MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  dvfsumge Unicode version

Theorem dvfsumge 19385
Description: Compare a finite sum to an integral (the integral here is given as a function with a known derivative). (Contributed by Mario Carneiro, 14-May-2016.)
Hypotheses
Ref Expression
dvfsumle.m  |-  ( ph  ->  N  e.  ( ZZ>= `  M ) )
dvfsumle.a  |-  ( ph  ->  ( x  e.  ( M [,] N ) 
|->  A )  e.  ( ( M [,] N
) -cn-> RR ) )
dvfsumle.v  |-  ( (
ph  /\  x  e.  ( M (,) N ) )  ->  B  e.  V )
dvfsumle.b  |-  ( ph  ->  ( RR  _D  (
x  e.  ( M (,) N )  |->  A ) )  =  ( x  e.  ( M (,) N )  |->  B ) )
dvfsumle.c  |-  ( x  =  M  ->  A  =  C )
dvfsumle.d  |-  ( x  =  N  ->  A  =  D )
dvfsumle.x  |-  ( (
ph  /\  k  e.  ( M..^ N ) )  ->  X  e.  RR )
dvfsumge.l  |-  ( (
ph  /\  ( k  e.  ( M..^ N )  /\  x  e.  ( k (,) ( k  +  1 ) ) ) )  ->  B  <_  X )
Assertion
Ref Expression
dvfsumge  |-  ( ph  ->  ( D  -  C
)  <_  sum_ k  e.  ( M..^ N ) X )
Distinct variable groups:    A, k    x, k, M    k, N, x    ph, k, x    x, X    x, C    x, D    x, V
Allowed substitution hints:    A( x)    B( x, k)    C( k)    D( k)    V( k)    X( k)

Proof of Theorem dvfsumge
StepHypRef Expression
1 dvfsumle.m . . . 4  |-  ( ph  ->  N  e.  ( ZZ>= `  M ) )
2 df-neg 9056 . . . . . 6  |-  -u A  =  ( 0  -  A )
32mpteq2i 4119 . . . . 5  |-  ( x  e.  ( M [,] N )  |->  -u A
)  =  ( x  e.  ( M [,] N )  |->  ( 0  -  A ) )
4 eqid 2296 . . . . . 6  |-  ( TopOpen ` fld )  =  ( TopOpen ` fld )
54subcn 18386 . . . . . 6  |-  -  e.  ( ( ( TopOpen ` fld )  tX  ( TopOpen ` fld ) )  Cn  ( TopOpen
` fld
) )
6 0re 8854 . . . . . . . 8  |-  0  e.  RR
76a1i 10 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  0  e.  RR )
8 eluzel2 10251 . . . . . . . . . . 11  |-  ( N  e.  ( ZZ>= `  M
)  ->  M  e.  ZZ )
91, 8syl 15 . . . . . . . . . 10  |-  ( ph  ->  M  e.  ZZ )
109zred 10133 . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  M  e.  RR )
11 eluzelz 10254 . . . . . . . . . . 11  |-  ( N  e.  ( ZZ>= `  M
)  ->  N  e.  ZZ )
121, 11syl 15 . . . . . . . . . 10  |-  ( ph  ->  N  e.  ZZ )
1312zred 10133 . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  N  e.  RR )
14 iccssre 10747 . . . . . . . . 9  |-  ( ( M  e.  RR  /\  N  e.  RR )  ->  ( M [,] N
)  C_  RR )
1510, 13, 14syl2anc 642 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  ( M [,] N
)  C_  RR )
16 ax-resscn 8810 . . . . . . . 8  |-  RR  C_  CC
1715, 16syl6ss 3204 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  ( M [,] N
)  C_  CC )
1816a1i 10 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  RR  C_  CC )
19 cncfmptc 18431 . . . . . . 7  |-  ( ( 0  e.  RR  /\  ( M [,] N ) 
C_  CC  /\  RR  C_  CC )  ->  ( x  e.  ( M [,] N )  |->  0 )  e.  ( ( M [,] N ) -cn-> RR ) )
207, 17, 18, 19syl3anc 1182 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  ( x  e.  ( M [,] N ) 
|->  0 )  e.  ( ( M [,] N
) -cn-> RR ) )
21 dvfsumle.a . . . . . 6  |-  ( ph  ->  ( x  e.  ( M [,] N ) 
|->  A )  e.  ( ( M [,] N
) -cn-> RR ) )
22 resubcl 9127 . . . . . 6  |-  ( ( 0  e.  RR  /\  A  e.  RR )  ->  ( 0  -  A
)  e.  RR )
234, 5, 20, 21, 16, 22cncfmpt2ss 18435 . . . . 5  |-  ( ph  ->  ( x  e.  ( M [,] N ) 
|->  ( 0  -  A
) )  e.  ( ( M [,] N
) -cn-> RR ) )
243, 23syl5eqel 2380 . . . 4  |-  ( ph  ->  ( x  e.  ( M [,] N ) 
|->  -u A )  e.  ( ( M [,] N ) -cn-> RR ) )
25 negex 9066 . . . . 5  |-  -u B  e.  _V
2625a1i 10 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  x  e.  ( M (,) N ) )  ->  -u B  e. 
_V )
27 reex 8844 . . . . . . 7  |-  RR  e.  _V
2827prid1 3747 . . . . . 6  |-  RR  e.  { RR ,  CC }
2928a1i 10 . . . . 5  |-  ( ph  ->  RR  e.  { RR ,  CC } )
30 ioossicc 10751 . . . . . . . 8  |-  ( M (,) N )  C_  ( M [,] N )
3130sseli 3189 . . . . . . 7  |-  ( x  e.  ( M (,) N )  ->  x  e.  ( M [,] N
) )
32 cncff 18413 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( x  e.  ( M [,] N )  |->  A )  e.  ( ( M [,] N )
-cn-> RR )  ->  (
x  e.  ( M [,] N )  |->  A ) : ( M [,] N ) --> RR )
3321, 32syl 15 . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  ( x  e.  ( M [,] N ) 
|->  A ) : ( M [,] N ) --> RR )
34 eqid 2296 . . . . . . . . . 10  |-  ( x  e.  ( M [,] N )  |->  A )  =  ( x  e.  ( M [,] N
)  |->  A )
3534fmpt 5697 . . . . . . . . 9  |-  ( A. x  e.  ( M [,] N ) A  e.  RR  <->  ( x  e.  ( M [,] N
)  |->  A ) : ( M [,] N
) --> RR )
3633, 35sylibr 203 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  A. x  e.  ( M [,] N ) A  e.  RR )
3736r19.21bi 2654 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  x  e.  ( M [,] N ) )  ->  A  e.  RR )
3831, 37sylan2 460 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  x  e.  ( M (,) N ) )  ->  A  e.  RR )
3938recnd 8877 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  x  e.  ( M (,) N ) )  ->  A  e.  CC )
40 dvfsumle.v . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  x  e.  ( M (,) N ) )  ->  B  e.  V )
41 dvfsumle.b . . . . 5  |-  ( ph  ->  ( RR  _D  (
x  e.  ( M (,) N )  |->  A ) )  =  ( x  e.  ( M (,) N )  |->  B ) )
4229, 39, 40, 41dvmptneg 19331 . . . 4  |-  ( ph  ->  ( RR  _D  (
x  e.  ( M (,) N )  |->  -u A ) )  =  ( x  e.  ( M (,) N ) 
|->  -u B ) )
43 dvfsumle.c . . . . 5  |-  ( x  =  M  ->  A  =  C )
4443negeqd 9062 . . . 4  |-  ( x  =  M  ->  -u A  =  -u C )
45 dvfsumle.d . . . . 5  |-  ( x  =  N  ->  A  =  D )
4645negeqd 9062 . . . 4  |-  ( x  =  N  ->  -u A  =  -u D )
47 dvfsumle.x . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  k  e.  ( M..^ N ) )  ->  X  e.  RR )
4847renegcld 9226 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  k  e.  ( M..^ N ) )  ->  -u X  e.  RR )
49 dvfsumge.l . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  ( k  e.  ( M..^ N )  /\  x  e.  ( k (,) ( k  +  1 ) ) ) )  ->  B  <_  X )
5010adantr 451 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( (
ph  /\  k  e.  ( M..^ N ) )  ->  M  e.  RR )
5150rexrd 8897 . . . . . . . . . . 11  |-  ( (
ph  /\  k  e.  ( M..^ N ) )  ->  M  e.  RR* )
52 elfzole1 10898 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( k  e.  ( M..^ N
)  ->  M  <_  k )
5352adantl 452 . . . . . . . . . . 11  |-  ( (
ph  /\  k  e.  ( M..^ N ) )  ->  M  <_  k
)
54 iooss1 10707 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( M  e.  RR*  /\  M  <_  k )  ->  (
k (,) ( k  +  1 ) ) 
C_  ( M (,) ( k  +  1 ) ) )
5551, 53, 54syl2anc 642 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  k  e.  ( M..^ N ) )  ->  ( k (,) ( k  +  1 ) )  C_  ( M (,) ( k  +  1 ) ) )
5613adantr 451 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( (
ph  /\  k  e.  ( M..^ N ) )  ->  N  e.  RR )
5756rexrd 8897 . . . . . . . . . . 11  |-  ( (
ph  /\  k  e.  ( M..^ N ) )  ->  N  e.  RR* )
58 fzofzp1 10932 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( k  e.  ( M..^ N
)  ->  ( k  +  1 )  e.  ( M ... N
) )
5958adantl 452 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( (
ph  /\  k  e.  ( M..^ N ) )  ->  ( k  +  1 )  e.  ( M ... N ) )
60 elfzle2 10816 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( k  +  1 )  e.  ( M ... N )  ->  (
k  +  1 )  <_  N )
6159, 60syl 15 . . . . . . . . . . 11  |-  ( (
ph  /\  k  e.  ( M..^ N ) )  ->  ( k  +  1 )  <_  N
)
62 iooss2 10708 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( N  e.  RR*  /\  (
k  +  1 )  <_  N )  -> 
( M (,) (
k  +  1 ) )  C_  ( M (,) N ) )
6357, 61, 62syl2anc 642 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  k  e.  ( M..^ N ) )  ->  ( M (,) ( k  +  1 ) )  C_  ( M (,) N ) )
6455, 63sstrd 3202 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  k  e.  ( M..^ N ) )  ->  ( k (,) ( k  +  1 ) )  C_  ( M (,) N ) )
6564sselda 3193 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ph  /\  k  e.  ( M..^ N ) )  /\  x  e.  ( k (,) (
k  +  1 ) ) )  ->  x  e.  ( M (,) N
) )
6637adantlr 695 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ph  /\  k  e.  ( M..^ N ) )  /\  x  e.  ( M [,] N
) )  ->  A  e.  RR )
6731, 66sylan2 460 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ph  /\  k  e.  ( M..^ N ) )  /\  x  e.  ( M (,) N
) )  ->  A  e.  RR )
68 eqid 2296 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( x  e.  ( M (,) N )  |->  A )  =  ( x  e.  ( M (,) N
)  |->  A )
6967, 68fmptd 5700 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( (
ph  /\  k  e.  ( M..^ N ) )  ->  ( x  e.  ( M (,) N
)  |->  A ) : ( M (,) N
) --> RR )
70 ioossre 10728 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( M (,) N )  C_  RR
71 dvfre 19316 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( x  e.  ( M (,) N ) 
|->  A ) : ( M (,) N ) --> RR  /\  ( M (,) N )  C_  RR )  ->  ( RR 
_D  ( x  e.  ( M (,) N
)  |->  A ) ) : dom  ( RR 
_D  ( x  e.  ( M (,) N
)  |->  A ) ) --> RR )
7269, 70, 71sylancl 643 . . . . . . . . . . 11  |-  ( (
ph  /\  k  e.  ( M..^ N ) )  ->  ( RR  _D  ( x  e.  ( M (,) N )  |->  A ) ) : dom  ( RR  _D  (
x  e.  ( M (,) N )  |->  A ) ) --> RR )
7341adantr 451 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( (
ph  /\  k  e.  ( M..^ N ) )  ->  ( RR  _D  ( x  e.  ( M (,) N )  |->  A ) )  =  ( x  e.  ( M (,) N )  |->  B ) )
7473dmeqd 4897 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( (
ph  /\  k  e.  ( M..^ N ) )  ->  dom  ( RR  _D  ( x  e.  ( M (,) N ) 
|->  A ) )  =  dom  ( x  e.  ( M (,) N
)  |->  B ) )
7540adantlr 695 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( ph  /\  k  e.  ( M..^ N ) )  /\  x  e.  ( M (,) N
) )  ->  B  e.  V )
7675ralrimiva 2639 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( (
ph  /\  k  e.  ( M..^ N ) )  ->  A. x  e.  ( M (,) N ) B  e.  V )
77 dmmptg 5186 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( A. x  e.  ( M (,) N ) B  e.  V  ->  dom  ( x  e.  ( M (,) N )  |->  B )  =  ( M (,) N ) )
7876, 77syl 15 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( (
ph  /\  k  e.  ( M..^ N ) )  ->  dom  ( x  e.  ( M (,) N
)  |->  B )  =  ( M (,) N
) )
7974, 78eqtrd 2328 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( (
ph  /\  k  e.  ( M..^ N ) )  ->  dom  ( RR  _D  ( x  e.  ( M (,) N ) 
|->  A ) )  =  ( M (,) N
) )
8073, 79feq12d 5397 . . . . . . . . . . 11  |-  ( (
ph  /\  k  e.  ( M..^ N ) )  ->  ( ( RR 
_D  ( x  e.  ( M (,) N
)  |->  A ) ) : dom  ( RR 
_D  ( x  e.  ( M (,) N
)  |->  A ) ) --> RR  <->  ( x  e.  ( M (,) N
)  |->  B ) : ( M (,) N
) --> RR ) )
8172, 80mpbid 201 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  k  e.  ( M..^ N ) )  ->  ( x  e.  ( M (,) N
)  |->  B ) : ( M (,) N
) --> RR )
82 eqid 2296 . . . . . . . . . . 11  |-  ( x  e.  ( M (,) N )  |->  B )  =  ( x  e.  ( M (,) N
)  |->  B )
8382fmpt 5697 . . . . . . . . . 10  |-  ( A. x  e.  ( M (,) N ) B  e.  RR  <->  ( x  e.  ( M (,) N
)  |->  B ) : ( M (,) N
) --> RR )
8481, 83sylibr 203 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  k  e.  ( M..^ N ) )  ->  A. x  e.  ( M (,) N ) B  e.  RR )
8584r19.21bi 2654 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ph  /\  k  e.  ( M..^ N ) )  /\  x  e.  ( M (,) N
) )  ->  B  e.  RR )
8665, 85syldan 456 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ph  /\  k  e.  ( M..^ N ) )  /\  x  e.  ( k (,) (
k  +  1 ) ) )  ->  B  e.  RR )
8786anasss 628 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  ( k  e.  ( M..^ N )  /\  x  e.  ( k (,) ( k  +  1 ) ) ) )  ->  B  e.  RR )
8847adantrr 697 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  ( k  e.  ( M..^ N )  /\  x  e.  ( k (,) ( k  +  1 ) ) ) )  ->  X  e.  RR )
8987, 88lenegd 9367 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  ( k  e.  ( M..^ N )  /\  x  e.  ( k (,) ( k  +  1 ) ) ) )  ->  ( B  <_  X  <->  -u X  <_  -u B ) )
9049, 89mpbid 201 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  ( k  e.  ( M..^ N )  /\  x  e.  ( k (,) ( k  +  1 ) ) ) )  ->  -u X  <_ 
-u B )
911, 24, 26, 42, 44, 46, 48, 90dvfsumle 19384 . . 3  |-  ( ph  -> 
sum_ k  e.  ( M..^ N ) -u X  <_  ( -u D  -  -u C ) )
92 fzofi 11052 . . . . 5  |-  ( M..^ N )  e.  Fin
9392a1i 10 . . . 4  |-  ( ph  ->  ( M..^ N )  e.  Fin )
9447recnd 8877 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  k  e.  ( M..^ N ) )  ->  X  e.  CC )
9593, 94fsumneg 12265 . . 3  |-  ( ph  -> 
sum_ k  e.  ( M..^ N ) -u X  =  -u sum_ k  e.  ( M..^ N ) X )
9610rexrd 8897 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  M  e.  RR* )
9713rexrd 8897 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  N  e.  RR* )
98 eluzle 10256 . . . . . . . . 9  |-  ( N  e.  ( ZZ>= `  M
)  ->  M  <_  N )
991, 98syl 15 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  M  <_  N )
100 ubicc2 10769 . . . . . . . 8  |-  ( ( M  e.  RR*  /\  N  e.  RR*  /\  M  <_  N )  ->  N  e.  ( M [,] N
) )
10196, 97, 99, 100syl3anc 1182 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  N  e.  ( M [,] N ) )
10245eleq1d 2362 . . . . . . . 8  |-  ( x  =  N  ->  ( A  e.  RR  <->  D  e.  RR ) )
103102rspcv 2893 . . . . . . 7  |-  ( N  e.  ( M [,] N )  ->  ( A. x  e.  ( M [,] N ) A  e.  RR  ->  D  e.  RR ) )
104101, 36, 103sylc 56 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  D  e.  RR )
105104recnd 8877 . . . . 5  |-  ( ph  ->  D  e.  CC )
106 lbicc2 10768 . . . . . . . 8  |-  ( ( M  e.  RR*  /\  N  e.  RR*  /\  M  <_  N )  ->  M  e.  ( M [,] N
) )
10796, 97, 99, 106syl3anc 1182 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  M  e.  ( M [,] N ) )
10843eleq1d 2362 . . . . . . . 8  |-  ( x  =  M  ->  ( A  e.  RR  <->  C  e.  RR ) )
109108rspcv 2893 . . . . . . 7  |-  ( M  e.  ( M [,] N )  ->  ( A. x  e.  ( M [,] N ) A  e.  RR  ->  C  e.  RR ) )
110107, 36, 109sylc 56 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  C  e.  RR )
111110recnd 8877 . . . . 5  |-  ( ph  ->  C  e.  CC )
112105, 111neg2subd 9190 . . . 4  |-  ( ph  ->  ( -u D  -  -u C )  =  ( C  -  D ) )
113105, 111negsubdi2d 9189 . . . 4  |-  ( ph  -> 
-u ( D  -  C )  =  ( C  -  D ) )
114112, 113eqtr4d 2331 . . 3  |-  ( ph  ->  ( -u D  -  -u C )  =  -u ( D  -  C
) )
11591, 95, 1143brtr3d 4068 . 2  |-  ( ph  -> 
-u sum_ k  e.  ( M..^ N ) X  <_  -u ( D  -  C ) )
116104, 110resubcld 9227 . . 3  |-  ( ph  ->  ( D  -  C
)  e.  RR )
11793, 47fsumrecl 12223 . . 3  |-  ( ph  -> 
sum_ k  e.  ( M..^ N ) X  e.  RR )
118116, 117lenegd 9367 . 2  |-  ( ph  ->  ( ( D  -  C )  <_  sum_ k  e.  ( M..^ N ) X  <->  -u sum_ k  e.  ( M..^ N ) X  <_  -u ( D  -  C ) ) )
119115, 118mpbird 223 1  |-  ( ph  ->  ( D  -  C
)  <_  sum_ k  e.  ( M..^ N ) X )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    /\ wa 358    = wceq 1632    e. wcel 1696   A.wral 2556   _Vcvv 2801    C_ wss 3165   {cpr 3654   class class class wbr 4039    e. cmpt 4093   dom cdm 4705   -->wf 5267   ` cfv 5271  (class class class)co 5874   Fincfn 6879   CCcc 8751   RRcr 8752   0cc0 8753   1c1 8754    + caddc 8756   RR*cxr 8882    <_ cle 8884    - cmin 9053   -ucneg 9054   ZZcz 10040   ZZ>=cuz 10246   (,)cioo 10672   [,]cicc 10675   ...cfz 10798  ..^cfzo 10886   sum_csu 12174   TopOpenctopn 13342  ℂfldccnfld 16393   -cn->ccncf 18396    _D cdv 19229
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1536  ax-5 1547  ax-17 1606  ax-9 1644  ax-8 1661  ax-13 1698  ax-14 1700  ax-6 1715  ax-7 1720  ax-11 1727  ax-12 1878  ax-ext 2277  ax-rep 4147  ax-sep 4157  ax-nul 4165  ax-pow 4204  ax-pr 4230  ax-un 4528  ax-inf2 7358  ax-cnex 8809  ax-resscn 8810  ax-1cn 8811  ax-icn 8812  ax-addcl 8813  ax-addrcl 8814  ax-mulcl 8815  ax-mulrcl 8816  ax-mulcom 8817  ax-addass 8818  ax-mulass 8819  ax-distr 8820  ax-i2m1 8821  ax-1ne0 8822  ax-1rid 8823  ax-rnegex 8824  ax-rrecex 8825  ax-cnre 8826  ax-pre-lttri 8827  ax-pre-lttrn 8828  ax-pre-ltadd 8829  ax-pre-mulgt0 8830  ax-pre-sup 8831  ax-addf 8832  ax-mulf 8833
This theorem depends on definitions:  df-bi 177  df-or 359  df-an 360  df-3or 935  df-3an 936  df-tru 1310  df-ex 1532  df-nf 1535  df-sb 1639  df-eu 2160  df-mo 2161  df-clab 2283  df-cleq 2289  df-clel 2292  df-nfc 2421  df-ne 2461  df-nel 2462  df-ral 2561  df-rex 2562  df-reu 2563  df-rmo 2564  df-rab 2565  df-v 2803  df-sbc 3005  df-csb 3095  df-dif 3168  df-un 3170  df-in 3172  df-ss 3179  df-pss 3181  df-nul 3469  df-if 3579  df-pw 3640  df-sn 3659  df-pr 3660  df-tp 3661  df-op 3662  df-uni 3844  df-int 3879  df-iun 3923  df-iin 3924  df-br 4040  df-opab 4094  df-mpt 4095  df-tr 4130  df-eprel 4321  df-id 4325  df-po 4330  df-so 4331  df-fr 4368  df-se 4369  df-we 4370  df-ord 4411  df-on 4412  df-lim 4413  df-suc 4414  df-om 4673  df-xp 4711  df-rel 4712  df-cnv 4713  df-co 4714  df-dm 4715  df-rn 4716  df-res 4717  df-ima 4718  df-iota 5235  df-fun 5273  df-fn 5274  df-f 5275  df-f1 5276  df-fo 5277  df-f1o 5278  df-fv 5279  df-isom 5280  df-ov 5877  df-oprab 5878  df-mpt2 5879  df-of 6094  df-1st 6138  df-2nd 6139  df-riota 6320  df-recs 6404  df-rdg 6439  df-1o 6495  df-2o 6496  df-oadd 6499  df-er 6676  df-map 6790  df-pm 6791  df-ixp 6834  df-en 6880  df-dom 6881  df-sdom 6882  df-fin 6883  df-fi 7181  df-sup 7210  df-oi 7241  df-card 7588  df-cda 7810  df-pnf 8885  df-mnf 8886  df-xr 8887  df-ltxr 8888  df-le 8889  df-sub 9055  df-neg 9056  df-div 9440  df-nn 9763  df-2 9820  df-3 9821  df-4 9822  df-5 9823  df-6 9824  df-7 9825  df-8 9826  df-9 9827  df-10 9828  df-n0 9982  df-z 10041  df-dec 10141  df-uz 10247  df-q 10333  df-rp 10371  df-xneg 10468  df-xadd 10469  df-xmul 10470  df-ioo 10676  df-ico 10678  df-icc 10679  df-fz 10799  df-fzo 10887  df-seq 11063  df-exp 11121  df-hash 11354  df-cj 11600  df-re 11601  df-im 11602  df-sqr 11736  df-abs 11737  df-clim 11978  df-sum 12175  df-struct 13166  df-ndx 13167  df-slot 13168  df-base 13169  df-sets 13170  df-ress 13171  df-plusg 13237  df-mulr 13238  df-starv 13239  df-sca 13240  df-vsca 13241  df-tset 13243  df-ple 13244  df-ds 13246  df-hom 13248  df-cco 13249  df-rest 13343  df-topn 13344  df-topgen 13360  df-pt 13361  df-prds 13364  df-xrs 13419  df-0g 13420  df-gsum 13421  df-qtop 13426  df-imas 13427  df-xps 13429  df-mre 13504  df-mrc 13505  df-acs 13507  df-mnd 14383  df-submnd 14432  df-mulg 14508  df-cntz 14809  df-cmn 15107  df-xmet 16389  df-met 16390  df-bl 16391  df-mopn 16392  df-cnfld 16394  df-top 16652  df-bases 16654  df-topon 16655  df-topsp 16656  df-cld 16772  df-ntr 16773  df-cls 16774  df-nei 16851  df-lp 16884  df-perf 16885  df-cn 16973  df-cnp 16974  df-haus 17059  df-cmp 17130  df-tx 17273  df-hmeo 17462  df-fbas 17536  df-fg 17537  df-fil 17557  df-fm 17649  df-flim 17650  df-flf 17651  df-xms 17901  df-ms 17902  df-tms 17903  df-cncf 18398  df-limc 19232  df-dv 19233
  Copyright terms: Public domain W3C validator