . . . 5  |-  ( ( ( ( F `  S )  -  ( F `  U )
)  e.  RR  /\  -u ( S  -  U
)  e.  RR  /\  0  <  -u ( S  -  U ) )  -> 
( 0  <  (
( F `  S
)  -  ( F `
 U ) )  <->  0  <  ( ( ( F `  S
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 U ) )  /  -u ( S  -  U ) ) ) )
12090, 114, 118, 119syl3anc 1184 . . . 4  |-  ( ph  ->  ( 0  <  (
( F `  S
)  -  ( F `
 U ) )  <->  0  <  ( ( ( F `  S
)  -  ( F `
 U ) )  /  -u ( S  -  U ) ) ) )
121113, 120mpbird 224 . . 3  |-  ( ph  ->  0  <  ( ( F `  S )  -  ( F `  U ) ) )
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 S )  -  ( F `  U ) ) ) )
123121, 122mpbird 224 . 2  |-  ( ph  ->  ( F `  U
)  <  ( F `  S ) )
124 dvferm2.r . . . 4  |-  ( ph  ->  A. y  e.  ( A (,) U ) ( F `  y
)  <_  ( F `  U ) )
125 fveq2 5728 . . . . . 6  |-  ( y  =  S  ->  ( F `  y )  =  ( F `  S ) )
126125breq1d 4222 . . . . 5  |-  ( y  =  S  ->  (
( F `  y
)  <_  ( F `  U )  <->  ( F `  S )  <_  ( F `  U )
) )
127126rspcv 3048 . . . 4  |-  ( S  e.  ( A (,) U )  ->  ( A. y  e.  ( A (,) U ) ( F `  y )  <_  ( F `  U )  ->  ( F `  S )  <_  ( F `  U
) ) )
12860, 124, 127sylc 58 . . 3  |-  ( ph  ->  ( F `  S
)  <_  ( F `  U ) )
12987, 89lenltd 9219 . . 3  |-  ( ph  ->  ( ( F `  S )  <_  ( F `  U )  <->  -.  ( F `  U
)  <  ( F `  S ) ) )
130128, 129mpbid 202 . 2  |-  ( ph  ->  -.  ( F `  U )  <  ( F `  S )
)
131123, 130pm2.65i 167 1  |-  -.  ph
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:   -. wn 3    -> wi 4    <-> wb 177    /\ wa 359    /\ w3a 936    = wceq 1652    e. wcel 1725    =/= wne 2599   A.wral 2705    \ cdif 3317    C_ wss 3320   (/)c0 3628   ifcif 3739   {csn 3814   class class class wbr 4212   dom cdm 4878   -->wf 5450   ` cfv 5454  (class class class)co 6081   RRcr 8989   0cc0 8990    + caddc 8993    -oocmnf 9118   RR*cxr 9119    < clt 9120    <_ cle 9121    - cmin 9291   -ucneg 9292    / cdiv 9677   2c2 10049   RR+crp 10612   (,)cioo 10916   abscabs 12039    _D cdv 19750
This theorem is referenced by:  dvferm2  19871
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1555  ax-5 1566  ax-17 1626  ax-9 1666  ax-8 1687  ax-13 1727  ax-14 1729  ax-6 1744  ax-7 1749  ax-11 1761  ax-12 1950  ax-ext 2417  ax-rep 4320  ax-sep 4330  ax-nul 4338  ax-pow 4377  ax-pr 4403  ax-un 4701  ax-cnex 9046  ax-resscn 9047  ax-1cn 9048  ax-icn 9049  ax-addcl 9050  ax-addrcl 9051  ax-mulcl 9052  ax-mulrcl 9053  ax-mulcom 9054  ax-addass 9055  ax-mulass 9056  ax-distr 9057  ax-i2m1 9058  ax-1ne0 9059  ax-1rid 9060  ax-rnegex 9061  ax-rrecex 9062  ax-cnre 9063  ax-pre-lttri 9064  ax-pre-lttrn 9065  ax-pre-ltadd 9066  ax-pre-mulgt0 9067  ax-pre-sup 9068
This theorem depends on definitions:  df-bi 178  df-or 360  df-an 361  df-3or 937  df-3an 938  df-tru 1328  df-ex 1551  df-nf 1554  df-sb 1659  df-eu 2285  df-mo 2286  df-clab 2423  df-cleq 2429  df-clel 2432  df-nfc 2561  df-ne 2601  df-nel 2602  df-ral 2710  df-rex 2711  df-reu 2712  df-rmo 2713  df-rab 2714  df-v 2958  df-sbc 3162  df-csb 3252  df-dif 3323  df-un 3325  df-in 3327  df-ss 3334  df-pss 3336  df-nul 3629  df-if 3740  df-pw 3801  df-sn 3820  df-pr 3821  df-tp 3822  df-op 3823  df-uni 4016  df-int 4051  df-iun 4095  df-iin 4096  df-br 4213  df-opab 4267  df-mpt 4268  df-tr 4303  df-eprel 4494  df-id 4498  df-po 4503  df-so 4504  df-fr 4541  df-we 4543  df-ord 4584  df-on 4585  df-lim 4586  df-suc 4587  df-om 4846  df-xp 4884  df-rel 4885  df-cnv 4886  df-co 4887  df-dm 4888  df-rn 4889  df-res 4890  df-ima 4891  df-iota 5418  df-fun 5456  df-fn 5457  df-f 5458  df-f1 5459  df-fo 5460  df-f1o 5461  df-fv 5462  df-ov 6084  df-oprab 6085  df-mpt2 6086  df-1st 6349  df-2nd 6350  df-riota 6549  df-recs 6633  df-rdg 6668  df-1o 6724  df-oadd 6728  df-er 6905  df-map 7020  df-pm 7021  df-en 7110  df-dom 7111  df-sdom 7112  df-fin 7113  df-fi 7416  df-sup 7446  df-pnf 9122  df-mnf 9123  df-xr 9124  df-ltxr 9125  df-le 9126  df-sub 9293  df-neg 9294  df-div 9678  df-nn 10001  df-2 10058  df-3 10059  df-4 10060  df-5 10061  df-6 10062  df-7 10063  df-8 10064  df-9 10065  df-10 10066  df-n0 10222  df-z 10283  df-dec 10383  df-uz 10489  df-q 10575  df-rp 10613  df-xneg 10710  df-xadd 10711  df-xmul 10712  df-ioo 10920  df-icc 10923  df-fz 11044  df-seq 11324  df-exp 11383  df-cj 11904  df-re 11905  df-im 11906  df-sqr 12040  df-abs 12041  df-struct 13471  df-ndx 13472  df-slot 13473  df-base 13474  df-plusg 13542  df-mulr 13543  df-starv 13544  df-tset 13548  df-ple 13549  df-ds 13551  df-unif 13552  df-rest 13650  df-topn 13651  df-topgen 13667  df-psmet 16694  df-xmet 16695  df-met 16696  df-bl 16697  df-mopn 16698  df-fbas 16699  df-fg 16700  df-cnfld 16704  df-top 16963  df-bases 16965  df-topon 16966  df-topsp 16967  df-cld 17083  df-ntr 17084  df-cls 17085  df-nei 17162  df-lp 17200  df-perf 17201  df-cn 17291  df-cnp 17292  df-haus 17379  df-fil 17878  df-fm 17970  df-flim 17971  df-flf 17972  df-xms 18350  df-ms 18351  df-cncf 18908  df-limc 19753  df-dv 19754
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