MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  dvfsumge Unicode version

Theorem dvfsumge 19894
Description: Compare a finite sum to an integral (the integral here is given as a function with a known derivative). (Contributed by Mario Carneiro, 14-May-2016.)
Hypotheses
Ref Expression
dvfsumle.m  |-  ( ph  ->  N  e.  ( ZZ>= `  M ) )
dvfsumle.a  |-  ( ph  ->  ( x  e.  ( M [,] N ) 
|->  A )  e.  ( ( M [,] N
) -cn-> RR ) )
dvfsumle.v  |-  ( (
ph  /\  x  e.  ( M (,) N ) )  ->  B  e.  V )
dvfsumle.b  |-  ( ph  ->  ( RR  _D  (
x  e.  ( M (,) N )  |->  A ) )  =  ( x  e.  ( M (,) N )  |->  B ) )
dvfsumle.c  |-  ( x  =  M  ->  A  =  C )
dvfsumle.d  |-  ( x  =  N  ->  A  =  D )
dvfsumle.x  |-  ( (
ph  /\  k  e.  ( M..^ N ) )  ->  X  e.  RR )
dvfsumge.l  |-  ( (
ph  /\  ( k  e.  ( M..^ N )  /\  x  e.  ( k (,) ( k  +  1 ) ) ) )  ->  B  <_  X )
Assertion
Ref Expression
dvfsumge  |-  ( ph  ->  ( D  -  C
)  <_  sum_ k  e.  ( M..^ N ) X )
Distinct variable groups:    A, k    x, k, M    k, N, x    ph, k, x    x, X    x, C    x, D    x, V
Allowed substitution hints:    A( x)    B( x, k)    C( k)    D( k)    V( k)    X( k)

Proof of Theorem dvfsumge
StepHypRef Expression
1 dvfsumle.m . . . 4  |-  ( ph  ->  N  e.  ( ZZ>= `  M ) )
2 df-neg 9283 . . . . . 6  |-  -u A  =  ( 0  -  A )
32mpteq2i 4284 . . . . 5  |-  ( x  e.  ( M [,] N )  |->  -u A
)  =  ( x  e.  ( M [,] N )  |->  ( 0  -  A ) )
4 eqid 2435 . . . . . 6  |-  ( TopOpen ` fld )  =  ( TopOpen ` fld )
54subcn 18884 . . . . . 6  |-  -  e.  ( ( ( TopOpen ` fld )  tX  ( TopOpen ` fld ) )  Cn  ( TopOpen
` fld
) )
6 0re 9080 . . . . . . . 8  |-  0  e.  RR
76a1i 11 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  0  e.  RR )
8 eluzel2 10482 . . . . . . . . . . 11  |-  ( N  e.  ( ZZ>= `  M
)  ->  M  e.  ZZ )
91, 8syl 16 . . . . . . . . . 10  |-  ( ph  ->  M  e.  ZZ )
109zred 10364 . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  M  e.  RR )
11 eluzelz 10485 . . . . . . . . . . 11  |-  ( N  e.  ( ZZ>= `  M
)  ->  N  e.  ZZ )
121, 11syl 16 . . . . . . . . . 10  |-  ( ph  ->  N  e.  ZZ )
1312zred 10364 . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  N  e.  RR )
14 iccssre 10981 . . . . . . . . 9  |-  ( ( M  e.  RR  /\  N  e.  RR )  ->  ( M [,] N
)  C_  RR )
1510, 13, 14syl2anc 643 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  ( M [,] N
)  C_  RR )
16 ax-resscn 9036 . . . . . . . 8  |-  RR  C_  CC
1715, 16syl6ss 3352 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  ( M [,] N
)  C_  CC )
1816a1i 11 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  RR  C_  CC )
19 cncfmptc 18929 . . . . . . 7  |-  ( ( 0  e.  RR  /\  ( M [,] N ) 
C_  CC  /\  RR  C_  CC )  ->  ( x  e.  ( M [,] N )  |->  0 )  e.  ( ( M [,] N ) -cn-> RR ) )
207, 17, 18, 19syl3anc 1184 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  ( x  e.  ( M [,] N ) 
|->  0 )  e.  ( ( M [,] N
) -cn-> RR ) )
21 dvfsumle.a . . . . . 6  |-  ( ph  ->  ( x  e.  ( M [,] N ) 
|->  A )  e.  ( ( M [,] N
) -cn-> RR ) )
22 resubcl 9354 . . . . . 6  |-  ( ( 0  e.  RR  /\  A  e.  RR )  ->  ( 0  -  A
)  e.  RR )
234, 5, 20, 21, 16, 22cncfmpt2ss 18933 . . . . 5  |-  ( ph  ->  ( x  e.  ( M [,] N ) 
|->  ( 0  -  A
) )  e.  ( ( M [,] N
) -cn-> RR ) )
243, 23syl5eqel 2519 . . . 4  |-  ( ph  ->  ( x  e.  ( M [,] N ) 
|->  -u A )  e.  ( ( M [,] N ) -cn-> RR ) )
25 negex 9293 . . . . 5  |-  -u B  e.  _V
2625a1i 11 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  x  e.  ( M (,) N ) )  ->  -u B  e. 
_V )
27 reex 9070 . . . . . . 7  |-  RR  e.  _V
2827prid1 3904 . . . . . 6  |-  RR  e.  { RR ,  CC }
2928a1i 11 . . . . 5  |-  ( ph  ->  RR  e.  { RR ,  CC } )
30 ioossicc 10985 . . . . . . . 8  |-  ( M (,) N )  C_  ( M [,] N )
3130sseli 3336 . . . . . . 7  |-  ( x  e.  ( M (,) N )  ->  x  e.  ( M [,] N
) )
32 cncff 18911 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( x  e.  ( M [,] N )  |->  A )  e.  ( ( M [,] N )
-cn-> RR )  ->  (
x  e.  ( M [,] N )  |->  A ) : ( M [,] N ) --> RR )
3321, 32syl 16 . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  ( x  e.  ( M [,] N ) 
|->  A ) : ( M [,] N ) --> RR )
34 eqid 2435 . . . . . . . . . 10  |-  ( x  e.  ( M [,] N )  |->  A )  =  ( x  e.  ( M [,] N
)  |->  A )
3534fmpt 5881 . . . . . . . . 9  |-  ( A. x  e.  ( M [,] N ) A  e.  RR  <->  ( x  e.  ( M [,] N
)  |->  A ) : ( M [,] N
) --> RR )
3633, 35sylibr 204 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  A. x  e.  ( M [,] N ) A  e.  RR )
3736r19.21bi 2796 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  x  e.  ( M [,] N ) )  ->  A  e.  RR )
3831, 37sylan2 461 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  x  e.  ( M (,) N ) )  ->  A  e.  RR )
3938recnd 9103 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  x  e.  ( M (,) N ) )  ->  A  e.  CC )
40 dvfsumle.v . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  x  e.  ( M (,) N ) )  ->  B  e.  V )
41 dvfsumle.b . . . . 5  |-  ( ph  ->  ( RR  _D  (
x  e.  ( M (,) N )  |->  A ) )  =  ( x  e.  ( M (,) N )  |->  B ) )
4229, 39, 40, 41dvmptneg 19840 . . . 4  |-  ( ph  ->  ( RR  _D  (
x  e.  ( M (,) N )  |->  -u A ) )  =  ( x  e.  ( M (,) N ) 
|->  -u B ) )
43 dvfsumle.c . . . . 5  |-  ( x  =  M  ->  A  =  C )
4443negeqd 9289 . . . 4  |-  ( x  =  M  ->  -u A  =  -u C )
45 dvfsumle.d . . . . 5  |-  ( x  =  N  ->  A  =  D )
4645negeqd 9289 . . . 4  |-  ( x  =  N  ->  -u A  =  -u D )
47 dvfsumle.x . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  k  e.  ( M..^ N ) )  ->  X  e.  RR )
4847renegcld 9453 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  k  e.  ( M..^ N ) )  ->  -u X  e.  RR )
49 dvfsumge.l . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  ( k  e.  ( M..^ N )  /\  x  e.  ( k (,) ( k  +  1 ) ) ) )  ->  B  <_  X )
5010adantr 452 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( (
ph  /\  k  e.  ( M..^ N ) )  ->  M  e.  RR )
5150rexrd 9123 . . . . . . . . . . 11  |-  ( (
ph  /\  k  e.  ( M..^ N ) )  ->  M  e.  RR* )
52 elfzole1 11135 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( k  e.  ( M..^ N
)  ->  M  <_  k )
5352adantl 453 . . . . . . . . . . 11  |-  ( (
ph  /\  k  e.  ( M..^ N ) )  ->  M  <_  k
)
54 iooss1 10940 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( M  e.  RR*  /\  M  <_  k )  ->  (
k (,) ( k  +  1 ) ) 
C_  ( M (,) ( k  +  1 ) ) )
5551, 53, 54syl2anc 643 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  k  e.  ( M..^ N ) )  ->  ( k (,) ( k  +  1 ) )  C_  ( M (,) ( k  +  1 ) ) )
5613adantr 452 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( (
ph  /\  k  e.  ( M..^ N ) )  ->  N  e.  RR )
5756rexrd 9123 . . . . . . . . . . 11  |-  ( (
ph  /\  k  e.  ( M..^ N ) )  ->  N  e.  RR* )
58 fzofzp1 11177 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( k  e.  ( M..^ N
)  ->  ( k  +  1 )  e.  ( M ... N
) )
5958adantl 453 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( (
ph  /\  k  e.  ( M..^ N ) )  ->  ( k  +  1 )  e.  ( M ... N ) )
60 elfzle2 11050 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( k  +  1 )  e.  ( M ... N )  ->  (
k  +  1 )  <_  N )
6159, 60syl 16 . . . . . . . . . . 11  |-  ( (
ph  /\  k  e.  ( M..^ N ) )  ->  ( k  +  1 )  <_  N
)
62 iooss2 10941 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( N  e.  RR*  /\  (
k  +  1 )  <_  N )  -> 
( M (,) (
k  +  1 ) )  C_  ( M (,) N ) )
6357, 61, 62syl2anc 643 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  k  e.  ( M..^ N ) )  ->  ( M (,) ( k  +  1 ) )  C_  ( M (,) N ) )
6455, 63sstrd 3350 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  k  e.  ( M..^ N ) )  ->  ( k (,) ( k  +  1 ) )  C_  ( M (,) N ) )
6564sselda 3340 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ph  /\  k  e.  ( M..^ N ) )  /\  x  e.  ( k (,) (
k  +  1 ) ) )  ->  x  e.  ( M (,) N
) )
6637adantlr 696 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ph  /\  k  e.  ( M..^ N ) )  /\  x  e.  ( M [,] N
) )  ->  A  e.  RR )
6731, 66sylan2 461 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ph  /\  k  e.  ( M..^ N ) )  /\  x  e.  ( M (,) N
) )  ->  A  e.  RR )
68 eqid 2435 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( x  e.  ( M (,) N )  |->  A )  =  ( x  e.  ( M (,) N
)  |->  A )
6967, 68fmptd 5884 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( (
ph  /\  k  e.  ( M..^ N ) )  ->  ( x  e.  ( M (,) N
)  |->  A ) : ( M (,) N
) --> RR )
70 ioossre 10961 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( M (,) N )  C_  RR
71 dvfre 19825 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( x  e.  ( M (,) N ) 
|->  A ) : ( M (,) N ) --> RR  /\  ( M (,) N )  C_  RR )  ->  ( RR 
_D  ( x  e.  ( M (,) N
)  |->  A ) ) : dom  ( RR 
_D  ( x  e.  ( M (,) N
)  |->  A ) ) --> RR )
7269, 70, 71sylancl 644 . . . . . . . . . . 11  |-  ( (
ph  /\  k  e.  ( M..^ N ) )  ->  ( RR  _D  ( x  e.  ( M (,) N )  |->  A ) ) : dom  ( RR  _D  (
x  e.  ( M (,) N )  |->  A ) ) --> RR )
7341adantr 452 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( (
ph  /\  k  e.  ( M..^ N ) )  ->  ( RR  _D  ( x  e.  ( M (,) N )  |->  A ) )  =  ( x  e.  ( M (,) N )  |->  B ) )
7473dmeqd 5063 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( (
ph  /\  k  e.  ( M..^ N ) )  ->  dom  ( RR  _D  ( x  e.  ( M (,) N ) 
|->  A ) )  =  dom  ( x  e.  ( M (,) N
)  |->  B ) )
7540adantlr 696 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( ph  /\  k  e.  ( M..^ N ) )  /\  x  e.  ( M (,) N
) )  ->  B  e.  V )
7675ralrimiva 2781 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( (
ph  /\  k  e.  ( M..^ N ) )  ->  A. x  e.  ( M (,) N ) B  e.  V )
77 dmmptg 5358 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( A. x  e.  ( M (,) N ) B  e.  V  ->  dom  ( x  e.  ( M (,) N )  |->  B )  =  ( M (,) N ) )
7876, 77syl 16 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( (
ph  /\  k  e.  ( M..^ N ) )  ->  dom  ( x  e.  ( M (,) N
)  |->  B )  =  ( M (,) N
) )
7974, 78eqtrd 2467 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( (
ph  /\  k  e.  ( M..^ N ) )  ->  dom  ( RR  _D  ( x  e.  ( M (,) N ) 
|->  A ) )  =  ( M (,) N
) )
8073, 79feq12d 5573 . . . . . . . . . . 11  |-  ( (
ph  /\  k  e.  ( M..^ N ) )  ->  ( ( RR 
_D  ( x  e.  ( M (,) N
)  |->  A ) ) : dom  ( RR 
_D  ( x  e.  ( M (,) N
)  |->  A ) ) --> RR  <->  ( x  e.  ( M (,) N
)  |->  B ) : ( M (,) N
) --> RR ) )
8172, 80mpbid 202 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  k  e.  ( M..^ N ) )  ->  ( x  e.  ( M (,) N
)  |->  B ) : ( M (,) N
) --> RR )
82 eqid 2435 . . . . . . . . . . 11  |-  ( x  e.  ( M (,) N )  |->  B )  =  ( x  e.  ( M (,) N
)  |->  B )
8382fmpt 5881 . . . . . . . . . 10  |-  ( A. x  e.  ( M (,) N ) B  e.  RR  <->  ( x  e.  ( M (,) N
)  |->  B ) : ( M (,) N
) --> RR )
8481, 83sylibr 204 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  k  e.  ( M..^ N ) )  ->  A. x  e.  ( M (,) N ) B  e.  RR )
8584r19.21bi 2796 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ph  /\  k  e.  ( M..^ N ) )  /\  x  e.  ( M (,) N
) )  ->  B  e.  RR )
8665, 85syldan 457 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ph  /\  k  e.  ( M..^ N ) )  /\  x  e.  ( k (,) (
k  +  1 ) ) )  ->  B  e.  RR )
8786anasss 629 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  ( k  e.  ( M..^ N )  /\  x  e.  ( k (,) ( k  +  1 ) ) ) )  ->  B  e.  RR )
8847adantrr 698 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  ( k  e.  ( M..^ N )  /\  x  e.  ( k (,) ( k  +  1 ) ) ) )  ->  X  e.  RR )
8987, 88lenegd 9594 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  ( k  e.  ( M..^ N )  /\  x  e.  ( k (,) ( k  +  1 ) ) ) )  ->  ( B  <_  X  <->  -u X  <_  -u B ) )
9049, 89mpbid 202 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  ( k  e.  ( M..^ N )  /\  x  e.  ( k (,) ( k  +  1 ) ) ) )  ->  -u X  <_ 
-u B )
911, 24, 26, 42, 44, 46, 48, 90dvfsumle 19893 . . 3  |-  ( ph  -> 
sum_ k  e.  ( M..^ N ) -u X  <_  ( -u D  -  -u C ) )
92 fzofi 11301 . . . . 5  |-  ( M..^ N )  e.  Fin
9392a1i 11 . . . 4  |-  ( ph  ->  ( M..^ N )  e.  Fin )
9447recnd 9103 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  k  e.  ( M..^ N ) )  ->  X  e.  CC )
9593, 94fsumneg 12558 . . 3  |-  ( ph  -> 
sum_ k  e.  ( M..^ N ) -u X  =  -u sum_ k  e.  ( M..^ N ) X )
9610rexrd 9123 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  M  e.  RR* )
9713rexrd 9123 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  N  e.  RR* )
98 eluzle 10487 . . . . . . . . 9  |-  ( N  e.  ( ZZ>= `  M
)  ->  M  <_  N )
991, 98syl 16 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  M  <_  N )
100 ubicc2 11003 . . . . . . . 8  |-  ( ( M  e.  RR*  /\  N  e.  RR*  /\  M  <_  N )  ->  N  e.  ( M [,] N
) )
10196, 97, 99, 100syl3anc 1184 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  N  e.  ( M [,] N ) )
10245eleq1d 2501 . . . . . . . 8  |-  ( x  =  N  ->  ( A  e.  RR  <->  D  e.  RR ) )
103102rspcv 3040 . . . . . . 7  |-  ( N  e.  ( M [,] N )  ->  ( A. x  e.  ( M [,] N ) A  e.  RR  ->  D  e.  RR ) )
104101, 36, 103sylc 58 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  D  e.  RR )
105104recnd 9103 . . . . 5  |-  ( ph  ->  D  e.  CC )
106 lbicc2 11002 . . . . . . . 8  |-  ( ( M  e.  RR*  /\  N  e.  RR*  /\  M  <_  N )  ->  M  e.  ( M [,] N
) )
10796, 97, 99, 106syl3anc 1184 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  M  e.  ( M [,] N ) )
10843eleq1d 2501 . . . . . . . 8  |-  ( x  =  M  ->  ( A  e.  RR  <->  C  e.  RR ) )
109108rspcv 3040 . . . . . . 7  |-  ( M  e.  ( M [,] N )  ->  ( A. x  e.  ( M [,] N ) A  e.  RR  ->  C  e.  RR ) )
110107, 36, 109sylc 58 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  C  e.  RR )
111110recnd 9103 . . . . 5  |-  ( ph  ->  C  e.  CC )
112105, 111neg2subd 9417 . . . 4  |-  ( ph  ->  ( -u D  -  -u C )  =  ( C  -  D ) )
113105, 111negsubdi2d 9416 . . . 4  |-  ( ph  -> 
-u ( D  -  C )  =  ( C  -  D ) )
114112, 113eqtr4d 2470 . . 3  |-  ( ph  ->  ( -u D  -  -u C )  =  -u ( D  -  C
) )
11591, 95, 1143brtr3d 4233 . 2  |-  ( ph  -> 
-u sum_ k  e.  ( M..^ N ) X  <_  -u ( D  -  C ) )
116104, 110resubcld 9454 . . 3  |-  ( ph  ->  ( D  -  C
)  e.  RR )
11793, 47fsumrecl 12516 . . 3  |-  ( ph  -> 
sum_ k  e.  ( M..^ N ) X  e.  RR )
118116, 117lenegd 9594 . 2  |-  ( ph  ->  ( ( D  -  C )  <_  sum_ k  e.  ( M..^ N ) X  <->  -u sum_ k  e.  ( M..^ N ) X  <_  -u ( D  -  C ) ) )
119115, 118mpbird 224 1  |-  ( ph  ->  ( D  -  C
)  <_  sum_ k  e.  ( M..^ N ) X )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    /\ wa 359    = wceq 1652    e. wcel 1725   A.wral 2697   _Vcvv 2948    C_ wss 3312   {cpr 3807   class class class wbr 4204    e. cmpt 4258   dom cdm 4869   -->wf 5441   ` cfv 5445  (class class class)co 6072   Fincfn 7100   CCcc 8977   RRcr 8978   0cc0 8979   1c1 8980    + caddc 8982   RR*cxr 9108    <_ cle 9110    - cmin 9280   -ucneg 9281   ZZcz 10271   ZZ>=cuz 10477   (,)cioo 10905   [,]cicc 10908   ...cfz 11032  ..^cfzo 11123   sum_csu 12467   TopOpenctopn 13637  ℂfldccnfld 16691   -cn->ccncf 18894    _D cdv 19738
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1555  ax-5 1566  ax-17 1626  ax-9 1666  ax-8 1687  ax-13 1727  ax-14 1729  ax-6 1744  ax-7 1749  ax-11 1761  ax-12 1950  ax-ext 2416  ax-rep 4312  ax-sep 4322  ax-nul 4330  ax-pow 4369  ax-pr 4395  ax-un 4692  ax-inf2 7585  ax-cnex 9035  ax-resscn 9036  ax-1cn 9037  ax-icn 9038  ax-addcl 9039  ax-addrcl 9040  ax-mulcl 9041  ax-mulrcl 9042  ax-mulcom 9043  ax-addass 9044  ax-mulass 9045  ax-distr 9046  ax-i2m1 9047  ax-1ne0 9048  ax-1rid 9049  ax-rnegex 9050  ax-rrecex 9051  ax-cnre 9052  ax-pre-lttri 9053  ax-pre-lttrn 9054  ax-pre-ltadd 9055  ax-pre-mulgt0 9056  ax-pre-sup 9057  ax-addf 9058  ax-mulf 9059
This theorem depends on definitions:  df-bi 178  df-or 360  df-an 361  df-3or 937  df-3an 938  df-tru 1328  df-ex 1551  df-nf 1554  df-sb 1659  df-eu 2284  df-mo 2285  df-clab 2422  df-cleq 2428  df-clel 2431  df-nfc 2560  df-ne 2600  df-nel 2601  df-ral 2702  df-rex 2703  df-reu 2704  df-rmo 2705  df-rab 2706  df-v 2950  df-sbc 3154  df-csb 3244  df-dif 3315  df-un 3317  df-in 3319  df-ss 3326  df-pss 3328  df-nul 3621  df-if 3732  df-pw 3793  df-sn 3812  df-pr 3813  df-tp 3814  df-op 3815  df-uni 4008  df-int 4043  df-iun 4087  df-iin 4088  df-br 4205  df-opab 4259  df-mpt 4260  df-tr 4295  df-eprel 4486  df-id 4490  df-po 4495  df-so 4496  df-fr 4533  df-se 4534  df-we 4535  df-ord 4576  df-on 4577  df-lim 4578  df-suc 4579  df-om 4837  df-xp 4875  df-rel 4876  df-cnv 4877  df-co 4878  df-dm 4879  df-rn 4880  df-res 4881  df-ima 4882  df-iota 5409  df-fun 5447  df-fn 5448  df-f 5449  df-f1 5450  df-fo 5451  df-f1o 5452  df-fv 5453  df-isom 5454  df-ov 6075  df-oprab 6076  df-mpt2 6077  df-of 6296  df-1st 6340  df-2nd 6341  df-riota 6540  df-recs 6624  df-rdg 6659  df-1o 6715  df-2o 6716  df-oadd 6719  df-er 6896  df-map 7011  df-pm 7012  df-ixp 7055  df-en 7101  df-dom 7102  df-sdom 7103  df-fin 7104  df-fi 7407  df-sup 7437  df-oi 7468  df-card 7815  df-cda 8037  df-pnf 9111  df-mnf 9112  df-xr 9113  df-ltxr 9114  df-le 9115  df-sub 9282  df-neg 9283  df-div 9667  df-nn 9990  df-2 10047  df-3 10048  df-4 10049  df-5 10050  df-6 10051  df-7 10052  df-8 10053  df-9 10054  df-10 10055  df-n0 10211  df-z 10272  df-dec 10372  df-uz 10478  df-q 10564  df-rp 10602  df-xneg 10699  df-xadd 10700  df-xmul 10701  df-ioo 10909  df-ico 10911  df-icc 10912  df-fz 11033  df-fzo 11124  df-seq 11312  df-exp 11371  df-hash 11607  df-cj 11892  df-re 11893  df-im 11894  df-sqr 12028  df-abs 12029  df-clim 12270  df-sum 12468  df-struct 13459  df-ndx 13460  df-slot 13461  df-base 13462  df-sets 13463  df-ress 13464  df-plusg 13530  df-mulr 13531  df-starv 13532  df-sca 13533  df-vsca 13534  df-tset 13536  df-ple 13537  df-ds 13539  df-unif 13540  df-hom 13541  df-cco 13542  df-rest 13638  df-topn 13639  df-topgen 13655  df-pt 13656  df-prds 13659  df-xrs 13714  df-0g 13715  df-gsum 13716  df-qtop 13721  df-imas 13722  df-xps 13724  df-mre 13799  df-mrc 13800  df-acs 13802  df-mnd 14678  df-submnd 14727  df-mulg 14803  df-cntz 15104  df-cmn 15402  df-psmet 16682  df-xmet 16683  df-met 16684  df-bl 16685  df-mopn 16686  df-fbas 16687  df-fg 16688  df-cnfld 16692  df-top 16951  df-bases 16953  df-topon 16954  df-topsp 16955  df-cld 17071  df-ntr 17072  df-cls 17073  df-nei 17150  df-lp 17188  df-perf 17189  df-cn 17279  df-cnp 17280  df-haus 17367  df-cmp 17438  df-tx 17582  df-hmeo 17775  df-fil 17866  df-fm 17958  df-flim 17959  df-flf 17960  df-xms 18338  df-ms 18339  df-tms 18340  df-cncf 18896  df-limc 19741  df-dv 19742
  Copyright terms: Public domain W3C validator