MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  dvfg Unicode version

Theorem dvfg 19471
Description: Explicitly write out the functionality condition on derivative for  S  =  RR and 
CC. (Contributed by Mario Carneiro, 9-Feb-2015.)
Assertion
Ref Expression
dvfg  |-  ( S  e.  { RR ,  CC }  ->  ( S  _D  F ) : dom  ( S  _D  F
) --> CC )

Proof of Theorem dvfg
StepHypRef Expression
1 eqid 2366 . . 3  |-  ( TopOpen ` fld )  =  ( TopOpen ` fld )
21recnperf 19470 . 2  |-  ( S  e.  { RR ,  CC }  ->  ( ( TopOpen
` fld
)t 
S )  e. Perf )
31perfdvf 19468 . 2  |-  ( ( ( TopOpen ` fld )t  S )  e. Perf  ->  ( S  _D  F ) : dom  ( S  _D  F ) --> CC )
42, 3syl 15 1  |-  ( S  e.  { RR ,  CC }  ->  ( S  _D  F ) : dom  ( S  _D  F
) --> CC )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    e. wcel 1715   {cpr 3730   dom cdm 4792   -->wf 5354   ` cfv 5358  (class class class)co 5981   CCcc 8882   RRcr 8883   ↾t crest 13535   TopOpenctopn 13536  ℂfldccnfld 16593  Perfcperf 17084    _D cdv 19428
This theorem is referenced by:  dvf  19472  dvfcn  19473  dvres3  19478  dvres3a  19479  dvcnp  19483  dvnff  19487  dvadd  19504  dvmul  19505  dvaddf  19506  dvmulf  19507  dvcmul  19508  dvcmulf  19509  dvco  19511  dvcof  19512  dvmptcl  19523  dvcnvlem  19538  dvcnv  19539  dvtaylp  19964  ulmdvlem3  19996  ulmdv  19997
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1551  ax-5 1562  ax-17 1621  ax-9 1659  ax-8 1680  ax-13 1717  ax-14 1719  ax-6 1734  ax-7 1739  ax-11 1751  ax-12 1937  ax-ext 2347  ax-rep 4233  ax-sep 4243  ax-nul 4251  ax-pow 4290  ax-pr 4316  ax-un 4615  ax-cnex 8940  ax-resscn 8941  ax-1cn 8942  ax-icn 8943  ax-addcl 8944  ax-addrcl 8945  ax-mulcl 8946  ax-mulrcl 8947  ax-mulcom 8948  ax-addass 8949  ax-mulass 8950  ax-distr 8951  ax-i2m1 8952  ax-1ne0 8953  ax-1rid 8954  ax-rnegex 8955  ax-rrecex 8956  ax-cnre 8957  ax-pre-lttri 8958  ax-pre-lttrn 8959  ax-pre-ltadd 8960  ax-pre-mulgt0 8961  ax-pre-sup 8962
This theorem depends on definitions:  df-bi 177  df-or 359  df-an 360  df-3or 936  df-3an 937  df-tru 1324  df-ex 1547  df-nf 1550  df-sb 1654  df-eu 2221  df-mo 2222  df-clab 2353  df-cleq 2359  df-clel 2362  df-nfc 2491  df-ne 2531  df-nel 2532  df-ral 2633  df-rex 2634  df-reu 2635  df-rmo 2636  df-rab 2637  df-v 2875  df-sbc 3078  df-csb 3168  df-dif 3241  df-un 3243  df-in 3245  df-ss 3252  df-pss 3254  df-nul 3544  df-if 3655  df-pw 3716  df-sn 3735  df-pr 3736  df-tp 3737  df-op 3738  df-uni 3930  df-int 3965  df-iun 4009  df-iin 4010  df-br 4126  df-opab 4180  df-mpt 4181  df-tr 4216  df-eprel 4408  df-id 4412  df-po 4417  df-so 4418  df-fr 4455  df-we 4457  df-ord 4498  df-on 4499  df-lim 4500  df-suc 4501  df-om 4760  df-xp 4798  df-rel 4799  df-cnv 4800  df-co 4801  df-dm 4802  df-rn 4803  df-res 4804  df-ima 4805  df-iota 5322  df-fun 5360  df-fn 5361  df-f 5362  df-f1 5363  df-fo 5364  df-f1o 5365  df-fv 5366  df-ov 5984  df-oprab 5985  df-mpt2 5986  df-1st 6249  df-2nd 6250  df-riota 6446  df-recs 6530  df-rdg 6565  df-1o 6621  df-oadd 6625  df-er 6802  df-map 6917  df-pm 6918  df-en 7007  df-dom 7008  df-sdom 7009  df-fin 7010  df-fi 7312  df-sup 7341  df-pnf 9016  df-mnf 9017  df-xr 9018  df-ltxr 9019  df-le 9020  df-sub 9186  df-neg 9187  df-div 9571  df-nn 9894  df-2 9951  df-3 9952  df-4 9953  df-5 9954  df-6 9955  df-7 9956  df-8 9957  df-9 9958  df-10 9959  df-n0 10115  df-z 10176  df-dec 10276  df-uz 10382  df-q 10468  df-rp 10506  df-xneg 10603  df-xadd 10604  df-xmul 10605  df-icc 10816  df-fz 10936  df-seq 11211  df-exp 11270  df-cj 11791  df-re 11792  df-im 11793  df-sqr 11927  df-abs 11928  df-struct 13358  df-ndx 13359  df-slot 13360  df-base 13361  df-plusg 13429  df-mulr 13430  df-starv 13431  df-tset 13435  df-ple 13436  df-ds 13438  df-unif 13439  df-rest 13537  df-topn 13538  df-topgen 13554  df-xmet 16586  df-met 16587  df-bl 16588  df-mopn 16589  df-fbas 16590  df-fg 16591  df-cnfld 16594  df-top 16853  df-bases 16855  df-topon 16856  df-topsp 16857  df-cld 16973  df-ntr 16974  df-cls 16975  df-nei 17052  df-lp 17085  df-perf 17086  df-cnp 17175  df-haus 17260  df-fil 17754  df-fm 17846  df-flim 17847  df-flf 17848  df-xms 18098  df-ms 18099  df-limc 19431  df-dv 19432
  Copyright terms: Public domain W3C validator