MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  dvfsumge Structured version   Unicode version

Theorem dvfsumge 19911
Description: Compare a finite sum to an integral (the integral here is given as a function with a known derivative). (Contributed by Mario Carneiro, 14-May-2016.)
Hypotheses
Ref Expression
dvfsumle.m  |-  ( ph  ->  N  e.  ( ZZ>= `  M ) )
dvfsumle.a  |-  ( ph  ->  ( x  e.  ( M [,] N ) 
|->  A )  e.  ( ( M [,] N
) -cn-> RR ) )
dvfsumle.v  |-  ( (
ph  /\  x  e.  ( M (,) N ) )  ->  B  e.  V )
dvfsumle.b  |-  ( ph  ->  ( RR  _D  (
x  e.  ( M (,) N )  |->  A ) )  =  ( x  e.  ( M (,) N )  |->  B ) )
dvfsumle.c  |-  ( x  =  M  ->  A  =  C )
dvfsumle.d  |-  ( x  =  N  ->  A  =  D )
dvfsumle.x  |-  ( (
ph  /\  k  e.  ( M..^ N ) )  ->  X  e.  RR )
dvfsumge.l  |-  ( (
ph  /\  ( k  e.  ( M..^ N )  /\  x  e.  ( k (,) ( k  +  1 ) ) ) )  ->  B  <_  X )
Assertion
Ref Expression
dvfsumge  |-  ( ph  ->  ( D  -  C
)  <_  sum_ k  e.  ( M..^ N ) X )
Distinct variable groups:    A, k    x, k, M    k, N, x    ph, k, x    x, X    x, C    x, D    x, V
Allowed substitution hints:    A( x)    B( x, k)    C( k)    D( k)    V( k)    X( k)

Proof of Theorem dvfsumge
StepHypRef Expression
1 dvfsumle.m . . . 4  |-  ( ph  ->  N  e.  ( ZZ>= `  M ) )
2 df-neg 9299 . . . . . 6  |-  -u A  =  ( 0  -  A )
32mpteq2i 4295 . . . . 5  |-  ( x  e.  ( M [,] N )  |->  -u A
)  =  ( x  e.  ( M [,] N )  |->  ( 0  -  A ) )
4 eqid 2438 . . . . . 6  |-  ( TopOpen ` fld )  =  ( TopOpen ` fld )
54subcn 18901 . . . . . 6  |-  -  e.  ( ( ( TopOpen ` fld )  tX  ( TopOpen ` fld ) )  Cn  ( TopOpen
` fld
) )
6 0re 9096 . . . . . . . 8  |-  0  e.  RR
76a1i 11 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  0  e.  RR )
8 eluzel2 10498 . . . . . . . . . . 11  |-  ( N  e.  ( ZZ>= `  M
)  ->  M  e.  ZZ )
91, 8syl 16 . . . . . . . . . 10  |-  ( ph  ->  M  e.  ZZ )
109zred 10380 . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  M  e.  RR )
11 eluzelz 10501 . . . . . . . . . . 11  |-  ( N  e.  ( ZZ>= `  M
)  ->  N  e.  ZZ )
121, 11syl 16 . . . . . . . . . 10  |-  ( ph  ->  N  e.  ZZ )
1312zred 10380 . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  N  e.  RR )
14 iccssre 10997 . . . . . . . . 9  |-  ( ( M  e.  RR  /\  N  e.  RR )  ->  ( M [,] N
)  C_  RR )
1510, 13, 14syl2anc 644 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  ( M [,] N
)  C_  RR )
16 ax-resscn 9052 . . . . . . . 8  |-  RR  C_  CC
1715, 16syl6ss 3362 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  ( M [,] N
)  C_  CC )
1816a1i 11 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  RR  C_  CC )
19 cncfmptc 18946 . . . . . . 7  |-  ( ( 0  e.  RR  /\  ( M [,] N ) 
C_  CC  /\  RR  C_  CC )  ->  ( x  e.  ( M [,] N )  |->  0 )  e.  ( ( M [,] N ) -cn-> RR ) )
207, 17, 18, 19syl3anc 1185 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  ( x  e.  ( M [,] N ) 
|->  0 )  e.  ( ( M [,] N
) -cn-> RR ) )
21 dvfsumle.a . . . . . 6  |-  ( ph  ->  ( x  e.  ( M [,] N ) 
|->  A )  e.  ( ( M [,] N
) -cn-> RR ) )
22 resubcl 9370 . . . . . 6  |-  ( ( 0  e.  RR  /\  A  e.  RR )  ->  ( 0  -  A
)  e.  RR )
234, 5, 20, 21, 16, 22cncfmpt2ss 18950 . . . . 5  |-  ( ph  ->  ( x  e.  ( M [,] N ) 
|->  ( 0  -  A
) )  e.  ( ( M [,] N
) -cn-> RR ) )
243, 23syl5eqel 2522 . . . 4  |-  ( ph  ->  ( x  e.  ( M [,] N ) 
|->  -u A )  e.  ( ( M [,] N ) -cn-> RR ) )
25 negex 9309 . . . . 5  |-  -u B  e.  _V
2625a1i 11 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  x  e.  ( M (,) N ) )  ->  -u B  e. 
_V )
27 reex 9086 . . . . . . 7  |-  RR  e.  _V
2827prid1 3914 . . . . . 6  |-  RR  e.  { RR ,  CC }
2928a1i 11 . . . . 5  |-  ( ph  ->  RR  e.  { RR ,  CC } )
30 ioossicc 11001 . . . . . . . 8  |-  ( M (,) N )  C_  ( M [,] N )
3130sseli 3346 . . . . . . 7  |-  ( x  e.  ( M (,) N )  ->  x  e.  ( M [,] N
) )
32 cncff 18928 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( x  e.  ( M [,] N )  |->  A )  e.  ( ( M [,] N )
-cn-> RR )  ->  (
x  e.  ( M [,] N )  |->  A ) : ( M [,] N ) --> RR )
3321, 32syl 16 . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  ( x  e.  ( M [,] N ) 
|->  A ) : ( M [,] N ) --> RR )
34 eqid 2438 . . . . . . . . . 10  |-  ( x  e.  ( M [,] N )  |->  A )  =  ( x  e.  ( M [,] N
)  |->  A )
3534fmpt 5893 . . . . . . . . 9  |-  ( A. x  e.  ( M [,] N ) A  e.  RR  <->  ( x  e.  ( M [,] N
)  |->  A ) : ( M [,] N
) --> RR )
3633, 35sylibr 205 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  A. x  e.  ( M [,] N ) A  e.  RR )
3736r19.21bi 2806 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  x  e.  ( M [,] N ) )  ->  A  e.  RR )
3831, 37sylan2 462 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  x  e.  ( M (,) N ) )  ->  A  e.  RR )
3938recnd 9119 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  x  e.  ( M (,) N ) )  ->  A  e.  CC )
40 dvfsumle.v . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  x  e.  ( M (,) N ) )  ->  B  e.  V )
41 dvfsumle.b . . . . 5  |-  ( ph  ->  ( RR  _D  (
x  e.  ( M (,) N )  |->  A ) )  =  ( x  e.  ( M (,) N )  |->  B ) )
4229, 39, 40, 41dvmptneg 19857 . . . 4  |-  ( ph  ->  ( RR  _D  (
x  e.  ( M (,) N )  |->  -u A ) )  =  ( x  e.  ( M (,) N ) 
|->  -u B ) )
43 dvfsumle.c . . . . 5  |-  ( x  =  M  ->  A  =  C )
4443negeqd 9305 . . . 4  |-  ( x  =  M  ->  -u A  =  -u C )
45 dvfsumle.d . . . . 5  |-  ( x  =  N  ->  A  =  D )
4645negeqd 9305 . . . 4  |-  ( x  =  N  ->  -u A  =  -u D )
47 dvfsumle.x . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  k  e.  ( M..^ N ) )  ->  X  e.  RR )
4847renegcld 9469 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  k  e.  ( M..^ N ) )  ->  -u X  e.  RR )
49 dvfsumge.l . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  ( k  e.  ( M..^ N )  /\  x  e.  ( k (,) ( k  +  1 ) ) ) )  ->  B  <_  X )
5010adantr 453 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( (
ph  /\  k  e.  ( M..^ N ) )  ->  M  e.  RR )
5150rexrd 9139 . . . . . . . . . . 11  |-  ( (
ph  /\  k  e.  ( M..^ N ) )  ->  M  e.  RR* )
52 elfzole1 11152 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( k  e.  ( M..^ N
)  ->  M  <_  k )
5352adantl 454 . . . . . . . . . . 11  |-  ( (
ph  /\  k  e.  ( M..^ N ) )  ->  M  <_  k
)
54 iooss1 10956 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( M  e.  RR*  /\  M  <_  k )  ->  (
k (,) ( k  +  1 ) ) 
C_  ( M (,) ( k  +  1 ) ) )
5551, 53, 54syl2anc 644 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  k  e.  ( M..^ N ) )  ->  ( k (,) ( k  +  1 ) )  C_  ( M (,) ( k  +  1 ) ) )
5613adantr 453 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( (
ph  /\  k  e.  ( M..^ N ) )  ->  N  e.  RR )
5756rexrd 9139 . . . . . . . . . . 11  |-  ( (
ph  /\  k  e.  ( M..^ N ) )  ->  N  e.  RR* )
58 fzofzp1 11194 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( k  e.  ( M..^ N
)  ->  ( k  +  1 )  e.  ( M ... N
) )
5958adantl 454 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( (
ph  /\  k  e.  ( M..^ N ) )  ->  ( k  +  1 )  e.  ( M ... N ) )
60 elfzle2 11066 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( k  +  1 )  e.  ( M ... N )  ->  (
k  +  1 )  <_  N )
6159, 60syl 16 . . . . . . . . . . 11  |-  ( (
ph  /\  k  e.  ( M..^ N ) )  ->  ( k  +  1 )  <_  N
)
62 iooss2 10957 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( N  e.  RR*  /\  (
k  +  1 )  <_  N )  -> 
( M (,) (
k  +  1 ) )  C_  ( M (,) N ) )
6357, 61, 62syl2anc 644 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  k  e.  ( M..^ N ) )  ->  ( M (,) ( k  +  1 ) )  C_  ( M (,) N ) )
6455, 63sstrd 3360 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  k  e.  ( M..^ N ) )  ->  ( k (,) ( k  +  1 ) )  C_  ( M (,) N ) )
6564sselda 3350 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ph  /\  k  e.  ( M..^ N ) )  /\  x  e.  ( k (,) (
k  +  1 ) ) )  ->  x  e.  ( M (,) N
) )
6637adantlr 697 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ph  /\  k  e.  ( M..^ N ) )  /\  x  e.  ( M [,] N
) )  ->  A  e.  RR )
6731, 66sylan2 462 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ph  /\  k  e.  ( M..^ N ) )  /\  x  e.  ( M (,) N
) )  ->  A  e.  RR )
68 eqid 2438 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( x  e.  ( M (,) N )  |->  A )  =  ( x  e.  ( M (,) N
)  |->  A )
6967, 68fmptd 5896 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( (
ph  /\  k  e.  ( M..^ N ) )  ->  ( x  e.  ( M (,) N
)  |->  A ) : ( M (,) N
) --> RR )
70 ioossre 10977 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( M (,) N )  C_  RR
71 dvfre 19842 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( x  e.  ( M (,) N ) 
|->  A ) : ( M (,) N ) --> RR  /\  ( M (,) N )  C_  RR )  ->  ( RR 
_D  ( x  e.  ( M (,) N
)  |->  A ) ) : dom  ( RR 
_D  ( x  e.  ( M (,) N
)  |->  A ) ) --> RR )
7269, 70, 71sylancl 645 . . . . . . . . . . 11  |-  ( (
ph  /\  k  e.  ( M..^ N ) )  ->  ( RR  _D  ( x  e.  ( M (,) N )  |->  A ) ) : dom  ( RR  _D  (
x  e.  ( M (,) N )  |->  A ) ) --> RR )
7341adantr 453 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( (
ph  /\  k  e.  ( M..^ N ) )  ->  ( RR  _D  ( x  e.  ( M (,) N )  |->  A ) )  =  ( x  e.  ( M (,) N )  |->  B ) )
7473dmeqd 5075 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( (
ph  /\  k  e.  ( M..^ N ) )  ->  dom  ( RR  _D  ( x  e.  ( M (,) N ) 
|->  A ) )  =  dom  ( x  e.  ( M (,) N
)  |->  B ) )
7540adantlr 697 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( ph  /\  k  e.  ( M..^ N ) )  /\  x  e.  ( M (,) N
) )  ->  B  e.  V )
7675ralrimiva 2791 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( (
ph  /\  k  e.  ( M..^ N ) )  ->  A. x  e.  ( M (,) N ) B  e.  V )
77 dmmptg 5370 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( A. x  e.  ( M (,) N ) B  e.  V  ->  dom  ( x  e.  ( M (,) N )  |->  B )  =  ( M (,) N ) )
7876, 77syl 16 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( (
ph  /\  k  e.  ( M..^ N ) )  ->  dom  ( x  e.  ( M (,) N
)  |->  B )  =  ( M (,) N
) )
7974, 78eqtrd 2470 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( (
ph  /\  k  e.  ( M..^ N ) )  ->  dom  ( RR  _D  ( x  e.  ( M (,) N ) 
|->  A ) )  =  ( M (,) N
) )
8073, 79feq12d 5585 . . . . . . . . . . 11  |-  ( (
ph  /\  k  e.  ( M..^ N ) )  ->  ( ( RR 
_D  ( x  e.  ( M (,) N
)  |->  A ) ) : dom  ( RR 
_D  ( x  e.  ( M (,) N
)  |->  A ) ) --> RR  <->  ( x  e.  ( M (,) N
)  |->  B ) : ( M (,) N
) --> RR ) )
8172, 80mpbid 203 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  k  e.  ( M..^ N ) )  ->  ( x  e.  ( M (,) N
)  |->  B ) : ( M (,) N
) --> RR )
82 eqid 2438 . . . . . . . . . . 11  |-  ( x  e.  ( M (,) N )  |->  B )  =  ( x  e.  ( M (,) N
)  |->  B )
8382fmpt 5893 . . . . . . . . . 10  |-  ( A. x  e.  ( M (,) N ) B  e.  RR  <->  ( x  e.  ( M (,) N
)  |->  B ) : ( M (,) N
) --> RR )
8481, 83sylibr 205 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  k  e.  ( M..^ N ) )  ->  A. x  e.  ( M (,) N ) B  e.  RR )
8584r19.21bi 2806 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ph  /\  k  e.  ( M..^ N ) )  /\  x  e.  ( M (,) N
) )  ->  B  e.  RR )
8665, 85syldan 458 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ph  /\  k  e.  ( M..^ N ) )  /\  x  e.  ( k (,) (
k  +  1 ) ) )  ->  B  e.  RR )
8786anasss 630 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  ( k  e.  ( M..^ N )  /\  x  e.  ( k (,) ( k  +  1 ) ) ) )  ->  B  e.  RR )
8847adantrr 699 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  ( k  e.  ( M..^ N )  /\  x  e.  ( k (,) ( k  +  1 ) ) ) )  ->  X  e.  RR )
8987, 88lenegd 9610 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  ( k  e.  ( M..^ N )  /\  x  e.  ( k (,) ( k  +  1 ) ) ) )  ->  ( B  <_  X  <->  -u X  <_  -u B ) )
9049, 89mpbid 203 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  ( k  e.  ( M..^ N )  /\  x  e.  ( k (,) ( k  +  1 ) ) ) )  ->  -u X  <_ 
-u B )
911, 24, 26, 42, 44, 46, 48, 90dvfsumle 19910 . . 3  |-  ( ph  -> 
sum_ k  e.  ( M..^ N ) -u X  <_  ( -u D  -  -u C ) )
92 fzofi 11318 . . . . 5  |-  ( M..^ N )  e.  Fin
9392a1i 11 . . . 4  |-  ( ph  ->  ( M..^ N )  e.  Fin )
9447recnd 9119 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  k  e.  ( M..^ N ) )  ->  X  e.  CC )
9593, 94fsumneg 12575 . . 3  |-  ( ph  -> 
sum_ k  e.  ( M..^ N ) -u X  =  -u sum_ k  e.  ( M..^ N ) X )
9610rexrd 9139 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  M  e.  RR* )
9713rexrd 9139 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  N  e.  RR* )
98 eluzle 10503 . . . . . . . . 9  |-  ( N  e.  ( ZZ>= `  M
)  ->  M  <_  N )
991, 98syl 16 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  M  <_  N )
100 ubicc2 11019 . . . . . . . 8  |-  ( ( M  e.  RR*  /\  N  e.  RR*  /\  M  <_  N )  ->  N  e.  ( M [,] N
) )
10196, 97, 99, 100syl3anc 1185 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  N  e.  ( M [,] N ) )
10245eleq1d 2504 . . . . . . . 8  |-  ( x  =  N  ->  ( A  e.  RR  <->  D  e.  RR ) )
103102rspcv 3050 . . . . . . 7  |-  ( N  e.  ( M [,] N )  ->  ( A. x  e.  ( M [,] N ) A  e.  RR  ->  D  e.  RR ) )
104101, 36, 103sylc 59 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  D  e.  RR )
105104recnd 9119 . . . . 5  |-  ( ph  ->  D  e.  CC )
106 lbicc2 11018 . . . . . . . 8  |-  ( ( M  e.  RR*  /\  N  e.  RR*  /\  M  <_  N )  ->  M  e.  ( M [,] N
) )
10796, 97, 99, 106syl3anc 1185 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  M  e.  ( M [,] N ) )
10843eleq1d 2504 . . . . . . . 8  |-  ( x  =  M  ->  ( A  e.  RR  <->  C  e.  RR ) )
109108rspcv 3050 . . . . . . 7  |-  ( M  e.  ( M [,] N )  ->  ( A. x  e.  ( M [,] N ) A  e.  RR  ->  C  e.  RR ) )
110107, 36, 109sylc 59 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  C  e.  RR )
111110recnd 9119 . . . . 5  |-  ( ph  ->  C  e.  CC )
112105, 111neg2subd 9433 . . . 4  |-  ( ph  ->  ( -u D  -  -u C )  =  ( C  -  D ) )
113105, 111negsubdi2d 9432 . . . 4  |-  ( ph  -> 
-u ( D  -  C )  =  ( C  -  D ) )
114112, 113eqtr4d 2473 . . 3  |-  ( ph  ->  ( -u D  -  -u C )  =  -u ( D  -  C
) )
11591, 95, 1143brtr3d 4244 . 2  |-  ( ph  -> 
-u sum_ k  e.  ( M..^ N ) X  <_  -u ( D  -  C ) )
116104, 110resubcld 9470 . . 3  |-  ( ph  ->  ( D  -  C
)  e.  RR )
11793, 47fsumrecl 12533 . . 3  |-  ( ph  -> 
sum_ k  e.  ( M..^ N ) X  e.  RR )
118116, 117lenegd 9610 . 2  |-  ( ph  ->  ( ( D  -  C )  <_  sum_ k  e.  ( M..^ N ) X  <->  -u sum_ k  e.  ( M..^ N ) X  <_  -u ( D  -  C ) ) )
119115, 118mpbird 225 1  |-  ( ph  ->  ( D  -  C
)  <_  sum_ k  e.  ( M..^ N ) X )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    /\ wa 360    = wceq 1653    e. wcel 1726   A.wral 2707   _Vcvv 2958    C_ wss 3322   {cpr 3817   class class class wbr 4215    e. cmpt 4269   dom cdm 4881   -->wf 5453   ` cfv 5457  (class class class)co 6084   Fincfn 7112   CCcc 8993   RRcr 8994   0cc0 8995   1c1 8996    + caddc 8998   RR*cxr 9124    <_ cle 9126    - cmin 9296   -ucneg 9297   ZZcz 10287   ZZ>=cuz 10493   (,)cioo 10921   [,]cicc 10924   ...cfz 11048  ..^cfzo 11140   sum_csu 12484   TopOpenctopn 13654  ℂfldccnfld 16708   -cn->ccncf 18911    _D cdv 19755
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1556  ax-5 1567  ax-17 1627  ax-9 1667  ax-8 1688  ax-13 1728  ax-14 1730  ax-6 1745  ax-7 1750  ax-11 1762  ax-12 1951  ax-ext 2419  ax-rep 4323  ax-sep 4333  ax-nul 4341  ax-pow 4380  ax-pr 4406  ax-un 4704  ax-inf2 7599  ax-cnex 9051  ax-resscn 9052  ax-1cn 9053  ax-icn 9054  ax-addcl 9055  ax-addrcl 9056  ax-mulcl 9057  ax-mulrcl 9058  ax-mulcom 9059  ax-addass 9060  ax-mulass 9061  ax-distr 9062  ax-i2m1 9063  ax-1ne0 9064  ax-1rid 9065  ax-rnegex 9066  ax-rrecex 9067  ax-cnre 9068  ax-pre-lttri 9069  ax-pre-lttrn 9070  ax-pre-ltadd 9071  ax-pre-mulgt0 9072  ax-pre-sup 9073  ax-addf 9074  ax-mulf 9075
This theorem depends on definitions:  df-bi 179  df-or 361  df-an 362  df-3or 938  df-3an 939  df-tru 1329  df-ex 1552  df-nf 1555  df-sb 1660  df-eu 2287  df-mo 2288  df-clab 2425  df-cleq 2431  df-clel 2434  df-nfc 2563  df-ne 2603  df-nel 2604  df-ral 2712  df-rex 2713  df-reu 2714  df-rmo 2715  df-rab 2716  df-v 2960  df-sbc 3164  df-csb 3254  df-dif 3325  df-un 3327  df-in 3329  df-ss 3336  df-pss 3338  df-nul 3631  df-if 3742  df-pw 3803  df-sn 3822  df-pr 3823  df-tp 3824  df-op 3825  df-uni 4018  df-int 4053  df-iun 4097  df-iin 4098  df-br 4216  df-opab 4270  df-mpt 4271  df-tr 4306  df-eprel 4497  df-id 4501  df-po 4506  df-so 4507  df-fr 4544  df-se 4545  df-we 4546  df-ord 4587  df-on 4588  df-lim 4589  df-suc 4590  df-om 4849  df-xp 4887  df-rel 4888  df-cnv 4889  df-co 4890  df-dm 4891  df-rn 4892  df-res 4893  df-ima 4894  df-iota 5421  df-fun 5459  df-fn 5460  df-f 5461  df-f1 5462  df-fo 5463  df-f1o 5464  df-fv 5465  df-isom 5466  df-ov 6087  df-oprab 6088  df-mpt2 6089  df-of 6308  df-1st 6352  df-2nd 6353  df-riota 6552  df-recs 6636  df-rdg 6671  df-1o 6727  df-2o 6728  df-oadd 6731  df-er 6908  df-map 7023  df-pm 7024  df-ixp 7067  df-en 7113  df-dom 7114  df-sdom 7115  df-fin 7116  df-fi 7419  df-sup 7449  df-oi 7482  df-card 7831  df-cda 8053  df-pnf 9127  df-mnf 9128  df-xr 9129  df-ltxr 9130  df-le 9131  df-sub 9298  df-neg 9299  df-div 9683  df-nn 10006  df-2 10063  df-3 10064  df-4 10065  df-5 10066  df-6 10067  df-7 10068  df-8 10069  df-9 10070  df-10 10071  df-n0 10227  df-z 10288  df-dec 10388  df-uz 10494  df-q 10580  df-rp 10618  df-xneg 10715  df-xadd 10716  df-xmul 10717  df-ioo 10925  df-ico 10927  df-icc 10928  df-fz 11049  df-fzo 11141  df-seq 11329  df-exp 11388  df-hash 11624  df-cj 11909  df-re 11910  df-im 11911  df-sqr 12045  df-abs 12046  df-clim 12287  df-sum 12485  df-struct 13476  df-ndx 13477  df-slot 13478  df-base 13479  df-sets 13480  df-ress 13481  df-plusg 13547  df-mulr 13548  df-starv 13549  df-sca 13550  df-vsca 13551  df-tset 13553  df-ple 13554  df-ds 13556  df-unif 13557  df-hom 13558  df-cco 13559  df-rest 13655  df-topn 13656  df-topgen 13672  df-pt 13673  df-prds 13676  df-xrs 13731  df-0g 13732  df-gsum 13733  df-qtop 13738  df-imas 13739  df-xps 13741  df-mre 13816  df-mrc 13817  df-acs 13819  df-mnd 14695  df-submnd 14744  df-mulg 14820  df-cntz 15121  df-cmn 15419  df-psmet 16699  df-xmet 16700  df-met 16701  df-bl 16702  df-mopn 16703  df-fbas 16704  df-fg 16705  df-cnfld 16709  df-top 16968  df-bases 16970  df-topon 16971  df-topsp 16972  df-cld 17088  df-ntr 17089  df-cls 17090  df-nei 17167  df-lp 17205  df-perf 17206  df-cn 17296  df-cnp 17297  df-haus 17384  df-cmp 17455  df-tx 17599  df-hmeo 17792  df-fil 17883  df-fm 17975  df-flim 17976  df-flf 17977  df-xms 18355  df-ms 18356  df-tms 18357  df-cncf 18913  df-limc 19758  df-dv 19759
  Copyright terms: Public domain W3C validator