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Theorem dvfsumle 19384
Description: Compare a finite sum to an integral (the integral here is given as a function with a known derivative). (Contributed by Mario Carneiro, 14-May-2016.)
Hypotheses
Ref Expression
dvfsumle.m  |-  ( ph  ->  N  e.  ( ZZ>= `  M ) )
dvfsumle.a  |-  ( ph  ->  ( x  e.  ( M [,] N ) 
|->  A )  e.  ( ( M [,] N
) -cn-> RR ) )
dvfsumle.v  |-  ( (
ph  /\  x  e.  ( M (,) N ) )  ->  B  e.  V )
dvfsumle.b  |-  ( ph  ->  ( RR  _D  (
x  e.  ( M (,) N )  |->  A ) )  =  ( x  e.  ( M (,) N )  |->  B ) )
dvfsumle.c  |-  ( x  =  M  ->  A  =  C )
dvfsumle.d  |-  ( x  =  N  ->  A  =  D )
dvfsumle.x  |-  ( (
ph  /\  k  e.  ( M..^ N ) )  ->  X  e.  RR )
dvfsumle.l  |-  ( (
ph  /\  ( k  e.  ( M..^ N )  /\  x  e.  ( k (,) ( k  +  1 ) ) ) )  ->  X  <_  B )
Assertion
Ref Expression
dvfsumle  |-  ( ph  -> 
sum_ k  e.  ( M..^ N ) X  <_  ( D  -  C ) )
Distinct variable groups:    A, k    x, k, M    k, N, x    ph, k, x    x, X    x, C    x, D    x, V
Allowed substitution hints:    A( x)    B( x, k)    C( k)    D( k)    V( k)    X( k)

Proof of Theorem dvfsumle
Dummy variable  y is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 fzofi 11052 . . . 4  |-  ( M..^ N )  e.  Fin
21a1i 10 . . 3  |-  ( ph  ->  ( M..^ N )  e.  Fin )
3 dvfsumle.x . . 3  |-  ( (
ph  /\  k  e.  ( M..^ N ) )  ->  X  e.  RR )
4 inss1 3402 . . . . . . . . 9  |-  ( ( M [,] N )  i^i  ZZ )  C_  ( M [,] N )
5 dvfsumle.m . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ph  ->  N  e.  ( ZZ>= `  M ) )
6 eluzel2 10251 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( N  e.  ( ZZ>= `  M
)  ->  M  e.  ZZ )
75, 6syl 15 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ph  ->  M  e.  ZZ )
8 eluzelz 10254 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( N  e.  ( ZZ>= `  M
)  ->  N  e.  ZZ )
95, 8syl 15 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ph  ->  N  e.  ZZ )
10 fzval2 10801 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( M  e.  ZZ  /\  N  e.  ZZ )  ->  ( M ... N
)  =  ( ( M [,] N )  i^i  ZZ ) )
117, 9, 10syl2anc 642 . . . . . . . . . 10  |-  ( ph  ->  ( M ... N
)  =  ( ( M [,] N )  i^i  ZZ ) )
1211sseq1d 3218 . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  ( ( M ... N )  C_  ( M [,] N )  <->  ( ( M [,] N )  i^i 
ZZ )  C_  ( M [,] N ) ) )
134, 12mpbiri 224 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  ( M ... N
)  C_  ( M [,] N ) )
1413sselda 3193 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  y  e.  ( M ... N ) )  ->  y  e.  ( M [,] N ) )
15 dvfsumle.a . . . . . . . . . 10  |-  ( ph  ->  ( x  e.  ( M [,] N ) 
|->  A )  e.  ( ( M [,] N
) -cn-> RR ) )
16 cncff 18413 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( x  e.  ( M [,] N )  |->  A )  e.  ( ( M [,] N )
-cn-> RR )  ->  (
x  e.  ( M [,] N )  |->  A ) : ( M [,] N ) --> RR )
1715, 16syl 15 . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  ( x  e.  ( M [,] N ) 
|->  A ) : ( M [,] N ) --> RR )
18 eqid 2296 . . . . . . . . . 10  |-  ( x  e.  ( M [,] N )  |->  A )  =  ( x  e.  ( M [,] N
)  |->  A )
1918fmpt 5697 . . . . . . . . 9  |-  ( A. x  e.  ( M [,] N ) A  e.  RR  <->  ( x  e.  ( M [,] N
)  |->  A ) : ( M [,] N
) --> RR )
2017, 19sylibr 203 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  A. x  e.  ( M [,] N ) A  e.  RR )
21 nfcsb1v 3126 . . . . . . . . . 10  |-  F/_ x [_ y  /  x ]_ A
2221nfel1 2442 . . . . . . . . 9  |-  F/ x [_ y  /  x ]_ A  e.  RR
23 csbeq1a 3102 . . . . . . . . . 10  |-  ( x  =  y  ->  A  =  [_ y  /  x ]_ A )
2423eleq1d 2362 . . . . . . . . 9  |-  ( x  =  y  ->  ( A  e.  RR  <->  [_ y  /  x ]_ A  e.  RR ) )
2522, 24rspc 2891 . . . . . . . 8  |-  ( y  e.  ( M [,] N )  ->  ( A. x  e.  ( M [,] N ) A  e.  RR  ->  [_ y  /  x ]_ A  e.  RR ) )
2620, 25mpan9 455 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  y  e.  ( M [,] N ) )  ->  [_ y  /  x ]_ A  e.  RR )
2714, 26syldan 456 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  y  e.  ( M ... N ) )  ->  [_ y  /  x ]_ A  e.  RR )
2827ralrimiva 2639 . . . . 5  |-  ( ph  ->  A. y  e.  ( M ... N )
[_ y  /  x ]_ A  e.  RR )
29 fzofzp1 10932 . . . . 5  |-  ( k  e.  ( M..^ N
)  ->  ( k  +  1 )  e.  ( M ... N
) )
30 csbeq1 3097 . . . . . . 7  |-  ( y  =  ( k  +  1 )  ->  [_ y  /  x ]_ A  = 
[_ ( k  +  1 )  /  x ]_ A )
3130eleq1d 2362 . . . . . 6  |-  ( y  =  ( k  +  1 )  ->  ( [_ y  /  x ]_ A  e.  RR  <->  [_ ( k  +  1 )  /  x ]_ A  e.  RR )
)
3231rspccva 2896 . . . . 5  |-  ( ( A. y  e.  ( M ... N )
[_ y  /  x ]_ A  e.  RR  /\  ( k  +  1 )  e.  ( M ... N ) )  ->  [_ ( k  +  1 )  /  x ]_ A  e.  RR )
3328, 29, 32syl2an 463 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  k  e.  ( M..^ N ) )  ->  [_ ( k  +  1 )  /  x ]_ A  e.  RR )
34 elfzofz 10905 . . . . 5  |-  ( k  e.  ( M..^ N
)  ->  k  e.  ( M ... N ) )
35 csbeq1 3097 . . . . . . 7  |-  ( y  =  k  ->  [_ y  /  x ]_ A  = 
[_ k  /  x ]_ A )
3635eleq1d 2362 . . . . . 6  |-  ( y  =  k  ->  ( [_ y  /  x ]_ A  e.  RR  <->  [_ k  /  x ]_ A  e.  RR )
)
3736rspccva 2896 . . . . 5  |-  ( ( A. y  e.  ( M ... N )
[_ y  /  x ]_ A  e.  RR  /\  k  e.  ( M ... N ) )  ->  [_ k  /  x ]_ A  e.  RR )
3828, 34, 37syl2an 463 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  k  e.  ( M..^ N ) )  ->  [_ k  /  x ]_ A  e.  RR )
3933, 38resubcld 9227 . . 3  |-  ( (
ph  /\  k  e.  ( M..^ N ) )  ->  ( [_ (
k  +  1 )  /  x ]_ A  -  [_ k  /  x ]_ A )  e.  RR )
40 elfzoelz 10891 . . . . . . . . . 10  |-  ( k  e.  ( M..^ N
)  ->  k  e.  ZZ )
4140adantl 452 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  k  e.  ( M..^ N ) )  ->  k  e.  ZZ )
4241zred 10133 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  k  e.  ( M..^ N ) )  ->  k  e.  RR )
4342recnd 8877 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  k  e.  ( M..^ N ) )  ->  k  e.  CC )
44 ax-1cn 8811 . . . . . . 7  |-  1  e.  CC
45 pncan2 9074 . . . . . . 7  |-  ( ( k  e.  CC  /\  1  e.  CC )  ->  ( ( k  +  1 )  -  k
)  =  1 )
4643, 44, 45sylancl 643 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  k  e.  ( M..^ N ) )  ->  ( ( k  +  1 )  -  k )  =  1 )
4746oveq2d 5890 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  k  e.  ( M..^ N ) )  ->  ( X  x.  ( ( k  +  1 )  -  k
) )  =  ( X  x.  1 ) )
483recnd 8877 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  k  e.  ( M..^ N ) )  ->  X  e.  CC )
49 peano2re 9001 . . . . . . . 8  |-  ( k  e.  RR  ->  (
k  +  1 )  e.  RR )
5042, 49syl 15 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  k  e.  ( M..^ N ) )  ->  ( k  +  1 )  e.  RR )
5150recnd 8877 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  k  e.  ( M..^ N ) )  ->  ( k  +  1 )  e.  CC )
5248, 51, 43subdid 9251 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  k  e.  ( M..^ N ) )  ->  ( X  x.  ( ( k  +  1 )  -  k
) )  =  ( ( X  x.  (
k  +  1 ) )  -  ( X  x.  k ) ) )
5348mulid1d 8868 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  k  e.  ( M..^ N ) )  ->  ( X  x.  1 )  =  X )
5447, 52, 533eqtr3d 2336 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  k  e.  ( M..^ N ) )  ->  ( ( X  x.  ( k  +  1 ) )  -  ( X  x.  k
) )  =  X )
55 eqid 2296 . . . . . 6  |-  ( TopOpen ` fld )  =  ( TopOpen ` fld )
5655mulcn 18387 . . . . . 6  |-  x.  e.  ( ( ( TopOpen ` fld )  tX  ( TopOpen ` fld ) )  Cn  ( TopOpen
` fld
) )
577zred 10133 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ph  ->  M  e.  RR )
5857adantr 451 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  k  e.  ( M..^ N ) )  ->  M  e.  RR )
599zred 10133 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ph  ->  N  e.  RR )
6059adantr 451 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  k  e.  ( M..^ N ) )  ->  N  e.  RR )
61 elfzole1 10898 . . . . . . . . . . 11  |-  ( k  e.  ( M..^ N
)  ->  M  <_  k )
6261adantl 452 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  k  e.  ( M..^ N ) )  ->  M  <_  k
)
6329adantl 452 . . . . . . . . . . 11  |-  ( (
ph  /\  k  e.  ( M..^ N ) )  ->  ( k  +  1 )  e.  ( M ... N ) )
64 elfzle2 10816 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( k  +  1 )  e.  ( M ... N )  ->  (
k  +  1 )  <_  N )
6563, 64syl 15 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  k  e.  ( M..^ N ) )  ->  ( k  +  1 )  <_  N
)
66 iccss 10734 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( M  e.  RR  /\  N  e.  RR )  /\  ( M  <_ 
k  /\  ( k  +  1 )  <_  N ) )  -> 
( k [,] (
k  +  1 ) )  C_  ( M [,] N ) )
6758, 60, 62, 65, 66syl22anc 1183 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  k  e.  ( M..^ N ) )  ->  ( k [,] ( k  +  1 ) )  C_  ( M [,] N ) )
68 iccssre 10747 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( M  e.  RR  /\  N  e.  RR )  ->  ( M [,] N
)  C_  RR )
6957, 59, 68syl2anc 642 . . . . . . . . . 10  |-  ( ph  ->  ( M [,] N
)  C_  RR )
7069adantr 451 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  k  e.  ( M..^ N ) )  ->  ( M [,] N )  C_  RR )
7167, 70sstrd 3202 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  k  e.  ( M..^ N ) )  ->  ( k [,] ( k  +  1 ) )  C_  RR )
72 ax-resscn 8810 . . . . . . . 8  |-  RR  C_  CC
7371, 72syl6ss 3204 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  k  e.  ( M..^ N ) )  ->  ( k [,] ( k  +  1 ) )  C_  CC )
7472a1i 10 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  k  e.  ( M..^ N ) )  ->  RR  C_  CC )
75 cncfmptc 18431 . . . . . . 7  |-  ( ( X  e.  RR  /\  ( k [,] (
k  +  1 ) )  C_  CC  /\  RR  C_  CC )  ->  (
y  e.  ( k [,] ( k  +  1 ) )  |->  X )  e.  ( ( k [,] ( k  +  1 ) )
-cn-> RR ) )
763, 73, 74, 75syl3anc 1182 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  k  e.  ( M..^ N ) )  ->  ( y  e.  ( k [,] (
k  +  1 ) )  |->  X )  e.  ( ( k [,] ( k  +  1 ) ) -cn-> RR ) )
77 cncfmptid 18432 . . . . . . 7  |-  ( ( ( k [,] (
k  +  1 ) )  C_  RR  /\  RR  C_  CC )  ->  (
y  e.  ( k [,] ( k  +  1 ) )  |->  y )  e.  ( ( k [,] ( k  +  1 ) )
-cn-> RR ) )
7871, 72, 77sylancl 643 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  k  e.  ( M..^ N ) )  ->  ( y  e.  ( k [,] (
k  +  1 ) )  |->  y )  e.  ( ( k [,] ( k  +  1 ) ) -cn-> RR ) )
79 remulcl 8838 . . . . . 6  |-  ( ( X  e.  RR  /\  y  e.  RR )  ->  ( X  x.  y
)  e.  RR )
8055, 56, 76, 78, 72, 79cncfmpt2ss 18435 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  k  e.  ( M..^ N ) )  ->  ( y  e.  ( k [,] (
k  +  1 ) )  |->  ( X  x.  y ) )  e.  ( ( k [,] ( k  +  1 ) ) -cn-> RR ) )
81 reex 8844 . . . . . . . . 9  |-  RR  e.  _V
8281prid1 3747 . . . . . . . 8  |-  RR  e.  { RR ,  CC }
8382a1i 10 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  k  e.  ( M..^ N ) )  ->  RR  e.  { RR ,  CC } )
8458rexrd 8897 . . . . . . . . . . 11  |-  ( (
ph  /\  k  e.  ( M..^ N ) )  ->  M  e.  RR* )
85 iooss1 10707 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( M  e.  RR*  /\  M  <_  k )  ->  (
k (,) ( k  +  1 ) ) 
C_  ( M (,) ( k  +  1 ) ) )
8684, 62, 85syl2anc 642 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  k  e.  ( M..^ N ) )  ->  ( k (,) ( k  +  1 ) )  C_  ( M (,) ( k  +  1 ) ) )
8760rexrd 8897 . . . . . . . . . . 11  |-  ( (
ph  /\  k  e.  ( M..^ N ) )  ->  N  e.  RR* )
88 iooss2 10708 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( N  e.  RR*  /\  (
k  +  1 )  <_  N )  -> 
( M (,) (
k  +  1 ) )  C_  ( M (,) N ) )
8987, 65, 88syl2anc 642 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  k  e.  ( M..^ N ) )  ->  ( M (,) ( k  +  1 ) )  C_  ( M (,) N ) )
9086, 89sstrd 3202 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  k  e.  ( M..^ N ) )  ->  ( k (,) ( k  +  1 ) )  C_  ( M (,) N ) )
91 ioossicc 10751 . . . . . . . . . 10  |-  ( M (,) N )  C_  ( M [,] N )
9270, 72syl6ss 3204 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  k  e.  ( M..^ N ) )  ->  ( M [,] N )  C_  CC )
9391, 92syl5ss 3203 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  k  e.  ( M..^ N ) )  ->  ( M (,) N )  C_  CC )
9490, 93sstrd 3202 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  k  e.  ( M..^ N ) )  ->  ( k (,) ( k  +  1 ) )  C_  CC )
9594sselda 3193 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ph  /\  k  e.  ( M..^ N ) )  /\  y  e.  ( k (,) (
k  +  1 ) ) )  ->  y  e.  CC )
9644a1i 10 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ph  /\  k  e.  ( M..^ N ) )  /\  y  e.  ( k (,) (
k  +  1 ) ) )  ->  1  e.  CC )
9774sselda 3193 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ph  /\  k  e.  ( M..^ N ) )  /\  y  e.  RR )  ->  y  e.  CC )
9844a1i 10 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ph  /\  k  e.  ( M..^ N ) )  /\  y  e.  RR )  ->  1  e.  CC )
9983dvmptid 19322 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  k  e.  ( M..^ N ) )  ->  ( RR  _D  ( y  e.  RR  |->  y ) )  =  ( y  e.  RR  |->  1 ) )
100 ioossre 10728 . . . . . . . . 9  |-  ( k (,) ( k  +  1 ) )  C_  RR
101100a1i 10 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  k  e.  ( M..^ N ) )  ->  ( k (,) ( k  +  1 ) )  C_  RR )
10255tgioo2 18325 . . . . . . . 8  |-  ( topGen ` 
ran  (,) )  =  ( ( TopOpen ` fld )t  RR )
103 iooretop 18291 . . . . . . . . 9  |-  ( k (,) ( k  +  1 ) )  e.  ( topGen `  ran  (,) )
104103a1i 10 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  k  e.  ( M..^ N ) )  ->  ( k (,) ( k  +  1 ) )  e.  (
topGen `  ran  (,) )
)
10583, 97, 98, 99, 101, 102, 55, 104dvmptres 19328 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  k  e.  ( M..^ N ) )  ->  ( RR  _D  ( y  e.  ( k (,) ( k  +  1 ) ) 
|->  y ) )  =  ( y  e.  ( k (,) ( k  +  1 ) ) 
|->  1 ) )
10683, 95, 96, 105, 48dvmptcmul 19329 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  k  e.  ( M..^ N ) )  ->  ( RR  _D  ( y  e.  ( k (,) ( k  +  1 ) ) 
|->  ( X  x.  y
) ) )  =  ( y  e.  ( k (,) ( k  +  1 ) ) 
|->  ( X  x.  1 ) ) )
10753mpteq2dv 4123 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  k  e.  ( M..^ N ) )  ->  ( y  e.  ( k (,) (
k  +  1 ) )  |->  ( X  x.  1 ) )  =  ( y  e.  ( k (,) ( k  +  1 ) ) 
|->  X ) )
108106, 107eqtrd 2328 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  k  e.  ( M..^ N ) )  ->  ( RR  _D  ( y  e.  ( k (,) ( k  +  1 ) ) 
|->  ( X  x.  y
) ) )  =  ( y  e.  ( k (,) ( k  +  1 ) ) 
|->  X ) )
109 nfcv 2432 . . . . . . 7  |-  F/_ y A
110109, 21, 23cbvmpt 4126 . . . . . 6  |-  ( x  e.  ( k [,] ( k  +  1 ) )  |->  A )  =  ( y  e.  ( k [,] (
k  +  1 ) )  |->  [_ y  /  x ]_ A )
111 resmpt 5016 . . . . . . . 8  |-  ( ( k [,] ( k  +  1 ) ) 
C_  ( M [,] N )  ->  (
( x  e.  ( M [,] N ) 
|->  A )  |`  (
k [,] ( k  +  1 ) ) )  =  ( x  e.  ( k [,] ( k  +  1 ) )  |->  A ) )
11267, 111syl 15 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  k  e.  ( M..^ N ) )  ->  ( ( x  e.  ( M [,] N )  |->  A )  |`  ( k [,] (
k  +  1 ) ) )  =  ( x  e.  ( k [,] ( k  +  1 ) )  |->  A ) )
11315adantr 451 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  k  e.  ( M..^ N ) )  ->  ( x  e.  ( M [,] N
)  |->  A )  e.  ( ( M [,] N ) -cn-> RR ) )
114 rescncf 18417 . . . . . . . 8  |-  ( ( k [,] ( k  +  1 ) ) 
C_  ( M [,] N )  ->  (
( x  e.  ( M [,] N ) 
|->  A )  e.  ( ( M [,] N
) -cn-> RR )  ->  (
( x  e.  ( M [,] N ) 
|->  A )  |`  (
k [,] ( k  +  1 ) ) )  e.  ( ( k [,] ( k  +  1 ) )
-cn-> RR ) ) )
11567, 113, 114sylc 56 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  k  e.  ( M..^ N ) )  ->  ( ( x  e.  ( M [,] N )  |->  A )  |`  ( k [,] (
k  +  1 ) ) )  e.  ( ( k [,] (
k  +  1 ) ) -cn-> RR ) )
116112, 115eqeltrrd 2371 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  k  e.  ( M..^ N ) )  ->  ( x  e.  ( k [,] (
k  +  1 ) )  |->  A )  e.  ( ( k [,] ( k  +  1 ) ) -cn-> RR ) )
117110, 116syl5eqelr 2381 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  k  e.  ( M..^ N ) )  ->  ( y  e.  ( k [,] (
k  +  1 ) )  |->  [_ y  /  x ]_ A )  e.  ( ( k [,] (
k  +  1 ) ) -cn-> RR ) )
11817adantr 451 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  k  e.  ( M..^ N ) )  ->  ( x  e.  ( M [,] N
)  |->  A ) : ( M [,] N
) --> RR )
119118, 19sylibr 203 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  k  e.  ( M..^ N ) )  ->  A. x  e.  ( M [,] N ) A  e.  RR )
12091sseli 3189 . . . . . . . 8  |-  ( y  e.  ( M (,) N )  ->  y  e.  ( M [,] N
) )
12125impcom 419 . . . . . . . 8  |-  ( ( A. x  e.  ( M [,] N ) A  e.  RR  /\  y  e.  ( M [,] N ) )  ->  [_ y  /  x ]_ A  e.  RR )
122119, 120, 121syl2an 463 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ph  /\  k  e.  ( M..^ N ) )  /\  y  e.  ( M (,) N
) )  ->  [_ y  /  x ]_ A  e.  RR )
123122recnd 8877 . . . . . 6  |-  ( ( ( ph  /\  k  e.  ( M..^ N ) )  /\  y  e.  ( M (,) N
) )  ->  [_ y  /  x ]_ A  e.  CC )
12491sseli 3189 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( x  e.  ( M (,) N )  ->  x  e.  ( M [,] N
) )
12520r19.21bi 2654 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( (
ph  /\  x  e.  ( M [,] N ) )  ->  A  e.  RR )
126125adantlr 695 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ph  /\  k  e.  ( M..^ N ) )  /\  x  e.  ( M [,] N
) )  ->  A  e.  RR )
127124, 126sylan2 460 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ph  /\  k  e.  ( M..^ N ) )  /\  x  e.  ( M (,) N
) )  ->  A  e.  RR )
128 eqid 2296 . . . . . . . . . . 11  |-  ( x  e.  ( M (,) N )  |->  A )  =  ( x  e.  ( M (,) N
)  |->  A )
129127, 128fmptd 5700 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  k  e.  ( M..^ N ) )  ->  ( x  e.  ( M (,) N
)  |->  A ) : ( M (,) N
) --> RR )
130 ioossre 10728 . . . . . . . . . 10  |-  ( M (,) N )  C_  RR
131 dvfre 19316 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( x  e.  ( M (,) N ) 
|->  A ) : ( M (,) N ) --> RR  /\  ( M (,) N )  C_  RR )  ->  ( RR 
_D  ( x  e.  ( M (,) N
)  |->  A ) ) : dom  ( RR 
_D  ( x  e.  ( M (,) N
)  |->  A ) ) --> RR )
132129, 130, 131sylancl 643 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  k  e.  ( M..^ N ) )  ->  ( RR  _D  ( x  e.  ( M (,) N )  |->  A ) ) : dom  ( RR  _D  (
x  e.  ( M (,) N )  |->  A ) ) --> RR )
133 dvfsumle.b . . . . . . . . . . 11  |-  ( ph  ->  ( RR  _D  (
x  e.  ( M (,) N )  |->  A ) )  =  ( x  e.  ( M (,) N )  |->  B ) )
134133adantr 451 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  k  e.  ( M..^ N ) )  ->  ( RR  _D  ( x  e.  ( M (,) N )  |->  A ) )  =  ( x  e.  ( M (,) N )  |->  B ) )
135134dmeqd 4897 . . . . . . . . . . 11  |-  ( (
ph  /\  k  e.  ( M..^ N ) )  ->  dom  ( RR  _D  ( x  e.  ( M (,) N ) 
|->  A ) )  =  dom  ( x  e.  ( M (,) N
)  |->  B ) )
136 dvfsumle.v . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( (
ph  /\  x  e.  ( M (,) N ) )  ->  B  e.  V )
137136adantlr 695 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ph  /\  k  e.  ( M..^ N ) )  /\  x  e.  ( M (,) N
) )  ->  B  e.  V )
138137ralrimiva 2639 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( (
ph  /\  k  e.  ( M..^ N ) )  ->  A. x  e.  ( M (,) N ) B  e.  V )
139 dmmptg 5186 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( A. x  e.  ( M (,) N ) B  e.  V  ->  dom  ( x  e.  ( M (,) N )  |->  B )  =  ( M (,) N ) )
140138, 139syl 15 . . . . . . . . . . 11  |-  ( (
ph  /\  k  e.  ( M..^ N ) )  ->  dom  ( x  e.  ( M (,) N
)  |->  B )  =  ( M (,) N
) )
141135, 140eqtrd 2328 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  k  e.  ( M..^ N ) )  ->  dom  ( RR  _D  ( x  e.  ( M (,) N ) 
|->  A ) )  =  ( M (,) N
) )
142134, 141feq12d 5397 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  k  e.  ( M..^ N ) )  ->  ( ( RR 
_D  ( x  e.  ( M (,) N
)  |->  A ) ) : dom  ( RR 
_D  ( x  e.  ( M (,) N
)  |->  A ) ) --> RR  <->  ( x  e.  ( M (,) N
)  |->  B ) : ( M (,) N
) --> RR ) )
143132, 142mpbid 201 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  k  e.  ( M..^ N ) )  ->  ( x  e.  ( M (,) N
)  |->  B ) : ( M (,) N
) --> RR )
144 eqid 2296 . . . . . . . . 9  |-  ( x  e.  ( M (,) N )  |->  B )  =  ( x  e.  ( M (,) N
)  |->  B )
145144fmpt 5697 . . . . . . . 8  |-  ( A. x  e.  ( M (,) N ) B  e.  RR  <->  ( x  e.  ( M (,) N
)  |->  B ) : ( M (,) N
) --> RR )
146143, 145sylibr 203 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  k  e.  ( M..^ N ) )  ->  A. x  e.  ( M (,) N ) B  e.  RR )
147 nfcsb1v 3126 . . . . . . . . 9  |-  F/_ x [_ y  /  x ]_ B
148147nfel1 2442 . . . . . . . 8  |-  F/ x [_ y  /  x ]_ B  e.  RR
149 csbeq1a 3102 . . . . . . . . 9  |-  ( x  =  y  ->  B  =  [_ y  /  x ]_ B )
150149eleq1d 2362 . . . . . . . 8  |-  ( x  =  y  ->  ( B  e.  RR  <->  [_ y  /  x ]_ B  e.  RR ) )
151148, 150rspc 2891 . . . . . . 7  |-  ( y  e.  ( M (,) N )  ->  ( A. x  e.  ( M (,) N ) B  e.  RR  ->  [_ y  /  x ]_ B  e.  RR ) )
152146, 151mpan9 455 . . . . . 6  |-  ( ( ( ph  /\  k  e.  ( M..^ N ) )  /\  y  e.  ( M (,) N
) )  ->  [_ y  /  x ]_ B  e.  RR )
153109, 21, 23cbvmpt 4126 . . . . . . . 8  |-  ( x  e.  ( M (,) N )  |->  A )  =  ( y  e.  ( M (,) N
)  |->  [_ y  /  x ]_ A )
154153oveq2i 5885 . . . . . . 7  |-  ( RR 
_D  ( x  e.  ( M (,) N
)  |->  A ) )  =  ( RR  _D  ( y  e.  ( M (,) N ) 
|->  [_ y  /  x ]_ A ) )
155 nfcv 2432 . . . . . . . 8  |-  F/_ y B
156155, 147, 149cbvmpt 4126 . . . . . . 7  |-  ( x  e.  ( M (,) N )  |->  B )  =  ( y  e.  ( M (,) N
)  |->  [_ y  /  x ]_ B )
157134, 154, 1563eqtr3g 2351 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  k  e.  ( M..^ N ) )  ->  ( RR  _D  ( y  e.  ( M (,) N ) 
|->  [_ y  /  x ]_ A ) )  =  ( y  e.  ( M (,) N ) 
|->  [_ y  /  x ]_ B ) )
15883, 123, 152, 157, 90, 102, 55, 104dvmptres 19328 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  k  e.  ( M..^ N ) )  ->  ( RR  _D  ( y  e.  ( k (,) ( k  +  1 ) ) 
|->  [_ y  /  x ]_ A ) )  =  ( y  e.  ( k (,) ( k  +  1 ) ) 
|->  [_ y  /  x ]_ B ) )
159 dvfsumle.l . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  ( k  e.  ( M..^ N )  /\  x  e.  ( k (,) ( k  +  1 ) ) ) )  ->  X  <_  B )
160159anassrs 629 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ph  /\  k  e.  ( M..^ N ) )  /\  x  e.  ( k (,) (
k  +  1 ) ) )  ->  X  <_  B )
161160ralrimiva 2639 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  k  e.  ( M..^ N ) )  ->  A. x  e.  ( k (,) ( k  +  1 ) ) X  <_  B )
162 nfcv 2432 . . . . . . . 8  |-  F/_ x X
163 nfcv 2432 . . . . . . . 8  |-  F/_ x  <_
164162, 163, 147nfbr 4083 . . . . . . 7  |-  F/ x  X  <_  [_ y  /  x ]_ B
165149breq2d 4051 . . . . . . 7  |-  ( x  =  y  ->  ( X  <_  B  <->  X  <_  [_ y  /  x ]_ B ) )
166164, 165rspc 2891 . . . . . 6  |-  ( y  e.  ( k (,) ( k  +  1 ) )  ->  ( A. x  e.  (
k (,) ( k  +  1 ) ) X  <_  B  ->  X  <_  [_ y  /  x ]_ B ) )
167161, 166mpan9 455 . . . . 5  |-  ( ( ( ph  /\  k  e.  ( M..^ N ) )  /\  y  e.  ( k (,) (
k  +  1 ) ) )  ->  X  <_  [_ y  /  x ]_ B )
16842rexrd 8897 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  k  e.  ( M..^ N ) )  ->  k  e.  RR* )
16950rexrd 8897 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  k  e.  ( M..^ N ) )  ->  ( k  +  1 )  e.  RR* )
17042lep1d 9704 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  k  e.  ( M..^ N ) )  ->  k  <_  (
k  +  1 ) )
171 lbicc2 10768 . . . . . 6  |-  ( ( k  e.  RR*  /\  (
k  +  1 )  e.  RR*  /\  k  <_  ( k  +  1 ) )  ->  k  e.  ( k [,] (
k  +  1 ) ) )
172168, 169, 170, 171syl3anc 1182 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  k  e.  ( M..^ N ) )  ->  k  e.  ( k [,] ( k  +  1 ) ) )
173 ubicc2 10769 . . . . . 6  |-  ( ( k  e.  RR*  /\  (
k  +  1 )  e.  RR*  /\  k  <_  ( k  +  1 ) )  ->  (
k  +  1 )  e.  ( k [,] ( k  +  1 ) ) )
174168, 169, 170, 173syl3anc 1182 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  k  e.  ( M..^ N ) )  ->  ( k  +  1 )  e.  ( k [,] ( k  +  1 ) ) )
175 oveq2 5882 . . . . 5  |-  ( y  =  k  ->  ( X  x.  y )  =  ( X  x.  k ) )
176 oveq2 5882 . . . . 5  |-  ( y  =  ( k  +  1 )  ->  ( X  x.  y )  =  ( X  x.  ( k  +  1 ) ) )
17742, 50, 80, 108, 117, 158, 167, 172, 174, 170, 175, 35, 176, 30dvle 19370 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  k  e.  ( M..^ N ) )  ->  ( ( X  x.  ( k  +  1 ) )  -  ( X  x.  k
) )  <_  ( [_ ( k  +  1 )  /  x ]_ A  -  [_ k  /  x ]_ A ) )
17854, 177eqbrtrrd 4061 . . 3  |-  ( (
ph  /\  k  e.  ( M..^ N ) )  ->  X  <_  ( [_ ( k  +  1 )  /  x ]_ A  -  [_ k  /  x ]_ A ) )
1792, 3, 39, 178fsumle 12273 . 2  |-  ( ph  -> 
sum_ k  e.  ( M..^ N ) X  <_  sum_ k  e.  ( M..^ N ) (
[_ ( k  +  1 )  /  x ]_ A  -  [_ k  /  x ]_ A ) )
180 vex 2804 . . . . 5  |-  y  e. 
_V
181180a1i 10 . . . 4  |-  ( y  =  M  ->  y  e.  _V )
182 eqeq2 2305 . . . . . 6  |-  ( y  =  M  ->  (
x  =  y  <->  x  =  M ) )
183182biimpa 470 . . . . 5  |-  ( ( y  =  M  /\  x  =  y )  ->  x  =  M )
184 dvfsumle.c . . . . 5  |-  ( x  =  M  ->  A  =  C )
185183, 184syl 15 . . . 4  |-  ( ( y  =  M  /\  x  =  y )  ->  A  =  C )
186181, 185csbied 3136 . . 3  |-  ( y  =  M  ->  [_ y  /  x ]_ A  =  C )
187180a1i 10 . . . 4  |-  ( y  =  N  ->  y  e.  _V )
188 eqeq2 2305 . . . . . 6  |-  ( y  =  N  ->  (
x  =  y  <->  x  =  N ) )
189188biimpa 470 . . . . 5  |-  ( ( y  =  N  /\  x  =  y )  ->  x  =  N )
190 dvfsumle.d . . . . 5  |-  ( x  =  N  ->  A  =  D )
191189, 190syl 15 . . . 4  |-  ( ( y  =  N  /\  x  =  y )  ->  A  =  D )
192187, 191csbied 3136 . . 3  |-  ( y  =  N  ->  [_ y  /  x ]_ A  =  D )
19327recnd 8877 . . 3  |-  ( (
ph  /\  y  e.  ( M ... N ) )  ->  [_ y  /  x ]_ A  e.  CC )
19435, 30, 186, 192, 5, 193fsumtscopo2 12277 . 2  |-  ( ph  -> 
sum_ k  e.  ( M..^ N ) (
[_ ( k  +  1 )  /  x ]_ A  -  [_ k  /  x ]_ A )  =  ( D  -  C ) )
195179, 194breqtrd 4063 1  |-  ( ph  -> 
sum_ k  e.  ( M..^ N ) X  <_  ( D  -  C ) )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    /\ wa 358    = wceq 1632    e. wcel 1696   A.wral 2556   _Vcvv 2801   [_csb 3094    i^i cin 3164    C_ wss 3165   {cpr 3654   class class class wbr 4039    e. cmpt 4093   dom cdm 4705   ran crn 4706    |` cres 4707   -->wf 5267   ` cfv 5271  (class class class)co 5874   Fincfn 6879   CCcc 8751   RRcr 8752   1c1 8754    + caddc 8756    x. cmul 8758   RR*cxr 8882    <_ cle 8884    - cmin 9053   ZZcz 10040   ZZ>=cuz 10246   (,)cioo 10672   [,]cicc 10675   ...cfz 10798  ..^cfzo 10886   sum_csu 12174   TopOpenctopn 13342   topGenctg 13358  ℂfldccnfld 16393   -cn->ccncf 18396    _D cdv 19229
This theorem is referenced by:  dvfsumge  19385
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1536  ax-5 1547  ax-17 1606  ax-9 1644  ax-8 1661  ax-13 1698  ax-14 1700  ax-6 1715  ax-7 1720  ax-11 1727  ax-12 1878  ax-ext 2277  ax-rep 4147  ax-sep 4157  ax-nul 4165  ax-pow 4204  ax-pr 4230  ax-un 4528  ax-inf2 7358  ax-cnex 8809  ax-resscn 8810  ax-1cn 8811  ax-icn 8812  ax-addcl 8813  ax-addrcl 8814  ax-mulcl 8815  ax-mulrcl 8816  ax-mulcom 8817  ax-addass 8818  ax-mulass 8819  ax-distr 8820  ax-i2m1 8821  ax-1ne0 8822  ax-1rid 8823  ax-rnegex 8824  ax-rrecex 8825  ax-cnre 8826  ax-pre-lttri 8827  ax-pre-lttrn 8828  ax-pre-ltadd 8829  ax-pre-mulgt0 8830  ax-pre-sup 8831  ax-addf 8832  ax-mulf 8833
This theorem depends on definitions:  df-bi 177  df-or 359  df-an 360  df-3or 935  df-3an 936  df-tru 1310  df-ex 1532  df-nf 1535  df-sb 1639  df-eu 2160  df-mo 2161  df-clab 2283  df-cleq 2289  df-clel 2292  df-nfc 2421  df-ne 2461  df-nel 2462  df-ral 2561  df-rex 2562  df-reu 2563  df-rmo 2564  df-rab 2565  df-v 2803  df-sbc 3005  df-csb 3095  df-dif 3168  df-un 3170  df-in 3172  df-ss 3179  df-pss 3181  df-nul 3469  df-if 3579  df-pw 3640  df-sn 3659  df-pr 3660  df-tp 3661  df-op 3662  df-uni 3844  df-int 3879  df-iun 3923  df-iin 3924  df-br 4040  df-opab 4094  df-mpt 4095  df-tr 4130  df-eprel 4321  df-id 4325  df-po 4330  df-so 4331  df-fr 4368  df-se 4369  df-we 4370  df-ord 4411  df-on 4412  df-lim 4413  df-suc 4414  df-om 4673  df-xp 4711  df-rel 4712  df-cnv 4713  df-co 4714  df-dm 4715  df-rn 4716  df-res 4717  df-ima 4718  df-iota 5235  df-fun 5273  df-fn 5274  df-f 5275  df-f1 5276  df-fo 5277  df-f1o 5278  df-fv 5279  df-isom 5280  df-ov 5877  df-oprab 5878  df-mpt2 5879  df-of 6094  df-1st 6138  df-2nd 6139  df-riota 6320  df-recs 6404  df-rdg 6439  df-1o 6495  df-2o 6496  df-oadd 6499  df-er 6676  df-map 6790  df-pm 6791  df-ixp 6834  df-en 6880  df-dom 6881  df-sdom 6882  df-fin 6883  df-fi 7181  df-sup 7210  df-oi 7241  df-card 7588  df-cda 7810  df-pnf 8885  df-mnf 8886  df-xr 8887  df-ltxr 8888  df-le 8889  df-sub 9055  df-neg 9056  df-div 9440  df-nn 9763  df-2 9820  df-3 9821  df-4 9822  df-5 9823  df-6 9824  df-7 9825  df-8 9826  df-9 9827  df-10 9828  df-n0 9982  df-z 10041  df-dec 10141  df-uz 10247  df-q 10333  df-rp 10371  df-xneg 10468  df-xadd 10469  df-xmul 10470  df-ioo 10676  df-ico 10678  df-icc 10679  df-fz 10799  df-fzo 10887  df-seq 11063  df-exp 11121  df-hash 11354  df-cj 11600  df-re 11601  df-im 11602  df-sqr 11736  df-abs 11737  df-clim 11978  df-sum 12175  df-struct 13166  df-ndx 13167  df-slot 13168  df-base 13169  df-sets 13170  df-ress 13171  df-plusg 13237  df-mulr 13238  df-starv 13239  df-sca 13240  df-vsca 13241  df-tset 13243  df-ple 13244  df-ds 13246  df-hom 13248  df-cco 13249  df-rest 13343  df-topn 13344  df-topgen 13360  df-pt 13361  df-prds 13364  df-xrs 13419  df-0g 13420  df-gsum 13421  df-qtop 13426  df-imas 13427  df-xps 13429  df-mre 13504  df-mrc 13505  df-acs 13507  df-mnd 14383  df-submnd 14432  df-mulg 14508  df-cntz 14809  df-cmn 15107  df-xmet 16389  df-met 16390  df-bl 16391  df-mopn 16392  df-cnfld 16394  df-top 16652  df-bases 16654  df-topon 16655  df-topsp 16656  df-cld 16772  df-ntr 16773  df-cls 16774  df-nei 16851  df-lp 16884  df-perf 16885  df-cn 16973  df-cnp 16974  df-haus 17059  df-cmp 17130  df-tx 17273  df-hmeo 17462  df-fbas 17536  df-fg 17537  df-fil 17557  df-fm 17649  df-flim 17650  df-flf 17651  df-xms 17901  df-ms 17902  df-tms 17903  df-cncf 18398  df-limc 19232  df-dv 19233
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