Metamath Proof Explorer < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  dvfsumle Unicode version

Theorem dvfsumle 19368
 Description: Compare a finite sum to an integral (the integral here is given as a function with a known derivative). (Contributed by Mario Carneiro, 14-May-2016.)
Hypotheses
Ref Expression
dvfsumle.m
dvfsumle.a
dvfsumle.v
dvfsumle.b
dvfsumle.c
dvfsumle.d
dvfsumle.x ..^
dvfsumle.l ..^
Assertion
Ref Expression
dvfsumle ..^
Distinct variable groups:   ,   ,,   ,,   ,,   ,   ,   ,   ,
Allowed substitution hints:   ()   (,)   ()   ()   ()   ()

Proof of Theorem dvfsumle
Dummy variable is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 fzofi 11036 . . . 4 ..^
21a1i 10 . . 3 ..^
3 dvfsumle.x . . 3 ..^
4 inss1 3389 . . . . . . . . 9
5 dvfsumle.m . . . . . . . . . . . 12
6 eluzel2 10235 . . . . . . . . . . . 12
75, 6syl 15 . . . . . . . . . . 11
8 eluzelz 10238 . . . . . . . . . . . 12
95, 8syl 15 . . . . . . . . . . 11
10 fzval2 10785 . . . . . . . . . . 11
117, 9, 10syl2anc 642 . . . . . . . . . 10
1211sseq1d 3205 . . . . . . . . 9
134, 12mpbiri 224 . . . . . . . 8
1413sselda 3180 . . . . . . 7
15 dvfsumle.a . . . . . . . . . 10
16 cncff 18397 . . . . . . . . . 10
1715, 16syl 15 . . . . . . . . 9
18 eqid 2283 . . . . . . . . . 10
1918fmpt 5681 . . . . . . . . 9
2017, 19sylibr 203 . . . . . . . 8
21 nfcsb1v 3113 . . . . . . . . . 10
2221nfel1 2429 . . . . . . . . 9
23 csbeq1a 3089 . . . . . . . . . 10
2423eleq1d 2349 . . . . . . . . 9
2522, 24rspc 2878 . . . . . . . 8
2620, 25mpan9 455 . . . . . . 7
2714, 26syldan 456 . . . . . 6
2827ralrimiva 2626 . . . . 5
29 fzofzp1 10916 . . . . 5 ..^
30 csbeq1 3084 . . . . . . 7
3130eleq1d 2349 . . . . . 6
3231rspccva 2883 . . . . 5
3328, 29, 32syl2an 463 . . . 4 ..^
34 elfzofz 10889 . . . . 5 ..^
35 csbeq1 3084 . . . . . . 7
3635eleq1d 2349 . . . . . 6
3736rspccva 2883 . . . . 5
3828, 34, 37syl2an 463 . . . 4 ..^
3933, 38resubcld 9211 . . 3 ..^
40 elfzoelz 10875 . . . . . . . . . 10 ..^
4140adantl 452 . . . . . . . . 9 ..^
4241zred 10117 . . . . . . . 8 ..^
4342recnd 8861 . . . . . . 7 ..^
44 ax-1cn 8795 . . . . . . 7
45 pncan2 9058 . . . . . . 7
4643, 44, 45sylancl 643 . . . . . 6 ..^
4746oveq2d 5874 . . . . 5 ..^
483recnd 8861 . . . . . 6 ..^
49 peano2re 8985 . . . . . . . 8
5042, 49syl 15 . . . . . . 7 ..^
5150recnd 8861 . . . . . 6 ..^
5248, 51, 43subdid 9235 . . . . 5 ..^
5348mulid1d 8852 . . . . 5 ..^
5447, 52, 533eqtr3d 2323 . . . 4 ..^
55 eqid 2283 . . . . . 6 fld fld
5655mulcn 18371 . . . . . 6 fld fld fld
577zred 10117 . . . . . . . . . . 11
5857adantr 451 . . . . . . . . . 10 ..^
599zred 10117 . . . . . . . . . . 11
6059adantr 451 . . . . . . . . . 10 ..^
61 elfzole1 10882 . . . . . . . . . . 11 ..^
6261adantl 452 . . . . . . . . . 10 ..^
6329adantl 452 . . . . . . . . . . 11 ..^
64 elfzle2 10800 . . . . . . . . . . 11
6563, 64syl 15 . . . . . . . . . 10 ..^
66 iccss 10718 . . . . . . . . . 10
6758, 60, 62, 65, 66syl22anc 1183 . . . . . . . . 9 ..^
68 iccssre 10731 . . . . . . . . . . 11
6957, 59, 68syl2anc 642 . . . . . . . . . 10
7069adantr 451 . . . . . . . . 9 ..^
7167, 70sstrd 3189 . . . . . . . 8 ..^
72 ax-resscn 8794 . . . . . . . 8
7371, 72syl6ss 3191 . . . . . . 7 ..^
7472a1i 10 . . . . . . 7 ..^
75 cncfmptc 18415 . . . . . . 7
763, 73, 74, 75syl3anc 1182 . . . . . 6 ..^
77 cncfmptid 18416 . . . . . . 7
7871, 72, 77sylancl 643 . . . . . 6 ..^
79 remulcl 8822 . . . . . 6
8055, 56, 76, 78, 72, 79cncfmpt2ss 18419 . . . . 5 ..^
81 reex 8828 . . . . . . . . 9
8281prid1 3734 . . . . . . . 8
8382a1i 10 . . . . . . 7 ..^
8458rexrd 8881 . . . . . . . . . . 11 ..^
85 iooss1 10691 . . . . . . . . . . 11
8684, 62, 85syl2anc 642 . . . . . . . . . 10 ..^
8760rexrd 8881 . . . . . . . . . . 11 ..^
88 iooss2 10692 . . . . . . . . . . 11
8987, 65, 88syl2anc 642 . . . . . . . . . 10 ..^
9086, 89sstrd 3189 . . . . . . . . 9 ..^
91 ioossicc 10735 . . . . . . . . . 10
9270, 72syl6ss 3191 . . . . . . . . . 10 ..^
9391, 92syl5ss 3190 . . . . . . . . 9 ..^
9490, 93sstrd 3189 . . . . . . . 8 ..^
9594sselda 3180 . . . . . . 7 ..^
9644a1i 10 . . . . . . 7 ..^
9774sselda 3180 . . . . . . . 8 ..^
9844a1i 10 . . . . . . . 8 ..^
9983dvmptid 19306 . . . . . . . 8 ..^
100 ioossre 10712 . . . . . . . . 9
101100a1i 10 . . . . . . . 8 ..^
10255tgioo2 18309 . . . . . . . 8 fldt
103 iooretop 18275 . . . . . . . . 9
104103a1i 10 . . . . . . . 8 ..^
10583, 97, 98, 99, 101, 102, 55, 104dvmptres 19312 . . . . . . 7 ..^
10683, 95, 96, 105, 48dvmptcmul 19313 . . . . . 6 ..^
10753mpteq2dv 4107 . . . . . 6 ..^
108106, 107eqtrd 2315 . . . . 5 ..^
109 nfcv 2419 . . . . . . 7
110109, 21, 23cbvmpt 4110 . . . . . 6
111 resmpt 5000 . . . . . . . 8
11267, 111syl 15 . . . . . . 7 ..^
11315adantr 451 . . . . . . . 8 ..^
114 rescncf 18401 . . . . . . . 8
11567, 113, 114sylc 56 . . . . . . 7 ..^
116112, 115eqeltrrd 2358 . . . . . 6 ..^
117110, 116syl5eqelr 2368 . . . . 5 ..^
11817adantr 451 . . . . . . . . 9 ..^
119118, 19sylibr 203 . . . . . . . 8 ..^
12091sseli 3176 . . . . . . . 8
12125impcom 419 . . . . . . . 8
122119, 120, 121syl2an 463 . . . . . . 7 ..^
123122recnd 8861 . . . . . 6 ..^
12491sseli 3176 . . . . . . . . . . . 12
12520r19.21bi 2641 . . . . . . . . . . . . 13
126125adantlr 695 . . . . . . . . . . . 12 ..^
127124, 126sylan2 460 . . . . . . . . . . 11 ..^
128 eqid 2283 . . . . . . . . . . 11
129127, 128fmptd 5684 . . . . . . . . . 10 ..^
130 ioossre 10712 . . . . . . . . . 10
131 dvfre 19300 . . . . . . . . . 10
132129, 130, 131sylancl 643 . . . . . . . . 9 ..^
133 dvfsumle.b . . . . . . . . . . 11
134133adantr 451 . . . . . . . . . 10 ..^
135134dmeqd 4881 . . . . . . . . . . 11 ..^
136 dvfsumle.v . . . . . . . . . . . . . 14
137136adantlr 695 . . . . . . . . . . . . 13 ..^
138137ralrimiva 2626 . . . . . . . . . . . 12 ..^
139 dmmptg 5170 . . . . . . . . . . . 12
140138, 139syl 15 . . . . . . . . . . 11 ..^
141135, 140eqtrd 2315 . . . . . . . . . 10 ..^
142134, 141feq12d 5381 . . . . . . . . 9 ..^
143132, 142mpbid 201 . . . . . . . 8 ..^
144 eqid 2283 . . . . . . . . 9
145144fmpt 5681 . . . . . . . 8
146143, 145sylibr 203 . . . . . . 7 ..^
147 nfcsb1v 3113 . . . . . . . . 9
148147nfel1 2429 . . . . . . . 8
149 csbeq1a 3089 . . . . . . . . 9
150149eleq1d 2349 . . . . . . . 8
151148, 150rspc 2878 . . . . . . 7
152146, 151mpan9 455 . . . . . 6 ..^
153109, 21, 23cbvmpt 4110 . . . . . . . 8
154153oveq2i 5869 . . . . . . 7
155 nfcv 2419 . . . . . . . 8
156155, 147, 149cbvmpt 4110 . . . . . . 7
157134, 154, 1563eqtr3g 2338 . . . . . 6 ..^
15883, 123, 152, 157, 90, 102, 55, 104dvmptres 19312 . . . . 5 ..^
159 dvfsumle.l . . . . . . . 8 ..^
160159anassrs 629 . . . . . . 7 ..^
161160ralrimiva 2626 . . . . . 6 ..^
162 nfcv 2419 . . . . . . . 8
163 nfcv 2419 . . . . . . . 8
164162, 163, 147nfbr 4067 . . . . . . 7
165149breq2d 4035 . . . . . . 7
166164, 165rspc 2878 . . . . . 6
167161, 166mpan9 455 . . . . 5 ..^
16842rexrd 8881 . . . . . 6 ..^
16950rexrd 8881 . . . . . 6 ..^
17042lep1d 9688 . . . . . 6 ..^
171 lbicc2 10752 . . . . . 6
172168, 169, 170, 171syl3anc 1182 . . . . 5 ..^
173 ubicc2 10753 . . . . . 6
174168, 169, 170, 173syl3anc 1182 . . . . 5 ..^
175 oveq2 5866 . . . . 5
176 oveq2 5866 . . . . 5
17742, 50, 80, 108, 117, 158, 167, 172, 174, 170, 175, 35, 176, 30dvle 19354 . . . 4 ..^
17854, 177eqbrtrrd 4045 . . 3 ..^
1792, 3, 39, 178fsumle 12257 . 2 ..^ ..^
180 vex 2791 . . . . 5
181180a1i 10 . . . 4
182 eqeq2 2292 . . . . . 6
183182biimpa 470 . . . . 5
184 dvfsumle.c . . . . 5
185183, 184syl 15 . . . 4
186181, 185csbied 3123 . . 3
187180a1i 10 . . . 4
188 eqeq2 2292 . . . . . 6
189188biimpa 470 . . . . 5
190 dvfsumle.d . . . . 5
191189, 190syl 15 . . . 4
192187, 191csbied 3123 . . 3
19327recnd 8861 . . 3
19435, 30, 186, 192, 5, 193fsumtscopo2 12261 . 2 ..^
195179, 194breqtrd 4047 1 ..^
 Colors of variables: wff set class Syntax hints:   wi 4   wa 358   wceq 1623   wcel 1684  wral 2543  cvv 2788  csb 3081   cin 3151   wss 3152  cpr 3641   class class class wbr 4023   cmpt 4077   cdm 4689   crn 4690   cres 4691  wf 5251  cfv 5255  (class class class)co 5858  cfn 6863  cc 8735  cr 8736  c1 8738   caddc 8740   cmul 8742  cxr 8866   cle 8868   cmin 9037  cz 10024  cuz 10230  cioo 10656  cicc 10659  cfz 10782  ..^cfzo 10870  csu 12158  ctopn 13326  ctg 13342  ℂfldccnfld 16377  ccncf 18380   cdv 19213 This theorem is referenced by:  dvfsumge  19369 This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1533  ax-5 1544  ax-17 1603  ax-9 1635  ax-8 1643  ax-13 1686  ax-14 1688  ax-6 1703  ax-7 1708  ax-11 1715  ax-12 1866  ax-ext 2264  ax-rep 4131  ax-sep 4141  ax-nul 4149  ax-pow 4188  ax-pr 4214  ax-un 4512  ax-inf2 7342  ax-cnex 8793  ax-resscn 8794  ax-1cn 8795  ax-icn 8796  ax-addcl 8797  ax-addrcl 8798  ax-mulcl 8799  ax-mulrcl 8800  ax-mulcom 8801  ax-addass 8802  ax-mulass 8803  ax-distr 8804  ax-i2m1 8805  ax-1ne0 8806  ax-1rid 8807  ax-rnegex 8808  ax-rrecex 8809  ax-cnre 8810  ax-pre-lttri 8811  ax-pre-lttrn 8812  ax-pre-ltadd 8813  ax-pre-mulgt0 8814  ax-pre-sup 8815  ax-addf 8816  ax-mulf 8817 This theorem depends on definitions:  df-bi 177  df-or 359  df-an 360  df-3or 935  df-3an 936  df-tru 1310  df-ex 1529  df-nf 1532  df-sb 1630  df-eu 2147  df-mo 2148  df-clab 2270  df-cleq 2276  df-clel 2279  df-nfc 2408  df-ne 2448  df-nel 2449  df-ral 2548  df-rex 2549  df-reu 2550  df-rmo 2551  df-rab 2552  df-v 2790  df-sbc 2992  df-csb 3082  df-dif 3155  df-un 3157  df-in 3159  df-ss 3166  df-pss 3168  df-nul 3456  df-if 3566  df-pw 3627  df-sn 3646  df-pr 3647  df-tp 3648  df-op 3649  df-uni 3828  df-int 3863  df-iun 3907  df-iin 3908  df-br 4024  df-opab 4078  df-mpt 4079  df-tr 4114  df-eprel 4305  df-id 4309  df-po 4314  df-so 4315  df-fr 4352  df-se 4353  df-we 4354  df-ord 4395  df-on 4396  df-lim 4397  df-suc 4398  df-om 4657  df-xp 4695  df-rel 4696  df-cnv 4697  df-co 4698  df-dm 4699  df-rn 4700  df-res 4701  df-ima 4702  df-iota 5219  df-fun 5257  df-fn 5258  df-f 5259  df-f1 5260  df-fo 5261  df-f1o 5262  df-fv 5263  df-isom 5264  df-ov 5861  df-oprab 5862  df-mpt2 5863  df-of 6078  df-1st 6122  df-2nd 6123  df-riota 6304  df-recs 6388  df-rdg 6423  df-1o 6479  df-2o 6480  df-oadd 6483  df-er 6660  df-map 6774  df-pm 6775  df-ixp 6818  df-en 6864  df-dom 6865  df-sdom 6866  df-fin 6867  df-fi 7165  df-sup 7194  df-oi 7225  df-card 7572  df-cda 7794  df-pnf 8869  df-mnf 8870  df-xr 8871  df-ltxr 8872  df-le 8873  df-sub 9039  df-neg 9040  df-div 9424  df-nn 9747  df-2 9804  df-3 9805  df-4 9806  df-5 9807  df-6 9808  df-7 9809  df-8 9810  df-9 9811  df-10 9812  df-n0 9966  df-z 10025  df-dec 10125  df-uz 10231  df-q 10317  df-rp 10355  df-xneg 10452  df-xadd 10453  df-xmul 10454  df-ioo 10660  df-ico 10662  df-icc 10663  df-fz 10783  df-fzo 10871  df-seq 11047  df-exp 11105  df-hash 11338  df-cj 11584  df-re 11585  df-im 11586  df-sqr 11720  df-abs 11721  df-clim 11962  df-sum 12159  df-struct 13150  df-ndx 13151  df-slot 13152  df-base 13153  df-sets 13154  df-ress 13155  df-plusg 13221  df-mulr 13222  df-starv 13223  df-sca 13224  df-vsca 13225  df-tset 13227  df-ple 13228  df-ds 13230  df-hom 13232  df-cco 13233  df-rest 13327  df-topn 13328  df-topgen 13344  df-pt 13345  df-prds 13348  df-xrs 13403  df-0g 13404  df-gsum 13405  df-qtop 13410  df-imas 13411  df-xps 13413  df-mre 13488  df-mrc 13489  df-acs 13491  df-mnd 14367  df-submnd 14416  df-mulg 14492  df-cntz 14793  df-cmn 15091  df-xmet 16373  df-met 16374  df-bl 16375  df-mopn 16376  df-cnfld 16378  df-top 16636  df-bases 16638  df-topon 16639  df-topsp 16640  df-cld 16756  df-ntr 16757  df-cls 16758  df-nei 16835  df-lp 16868  df-perf 16869  df-cn 16957  df-cnp 16958  df-haus 17043  df-cmp 17114  df-tx 17257  df-hmeo 17446  df-fbas 17520  df-fg 17521  df-fil 17541  df-fm 17633  df-flim 17634  df-flf 17635  df-xms 17885  df-ms 17886  df-tms 17887  df-cncf 18382  df-limc 19216  df-dv 19217
 Copyright terms: Public domain W3C validator