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Theorem dvferm2lem 19349
Description: Lemma for dvferm 19351. (Contributed by Mario Carneiro, 24-Feb-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
dvferm.a  |-  ( ph  ->  F : X --> RR )
dvferm.b  |-  ( ph  ->  X  C_  RR )
dvferm.u  |-  ( ph  ->  U  e.  ( A (,) B ) )
dvferm.s  |-  ( ph  ->  ( A (,) B
)  C_  X )
dvferm.d  |-  ( ph  ->  U  e.  dom  ( RR  _D  F ) )
dvferm2.r  |-  ( ph  ->  A. y  e.  ( A (,) U ) ( F `  y
)  <_  ( F `  U ) )
dvferm2.z  |-  ( ph  ->  ( ( RR  _D  F ) `  U
)  <  0 )
dvferm2.t  |-  ( ph  ->  T  e.  RR+ )
dvferm2.l  |-  ( ph  ->  A. z  e.  ( X  \  { U } ) ( ( z  =/=  U  /\  ( abs `  ( z  -  U ) )  <  T )  -> 
( abs `  (
( ( ( F `
 z )  -  ( F `  U ) )  /  ( z  -  U ) )  -  ( ( RR 
_D  F ) `  U ) ) )  <  -u ( ( RR 
_D  F ) `  U ) ) )
dvferm2.x  |-  S  =  ( ( if ( A  <_  ( U  -  T ) ,  ( U  -  T ) ,  A )  +  U )  /  2
)
Assertion
Ref Expression
dvferm2lem  |-  -.  ph
Distinct variable groups:    y, z, A    y, B, z    y, F, z    y, U, z   
y, X, z    ph, y    y, S, z    z, T
Allowed substitution hints:    ph( z)    T( y)

Proof of Theorem dvferm2lem
StepHypRef Expression
1 dvferm.u . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ph  ->  U  e.  ( A (,) B ) )
2 ne0i 3474 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( U  e.  ( A (,) B )  ->  ( A (,) B )  =/=  (/) )
3 ndmioo 10699 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( -.  ( A  e.  RR*  /\  B  e.  RR* )  ->  ( A (,) B
)  =  (/) )
43necon1ai 2501 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( A (,) B )  =/=  (/)  ->  ( A  e.  RR*  /\  B  e. 
RR* ) )
51, 2, 43syl 18 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ph  ->  ( A  e.  RR*  /\  B  e.  RR* )
)
65simprd 449 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ph  ->  B  e.  RR* )
7 eliooord 10726 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( U  e.  ( A (,) B )  ->  ( A  <  U  /\  U  <  B ) )
81, 7syl 15 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ph  ->  ( A  <  U  /\  U  <  B ) )
98simprd 449 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ph  ->  U  <  B )
10 ioossre 10728 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( A (,) B )  C_  RR
1110, 1sseldi 3191 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ph  ->  U  e.  RR )
1211rexrd 8897 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ph  ->  U  e.  RR* )
13 xrltle 10499 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( U  e.  RR*  /\  B  e.  RR* )  ->  ( U  <  B  ->  U  <_  B ) )
1412, 6, 13syl2anc 642 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ph  ->  ( U  <  B  ->  U  <_  B )
)
159, 14mpd 14 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ph  ->  U  <_  B )
16 iooss2 10708 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( B  e.  RR*  /\  U  <_  B )  ->  ( A (,) U )  C_  ( A (,) B ) )
176, 15, 16syl2anc 642 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ph  ->  ( A (,) U
)  C_  ( A (,) B ) )
18 dvferm.s . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ph  ->  ( A (,) B
)  C_  X )
1917, 18sstrd 3202 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ph  ->  ( A (,) U
)  C_  X )
20 dvferm2.x . . . . . . . . . . . . . 14  |-  S  =  ( ( if ( A  <_  ( U  -  T ) ,  ( U  -  T ) ,  A )  +  U )  /  2
)
21 mnfxr 10472 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  -oo  e.  RR*
2221a1i 10 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ph  ->  -oo  e.  RR* )
23 dvferm2.t . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( ph  ->  T  e.  RR+ )
2423rpred 10406 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( ph  ->  T  e.  RR )
2511, 24resubcld 9227 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ph  ->  ( U  -  T
)  e.  RR )
2625rexrd 8897 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ph  ->  ( U  -  T
)  e.  RR* )
275simpld 445 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ph  ->  A  e.  RR* )
28 ifcl 3614 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( ( U  -  T
)  e.  RR*  /\  A  e.  RR* )  ->  if ( A  <_  ( U  -  T ) ,  ( U  -  T
) ,  A )  e.  RR* )
2926, 27, 28syl2anc 642 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ph  ->  if ( A  <_ 
( U  -  T
) ,  ( U  -  T ) ,  A )  e.  RR* )
30 mnflt 10480 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ( U  -  T )  e.  RR  ->  -oo  <  ( U  -  T ) )
3125, 30syl 15 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ph  ->  -oo  <  ( U  -  T ) )
32 xrmax2 10521 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ( A  e.  RR*  /\  ( U  -  T )  e.  RR* )  ->  ( U  -  T )  <_  if ( A  <_ 
( U  -  T
) ,  ( U  -  T ) ,  A ) )
3327, 26, 32syl2anc 642 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ph  ->  ( U  -  T
)  <_  if ( A  <_  ( U  -  T ) ,  ( U  -  T ) ,  A ) )
3422, 26, 29, 31, 33xrltletrd 10508 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ph  ->  -oo  <  if ( A  <_  ( U  -  T ) ,  ( U  -  T ) ,  A ) )
3511, 23ltsubrpd 10434 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ph  ->  ( U  -  T
)  <  U )
368simpld 445 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ph  ->  A  <  U )
37 breq1 4042 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ( U  -  T )  =  if ( A  <_  ( U  -  T ) ,  ( U  -  T ) ,  A )  -> 
( ( U  -  T )  <  U  <->  if ( A  <_  ( U  -  T ) ,  ( U  -  T ) ,  A
)  <  U )
)
38 breq1 4042 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( A  =  if ( A  <_  ( U  -  T ) ,  ( U  -  T ) ,  A )  -> 
( A  <  U  <->  if ( A  <_  ( U  -  T ) ,  ( U  -  T ) ,  A
)  <  U )
)
3937, 38ifboth 3609 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( ( U  -  T
)  <  U  /\  A  <  U )  ->  if ( A  <_  ( U  -  T ) ,  ( U  -  T ) ,  A
)  <  U )
4035, 36, 39syl2anc 642 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ph  ->  if ( A  <_ 
( U  -  T
) ,  ( U  -  T ) ,  A )  <  U
)
41 xrre2 10515 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( (  -oo  e.  RR*  /\  if ( A  <_ 
( U  -  T
) ,  ( U  -  T ) ,  A )  e.  RR*  /\  U  e.  RR* )  /\  (  -oo  <  if ( A  <_  ( U  -  T ) ,  ( U  -  T
) ,  A )  /\  if ( A  <_  ( U  -  T ) ,  ( U  -  T ) ,  A )  < 
U ) )  ->  if ( A  <_  ( U  -  T ) ,  ( U  -  T ) ,  A
)  e.  RR )
4222, 29, 12, 34, 40, 41syl32anc 1190 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ph  ->  if ( A  <_ 
( U  -  T
) ,  ( U  -  T ) ,  A )  e.  RR )
4342, 11readdcld 8878 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ph  ->  ( if ( A  <_  ( U  -  T ) ,  ( U  -  T ) ,  A )  +  U )  e.  RR )
4443rehalfcld 9974 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ph  ->  ( ( if ( A  <_  ( U  -  T ) ,  ( U  -  T ) ,  A )  +  U )  /  2
)  e.  RR )
4520, 44syl5eqel 2380 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ph  ->  S  e.  RR )
4645rexrd 8897 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ph  ->  S  e.  RR* )
47 xrmax1 10520 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( A  e.  RR*  /\  ( U  -  T )  e.  RR* )  ->  A  <_  if ( A  <_ 
( U  -  T
) ,  ( U  -  T ) ,  A ) )
4827, 26, 47syl2anc 642 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ph  ->  A  <_  if ( A  <_  ( U  -  T ) ,  ( U  -  T ) ,  A ) )
49 avglt1 9965 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( if ( A  <_ 
( U  -  T
) ,  ( U  -  T ) ,  A )  e.  RR  /\  U  e.  RR )  ->  ( if ( A  <_  ( U  -  T ) ,  ( U  -  T ) ,  A )  < 
U  <->  if ( A  <_ 
( U  -  T
) ,  ( U  -  T ) ,  A )  <  (
( if ( A  <_  ( U  -  T ) ,  ( U  -  T ) ,  A )  +  U )  /  2
) ) )
5042, 11, 49syl2anc 642 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ph  ->  ( if ( A  <_  ( U  -  T ) ,  ( U  -  T ) ,  A )  < 
U  <->  if ( A  <_ 
( U  -  T
) ,  ( U  -  T ) ,  A )  <  (
( if ( A  <_  ( U  -  T ) ,  ( U  -  T ) ,  A )  +  U )  /  2
) ) )
5140, 50mpbid 201 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ph  ->  if ( A  <_ 
( U  -  T
) ,  ( U  -  T ) ,  A )  <  (
( if ( A  <_  ( U  -  T ) ,  ( U  -  T ) ,  A )  +  U )  /  2
) )
5251, 20syl6breqr 4079 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ph  ->  if ( A  <_ 
( U  -  T
) ,  ( U  -  T ) ,  A )  <  S
)
5327, 29, 46, 48, 52xrlelttrd 10507 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ph  ->  A  <  S )
54 avglt2 9966 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( if ( A  <_ 
( U  -  T
) ,  ( U  -  T ) ,  A )  e.  RR  /\  U  e.  RR )  ->  ( if ( A  <_  ( U  -  T ) ,  ( U  -  T ) ,  A )  < 
U  <->  ( ( if ( A  <_  ( U  -  T ) ,  ( U  -  T ) ,  A
)  +  U )  /  2 )  < 
U ) )
5542, 11, 54syl2anc 642 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ph  ->  ( if ( A  <_  ( U  -  T ) ,  ( U  -  T ) ,  A )  < 
U  <->  ( ( if ( A  <_  ( U  -  T ) ,  ( U  -  T ) ,  A
)  +  U )  /  2 )  < 
U ) )
5640, 55mpbid 201 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ph  ->  ( ( if ( A  <_  ( U  -  T ) ,  ( U  -  T ) ,  A )  +  U )  /  2
)  <  U )
5720, 56syl5eqbr 4072 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ph  ->  S  <  U )
58 elioo2 10713 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( A  e.  RR*  /\  U  e.  RR* )  ->  ( S  e.  ( A (,) U )  <->  ( S  e.  RR  /\  A  < 
S  /\  S  <  U ) ) )
5927, 12, 58syl2anc 642 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ph  ->  ( S  e.  ( A (,) U )  <-> 
( S  e.  RR  /\  A  <  S  /\  S  <  U ) ) )
6045, 53, 57, 59mpbir3and 1135 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ph  ->  S  e.  ( A (,) U ) )
6119, 60sseldd 3194 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ph  ->  S  e.  X )
6245, 57ltned 8971 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ph  ->  S  =/=  U )
63 eldifsn 3762 . . . . . . . . . . 11  |-  ( S  e.  ( X  \  { U } )  <->  ( S  e.  X  /\  S  =/= 
U ) )
6461, 62, 63sylanbrc 645 . . . . . . . . . 10  |-  ( ph  ->  S  e.  ( X 
\  { U }
) )
65 dvferm2.l . . . . . . . . . 10  |-  ( ph  ->  A. z  e.  ( X  \  { U } ) ( ( z  =/=  U  /\  ( abs `  ( z  -  U ) )  <  T )  -> 
( abs `  (
( ( ( F `
 z )  -  ( F `  U ) )  /  ( z  -  U ) )  -  ( ( RR 
_D  F ) `  U ) ) )  <  -u ( ( RR 
_D  F ) `  U ) ) )
6645, 11, 57ltled 8983 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ph  ->  S  <_  U )
6745, 11, 66abssuble0d 11931 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ph  ->  ( abs `  ( S  -  U )
)  =  ( U  -  S ) )
6825, 42, 45, 33, 52lelttrd 8990 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ph  ->  ( U  -  T
)  <  S )
6911, 24, 45, 68ltsub23d 9393 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ph  ->  ( U  -  S
)  <  T )
7067, 69eqbrtrd 4059 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ph  ->  ( abs `  ( S  -  U )
)  <  T )
7162, 70jca 518 . . . . . . . . . 10  |-  ( ph  ->  ( S  =/=  U  /\  ( abs `  ( S  -  U )
)  <  T )
)
72 neeq1 2467 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( z  =  S  ->  (
z  =/=  U  <->  S  =/=  U ) )
73 oveq1 5881 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( z  =  S  ->  (
z  -  U )  =  ( S  -  U ) )
7473fveq2d 5545 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( z  =  S  ->  ( abs `  ( z  -  U ) )  =  ( abs `  ( S  -  U )
) )
7574breq1d 4049 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( z  =  S  ->  (
( abs `  (
z  -  U ) )  <  T  <->  ( abs `  ( S  -  U
) )  <  T
) )
7672, 75anbi12d 691 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( z  =  S  ->  (
( z  =/=  U  /\  ( abs `  (
z  -  U ) )  <  T )  <-> 
( S  =/=  U  /\  ( abs `  ( S  -  U )
)  <  T )
) )
77 fveq2 5541 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( z  =  S  ->  ( F `  z )  =  ( F `  S ) )
7877oveq1d 5889 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( z  =  S  ->  (
( F `  z
)  -  ( F `
 U ) )  =  ( ( F `
 S )  -  ( F `  U ) ) )
7978, 73oveq12d 5892 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( z  =  S  ->  (
( ( F `  z )  -  ( F `  U )
)  /  ( z  -  U ) )  =  ( ( ( F `  S )  -  ( F `  U ) )  / 
( S  -  U
) ) )
8079oveq1d 5889 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( z  =  S  ->  (
( ( ( F `
 z )  -  ( F `  U ) )  /  ( z  -  U ) )  -  ( ( RR 
_D  F ) `  U ) )  =  ( ( ( ( F `  S )  -  ( F `  U ) )  / 
( S  -  U
) )  -  (
( RR  _D  F
) `  U )
) )
8180fveq2d 5545 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( z  =  S  ->  ( abs `  ( ( ( ( F `  z
)  -  ( F `
 U ) )  /  ( z  -  U ) )  -  ( ( RR  _D  F ) `  U
) ) )  =  ( abs `  (
( ( ( F `
 S )  -  ( F `  U ) )  /  ( S  -  U ) )  -  ( ( RR 
_D  F ) `  U ) ) ) )
8281breq1d 4049 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( z  =  S  ->  (
( abs `  (
( ( ( F `
 z )  -  ( F `  U ) )  /  ( z  -  U ) )  -  ( ( RR 
_D  F ) `  U ) ) )  <  -u ( ( RR 
_D  F ) `  U )  <->  ( abs `  ( ( ( ( F `  S )  -  ( F `  U ) )  / 
( S  -  U
) )  -  (
( RR  _D  F
) `  U )
) )  <  -u (
( RR  _D  F
) `  U )
) )
8376, 82imbi12d 311 . . . . . . . . . . 11  |-  ( z  =  S  ->  (
( ( z  =/= 
U  /\  ( abs `  ( z  -  U
) )  <  T
)  ->  ( abs `  ( ( ( ( F `  z )  -  ( F `  U ) )  / 
( z  -  U
) )  -  (
( RR  _D  F
) `  U )
) )  <  -u (
( RR  _D  F
) `  U )
)  <->  ( ( S  =/=  U  /\  ( abs `  ( S  -  U ) )  < 
T )  ->  ( abs `  ( ( ( ( F `  S
)  -  ( F `
 U ) )  /  ( S  -  U ) )  -  ( ( RR  _D  F ) `  U
) ) )  <  -u ( ( RR  _D  F ) `  U
) ) ) )
8483rspcv 2893 . . . . . . . . . 10  |-  ( S  e.  ( X  \  { U } )  -> 
( A. z  e.  ( X  \  { U } ) ( ( z  =/=  U  /\  ( abs `  ( z  -  U ) )  <  T )  -> 
( abs `  (
( ( ( F `
 z )  -  ( F `  U ) )  /  ( z  -  U ) )  -  ( ( RR 
_D  F ) `  U ) ) )  <  -u ( ( RR 
_D  F ) `  U ) )  -> 
( ( S  =/= 
U  /\  ( abs `  ( S  -  U
) )  <  T
)  ->  ( abs `  ( ( ( ( F `  S )  -  ( F `  U ) )  / 
( S  -  U
) )  -  (
( RR  _D  F
) `  U )
) )  <  -u (
( RR  _D  F
) `  U )
) ) )
8564, 65, 71, 84syl3c 57 . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  ( abs `  (
( ( ( F `
 S )  -  ( F `  U ) )  /  ( S  -  U ) )  -  ( ( RR 
_D  F ) `  U ) ) )  <  -u ( ( RR 
_D  F ) `  U ) )
86 dvferm.a . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ph  ->  F : X --> RR )
87 ffvelrn 5679 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( F : X --> RR  /\  S  e.  X )  ->  ( F `  S
)  e.  RR )
8886, 61, 87syl2anc 642 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ph  ->  ( F `  S
)  e.  RR )
8918, 1sseldd 3194 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ph  ->  U  e.  X )
90 ffvelrn 5679 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( F : X --> RR  /\  U  e.  X )  ->  ( F `  U
)  e.  RR )
9186, 89, 90syl2anc 642 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ph  ->  ( F `  U
)  e.  RR )
9288, 91resubcld 9227 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ph  ->  ( ( F `  S )  -  ( F `  U )
)  e.  RR )
9345, 11resubcld 9227 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ph  ->  ( S  -  U
)  e.  RR )
9445recnd 8877 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ph  ->  S  e.  CC )
9511recnd 8877 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ph  ->  U  e.  CC )
96 subeq0 9089 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( S  e.  CC  /\  U  e.  CC )  ->  ( ( S  -  U )  =  0  <-> 
S  =  U ) )
9794, 95, 96syl2anc 642 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ph  ->  ( ( S  -  U )  =  0  <-> 
S  =  U ) )
9897necon3bid 2494 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ph  ->  ( ( S  -  U )  =/=  0  <->  S  =/=  U ) )
9962, 98mpbird 223 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ph  ->  ( S  -  U
)  =/=  0 )
10092, 93, 99redivcld 9604 . . . . . . . . . 10  |-  ( ph  ->  ( ( ( F `
 S )  -  ( F `  U ) )  /  ( S  -  U ) )  e.  RR )
101 dvferm.b . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ph  ->  X  C_  RR )
102 dvfre 19316 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( F : X --> RR  /\  X  C_  RR )  -> 
( RR  _D  F
) : dom  ( RR  _D  F ) --> RR )
10386, 101, 102syl2anc 642 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ph  ->  ( RR  _D  F
) : dom  ( RR  _D  F ) --> RR )
104 dvferm.d . . . . . . . . . . 11  |-  ( ph  ->  U  e.  dom  ( RR  _D  F ) )
105 ffvelrn 5679 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( RR  _D  F
) : dom  ( RR  _D  F ) --> RR 
/\  U  e.  dom  ( RR  _D  F
) )  ->  (
( RR  _D  F
) `  U )  e.  RR )
106103, 104, 105syl2anc 642 . . . . . . . . . 10  |-  ( ph  ->  ( ( RR  _D  F ) `  U
)  e.  RR )
107106renegcld 9226 . . . . . . . . . 10  |-  ( ph  -> 
-u ( ( RR 
_D  F ) `  U )  e.  RR )
108100, 106, 107absdifltd 11932 . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  ( ( abs `  (
( ( ( F `
 S )  -  ( F `  U ) )  /  ( S  -  U ) )  -  ( ( RR 
_D  F ) `  U ) ) )  <  -u ( ( RR 
_D  F ) `  U )  <->  ( (
( ( RR  _D  F ) `  U
)  -  -u (
( RR  _D  F
) `  U )
)  <  ( (
( F `  S
)  -  ( F `
 U ) )  /  ( S  -  U ) )  /\  ( ( ( F `
 S )  -  ( F `  U ) )  /  ( S  -  U ) )  <  ( ( ( RR  _D  F ) `
 U )  + 
-u ( ( RR 
_D  F ) `  U ) ) ) ) )
10985, 108mpbid 201 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  ( ( ( ( RR  _D  F ) `
 U )  -  -u ( ( RR  _D  F ) `  U
) )  <  (
( ( F `  S )  -  ( F `  U )
)  /  ( S  -  U ) )  /\  ( ( ( F `  S )  -  ( F `  U ) )  / 
( S  -  U
) )  <  (
( ( RR  _D  F ) `  U
)  +  -u (
( RR  _D  F
) `  U )
) ) )
110109simprd 449 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  ( ( ( F `
 S )  -  ( F `  U ) )  /  ( S  -  U ) )  <  ( ( ( RR  _D  F ) `
 U )  + 
-u ( ( RR 
_D  F ) `  U ) ) )
111106recnd 8877 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  ( ( RR  _D  F ) `  U
)  e.  CC )
112111negidd 9163 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  ( ( ( RR 
_D  F ) `  U )  +  -u ( ( RR  _D  F ) `  U
) )  =  0 )
113110, 112breqtrd 4063 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  ( ( ( F `
 S )  -  ( F `  U ) )  /  ( S  -  U ) )  <  0 )
114100lt0neg1d 9358 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  ( ( ( ( F `  S )  -  ( F `  U ) )  / 
( S  -  U
) )  <  0  <->  0  <  -u ( ( ( F `  S )  -  ( F `  U ) )  / 
( S  -  U
) ) ) )
115113, 114mpbid 201 . . . . 5  |-  ( ph  ->  0  <  -u (
( ( F `  S )  -  ( F `  U )
)  /  ( S  -  U ) ) )
11692recnd 8877 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  ( ( F `  S )  -  ( F `  U )
)  e.  CC )
11793recnd 8877 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  ( S  -  U
)  e.  CC )
118116, 117, 99divneg2d 9566 . . . . 5  |-  ( ph  -> 
-u ( ( ( F `  S )  -  ( F `  U ) )  / 
( S  -  U
) )  =  ( ( ( F `  S )  -  ( F `  U )
)  /  -u ( S  -  U )
) )
119115, 118breqtrd 4063 . . . 4  |-  ( ph  ->  0  <  ( ( ( F `  S
)  -  ( F `
 U ) )  /  -u ( S  -  U ) ) )
12093renegcld 9226 . . . . 5  |-  ( ph  -> 
-u ( S  -  U )  e.  RR )
12145, 11posdifd 9375 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  ( S  <  U  <->  0  <  ( U  -  S ) ) )
12257, 121mpbid 201 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  0  <  ( U  -  S ) )
12394, 95negsubdi2d 9189 . . . . . 6  |-  ( ph  -> 
-u ( S  -  U )  =  ( U  -  S ) )
124122, 123breqtrrd 4065 . . . . 5  |-  ( ph  ->  0  <  -u ( S  -  U )
)
125 gt0div 9638 . . . . 5  |-  ( ( ( ( F `  S )  -  ( F `  U )
)  e.  RR  /\  -u ( S  -  U
)  e.  RR  /\  0  <  -u ( S  -  U ) )  -> 
( 0  <  (
( F `  S
)  -  ( F `
 U ) )  <->  0  <  ( ( ( F `  S
)  -  ( F `
 U ) )  /  -u ( S  -  U ) ) ) )
12692, 120, 124, 125syl3anc 1182 . . . 4  |-  ( ph  ->  ( 0  <  (
( F `  S
)  -  ( F `
 U ) )  <->  0  <  ( ( ( F `  S
)  -  ( F `
 U ) )  /  -u ( S  -  U ) ) ) )
127119, 126mpbird 223 . . 3  |-  ( ph  ->  0  <  ( ( F `  S )  -  ( F `  U ) ) )
12891, 88posdifd 9375 . . 3  |-  ( ph  ->  ( ( F `  U )  <  ( F `  S )  <->  0  <  ( ( F `
 S )  -  ( F `  U ) ) ) )
129127, 128mpbird 223 . 2  |-  ( ph  ->  ( F `  U
)  <  ( F `  S ) )
130 dvferm2.r . . . 4  |-  ( ph  ->  A. y  e.  ( A (,) U ) ( F `  y
)  <_  ( F `  U ) )
131 fveq2 5541 . . . . . 6  |-  ( y  =  S  ->  ( F `  y )  =  ( F `  S ) )
132131breq1d 4049 . . . . 5  |-  ( y  =  S  ->  (
( F `  y
)  <_  ( F `  U )  <->  ( F `  S )  <_  ( F `  U )
) )
133132rspcv 2893 . . . 4  |-  ( S  e.  ( A (,) U )  ->  ( A. y  e.  ( A (,) U ) ( F `  y )  <_  ( F `  U )  ->  ( F `  S )  <_  ( F `  U
) ) )
13460, 130, 133sylc 56 . . 3  |-  ( ph  ->  ( F `  S
)  <_  ( F `  U ) )
13588, 91lenltd 8981 . . 3  |-  ( ph  ->  ( ( F `  S )  <_  ( F `  U )  <->  -.  ( F `  U
)  <  ( F `  S ) ) )
136134, 135mpbid 201 . 2  |-  ( ph  ->  -.  ( F `  U )  <  ( F `  S )
)
137129, 136pm2.65i 165 1  |-  -.  ph
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:   -. wn 3    -> wi 4    <-> wb 176    /\ wa 358    /\ w3a 934    = wceq 1632    e. wcel 1696    =/= wne 2459   A.wral 2556    \ cdif 3162    C_ wss 3165   (/)c0 3468   ifcif 3578   {csn 3653   class class class wbr 4039   dom cdm 4705   -->wf 5267   ` cfv 5271  (class class class)co 5874   CCcc 8751   RRcr 8752   0cc0 8753    + caddc 8756    -oocmnf 8881   RR*cxr 8882    < clt 8883    <_ cle 8884    - cmin 9053   -ucneg 9054    / cdiv 9439   2c2 9811   RR+crp 10370   (,)cioo 10672   abscabs 11735    _D cdv 19229
This theorem is referenced by:  dvferm2  19350
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1536  ax-5 1547  ax-17 1606  ax-9 1644  ax-8 1661  ax-13 1698  ax-14 1700  ax-6 1715  ax-7 1720  ax-11 1727  ax-12 1878  ax-ext 2277  ax-rep 4147  ax-sep 4157  ax-nul 4165  ax-pow 4204  ax-pr 4230  ax-un 4528  ax-cnex 8809  ax-resscn 8810  ax-1cn 8811  ax-icn 8812  ax-addcl 8813  ax-addrcl 8814  ax-mulcl 8815  ax-mulrcl 8816  ax-mulcom 8817  ax-addass 8818  ax-mulass 8819  ax-distr 8820  ax-i2m1 8821  ax-1ne0 8822  ax-1rid 8823  ax-rnegex 8824  ax-rrecex 8825  ax-cnre 8826  ax-pre-lttri 8827  ax-pre-lttrn 8828  ax-pre-ltadd 8829  ax-pre-mulgt0 8830  ax-pre-sup 8831
This theorem depends on definitions:  df-bi 177  df-or 359  df-an 360  df-3or 935  df-3an 936  df-tru 1310  df-ex 1532  df-nf 1535  df-sb 1639  df-eu 2160  df-mo 2161  df-clab 2283  df-cleq 2289  df-clel 2292  df-nfc 2421  df-ne 2461  df-nel 2462  df-ral 2561  df-rex 2562  df-reu 2563  df-rmo 2564  df-rab 2565  df-v 2803  df-sbc 3005  df-csb 3095  df-dif 3168  df-un 3170  df-in 3172  df-ss 3179  df-pss 3181  df-nul 3469  df-if 3579  df-pw 3640  df-sn 3659  df-pr 3660  df-tp 3661  df-op 3662  df-uni 3844  df-int 3879  df-iun 3923  df-iin 3924  df-br 4040  df-opab 4094  df-mpt 4095  df-tr 4130  df-eprel 4321  df-id 4325  df-po 4330  df-so 4331  df-fr 4368  df-we 4370  df-ord 4411  df-on 4412  df-lim 4413  df-suc 4414  df-om 4673  df-xp 4711  df-rel 4712  df-cnv 4713  df-co 4714  df-dm 4715  df-rn 4716  df-res 4717  df-ima 4718  df-iota 5235  df-fun 5273  df-fn 5274  df-f 5275  df-f1 5276  df-fo 5277  df-f1o 5278  df-fv 5279  df-ov 5877  df-oprab 5878  df-mpt2 5879  df-1st 6138  df-2nd 6139  df-riota 6320  df-recs 6404  df-rdg 6439  df-1o 6495  df-oadd 6499  df-er 6676  df-map 6790  df-pm 6791  df-en 6880  df-dom 6881  df-sdom 6882  df-fin 6883  df-fi 7181  df-sup 7210  df-pnf 8885  df-mnf 8886  df-xr 8887  df-ltxr 8888  df-le 8889  df-sub 9055  df-neg 9056  df-div 9440  df-nn 9763  df-2 9820  df-3 9821  df-4 9822  df-5 9823  df-6 9824  df-7 9825  df-8 9826  df-9 9827  df-10 9828  df-n0 9982  df-z 10041  df-dec 10141  df-uz 10247  df-q 10333  df-rp 10371  df-xneg 10468  df-xadd 10469  df-xmul 10470  df-ioo 10676  df-icc 10679  df-fz 10799  df-seq 11063  df-exp 11121  df-cj 11600  df-re 11601  df-im 11602  df-sqr 11736  df-abs 11737  df-struct 13166  df-ndx 13167  df-slot 13168  df-base 13169  df-plusg 13237  df-mulr 13238  df-starv 13239  df-tset 13243  df-ple 13244  df-ds 13246  df-rest 13343  df-topn 13344  df-topgen 13360  df-xmet 16389  df-met 16390  df-bl 16391  df-mopn 16392  df-cnfld 16394  df-top 16652  df-bases 16654  df-topon 16655  df-topsp 16656  df-cld 16772  df-ntr 16773  df-cls 16774  df-nei 16851  df-lp 16884  df-perf 16885  df-cn 16973  df-cnp 16974  df-haus 17059  df-fbas 17536  df-fg 17537  df-fil 17557  df-fm 17649  df-flim 17650  df-flf 17651  df-xms 17901  df-ms 17902  df-cncf 18398  df-limc 19232  df-dv 19233
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