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Theorem dvfsum2 19910
Description: The reverse of dvfsumrlim 19907, when comparing a finite sum of increasing terms to an integral. In this case there is no point in stating the limit properties, because the terms of the sum aren't approaching zero, but there is nevertheless still a natural asymptotic statement that can be made. (Contributed by Mario Carneiro, 20-May-2016.)
Hypotheses
Ref Expression
dvfsum2.s  |-  S  =  ( T (,)  +oo )
dvfsum2.z  |-  Z  =  ( ZZ>= `  M )
dvfsum2.m  |-  ( ph  ->  M  e.  ZZ )
dvfsum2.d  |-  ( ph  ->  D  e.  RR )
dvfsum2.u  |-  ( ph  ->  U  e.  RR* )
dvfsum2.md  |-  ( ph  ->  M  <_  ( D  +  1 ) )
dvfsum2.t  |-  ( ph  ->  T  e.  RR )
dvfsum2.a  |-  ( (
ph  /\  x  e.  S )  ->  A  e.  RR )
dvfsum2.b1  |-  ( (
ph  /\  x  e.  S )  ->  B  e.  V )
dvfsum2.b2  |-  ( (
ph  /\  x  e.  Z )  ->  B  e.  RR )
dvfsum2.b3  |-  ( ph  ->  ( RR  _D  (
x  e.  S  |->  A ) )  =  ( x  e.  S  |->  B ) )
dvfsum2.c  |-  ( x  =  k  ->  B  =  C )
dvfsum2.l  |-  ( (
ph  /\  ( x  e.  S  /\  k  e.  S )  /\  ( D  <_  x  /\  x  <_  k  /\  k  <_  U ) )  ->  B  <_  C )
dvfsum2.g  |-  G  =  ( x  e.  S  |->  ( sum_ k  e.  ( M ... ( |_
`  x ) ) C  -  A ) )
dvfsum2.0  |-  ( (
ph  /\  ( x  e.  S  /\  D  <_  x ) )  -> 
0  <_  B )
dvfsum2.1  |-  ( ph  ->  X  e.  S )
dvfsum2.2  |-  ( ph  ->  Y  e.  S )
dvfsum2.3  |-  ( ph  ->  D  <_  X )
dvfsum2.4  |-  ( ph  ->  X  <_  Y )
dvfsum2.5  |-  ( ph  ->  Y  <_  U )
dvfsum2.e  |-  ( x  =  Y  ->  B  =  E )
Assertion
Ref Expression
dvfsum2  |-  ( ph  ->  ( abs `  (
( G `  Y
)  -  ( G `
 X ) ) )  <_  E )
Distinct variable groups:    B, k    x, C    x, k, D    ph, k, x    x, E   
k, M, x    S, k, x    k, X, x   
k, Y, x    x, T    U, k, x    x, V    x, Z
Allowed substitution hints:    A( x, k)    B( x)    C( k)    T( k)    E( k)    G( x, k)    V( k)    Z( k)

Proof of Theorem dvfsum2
Dummy variable  m is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 dvfsum2.2 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  Y  e.  S )
2 fzfid 11304 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  ( M ... ( |_ `  Y ) )  e.  Fin )
3 dvfsum2.b2 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  x  e.  Z )  ->  B  e.  RR )
43ralrimiva 2781 . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  A. x  e.  Z  B  e.  RR )
5 elfzuz 11047 . . . . . . . . . 10  |-  ( k  e.  ( M ... ( |_ `  Y ) )  ->  k  e.  ( ZZ>= `  M )
)
6 dvfsum2.z . . . . . . . . . 10  |-  Z  =  ( ZZ>= `  M )
75, 6syl6eleqr 2526 . . . . . . . . 9  |-  ( k  e.  ( M ... ( |_ `  Y ) )  ->  k  e.  Z )
8 dvfsum2.c . . . . . . . . . . 11  |-  ( x  =  k  ->  B  =  C )
98eleq1d 2501 . . . . . . . . . 10  |-  ( x  =  k  ->  ( B  e.  RR  <->  C  e.  RR ) )
109rspccva 3043 . . . . . . . . 9  |-  ( ( A. x  e.  Z  B  e.  RR  /\  k  e.  Z )  ->  C  e.  RR )
114, 7, 10syl2an 464 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  k  e.  ( M ... ( |_
`  Y ) ) )  ->  C  e.  RR )
122, 11fsumrecl 12520 . . . . . . 7  |-  ( ph  -> 
sum_ k  e.  ( M ... ( |_
`  Y ) ) C  e.  RR )
13 dvfsum2.a . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  x  e.  S )  ->  A  e.  RR )
1413ralrimiva 2781 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  A. x  e.  S  A  e.  RR )
15 nfcsb1v 3275 . . . . . . . . . 10  |-  F/_ x [_ Y  /  x ]_ A
1615nfel1 2581 . . . . . . . . 9  |-  F/ x [_ Y  /  x ]_ A  e.  RR
17 csbeq1a 3251 . . . . . . . . . 10  |-  ( x  =  Y  ->  A  =  [_ Y  /  x ]_ A )
1817eleq1d 2501 . . . . . . . . 9  |-  ( x  =  Y  ->  ( A  e.  RR  <->  [_ Y  /  x ]_ A  e.  RR ) )
1916, 18rspc 3038 . . . . . . . 8  |-  ( Y  e.  S  ->  ( A. x  e.  S  A  e.  RR  ->  [_ Y  /  x ]_ A  e.  RR )
)
201, 14, 19sylc 58 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  [_ Y  /  x ]_ A  e.  RR )
2112, 20resubcld 9457 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  ( sum_ k  e.  ( M ... ( |_
`  Y ) ) C  -  [_ Y  /  x ]_ A )  e.  RR )
22 nfcv 2571 . . . . . . 7  |-  F/_ x Y
23 nfcv 2571 . . . . . . . 8  |-  F/_ x sum_ k  e.  ( M ... ( |_ `  Y ) ) C
24 nfcv 2571 . . . . . . . 8  |-  F/_ x  -
2523, 24, 15nfov 6096 . . . . . . 7  |-  F/_ x
( sum_ k  e.  ( M ... ( |_
`  Y ) ) C  -  [_ Y  /  x ]_ A )
26 fveq2 5720 . . . . . . . . . 10  |-  ( x  =  Y  ->  ( |_ `  x )  =  ( |_ `  Y
) )
2726oveq2d 6089 . . . . . . . . 9  |-  ( x  =  Y  ->  ( M ... ( |_ `  x ) )  =  ( M ... ( |_ `  Y ) ) )
2827sumeq1d 12487 . . . . . . . 8  |-  ( x  =  Y  ->  sum_ k  e.  ( M ... ( |_ `  x ) ) C  =  sum_ k  e.  ( M ... ( |_ `  Y ) ) C )
2928, 17oveq12d 6091 . . . . . . 7  |-  ( x  =  Y  ->  ( sum_ k  e.  ( M ... ( |_ `  x ) ) C  -  A )  =  ( sum_ k  e.  ( M ... ( |_
`  Y ) ) C  -  [_ Y  /  x ]_ A ) )
30 dvfsum2.g . . . . . . 7  |-  G  =  ( x  e.  S  |->  ( sum_ k  e.  ( M ... ( |_
`  x ) ) C  -  A ) )
3122, 25, 29, 30fvmptf 5813 . . . . . 6  |-  ( ( Y  e.  S  /\  ( sum_ k  e.  ( M ... ( |_
`  Y ) ) C  -  [_ Y  /  x ]_ A )  e.  RR )  -> 
( G `  Y
)  =  ( sum_ k  e.  ( M ... ( |_ `  Y
) ) C  -  [_ Y  /  x ]_ A ) )
321, 21, 31syl2anc 643 . . . . 5  |-  ( ph  ->  ( G `  Y
)  =  ( sum_ k  e.  ( M ... ( |_ `  Y
) ) C  -  [_ Y  /  x ]_ A ) )
33 dvfsum2.1 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  X  e.  S )
34 fzfid 11304 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  ( M ... ( |_ `  X ) )  e.  Fin )
35 elfzuz 11047 . . . . . . . . . 10  |-  ( k  e.  ( M ... ( |_ `  X ) )  ->  k  e.  ( ZZ>= `  M )
)
3635, 6syl6eleqr 2526 . . . . . . . . 9  |-  ( k  e.  ( M ... ( |_ `  X ) )  ->  k  e.  Z )
374, 36, 10syl2an 464 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  k  e.  ( M ... ( |_
`  X ) ) )  ->  C  e.  RR )
3834, 37fsumrecl 12520 . . . . . . 7  |-  ( ph  -> 
sum_ k  e.  ( M ... ( |_
`  X ) ) C  e.  RR )
39 nfcsb1v 3275 . . . . . . . . . 10  |-  F/_ x [_ X  /  x ]_ A
4039nfel1 2581 . . . . . . . . 9  |-  F/ x [_ X  /  x ]_ A  e.  RR
41 csbeq1a 3251 . . . . . . . . . 10  |-  ( x  =  X  ->  A  =  [_ X  /  x ]_ A )
4241eleq1d 2501 . . . . . . . . 9  |-  ( x  =  X  ->  ( A  e.  RR  <->  [_ X  /  x ]_ A  e.  RR ) )
4340, 42rspc 3038 . . . . . . . 8  |-  ( X  e.  S  ->  ( A. x  e.  S  A  e.  RR  ->  [_ X  /  x ]_ A  e.  RR )
)
4433, 14, 43sylc 58 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  [_ X  /  x ]_ A  e.  RR )
4538, 44resubcld 9457 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  ( sum_ k  e.  ( M ... ( |_
`  X ) ) C  -  [_ X  /  x ]_ A )  e.  RR )
46 nfcv 2571 . . . . . . 7  |-  F/_ x X
47 nfcv 2571 . . . . . . . 8  |-  F/_ x sum_ k  e.  ( M ... ( |_ `  X ) ) C
4847, 24, 39nfov 6096 . . . . . . 7  |-  F/_ x
( sum_ k  e.  ( M ... ( |_
`  X ) ) C  -  [_ X  /  x ]_ A )
49 fveq2 5720 . . . . . . . . . 10  |-  ( x  =  X  ->  ( |_ `  x )  =  ( |_ `  X
) )
5049oveq2d 6089 . . . . . . . . 9  |-  ( x  =  X  ->  ( M ... ( |_ `  x ) )  =  ( M ... ( |_ `  X ) ) )
5150sumeq1d 12487 . . . . . . . 8  |-  ( x  =  X  ->  sum_ k  e.  ( M ... ( |_ `  x ) ) C  =  sum_ k  e.  ( M ... ( |_ `  X ) ) C )
5251, 41oveq12d 6091 . . . . . . 7  |-  ( x  =  X  ->  ( sum_ k  e.  ( M ... ( |_ `  x ) ) C  -  A )  =  ( sum_ k  e.  ( M ... ( |_
`  X ) ) C  -  [_ X  /  x ]_ A ) )
5346, 48, 52, 30fvmptf 5813 . . . . . 6  |-  ( ( X  e.  S  /\  ( sum_ k  e.  ( M ... ( |_
`  X ) ) C  -  [_ X  /  x ]_ A )  e.  RR )  -> 
( G `  X
)  =  ( sum_ k  e.  ( M ... ( |_ `  X
) ) C  -  [_ X  /  x ]_ A ) )
5433, 45, 53syl2anc 643 . . . . 5  |-  ( ph  ->  ( G `  X
)  =  ( sum_ k  e.  ( M ... ( |_ `  X
) ) C  -  [_ X  /  x ]_ A ) )
5532, 54oveq12d 6091 . . . 4  |-  ( ph  ->  ( ( G `  Y )  -  ( G `  X )
)  =  ( (
sum_ k  e.  ( M ... ( |_
`  Y ) ) C  -  [_ Y  /  x ]_ A )  -  ( sum_ k  e.  ( M ... ( |_ `  X ) ) C  -  [_ X  /  x ]_ A ) ) )
5655fveq2d 5724 . . 3  |-  ( ph  ->  ( abs `  (
( G `  Y
)  -  ( G `
 X ) ) )  =  ( abs `  ( ( sum_ k  e.  ( M ... ( |_ `  Y ) ) C  -  [_ Y  /  x ]_ A )  -  ( sum_ k  e.  ( M ... ( |_ `  X ) ) C  -  [_ X  /  x ]_ A ) ) ) )
5721recnd 9106 . . . 4  |-  ( ph  ->  ( sum_ k  e.  ( M ... ( |_
`  Y ) ) C  -  [_ Y  /  x ]_ A )  e.  CC )
5845recnd 9106 . . . 4  |-  ( ph  ->  ( sum_ k  e.  ( M ... ( |_
`  X ) ) C  -  [_ X  /  x ]_ A )  e.  CC )
5957, 58abssubd 12247 . . 3  |-  ( ph  ->  ( abs `  (
( sum_ k  e.  ( M ... ( |_
`  Y ) ) C  -  [_ Y  /  x ]_ A )  -  ( sum_ k  e.  ( M ... ( |_ `  X ) ) C  -  [_ X  /  x ]_ A ) ) )  =  ( abs `  ( (
sum_ k  e.  ( M ... ( |_
`  X ) ) C  -  [_ X  /  x ]_ A )  -  ( sum_ k  e.  ( M ... ( |_ `  Y ) ) C  -  [_ Y  /  x ]_ A ) ) ) )
6056, 59eqtrd 2467 . 2  |-  ( ph  ->  ( abs `  (
( G `  Y
)  -  ( G `
 X ) ) )  =  ( abs `  ( ( sum_ k  e.  ( M ... ( |_ `  X ) ) C  -  [_ X  /  x ]_ A )  -  ( sum_ k  e.  ( M ... ( |_ `  Y ) ) C  -  [_ Y  /  x ]_ A ) ) ) )
61 dvfsum2.s . . . . . . . . . 10  |-  S  =  ( T (,)  +oo )
62 ioossre 10964 . . . . . . . . . 10  |-  ( T (,)  +oo )  C_  RR
6361, 62eqsstri 3370 . . . . . . . . 9  |-  S  C_  RR
6463a1i 11 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  S  C_  RR )
65 dvfsum2.b1 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  x  e.  S )  ->  B  e.  V )
66 dvfsum2.b3 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  ( RR  _D  (
x  e.  S  |->  A ) )  =  ( x  e.  S  |->  B ) )
6764, 13, 65, 66dvmptrecl 19900 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  x  e.  S )  ->  B  e.  RR )
6867ralrimiva 2781 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  A. x  e.  S  B  e.  RR )
69 dvfsum2.e . . . . . . . 8  |-  ( x  =  Y  ->  B  =  E )
7069eleq1d 2501 . . . . . . 7  |-  ( x  =  Y  ->  ( B  e.  RR  <->  E  e.  RR ) )
7170rspcv 3040 . . . . . 6  |-  ( Y  e.  S  ->  ( A. x  e.  S  B  e.  RR  ->  E  e.  RR ) )
721, 68, 71sylc 58 . . . . 5  |-  ( ph  ->  E  e.  RR )
7321, 72resubcld 9457 . . . 4  |-  ( ph  ->  ( ( sum_ k  e.  ( M ... ( |_ `  Y ) ) C  -  [_ Y  /  x ]_ A )  -  E )  e.  RR )
7463, 33sseldi 3338 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  X  e.  RR )
75 reflcl 11197 . . . . . . . . 9  |-  ( X  e.  RR  ->  ( |_ `  X )  e.  RR )
7674, 75syl 16 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  ( |_ `  X
)  e.  RR )
7774, 76resubcld 9457 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  ( X  -  ( |_ `  X ) )  e.  RR )
78 nfv 1629 . . . . . . . . . 10  |-  F/ m  B  e.  RR
79 nfcsb1v 3275 . . . . . . . . . . 11  |-  F/_ x [_ m  /  x ]_ B
8079nfel1 2581 . . . . . . . . . 10  |-  F/ x [_ m  /  x ]_ B  e.  RR
81 csbeq1a 3251 . . . . . . . . . . 11  |-  ( x  =  m  ->  B  =  [_ m  /  x ]_ B )
8281eleq1d 2501 . . . . . . . . . 10  |-  ( x  =  m  ->  ( B  e.  RR  <->  [_ m  /  x ]_ B  e.  RR ) )
8378, 80, 82cbvral 2920 . . . . . . . . 9  |-  ( A. x  e.  S  B  e.  RR  <->  A. m  e.  S  [_ m  /  x ]_ B  e.  RR )
8468, 83sylib 189 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  A. m  e.  S  [_ m  /  x ]_ B  e.  RR )
85 csbeq1 3246 . . . . . . . . . 10  |-  ( m  =  X  ->  [_ m  /  x ]_ B  = 
[_ X  /  x ]_ B )
8685eleq1d 2501 . . . . . . . . 9  |-  ( m  =  X  ->  ( [_ m  /  x ]_ B  e.  RR  <->  [_ X  /  x ]_ B  e.  RR )
)
8786rspcv 3040 . . . . . . . 8  |-  ( X  e.  S  ->  ( A. m  e.  S  [_ m  /  x ]_ B  e.  RR  ->  [_ X  /  x ]_ B  e.  RR )
)
8833, 84, 87sylc 58 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  [_ X  /  x ]_ B  e.  RR )
8977, 88remulcld 9108 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  ( ( X  -  ( |_ `  X ) )  x.  [_ X  /  x ]_ B )  e.  RR )
9089, 45readdcld 9107 . . . . 5  |-  ( ph  ->  ( ( ( X  -  ( |_ `  X ) )  x. 
[_ X  /  x ]_ B )  +  (
sum_ k  e.  ( M ... ( |_
`  X ) ) C  -  [_ X  /  x ]_ A ) )  e.  RR )
9190, 88resubcld 9457 . . . 4  |-  ( ph  ->  ( ( ( ( X  -  ( |_
`  X ) )  x.  [_ X  /  x ]_ B )  +  ( sum_ k  e.  ( M ... ( |_
`  X ) ) C  -  [_ X  /  x ]_ A ) )  -  [_ X  /  x ]_ B )  e.  RR )
9263, 1sseldi 3338 . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  Y  e.  RR )
93 reflcl 11197 . . . . . . . . . 10  |-  ( Y  e.  RR  ->  ( |_ `  Y )  e.  RR )
9492, 93syl 16 . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  ( |_ `  Y
)  e.  RR )
9592, 94resubcld 9457 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  ( Y  -  ( |_ `  Y ) )  e.  RR )
9695, 72remulcld 9108 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  ( ( Y  -  ( |_ `  Y ) )  x.  E )  e.  RR )
9796, 21readdcld 9107 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  ( ( ( Y  -  ( |_ `  Y ) )  x.  E )  +  (
sum_ k  e.  ( M ... ( |_
`  Y ) ) C  -  [_ Y  /  x ]_ A ) )  e.  RR )
9897, 72resubcld 9457 . . . . 5  |-  ( ph  ->  ( ( ( ( Y  -  ( |_
`  Y ) )  x.  E )  +  ( sum_ k  e.  ( M ... ( |_
`  Y ) ) C  -  [_ Y  /  x ]_ A ) )  -  E )  e.  RR )
99 fracge0 11205 . . . . . . . . 9  |-  ( Y  e.  RR  ->  0  <_  ( Y  -  ( |_ `  Y ) ) )
10092, 99syl 16 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  0  <_  ( Y  -  ( |_ `  Y ) ) )
101 dvfsum2.0 . . . . . . . . . . 11  |-  ( (
ph  /\  ( x  e.  S  /\  D  <_  x ) )  -> 
0  <_  B )
102101expr 599 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  x  e.  S )  ->  ( D  <_  x  ->  0  <_  B ) )
103102ralrimiva 2781 . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  A. x  e.  S  ( D  <_  x  -> 
0  <_  B )
)
104 dvfsum2.d . . . . . . . . . 10  |-  ( ph  ->  D  e.  RR )
105 dvfsum2.3 . . . . . . . . . 10  |-  ( ph  ->  D  <_  X )
106 dvfsum2.4 . . . . . . . . . 10  |-  ( ph  ->  X  <_  Y )
107104, 74, 92, 105, 106letrd 9219 . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  D  <_  Y )
108 breq2 4208 . . . . . . . . . . 11  |-  ( x  =  Y  ->  ( D  <_  x  <->  D  <_  Y ) )
10969breq2d 4216 . . . . . . . . . . 11  |-  ( x  =  Y  ->  (
0  <_  B  <->  0  <_  E ) )
110108, 109imbi12d 312 . . . . . . . . . 10  |-  ( x  =  Y  ->  (
( D  <_  x  ->  0  <_  B )  <->  ( D  <_  Y  ->  0  <_  E ) ) )
111110rspcv 3040 . . . . . . . . 9  |-  ( Y  e.  S  ->  ( A. x  e.  S  ( D  <_  x  -> 
0  <_  B )  ->  ( D  <_  Y  ->  0  <_  E )
) )
1121, 103, 107, 111syl3c 59 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  0  <_  E )
11395, 72, 100, 112mulge0d 9595 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  0  <_  ( ( Y  -  ( |_ `  Y ) )  x.  E ) )
11421, 96addge02d 9607 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  ( 0  <_  (
( Y  -  ( |_ `  Y ) )  x.  E )  <->  ( sum_ k  e.  ( M ... ( |_ `  Y
) ) C  -  [_ Y  /  x ]_ A )  <_  (
( ( Y  -  ( |_ `  Y ) )  x.  E )  +  ( sum_ k  e.  ( M ... ( |_ `  Y ) ) C  -  [_ Y  /  x ]_ A ) ) ) )
115113, 114mpbid 202 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  ( sum_ k  e.  ( M ... ( |_
`  Y ) ) C  -  [_ Y  /  x ]_ A )  <_  ( ( ( Y  -  ( |_
`  Y ) )  x.  E )  +  ( sum_ k  e.  ( M ... ( |_
`  Y ) ) C  -  [_ Y  /  x ]_ A ) ) )
11621, 97, 72, 115lesub1dd 9634 . . . . 5  |-  ( ph  ->  ( ( sum_ k  e.  ( M ... ( |_ `  Y ) ) C  -  [_ Y  /  x ]_ A )  -  E )  <_ 
( ( ( ( Y  -  ( |_
`  Y ) )  x.  E )  +  ( sum_ k  e.  ( M ... ( |_
`  Y ) ) C  -  [_ Y  /  x ]_ A ) )  -  E ) )
117 dvfsum2.m . . . . . . . . . . 11  |-  ( ph  ->  M  e.  ZZ )
118 dvfsum2.md . . . . . . . . . . 11  |-  ( ph  ->  M  <_  ( D  +  1 ) )
119 dvfsum2.t . . . . . . . . . . 11  |-  ( ph  ->  T  e.  RR )
12013renegcld 9456 . . . . . . . . . . 11  |-  ( (
ph  /\  x  e.  S )  ->  -u A  e.  RR )
12167renegcld 9456 . . . . . . . . . . 11  |-  ( (
ph  /\  x  e.  S )  ->  -u B  e.  RR )
1223renegcld 9456 . . . . . . . . . . 11  |-  ( (
ph  /\  x  e.  Z )  ->  -u B  e.  RR )
123 reex 9073 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  RR  e.  _V
124123prid1 3904 . . . . . . . . . . . . 13  |-  RR  e.  { RR ,  CC }
125124a1i 11 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ph  ->  RR  e.  { RR ,  CC } )
12613recnd 9106 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( (
ph  /\  x  e.  S )  ->  A  e.  CC )
127125, 126, 65, 66dvmptneg 19844 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ph  ->  ( RR  _D  (
x  e.  S  |->  -u A ) )  =  ( x  e.  S  |-> 
-u B ) )
1288negeqd 9292 . . . . . . . . . . 11  |-  ( x  =  k  ->  -u B  =  -u C )
129 dvfsum2.u . . . . . . . . . . 11  |-  ( ph  ->  U  e.  RR* )
130 dvfsum2.l . . . . . . . . . . . 12  |-  ( (
ph  /\  ( x  e.  S  /\  k  e.  S )  /\  ( D  <_  x  /\  x  <_  k  /\  k  <_  U ) )  ->  B  <_  C )
13167adantrr 698 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( (
ph  /\  ( x  e.  S  /\  k  e.  S ) )  ->  B  e.  RR )
1321313adant3 977 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( (
ph  /\  ( x  e.  S  /\  k  e.  S )  /\  ( D  <_  x  /\  x  <_  k  /\  k  <_  U ) )  ->  B  e.  RR )
133 simp2r 984 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( (
ph  /\  ( x  e.  S  /\  k  e.  S )  /\  ( D  <_  x  /\  x  <_  k  /\  k  <_  U ) )  -> 
k  e.  S )
134683ad2ant1 978 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( (
ph  /\  ( x  e.  S  /\  k  e.  S )  /\  ( D  <_  x  /\  x  <_  k  /\  k  <_  U ) )  ->  A. x  e.  S  B  e.  RR )
1359rspcv 3040 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( k  e.  S  ->  ( A. x  e.  S  B  e.  RR  ->  C  e.  RR ) )
136133, 134, 135sylc 58 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( (
ph  /\  ( x  e.  S  /\  k  e.  S )  /\  ( D  <_  x  /\  x  <_  k  /\  k  <_  U ) )  ->  C  e.  RR )
137132, 136lenegd 9597 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( (
ph  /\  ( x  e.  S  /\  k  e.  S )  /\  ( D  <_  x  /\  x  <_  k  /\  k  <_  U ) )  -> 
( B  <_  C  <->  -u C  <_  -u B ) )
138130, 137mpbid 202 . . . . . . . . . . 11  |-  ( (
ph  /\  ( x  e.  S  /\  k  e.  S )  /\  ( D  <_  x  /\  x  <_  k  /\  k  <_  U ) )  ->  -u C  <_  -u B )
139 eqid 2435 . . . . . . . . . . 11  |-  ( x  e.  S  |->  ( ( ( x  -  ( |_ `  x ) )  x.  -u B )  +  ( sum_ k  e.  ( M ... ( |_
`  x ) )
-u C  -  -u A
) ) )  =  ( x  e.  S  |->  ( ( ( x  -  ( |_ `  x ) )  x.  -u B )  +  (
sum_ k  e.  ( M ... ( |_
`  x ) )
-u C  -  -u A
) ) )
140 dvfsum2.5 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ph  ->  Y  <_  U )
14161, 6, 117, 104, 118, 119, 120, 121, 122, 127, 128, 129, 138, 139, 33, 1, 105, 106, 140dvfsumlem3 19904 . . . . . . . . . 10  |-  ( ph  ->  ( ( ( x  e.  S  |->  ( ( ( x  -  ( |_ `  x ) )  x.  -u B )  +  ( sum_ k  e.  ( M ... ( |_
`  x ) )
-u C  -  -u A
) ) ) `  Y )  <_  (
( x  e.  S  |->  ( ( ( x  -  ( |_ `  x ) )  x.  -u B )  +  (
sum_ k  e.  ( M ... ( |_
`  x ) )
-u C  -  -u A
) ) ) `  X )  /\  (
( ( x  e.  S  |->  ( ( ( x  -  ( |_
`  x ) )  x.  -u B )  +  ( sum_ k  e.  ( M ... ( |_
`  x ) )
-u C  -  -u A
) ) ) `  X )  -  [_ X  /  x ]_ -u B
)  <_  ( (
( x  e.  S  |->  ( ( ( x  -  ( |_ `  x ) )  x.  -u B )  +  (
sum_ k  e.  ( M ... ( |_
`  x ) )
-u C  -  -u A
) ) ) `  Y )  -  [_ Y  /  x ]_ -u B
) ) )
142141simprd 450 . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  ( ( ( x  e.  S  |->  ( ( ( x  -  ( |_ `  x ) )  x.  -u B )  +  ( sum_ k  e.  ( M ... ( |_
`  x ) )
-u C  -  -u A
) ) ) `  X )  -  [_ X  /  x ]_ -u B
)  <_  ( (
( x  e.  S  |->  ( ( ( x  -  ( |_ `  x ) )  x.  -u B )  +  (
sum_ k  e.  ( M ... ( |_
`  x ) )
-u C  -  -u A
) ) ) `  Y )  -  [_ Y  /  x ]_ -u B
) )
14377recnd 9106 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ph  ->  ( X  -  ( |_ `  X ) )  e.  CC )
14488recnd 9106 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ph  ->  [_ X  /  x ]_ B  e.  CC )
145143, 144mulneg2d 9479 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ph  ->  ( ( X  -  ( |_ `  X ) )  x.  -u [_ X  /  x ]_ B )  =  -u ( ( X  -  ( |_ `  X ) )  x. 
[_ X  /  x ]_ B ) )
14638recnd 9106 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ph  -> 
sum_ k  e.  ( M ... ( |_
`  X ) ) C  e.  CC )
14744recnd 9106 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ph  ->  [_ X  /  x ]_ A  e.  CC )
148146, 147neg2subd 9420 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ph  ->  ( -u sum_ k  e.  ( M ... ( |_ `  X ) ) C  -  -u [_ X  /  x ]_ A )  =  ( [_ X  /  x ]_ A  -  sum_ k  e.  ( M ... ( |_ `  X ) ) C ) )
14937recnd 9106 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( (
ph  /\  k  e.  ( M ... ( |_
`  X ) ) )  ->  C  e.  CC )
15034, 149fsumneg 12562 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ph  -> 
sum_ k  e.  ( M ... ( |_
`  X ) )
-u C  =  -u sum_ k  e.  ( M ... ( |_ `  X ) ) C )
151150oveq1d 6088 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ph  ->  ( sum_ k  e.  ( M ... ( |_
`  X ) )
-u C  -  -u [_ X  /  x ]_ A )  =  ( -u sum_ k  e.  ( M ... ( |_ `  X ) ) C  -  -u [_ X  /  x ]_ A ) )
152146, 147negsubdi2d 9419 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ph  -> 
-u ( sum_ k  e.  ( M ... ( |_ `  X ) ) C  -  [_ X  /  x ]_ A )  =  ( [_ X  /  x ]_ A  -  sum_ k  e.  ( M ... ( |_ `  X ) ) C ) )
153148, 151, 1523eqtr4d 2477 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ph  ->  ( sum_ k  e.  ( M ... ( |_
`  X ) )
-u C  -  -u [_ X  /  x ]_ A )  =  -u ( sum_ k  e.  ( M ... ( |_ `  X ) ) C  -  [_ X  /  x ]_ A ) )
154145, 153oveq12d 6091 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ph  ->  ( ( ( X  -  ( |_ `  X ) )  x.  -u [_ X  /  x ]_ B )  +  (
sum_ k  e.  ( M ... ( |_
`  X ) )
-u C  -  -u [_ X  /  x ]_ A ) )  =  ( -u ( ( X  -  ( |_ `  X ) )  x.  [_ X  /  x ]_ B )  +  -u ( sum_ k  e.  ( M ... ( |_ `  X ) ) C  -  [_ X  /  x ]_ A ) ) )
15589recnd 9106 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ph  ->  ( ( X  -  ( |_ `  X ) )  x.  [_ X  /  x ]_ B )  e.  CC )
156155, 58negdid 9416 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ph  -> 
-u ( ( ( X  -  ( |_
`  X ) )  x.  [_ X  /  x ]_ B )  +  ( sum_ k  e.  ( M ... ( |_
`  X ) ) C  -  [_ X  /  x ]_ A ) )  =  ( -u ( ( X  -  ( |_ `  X ) )  x.  [_ X  /  x ]_ B )  +  -u ( sum_ k  e.  ( M ... ( |_ `  X ) ) C  -  [_ X  /  x ]_ A ) ) )
157154, 156eqtr4d 2470 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ph  ->  ( ( ( X  -  ( |_ `  X ) )  x.  -u [_ X  /  x ]_ B )  +  (
sum_ k  e.  ( M ... ( |_
`  X ) )
-u C  -  -u [_ X  /  x ]_ A ) )  =  -u (
( ( X  -  ( |_ `  X ) )  x.  [_ X  /  x ]_ B )  +  ( sum_ k  e.  ( M ... ( |_ `  X ) ) C  -  [_ X  /  x ]_ A ) ) )
15890renegcld 9456 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ph  -> 
-u ( ( ( X  -  ( |_
`  X ) )  x.  [_ X  /  x ]_ B )  +  ( sum_ k  e.  ( M ... ( |_
`  X ) ) C  -  [_ X  /  x ]_ A ) )  e.  RR )
159157, 158eqeltrd 2509 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ph  ->  ( ( ( X  -  ( |_ `  X ) )  x.  -u [_ X  /  x ]_ B )  +  (
sum_ k  e.  ( M ... ( |_
`  X ) )
-u C  -  -u [_ X  /  x ]_ A ) )  e.  RR )
160 nfcv 2571 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  F/_ x
( X  -  ( |_ `  X ) )
161 nfcv 2571 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  F/_ x  x.
162 nfcsb1v 3275 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  F/_ x [_ X  /  x ]_ B
163162nfneg 9294 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  F/_ x -u
[_ X  /  x ]_ B
164160, 161, 163nfov 6096 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  F/_ x
( ( X  -  ( |_ `  X ) )  x.  -u [_ X  /  x ]_ B )
165 nfcv 2571 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  F/_ x  +
166 nfcv 2571 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  F/_ x sum_ k  e.  ( M ... ( |_ `  X ) ) -u C
16739nfneg 9294 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  F/_ x -u
[_ X  /  x ]_ A
168166, 24, 167nfov 6096 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  F/_ x
( sum_ k  e.  ( M ... ( |_
`  X ) )
-u C  -  -u [_ X  /  x ]_ A )
169164, 165, 168nfov 6096 . . . . . . . . . . . . 13  |-  F/_ x
( ( ( X  -  ( |_ `  X ) )  x.  -u [_ X  /  x ]_ B )  +  (
sum_ k  e.  ( M ... ( |_
`  X ) )
-u C  -  -u [_ X  /  x ]_ A ) )
170 id 20 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( x  =  X  ->  x  =  X )
171170, 49oveq12d 6091 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( x  =  X  ->  (
x  -  ( |_
`  x ) )  =  ( X  -  ( |_ `  X ) ) )
172 csbeq1a 3251 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( x  =  X  ->  B  =  [_ X  /  x ]_ B )
173172negeqd 9292 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( x  =  X  ->  -u B  =  -u [_ X  /  x ]_ B )
174171, 173oveq12d 6091 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( x  =  X  ->  (
( x  -  ( |_ `  x ) )  x.  -u B )  =  ( ( X  -  ( |_ `  X ) )  x.  -u [_ X  /  x ]_ B ) )
17550sumeq1d 12487 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( x  =  X  ->  sum_ k  e.  ( M ... ( |_ `  x ) )
-u C  =  sum_ k  e.  ( M ... ( |_ `  X
) ) -u C
)
17641negeqd 9292 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( x  =  X  ->  -u A  =  -u [_ X  /  x ]_ A )
177175, 176oveq12d 6091 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( x  =  X  ->  ( sum_ k  e.  ( M ... ( |_ `  x ) ) -u C  -  -u A )  =  ( sum_ k  e.  ( M ... ( |_ `  X ) )
-u C  -  -u [_ X  /  x ]_ A ) )
178174, 177oveq12d 6091 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( x  =  X  ->  (
( ( x  -  ( |_ `  x ) )  x.  -u B
)  +  ( sum_ k  e.  ( M ... ( |_ `  x
) ) -u C  -  -u A ) )  =  ( ( ( X  -  ( |_
`  X ) )  x.  -u [_ X  /  x ]_ B )  +  ( sum_ k  e.  ( M ... ( |_
`  X ) )
-u C  -  -u [_ X  /  x ]_ A ) ) )
17946, 169, 178, 139fvmptf 5813 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( X  e.  S  /\  ( ( ( X  -  ( |_ `  X ) )  x.  -u [_ X  /  x ]_ B )  +  (
sum_ k  e.  ( M ... ( |_
`  X ) )
-u C  -  -u [_ X  /  x ]_ A ) )  e.  RR )  ->  ( ( x  e.  S  |->  ( ( ( x  -  ( |_ `  x ) )  x.  -u B )  +  ( sum_ k  e.  ( M ... ( |_
`  x ) )
-u C  -  -u A
) ) ) `  X )  =  ( ( ( X  -  ( |_ `  X ) )  x.  -u [_ X  /  x ]_ B )  +  ( sum_ k  e.  ( M ... ( |_ `  X ) )
-u C  -  -u [_ X  /  x ]_ A ) ) )
18033, 159, 179syl2anc 643 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ph  ->  ( ( x  e.  S  |->  ( ( ( x  -  ( |_
`  x ) )  x.  -u B )  +  ( sum_ k  e.  ( M ... ( |_
`  x ) )
-u C  -  -u A
) ) ) `  X )  =  ( ( ( X  -  ( |_ `  X ) )  x.  -u [_ X  /  x ]_ B )  +  ( sum_ k  e.  ( M ... ( |_ `  X ) )
-u C  -  -u [_ X  /  x ]_ A ) ) )
181180, 157eqtrd 2467 . . . . . . . . . 10  |-  ( ph  ->  ( ( x  e.  S  |->  ( ( ( x  -  ( |_
`  x ) )  x.  -u B )  +  ( sum_ k  e.  ( M ... ( |_
`  x ) )
-u C  -  -u A
) ) ) `  X )  =  -u ( ( ( X  -  ( |_ `  X ) )  x. 
[_ X  /  x ]_ B )  +  (
sum_ k  e.  ( M ... ( |_
`  X ) ) C  -  [_ X  /  x ]_ A ) ) )
182 csbnegg 9295 . . . . . . . . . . 11  |-  ( X  e.  S  ->  [_ X  /  x ]_ -u B  =  -u [_ X  /  x ]_ B )
18333, 182syl 16 . . . . . . . . . 10  |-  ( ph  ->  [_ X  /  x ]_ -u B  =  -u [_ X  /  x ]_ B )
184181, 183oveq12d 6091 . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  ( ( ( x  e.  S  |->  ( ( ( x  -  ( |_ `  x ) )  x.  -u B )  +  ( sum_ k  e.  ( M ... ( |_
`  x ) )
-u C  -  -u A
) ) ) `  X )  -  [_ X  /  x ]_ -u B
)  =  ( -u ( ( ( X  -  ( |_ `  X ) )  x. 
[_ X  /  x ]_ B )  +  (
sum_ k  e.  ( M ... ( |_
`  X ) ) C  -  [_ X  /  x ]_ A ) )  -  -u [_ X  /  x ]_ B ) )
18595recnd 9106 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ph  ->  ( Y  -  ( |_ `  Y ) )  e.  CC )
18672recnd 9106 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ph  ->  E  e.  CC )
187185, 186mulneg2d 9479 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ph  ->  ( ( Y  -  ( |_ `  Y ) )  x.  -u E
)  =  -u (
( Y  -  ( |_ `  Y ) )  x.  E ) )
18812recnd 9106 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ph  -> 
sum_ k  e.  ( M ... ( |_
`  Y ) ) C  e.  CC )
18920recnd 9106 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ph  ->  [_ Y  /  x ]_ A  e.  CC )
190188, 189neg2subd 9420 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ph  ->  ( -u sum_ k  e.  ( M ... ( |_ `  Y ) ) C  -  -u [_ Y  /  x ]_ A )  =  ( [_ Y  /  x ]_ A  -  sum_ k  e.  ( M ... ( |_ `  Y ) ) C ) )
19111recnd 9106 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( (
ph  /\  k  e.  ( M ... ( |_
`  Y ) ) )  ->  C  e.  CC )
1922, 191fsumneg 12562 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ph  -> 
sum_ k  e.  ( M ... ( |_
`  Y ) )
-u C  =  -u sum_ k  e.  ( M ... ( |_ `  Y ) ) C )
193192oveq1d 6088 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ph  ->  ( sum_ k  e.  ( M ... ( |_
`  Y ) )
-u C  -  -u [_ Y  /  x ]_ A )  =  ( -u sum_ k  e.  ( M ... ( |_ `  Y ) ) C  -  -u [_ Y  /  x ]_ A ) )
194188, 189negsubdi2d 9419 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ph  -> 
-u ( sum_ k  e.  ( M ... ( |_ `  Y ) ) C  -  [_ Y  /  x ]_ A )  =  ( [_ Y  /  x ]_ A  -  sum_ k  e.  ( M ... ( |_ `  Y ) ) C ) )
195190, 193, 1943eqtr4d 2477 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ph  ->  ( sum_ k  e.  ( M ... ( |_
`  Y ) )
-u C  -  -u [_ Y  /  x ]_ A )  =  -u ( sum_ k  e.  ( M ... ( |_ `  Y ) ) C  -  [_ Y  /  x ]_ A ) )
196187, 195oveq12d 6091 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ph  ->  ( ( ( Y  -  ( |_ `  Y ) )  x.  -u E )  +  (
sum_ k  e.  ( M ... ( |_
`  Y ) )
-u C  -  -u [_ Y  /  x ]_ A ) )  =  ( -u ( ( Y  -  ( |_ `  Y ) )  x.  E )  +  -u ( sum_ k  e.  ( M ... ( |_ `  Y ) ) C  -  [_ Y  /  x ]_ A ) ) )
19796recnd 9106 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ph  ->  ( ( Y  -  ( |_ `  Y ) )  x.  E )  e.  CC )
198197, 57negdid 9416 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ph  -> 
-u ( ( ( Y  -  ( |_
`  Y ) )  x.  E )  +  ( sum_ k  e.  ( M ... ( |_
`  Y ) ) C  -  [_ Y  /  x ]_ A ) )  =  ( -u ( ( Y  -  ( |_ `  Y ) )  x.  E )  +  -u ( sum_ k  e.  ( M ... ( |_ `  Y ) ) C  -  [_ Y  /  x ]_ A ) ) )
199196, 198eqtr4d 2470 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ph  ->  ( ( ( Y  -  ( |_ `  Y ) )  x.  -u E )  +  (
sum_ k  e.  ( M ... ( |_
`  Y ) )
-u C  -  -u [_ Y  /  x ]_ A ) )  =  -u (
( ( Y  -  ( |_ `  Y ) )  x.  E )  +  ( sum_ k  e.  ( M ... ( |_ `  Y ) ) C  -  [_ Y  /  x ]_ A ) ) )
20097renegcld 9456 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ph  -> 
-u ( ( ( Y  -  ( |_
`  Y ) )  x.  E )  +  ( sum_ k  e.  ( M ... ( |_
`  Y ) ) C  -  [_ Y  /  x ]_ A ) )  e.  RR )
201199, 200eqeltrd 2509 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ph  ->  ( ( ( Y  -  ( |_ `  Y ) )  x.  -u E )  +  (
sum_ k  e.  ( M ... ( |_
`  Y ) )
-u C  -  -u [_ Y  /  x ]_ A ) )  e.  RR )
202 nfcv 2571 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  F/_ x
( ( Y  -  ( |_ `  Y ) )  x.  -u E
)
203 nfcv 2571 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  F/_ x sum_ k  e.  ( M ... ( |_ `  Y ) ) -u C
20415nfneg 9294 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  F/_ x -u
[_ Y  /  x ]_ A
205203, 24, 204nfov 6096 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  F/_ x
( sum_ k  e.  ( M ... ( |_
`  Y ) )
-u C  -  -u [_ Y  /  x ]_ A )
206202, 165, 205nfov 6096 . . . . . . . . . . . . 13  |-  F/_ x
( ( ( Y  -  ( |_ `  Y ) )  x.  -u E )  +  (
sum_ k  e.  ( M ... ( |_
`  Y ) )
-u C  -  -u [_ Y  /  x ]_ A ) )
207 id 20 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( x  =  Y  ->  x  =  Y )
208207, 26oveq12d 6091 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( x  =  Y  ->  (
x  -  ( |_
`  x ) )  =  ( Y  -  ( |_ `  Y ) ) )
20969negeqd 9292 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( x  =  Y  ->  -u B  =  -u E )
210208, 209oveq12d 6091 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( x  =  Y  ->  (
( x  -  ( |_ `  x ) )  x.  -u B )  =  ( ( Y  -  ( |_ `  Y ) )  x.  -u E
) )
21127sumeq1d 12487 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( x  =  Y  ->  sum_ k  e.  ( M ... ( |_ `  x ) )
-u C  =  sum_ k  e.  ( M ... ( |_ `  Y
) ) -u C
)
21217negeqd 9292 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( x  =  Y  ->  -u A  =  -u [_ Y  /  x ]_ A )
213211, 212oveq12d 6091 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( x  =  Y  ->  ( sum_ k  e.  ( M ... ( |_ `  x ) ) -u C  -  -u A )  =  ( sum_ k  e.  ( M ... ( |_ `  Y ) )
-u C  -  -u [_ Y  /  x ]_ A ) )
214210, 213oveq12d 6091 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( x  =  Y  ->  (
( ( x  -  ( |_ `  x ) )  x.  -u B
)  +  ( sum_ k  e.  ( M ... ( |_ `  x
) ) -u C  -  -u A ) )  =  ( ( ( Y  -  ( |_
`  Y ) )  x.  -u E )  +  ( sum_ k  e.  ( M ... ( |_
`  Y ) )
-u C  -  -u [_ Y  /  x ]_ A ) ) )
21522, 206, 214, 139fvmptf 5813 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( Y  e.  S  /\  ( ( ( Y  -  ( |_ `  Y ) )  x.  -u E )  +  (
sum_ k  e.  ( M ... ( |_
`  Y ) )
-u C  -  -u [_ Y  /  x ]_ A ) )  e.  RR )  ->  ( ( x  e.  S  |->  ( ( ( x  -  ( |_ `  x ) )  x.  -u B )  +  ( sum_ k  e.  ( M ... ( |_
`  x ) )
-u C  -  -u A
) ) ) `  Y )  =  ( ( ( Y  -  ( |_ `  Y ) )  x.  -u E
)  +  ( sum_ k  e.  ( M ... ( |_ `  Y
) ) -u C  -  -u [_ Y  /  x ]_ A ) ) )
2161, 201, 215syl2anc 643 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ph  ->  ( ( x  e.  S  |->  ( ( ( x  -  ( |_
`  x ) )  x.  -u B )  +  ( sum_ k  e.  ( M ... ( |_
`  x ) )
-u C  -  -u A
) ) ) `  Y )  =  ( ( ( Y  -  ( |_ `  Y ) )  x.  -u E
)  +  ( sum_ k  e.  ( M ... ( |_ `  Y
) ) -u C  -  -u [_ Y  /  x ]_ A ) ) )
217216, 199eqtrd 2467 . . . . . . . . . 10  |-  ( ph  ->  ( ( x  e.  S  |->  ( ( ( x  -  ( |_
`  x ) )  x.  -u B )  +  ( sum_ k  e.  ( M ... ( |_
`  x ) )
-u C  -  -u A
) ) ) `  Y )  =  -u ( ( ( Y  -  ( |_ `  Y ) )  x.  E )  +  (
sum_ k  e.  ( M ... ( |_
`  Y ) ) C  -  [_ Y  /  x ]_ A ) ) )
218209adantl 453 . . . . . . . . . . 11  |-  ( (
ph  /\  x  =  Y )  ->  -u B  =  -u E )
2191, 218csbied 3285 . . . . . . . . . 10  |-  ( ph  ->  [_ Y  /  x ]_ -u B  =  -u E )
220217, 219oveq12d 6091 . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  ( ( ( x  e.  S  |->  ( ( ( x  -  ( |_ `  x ) )  x.  -u B )  +  ( sum_ k  e.  ( M ... ( |_
`  x ) )
-u C  -  -u A
) ) ) `  Y )  -  [_ Y  /  x ]_ -u B
)  =  ( -u ( ( ( Y  -  ( |_ `  Y ) )  x.  E )  +  (
sum_ k  e.  ( M ... ( |_
`  Y ) ) C  -  [_ Y  /  x ]_ A ) )  -  -u E
) )
221142, 184, 2203brtr3d 4233 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  ( -u ( ( ( X  -  ( |_ `  X ) )  x.  [_ X  /  x ]_ B )  +  ( sum_ k  e.  ( M ... ( |_
`  X ) ) C  -  [_ X  /  x ]_ A ) )  -  -u [_ X  /  x ]_ B )  <_  ( -u (
( ( Y  -  ( |_ `  Y ) )  x.  E )  +  ( sum_ k  e.  ( M ... ( |_ `  Y ) ) C  -  [_ Y  /  x ]_ A ) )  -  -u E
) )
22290recnd 9106 . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  ( ( ( X  -  ( |_ `  X ) )  x. 
[_ X  /  x ]_ B )  +  (
sum_ k  e.  ( M ... ( |_
`  X ) ) C  -  [_ X  /  x ]_ A ) )  e.  CC )
223222, 144neg2subd 9420 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  ( -u ( ( ( X  -  ( |_ `  X ) )  x.  [_ X  /  x ]_ B )  +  ( sum_ k  e.  ( M ... ( |_
`  X ) ) C  -  [_ X  /  x ]_ A ) )  -  -u [_ X  /  x ]_ B )  =  ( [_ X  /  x ]_ B  -  ( ( ( X  -  ( |_ `  X ) )  x. 
[_ X  /  x ]_ B )  +  (
sum_ k  e.  ( M ... ( |_
`  X ) ) C  -  [_ X  /  x ]_ A ) ) ) )
22497recnd 9106 . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  ( ( ( Y  -  ( |_ `  Y ) )  x.  E )  +  (
sum_ k  e.  ( M ... ( |_
`  Y ) ) C  -  [_ Y  /  x ]_ A ) )  e.  CC )
225224, 186neg2subd 9420 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  ( -u ( ( ( Y  -  ( |_ `  Y ) )  x.  E )  +  ( sum_ k  e.  ( M ... ( |_
`  Y ) ) C  -  [_ Y  /  x ]_ A ) )  -  -u E
)  =  ( E  -  ( ( ( Y  -  ( |_
`  Y ) )  x.  E )  +  ( sum_ k  e.  ( M ... ( |_
`  Y ) ) C  -  [_ Y  /  x ]_ A ) ) ) )
226221, 223, 2253brtr3d 4233 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  ( [_ X  /  x ]_ B  -  (
( ( X  -  ( |_ `  X ) )  x.  [_ X  /  x ]_ B )  +  ( sum_ k  e.  ( M ... ( |_ `  X ) ) C  -  [_ X  /  x ]_ A ) ) )  <_  ( E  -  ( (
( Y  -  ( |_ `  Y ) )  x.  E )  +  ( sum_ k  e.  ( M ... ( |_
`  Y ) ) C  -  [_ Y  /  x ]_ A ) ) ) )
227222, 144negsubdi2d 9419 . . . . . . 7  |-  ( ph  -> 
-u ( ( ( ( X  -  ( |_ `  X ) )  x.  [_ X  /  x ]_ B )  +  ( sum_ k  e.  ( M ... ( |_
`  X ) ) C  -  [_ X  /  x ]_ A ) )  -  [_ X  /  x ]_ B )  =  ( [_ X  /  x ]_ B  -  ( ( ( X  -  ( |_ `  X ) )  x. 
[_ X  /  x ]_ B )  +  (
sum_ k  e.  ( M ... ( |_
`  X ) ) C  -  [_ X  /  x ]_ A ) ) ) )
228224, 186negsubdi2d 9419 . . . . . . 7  |-  ( ph  -> 
-u ( ( ( ( Y  -  ( |_ `  Y ) )  x.  E )  +  ( sum_ k  e.  ( M ... ( |_
`  Y ) ) C  -  [_ Y  /  x ]_ A ) )  -  E )  =  ( E  -  ( ( ( Y  -  ( |_ `  Y ) )  x.  E )  +  (
sum_ k  e.  ( M ... ( |_
`  Y ) ) C  -  [_ Y  /  x ]_ A ) ) ) )
229226, 227, 2283brtr4d 4234 . . . . . 6  |-  ( ph  -> 
-u ( ( ( ( X  -  ( |_ `  X ) )  x.  [_ X  /  x ]_ B )  +  ( sum_ k  e.  ( M ... ( |_
`  X ) ) C  -  [_ X  /  x ]_ A ) )  -  [_ X  /  x ]_ B )  <_  -u ( ( ( ( Y  -  ( |_ `  Y ) )  x.  E )  +  ( sum_ k  e.  ( M ... ( |_
`  Y ) ) C  -  [_ Y  /  x ]_ A ) )  -  E ) )
23098, 91lenegd 9597 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  ( ( ( ( ( Y  -  ( |_ `  Y ) )  x.  E )  +  ( sum_ k  e.  ( M ... ( |_
`  Y ) ) C  -  [_ Y  /  x ]_ A ) )  -  E )  <_  ( ( ( ( X  -  ( |_ `  X ) )  x.  [_ X  /  x ]_ B )  +  ( sum_ k  e.  ( M ... ( |_
`  X ) ) C  -  [_ X  /  x ]_ A ) )  -  [_ X  /  x ]_ B )  <->  -u ( ( ( ( X  -  ( |_
`  X ) )  x.  [_ X  /  x ]_ B )  +  ( sum_ k  e.  ( M ... ( |_
`  X ) ) C  -  [_ X  /  x ]_ A ) )  -  [_ X  /  x ]_ B )  <_  -u ( ( ( ( Y  -  ( |_ `  Y ) )  x.  E )  +  ( sum_ k  e.  ( M ... ( |_
`  Y ) ) C  -  [_ Y  /  x ]_ A ) )  -  E ) ) )
231229, 230mpbird 224 . . . . 5  |-  ( ph  ->  ( ( ( ( Y  -  ( |_
`  Y ) )  x.  E )  +  ( sum_ k  e.  ( M ... ( |_
`  Y ) ) C  -  [_ Y  /  x ]_ A ) )  -  E )  <_  ( ( ( ( X  -  ( |_ `  X ) )  x.  [_ X  /  x ]_ B )  +  ( sum_ k  e.  ( M ... ( |_
`  X ) ) C  -  [_ X  /  x ]_ A ) )  -  [_ X  /  x ]_ B ) )
23273, 98, 91, 116, 231letrd 9219 . . . 4  |-  ( ph  ->  ( ( sum_ k  e.  ( M ... ( |_ `  Y ) ) C  -  [_ Y  /  x ]_ A )  -  E )  <_ 
( ( ( ( X  -  ( |_
`  X ) )  x.  [_ X  /  x ]_ B )  +  ( sum_ k  e.  ( M ... ( |_
`  X ) ) C  -  [_ X  /  x ]_ A ) )  -  [_ X  /  x ]_ B ) )
233 1re 9082 . . . . . . . . 9  |-  1  e.  RR
234233a1i 11 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  1  e.  RR )
235 nfv 1629 . . . . . . . . . . 11  |-  F/ x  D  <_  X
236 nfcv 2571 . . . . . . . . . . . 12  |-  F/_ x
0
237 nfcv 2571 . . . . . . . . . . . 12  |-  F/_ x  <_
238236, 237, 162nfbr 4248 . . . . . . . . . . 11  |-  F/ x
0  <_  [_ X  /  x ]_ B
239235, 238nfim 1832 . . . . . . . . . 10  |-  F/ x
( D  <_  X  ->  0  <_  [_ X  /  x ]_ B )
240 breq2 4208 . . . . . . . . . . 11  |-  ( x  =  X  ->  ( D  <_  x  <->  D  <_  X ) )
241172breq2d 4216 . . . . . . . . . . 11  |-  ( x  =  X  ->  (
0  <_  B  <->  0  <_  [_ X  /  x ]_ B ) )
242240, 241imbi12d 312 . . . . . . . . . 10  |-  ( x  =  X  ->  (
( D  <_  x  ->  0  <_  B )  <->  ( D  <_  X  ->  0  <_  [_ X  /  x ]_ B ) ) )
243239, 242rspc 3038 . . . . . . . . 9  |-  ( X  e.  S  ->  ( A. x  e.  S  ( D  <_  x  -> 
0  <_  B )  ->  ( D  <_  X  ->  0  <_  [_ X  /  x ]_ B ) ) )
24433, 103, 105, 243syl3c 59 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  0  <_  [_ X  /  x ]_ B )
245 fracle1 11204 . . . . . . . . 9  |-  ( X  e.  RR  ->  ( X  -  ( |_ `  X ) )  <_ 
1 )
24674, 245syl 16 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  ( X  -  ( |_ `  X ) )  <_  1 )
24777, 234, 88, 244, 246lemul1ad 9942 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  ( ( X  -  ( |_ `  X ) )  x.  [_ X  /  x ]_ B )  <_  ( 1  x. 
[_ X  /  x ]_ B ) )
248144mulid2d 9098 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  ( 1  x.  [_ X  /  x ]_ B
)  =  [_ X  /  x ]_ B )
249247, 248breqtrd 4228 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  ( ( X  -  ( |_ `  X ) )  x.  [_ X  /  x ]_ B )  <_  [_ X  /  x ]_ B )
25089, 88, 45, 249leadd1dd 9632 . . . . 5  |-  ( ph  ->  ( ( ( X  -  ( |_ `  X ) )  x. 
[_ X  /  x ]_ B )  +  (
sum_ k  e.  ( M ... ( |_
`  X ) ) C  -  [_ X  /  x ]_ A ) )  <_  ( [_ X  /  x ]_ B  +  ( sum_ k  e.  ( M ... ( |_ `  X ) ) C  -  [_ X  /  x ]_ A ) ) )
25190, 88, 45lesubadd2d 9617 . . . . 5  |-  ( ph  ->  ( ( ( ( ( X  -  ( |_ `  X ) )  x.  [_ X  /  x ]_ B )  +  ( sum_ k  e.  ( M ... ( |_
`  X ) ) C  -  [_ X  /  x ]_ A ) )  -  [_ X  /  x ]_ B )  <_  ( sum_ k  e.  ( M ... ( |_ `  X ) ) C  -  [_ X  /  x ]_ A )  <-> 
( ( ( X  -  ( |_ `  X ) )  x. 
[_ X  /  x ]_ B )  +  (
sum_ k  e.  ( M ... ( |_
`  X ) ) C  -  [_ X  /  x ]_ A ) )  <_  ( [_ X  /  x ]_ B  +  ( sum_ k  e.  ( M ... ( |_ `  X ) ) C  -  [_ X  /  x ]_ A ) ) ) )
252250, 251mpbird 224 . . . 4  |-  ( ph  ->  ( ( ( ( X  -  ( |_
`  X ) )  x.  [_ X  /  x ]_ B )  +  ( sum_ k  e.  ( M ... ( |_
`  X ) ) C  -  [_ X  /  x ]_ A ) )  -  [_ X  /  x ]_ B )  <_  ( sum_ k  e.  ( M ... ( |_ `  X ) ) C  -  [_ X  /  x ]_ A ) )
25373, 91, 45, 232, 252letrd 9219 . . 3  |-  ( ph  ->  ( ( sum_ k  e.  ( M ... ( |_ `  Y ) ) C  -  [_ Y  /  x ]_ A )  -  E )  <_ 
( sum_ k  e.  ( M ... ( |_
`  X ) ) C  -  [_ X  /  x ]_ A ) )
25421, 72readdcld 9107 . . . 4  |-  ( ph  ->  ( ( sum_ k  e.  ( M ... ( |_ `  Y ) ) C  -  [_ Y  /  x ]_ A )  +  E )  e.  RR )
255 fracge0 11205 . . . . . . 7  |-  ( X  e.  RR  ->  0  <_  ( X  -  ( |_ `  X ) ) )
25674, 255syl 16 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  0  <_  ( X  -  ( |_ `  X ) ) )
25777, 88, 256, 244mulge0d 9595 . . . . 5  |-  ( ph  ->  0  <_  ( ( X  -  ( |_ `  X ) )  x. 
[_ X  /  x ]_ B ) )
25845, 89addge02d 9607 . . . . 5  |-  ( ph  ->  ( 0  <_  (
( X  -  ( |_ `  X ) )  x.  [_ X  /  x ]_ B )  <->  ( sum_ k  e.  ( M ... ( |_ `  X
) ) C  -  [_ X  /  x ]_ A )  <_  (
( ( X  -  ( |_ `  X ) )  x.  [_ X  /  x ]_ B )  +  ( sum_ k  e.  ( M ... ( |_ `  X ) ) C  -  [_ X  /  x ]_ A ) ) ) )
259257, 258mpbid 202 . . . 4  |-  ( ph  ->  ( sum_ k  e.  ( M ... ( |_
`  X ) ) C  -  [_ X  /  x ]_ A )  <_  ( ( ( X  -  ( |_
`  X ) )  x.  [_ X  /  x ]_ B )  +  ( sum_ k  e.  ( M ... ( |_
`  X ) ) C  -  [_ X  /  x ]_ A ) ) )
260141simpld 446 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  ( ( x  e.  S  |->  ( ( ( x  -  ( |_
`  x ) )  x.  -u B )  +  ( sum_ k  e.  ( M ... ( |_
`  x ) )
-u C  -  -u A
) ) ) `  Y )  <_  (
( x  e.  S  |->  ( ( ( x  -  ( |_ `  x ) )  x.  -u B )  +  (
sum_ k  e.  ( M ... ( |_
`  x ) )
-u C  -  -u A
) ) ) `  X ) )
261260, 217, 1813brtr3d 4233 . . . . . 6  |-  ( ph  -> 
-u ( ( ( Y  -  ( |_
`  Y ) )  x.  E )  +  ( sum_ k  e.  ( M ... ( |_
`  Y ) ) C  -  [_ Y  /  x ]_ A ) )  <_  -u ( ( ( X  -  ( |_ `  X ) )  x.  [_ X  /  x ]_ B )  +  ( sum_ k  e.  ( M ... ( |_
`  X ) ) C  -  [_ X  /  x ]_ A ) ) )
26290, 97lenegd 9597 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  ( ( ( ( X  -  ( |_
`  X ) )  x.  [_ X  /  x ]_ B )  +  ( sum_ k  e.  ( M ... ( |_
`  X ) ) C  -  [_ X  /  x ]_ A ) )  <_  ( (
( Y  -  ( |_ `  Y ) )  x.  E )  +  ( sum_ k  e.  ( M ... ( |_
`  Y ) ) C  -  [_ Y  /  x ]_ A ) )  <->  -u ( ( ( Y  -  ( |_
`  Y ) )  x.  E )  +  ( sum_ k  e.  ( M ... ( |_
`  Y ) ) C  -  [_ Y  /  x ]_ A ) )  <_  -u ( ( ( X  -  ( |_ `  X ) )  x.  [_ X  /  x ]_ B )  +  ( sum_ k  e.  ( M ... ( |_
`  X ) ) C  -  [_ X  /  x ]_ A ) ) ) )
263261, 262mpbird 224 . . . . 5  |-  ( ph  ->  ( ( ( X  -  ( |_ `  X ) )  x. 
[_ X  /  x ]_ B )  +  (
sum_ k  e.  ( M ... ( |_
`  X ) ) C  -  [_ X  /  x ]_ A ) )  <_  ( (
( Y  -  ( |_ `  Y ) )  x.  E )  +  ( sum_ k  e.  ( M ... ( |_
`  Y ) ) C  -  [_ Y  /  x ]_ A ) ) )
264 fracle1 11204 . . . . . . . . . 10  |-  ( Y  e.  RR  ->  ( Y  -  ( |_ `  Y ) )  <_ 
1 )
26592, 264syl 16 . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  ( Y  -  ( |_ `  Y ) )  <_  1 )
26695, 234, 72, 112, 265lemul1ad 9942 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  ( ( Y  -  ( |_ `  Y ) )  x.  E )  <_  ( 1  x.  E ) )
267186mulid2d 9098 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  ( 1  x.  E
)  =  E )
268266, 267breqtrd 4228 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  ( ( Y  -  ( |_ `  Y ) )  x.  E )  <_  E )
26996, 72, 21, 268leadd1dd 9632 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  ( ( ( Y  -  ( |_ `  Y ) )  x.  E )  +  (
sum_ k  e.  ( M ... ( |_
`  Y ) ) C  -  [_ Y  /  x ]_ A ) )  <_  ( E  +  ( sum_ k  e.  ( M ... ( |_ `  Y ) ) C  -  [_ Y  /  x ]_ A ) ) )
270186, 57addcomd 9260 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  ( E  +  (
sum_ k  e.  ( M ... ( |_
`  Y ) ) C  -  [_ Y  /  x ]_ A ) )  =  ( (
sum_ k  e.  ( M ... ( |_
`  Y ) ) C  -  [_ Y  /  x ]_ A )  +  E ) )
271269, 270breqtrd 4228 . . . . 5  |-  ( ph  ->  ( ( ( Y  -  ( |_ `  Y ) )  x.  E )  +  (
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`  Y ) ) C  -  [_ Y  /  x ]_ A ) )  <_  ( ( sum_ k  e.  ( M ... ( |_ `  Y ) ) C  -  [_ Y  /  x ]_ A )  +  E ) )
27290, 97, 254, 263, 271letrd 9219 . . . 4  |-  ( ph  ->  ( ( ( X  -  ( |_ `  X ) )  x. 
[_ X  /  x ]_ B )  +  (
sum_ k  e.  ( M ... ( |_
`  X ) ) C  -  [_ X  /  x ]_ A ) )  <_  ( ( sum_ k  e.  ( M ... ( |_ `  Y ) ) C  -  [_ Y  /  x ]_ A )  +  E ) )
27345, 90, 254, 259, 272letrd 9219 . . 3  |-  ( ph  ->  ( sum_ k  e.  ( M ... ( |_
`  X ) ) C  -  [_ X  /  x ]_ A )  <_  ( ( sum_ k  e.  ( M ... ( |_ `  Y
) ) C  -  [_ Y  /  x ]_ A )  +  E
) )
27445, 21, 72absdifled 12229 . . 3  |-  ( ph  ->  ( ( abs `  (
( sum_ k  e.  ( M ... ( |_
`  X ) ) C  -  [_ X  /  x ]_ A )  -  ( sum_ k  e.  ( M ... ( |_ `  Y ) ) C  -  [_ Y  /  x ]_ A ) ) )  <_  E  <->  ( ( ( sum_ k  e.  ( M ... ( |_ `  Y ) ) C  -  [_ Y  /  x ]_ A )  -  E )  <_ 
( sum_ k  e.  ( M ... ( |_
`  X ) ) C  -  [_ X  /  x ]_ A )  /\  ( sum_ k  e.  ( M ... ( |_ `  X ) ) C  -  [_ X  /  x ]_ A )  <_  ( ( sum_ k  e.  ( M ... ( |_ `  Y
) ) C  -  [_ Y  /  x ]_ A )  +  E
) ) ) )
275253, 273, 274mpbir2and 889 . 2  |-  ( ph  ->  ( abs `  (
( sum_ k  e.  ( M ... ( |_
`  X ) ) C  -  [_ X  /  x ]_ A )  -  ( sum_ k  e.  ( M ... ( |_ `  Y ) ) C  -  [_ Y  /  x ]_ A ) ) )  <_  E
)
27660, 275eqbrtrd 4224 1  |-  ( ph  ->  ( abs `  (
( G `  Y
)  -  ( G `
 X ) ) )  <_  E )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    /\ wa 359    /\ w3a 936    = wceq 1652    e. wcel 1725   A.wral 2697   [_csb 3243    C_ wss 3312   {cpr 3807   class class class wbr 4204    e. cmpt 4258   ` cfv 5446  (class class class)co 6073   CCcc 8980   RRcr 8981   0cc0 8982   1c1 8983    + caddc 8985    x. cmul 8987    +oocpnf 9109   RR*cxr 9111    <_ cle 9113    - cmin 9283   -ucneg 9284   ZZcz 10274   ZZ>=cuz 10480   (,)cioo 10908   ...cfz 11035   |_cfl 11193   abscabs 12031   sum_csu 12471    _D cdv 19742
This theorem is referenced by:  logfacbnd3  20999  log2sumbnd  21230
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1555  ax-5 1566  ax-17 1626  ax-9 1666  ax-8 1687  ax-13 1727  ax-14 1729  ax-6 1744  ax-7 1749  ax-11 1761  ax-12 1950  ax-ext 2416  ax-rep 4312  ax-sep 4322  ax-nul 4330  ax-pow 4369  ax-pr 4395  ax-un 4693  ax-inf2 7588  ax-cnex 9038  ax-resscn 9039  ax-1cn 9040  ax-icn 9041  ax-addcl 9042  ax-addrcl 9043  ax-mulcl 9044  ax-mulrcl 9045  ax-mulcom 9046  ax-addass 9047  ax-mulass 9048  ax-distr 9049  ax-i2m1 9050  ax-1ne0 9051  ax-1rid 9052  ax-rnegex 9053  ax-rrecex 9054  ax-cnre 9055  ax-pre-lttri 9056  ax-pre-lttrn 9057  ax-pre-ltadd 9058  ax-pre-mulgt0 9059  ax-pre-sup 9060  ax-addf 9061  ax-mulf 9062
This theorem depends on definitions:  df-bi 178  df-or 360  df-an 361  df-3or 937  df-3an 938  df-tru 1328  df-ex 1551  df-nf 1554  df-sb 1659  df-eu 2284  df-mo 2285  df-clab 2422  df-cleq 2428  df-clel 2431  df-nfc 2560  df-ne 2600  df-nel 2601  df-ral 2702  df-rex 2703  df-reu 2704  df-rmo 2705  df-rab 2706  df-v 2950  df-sbc 3154  df-csb 3244  df-dif 3315  df-un 3317  df-in 3319  df-ss 3326  df-pss 3328  df-nul 3621  df-if 3732  df-pw 3793  df-sn 3812  df-pr 3813  df-tp 3814  df-op 3815  df-uni 4008  df-int 4043  df-iun 4087  df-iin 4088  df-br 4205  df-opab 4259  df-mpt 4260  df-tr 4295  df-eprel 4486  df-id 4490  df-po 4495  df-so 4496  df-fr 4533  df-se 4534  df-we 4535  df-ord 4576  df-on 4577  df-lim 4578  df-suc 4579  df-om 4838  df-xp 4876  df-rel 4877  df-cnv 4878  df-co 4879  df-dm 4880  df-rn 4881  df-res 4882  df-ima 4883  df-iota 5410  df-fun 5448  df-fn 5449  df-f 5450  df-f1 5451  df-fo 5452  df-f1o 5453  df-fv 5454  df-isom 5455  df-ov 6076  df-oprab 6077  df-mpt2 6078  df-of 6297  df-1st 6341  df-2nd 6342  df-riota 6541  df-recs 6625  df-rdg 6660  df-1o 6716  df-2o 6717  df-oadd 6720  df-er 6897  df-map 7012  df-pm 7013  df-ixp 7056  df-en 7102  df-dom 7103  df-sdom 7104  df-fin 7105  df-fi 7408  df-sup 7438  df-oi 7471  df-card 7818  df-cda 8040  df-pnf 9114  df-mnf 9115  df-xr 9116  df-ltxr 9117  df-le 9118  df-sub 9285  df-neg 9286  df-div 9670  df-nn 9993  df-2 10050  df-3 10051  df-4 10052  df-5 10053  df-6 10054  df-7 10055  df-8 10056  df-9 10057  df-10 10058  df-n0 10214  df-z 10275  df-dec 10375  df-uz 10481  df-q 10567  df-rp 10605  df-xneg 10702  df-xadd 10703  df-xmul 10704  df-ioo 10912  df-ico 10914  df-icc 10915  df-fz 11036  df-fzo 11128  df-fl 11194  df-seq 11316  df-exp 11375  df-hash 11611  df-cj 11896  df-re 11897  df-im 11898  df-sqr 12032  df-abs 12033  df-clim 12274  df-sum 12472  df-struct 13463  df-ndx 13464  df-slot 13465  df-base 13466  df-sets 13467  df-ress 13468  df-plusg 13534  df-mulr 13535  df-starv 13536  df-sca 13537  df-vsca 13538  df-tset 13540  df-ple 13541  df-ds 13543  df-unif 13544  df-hom 13545  df-cco 13546  df-rest 13642  df-topn 13643  df-topgen 13659  df-pt 13660  df-prds 13663  df-xrs 13718  df-0g 13719  df-gsum 13720  df-qtop 13725  df-imas 13726  df-xps 13728  df-mre 13803  df-mrc 13804  df-acs 13806  df-mnd 14682  df-submnd 14731  df-mulg 14807  df-cntz 15108  df-cmn 15406  df-psmet 16686  df-xmet 16687  df-met 16688  df-bl 16689  df-mopn 16690  df-fbas 16691  df-fg 16692  df-cnfld 16696  df-top 16955  df-bases 16957  df-topon 16958  df-topsp 16959  df-cld 17075  df-ntr 17076  df-cls 17077  df-nei 17154  df-lp 17192  df-perf 17193  df-cn 17283  df-cnp 17284  df-haus 17371  df-cmp 17442  df-tx 17586  df-hmeo 17779  df-fil 17870  df-fm 17962  df-flim 17963  df-flf 17964  df-xms 18342  df-ms 18343  df-tms 18344  df-cncf 18900  df-limc 19745  df-dv 19746
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