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Theorem dvfsumabs 19386
Description: Compare a finite sum to an integral (the integral here is given as a function with a known derivative). (Contributed by Mario Carneiro, 14-May-2016.)
Hypotheses
Ref Expression
dvfsumabs.m  |-  ( ph  ->  N  e.  ( ZZ>= `  M ) )
dvfsumabs.a  |-  ( ph  ->  ( x  e.  ( M [,] N ) 
|->  A )  e.  ( ( M [,] N
) -cn-> CC ) )
dvfsumabs.v  |-  ( (
ph  /\  x  e.  ( M (,) N ) )  ->  B  e.  V )
dvfsumabs.b  |-  ( ph  ->  ( RR  _D  (
x  e.  ( M (,) N )  |->  A ) )  =  ( x  e.  ( M (,) N )  |->  B ) )
dvfsumabs.c  |-  ( x  =  M  ->  A  =  C )
dvfsumabs.d  |-  ( x  =  N  ->  A  =  D )
dvfsumabs.x  |-  ( (
ph  /\  k  e.  ( M..^ N ) )  ->  X  e.  CC )
dvfsumabs.y  |-  ( (
ph  /\  k  e.  ( M..^ N ) )  ->  Y  e.  RR )
dvfsumabs.l  |-  ( (
ph  /\  ( k  e.  ( M..^ N )  /\  x  e.  ( k (,) ( k  +  1 ) ) ) )  ->  ( abs `  ( X  -  B ) )  <_  Y )
Assertion
Ref Expression
dvfsumabs  |-  ( ph  ->  ( abs `  ( sum_ k  e.  ( M..^ N ) X  -  ( D  -  C
) ) )  <_  sum_ k  e.  ( M..^ N ) Y )
Distinct variable groups:    A, k    x, k, M    k, N, x    ph, k, x    x, X    x, C    x, D    x, V    x, Y
Allowed substitution hints:    A( x)    B( x, k)    C( k)    D( k)    V( k)    X( k)    Y( k)

Proof of Theorem dvfsumabs
Dummy variable  y is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 fzofi 11052 . . . . . 6  |-  ( M..^ N )  e.  Fin
21a1i 10 . . . . 5  |-  ( ph  ->  ( M..^ N )  e.  Fin )
3 dvfsumabs.x . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  k  e.  ( M..^ N ) )  ->  X  e.  CC )
4 inss1 3402 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( M [,] N )  i^i  ZZ )  C_  ( M [,] N )
5 dvfsumabs.m . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ph  ->  N  e.  ( ZZ>= `  M ) )
6 eluzel2 10251 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( N  e.  ( ZZ>= `  M
)  ->  M  e.  ZZ )
75, 6syl 15 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ph  ->  M  e.  ZZ )
8 eluzelz 10254 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( N  e.  ( ZZ>= `  M
)  ->  N  e.  ZZ )
95, 8syl 15 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ph  ->  N  e.  ZZ )
10 fzval2 10801 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( M  e.  ZZ  /\  N  e.  ZZ )  ->  ( M ... N
)  =  ( ( M [,] N )  i^i  ZZ ) )
117, 9, 10syl2anc 642 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ph  ->  ( M ... N
)  =  ( ( M [,] N )  i^i  ZZ ) )
1211sseq1d 3218 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ph  ->  ( ( M ... N )  C_  ( M [,] N )  <->  ( ( M [,] N )  i^i 
ZZ )  C_  ( M [,] N ) ) )
134, 12mpbiri 224 . . . . . . . . . 10  |-  ( ph  ->  ( M ... N
)  C_  ( M [,] N ) )
1413sselda 3193 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  y  e.  ( M ... N ) )  ->  y  e.  ( M [,] N ) )
15 dvfsumabs.a . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ph  ->  ( x  e.  ( M [,] N ) 
|->  A )  e.  ( ( M [,] N
) -cn-> CC ) )
16 cncff 18413 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( x  e.  ( M [,] N )  |->  A )  e.  ( ( M [,] N )
-cn-> CC )  ->  (
x  e.  ( M [,] N )  |->  A ) : ( M [,] N ) --> CC )
1715, 16syl 15 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ph  ->  ( x  e.  ( M [,] N ) 
|->  A ) : ( M [,] N ) --> CC )
18 eqid 2296 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( x  e.  ( M [,] N )  |->  A )  =  ( x  e.  ( M [,] N
)  |->  A )
1918fmpt 5697 . . . . . . . . . . 11  |-  ( A. x  e.  ( M [,] N ) A  e.  CC  <->  ( x  e.  ( M [,] N
)  |->  A ) : ( M [,] N
) --> CC )
2017, 19sylibr 203 . . . . . . . . . 10  |-  ( ph  ->  A. x  e.  ( M [,] N ) A  e.  CC )
21 nfcsb1v 3126 . . . . . . . . . . . 12  |-  F/_ x [_ y  /  x ]_ A
2221nfel1 2442 . . . . . . . . . . 11  |-  F/ x [_ y  /  x ]_ A  e.  CC
23 csbeq1a 3102 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( x  =  y  ->  A  =  [_ y  /  x ]_ A )
2423eleq1d 2362 . . . . . . . . . . 11  |-  ( x  =  y  ->  ( A  e.  CC  <->  [_ y  /  x ]_ A  e.  CC ) )
2522, 24rspc 2891 . . . . . . . . . 10  |-  ( y  e.  ( M [,] N )  ->  ( A. x  e.  ( M [,] N ) A  e.  CC  ->  [_ y  /  x ]_ A  e.  CC ) )
2620, 25mpan9 455 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  y  e.  ( M [,] N ) )  ->  [_ y  /  x ]_ A  e.  CC )
2714, 26syldan 456 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  y  e.  ( M ... N ) )  ->  [_ y  /  x ]_ A  e.  CC )
2827ralrimiva 2639 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  A. y  e.  ( M ... N )
[_ y  /  x ]_ A  e.  CC )
29 fzofzp1 10932 . . . . . . 7  |-  ( k  e.  ( M..^ N
)  ->  ( k  +  1 )  e.  ( M ... N
) )
30 csbeq1 3097 . . . . . . . . 9  |-  ( y  =  ( k  +  1 )  ->  [_ y  /  x ]_ A  = 
[_ ( k  +  1 )  /  x ]_ A )
3130eleq1d 2362 . . . . . . . 8  |-  ( y  =  ( k  +  1 )  ->  ( [_ y  /  x ]_ A  e.  CC  <->  [_ ( k  +  1 )  /  x ]_ A  e.  CC )
)
3231rspccva 2896 . . . . . . 7  |-  ( ( A. y  e.  ( M ... N )
[_ y  /  x ]_ A  e.  CC  /\  ( k  +  1 )  e.  ( M ... N ) )  ->  [_ ( k  +  1 )  /  x ]_ A  e.  CC )
3328, 29, 32syl2an 463 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  k  e.  ( M..^ N ) )  ->  [_ ( k  +  1 )  /  x ]_ A  e.  CC )
34 elfzofz 10905 . . . . . . 7  |-  ( k  e.  ( M..^ N
)  ->  k  e.  ( M ... N ) )
35 csbeq1 3097 . . . . . . . . 9  |-  ( y  =  k  ->  [_ y  /  x ]_ A  = 
[_ k  /  x ]_ A )
3635eleq1d 2362 . . . . . . . 8  |-  ( y  =  k  ->  ( [_ y  /  x ]_ A  e.  CC  <->  [_ k  /  x ]_ A  e.  CC )
)
3736rspccva 2896 . . . . . . 7  |-  ( ( A. y  e.  ( M ... N )
[_ y  /  x ]_ A  e.  CC  /\  k  e.  ( M ... N ) )  ->  [_ k  /  x ]_ A  e.  CC )
3828, 34, 37syl2an 463 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  k  e.  ( M..^ N ) )  ->  [_ k  /  x ]_ A  e.  CC )
3933, 38subcld 9173 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  k  e.  ( M..^ N ) )  ->  ( [_ (
k  +  1 )  /  x ]_ A  -  [_ k  /  x ]_ A )  e.  CC )
402, 3, 39fsumsub 12266 . . . 4  |-  ( ph  -> 
sum_ k  e.  ( M..^ N ) ( X  -  ( [_ ( k  +  1 )  /  x ]_ A  -  [_ k  /  x ]_ A ) )  =  ( sum_ k  e.  ( M..^ N ) X  -  sum_ k  e.  ( M..^ N ) ( [_ ( k  +  1 )  /  x ]_ A  -  [_ k  /  x ]_ A
) ) )
41 vex 2804 . . . . . . . 8  |-  y  e. 
_V
4241a1i 10 . . . . . . 7  |-  ( y  =  M  ->  y  e.  _V )
43 eqeq2 2305 . . . . . . . . 9  |-  ( y  =  M  ->  (
x  =  y  <->  x  =  M ) )
4443biimpa 470 . . . . . . . 8  |-  ( ( y  =  M  /\  x  =  y )  ->  x  =  M )
45 dvfsumabs.c . . . . . . . 8  |-  ( x  =  M  ->  A  =  C )
4644, 45syl 15 . . . . . . 7  |-  ( ( y  =  M  /\  x  =  y )  ->  A  =  C )
4742, 46csbied 3136 . . . . . 6  |-  ( y  =  M  ->  [_ y  /  x ]_ A  =  C )
4841a1i 10 . . . . . . 7  |-  ( y  =  N  ->  y  e.  _V )
49 eqeq2 2305 . . . . . . . . 9  |-  ( y  =  N  ->  (
x  =  y  <->  x  =  N ) )
5049biimpa 470 . . . . . . . 8  |-  ( ( y  =  N  /\  x  =  y )  ->  x  =  N )
51 dvfsumabs.d . . . . . . . 8  |-  ( x  =  N  ->  A  =  D )
5250, 51syl 15 . . . . . . 7  |-  ( ( y  =  N  /\  x  =  y )  ->  A  =  D )
5348, 52csbied 3136 . . . . . 6  |-  ( y  =  N  ->  [_ y  /  x ]_ A  =  D )
5435, 30, 47, 53, 5, 27fsumtscopo2 12277 . . . . 5  |-  ( ph  -> 
sum_ k  e.  ( M..^ N ) (
[_ ( k  +  1 )  /  x ]_ A  -  [_ k  /  x ]_ A )  =  ( D  -  C ) )
5554oveq2d 5890 . . . 4  |-  ( ph  ->  ( sum_ k  e.  ( M..^ N ) X  -  sum_ k  e.  ( M..^ N ) (
[_ ( k  +  1 )  /  x ]_ A  -  [_ k  /  x ]_ A ) )  =  ( sum_ k  e.  ( M..^ N ) X  -  ( D  -  C
) ) )
5640, 55eqtrd 2328 . . 3  |-  ( ph  -> 
sum_ k  e.  ( M..^ N ) ( X  -  ( [_ ( k  +  1 )  /  x ]_ A  -  [_ k  /  x ]_ A ) )  =  ( sum_ k  e.  ( M..^ N ) X  -  ( D  -  C ) ) )
5756fveq2d 5545 . 2  |-  ( ph  ->  ( abs `  sum_ k  e.  ( M..^ N ) ( X  -  ( [_ (
k  +  1 )  /  x ]_ A  -  [_ k  /  x ]_ A ) ) )  =  ( abs `  ( sum_ k  e.  ( M..^ N ) X  -  ( D  -  C
) ) ) )
583, 39subcld 9173 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  k  e.  ( M..^ N ) )  ->  ( X  -  ( [_ ( k  +  1 )  /  x ]_ A  -  [_ k  /  x ]_ A ) )  e.  CC )
592, 58fsumcl 12222 . . . 4  |-  ( ph  -> 
sum_ k  e.  ( M..^ N ) ( X  -  ( [_ ( k  +  1 )  /  x ]_ A  -  [_ k  /  x ]_ A ) )  e.  CC )
6059abscld 11934 . . 3  |-  ( ph  ->  ( abs `  sum_ k  e.  ( M..^ N ) ( X  -  ( [_ (
k  +  1 )  /  x ]_ A  -  [_ k  /  x ]_ A ) ) )  e.  RR )
6158abscld 11934 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  k  e.  ( M..^ N ) )  ->  ( abs `  ( X  -  ( [_ ( k  +  1 )  /  x ]_ A  -  [_ k  /  x ]_ A ) ) )  e.  RR )
622, 61fsumrecl 12223 . . 3  |-  ( ph  -> 
sum_ k  e.  ( M..^ N ) ( abs `  ( X  -  ( [_ (
k  +  1 )  /  x ]_ A  -  [_ k  /  x ]_ A ) ) )  e.  RR )
63 dvfsumabs.y . . . 4  |-  ( (
ph  /\  k  e.  ( M..^ N ) )  ->  Y  e.  RR )
642, 63fsumrecl 12223 . . 3  |-  ( ph  -> 
sum_ k  e.  ( M..^ N ) Y  e.  RR )
652, 58fsumabs 12275 . . 3  |-  ( ph  ->  ( abs `  sum_ k  e.  ( M..^ N ) ( X  -  ( [_ (
k  +  1 )  /  x ]_ A  -  [_ k  /  x ]_ A ) ) )  <_  sum_ k  e.  ( M..^ N ) ( abs `  ( X  -  ( [_ (
k  +  1 )  /  x ]_ A  -  [_ k  /  x ]_ A ) ) ) )
66 elfzoelz 10891 . . . . . . . . . 10  |-  ( k  e.  ( M..^ N
)  ->  k  e.  ZZ )
6766adantl 452 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  k  e.  ( M..^ N ) )  ->  k  e.  ZZ )
6867zred 10133 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  k  e.  ( M..^ N ) )  ->  k  e.  RR )
6968rexrd 8897 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  k  e.  ( M..^ N ) )  ->  k  e.  RR* )
70 peano2re 9001 . . . . . . . . 9  |-  ( k  e.  RR  ->  (
k  +  1 )  e.  RR )
7168, 70syl 15 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  k  e.  ( M..^ N ) )  ->  ( k  +  1 )  e.  RR )
7271rexrd 8897 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  k  e.  ( M..^ N ) )  ->  ( k  +  1 )  e.  RR* )
7368lep1d 9704 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  k  e.  ( M..^ N ) )  ->  k  <_  (
k  +  1 ) )
74 ubicc2 10769 . . . . . . 7  |-  ( ( k  e.  RR*  /\  (
k  +  1 )  e.  RR*  /\  k  <_  ( k  +  1 ) )  ->  (
k  +  1 )  e.  ( k [,] ( k  +  1 ) ) )
7569, 72, 73, 74syl3anc 1182 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  k  e.  ( M..^ N ) )  ->  ( k  +  1 )  e.  ( k [,] ( k  +  1 ) ) )
76 lbicc2 10768 . . . . . . 7  |-  ( ( k  e.  RR*  /\  (
k  +  1 )  e.  RR*  /\  k  <_  ( k  +  1 ) )  ->  k  e.  ( k [,] (
k  +  1 ) ) )
7769, 72, 73, 76syl3anc 1182 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  k  e.  ( M..^ N ) )  ->  k  e.  ( k [,] ( k  +  1 ) ) )
787zred 10133 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ph  ->  M  e.  RR )
7978adantr 451 . . . . . . . . . . 11  |-  ( (
ph  /\  k  e.  ( M..^ N ) )  ->  M  e.  RR )
809zred 10133 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ph  ->  N  e.  RR )
8180adantr 451 . . . . . . . . . . 11  |-  ( (
ph  /\  k  e.  ( M..^ N ) )  ->  N  e.  RR )
82 elfzole1 10898 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( k  e.  ( M..^ N
)  ->  M  <_  k )
8382adantl 452 . . . . . . . . . . 11  |-  ( (
ph  /\  k  e.  ( M..^ N ) )  ->  M  <_  k
)
8429adantl 452 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( (
ph  /\  k  e.  ( M..^ N ) )  ->  ( k  +  1 )  e.  ( M ... N ) )
85 elfzle2 10816 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( k  +  1 )  e.  ( M ... N )  ->  (
k  +  1 )  <_  N )
8684, 85syl 15 . . . . . . . . . . 11  |-  ( (
ph  /\  k  e.  ( M..^ N ) )  ->  ( k  +  1 )  <_  N
)
87 iccss 10734 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( M  e.  RR  /\  N  e.  RR )  /\  ( M  <_ 
k  /\  ( k  +  1 )  <_  N ) )  -> 
( k [,] (
k  +  1 ) )  C_  ( M [,] N ) )
8879, 81, 83, 86, 87syl22anc 1183 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  k  e.  ( M..^ N ) )  ->  ( k [,] ( k  +  1 ) )  C_  ( M [,] N ) )
89 resmpt 5016 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( k [,] ( k  +  1 ) ) 
C_  ( M [,] N )  ->  (
( x  e.  ( M [,] N ) 
|->  ( ( X  x.  x )  -  A
) )  |`  (
k [,] ( k  +  1 ) ) )  =  ( x  e.  ( k [,] ( k  +  1 ) )  |->  ( ( X  x.  x )  -  A ) ) )
9088, 89syl 15 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  k  e.  ( M..^ N ) )  ->  ( ( x  e.  ( M [,] N )  |->  ( ( X  x.  x )  -  A ) )  |`  ( k [,] (
k  +  1 ) ) )  =  ( x  e.  ( k [,] ( k  +  1 ) )  |->  ( ( X  x.  x
)  -  A ) ) )
91 eqid 2296 . . . . . . . . . . 11  |-  ( TopOpen ` fld )  =  ( TopOpen ` fld )
9291subcn 18386 . . . . . . . . . . . 12  |-  -  e.  ( ( ( TopOpen ` fld )  tX  ( TopOpen ` fld ) )  Cn  ( TopOpen
` fld
) )
9392a1i 10 . . . . . . . . . . 11  |-  ( (
ph  /\  k  e.  ( M..^ N ) )  ->  -  e.  ( ( ( TopOpen ` fld )  tX  ( TopOpen ` fld )
)  Cn  ( TopOpen ` fld )
) )
9491mulcn 18387 . . . . . . . . . . . . 13  |-  x.  e.  ( ( ( TopOpen ` fld )  tX  ( TopOpen ` fld ) )  Cn  ( TopOpen
` fld
) )
9594a1i 10 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( (
ph  /\  k  e.  ( M..^ N ) )  ->  x.  e.  ( ( ( TopOpen ` fld )  tX  ( TopOpen ` fld )
)  Cn  ( TopOpen ` fld )
) )
96 iccssre 10747 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( M  e.  RR  /\  N  e.  RR )  ->  ( M [,] N
)  C_  RR )
9778, 80, 96syl2anc 642 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ph  ->  ( M [,] N
)  C_  RR )
9897adantr 451 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( (
ph  /\  k  e.  ( M..^ N ) )  ->  ( M [,] N )  C_  RR )
99 ax-resscn 8810 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  RR  C_  CC
10098, 99syl6ss 3204 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( (
ph  /\  k  e.  ( M..^ N ) )  ->  ( M [,] N )  C_  CC )
101 ssid 3210 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  CC  C_  CC
102101a1i 10 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( (
ph  /\  k  e.  ( M..^ N ) )  ->  CC  C_  CC )
103 cncfmptc 18431 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( X  e.  CC  /\  ( M [,] N ) 
C_  CC  /\  CC  C_  CC )  ->  ( x  e.  ( M [,] N )  |->  X )  e.  ( ( M [,] N ) -cn-> CC ) )
1043, 100, 102, 103syl3anc 1182 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( (
ph  /\  k  e.  ( M..^ N ) )  ->  ( x  e.  ( M [,] N
)  |->  X )  e.  ( ( M [,] N ) -cn-> CC ) )
105 cncfmptid 18432 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( M [,] N
)  C_  CC  /\  CC  C_  CC )  ->  (
x  e.  ( M [,] N )  |->  x )  e.  ( ( M [,] N )
-cn-> CC ) )
106100, 101, 105sylancl 643 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( (
ph  /\  k  e.  ( M..^ N ) )  ->  ( x  e.  ( M [,] N
)  |->  x )  e.  ( ( M [,] N ) -cn-> CC ) )
10791, 95, 104, 106cncfmpt2f 18434 . . . . . . . . . . 11  |-  ( (
ph  /\  k  e.  ( M..^ N ) )  ->  ( x  e.  ( M [,] N
)  |->  ( X  x.  x ) )  e.  ( ( M [,] N ) -cn-> CC ) )
10815adantr 451 . . . . . . . . . . 11  |-  ( (
ph  /\  k  e.  ( M..^ N ) )  ->  ( x  e.  ( M [,] N
)  |->  A )  e.  ( ( M [,] N ) -cn-> CC ) )
10991, 93, 107, 108cncfmpt2f 18434 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  k  e.  ( M..^ N ) )  ->  ( x  e.  ( M [,] N
)  |->  ( ( X  x.  x )  -  A ) )  e.  ( ( M [,] N ) -cn-> CC ) )
110 rescncf 18417 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( k [,] ( k  +  1 ) ) 
C_  ( M [,] N )  ->  (
( x  e.  ( M [,] N ) 
|->  ( ( X  x.  x )  -  A
) )  e.  ( ( M [,] N
) -cn-> CC )  ->  (
( x  e.  ( M [,] N ) 
|->  ( ( X  x.  x )  -  A
) )  |`  (
k [,] ( k  +  1 ) ) )  e.  ( ( k [,] ( k  +  1 ) )
-cn-> CC ) ) )
11188, 109, 110sylc 56 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  k  e.  ( M..^ N ) )  ->  ( ( x  e.  ( M [,] N )  |->  ( ( X  x.  x )  -  A ) )  |`  ( k [,] (
k  +  1 ) ) )  e.  ( ( k [,] (
k  +  1 ) ) -cn-> CC ) )
11290, 111eqeltrrd 2371 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  k  e.  ( M..^ N ) )  ->  ( x  e.  ( k [,] (
k  +  1 ) )  |->  ( ( X  x.  x )  -  A ) )  e.  ( ( k [,] ( k  +  1 ) ) -cn-> CC ) )
11399a1i 10 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( (
ph  /\  k  e.  ( M..^ N ) )  ->  RR  C_  CC )
11488, 98sstrd 3202 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( (
ph  /\  k  e.  ( M..^ N ) )  ->  ( k [,] ( k  +  1 ) )  C_  RR )
11588sselda 3193 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ph  /\  k  e.  ( M..^ N ) )  /\  x  e.  ( k [,] (
k  +  1 ) ) )  ->  x  e.  ( M [,] N
) )
1163adantr 451 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( ph  /\  k  e.  ( M..^ N ) )  /\  x  e.  ( M [,] N
) )  ->  X  e.  CC )
117100sselda 3193 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( ph  /\  k  e.  ( M..^ N ) )  /\  x  e.  ( M [,] N
) )  ->  x  e.  CC )
118116, 117mulcld 8871 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ph  /\  k  e.  ( M..^ N ) )  /\  x  e.  ( M [,] N
) )  ->  ( X  x.  x )  e.  CC )
11920r19.21bi 2654 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( (
ph  /\  x  e.  ( M [,] N ) )  ->  A  e.  CC )
120119adantlr 695 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ph  /\  k  e.  ( M..^ N ) )  /\  x  e.  ( M [,] N
) )  ->  A  e.  CC )
121118, 120subcld 9173 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ph  /\  k  e.  ( M..^ N ) )  /\  x  e.  ( M [,] N
) )  ->  (
( X  x.  x
)  -  A )  e.  CC )
122115, 121syldan 456 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ph  /\  k  e.  ( M..^ N ) )  /\  x  e.  ( k [,] (
k  +  1 ) ) )  ->  (
( X  x.  x
)  -  A )  e.  CC )
12391tgioo2 18325 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( topGen ` 
ran  (,) )  =  ( ( TopOpen ` fld )t  RR )
124 iccntr 18342 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( k  e.  RR  /\  ( k  +  1 )  e.  RR )  ->  ( ( int `  ( topGen `  ran  (,) )
) `  ( k [,] ( k  +  1 ) ) )  =  ( k (,) (
k  +  1 ) ) )
12568, 71, 124syl2anc 642 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( (
ph  /\  k  e.  ( M..^ N ) )  ->  ( ( int `  ( topGen `  ran  (,) )
) `  ( k [,] ( k  +  1 ) ) )  =  ( k (,) (
k  +  1 ) ) )
126113, 114, 122, 123, 91, 125dvmptntr 19336 . . . . . . . . . . 11  |-  ( (
ph  /\  k  e.  ( M..^ N ) )  ->  ( RR  _D  ( x  e.  (
k [,] ( k  +  1 ) ) 
|->  ( ( X  x.  x )  -  A
) ) )  =  ( RR  _D  (
x  e.  ( k (,) ( k  +  1 ) )  |->  ( ( X  x.  x
)  -  A ) ) ) )
127 reex 8844 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  RR  e.  _V
128127prid1 3747 . . . . . . . . . . . . 13  |-  RR  e.  { RR ,  CC }
129128a1i 10 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( (
ph  /\  k  e.  ( M..^ N ) )  ->  RR  e.  { RR ,  CC } )
130 ioossicc 10751 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( M (,) N )  C_  ( M [,] N )
131130sseli 3189 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( x  e.  ( M (,) N )  ->  x  e.  ( M [,] N
) )
132131, 121sylan2 460 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ph  /\  k  e.  ( M..^ N ) )  /\  x  e.  ( M (,) N
) )  ->  (
( X  x.  x
)  -  A )  e.  CC )
133 ovex 5899 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( X  -  B )  e. 
_V
134133a1i 10 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ph  /\  k  e.  ( M..^ N ) )  /\  x  e.  ( M (,) N
) )  ->  ( X  -  B )  e.  _V )
135131, 118sylan2 460 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ph  /\  k  e.  ( M..^ N ) )  /\  x  e.  ( M (,) N
) )  ->  ( X  x.  x )  e.  CC )
1363adantr 451 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ph  /\  k  e.  ( M..^ N ) )  /\  x  e.  ( M (,) N
) )  ->  X  e.  CC )
137130, 100syl5ss 3203 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( (
ph  /\  k  e.  ( M..^ N ) )  ->  ( M (,) N )  C_  CC )
138137sselda 3193 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( ph  /\  k  e.  ( M..^ N ) )  /\  x  e.  ( M (,) N
) )  ->  x  e.  CC )
139 ax-1cn 8811 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  1  e.  CC
140139a1i 10 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( ph  /\  k  e.  ( M..^ N ) )  /\  x  e.  ( M (,) N
) )  ->  1  e.  CC )
141113sselda 3193 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( ph  /\  k  e.  ( M..^ N ) )  /\  x  e.  RR )  ->  x  e.  CC )
142139a1i 10 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( ph  /\  k  e.  ( M..^ N ) )  /\  x  e.  RR )  ->  1  e.  CC )
143129dvmptid 19322 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( (
ph  /\  k  e.  ( M..^ N ) )  ->  ( RR  _D  ( x  e.  RR  |->  x ) )  =  ( x  e.  RR  |->  1 ) )
144130, 98syl5ss 3203 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( (
ph  /\  k  e.  ( M..^ N ) )  ->  ( M (,) N )  C_  RR )
145 iooretop 18291 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( M (,) N )  e.  ( topGen `  ran  (,) )
146145a1i 10 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( (
ph  /\  k  e.  ( M..^ N ) )  ->  ( M (,) N )  e.  (
topGen `  ran  (,) )
)
147129, 141, 142, 143, 144, 123, 91, 146dvmptres 19328 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( (
ph  /\  k  e.  ( M..^ N ) )  ->  ( RR  _D  ( x  e.  ( M (,) N )  |->  x ) )  =  ( x  e.  ( M (,) N )  |->  1 ) )
148129, 138, 140, 147, 3dvmptcmul 19329 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( (
ph  /\  k  e.  ( M..^ N ) )  ->  ( RR  _D  ( x  e.  ( M (,) N )  |->  ( X  x.  x ) ) )  =  ( x  e.  ( M (,) N )  |->  ( X  x.  1 ) ) )
1493mulid1d 8868 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( (
ph  /\  k  e.  ( M..^ N ) )  ->  ( X  x.  1 )  =  X )
150149mpteq2dv 4123 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( (
ph  /\  k  e.  ( M..^ N ) )  ->  ( x  e.  ( M (,) N
)  |->  ( X  x.  1 ) )  =  ( x  e.  ( M (,) N ) 
|->  X ) )
151148, 150eqtrd 2328 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( (
ph  /\  k  e.  ( M..^ N ) )  ->  ( RR  _D  ( x  e.  ( M (,) N )  |->  ( X  x.  x ) ) )  =  ( x  e.  ( M (,) N )  |->  X ) )
152131, 120sylan2 460 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ph  /\  k  e.  ( M..^ N ) )  /\  x  e.  ( M (,) N
) )  ->  A  e.  CC )
153 dvfsumabs.v . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( (
ph  /\  x  e.  ( M (,) N ) )  ->  B  e.  V )
154153adantlr 695 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ph  /\  k  e.  ( M..^ N ) )  /\  x  e.  ( M (,) N
) )  ->  B  e.  V )
155 dvfsumabs.b . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ph  ->  ( RR  _D  (
x  e.  ( M (,) N )  |->  A ) )  =  ( x  e.  ( M (,) N )  |->  B ) )
156155adantr 451 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( (
ph  /\  k  e.  ( M..^ N ) )  ->  ( RR  _D  ( x  e.  ( M (,) N )  |->  A ) )  =  ( x  e.  ( M (,) N )  |->  B ) )
157129, 135, 136, 151, 152, 154, 156dvmptsub 19332 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( (
ph  /\  k  e.  ( M..^ N ) )  ->  ( RR  _D  ( x  e.  ( M (,) N )  |->  ( ( X  x.  x
)  -  A ) ) )  =  ( x  e.  ( M (,) N )  |->  ( X  -  B ) ) )
15879rexrd 8897 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( (
ph  /\  k  e.  ( M..^ N ) )  ->  M  e.  RR* )
159 iooss1 10707 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( M  e.  RR*  /\  M  <_  k )  ->  (
k (,) ( k  +  1 ) ) 
C_  ( M (,) ( k  +  1 ) ) )
160158, 83, 159syl2anc 642 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( (
ph  /\  k  e.  ( M..^ N ) )  ->  ( k (,) ( k  +  1 ) )  C_  ( M (,) ( k  +  1 ) ) )
16181rexrd 8897 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( (
ph  /\  k  e.  ( M..^ N ) )  ->  N  e.  RR* )
162 iooss2 10708 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( N  e.  RR*  /\  (
k  +  1 )  <_  N )  -> 
( M (,) (
k  +  1 ) )  C_  ( M (,) N ) )
163161, 86, 162syl2anc 642 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( (
ph  /\  k  e.  ( M..^ N ) )  ->  ( M (,) ( k  +  1 ) )  C_  ( M (,) N ) )
164160, 163sstrd 3202 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( (
ph  /\  k  e.  ( M..^ N ) )  ->  ( k (,) ( k  +  1 ) )  C_  ( M (,) N ) )
165 iooretop 18291 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( k (,) ( k  +  1 ) )  e.  ( topGen `  ran  (,) )
166165a1i 10 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( (
ph  /\  k  e.  ( M..^ N ) )  ->  ( k (,) ( k  +  1 ) )  e.  (
topGen `  ran  (,) )
)
167129, 132, 134, 157, 164, 123, 91, 166dvmptres 19328 . . . . . . . . . . 11  |-  ( (
ph  /\  k  e.  ( M..^ N ) )  ->  ( RR  _D  ( x  e.  (
k (,) ( k  +  1 ) ) 
|->  ( ( X  x.  x )  -  A
) ) )  =  ( x  e.  ( k (,) ( k  +  1 ) ) 
|->  ( X  -  B
) ) )
168126, 167eqtrd 2328 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  k  e.  ( M..^ N ) )  ->  ( RR  _D  ( x  e.  (
k [,] ( k  +  1 ) ) 
|->  ( ( X  x.  x )  -  A
) ) )  =  ( x  e.  ( k (,) ( k  +  1 ) ) 
|->  ( X  -  B
) ) )
169168dmeqd 4897 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  k  e.  ( M..^ N ) )  ->  dom  ( RR  _D  ( x  e.  ( k [,] ( k  +  1 ) ) 
|->  ( ( X  x.  x )  -  A
) ) )  =  dom  ( x  e.  ( k (,) (
k  +  1 ) )  |->  ( X  -  B ) ) )
170 eqid 2296 . . . . . . . . . 10  |-  ( x  e.  ( k (,) ( k  +  1 ) )  |->  ( X  -  B ) )  =  ( x  e.  ( k (,) (
k  +  1 ) )  |->  ( X  -  B ) )
171133, 170dmmpti 5389 . . . . . . . . 9  |-  dom  (
x  e.  ( k (,) ( k  +  1 ) )  |->  ( X  -  B ) )  =  ( k (,) ( k  +  1 ) )
172169, 171syl6eq 2344 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  k  e.  ( M..^ N ) )  ->  dom  ( RR  _D  ( x  e.  ( k [,] ( k  +  1 ) ) 
|->  ( ( X  x.  x )  -  A
) ) )  =  ( k (,) (
k  +  1 ) ) )
173168adantr 451 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ph  /\  k  e.  ( M..^ N ) )  /\  x  e.  ( k (,) (
k  +  1 ) ) )  ->  ( RR  _D  ( x  e.  ( k [,] (
k  +  1 ) )  |->  ( ( X  x.  x )  -  A ) ) )  =  ( x  e.  ( k (,) (
k  +  1 ) )  |->  ( X  -  B ) ) )
174173fveq1d 5543 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ph  /\  k  e.  ( M..^ N ) )  /\  x  e.  ( k (,) (
k  +  1 ) ) )  ->  (
( RR  _D  (
x  e.  ( k [,] ( k  +  1 ) )  |->  ( ( X  x.  x
)  -  A ) ) ) `  x
)  =  ( ( x  e.  ( k (,) ( k  +  1 ) )  |->  ( X  -  B ) ) `  x ) )
175 simpr 447 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ph  /\  k  e.  ( M..^ N ) )  /\  x  e.  ( k (,) (
k  +  1 ) ) )  ->  x  e.  ( k (,) (
k  +  1 ) ) )
176170fvmpt2 5624 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( x  e.  ( k (,) ( k  +  1 ) )  /\  ( X  -  B
)  e.  _V )  ->  ( ( x  e.  ( k (,) (
k  +  1 ) )  |->  ( X  -  B ) ) `  x )  =  ( X  -  B ) )
177175, 133, 176sylancl 643 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ph  /\  k  e.  ( M..^ N ) )  /\  x  e.  ( k (,) (
k  +  1 ) ) )  ->  (
( x  e.  ( k (,) ( k  +  1 ) ) 
|->  ( X  -  B
) ) `  x
)  =  ( X  -  B ) )
178174, 177eqtrd 2328 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ph  /\  k  e.  ( M..^ N ) )  /\  x  e.  ( k (,) (
k  +  1 ) ) )  ->  (
( RR  _D  (
x  e.  ( k [,] ( k  +  1 ) )  |->  ( ( X  x.  x
)  -  A ) ) ) `  x
)  =  ( X  -  B ) )
179178fveq2d 5545 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ph  /\  k  e.  ( M..^ N ) )  /\  x  e.  ( k (,) (
k  +  1 ) ) )  ->  ( abs `  ( ( RR 
_D  ( x  e.  ( k [,] (
k  +  1 ) )  |->  ( ( X  x.  x )  -  A ) ) ) `
 x ) )  =  ( abs `  ( X  -  B )
) )
180 dvfsumabs.l . . . . . . . . . . . 12  |-  ( (
ph  /\  ( k  e.  ( M..^ N )  /\  x  e.  ( k (,) ( k  +  1 ) ) ) )  ->  ( abs `  ( X  -  B ) )  <_  Y )
181180anassrs 629 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ph  /\  k  e.  ( M..^ N ) )  /\  x  e.  ( k (,) (
k  +  1 ) ) )  ->  ( abs `  ( X  -  B ) )  <_  Y )
182179, 181eqbrtrd 4059 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ph  /\  k  e.  ( M..^ N ) )  /\  x  e.  ( k (,) (
k  +  1 ) ) )  ->  ( abs `  ( ( RR 
_D  ( x  e.  ( k [,] (
k  +  1 ) )  |->  ( ( X  x.  x )  -  A ) ) ) `
 x ) )  <_  Y )
183182ralrimiva 2639 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  k  e.  ( M..^ N ) )  ->  A. x  e.  ( k (,) ( k  +  1 ) ) ( abs `  (
( RR  _D  (
x  e.  ( k [,] ( k  +  1 ) )  |->  ( ( X  x.  x
)  -  A ) ) ) `  x
) )  <_  Y
)
184 nfcv 2432 . . . . . . . . . . . 12  |-  F/_ x abs
185 nfcv 2432 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  F/_ x RR
186 nfcv 2432 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  F/_ x  _D
187 nfmpt1 4125 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  F/_ x
( x  e.  ( k [,] ( k  +  1 ) ) 
|->  ( ( X  x.  x )  -  A
) )
188185, 186, 187nfov 5897 . . . . . . . . . . . . 13  |-  F/_ x
( RR  _D  (
x  e.  ( k [,] ( k  +  1 ) )  |->  ( ( X  x.  x
)  -  A ) ) )
189 nfcv 2432 . . . . . . . . . . . . 13  |-  F/_ x
y
190188, 189nffv 5548 . . . . . . . . . . . 12  |-  F/_ x
( ( RR  _D  ( x  e.  (
k [,] ( k  +  1 ) ) 
|->  ( ( X  x.  x )  -  A
) ) ) `  y )
191184, 190nffv 5548 . . . . . . . . . . 11  |-  F/_ x
( abs `  (
( RR  _D  (
x  e.  ( k [,] ( k  +  1 ) )  |->  ( ( X  x.  x
)  -  A ) ) ) `  y
) )
192 nfcv 2432 . . . . . . . . . . 11  |-  F/_ x  <_
193 nfcv 2432 . . . . . . . . . . 11  |-  F/_ x Y
194191, 192, 193nfbr 4083 . . . . . . . . . 10  |-  F/ x
( abs `  (
( RR  _D  (
x  e.  ( k [,] ( k  +  1 ) )  |->  ( ( X  x.  x
)  -  A ) ) ) `  y
) )  <_  Y
195 fveq2 5541 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( x  =  y  ->  (
( RR  _D  (
x  e.  ( k [,] ( k  +  1 ) )  |->  ( ( X  x.  x
)  -  A ) ) ) `  x
)  =  ( ( RR  _D  ( x  e.  ( k [,] ( k  +  1 ) )  |->  ( ( X  x.  x )  -  A ) ) ) `  y ) )
196195fveq2d 5545 . . . . . . . . . . 11  |-  ( x  =  y  ->  ( abs `  ( ( RR 
_D  ( x  e.  ( k [,] (
k  +  1 ) )  |->  ( ( X  x.  x )  -  A ) ) ) `
 x ) )  =  ( abs `  (
( RR  _D  (
x  e.  ( k [,] ( k  +  1 ) )  |->  ( ( X  x.  x
)  -  A ) ) ) `  y
) ) )
197196breq1d 4049 . . . . . . . . . 10  |-  ( x  =  y  ->  (
( abs `  (
( RR  _D  (
x  e.  ( k [,] ( k  +  1 ) )  |->  ( ( X  x.  x
)  -  A ) ) ) `  x
) )  <_  Y  <->  ( abs `  ( ( RR  _D  ( x  e.  ( k [,] ( k  +  1 ) )  |->  ( ( X  x.  x )  -  A ) ) ) `  y ) )  <_  Y )
)
198194, 197rspc 2891 . . . . . . . . 9  |-  ( y  e.  ( k (,) ( k  +  1 ) )  ->  ( A. x  e.  (
k (,) ( k  +  1 ) ) ( abs `  (
( RR  _D  (
x  e.  ( k [,] ( k  +  1 ) )  |->  ( ( X  x.  x
)  -  A ) ) ) `  x
) )  <_  Y  ->  ( abs `  (
( RR  _D  (
x  e.  ( k [,] ( k  +  1 ) )  |->  ( ( X  x.  x
)  -  A ) ) ) `  y
) )  <_  Y
) )
199183, 198mpan9 455 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ph  /\  k  e.  ( M..^ N ) )  /\  y  e.  ( k (,) (
k  +  1 ) ) )  ->  ( abs `  ( ( RR 
_D  ( x  e.  ( k [,] (
k  +  1 ) )  |->  ( ( X  x.  x )  -  A ) ) ) `
 y ) )  <_  Y )
20068, 71, 112, 172, 63, 199dvlip 19356 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ph  /\  k  e.  ( M..^ N ) )  /\  ( ( k  +  1 )  e.  ( k [,] ( k  +  1 ) )  /\  k  e.  ( k [,] (
k  +  1 ) ) ) )  -> 
( abs `  (
( ( x  e.  ( k [,] (
k  +  1 ) )  |->  ( ( X  x.  x )  -  A ) ) `  ( k  +  1 ) )  -  (
( x  e.  ( k [,] ( k  +  1 ) ) 
|->  ( ( X  x.  x )  -  A
) ) `  k
) ) )  <_ 
( Y  x.  ( abs `  ( ( k  +  1 )  -  k ) ) ) )
201200ex 423 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  k  e.  ( M..^ N ) )  ->  ( ( ( k  +  1 )  e.  ( k [,] ( k  +  1 ) )  /\  k  e.  ( k [,] (
k  +  1 ) ) )  ->  ( abs `  ( ( ( x  e.  ( k [,] ( k  +  1 ) )  |->  ( ( X  x.  x
)  -  A ) ) `  ( k  +  1 ) )  -  ( ( x  e.  ( k [,] ( k  +  1 ) )  |->  ( ( X  x.  x )  -  A ) ) `
 k ) ) )  <_  ( Y  x.  ( abs `  (
( k  +  1 )  -  k ) ) ) ) )
20275, 77, 201mp2and 660 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  k  e.  ( M..^ N ) )  ->  ( abs `  (
( ( x  e.  ( k [,] (
k  +  1 ) )  |->  ( ( X  x.  x )  -  A ) ) `  ( k  +  1 ) )  -  (
( x  e.  ( k [,] ( k  +  1 ) ) 
|->  ( ( X  x.  x )  -  A
) ) `  k
) ) )  <_ 
( Y  x.  ( abs `  ( ( k  +  1 )  -  k ) ) ) )
203 ovex 5899 . . . . . . . . 9  |-  ( ( X  x.  ( k  +  1 ) )  -  [_ ( k  +  1 )  /  x ]_ A )  e. 
_V
204 nfcv 2432 . . . . . . . . . 10  |-  F/_ x
( k  +  1 )
205 nfcv 2432 . . . . . . . . . . 11  |-  F/_ x
( X  x.  (
k  +  1 ) )
206 nfcv 2432 . . . . . . . . . . 11  |-  F/_ x  -
207204nfcsb1 3125 . . . . . . . . . . 11  |-  F/_ x [_ ( k  +  1 )  /  x ]_ A
208205, 206, 207nfov 5897 . . . . . . . . . 10  |-  F/_ x
( ( X  x.  ( k  +  1 ) )  -  [_ ( k  +  1 )  /  x ]_ A )
209 oveq2 5882 . . . . . . . . . . 11  |-  ( x  =  ( k  +  1 )  ->  ( X  x.  x )  =  ( X  x.  ( k  +  1 ) ) )
210 csbeq1a 3102 . . . . . . . . . . 11  |-  ( x  =  ( k  +  1 )  ->  A  =  [_ ( k  +  1 )  /  x ]_ A )
211209, 210oveq12d 5892 . . . . . . . . . 10  |-  ( x  =  ( k  +  1 )  ->  (
( X  x.  x
)  -  A )  =  ( ( X  x.  ( k  +  1 ) )  -  [_ ( k  +  1 )  /  x ]_ A ) )
212 eqid 2296 . . . . . . . . . 10  |-  ( x  e.  ( k [,] ( k  +  1 ) )  |->  ( ( X  x.  x )  -  A ) )  =  ( x  e.  ( k [,] (
k  +  1 ) )  |->  ( ( X  x.  x )  -  A ) )
213204, 208, 211, 212fvmptf 5632 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( k  +  1 )  e.  ( k [,] ( k  +  1 ) )  /\  ( ( X  x.  ( k  +  1 ) )  -  [_ ( k  +  1 )  /  x ]_ A )  e.  _V )  ->  ( ( x  e.  ( k [,] ( k  +  1 ) )  |->  ( ( X  x.  x )  -  A ) ) `
 ( k  +  1 ) )  =  ( ( X  x.  ( k  +  1 ) )  -  [_ ( k  +  1 )  /  x ]_ A ) )
21475, 203, 213sylancl 643 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  k  e.  ( M..^ N ) )  ->  ( ( x  e.  ( k [,] ( k  +  1 ) )  |->  ( ( X  x.  x )  -  A ) ) `
 ( k  +  1 ) )  =  ( ( X  x.  ( k  +  1 ) )  -  [_ ( k  +  1 )  /  x ]_ A ) )
21568recnd 8877 . . . . . . . . . . 11  |-  ( (
ph  /\  k  e.  ( M..^ N ) )  ->  k  e.  CC )
2163, 215mulcld 8871 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  k  e.  ( M..^ N ) )  ->  ( X  x.  k )  e.  CC )
217216, 38subcld 9173 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  k  e.  ( M..^ N ) )  ->  ( ( X  x.  k )  -  [_ k  /  x ]_ A )  e.  CC )
218 nfcv 2432 . . . . . . . . . 10  |-  F/_ x
k
219 nfcv 2432 . . . . . . . . . . 11  |-  F/_ x
( X  x.  k
)
220218nfcsb1 3125 . . . . . . . . . . 11  |-  F/_ x [_ k  /  x ]_ A
221219, 206, 220nfov 5897 . . . . . . . . . 10  |-  F/_ x
( ( X  x.  k )  -  [_ k  /  x ]_ A
)
222 oveq2 5882 . . . . . . . . . . 11  |-  ( x  =  k  ->  ( X  x.  x )  =  ( X  x.  k ) )
223 csbeq1a 3102 . . . . . . . . . . 11  |-  ( x  =  k  ->  A  =  [_ k  /  x ]_ A )
224222, 223oveq12d 5892 . . . . . . . . . 10  |-  ( x  =  k  ->  (
( X  x.  x
)  -  A )  =  ( ( X  x.  k )  -  [_ k  /  x ]_ A ) )
225218, 221, 224, 212fvmptf 5632 . . . . . . . . 9  |-  ( ( k  e.  ( k [,] ( k  +  1 ) )  /\  ( ( X  x.  k )  -  [_ k  /  x ]_ A
)  e.  CC )  ->  ( ( x  e.  ( k [,] ( k  +  1 ) )  |->  ( ( X  x.  x )  -  A ) ) `
 k )  =  ( ( X  x.  k )  -  [_ k  /  x ]_ A
) )
22677, 217, 225syl2anc 642 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  k  e.  ( M..^ N ) )  ->  ( ( x  e.  ( k [,] ( k  +  1 ) )  |->  ( ( X  x.  x )  -  A ) ) `
 k )  =  ( ( X  x.  k )  -  [_ k  /  x ]_ A
) )
227214, 226oveq12d 5892 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  k  e.  ( M..^ N ) )  ->  ( ( ( x  e.  ( k [,] ( k  +  1 ) )  |->  ( ( X  x.  x
)  -  A ) ) `  ( k  +  1 ) )  -  ( ( x  e.  ( k [,] ( k  +  1 ) )  |->  ( ( X  x.  x )  -  A ) ) `
 k ) )  =  ( ( ( X  x.  ( k  +  1 ) )  -  [_ ( k  +  1 )  /  x ]_ A )  -  ( ( X  x.  k )  -  [_ k  /  x ]_ A
) ) )
228 peano2cn 9000 . . . . . . . . . 10  |-  ( k  e.  CC  ->  (
k  +  1 )  e.  CC )
229215, 228syl 15 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  k  e.  ( M..^ N ) )  ->  ( k  +  1 )  e.  CC )
2303, 229mulcld 8871 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  k  e.  ( M..^ N ) )  ->  ( X  x.  ( k  +  1 ) )  e.  CC )
231230, 216, 33, 38sub4d 9222 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  k  e.  ( M..^ N ) )  ->  ( ( ( X  x.  ( k  +  1 ) )  -  ( X  x.  k ) )  -  ( [_ ( k  +  1 )  /  x ]_ A  -  [_ k  /  x ]_ A ) )  =  ( ( ( X  x.  (
k  +  1 ) )  -  [_ (
k  +  1 )  /  x ]_ A
)  -  ( ( X  x.  k )  -  [_ k  /  x ]_ A ) ) )
232139a1i 10 . . . . . . . . . . 11  |-  ( (
ph  /\  k  e.  ( M..^ N ) )  ->  1  e.  CC )
233215, 232pncan2d 9175 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  k  e.  ( M..^ N ) )  ->  ( ( k  +  1 )  -  k )  =  1 )
234233oveq2d 5890 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  k  e.  ( M..^ N ) )  ->  ( X  x.  ( ( k  +  1 )  -  k
) )  =  ( X  x.  1 ) )
2353, 229, 215subdid 9251 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  k  e.  ( M..^ N ) )  ->  ( X  x.  ( ( k  +  1 )  -  k
) )  =  ( ( X  x.  (
k  +  1 ) )  -  ( X  x.  k ) ) )
236234, 235, 1493eqtr3d 2336 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  k  e.  ( M..^ N ) )  ->  ( ( X  x.  ( k  +  1 ) )  -  ( X  x.  k
) )  =  X )
237236oveq1d 5889 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  k  e.  ( M..^ N ) )  ->  ( ( ( X  x.  ( k  +  1 ) )  -  ( X  x.  k ) )  -  ( [_ ( k  +  1 )  /  x ]_ A  -  [_ k  /  x ]_ A ) )  =  ( X  -  ( [_ (
k  +  1 )  /  x ]_ A  -  [_ k  /  x ]_ A ) ) )
238227, 231, 2373eqtr2rd 2335 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  k  e.  ( M..^ N ) )  ->  ( X  -  ( [_ ( k  +  1 )  /  x ]_ A  -  [_ k  /  x ]_ A ) )  =  ( ( ( x  e.  ( k [,] ( k  +  1 ) ) 
|->  ( ( X  x.  x )  -  A
) ) `  (
k  +  1 ) )  -  ( ( x  e.  ( k [,] ( k  +  1 ) )  |->  ( ( X  x.  x
)  -  A ) ) `  k ) ) )
239238fveq2d 5545 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  k  e.  ( M..^ N ) )  ->  ( abs `  ( X  -  ( [_ ( k  +  1 )  /  x ]_ A  -  [_ k  /  x ]_ A ) ) )  =  ( abs `  ( ( ( x  e.  ( k [,] ( k  +  1 ) )  |->  ( ( X  x.  x )  -  A ) ) `
 ( k  +  1 ) )  -  ( ( x  e.  ( k [,] (
k  +  1 ) )  |->  ( ( X  x.  x )  -  A ) ) `  k ) ) ) )
240233fveq2d 5545 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  k  e.  ( M..^ N ) )  ->  ( abs `  (
( k  +  1 )  -  k ) )  =  ( abs `  1 ) )
241 abs1 11798 . . . . . . . 8  |-  ( abs `  1 )  =  1
242240, 241syl6eq 2344 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  k  e.  ( M..^ N ) )  ->  ( abs `  (
( k  +  1 )  -  k ) )  =  1 )
243242oveq2d 5890 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  k  e.  ( M..^ N ) )  ->  ( Y  x.  ( abs `  ( ( k  +  1 )  -  k ) ) )  =  ( Y  x.  1 ) )
24463recnd 8877 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  k  e.  ( M..^ N ) )  ->  Y  e.  CC )
245244mulid1d 8868 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  k  e.  ( M..^ N ) )  ->  ( Y  x.  1 )  =  Y )
246243, 245eqtr2d 2329 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  k  e.  ( M..^ N ) )  ->  Y  =  ( Y  x.  ( abs `  ( ( k  +  1 )  -  k
) ) ) )
247202, 239, 2463brtr4d 4069 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  k  e.  ( M..^ N ) )  ->  ( abs `  ( X  -  ( [_ ( k  +  1 )  /  x ]_ A  -  [_ k  /  x ]_ A ) ) )  <_  Y )
2482, 61, 63, 247fsumle 12273 . . 3  |-  ( ph  -> 
sum_ k  e.  ( M..^ N ) ( abs `  ( X  -  ( [_ (
k  +  1 )  /  x ]_ A  -  [_ k  /  x ]_ A ) ) )  <_  sum_ k  e.  ( M..^ N ) Y )
24960, 62, 64, 65, 248letrd 8989 . 2  |-  ( ph  ->  ( abs `  sum_ k  e.  ( M..^ N ) ( X  -  ( [_ (
k  +  1 )  /  x ]_ A  -  [_ k  /  x ]_ A ) ) )  <_  sum_ k  e.  ( M..^ N ) Y )
25057, 249eqbrtrrd 4061 1  |-  ( ph  ->  ( abs `  ( sum_ k  e.  ( M..^ N ) X  -  ( D  -  C
) ) )  <_  sum_ k  e.  ( M..^ N ) Y )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    /\ wa 358    = wceq 1632    e. wcel 1696   A.wral 2556   _Vcvv 2801   [_csb 3094    i^i cin 3164    C_ wss 3165   {cpr 3654   class class class wbr 4039    e. cmpt 4093   dom cdm 4705   ran crn 4706    |` cres 4707   -->wf 5267   ` cfv 5271  (class class class)co 5874   Fincfn 6879   CCcc 8751   RRcr 8752   1c1 8754    + caddc 8756    x. cmul 8758   RR*cxr 8882    <_ cle 8884    - cmin 9053   ZZcz 10040   ZZ>=cuz 10246   (,)cioo 10672   [,]cicc 10675   ...cfz 10798  ..^cfzo 10886   abscabs 11735   sum_csu 12174   TopOpenctopn 13342   topGenctg 13358  ℂfldccnfld 16393   intcnt 16770    Cn ccn 16970    tX ctx 17271   -cn->ccncf 18396    _D cdv 19229
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1536  ax-5 1547  ax-17 1606  ax-9 1644  ax-8 1661  ax-13 1698  ax-14 1700  ax-6 1715  ax-7 1720  ax-11 1727  ax-12 1878  ax-ext 2277  ax-rep 4147  ax-sep 4157  ax-nul 4165  ax-pow 4204  ax-pr 4230  ax-un 4528  ax-inf2 7358  ax-cnex 8809  ax-resscn 8810  ax-1cn 8811  ax-icn 8812  ax-addcl 8813  ax-addrcl 8814  ax-mulcl 8815  ax-mulrcl 8816  ax-mulcom 8817  ax-addass 8818  ax-mulass 8819  ax-distr 8820  ax-i2m1 8821  ax-1ne0 8822  ax-1rid 8823  ax-rnegex 8824  ax-rrecex 8825  ax-cnre 8826  ax-pre-lttri 8827  ax-pre-lttrn 8828  ax-pre-ltadd 8829  ax-pre-mulgt0 8830  ax-pre-sup 8831  ax-addf 8832  ax-mulf 8833
This theorem depends on definitions:  df-bi 177  df-or 359  df-an 360  df-3or 935  df-3an 936  df-tru 1310  df-ex 1532  df-nf 1535  df-sb 1639  df-eu 2160  df-mo 2161  df-clab 2283  df-cleq 2289  df-clel 2292  df-nfc 2421  df-ne 2461  df-nel 2462  df-ral 2561  df-rex 2562  df-reu 2563  df-rmo 2564  df-rab 2565  df-v 2803  df-sbc 3005  df-csb 3095  df-dif 3168  df-un 3170  df-in 3172  df-ss 3179  df-pss 3181  df-nul 3469  df-if 3579  df-pw 3640  df-sn 3659  df-pr 3660  df-tp 3661  df-op 3662  df-uni 3844  df-int 3879  df-iun 3923  df-iin 3924  df-br 4040  df-opab 4094  df-mpt 4095  df-tr 4130  df-eprel 4321  df-id 4325  df-po 4330  df-so 4331  df-fr 4368  df-se 4369  df-we 4370  df-ord 4411  df-on 4412  df-lim 4413  df-suc 4414  df-om 4673  df-xp 4711  df-rel 4712  df-cnv 4713  df-co 4714  df-dm 4715  df-rn 4716  df-res 4717  df-ima 4718  df-iota 5235  df-fun 5273  df-fn 5274  df-f 5275  df-f1 5276  df-fo 5277  df-f1o 5278  df-fv 5279  df-isom 5280  df-ov 5877  df-oprab 5878  df-mpt2 5879  df-of 6094  df-1st 6138  df-2nd 6139  df-riota 6320  df-recs 6404  df-rdg 6439  df-1o 6495  df-2o 6496  df-oadd 6499  df-er 6676  df-map 6790  df-pm 6791  df-ixp 6834  df-en 6880  df-dom 6881  df-sdom 6882  df-fin 6883  df-fi 7181  df-sup 7210  df-oi 7241  df-card 7588  df-cda 7810  df-pnf 8885  df-mnf 8886  df-xr 8887  df-ltxr 8888  df-le 8889  df-sub 9055  df-neg 9056  df-div 9440  df-nn 9763  df-2 9820  df-3 9821  df-4 9822  df-5 9823  df-6 9824  df-7 9825  df-8 9826  df-9 9827  df-10 9828  df-n0 9982  df-z 10041  df-dec 10141  df-uz 10247  df-q 10333  df-rp 10371  df-xneg 10468  df-xadd 10469  df-xmul 10470  df-ioo 10676  df-ico 10678  df-icc 10679  df-fz 10799  df-fzo 10887  df-seq 11063  df-exp 11121  df-hash 11354  df-cj 11600  df-re 11601  df-im 11602  df-sqr 11736  df-abs 11737  df-clim 11978  df-sum 12175  df-struct 13166  df-ndx 13167  df-slot 13168  df-base 13169  df-sets 13170  df-ress 13171  df-plusg 13237  df-mulr 13238  df-starv 13239  df-sca 13240  df-vsca 13241  df-tset 13243  df-ple 13244  df-ds 13246  df-hom 13248  df-cco 13249  df-rest 13343  df-topn 13344  df-topgen 13360  df-pt 13361  df-prds 13364  df-xrs 13419  df-0g 13420  df-gsum 13421  df-qtop 13426  df-imas 13427  df-xps 13429  df-mre 13504  df-mrc 13505  df-acs 13507  df-mnd 14383  df-submnd 14432  df-mulg 14508  df-cntz 14809  df-cmn 15107  df-xmet 16389  df-met 16390  df-bl 16391  df-mopn 16392  df-cnfld 16394  df-top 16652  df-bases 16654  df-topon 16655  df-topsp 16656  df-cld 16772  df-ntr 16773  df-cls 16774  df-nei 16851  df-lp 16884  df-perf 16885  df-cn 16973  df-cnp 16974  df-haus 17059  df-cmp 17130  df-tx 17273  df-hmeo 17462  df-fbas 17536  df-fg 17537  df-fil 17557  df-fm 17649  df-flim 17650  df-flf 17651  df-xms 17901  df-ms 17902  df-tms 17903  df-cncf 18398  df-limc 19232  df-dv 19233
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